专题3.5 数据分析初步28道压轴题型专训（7大题型） -2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

专题3.5 数据分析初步28道压轴题型专训（7大题型） 题型一 已知平均数求未知数据的值 题型二 利用平均数和加权平均数求未知数据的值 题型三 运用平均数、加权平均数做决策 题型四 利用中位数和众数求未知数据的值 题型五 运用中位数、众数做决策 题型六 运用方差判断稳定性并作出决策 题型七 运用方差判断稳定性并作出决策 【经典例题一 已知平均数求未知数据的值】 1．（2025八年级下·四川·专题练习）在黑板上写连续自然数．1、2、3、4…擦掉一个，剩下的数的平均数为，擦去的数为（    ） A．22 B．27 C．30 D．35 2．（23-24八年级下·广东梅州）下列命题中错误的是（    ） A．一组数据4，5，x，7，9的平均数为6，则x为5 B．两直线平行，同旁内角互补 C．、、能作为直角三角形的三边长 D．估算的值在2和3之间 3．（24-25八年级下·河南郑州）【平均数】李老师在黑板上写上若干个从1开始的连续自然数1，2，3，……，后来擦掉其中的一个，剩下的数的平均数是，则擦掉的这个自然数是________． 4．（23-24八年级下·陕西西安·自主招生）（逻辑推理）6个人围成一圈，每人心里想一个数，并把这个数告诉左、右相邻的两个人．然后每个人把左、右相邻两个人告诉自己的数的平均数亮出来，如图所示．问：亮出数11的人原来心中想的数是多少？ 【经典例题二 利用平均数和加权平均数求未知数据的值】 1．（2023·八年级下 山东济南）编号为到的个小球分放在两个盒子和中，号小球在盒子中，把这个小球从盒子中移至盒子中，这时盒子中小球号码数的平均数增加了，中小球号码数的平均数也增加了，则原来在盒子中的小球个数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·浙江湖州）某学校举行了八年级学生演讲比赛，对参赛者的“内容”“表达”“逻辑”“台风”“互动”五个方面进行评分(各方面均为百分制)．已知小明五项得分的算术平均数为87分，若将“内容”“表达”“逻辑”“台风”“互动”五个方面评分的权重分别设为，，，，，则小明五项得分的加权平均数为86分．那么以下结论中，正确的是（   ） A．重新设置权重前，小明五项得分的总分是430分 B．重新设置权重前，小明的“内容”得分超过87分 C．重新设置权重前，小明的“内容”得分比“表达”得分高 D．重新设置权重前，小明的“内容”得分比“逻辑”得分高 3．（25-26八年级下·北京）学校举办校园十大歌手比赛，评委从唱功、舞台表现、音色、创意四个维度对选手进行评分（百分制）．最终得分由唱功和舞台表现各占30%，音色和创意各占20%组成．已知小兰、小竹两位选手的评分如下： 唱功 舞台表现 音色 创意 小兰 小竹 若小兰的评分更高，则表中（为整数）的最小值为_____． 4．（24-25八年级下·上海·月考）某中学组织600名学生参加了“青春飞扬”知识竞赛．组委会从中随机抽取了部分学生的成绩（得分都是整数，最高分98分）作为样本进行统计分析，并绘制成抽样分析分类统计表和频率分布直方图（如表1和图2，部分数据缺失）．试根据所提供的信息，解答下列问题： 表1：抽样分析分类统计表 成绩范围 成绩等级 不合格 合格 优良 人数 40 平均成绩 57 (1)本次随机抽样调查的样本容量是________； (2)试估计全校所有参赛学生中成绩等级为优良的学生人数为________； (3)若本次随机抽样的样本平均数为，又表1中比大15，则________，________； (4)如果把满足的的取值范围记为，表1中的取值范围是（   ） A．    B．    C．    D． 【经典例题三 运用平均数、加权平均数做决策】 1．（23-24八年级下·河南郑州）某学校考查各个班级的教室卫生情况时包括以下四项：黑板、门窗、桌椅、地面．其中“地面”最重要，“桌椅和黑板”次之，对“门窗”要求最低．根据这个要求，对黑板、门窗、桌椅、地面四项考查比较合适的比例设计分别为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·八年级下 四川攀枝花）每次监测考试完后，老师要对每道试题难度作分析．