专题09三角形常考几何模型专训（9大题型+15道拓展培优题）-2025-2026学年浙教版八年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题09三角形常考几何模型专训（9大题型+15道拓展培优题） 题型一 三角形折叠中的角度问题 题型二 倍长中线模型 题型三 全等三角形综合问题 题型四 三角形内角和定理的证明 题型五 三角形的外角的定义及性质 题型六 与角平分线有关的三角形内角和问题 题型七 线段垂直平分线的性质 题型八 根据三角形中线求长度、面积 题型九 角平分线的性质定理 【经典例题一 三角形折叠中的角度问题】 【例1】（24-25八年级上·广东江门·阶段练习）如图，在折纸活动中，小李制作了一张的纸片，点D，E分别在边，上，将沿着折叠压平，A与重合． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． (3)猜想：与的关系，请直接写出其关系式． 1．（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，是一张纸片，把沿折叠，点C落在点处． (1)若，判断与的位置关系并说明理由； (2)若与不平行，，则______． 2．（23-24七年级下·上海嘉定·期末）如图，中，，点是内一点，且．    (1)试说明：； (2)如图，延长交边于点，当满足时； ①求的大小； ②阅读材料：等腰直角三角形斜边的长是直角边长的倍例如图，在等腰直角三角形中，，则． 结合阅读材料，现将沿翻折到，边交于点，若，，请用含的代数式表示的长（直接写出结果） 3．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）（1）如图，将一张三角形纸片沿着折叠，使点落在边上的处，若，则 ______；    （2）如图，将一张三角形纸片沿着折叠点，分别在边和上，并使得点和点重合，若，则 ______； （3）如图，将长方形纸片沿着和折叠成如图所示的形状，和重合， ①的度数是多少？请说明理由； ②如果，求的度数． 【经典例题二 倍长中线模型】 【例2】（24-25七年级下·江西鹰潭·阶段练习）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点M，使，连接，可证，从而把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围． 【方法总结】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求集中到同一个三角形中．我们把这种添加辅助线解题的方法称为“倍长中线法”． 【问题解决】 (1)直接写出图1中的取值范围：______； (2)猜想图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明； (3)如图3，是的中线，，，，判断线段和线段的数量关系和位置关系，并加以证明． 1．（24-25七年级下·江西吉安·阶段练习）（1）阅读理解：为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小曲在组内做了如下尝试：如图1，是的中线，延长至点，使，连接．利用全等将边转化到．在这个过程中小曲同学证三角形全等，用到的全等判定方法是 ，另外他还得到了和的位置关系是 ； （2）问题解决：如图2，是的中线，，点在的延长线上，，求证：； （3）问题拓展：如图3，中，，，点在线段上，连接，，．若点为中点，交于点，求和的数量关系． 2．（24-25八年级上·广东韶关·阶段练习）（1）【教材呈现】以下是某数学教材某页的部分内容：如图，在中，是边的中点，过点画直线，使，交的延长线于点，求证：． （2）【方法应用】如图，在△中，，，则边上的中线长度的取值范围是 ． （3）【猜想证明】如图，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想． 3．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，在中，是边上的中线，如果，求证：． 证明：延长至点，使，连接（请完成后续证明） 【经典例题三 全等三角形综合问题】 【例3】（24-25八年级上·福建龙岩·期中）已知，如图在等边中，点为边上一点，点为边上一点，连接并延长交延长线于点，，过点作交于点． (1)求证：； (2)当时，试判断以、、为顶点的三角形的形状，并说明理由； 1．（23-24七年级下·河南郑州·期末）已知在中，，，．点D为边上一点，且，过点B作射线，动点E从点B出发，以1个单位/秒的速度沿射线的方向运动，连接． (1)如图1，当时，线段与相等吗? 请说明理由． (2)当线段与的其中一边垂直时，求出点E运动的时间t的值． 2．（23-24九年级上·浙江·期末）如图，正方形，矩形并排放置，．请用一把无刻度直尺完成下列作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作中点G； (2)在图2的边上找点，使得． 3．（23-24八年级上·浙江台州·阶段练习）如图，已知，点E为上一点，，分别平分，． (1)求证：； (2)求证： 【经典例题四 三角形内角和定理的证明】 【例4】．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图，，，分别平分和． (1)求证：； (2)求证：． 1．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）阅读下面的材料，并解决问题． 已知在中，，图1－图3的的内角平分线或外角平分线交于点，请直接求出下列角度的度数． (1)如图1，______；如图2，______；如图3，______； (2)如图4，，的三等分线交于点，，连接，求． 2．（24-25七年级下·江苏南京·期末）用两种方法证明“三角形的内角和等于”. 已知：，，是的三个内角.求证：. 证法1：如图，过点 作. ， _______， ______＋______， ， . 请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2. 3．（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）在学习了“三角形的内角和等于180°”的知识后，老师让同学们用不同的方法说明这个结论是正确的．聪明的小明想到了一个方法，下面是他的思路：如图，在的边上任取一点E，过点E作交于点D，作交于点F．请你帮他完成解题过程吧． 【经典例题五 三角形的外角的定义及性质】 【例5】（24-25八年级下·山西太原·阶段练习）如图，在中，平分，，垂足为，交于点，若，，求的度数． 1．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，平分，E为的延长线上一点，交于点F，，，求的度数． 2．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）已知：如图，在中，点D是边上的一点，，求． 3．（24-25七年级下·全国·期末）如图，为的中线，为的中线，过点作，垂足为． (1)若，，求的度数； (2)若的面积为，且，求的长． 【经典例题六 与角平分线有关的三角形内角和问题】 【例6】（24-25八年级上·广东韶关·期中）如图，在中，，，，求的度数． 1．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）如图， 中，是角平分线，点E，F分别在边，上，，相交于点G，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 2．