专题5.5 特殊平行四边形44道压轴题型专训（11大题型）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

专题5.5 特殊平行四边形44道压轴题型专训（11大题型） 题型一 求矩形在坐标系中的坐标 题型二 根据矩形的性质和判定解决问题 题型三 判断四边形的形状并证明 题型四 折叠问题 题型五 根据菱形的性质和判定解决问题 题型六 中点四边形 题型七 求正方形重叠部分面积 题型八 根据正方形的性质与判定解决相关问题 题型九 平行四边形的动点问题 题型十 四边形中的线段最值问题 题型十一 四边形其他综合问题 【经典例题一 求矩形在坐标系中的坐标】 1．（25-26八年级下·重庆·月考）如图，已知四边形是矩形，点的坐标为，点为边上一点，连接，现将沿折叠，点落在轴上的点处，直线交轴于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质和点，得出，，根据折叠的性质可得，，在中，由勾股定理求出 ，则，即点坐标为，求出直线的解析式，令，得，即可求出的坐标． 【详解】解：∵四边形是矩形，点， ∴，， 根据折叠的性质可得，， 在中，由勾股定理得： ， ∴，即点坐标为， 设直线的解析式为， 代入、得： ，解得， 即直线解析式为， ∵是直线与轴的交点，令，得， ∴的坐标为． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，矩形的顶点和分别落在轴与轴的正半轴上，，．若直线经过矩形对角线的交点，则的值为（   ） A．5 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质（对角线互相平分）与一次函数的待定系数法，解题关键是先确定对角线交点坐标，再代入直线方程求解参数． 先确定矩形对角线交点的坐标，再将其代入直线方程求解的值． 【详解】解：，， 点的坐标为，点的坐标为，则线段的中点坐标为． 直线经过矩形对角线的交点，即经过线段的中点， 把代入，得，解得． 故答案为：D． 3．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段测试）如图，平面直角坐标系中，长方形，点，分别在轴，轴的正半轴上，，，，，分别交，于点，，且，则点坐标为______． 【答案】 【分析】过点作，过点作，并延长交延长线于点，设，根据三角形全等得到，则，求出直线解析式，代入点求出，即可求解． 【详解】解：过点作，过点作，并延长交延长线于点，如下图： 则，∴， ∴ 在矩形中，， ∴ ∴四边形为矩形 ∴，， ∴ ∵ ∴为等腰直角三角形， ∴ ∴， 设，则， 设直线解析式为 由题意可知，代入得，，解得， 又∵点在直线上，∴ 解得，即 ∴ ∴点坐标为 故答案为 【点睛】此题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，正比例函数的性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是根据题意，作出合适的辅助线，利用有关性质求解． 4．（25-26八年级下·黑龙江牡丹江·期中）如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴上，点A在y轴的正半轴上，线段，满足，且． (1)请直接写出点D的坐标； (2)动点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线向终点B运动，连接，设的面积为S，运动时间为t秒，求S和t之间的关系式，要求写出t的取值范围； (3)在（2）条件下，当时，过点P作直线l⊥x轴，点M在直线l上，在平面内是否存在点N，使点A，C，M，N为顶点的四边形是以为边的矩形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)点D的坐标为 (2) (3)当时，，；当时，， 【分析】（1）根据非负数的性质求出，，则，，设，根据勾股定理得出，求出，则，然后根据平行四边形的性质求解即可； （2）分点P在上，点P在上讨论，根据三角形的面积公式求解即可； （3）分点P在上，点P在上讨论，根据等边三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质、平移的性质等知识求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， 设， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴点D的坐标为； （2）解：当点P在上时，，如图，此时， ∴； 当点P在上时，，如图，此时， ∵，， ∴， ∴； 综上，； （3）解：取中点E，连接， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 当时，， 解得， ∴， 当M在上方时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴A向右平移1个单位，再向上平移个单位得到， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴C向右平移1个单位，再向上平移个单位得到， ∴； 当M在下方时， 同理可求； 当时，， 解得， ∴， 当M在x轴上方时，过作于H， 则，， ∴， ∴， ∴， ∴A向左平移个单位，再向下平移个单位得到， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴C向左平移个单位，再向下平移个单位得到， ∴， 当M在x轴下方时， 同理可求， 综上，当时，，；当时，，． 【经典例题二 根据矩形的性质和判定解决问题】 1．（25-26八年级下·辽宁阜新·期末）如图，在四边形中，，，，，点E、F分别是、的中点，连接、，则线段的长是（    ） A． B． C． D．8 【答案】A 【分析】连接，证明四边形是矩形，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，进而证明是等边三角形，再证明四边形是平行四边形，得到，根据等边对等角的性质，得出，进而推出，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， ，点F是的中点， ， ，， 四边形是矩形， ， E是的中点， ， ， 是等边三角形， ，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ， , 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的斜边中线，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键． 2．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，在四边形中，，相交于点O，且，动点E从点B开始，沿四边形的边运动至点D停止，与相交于点N，点F是线段的中点．连接，下列结论中：①四边形是矩形；②当时，点E是的中点；③当，时，线段长度的最大值为2；其中正确的有（   ）个 A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】由对角线互相平分且相等的四边形是矩形证明四边形是矩形，即可判断①；可证明是中位线，，而点E可以在上，也可以在上，据此可判断②；根据，则有最大值时，有最大值，则点E与点D重合时，的最大值为4，则长度的最大值为2，据此可判断③． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴四边形是矩形，故①正确； 当点E在上时， ∵分别是的中点， ∴是中位线， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴点是的中点； 当点E在上时，同理可得，但此时点不是的中点，故②错误； 由②可知，， ∵点E沿四边形的边运动至点停止，且， ∴的最大值为4，此时点E与点D重合， ∴的最大值为2，故③正确； 综上，正确的有①③，共2个． 3．