已知：题目难度系数该题参考人数得分的平均分该题的满分．上期全市八年级期末质量监测，有11623名学生参考．数学选择题共设置了12道单选题，每题5分．最后一道单选题的难度系数约为，学生答题情况统计如表： 选项 留空 多选 人数 11 22 4209 3934 2057 1390 占参考人数比（%） 根据数据分析，可以判断本次监测数学最后一道单选题的正确答案应为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·全国·单元测试）小明家搬进新居后添置了新的电冰箱、电热水器等家用电器，为了了解用电情况，他在六月份连续几天的同一时刻观察电表的度数，电表显示的度数如下表，估计这个家庭六月份的总用电量为_________度，所用的数学原理为：____________________． 日期 2日 3日 4日 5日 6日 度数（度） 97 102 106 111 117 4．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）某班准备选取一名同学参加校级知识竞赛，需对甲、乙、丙三名候选人进行笔试和口试，并组织全班45名同学民主投票（无弃权且每人只能投1票，每得一票记作2分）．得票率与测试成绩分别统计如下： 候选人测试成绩统计表： 测试项目 测试成绩（分） 甲 乙 丙 笔试 75 80 90 口试 90 80 80 (1)请算出三人的得票分； (2)通过计算说明根据笔试、口试、投票三项得分的平均数是否可确定人选； (3)如果将笔试，口试，投票三项得分按，，计入个人成绩， 将被选中． 【经典例题四 利用中位数和众数求未知数据的值】 1．（25-26八年级下·山东威海·月考）若一组数据2，6，3，5，x的平均数与中位数相同，则实数的值不可能是（　　） A．4 B． C．0 D．9 2．（2023八年级下·全国·竞赛）一组数据由五个正整数组成，中位数是4，且唯一的众数是7，则这五个正整数的平均数等于（　　） A．或 B．或 C．或 D．或或 3．（25-26八年级下·全国·周测）五个整数按从小到大的顺序排列后，中位数是4．如果这组数据的众数是6，那么这五个整数的和的最大值是______． 4．（2025·八年级下 江西）某初中学校为进一步加强校园安全工作，对全校三个年级全体同学开展了校园安全知识测试（满分100分，成绩取整数），随机选取了20名学生此次测试的成绩，并将这20名同学的成绩从低到高的顺序整理成如下表格： 学生编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 成绩(x分) 50 56 57 60 62 68 73 75 75 80 学生编号 ⑪ ⑫ ⑬ ⑭ ⑮ ⑯ ⑰ ⑱ ⑲ ⑳ 成绩(x分) a 85 85 90 90 b 93 95 96 100 按照成绩，将这些学生划分四个等级，划分标准如下： 成绩范围 等级 不及格 及格 良好 优秀 注：在统计良好人数时，将优秀计算在内；在统计及格人数时，将良好(含优秀)算在内． (1)选取的学生的及格率是 ； (2)若参加测试的成绩的众数是唯一的，且中位数是82，求a，b的值； (3)若该校每个年级各有学生400名，估计本次测试中学生成绩在95分及以上的人数． 【经典例题五 运用中位数、众数做决策】 1．（23-24八年级下·福建莆田）为了方便市民出行，打造健康莆田，莆田市政府推出“You Bike微笑自行车”的社会公共服务项目．微笑自行车运营管理公司经过调查获得关于微笑自行车租用骑行时间的数据，并由此制定了收费标准：若每次租用单车骑行a小时以内，则不收取费用；若超过a小时后，超过部分每小时收费1元．为保证不少于50%的骑行是免费的，自行车运营管理公司应从此次调查得到的骑行时间的数据中，选取下列哪个统计了作为a的值（    ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 2．（23-24八年级下·江西吉安）商家为了提高某种蔬菜的销售量，最应关注这种蔬菜近期的日销售量的（    ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 3．