（24-25八年级上·广东东莞·期末）在中，是的高，是的角平分线，，，求的度数． 3．（24-25七年级下·吉林长春·期末）在中，点B，C分别是，上一点，和的角平分线交于点 (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，求的度数； (3)如图3，和的角平分线交于点Q，直接写出和之间的数量关系______． 【经典例题七 根据三角形中线求长度、面积】 【例7】（24-25七年级下·河北邯郸·期末）如图，在中，是边上的高线． (1)若是边上的中线，．求的长． (2)若是的平分线，，求的大小． 1．（24-25七年级下·河南洛阳·期末）如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多，的周长为，且，求的长． 2．（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）如图，为的中线，为的中线． (1)已知，的周长为，求的周长； (2)在中作边上的高； (3)若的面积为40，，则点到边的距离为多少？ 3．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）点D，E分别在上，连接，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若点D为的中点，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出面积为面积一半的所有三角形． 【经典例题八 线段垂直平分线的性质】 【例8】（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，点是延长线上一点，是线段的垂直平分线，点是上一点，且，连接，求的度数． 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知比小，的垂直平分线交于点E，交于点F，的周长为，求的长． 2．（23-24八年级上·湖北荆门·期中）如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 3．（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 【经典例题九 角平分线的性质定理】 【例9】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在中，为的平分线，于点E，于点F． (1)若的面积是，求的长； (2)求证：． 1．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，平分交于点，过点作，且交的延长线于点，点在的延长线上，且． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 2．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，是角平分线，，垂足为，求证：． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，P为定角的平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点P旋转的过程中，其两边分别与相交于M，N两点，求证：． 1．（24-25八年级上·北京·期中）把三角形纸片沿折叠． (1)如图1，点落在四边形内部点A处时，与之间有一种数量关系始终保持不变，写出这种关系并证明； (2)如图2，点落在四边形外部点A处时，直接写出与之间的数量关系． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）【问题提出】倍长中线法是一种重要的解题方法，如图①，在中，是边上的中线，若延长至点E，使，连接，可根据“”证明，则． 【解决问题】如图②，已知和中，，连接是的中点，连接，求证：． 3．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，，，，其中，点以每秒2个单位长度的速度，沿着路径运动．同时，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为秒． (1)若、两点同时到达点时，则点的速度 ． (2)若与全等，求x的值． 4．（2025八年级上·全国·专题练习）已知，是经过顶点C的一条直线，，E、F分别是直线上两点，且． (1)如图1，若直线经过的内部，且E、F在射线上，，，则 ； （填“”、“”或“”） (2)如图2，若，请添加一个关于与关系的条件，使（1）中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立； (3)如图3，若直线经过的外部，若，则、、三条线段有何数量关系，并予以证明． 5．（24-25八年级下·重庆·开学考试）如图，已知，于点D，，平分交于点F． (1)请你写出图中三对全等三角形； (2)求证：． 6．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，的平分线与的外角的平分线相交于点． (1)若，，求的度数； (2)求证：点到三边所在直线的距离相等． 7．（24-25八年级下·上海·阶段练习）如图，在梯形中，，点E是的中点，连接与三条线段之间有什么样的数量关系？请说明理由． 8．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，在中，于点，平分交于点． (1)若，求的度数； (2)若是的中线，，，的周长比周长小，求的长． 9．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在中，于点为边上的中线．为中边上的高线．已知的面积为． (1)求与的周长之差； (2)求的长． 10．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在中，，D是的中点，于点E，于点F． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 11．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，中，，是的角平分线． (1)若，求的度数； (2)若D是的中点，的面积为27，，求的长． 12．（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，在中，是的角平分线，点在边上（不与点，重合），与交于点． (1)若是中线，，，则与的周长差为_____； (2)若，是角平分线，求_____； (3)若，是高，求的度数． 13．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，平分的外角，且交的延长线于点E． (1)若，，求的度数； (2)试猜想、、三个角之间存在的等量关系，并证明你的猜想． 14．（23-24八年级上·山东临沂·期中）如图，已知：点是内一点，，分别平分，． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图①，求证：大于； (3)如图②，作外角，的平分线，相交于点．试探索与之间的数量关系，并说明理由． 15．