（25-26八年级下·河北保定·期末）如图，一面长方形墙壁因年久失修，墙上只残留5块形状大小一样的长方形瓷砖（空白部分），其中，，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】47 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，设每块长方形瓷砖的长为x，宽为y，根据图形可得1个长加上3个宽等于13，一个长加上一个宽等于9，据此建立方程组求解，再求得每块长方形瓷砖的面积后即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：设每块长方形瓷砖的长为x，宽为y， 由题意得：， 解得：， ∴图中每块长方形瓷砖的面积为， ∴图中阴影部分的面积为， 故答案为：47． 4．（23-24八年级下·安徽池州·期末）在矩形ABCD中，AB=4，BC=3．若点P是CD上任意一点，如图①，PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F． (1)猜想PE和PF之间有怎样的数量关系？写出你的理由． (2)当点P是AD上任意一点时，如图②，猜想PE和PF之间的数量关系 (3)当点P是DC上任意一点时，如图③，猜想PE和PF之间有怎样的数量关系？写出推理过程． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）连接，设点到的距离为，利用勾股定理求出，由等面积法求出得，由建立等式再化简即可得到； （2）连接，设点到的距离为，由（1）得，同样利用等面积法，即，即可求解； （3）连接、，由，建立等式，进行化简整理即可求解． 【详解】（1）解：连接，如图1， 设点到的距离为． 在中，， 由，得． 四边形是矩形， ， 由，得， ， 化简得， （2）解：，理由见解析， 连接，如下图： 设点到的距离为， 由（1）得， ， ， ， 故答案为：． （3）解：，理由如下： 连接、，如图． 由， ， 化简得，即． 【点睛】本题考查了矩形的性质，解题的关键是能够根据两种方法表示图形面积，利用等面积法求解． 【经典例题三 判断四边形的形状并证明】 1．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）在中，，，的平分线交于点，再分别作其他三个内角的平分线两两相交，构成如图的四边形，则四边形的形状是（） A．任意四边形 B．正方形 C．平行四边形 D．矩形 【答案】D 【分析】由四边形是平行四边形，得，，则有，，根据角平分线定义可得，，所以，则，即，同理，证明四边形是平行四边形，然后通过平行线的性质和角平分线定义可得，则有，从而求解． 【详解】解：如图， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，即， 同理， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 2．（2026·八年级下 安徽池州）如图，在平行四边形中，E，F分别为边，的中点，是对角线，下列说法错误的是（   ） A．当时，四边形是菱形 B．当时，四边形是菱形 C．当时，四边形是矩形 D．当平分时，四边形是矩形 【答案】A 【分析】根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ∵分别为边的中点， ， ， ∴四边形是平行四边形， 当时，不能得到，故不能判定四边形是菱形，即 A 选项符合题意， 当时，， ∴四边形是菱形，即 B 选项不符合题意， 当时，， ， ∴四边形是矩形，即C选项不符合题意， 当平分时，如图，延长交于点， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴四边形是矩形，即D选项不符合题意． 3．（25-26八年级下·北京·课后作业）如图，平行四边形中，过A作于M，交于E，过C作于N，交于F，连接，那么： ①； ②四边形是平行四边形； ③当时，四边形是菱形； ④当M、N分别是中点时，四边形是正方形． 则下列结论中正确的有 _______________． 【答案】①②③ 【分析】根据全等三角形判定定理，平行四边形判定定理，菱形，矩形，正方形判定定理逐项判定即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，故②正确； 连接，如图： 当时，四边形是菱形， ∴，即， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形，故③正确； ∵， ∴， ∴四边形是矩形， 当M、N分别是中点时，不能证明两边相等，如图： 故④错误； ∴正确的有①②③． 4．（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，在四边形中，，E、F、G、H分别为、、、的中点，顺次连接E、G、F、H． (1)猜想四边形是什么特殊的四边形，并说明理由； (2)当与满足什么关系时，四边形为正方形，并说明理由． 【答案】(1)菱形，理由见解析 (2)当时，四边形为正方形；理由见解析 【分析】（1）根据三角形中位线的性质得到，，，，，进而得到，，即可得四边形是平行四边形，又由得，即可得到四边形是菱形； （2）根据平行线的性质得到，，根据平角的定义，得到，根据正方形的判定即可得到结论． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： 由条件可知、、分别为、、的中位线， ∴，，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）解：当时，四边形为正方形．理由如下： 由（1）同理可证， ∴， ∵， ∴， 由条件可知， ∴， ∴菱形是正方形． 【经典例题四 折叠问题】 1．（25-26八年级下·山西大同·期中）如图，在矩形中，，，将矩形沿对角线折叠，点C落在点处，交于点E，则的长为（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】由题意易得，由折叠的性质可知：，，然后可得，则有，设，则有，由勾股定理可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴， 由折叠的性质可知：，， ∵， ∴， ∴， 设，则有， ∴在中，由勾股定理可得， 解得：． 2．（2026·八年级下 河南周口）如图，正方形中，是边上一点且，是的中点，将沿翻折得到，延长交边于点，作的平分线，交的延长线于点，若、、三点共线，则该正方形的边长为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】设正方形的边长为，过点作交的延长线于点，得矩形，矩形，证明，得，然后利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：四边形是正方形，设正方形的边长为 ，， 如图，过点作交的延长线于点，连接， 则四边形，是矩形， ，， 由折叠可知：，， ， 平分， ， ， ， 是边的中点， ， 由折叠可知：，， ， ， ， 在中，根据勾股定理得：， ， 或（舍去）． ∴该正方形的边长为． 3．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）长方形纸条，若，按如图方式折叠，点在同一条直线上．若四边形的面积记为S1，四边形的面积记为S2，则的最大值为________． 【答案】 【分析】本题可先根据折叠的性质得到相关线段和角的关系，得到四边形是平行四边形，进而可知用表示出四边形的面积，再用 表示出，根据函数取值关系求出最值即可； 【详解】解： 由折叠可知， 在矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， 由题和折叠可知：， 即， 化简为： 要想最大值，那么取最小值，即最小 ∵两平行线之间的垂直距离最短， ∴的最小值为5， ∴的最大值为， 故答案为：25. 4．（25-26八年级下·河北保定·月考）综合与实践 【引入】纸飞机是一种普遍的娱乐活动，下面给出了一种简单的纸飞机的叠法． 【操作】①对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平，如图1；②按图2的方式沿、折叠使点、均落在上的点处； ③再按图3的方式沿、折叠，使、均落在上； ④得到图4，、均与点重合；沿折叠，再把两个翅膀打开，即可完成． 