（23-24八年级下·全国·课后作业）为了解我市初三女生的体能状况，从某校初三的甲、乙两班中各抽取27名女生进行一分钟跳绳次数测试，测试数据统计结果如右表． 班级 人数 中位数 平均数 甲班 27 104 97 乙班 27 106 96 如果每分钟跳绳次数次的为优秀，那么甲、乙两班的优秀率的关系是_____． 4．（24-25八年级下·河南驻马店·月考）为庆祝党的二十大胜利召开，培养学生的爱国情怀，某校组织七、八年级学生参加了“学习二 十大，永远跟党走”主题知识竞赛，并对学生的成绩（满分100分）进行了抽样调查，将所收集的数据 进行整理和分析，过程如下： 【方案选择】有以下三种抽样方案： 方案一：从七、八年级中指定抽取合适数量的学生的成绩； 方案二：从七、八年级的住校生中随机抽取合适数量的学生的成绩； 方案三：从七、八年级各班中随机抽取合适数量的学生的成绩． 【收集数据】从七、八年级各随机抽取20名学生的成绩（单位：分）如下：七年级：95 75 80 90 70 80 95 75 100 90 80 60 80 95 65 100 90 85 85 80 ，八年级：85 80 95 100 90 95 85 65 75 85 90 90 70 90 100 80 80 90 95 75 【整理数据】整理以上数据，得到如下频数分布表：根据信息，回答下列问题；      成绩分 频数 年级 七年级 3 7 5 5 八年级 2 5 8 5 【分析数据】根据以上数据，得到以下统计量： 平均数 中位数 众数 七年级 83.5 82.5 a 八年级 85.75 b 90 (1)三个方案中抽取的样本最具有代表性和广泛性的是 （填写“方案一”“方案二”或“方案三”）． (2)表格中， ， (3)若该校七、八年级学生人数相同，这次竞赛中，甲、乙两名学生的成绩均为80分，但甲的成绩在其所在年级中排名更靠前，则甲是 年级的学生（填“七”或“八”）． (4)根据以上统计量回答：哪个年级的学生成绩较好？请说明理由． 【经典例题六 利用方差求未知数数据的值】 1．（24-25八年级下·湖北襄阳·自主招生）一枚质地均匀的正方体骰子（六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6），投掷5次，分别记录每次骰子向上的一面出现的数字，根据下面的统计结果，能判断记录的这5个数字中一定没有出现数字6的是（   ） A．平均数是3，众数是2 B．平均数是3，中位数是2 C．中位数是3，众数是2 D．平均数是3，方差是2 2．（25-26八年级下·山东威海·自主招生）由6个实数组成的一组数据的方差为，将其中一个数6改为2，另一个数5改为9，其余的数不变，得到新的一组数据的方差为，则（   ） A．0 B．4 C．8 D．16 3．（25-26八年级下·湖南邵阳·月考）数据的平均数是，方差的计算公式是，现有一组数据的平均数是，方差，则___________． 4．（2025·八年级下 江苏南京）今年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利八十周年．某市计划举办“铭记历史，缅怀先烈”主题知识竞赛．学校组建了甲，乙两支各20人的队伍，举行了一场预选赛，甲队成绩的频数分布直方图（成绩分成5组：，，，，）与乙队的成绩如下： 甲队成绩频数分布直方图 乙队成绩 78，81，82，83，86，87，89， 89，89，90，91，91，92，92， 93，93，93，93，94，99． 根据以上信息，回答下列问题： (1)补全频数分布直方图，乙队成绩的众数为 ； (2)甲队成绩的中位数 乙队成绩的中位数；（填“”“”“”号） (3)学校对预选赛成绩超过95分的小军，小明和小青三人又进行了五次测试，成绩如下： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 小军 96 97 97 98 97 小明 95 99 95 99 96 小青 98 96 96 98 平均数较大的人排名靠前，如果平均数相同，则方差较小的人排名靠前．若小青排名第二，则整数 ． 【经典例题七 运用方差判断稳定性并作出决策】 1．（25-26八年级下·湖南株洲）求一组数据方差的算式为: ．