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，于点，为边上一点，连接与交于点，为外一点，满足，，连接． (1)求证：； (2)求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09三角形常考几何模型专训（9大题型+15道拓展培优题） 题型一 三角形折叠中的角度问题 题型二 倍长中线模型 题型三 全等三角形综合问题 题型四 三角形内角和定理的证明 题型五 三角形的外角的定义及性质 题型六 与角平分线有关的三角形内角和问题 题型七 线段垂直平分线的性质 题型八 根据三角形中线求长度、面积 题型九 角平分线的性质定理 【经典例题一 三角形折叠中的角度问题】 【例1】（24-25八年级上·广东江门·阶段练习）如图，在折纸活动中，小李制作了一张的纸片，点D，E分别在边，上，将沿着折叠压平，A与重合． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． (3)猜想：与的关系，请直接写出其关系式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查折叠的性质，三角形内角和定理， （1）直接根据三角形内角和定理求解即可； （2）由折叠可得，，进而可得，结合，可得，即可求解； （3）同（2）求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴； （2）解：∵将沿着折叠压平，与重合， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵将沿着折叠压平，与重合， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 1．（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，是一张纸片，把沿折叠，点C落在点处． (1)若，判断与的位置关系并说明理由； (2)若与不平行，，则______． 【答案】(1)，理由见解析 (2)100 【分析】本题考查平行线的判定和性质，折叠的性质，三角形内角和定理，掌握平行线的性质及折叠前后对应角相等是解题的关键． （1）由可得，由折叠得，等量代换可得，即可证明； （2）由折叠得，，结合，，，即可推出． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， 由折叠得， ， ； （2）解：由折叠得，， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：100． 2．（23-24七年级下·上海嘉定·期末）如图，中，，点是内一点，且．    (1)试说明：； (2)如图，延长交边于点，当满足时； ①求的大小； ②阅读材料：等腰直角三角形斜边的长是直角边长的倍例如图，在等腰直角三角形中，，则． 结合阅读材料，现将沿翻折到，边交于点，若，，请用含的代数式表示的长（直接写出结果） 【答案】(1)见解析 (2)①；②的长为 【分析】（1）证明≌，得，，而，故； （2）设，可得，，通过建立方程即可求解；过作于，通过翻折可推出，再结合材料所给信息即可求解． 【详解】（1）证明：，，， ≌， ， ， ， ， ； （2）解：设，则，， ， ， ， ， 解得， ； 过作于，如图：    由可得，， 将沿翻折到， ， ， ， ， ，， ， ，， ， 在中，， ， ， ， ； 的长为． 【点睛】本题考查几何变换综合应用，涉及全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关键是掌握翻折的性质． 3．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）（1）如图，将一张三角形纸片沿着折叠，使点落在边上的处，若，则 ______；    （2）如图，将一张三角形纸片沿着折叠点，分别在边和上，并使得点和点重合，若，则 ______； （3）如图，将长方形纸片沿着和折叠成如图所示的形状，和重合， ①的度数是多少？请说明理由； ②如果，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3）①；② 【分析】（1）利用对折性质可知是角平分线，由此即可求解； （2）根据三角形的内角和可知，根据折叠可知的度数，利用两个平角和等于，由此即可求解；； （3）①根据折叠可得，，且，代入计算即可； ②，代入计算即可． 【详解】解：（1）由对折性质可知，是角平分线， ∴， 故答案为：． （2）在中，，， ∴， 根据折叠的性质得，， ∴， ∵， ， 故答案为：． （3）①由折叠的性质可知：，，且， ， ②根据折叠的性质及上述知识可知， ． 【点睛】本题考查折叠问题中角的计算问题，掌握翻折的性质是本题的关键． 【经典例题二 倍长中线模型】 【例2】（24-25七年级下·江西鹰潭·阶段练习）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点M，使，连接，可证，从而把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围． 【方法总结】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求集中到同一个三角形中．我们把这种添加辅助线解题的方法称为“倍长中线法”． 【问题解决】 (1)直接写出图1中的取值范围：______； (2)猜想图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明； (3)如图3，是的中线，，，，判断线段和线段的数量关系和位置关系，并加以证明． 【答案】(1) (2)，．理由见解析 (3)，．证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系定理．通过“倍长中线法”构造全等三角形，将分散的边、角条件集中到同一三角形中，结合三角形三边关系、全等三角形性质及角度推导解决问题．灵活运用全等判定（）和性质，以及角度之间的转化（如补角、内错角等）是解题的关键． （1）利用倍长中线构造全等，将转化为，再用三边关系确定范围； （2）由全等三角形对应边、角相等，推导与的数量和位置关系； （3）再次倍长中线构造全等，结合角度关系证明三角形全等，进而确定与的数量和位置关系． 【详解】（1）解：延长到点M，使，连接， D是中点， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ，即， 又， ，即． 故答案为：． （2），．理由如下： ， ，， ． （3），．证明如下： 如图，延长到点Q，使得，连接． 同理可证， ，． ， ． 在中，， ， ． ， ， ． 在和中 ， ，． 如图，延长交于点P． ， ， ， ， ． ， ． ， ． 综上所述，，． 1．（24-25七年级下·江西吉安·阶段练习）（1）阅读理解：为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小曲在组内做了如下尝试：如图1，是的中线，延长至点，使，连接．利用全等将边转化到．在这个过程中小曲同学证三角形全等，用到的全等判定方法是 ，另外他还得到了和的位置关系是 ； （2）问题解决：如图2，是的中线，，点在的延长线上，，求证：； （3）问题拓展：如图3，中，，，点在线段上，连接，，．若点为中点，交于点，求和的数量关系． 【答案】（1）；；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，倍长中线法证全等，正确添加辅助线是解题的关键． （1）根据已知条件证明，得出，则； （2）延长至点，使，同（1）可得，，证明，进而证明，即可得证； （3）延长至点，使，由（1）可得，，证明，进而证明，即可得证． 