【探究】 (1)求图3中的度数； (2)求图4中的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查折叠的性质和正方形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由折叠的性质和正方形的性质得到进而求出，即可求出的度数； （2）由折叠的性质可知，先求出，进而求出，最后利用邻补角即可求出的度数． 【详解】（1）解：由折叠可知， ， ， ， ； （2）解：由折叠知，， ， ， ， ， ． 【经典例题五 根据菱形的性质和判定解决问题】 1．（24-25八年级下·浙江湖州·期末）如图，E，F分别是的边，上的点，连结，，是点B关于的对称点，是点D关于的对称点，已知，都在对角线上，且．记的度数是，的度数是，则与满足的关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接、，由垂直平分，垂直平分，得，，则，，由平行四边形的性质得，，则，所以，则，而，可证明四边形是菱形，则，所以，则，由，且，，得，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接、， ∵是点B关于的对称点，是点D关于的对称点， 垂直平分，垂直平分， ，， ∵，都在对角线上， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， ， ， ，且，， ， 故选：D． 【点睛】此题重点考查平行四边形的判定与性质、轴对称的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 2．（25-26八年级下·浙江·期中）在中，为对角线的交点，动点沿边匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为的长为y，y与的函数图象如图所示，则下列两个命题中说法正确的是（   ） 命题①：为菱形． 命题②：当点运动到中点时，的长为2． A．①正确，②正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①错误，②错误 【答案】A 【分析】根据题意得当P在上时，的最小值是O到的距离的平方；当P在上时，的最小值是O到的距离的平方，且，据此作出图像，证明可得，根据平行四边形的性质结合等腰三角形的性质可得，则为菱形，根据勾股定理求出的值，再在通过面积法表示出，最后通过勾股定理和直角三角形中斜边的中线的性质即可求解． 【详解】解：由函数图象可得，当P在上时，的最小值是O到的距离的平方；当P在上时，的最小值是O到的距离的平方，且， ∴当时，此时，如下图： ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，故①正确， ∵四边形是菱形， ∴对角线，即． 在中，，， 由勾股定理得：， ∵在菱形中，且， 设，则的面积可表示为：， ∴， ∴， 又由勾股定理，，代入得， ， ， ， 解得（舍去）， ∴， ∵是中点，且， ∴，故②正确． 综上所述，命题①和②都正确， 故选A． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用、菱形的判定和性质、等腰三角形的性质、平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质，作出正确的图形是解决本题的关键． 3．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，已知线段，分别以点为圆心，以为半径画弧，两弧相交于点，连接，则四边形的面积为___________． 【答案】 【分析】本题考查了无刻度直尺作图、勾股定理、菱形的判定与性质等知识点，掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 如图：连接，根据作图可知，再根据菱形的性质可得，，，再由勾股定理求出，，再根据菱形的性质求面积即可． 【详解】解：如图：连接， 根据作图可知，， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴四边形的面积为． 故答案为：． 4．（25-26八年级下·重庆·周测）如图，矩形的对角线与相交于点O，，直线是线段的垂直平分线，分别交，于点F，G，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)当时，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质及勾股定理，解题关键是利用矩形对角线性质、垂直平分线性质推出四边形的边的关系，结合特殊三角形性质与勾股定理计算进而求出面积． （1）由矩形性质得，结合、是的垂直平分线，证得，再由垂直平分线性质得、，推出，判定四边形是菱形． （2）由矩形及垂直平分线性质得是等边三角形，推出，结合，用勾股定理求出；再由菱形性质得，结合中角的性质求出，最后用菱形面积公式计算面积． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： ， ， 是线段的垂直平分线， ， 在和中， ， ， ， 又， ， 四边形是菱形． （2）解：四边形为矩形， ， 是线段的垂直平分线， ， ， 为等边三角形， ， ， ， 在中，， 由勾股定理得：， 即 ， 解得 ， ， 四边形是菱形， ， 在中， ， ， ． 【经典例题六 中点四边形】 1．（25-26八年级下·江苏南京·阶段检测）如图，在四边形中，、、、分别是线段、、、的中点，要使四边形是矩形，需添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形中位线定理可得且，且，且，且，易证四边形为平行四边形，再由矩形的判定，即可求解． 【详解】解：、、、分别是线段、、、的中点， ∴在中，为的中位线， 且；同理且，且，且， 则且，且， ∴四边形为平行四边形， 要使四边形是矩形，则需，即， ，， 当时，，此时四边形是矩形． 2．（25-26八年级下·湖北武汉·月考）如图，长方形中，，顺次连接各边中点，得到四边形，顺次连接各边中点，得到四边形，以此类推，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据勾股定理求出，再根据三角形中位线的性质可得，观察图形找出变化规律，即可求解． 【详解】解：如图，连接． 矩形中，，， ， 分别是和的中点， ， 以此类推，，， …… ， ． 3．（25-26八年级下·广东梅州·期中）在四边形中，对角线，若，，则四边形各边中点连线构成的四边形的面积是______． 【答案】12 【分析】本题考查中点四边形，三角形中位线定理，矩形的判定，关键是由三角形中位线定理判定四边形是矩形． 根据三角形中位线定理得到，，，，，，根据矩形的判定和性质计算即可． 【详解】解：，F分别是，的中点， 是的中位线， ，， 同理：，， ，， 四边形是平行四边形， ，G分别是，的中点， 是的中位线， ，， ，， ， 四边形是矩形， 四边形的面积为：， 故答案为：． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）小明数学成绩优秀，他平时善于总结，并把总结出的结果灵活运用到做题中是他成功的经验之一，例如，总结出“依次连接任意一个四边形各边中点所得四边形（即原四边形的中点四边形）一定是平行四边形”后，他想到曾经做过的这样一道题：如图1，点 是线段的中点，分别以和为边在线段的同侧作等边三角形和等边三角形，连接和，他想到了四边形的中点四边形一定是菱形．于是，他又进一步探究：如图2，若是线段上任一点，在的同侧作和，使，，，连接，设点，，，分别是，，，的中点，顺次连接，，，．请你接着往下解决三个问题： (1)四边形的中点四边形的形状为 ； (2)当点在线段的上方时，如图3，在的外部作和，其他条件不变，（1）中结论还成立吗？说明理由； (3)如果（2）中，，其他条件不变，先补全图4，再判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)菱形 (2)成立，见解析 (3)四边形是正方形，见解析 【分析】（1）先根据是等边三角形，可得，进而，然后利用三角形中位线定理可得，即四边形是菱形； （2）先根据是等边三角形，可得，进而，然后利用三角形中位线定理可得，即四边形是菱形； （3）通过论证，进而得到菱形是正方形． 