由算式提供的信息，下列说法错误的是（   ） A．该组数据的众数是6 B．该组数据的平均数是7 C．n的值是5 D．若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小 2．（2026·八年级下 江西南昌）为塑造学校独特的品牌形象，某校邀请5位专家评委对进入复赛的两幅校徽设计作品甲、乙进行打分，其中甲作品最终所得平均分为90.8分，方差为0.5；乙作品得分（单位：分）分别为90，91，91，91，m（整数），若甲作品最终所得平均分低于乙作品，且5位评委对乙作品的评价相比甲作品更一致，则m的值为（   ） A．90 B．91 C．92 D．93 3．（25-26八年级下·山东青岛）甲、乙两个班级各20名男生测试引体向上的成绩（单位：个）如图所示： ： 设甲、乙两个班级男生引体向上成绩的方差分别为和，则_______．（填“”“”或“”） 4．（2026八年级下·吉林长春·专题练习）某校“节科技创意”比赛分为初赛和决赛两个阶段． (1)初赛由10名教师评委和50名学生评委给每位选手打分（百分制）．对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a.教师评委打分：，，，，，，，，，， b.学生评委打分的频数分布直方图如图（数据分4组：第1组，第2组，第3组，第4组）； c.评委打分的平均数、中位数、众数如下： 根据以上信息，回答下列问题： 平均数 中位数 众数 教师评委 学生评委 ①的值为______，的值位于学生评委打分数据分组的第______组； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则______（填“”“”或“”）； (2)决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）．对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差，平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 乙 丙 若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是______，表中（为整数）的值为______． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.5 数据分析初步28道压轴题型专训（7大题型） 题型一 已知平均数求未知数据的值 题型二 利用平均数和加权平均数求未知数据的值 题型三 运用平均数、加权平均数做决策 题型四 利用中位数和众数求未知数据的值 题型五 运用中位数、众数做决策 题型六 运用方差判断稳定性并作出决策 题型七 运用方差判断稳定性并作出决策 【经典例题一 已知平均数求未知数据的值】 1．（2025八年级下·四川·专题练习）在黑板上写连续自然数．1、2、3、4…擦掉一个，剩下的数的平均数为，擦去的数为（    ） A．22 B．27 C．30 D．35 【答案】A 【分析】本题考查根据平均数求未知数据的值，读懂题意，分类讨论是解决问题的关键．根据题意，这些数是连续自然数，无论剩多少数，他们的和显然是整数，再结合剩下的数的平均数是，可知剩下数的个数应是13的倍数才能保证剩下数的和为整数，从而分类讨论即可得到答案． 【详解】解：当剩下13个数时，剩下数的总和为，而原来14个数的和为，，显然不满足； 当剩下26个数时，剩下数的总和为，而原来27个数的和为，，满足题意； 当剩下39个数时，剩下的数总和为，而原来40个数的和为，，显然不满足； 当剩下52个数时，剩下的数总和为，而原来21个数的和为，，显然不满足； 故选：A． 2．（23-24八年级下·广东梅州）下列命题中错误的是（    ） A．一组数据4，5，x，7，9的平均数为6，则x为5 B．两直线平行，同旁内角互补 C．、、能作为直角三角形的三边长 D．估算的值在2和3之间 【答案】C 【分析】根据平均数计算公式求出x值即可判定A；根据平行线的性质判定B；利用勾股定理的逆定理判定C；估算出的值即可判定D． 