【详解】解：（1）∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；； （2）证明：如图所示，延长至点，使， 同（1）可得 ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：如图所示，延长至点，使， 由（1）可得， ∴，， ∴， ∵， ， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 2．（24-25八年级上·广东韶关·阶段练习）（1）【教材呈现】以下是某数学教材某页的部分内容：如图，在中，是边的中点，过点画直线，使，交的延长线于点，求证：． （2）【方法应用】如图，在△中，，，则边上的中线长度的取值范围是 ． （3）【猜想证明】如图，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3），证明见解析 【分析】本题是“倍长中线”模型综合应用，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形三边关系等知识点； （1）根据平行线的性质可得，，根据中点的定义可得，进而证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）延长到，使，连接，证，推出，在中，根据三角形三边关系定理得出，代入求出即可． （3）结论：．延长，交于点，证明，推出，再证明即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵（已知）， ∴，． ∵D为边中点， ∴． 在与中， ∵， ∴， ∴（全等三角形的对应边相等）； （2）延长到，使，连接， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， ， 故答案为：； （3）结论：． 理由：如图②中，延长，交于点， ， ， 在和中， ， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ． 3．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，在中，是边上的中线，如果，求证：． 证明：延长至点，使，连接（请完成后续证明） 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，理解三角形中线的定义，大边对大角，延长至点E，使，连接，根据三角形中线定义得，进而依据判定得，，再由得，继而根据“大边对大角”得，由此即可得出结论． 【详解】解：延长至点E，使，连接，如图所示： ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【经典例题三 全等三角形综合问题】 【例3】（24-25八年级上·福建龙岩·期中）已知，如图在等边中，点为边上一点，点为边上一点，连接并延长交延长线于点，，过点作交于点． (1)求证：； (2)当时，试判断以、、为顶点的三角形的形状，并说明理由； 【答案】(1)见解析 (2)以、、为顶点的三角形的形状是等边三角形，理由见解析 【分析】（1）过点作交于，证明,根据全等三角形的性质得出结论； （2）连结，根据补角的概念得到，根据等腰三角形的判定定理得到，进而得到，根据等边三角形的判定定理证明即可； 本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键. 【详解】（1）证明：过点作交于， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ； （2）以、、为顶点的三角形的形状是等边三角形， 连结， 于， ，， ， 又，， ，， ，， 由（1）知，， 为等边三角形， ， ， ， ， ， 为等边三角形； 1．（23-24七年级下·河南郑州·期末）已知在中，，，．点D为边上一点，且，过点B作射线，动点E从点B出发，以1个单位/秒的速度沿射线的方向运动，连接． (1)如图1，当时，线段与相等吗? 请说明理由． (2)当线段与的其中一边垂直时，求出点E运动的时间t的值． 【答案】(1)相等，理由见解析 (2)3或8 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，同角的余角相等．熟练掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题关键． （1）证明，即得出； （2）分类讨论：当时和时，分别证明，即可求解． 【详解】（1）解：相等，理由如下： ∵，，， ∴， ∴； （2）解：分类讨论：当时，如图， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∴； 当时，如图， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∴． 综上可知t的值为3或8． 2．（23-24九年级上·浙江·期末）如图，正方形，矩形并排放置，．请用一把无刻度直尺完成下列作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作中点G； (2)在图2的边上找点，使得． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题主要考查了矩形的性质、三角形中位线的性质及平行线分线段成比例定理， （1）连接，再连接两个交点与交于点G，即可； （2）连接交于点O，连接并延长交于点P，即可； 【详解】（1） 点G即为所求； （2） 点P即为所求； 3．（23-24八年级上·浙江台州·阶段练习）如图，已知，点E为上一点，，分别平分，． (1)求证：； (2)求证： 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先根据平行线和角平分线的定义证明∠BAE+∠ABE=90°，再由三角形内角和定理求出∠AEB =90°，即可证明AE⊥BE； （2）如图所示，延长AE交BC延长线于F，先证明△ABE≌△FBE得到AB=FB，AE=FE，再证明△ADE≌△FCE得到AD=CF，即可证明AB= BC+AD． 【详解】（1）解：∵， ∴∠BAD+∠ABC=180°， ∵AE，BE分别平分∠BAD，∠ABC， ∴∠BAD=2∠BAE，∠ABC=2∠ABE， ∴2∠BAE+2∠ABE=180°， ∴∠BAE+∠ABE=90°， ∴∠AEB=180°-∠BAE-∠ABE=90°，即AE⊥BE； （2）解：如图所示，延长AE交BC延长线于F， ∵AE⊥BE， ∴∠BEA=∠BEF=90°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠FBE， 又∵BE=BE， ∴△ABE≌△FBE（ASA）， ∴AB=FB，AE=FE， ∵， ∴∠EAD=∠EFC，∠EDA=∠ECF， ∴△ADE≌△FCE（AAS）， ∴AD=CF， ∴AB=FB=BC+CF=BC+AD． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【经典例题四 三角形内角和定理的证明】 【例4】．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图，，，分别平分和． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定及性质，角平分线定义，三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的判定及性质是解题的关键． （1）根据角平分线定义得，进而即可得证； （2）由，得，进而结合角平分线得，，再根据，即可求得，即可得证． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴，， ∵分别平分和 ∴，， ∵， ∴， ∴． 1．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）阅读下面的材料，并解决问题． 已知在中，，图1－图3的的内角平分线或外角平分线交于点，请直接求出下列角度的度数． (1)如图1，______；如图2，______；如图3，______； (2)如图4，，的三等分线交于点，，连接，求． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质等知识： （1）由的度数，在中，可得与的和，又、是内角平分线或外角平分线，利用角平分线的定义及三角形内角和定理、三角形的外角性质进而可求得答案； （2）由的度数，在中，可得与的和，又、是角平分线，利用角平分线的定义及三角形内角和定理可证得结论． 【详解】（1）解：如图1，    ∵平分，平分 ∴， ∴ ∴； 如图2， ∵平分，平分 ∴， ∵ ∴ ∵ ∴； 如图3，    ∵平分，平分 ∴， ∴ ∴； 故答案为：，，． （2）如图4，    ∵，的三等分线交于点， ∴，，平分，平分， 则平分， ∴ ∴ ∴． 2．（24-25七年级下·江苏南京·期末）用两种方法证明“三角形的内角和等于”. 已知：，，是的三个内角.求证：. 证法1：如图，过点 作. ， _______， ______＋______， ， . 请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2. 【答案】证法1：；；证法2见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，正确添加辅助线是解题的关键． 证法1中，利用两直线平行，内错角相等，同旁内角互补求证；证法2中，利用两直线平行内错角相等，构造一个平角求证． 【详解】证法1：如图，过点 作. ， _______， ______＋______， ， . 证法2：如图，过点作，     ， ，，     ，     . 3．（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）在学习了“三角形的内角和等于180°”的知识后，老师让同学们用不同的方法说明这个结论是正确的．聪明的小明想到了一个方法，下面是他的思路：如图，在的边上任取一点E，过点E作交于点D，作交于点F．请你帮他完成解题过程吧． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理的证明，在的边上任取一点E，过点E作交于点D，作交于点F．由平行线的性质得出，，，，等量代换可得出，再根据平角的定义得出，等量代换可得出． 【详解】证明：在的边上任取一点E，过点E作交于点D，作交于点F． ∵， ∴，， ∵ ∴，， ∴, ∵， ∴． 【经典例题五 三角形的外角的定义及性质】 【例5】（24-25八年级下·山西太原·阶段练习）如图，在中，平分，，垂足为，交于点，若，，求的度数． 【答案】． 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角性质，垂直定义，等角的余角相等，根据垂直的定义得到，根据角平分线的定义得到， 由三角形的内角和定理得出，再根据三角形的外角定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 1．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，平分，E为的延长线上一点，交于点F，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，平行线的性质，角平分线的定义， 先根据角平分线的定义得，再根据平行线的性质得，然后根据三角形外角的性质求出，最后根据三角形外角的性质得出答案. 【详解】解：∵平分， ∴. ∵， ∴. ∵是的外角，, ∴, ∴. ∵是的外角，, ∴, ∴. 故答案为：. 2．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）已知：如图，在中，点D是边上的一点，，求． 【答案】 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，根据三角形外角的性质结合已知求出，再利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 3．（24-25七年级下·全国·期末）如图，为的中线，为的中线，过点作，垂足为． (1)若，，求的度数； (2)若的面积为，且，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形外角的定义及性质、与中线有关的三角形的面积计算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据三角形外角的定义及性质计算即可得出答案； （2）连接，则，求出，结合，，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：是的一个外角，则， 又， ； （2）解：如图：连接，则， 又为的中线， ， 同理， ， ，， ， 解得， 故的长为． 【经典例题六 与角平分线有关的三角形内角和问题】 【例6】（24-25八年级上·广东韶关·期中）如图，在中，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查三角形内角和定理和角平分线的定义，由三角形内角和及三角形角平分线求得，即可求解． 【详解】解：∵三角形内角和是，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 1．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）如图， 中，是角平分线，点E，F分别在边，上，，相交于点G，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识点，掌握平行线的判定，三角形内角和定理，角平分线的定义是解本题的关键． （1）首先根据，，等量代换可得，进而得到，最后利用平行线的性质即可得证 （2）根据三角形的内角和定理得出，再利用角平分线的定义得出，又因为，所以，进而可求出的度数． 【详解】（1）证明：，， ， ， ． （2）解：，， ， 是角平分线， ， ， ， 所以．=180-95= 2．（24-25八年级上·广东东莞·期末）在中，是的高，是的角平分线，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，角平分线的定义，垂直的定义，掌握三角形内角和定理，角平分线的定义，角度的和差计算方法是解题的关键． 先利用三角形的内角和、角平分线的性质求出，，再利用三角形的内角和求出，最后利用角的和差关系求出． 【详解】解：，， ． 是的角平分线， ． 是的高， ． ， ． ． 3．