【详解】（1）解：连接、， ∵是等边三角形， ，， ， ， ， ， 、、、分别是、、、的中点， 、、、分别是、、、的中位线， 、、，， ， 四边形是菱形； 故答案为：菱形； （2）答：成立，理由： 连接、， ∵是等边三角形 ，， ， ， ， ， 、、、分别是、、、的中点， 、、、分别、、、的中位线， 、、，， ， 四边形是菱形． （3）答：如图，四边形是正方形，理由： 连接、， （2）中已证， ， ， ， ， ， ． （2）中已证、分别是、的中位线， ，， ， （2）中已证四边是菱形， 菱形是正方形． 【经典例题七 求正方形重叠部分面积】 1．（24-25八年级下·河南南阳·期末）如图所示：正方形的对角线相交于点O，点O又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长相等，若正方形的边长为4，则两个正方形重叠部分的面积为（    ） A．16 B．8 C．4 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握相关知识点是解题关键．过点作，，和的交点为，和的交点为，根据正方形的性质可证，四边形是正方形，得到，再证明，得到，从而得出两个正方形重叠部分的面积，即可得解． 【详解】解：如图，过点作，，和的交点为，和的交点为， ， 四边形和是正方形， ，，， 四边形是矩形， ，，，， ，， 四边形是正方形， ，， ，即， 又，， ， ， 两个正方形重叠部分的面积， 故选：C． 2．（25-26八年级下·北京·期中）已知正方形和正方形边长相等，如图1，点，，，均在直线上，若正方形可沿平移．设长为，两个正方形重叠部分的面积为，关于的函数图象如图2所示．给出下面三个结论： ①正方形的对角线长为； ②当时，重叠面积 ③函数图象的最高点的坐标为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】由正方形的性质，结合函数图象，分析正方形平移过程中，两个正方形重叠部分的变化，用对角线表示正方形的面积，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解： 由图可知，当及时，， ∴两个正方形对角线长之和， ∴正方形的对角线长为，故①正确符合题意； ∵两个正方形边长相同， ∴， 设正方形边长为，则， 解得， ∴正方形的边长为， 当时，重叠部分是对角线长为的正方形， ∴， 当时，取得最大值，此时两正方形重合， ∴， ∴函数图象的最高点坐标为， ∴③正确，符合题意； 当时，重叠部分是对角线长为的正方形， ∴， 当时，， ∴②正确，符合题意． 3．（25-26八年级下·浙江温州·期中）如图，将面积为2和8的两个小正方形放到一个面积为16的大正方形中，两个小正方形的重叠部分（阴影部分）面积为______． 【答案】/ 【分析】先求出三个正方形的边长，再将面积为2的小正方形分成阴影部分和剩余空白部分的面积，据此求解即可． 【详解】解：由题意可知，大正方形的边长为， 面积为8的小正方形边长为，面积为2的小正方形边长为， ． 4．（25-26八年级下·江苏南京·期中）阅读下列材料： 小明同学遇到了这样一个问题：如图1，是边长为的正方形内一定点，请在图中画出两条直线（要求其中一条直线必须过点），使它们将正方形的面积分割成面积相等的四个部分． 小明是这样思考的：数学课曾经做过一道类似的题目．如图2，是边长为的正方形的中心，将以点为顶点的直角绕点任意旋转，且直角两边与，相交，与正方形重叠部分（即阴影部分）的面积为一个确定的值，可以类比此问题解决． (1)请你回答图2中重叠部分（即阴影部分）的面积为______； (2)请你在图3中，解决原问题（写出必要说明）； (3)如图4．在四边形中，，，点是的中点，如果，，且，那么在边上存在一点，使所在直线将四边形的面积分成相等的两部分，请你画出该直线，（写出必要说明）． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据正方形的性质得到、，由余角的性质得到，进而证明，从而得到重叠部分的面积为，据此求解即可； （2）连接、交于点，作直线，与正方形的边交于点P、H，过点作的垂线，与正方形的边交于点N，F，则直线和直线将正方形的面积分割成面积相等的四个部分； （3）连接并延长交的延长线于点F，过点F作的平行线，交的延长线于点E，在上取点Q，使，作直线，交直线于点M，则直线将四边形的面积分成相等的两部分． 【详解】（1）解：连接， 是边长为的正方形的中心， 、、， 、， ， 在和中， ， ， 重叠部分的面积为； （2）解：如图3所示，连接、交于点，作直线，与正方形的边交于点P、H，过点作的垂线，与正方形的边交于点N，F，直线和直线即为所求， 证明：由（1）的结论易证得， 是边长为的正方形的中心， ， ， 同理得：、、， 直线和直线将正方形的面积分割成面积相等的四个部分； （3）解：如图4所示，连接并延长交的延长线于点F，过点F作的平行线，交的延长线于点E，在上取点Q，使，作直线，交直线于点M， 证明：由作图可知，、、， ， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， 、， 、， 四边形是平行四边形， 点是平行四边形的对角线的交点， ， ， 在和中， ， ， 、， ， 当时，将四边形面积二等分． 【经典例题八 根据正方形的性质与判定解决相关问题】 1．（25-26八年级下·山东德州·期中）如图，四边形和是两个不全等的正方形，连接交于，如果面积为，则面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接、，由正方形的性质可得，，则，，结合等量代换可得． 【详解】解：如图，连接、， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 2．（25-26八年级下·甘肃酒泉·月考）如图，正方形的边长为，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出四种情况：若为的中点，则四边形是正方形；若为上任意一点，则；点在运动过程中，的值为定值；点在运动过程中，线段的最小值为．其中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先证明四边形是矩形，再证明，则四边形是正方形，即可判定正确；连接，由四边形是矩形，得，再证明，得，则，即可判定正确；证明，，从而得，即可判定正确；根据，所以当最小时，最小，所以当时，最小， ，求得，即得线段的最小值为，即可判定正确． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形，， ， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴四边形是正方形，故正确； 连接， ∵四边形是矩形， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，即的值为定值，故正确； ∵， ∴当最小时，最小， ∴当时，最小,在中，， ∵， ∴， ∴， ∴线段的最小值为，故正确； ∴正确的有， 故选：． 【点睛】此题考查了正方形的判定与性质，垂线段最短，三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握正方形的判定与性质、矩形的判定与性质是解题的关键． 3．（23-24·八年级下 江苏南京）如图，在正方形ABCD中，E、F、G、H分别是DA、AB、BC、CD上靠近A、B、C、D的四等分点，I、J、K、L分别是EF、FG、GH、HE上靠近E、F、G、H的四等分点，则 ＝_____． 【答案】 【分析】先证得△AEF≌△DHE≌△CGH≌△BFG与△FJI≌△EIL≌△HLK≌△GKJ，再设正方形ABCD的边长为a，再根据勾股定理求出IJ，进而得到面积比． 【详解】∵正方形ABCD． ∴AB=AD=CD，∠A=∠D=90°． ∵E、F、H分别是DA、AB、CD上靠近A、B、D的四等分点． ∴AF=AB=AD=ED，AE=AD=DC=DH． ∴△AEF≌△DHE（SAS）． 同理可得△AEF≌△DHE≌△CGH≌△BFG． ∴四边形IJKL为正方形． 同理△FJI≌△EIL≌△HLK≌△GKJ． 设正方形ABCD的边长为a，则AE=，AF=，故FE=． ∴IF=FE=,FJ=FG=FE=，故IJ=． ∴． 故填． 【点睛】本题考查全等三角形的性质与证明，正方形的基本性质，熟练掌握基本性质是解题关键． 