【详解】解：A、∵，∴x=5，故此选项不符合题意； B、两直线平行，同旁内角互补，正确，故此选项不符合题意； C、∵(32)2+(42)2≠(52)2，∴、、不能作为直角三角形的三边长，故此选项符合题意； D、∵3<<4，∴2<-1<3，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查平均数，平行线的性质，勾股定理的逆定理，估算无理数大小，熟练掌握平均数的计算公式、平行线的性质、勾股定理的逆定理，能估算无理数大小是解题的关键． 3．（24-25八年级下·河南郑州）【平均数】李老师在黑板上写上若干个从1开始的连续自然数1，2，3，……，后来擦掉其中的一个，剩下的数的平均数是，则擦掉的这个自然数是________． 【答案】13 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设李老师一定写了（n是自然数）个数，擦掉的那个数为x，则可求出这个数的和为，再根据平均数的定义得到，可证明一定是正整数，则可证明是正整数，则n一定要是10的倍数，据此讨论n的值，进而解方程求出x的值看是否符合题意即可得到答案． 【详解】解：设李老师一定写了（n是自然数）个数，擦掉的那个数为x， 所以这个数的和为， 因为擦掉x后，剩下的数的平均数是， 所以，即， 因为n为自然数， 所以当n为奇数时，为偶数，为奇数，当n为偶数时，为奇数，为偶数， 所以不管n取何值，和为一奇一偶数， 所以一定是正整数， 又因为x也是正整数， 所以是正整数， 所以n一定要是10的倍数， 当时，，解得，此时不成立； 当时，，解得，此时成立； 当时，，解得，此时不成立； 同理可验证当，x的值都不符合题意； 综上所述，擦掉的数为13， 故答案为：13． 4．（23-24八年级下·陕西西安·自主招生）（逻辑推理）6个人围成一圈，每人心里想一个数，并把这个数告诉左、右相邻的两个人．然后每个人把左、右相邻两个人告诉自己的数的平均数亮出来，如图所示．问：亮出数11的人原来心中想的数是多少？ 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，平均数的意义和求法，熟练掌握一元一次方程的和差倍分问题是解题的关键，设亮的人心里想的数是，根据平均数的求法可分别求出亮9和亮8的人心里想的数，再由亮9和8中间的人报的数是4，可列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设亮的人心里想的数是， ∴亮9的人心里想的数就是，亮8的人心里想的就是， ∵亮9和8中间的人报的数是4， ∴可列方程为， 解得：， 答：亮出的人原来心中想的数是． 【经典例题二 利用平均数和加权平均数求未知数据的值】 1．（2023·八年级下 山东济南）编号为到的个小球分放在两个盒子和中，号小球在盒子中，把这个小球从盒子中移至盒子中，这时盒子中小球号码数的平均数增加了，中小球号码数的平均数也增加了，则原来在盒子中的小球个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设原来盒子中有个小球，小球号码的平均数为，则盒子中有个小球，小球号码的平均数为，根据小球上号码的数值，盒子、中平均数的变化列方程组求解． 【详解】解：设原来盒子中有个小球，小球数码的平均数为，则盒子中有个小球，小球数码的平均数为， 根据题意可得：， 由②得：， 由③得：， ， 整理得：， 解得：． 2．（24-25八年级下·浙江湖州）某学校举行了八年级学生演讲比赛，对参赛者的“内容”“表达”“逻辑”“台风”“互动”五个方面进行评分(各方面均为百分制)．已知小明五项得分的算术平均数为87分，若将“内容”“表达”“逻辑”“台风”“互动”五个方面评分的权重分别设为，，，，，则小明五项得分的加权平均数为86分．那么以下结论中，正确的是（   ） A．重新设置权重前，小明五项得分的总分是430分 B．重新设置权重前，小明的“内容”得分超过87分 C．重新设置权重前，小明的“内容”得分比“表达”得分高 D．重新设置权重前，小明的“内容”得分比“逻辑”得分高 【答案】C 【分析】本题考查了算术平均数，加权平均数． 根据题意即可判断A；设内容、表达、逻辑、台风、互动的得分分别为、、、、，求出即可判断C，根据已知条件无法判断B、D． 