（24-25七年级下·吉林长春·期末）在中，点B，C分别是，上一点，和的角平分线交于点 (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，求的度数； (3)如图3，和的角平分线交于点Q，直接写出和之间的数量关系______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据三角形内角和求出，再根据角平分线的定义得到，，继而利用三角形内角和代入计算即可； 根据角平分线的定义得到，，再利用三角形内角和得出，结合，代入求解即可； 根据角平分线的定义得到，，，，继而推出，再利用四边形内角和计算即可得出关系． 【详解】， ， 和的角平分线交于点P， ，， ； 和的角平分线交于点P， ，， ， ， ， ， 解得：， ； 和的角平分线交于点P， ，， 和的角平分线交于点Q， ，， ， ， 同理：， 故答案为：． 【经典例题七 根据三角形中线求长度、面积】 【例7】（24-25七年级下·河北邯郸·期末）如图，在中，是边上的高线． (1)若是边上的中线，．求的长． (2)若是的平分线，，求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的高的定义，三角形中线的定义，三角形的角平分线的定义，三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据三角形的面积公式得出，进而根据三角形的中线的定义，即可求解； （2）根据三角形内角和定理求得，进而根据三角形的角平分线的定义可得，进而根据，即可求解． 【详解】（1）解： 是边上的高，， ． ， 解得． 又是边上的中线， ． （2）解：∵ ． 又为角平分线， ． 又， ， ∴． 1．（24-25七年级下·河南洛阳·期末）如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多，的周长为，且，求的长． 【答案】的长为 【分析】本题考查了三角形的中线三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，以及构造二元一次方程组解决问题． 根据中线的定义得到，再根据周长之差化简可得，结合已知计算即可，然后根据的周长为，且，得到，再构造二元一次方程组求解即可． 【详解】解：是边上的中线， ∴， ∵的周长比的周长多， ∴， ∵的周长为，且， ∴， ∴， 解得：， ∴的长为． 2．（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）如图，为的中线，为的中线． (1)已知，的周长为，求的周长； (2)在中作边上的高； (3)若的面积为40，，则点到边的距离为多少？ 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的中线、高线，解决此类题目最常用的是等底等高的三角形的面积相等，要熟练掌握． （1）根据中线的定义可得，然后表示出的周长，再把用表示，用表示，整理即可得解； （2）根据三角形高线的定义作出即可； （3）根据等底等高的三角形的面积相等用的面积表示出的面积，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】（1）解：为的中线， ， ， ， 的周长， ， 的周长； （2）解：如图，即为中边上的高， （3）解：设点到边的距离为 为的中线， 为的中线， ， ， ， ， 点到边的距离为． 3．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）点D，E分别在上，连接，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若点D为的中点，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出面积为面积一半的所有三角形． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中线平分三角形的面积． （1）根据题意可得，根据全等三角形的判定和性质即可证明； （2）根据三角形中线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴． （2）解：由（1）可知：， ∵点D为的中点，， ∴， ∴点E为的中点， ∴和的面积等于面积的一半， 和的面积等于面积的一半， 综上所述：面积为面积一半的三角形有：和和和． 【经典例题八 线段垂直平分线的性质】 【例8】（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，点是延长线上一点，是线段的垂直平分线，点是上一点，且，连接，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义、线段垂直平分线的性质以及三角形的外角性质，解题的关键是利用垂直平分线的性质得到边相等进而转化为角相等，结合外角性质快速求角． 根据角平分线定义，由的度数直接求出的度数；利用是垂直平分线的性质得出进而得到最后根据三角形外角的性质，即等于与的和，求出 的度数． 【详解】解：，， ． 是线段的垂直平分线， ， ． ． 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知比小，的垂直平分线交于点E，交于点F，的周长为，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质并求出的周长是解题的关键． 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，然后求出的周长，即可得解． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵比小，即， ∴， ∴， ∴． 2．（23-24八年级上·湖北荆门·期中）如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据垂直平分线的性质，可，再根据，得到是的垂直平分线，等量代换，即可； （2）根据题意，则，求出，再根据，得到，最后根据求出结论即可． 【详解】（1）证明：垂直平分， ， ， 是的垂直平分线， ， ； （2）解：的周长为， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 3．（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键. （1）根据线段的垂直平分线的性质得到，，等量代换得到； （2）根据三角形周长公式求出，再根据（1）中结论计算，得到答案． 【详解】（1）垂直平分， ， ，， 垂直平分， ， ； （2）的周长为， ， ， ， ，， ， ， 即． 【经典例题九 角平分线的性质定理】 【例9】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在中，为的平分线，于点E，于点F． (1)若的面积是，求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据角平分线上的点到角的两边距离相等，得，根据三角形面积公式进行列式，代数计算，即可作答． （2）根据角平分线上的点到角的两边距离相等，得，根据三角形面积公式进行列式，则，即可作答． 【详解】（1）解：∵为的平分线，于点E，于点F． ∴， 则， ∵的面积是， ∴， 解得； （2）解： ∵为的平分线，于点E，于点F． ∴， 则， ∴， 故． 1．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，平分交于点，过点作，且交的延长线于点，点在的延长线上，且． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理， （）由平行线的性质可得，由角平分线的定义可得，即得，进而得到，据此即可求证； （）由平行线的性质可得，进而得到，再根据三角形外角性质即可求解； 【详解】（1）证明：， ∴， ∵平分交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴． 2．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，是角平分线，，垂足为，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题涉及三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形的外角性质．通过构造全等三角形，将转化为与和有关的角，从而证明结论． 【详解】证明：如图，延长交于点． ， ． ∵是角平分线， ， 在和中， ， ， ． 又， ． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，P为定角的平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点P旋转的过程中，其两边分别与相交于M，N两点，求证：． 【答案】见解析． 【分析】本题侧重考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点P作于点E，于点F，则，根据平分可知，根据图中各角的数量关系可得，可证明；利用全等三角形的性质即可证明． 【详解】证明：过点P作于点E，于点F，如图． ，． ． ， ． ． ． 平分，， ． 在和中 ， ． 1．（24-25八年级上·北京·期中）把三角形纸片沿折叠． (1)如图1，点落在四边形内部点A处时，与之间有一种数量关系始终保持不变，写出这种关系并证明； (2)如图2，点落在四边形外部点A处时，直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、折叠的性质． （1）由折叠得到，，根据平角得到，，再结合三角形内角和得到，即可解决问题； （2）由折叠得到，，根据平角得到，，再结合三角形内角和得到，即可解决问题． 【详解】（1）解：． 证明：∵三角形纸片沿折叠得到， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵三角形纸片沿折叠得到， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）【问题提出】倍长中线法是一种重要的解题方法，如图①，在中，是边上的中线，若延长至点E，使，连接，可根据“”证明，则． 【解决问题】如图②，已知和中，，连接是的中点，连接，求证：． 【答案】见解析． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握倍长中线法构造全等三角形，是解题的关键．延长至点F，使得，连接，证明，得到，再证明得到，即可得证． 【详解】证明：如图，延长至点F，使得，连接． 是的中点， ． 在和中， ， ， ， ． ， ． 在和中， ． ． 3．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，，，，其中，点以每秒2个单位长度的速度，沿着路径运动．同时，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为秒． (1)若、两点同时到达点时，则点的速度 ． (2)若与全等，求x的值． 【答案】(1)6 (2)或 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的易错点； （1）先求出点从点出发到达点时所用的时间为秒，再根据点运动的路程即可得出点的速度； （2）依题意得，，则，，再根据，则有以下两种情况：①当且时，，由得，解得，再由得，由此可得的值；②当且时，，由得，解得，再由得，由此可得的值，综上所述即可得出答案． 【详解】（1）解：， 点从点出发到达点时所用的时间为：（秒）， 点从点出发到达点时所用的时间为3秒， ，， ， 点运动的速度为：， 故答案为：6； （2）解：依题意得：，， ，， ， 当与全等时，有以下两种情况： ①当且时，， 由，得：， 解得：， 由，得：， ， ， 解得：； ②当且时，， 由，得：， 解得：， 由，得：， ， ， 解得：， 综上所述：当与全等，的值为或． 4．（2025八年级上·全国·专题练习）已知，是经过顶点C的一条直线，，E、F分别是直线上两点，且． (1)如图1，若直线经过的内部，且E、F在射线上，，，则 ； （填“”、“”或“”） (2)如图2，若，请添加一个关于与关系的条件，使（1）中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立； (3)如图3，若直线经过的外部，若，则、、三条线段有何数量关系，并予以证明． 【答案】(1)=，= (2)添加的条件为，理由见解析 (3)．理由见解析 【分析】本题综合考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质． （1）证明即可得到，，故． （2）证明和（1）类似，根据即可得到，，故． （3）求出，，根据证，推出，即可． 【详解】（1）解：在图1中，， ，， ， 在和中， ， ，， ， 故答案为，． （2）在图2中，添加的条件为， ， ， ， ， 在和中， ， ，， ． （3）． 理由是：如图3中， ，， 又，， ， ， 在和中， ， ，， ， ． 5．（24-25八年级下·重庆·开学考试）如图，已知，于点D，，平分交于点F． (1)请你写出图中三对全等三角形； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质． （1）本题考查的是全等三角形的判定的有关知识，可根据全等三角形的判定定理进行求解，答案不唯一． （2）通过的对应角相等即可证得． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴； ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上，、、、、（写出其中的三对即可）． （2）证明：∵，平分交于点F． ∴． ∴在与中， ， ∴， ∴（全等三角形的对应角相等）． ∵， ∴， ∴，即． 6．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，的平分线与的外角的平分线相交于点． (1)若，，求的度数； (2)求证：点到三边所在直线的距离相等． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（）利用角平分线的定义求出和，再根据三角形外角性质解答即可； （）过作于，于，于，由角平分线的性质可得，，即得，进而即可求证； 本题考查了角平分线的定义，三角形的外角性质，角平分线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵平分，， ∴， ∴； （2）证明：过作于，于，于， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴点到三边所在直线的距离相等． 7．（24-25八年级下·上海·阶段练习）如图，在梯形中，，点E是的中点，连接与三条线段之间有什么样的数量关系？请说明理由． 【答案】，理由见解析． 