4．（25-26八年级下·广西贵港·期中）如图1，点为正方形内一点，，将绕点沿顺时针方向旋转，得到（点B的对应点为点D），延长交于点F，连接． (1)四边形是_____（填：平行四边形、矩形、正方形中最合适的一个）； (2)如图2，若，猜想线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)正方形 (2)猜想，证明见解析 【分析】（1）由旋转的性质可得，再证明，则可证明四边形是正方形； （2）连接，证明，得到，设，则，则可求出，由旋转的性质可得，则可证明，进一步证明是等腰直角三角形，即可得到． 【详解】（1）解：由旋转的性质可得， 又∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴矩形是正方形； （2）解：猜想，证明如下： 如图所示，连接， ∵四边形是正方形， ∴； ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴ ， ∴， 由旋转的性质可得， ∴； ∵四边形是正方形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 【经典例题九 平行四边形的动点问题】 1．（2025·八年级下 浙江绍兴）如图，矩形的边，，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】过点G作于H，过点G作，由“”可证，可得，可得点G在平行且到距离为1的直线上运动，则当F与D重合时，有最小值，即可求解． 【详解】解：如图，过点G作于H，过点G作， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点G在平行且到距离为1的直线上运动， ∴当F与D重合时，有最小值，此时， ∴的最小值， 故选：B． 【点睛】本题考查了（特殊）平行四边形的动点问题，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，确定点G的运动轨迹是解题关键． 2．（24-25八年级下·安徽六安·期末）如图，在矩形纸片中，，，点E，F分别在边上．将矩形纸片沿直线折叠，使点B落在边上，记为点M，点C落在点N处，连接交于点P，连接．下列结论：①四边形是菱形；②点M与点D重合时，；③面积的最小值是；④中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】证明，，可判断①；点M与点D重合时，设，则，在中，根据勾股定理可得，再根据勾股定理以及菱形的性质可得的长，可判断②；根据题意可得当经过点时，最短，此时四边形的面积最小，四边形为正方形，可判断③；无法判断和全等，故无法判断与相等，可判断④． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴，， 有折叠的性质得：，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，故①正确； 点M与点D重合时，如图： 设，则， 在中，， ∴，解得：， ∴， ∵，四边形是菱形， ∴， ∴， ∴，故②正确； 如图，当经过点时，最短，此时四边形的面积最小，四边形为正方形， 此时，故③正确； 在和中，， 根据题意找不到其他的条件相等，则无法判断和全等，故无法判断与相等，所以④错误； 故选：A 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 3．（24-25八年级下·天津南开·月考）如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发，沿射线以每秒个单位的速度运动，动点同时从点出发，在线段上以每秒个单位的速度向终点运动，当动点到达点时，动点也同时停止运动．设点的运动时间为（秒）．以点为顶点的四边形是平行四边形时值为_____秒． 【答案】或 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，一元一次方程的应用，分两种情况：①当四边形为平行四边形时，②当四边形为平行四边形时，分别结合平行四边形的性质，列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵，动点同时从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向终点运动， ∴运动时间为（秒） ∵，动点从点出发，沿射线以每秒个单位的速度运动， 到达的时间为（秒）， ∴当在点以及点的左边时，即时， 则， 当在的右边时，即时， 则， 以点为顶点的四边形是平行四边形时， ①当四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得：； ②当四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得， 综合上述，当或时，以点为顶点的四边形是平行四边形． 故答案为：或． 4．（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是菱形，点的坐标为，点在轴的负半轴上，直线交轴于点，边交轴于点． (1)如图①，①直接写出点的坐标 ；②求直线的解析式； (2)如图②，连接，动点从出发，沿折线以个单位/秒的速度向终点匀速运动，设点 的运动时间为秒，求为何值时，的面积为？ 【答案】(1)①；②直线表达式为 (2)当的值为或时，的面积为 【分析】（1）由勾股定理得出的长度，即为菱形的边长，可得点坐标，结合点、的坐标，采用待定系数法求解函数表达式即可； （2）先根据菱形的性质，证明，即，，由（1）中所求直线表达式得出点的坐标，对点位置进行分类讨论，分别由面积公式或求解出的值即可． 【详解】（1）解：∵点的坐标为， ∴，， 由勾股定理得， ∵四边形是菱形， ∴， ∴点的坐标为， 令直线表达式为， 将点、代入， 得，解得， ∴直线表达式为． （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴，， 对于直线． 当时，， ∴， 当点在上运动时， ，， ∴， 当时，即， 解得； 当点在上运动时， ，， ∴， 当时，即， 解得； 综上，当的值为或时，的面积为． 【经典例题十 四边形中的线段最值问题】 1．（25-26八年级下·全国·单元测试）如图，在矩形中，，，P是上一动点，交于点Q，M是上一个动点，交于点N，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】设交于点F，连接，四边形、四边形是矩形，推出，，推出，由，即可解决问题． 【详解】解：设交于点F，连接， 四边形是矩形，，， 四边形、四边形是矩形， ，， ， ，， 的最小值为5， 的最小值为5． 2．（2026·八年级下 安徽阜阳）如图，在中，，是的中点，是上一个动点，过点分别作、，垂足分别为、，与交于点，连接，，，，下列结论错误的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为4 C．的最小值为 D．的最小值为6 【答案】D 【分析】由 ，，，得四边形 是矩形，对角线 与 交于中点 ；对选项A，由矩形性质得 ，从而 ，利用点到直线距离最短求 的最小值；对选项B，连接 ，由 ， 为 中点，得 为等腰直角三角形，，，；在 中 ，，得 ；同理 ；进而利用 ，， 证明 ，得 ；再利用点到直线距离最短求 的最小值；对选项C， 是 的中点，而 各边中点连成的中位线 平行于 且过 中点，故 在中位线 上；作 关于 的对称点 ，则 ，当 、、 共线时取等，利用 及勾股定理求 ；对选项D，由 得 ，从而 为定值，与 的位置无关． 【详解】解：，，， 四边形 是矩形， 与 互相平分，即 是 的中点，， ， 到直线 的距离最短时，， 此时 ， 的最小值为 ，选项A正确； 如图，连接，则， 在中，，， ，， ， ． 当时，有最小值， 在中，， 最小值为2，则的最小值为4，故选项B正确； 如图2，在中，， 是的中点， 点位于的中位线上． ， 作点关于直线的对称点，则， 当点，，共线时，有最小值，此时， 在中，，故选项C正确； ， ， ，故选项D错误． 3．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）如图，在正方形与正方形中，，．