【详解】解：设内容、表达、逻辑、台风、互动的得分分别为、、、、． 根据题意：算术平均数为87分，故，故A错误； 加权平均数为86分，故， 将加权平均方程两边乘以100，得： 将算术平均方程两边乘以20，得： 两式相减，得： ， 即，故C正确； 根据已知条件无法判断B、D． 故选：C． 3．（25-26八年级下·北京）学校举办校园十大歌手比赛，评委从唱功、舞台表现、音色、创意四个维度对选手进行评分（百分制）．最终得分由唱功和舞台表现各占30%，音色和创意各占20%组成．已知小兰、小竹两位选手的评分如下： 唱功 舞台表现 音色 创意 小兰 小竹 若小兰的评分更高，则表中（为整数）的最小值为_____． 【答案】 【分析】先根据加权平均数公式计算出小竹的最终得分，再表示出小兰的最终得分，根据题意列出一元一次不等式，求解后取满足条件的最小整数即可． 【详解】解：计算小竹的最终得分： ， 表示小兰的最终得分： ， 根据题意小兰评分更高，列一元一次不等式：， 移项得， 化简得， 系数化为得， 因为为整数， 所以的最小值为． 4．（24-25八年级下·上海·月考）某中学组织600名学生参加了“青春飞扬”知识竞赛．组委会从中随机抽取了部分学生的成绩（得分都是整数，最高分98分）作为样本进行统计分析，并绘制成抽样分析分类统计表和频率分布直方图（如表1和图2，部分数据缺失）．试根据所提供的信息，解答下列问题： 表1：抽样分析分类统计表 成绩范围 成绩等级 不合格 合格 优良 人数 40 平均成绩 57 (1)本次随机抽样调查的样本容量是________； (2)试估计全校所有参赛学生中成绩等级为优良的学生人数为________； (3)若本次随机抽样的样本平均数为，又表1中比大15，则________，________； (4)如果把满足的的取值范围记为，表1中的取值范围是（   ） A．    B．    C．    D． 【答案】(1)80； (2)240人； (3)72，87； (4)D 【分析】（1）用成绩范围在分的学生人数除以所占百分比求解即可； （2）用全校所有参赛学生的人数乘以样本中成绩等级为优良的学生人数占比求解即可； （3）先求出样本中成绩等级为不及格和良的学生人数，再根据比大15以及加权平均数的公式列二元一次方程组求解即可； （4）先求出样本中成绩成绩范围在分和分的学生人数，进而求出的最大值和最小值求解即可． 【详解】（1）解：， 即本次随机抽样调查的样本容量是80， 故答案为：80； （2）解：人， 答：估计全校所有参赛学生中成绩等级为优良的学生人数为240人， 故答案为：240人； （3）解：样本中成绩等级为不及格的学生人数为人， 样本中成绩等级为优良的学生人数为人， 则，解得：， 故答案为：72，87； （4）解：样本中成绩成绩范围在分的学生人数为人， 样本中成绩成绩范围在分的学生人数为人， 得分都是整数， ，， 的取值范围是，即， 故选：D． 【点睛】本题考查了频率分布直方图，样本容量，利用样本估计总体，加权平均数，二元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，理解题意找出所需数据是解题关键． 【经典例题三 运用平均数、加权平均数做决策】 1．（23-24八年级下·河南郑州）某学校考查各个班级的教室卫生情况时包括以下四项：黑板、门窗、桌椅、地面．其中“地面”最重要，“桌椅和黑板”次之，对“门窗”要求最低．根据这个要求，对黑板、门窗、桌椅、地面四项考查比较合适的比例设计分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“地面”最重要，“桌椅和黑板”次之，对“门窗”要求最低，分配合理即可． 【详解】解：“地面”最重要，“桌椅和黑板”次之，对“门窗”要求最低，分配合理即可， 符合的是：， 故选：B． 【点睛】本题考查了数据的整理，解题的关键是根据要求进行合理分配即可． 2．（2023·八年级下 四川攀枝花）每次监测考试完后，老师要对每道试题难度作分析．已知：题目难度系数该题参考人数得分的平均分该题的满分．上期全市八年级期末质量监测，有11623名学生参考．数学选择题共设置了12道单选题，每题5分．