【分析】本题考查了梯形，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，正确添加辅助线构造全等三角形解决问题是解题的关键． 延长交的延长线于点，利用全等三角形的性质证明，，进而即可得出结论． 【详解】解：，理由如下： 如图，延长交的延长线于点， ， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ． 8．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，在中，于点，平分交于点． (1)若，求的度数； (2)若是的中线，，，的周长比周长小，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据直角三角形的性质求出，根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义求出，进而求出； （2）根据三角形的中线的性质得到，再根据三角形周长公式计算，得到答案． 本题考查的是三角形的角平分线、中线、高，熟记三角形的角平分线、中线、高的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ， ，， ， 平分， ， ； （2）解：是的中线， ， ， ， 的周长比周长小， ， ， ， ． 9．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在中，于点为边上的中线．为中边上的高线．已知的面积为． (1)求与的周长之差； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形的中线，熟练掌握三角形的中线的定义，三角形的中线平分面积，是解题的关键； （1）根据三角形的中线的定义，推出与的周长之差为的长即可； （2）根据三角形的中线平分面积结合三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵为边上的中线， ∴， ∵， ∴与的周长之差为：； （2）∵为边上的中线，的面积为， ∴的面积为， ∵为中边上的高线， ∴， ∵， ∴． 10．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在中，，D是的中点，于点E，于点F． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)18 【分析】（1）D是的中点，得，于是，结合，即可得证； （2）根据题意，结合． 本题考查了三角形中线的性质，三角形面积的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵D是的中点，，， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：由，， 得， 故． 11．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，中，，是的角平分线． (1)若，求的度数； (2)若D是的中点，的面积为27，，求的长． 【答案】(1) (2)9 【分析】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、线段的中点定义、三角形的面积，理解角平分线和中点定义是解答的关键． （1）先根据三角形的内角和定理求得，再根据角平分线的定义求解即可； （2）根据线段中点定义求得，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴； （2）解：∵D是的中点，， ∴， ∵，的面积为27， ∴， 解得． 12．（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，在中，是的角平分线，点在边上（不与点，重合），与交于点． (1)若是中线，，，则与的周长差为_____； (2)若，是角平分线，求_____； (3)若，是高，求的度数． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，熟记它们的概念是解题的关键； （1）根据三角形的中线的概念得到，再根据三角形周长公式计算； （2）根据三角形内角和定理得到，再根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算； （3）根据直角三角形的性质求出，再根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算． 【详解】（1）解：是的中线， ， ，， 与的周长差为：， 故答案为：2； （2）解：， ， 是的角平分线，是角平分线， ，， ， ， 故答案为：； （3）解：是高， ， ， ， 平分， ， 在中，． 13．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，平分的外角，且交的延长线于点E． (1)若，，求的度数； (2)试猜想、、三个角之间存在的等量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是角平分线的定义，三角形的外角的性质，熟练掌握以上知识点是关键． （1）先求解，可得，再利用三角形的外角的性质可得结论； （2）证明，结合，，可得结论． 【详解】（1）解：由条件可知， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 由条件可知， 又∵， ∴ ， 即． 14．（23-24八年级上·山东临沂·期中）如图，已知：点是内一点，，分别平分，． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图①，求证：大于； (3)如图②，作外角，的平分线，相交于点．试探索与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，见解析 【分析】（1）根据三角形的内角和定理得出，再根据角平分线的定义，即可求解； （2）延长交于D，如图所示，根据三角形的外角性质可得，，即可求证； （3）根据角平分线的定义可得，再根据三角形的内角和即可解答． 【详解】（1）解：∵． ∴， ∵，分别平分，， ∴，， ∴； （2）解：延长交于D，如图所示： ∵是的一个外角，是的一个外角， ∴，， ∴； （3）解：，理由如下： ∵的外角，的角平分线交于点Q， ∴，， ∴ ， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，角平分线，解题的关键是掌握三角形的内角和为，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和． 15．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，于点，为边上一点，连接与交于点，为外一点，满足，，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到． （1）由可得，再根据全等三角形的判定定理得证； （2）由（1）可知，结合已知条件得到，利用三角形全等的性质即可得证． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中， ， ； （2）证明：， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ． ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$