连接，为的中点，连接．正方形绕着点旋转过程中，的最小值是_____． 【答案】 【分析】延长至点，使得，连接、，根据中位线的性质得到，将的最小值问题转化为的最小值问题，利用勾股定理可得的长，当点、、三点共线时，且点在线段上时，取最小值，最小值为，即可得解． 【详解】解：如图，延长至点，使得，连接、， 为的中点，为的中点， 是的中位线， ，故要求的最小值，即需求的最小值即可， 四边形是正方形， ，， ， ，为定值， 当点、、三点共线时，且点在线段上时，取最小值，最小值为， 的最小值是． 4．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，矩形对角线交于O点，分别过D，C作，的平行线交于点E． (1)如图1，若，求的大小； (2)如图2，连接；作于点F，若，，求的长； (3)如图3，若，连接，在上画点G，在上画点H，使，连，，当的和最小，且最小值为时，直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据矩形的性质，结合，判定四边形是菱形，再根据判定是等边三角形，即可求解； （2）设，交于点M，根据菱形的性质，勾股定理，菱形的面积表示，求解即可； （3）将线段绕点E顺时针旋转得到，连接，证明，得到，当C，H，N三点共线时，取得最小值，且最小值为，再结合勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形对角线交于O点，分别过D，C作，的平行线交于点E． ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （2）解：连接；设，交于点M， 根据（1）的解答可知，四边形是菱形， ∴，且，， ∴， ∵于点F， ∴， ∴； （3）解：如图，将线段绕点E顺时针旋转得到，连接， ∵矩形对角线交于O点，分别过D，C作，的平行线交于点E． ∴，， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴当C，H，N三点共线时，取得最小值，且最小值为， ∵的和最小，且最小值为， ∴， 根据勾股定理，得， ∴， 解得（负的舍去）， ∴， ∴； 【经典例题十一 四边形其他综合问题】 1．（23-24八年级下·甘肃武威·期中）如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，且，．下列四种说法：    ①四边形是平行四边形； ②如果，那么四边形是矩形 ③如果平分，那么四边形是菱形； ④如果，且，那么四边形是正方形． 其中，正确的有（    ） A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】此题考查了平行四边形的定义，菱形、矩形、正方形的判定，先由两组对边分别平行的四边形为平行四边形得出为平行四边形，得出①正确；当，根据推出的平行四边形，利用有一个角为直角的平行四边形为矩形可得出②正确；若平分，得到一对角相等，再根据两直线平行内错角相等又得到一对角相等，等量代换可得，利用等角对等边可得一组邻边相等，根据邻边相等的平行四边形为菱形可得出③正确；由，，根据等腰三角形的三线合一可得平分，同理可得四边形是菱形，但不一定为直角，④不一定正确． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形，选项①正确； 若， 平行四边形为矩形，选项②正确； 若平分， ， 又， ， ， ， 平行四边形为菱形，选项③正确； 若，， 平分， 同理可得平行四边形为菱形，但不一定为直角，故菱形不一定为正方形；选项④错误， 则其中正确的是①②③． 故选：C． 2．（23-24八年级下·湖北武汉·月考）如图，P是正方形的边右侧一点，，为锐角，连，的平分线交于Q点，过点B作交延长线于点E，连接，则以下结论：①；②；③；④若点D为中点，，则四边形的面积为，其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】解：①根据题意可得，则，，设，，，根据，即可判断①；过点C作于点H， 先根据，得出，进而推出，再证明，得出，即可判断②；③连接，证明，得出，，则，根据，，得出，则，最后通过，得出，即可判断③；过点E作于点N，易得，进而得出，根据梯形面积公式，求出四边形的面积即可判断④． 【详解】解：①∵四边形为正方形，， ∴， ∴，， 设， 在中，， 在中，， ∴， 故①正确，符合题意； ②过点C作于点H， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故②正确，符合题意； ③连接， ∵， ∴， ∴， ∴，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故③正确，符合题意； ④过点E作于点N， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴点N为中点，则， ∵， ∴， ∵点为中点， ∴， ∴， ∴四边形的面积， 故④不正确，不符合题意， 综上：正确的有①②③， 故选：A． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是正确画出辅助线，构造全等三角形． 3．（23-24八年级下·四川德阳·期中）如图，将等边沿翻折得，连接交于点，，点为直线上的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转的角度后得到对应的线段（即），交于点，则下列结论：①；②；③当为线段的中点时，则；④四边形的面积为；⑤连接、，当的长度最小时，的面积为．则说法正确的是______．（只填写序号） 【答案】①②④⑤ 【分析】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，由题意可证四边形是菱形，可得，，可判断①②，由菱形的面积公式可求菱形的面积，可判断④，由“”可证，可得，可判断③，由“”可证，可得，则当上时，有最小值，由全等三角形的性质和面积关系可求的面积，可得判断⑤，即可求解． 【详解】解：将等边沿翻折得， ，， 四边形是菱形， ，，故①②正确； 四边形是菱形， ， ，， ，， 四边形的面积，故④正确； 将线段绕点顺时针旋转的角度后得到对应的线段， ，， ， 当为线段的中点，， ，，， ， 在和中， ， ， ， ，故③错误； 如图，连接，， ， ， 在和中， ， ， ， 当有最小值时，有最小值， 当时，有最小值， 如图，过点作，交的延长线于，过点作于， ，，是等边三角形， ，， ， ，， ， ，， ， ，故⑤正确， 故答案为：①②④⑤． 4．（25-26八年级下·福建泉州·期中）已知，如图点M为的边中点，点D为直线上一个动点（不与点A重合），，连接． (1)如图1，当点D与M重合时，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，当时，求证：四边形是矩形； (3)如图3，延长交边于点H，过点D作于点F，若，且，求证：四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）先判断出，进而判断出，即可得出结论； （2）过点M作交延长线于点G，先判断出四边形是平行四边形，借助（1）的结论即可得出四边形是平行四边形，结合，即可证明四边形是矩形； （3）取线段的中点I，连接，过点M作交延长线于点G，先判断出四边形是平行四边形，借助（1）的结论即可证明四边形是平行四边形；再证明四边形是矩形；判断出，，则是等腰直角三角形，进而得出，推出是等腰直角三角形，得到，即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵点M为中点，且D与M重合， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：如图2，过点M作交延长线于点G， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 由（1）同理可证：， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （3）解：如图3，取线段的中点I，连接，过点M作交于点G， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 由（1）同理可证：， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，即， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形； ∵， ∴是的中位线， ∴，， ∵，且， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.5 特殊平行四边形44道压轴题型专训（11大题型） 题型一 求矩形在坐标系中的坐标 题型二 根据矩形的性质和判定解决问题 题型三 判断四边形的形状并证明 题型四 折叠问题 题型五 根据菱形的性质和判定解决问题 题型六 中点四边形 题型七 求正方形重叠部分面积 题型八 根据正方形的性质与判定解决相关问题 题型九 平行四边形的动点问题 题型十 四边形中的线段最值问题 题型十一 四边形其他综合问题 【经典例题一 求矩形在坐标系中的坐标】 1．（25-26八年级下·重庆·月考）如图，已知四边形是矩形，点的坐标为，点为边上一点，连接，现将沿折叠，点落在轴上的点处，直线交轴于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，矩形的顶点和分别落在轴与轴的正半轴上，，．若直线经过矩形对角线的交点，则的值为（   ） A．5 B．2 C． D． 3．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段测试）如图，平面直角坐标系中，长方形，点，分别在轴，轴的正半轴上，，，，，分别交，于点，，且，则点坐标为______． 4．（25-26八年级下·黑龙江牡丹江·期中）如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴上，点A在y轴的正半轴上，线段，满足，且． (1)请直接写出点D的坐标； (2)动点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线向终点B运动，连接，设的面积为S，运动时间为t秒，求S和t之间的关系式，要求写出t的取值范围； (3)在（2）条件下，当时，过点P作直线l⊥x轴，点M在直线l上，在平面内是否存在点N，使点A，C，M，N为顶点的四边形是以为边的矩形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由． 【经典例题二 根据矩形的性质和判定解决问题】 1．（25-26八年级下·辽宁阜新·期末）如图，在四边形中，，，，，点E、F分别是、的中点，连接、，则线段的长是（    ） A． B． C． D．8 2．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，在四边形中，，相交于点O，且，动点E从点B开始，沿四边形的边运动至点D停止，与相交于点N，点F是线段的中点．连接，下列结论中：①四边形是矩形；②当时，点E是的中点；③当，时，线段长度的最大值为2；其中正确的有（   ）个 A．3 B．2 C．1 D．0 3．（25-26八年级下·河北保定·期末）如图，一面长方形墙壁因年久失修，墙上只残留5块形状大小一样的长方形瓷砖（空白部分），其中，，则图中阴影部分的面积为________． 4．（23-24八年级下·安徽池州·期末）在矩形ABCD中，AB=4，BC=3．若点P是CD上任意一点，如图①，PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F． (1)猜想PE和PF之间有怎样的数量关系？写出你的理由． (2)当点P是AD上任意一点时，如图②，猜想PE和PF之间的数量关系 (3)当点P是DC上任意一点时，如图③，猜想PE和PF之间有怎样的数量关系？写出推理过程． 【经典例题三 判断四边形的形状并证明】 1．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）在中，，，的平分线交于点，再分别作其他三个内角的平分线两两相交，构成如图的四边形，则四边形的形状是（） A．任意四边形 B．正方形 C．平行四边形 D．矩形 2．（2026·八年级下 安徽池州）如图，在平行四边形中，E，F分别为边，的中点，是对角线，下列说法错误的是（   ） A．当时，四边形是菱形 B．当时，四边形是菱形 C．当时，四边形是矩形 D．当平分时，四边形是矩形 3．（25-26八年级下·北京·课后作业）如图，平行四边形中，过A作于M，交于E，过C作于N，交于F，连接，那么： ①； ②四边形是平行四边形； ③当时，四边形是菱形； ④当M、N分别是中点时，四边形是正方形． 则下列结论中正确的有 _______________． 4．（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，在四边形中，，E、F、G、H分别为、、、的中点，顺次连接E、G、F、H． (1)猜想四边形是什么特殊的四边形，并说明理由； (2)当与满足什么关系时，四边形为正方形，并说明理由． 【经典例题四 折叠问题】 1．（25-26八年级下·山西大同·期中）如图，在矩形中，，，将矩形沿对角线折叠，点C落在点处，交于点E，则的长为（    ） A．3 B．4 C． D． 2．（2026·八年级下 河南周口）如图，正方形中，是边上一点且，是的中点，将沿翻折得到，延长交边于点，作的平分线，交的延长线于点，若、、三点共线，则该正方形的边长为（   ） A．2 B． C． D． 3．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）长方形纸条，若，按如图方式折叠，点在同一条直线上．若四边形的面积记为S1，四边形的面积记为S2，则的最大值为________． 4．（25-26八年级下·河北保定·月考）综合与实践 【引入】纸飞机是一种普遍的娱乐活动，下面给出了一种简单的纸飞机的叠法． 【操作】①对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平，如图1；②按图2的方式沿、折叠使点、均落在上的点处； ③再按图3的方式沿、折叠，使、均落在上； ④得到图4，、均与点重合；沿折叠，再把两个翅膀打开，即可完成． 【探究】 (1)求图3中的度数； (2)求图4中的度数． 【经典例题五 根据菱形的性质和判定解决问题】 1．（24-25八年级下·浙江湖州·期末）如图，E，F分别是的边，上的点，连结，，是点B关于的对称点，是点D关于的对称点，已知，都在对角线上，且．记的度数是，的度数是，则与满足的关系式是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·浙江·期中）在中，为对角线的交点，动点沿边匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为的长为y，y与的函数图象如图所示，则下列两个命题中说法正确的是（   ） 命题①：为菱形． 命题②：当点运动到中点时，的长为2． A．①正确，②正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①错误，②错误 3．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，已知线段，分别以点为圆心，以为半径画弧，两弧相交于点，连接，则四边形的面积为___________． 4．（25-26八年级下·重庆·周测）如图，矩形的对角线与相交于点O，，直线是线段的垂直平分线，分别交，于点F，G，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)当时，求四边形的面积． 【经典例题六 中点四边形】 1．（25-26八年级下·江苏南京·阶段检测）如图，在四边形中，、、、分别是线段、、、的中点，要使四边形是矩形，需添加的条件是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·湖北武汉·月考）如图，长方形中，，顺次连接各边中点，得到四边形，顺次连接各边中点，得到四边形，以此类推，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·广东梅州·期中）在四边形中，对角线，若，，则四边形各边中点连线构成的四边形的面积是______． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）小明数学成绩优秀，他平时善于总结，并把总结出的结果灵活运用到做题中是他成功的经验之一，例如，总结出“依次连接任意一个四边形各边中点所得四边形（即原四边形的中点四边形）一定是平行四边形”后，他想到曾经做过的这样一道题：如图1，点 是线段的中点，分别以和为边在线段的同侧作等边三角形和等边三角形，连接和，他想到了四边形的中点四边形一定是菱形．于是，他又进一步探究：如图2，若是线段上任一点，在的同侧作和，使，，，连接，设点，，，分别是，，，的中点，顺次连接，，，．请你接着往下解决三个问题： (1)四边形的中点四边形的形状为 ； (2)当点在线段的上方时，如图3，在的外部作和，其他条件不变，（1）中结论还成立吗？说明理由； (3)如果（2）中，，其他条件不变，先补全图4，再判断四边形的形状，并说明理由． 【经典例题七 求正方形重叠部分面积】 1．（24-25八年级下·河南南阳·期末）如图所示：正方形的对角线相交于点O，点O又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长相等，若正方形的边长为4，则两个正方形重叠部分的面积为（    ） A．16 B．8 C．4 D．1 2．（25-26八年级下·北京·期中）已知正方形和正方形边长相等，如图1，点，，，均在直线上，若正方形可沿平移．设长为，两个正方形重叠部分的面积为，关于的函数图象如图2所示．给出下面三个结论： ①正方形的对角线长为； ②当时，重叠面积 ③函数图象的最高点的坐标为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 3．（25-26八年级下·浙江温州·期中）如图，将面积为2和8的两个小正方形放到一个面积为16的大正方形中，两个小正方形的重叠部分（阴影部分）面积为______． 4．（25-26八年级下·江苏南京·期中）阅读下列材料： 小明同学遇到了这样一个问题：如图1，是边长为的正方形内一定点，请在图中画出两条直线（要求其中一条直线必须过点），使它们将正方形的面积分割成面积相等的四个部分． 小明是这样思考的：数学课曾经做过一道类似的题目．如图2，是边长为的正方形的中心，将以点为顶点的直角绕点任意旋转，且直角两边与，相交，与正方形重叠部分（即阴影部分）的面积为一个确定的值，可以类比此问题解决． (1)请你回答图2中重叠部分（即阴影部分）的面积为______； (2)请你在图3中，解决原问题（写出必要说明）； (3)如图4．在四边形中，，，点是的中点，如果，，且，那么在边上存在一点，使所在直线将四边形的面积分成相等的两部分，请你画出该直线，（写出必要说明）． 【经典例题八 根据正方形的性质与判定解决相关问题】 1．（25-26八年级下·山东德州·期中）如图，四边形和是两个不全等的正方形，连接交于，如果面积为，则面积为（   ）． A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·甘肃酒泉·月考）如图，正方形的边长为，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出四种情况：若为的中点，则四边形是正方形；若为上任意一点，则；点在运动过程中，的值为定值；点在运动过程中，线段的最小值为．其中正确的有（    ） A． B． C． D． 3．（23-24·八年级下 江苏南京）如图，在正方形ABCD中，E、F、G、H分别是DA、AB、BC、CD上靠近A、B、C、D的四等分点，I、J、K、L分别是EF、FG、GH、HE上靠近E、F、G、H的四等分点，则 ＝_____． 4．（25-26八年级下·广西贵港·期中）如图1，点为正方形内一点，，将绕点沿顺时针方向旋转，得到（点B的对应点为点D），延长交于点F，连接． (1)四边形是_____（填：平行四边形、矩形、正方形中最合适的一个）； (2)如图2，若，猜想线段与的数量关系，并证明． 【经典例题九 平行四边形的动点问题】 1．（2025·八年级下 浙江绍兴）如图，矩形的边，，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 2．（24-25八年级下·安徽六安·期末）如图，在矩形纸片中，，，点E，F分别在边上．将矩形纸片沿直线折叠，使点B落在边上，记为点M，点C落在点N处，连接交于点P，连接．下列结论：①四边形是菱形；②点M与点D重合时，；③面积的最小值是；④中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 3．（24-25八年级下·天津南开·月考）如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发，沿射线以每秒个单位的速度运动，动点同时从点出发，在线段上以每秒个单位的速度向终点运动，当动点到达点时，动点也同时停止运动．设点的运动时间为（秒）．以点为顶点的四边形是平行四边形时值为_____秒． 4．（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是菱形，点的坐标为，点在轴的负半轴上，直线交轴于点，边交轴于点． (1)如图①，①直接写出点的坐标 ；②求直线的解析式； (2)如图②，连接，动点从出发，沿折线以个单位/秒的速度向终点匀速运动，设点 的运动时间为秒，求为何值时，的面积为？ 【经典例题十 四边形中的线段最值问题】 1．（25-26八年级下·全国·单元测试）如图，在矩形中，，，P是上一动点，交于点Q，M是上一个动点，交于点N，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．（2026·八年级下 安徽阜阳）如图，在中，，是的中点，是上一个动点，过点分别作、，垂足分别为、，与交于点，连接，，，，下列结论错误的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为4 C．的最小值为 D．的最小值为6 3．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）如图，在正方形与正方形中，，．连接，为的中点，连接．正方形绕着点旋转过程中，的最小值是_____． 4．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，矩形对角线交于O点，分别过D，C作，的平行线交于点E． (1)如图1，若，求的大小； (2)如图2，连接；作于点F，若，，求的长； (3)如图3，若，连接，在上画点G，在上画点H，使，连，，当的和最小，且最小值为时，直接写出的长． 【经典例题十一 四边形其他综合问题】 1．（23-24八年级下·甘肃武威·期中）如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，且，．下列四种说法：    ①四边形是平行四边形； ②如果，那么四边形是矩形 ③如果平分，那么四边形是菱形； ④如果，且，那么四边形是正方形． 其中，正确的有（    ） A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②③④ 2．（23-24八年级下·湖北武汉·月考）如图，P是正方形的边右侧一点，，为锐角，连，的平分线交于Q点，过点B作交延长线于点E，连接，则以下结论：①；②；③；④若点D为中点，，则四边形的面积为，其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 3．（23-24八年级下·四川德阳·期中）如图，将等边沿翻折得，连接交于点，，点为直线上的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转的角度后得到对应的线段（即），交于点，则下列结论：①；②；③当为线段的中点时，则；④四边形的面积为；⑤连接、，当的长度最小时，的面积为．则说法正确的是______．（只填写序号） 4．（25-26八年级下·福建泉州·期中）已知，如图点M为的边中点，点D为直线上一个动点（不与点A重合），，连接． (1)如图1，当点D与M重合时，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，当时，求证：四边形是矩形； (3)如图3，延长交边于点H，过点D作于点F，若，且，求证：四边形是正方形． 学科网（北京）股份有限公司 $