最后一道单选题的难度系数约为，学生答题情况统计如表： 选项 留空 多选 人数 11 22 4209 3934 2057 1390 占参考人数比（%） 根据数据分析，可以判断本次监测数学最后一道单选题的正确答案应为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算出最后一道单选题参考人数得分的平均分，再分别测算，进行比较即可． 【详解】解：题目难度系数该题参考人数得分的平均分该题的满分， 最后一道单选题参考人数得分的平均分题目难度系数该题的满分， 如果正确答案应为，则参考人数得分的平均分为：， 如果正确答案应为，则参考人数得分的平均分为：， 如果正确答案应为，则参考人数得分的平均分为：， 如果正确答案应为，则参考人数得分的平均分为：， 故选：B． 【点睛】本题考查了统计表、新概念“题目难度系数”等知识，熟练掌握新概念“题目难度系数”，由统计表的数据计算出参考人数得分的平均分是解题的关键． 3．（23-24八年级下·全国·单元测试）小明家搬进新居后添置了新的电冰箱、电热水器等家用电器，为了了解用电情况，他在六月份连续几天的同一时刻观察电表的度数，电表显示的度数如下表，估计这个家庭六月份的总用电量为_________度，所用的数学原理为：____________________． 日期 2日 3日 4日 5日 6日 度数（度） 97 102 106 111 117 【答案】 150 用样本估计总体 【分析】先求抽查4天的平均用电量，即可作为6月份每天的平均用电量，进而求出6月份的总用电量，即采用了用样本估计整体的方法． 【详解】解：4天的总用电量度，每天的用电量度， 六月有30天，故这个家庭六月份的总用电量为度． 由计算方法可知，所用的数学原理为用样本估计总体． 故答案为：150；用样本估计总体． 【点睛】本题主要考查了平均数、用样本去估计总体等知识点，掌握用样本估计总体的方法是解答本题的关键． 4．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）某班准备选取一名同学参加校级知识竞赛，需对甲、乙、丙三名候选人进行笔试和口试，并组织全班45名同学民主投票（无弃权且每人只能投1票，每得一票记作2分）．得票率与测试成绩分别统计如下： 候选人测试成绩统计表： 测试项目 测试成绩（分） 甲 乙 丙 笔试 75 80 90 口试 90 80 80 (1)请算出三人的得票分； (2)通过计算说明根据笔试、口试、投票三项得分的平均数是否可确定人选； (3)如果将笔试，口试，投票三项得分按，，计入个人成绩， 将被选中． 【答案】(1)甲36分，乙36分，丙18分 (2)甲入选 (3)甲 【分析】（1）根据得票率计算得票数，然后分别求出三人的得票分即可； （2）分别算出甲、乙、丙三人的平均分，进行判断即可； （3）分别算出甲、乙、丙三个人的加权平均数，然后进行判断即可． 【详解】（1）解：三人的得票分分别为 甲：（分）， 乙：（分）， 丙：（分）； （2）解：甲：（分）， 乙：（分）， 丙：（分）， ∵， ∴甲入选； （3）解：甲：（分）， 乙：（分）， 丙：（分）， ∵， ∴甲被选中． 【点睛】准确掌握平均数和加权平均数的公式，并能正确计算是解题的关键． 【经典例题四 利用中位数和众数求未知数据的值】 1．（25-26八年级下·山东威海·月考）若一组数据2，6，3，5，x的平均数与中位数相同，则实数的值不可能是（　　） A．4 B． C．0 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了平均数与中位数的定义，通过分类讨论x在不同取值范围时中位数的值，令平均数等于中位数，解方程得到x的可能值，从而找出不可能的值． 【详解】平均数为， 当时，排序后中位数为3， 根据题意得，， 解得，符合条件； 当时，中位数为x， 根据题意得，， 解得，符合条件； 当时，中位数为5， 根据题意得，， 解得，符合条件． ∴x的可能值为、4、9． 选项中0不在其中，故x的值不可能是0． 故选：C． 2．（2023八年级下·全国·竞赛）一组数据由五个正整数组成，中位数是4，且唯一的众数是7，则这五个正整数的平均数等于（　　） A．或 B．或 C．或 D．或或 【答案】D 【分析】本题考查了中位数的定义，众数的定义，求平均数． 根据中位数的定义可知4左边有两个数，4右边有两个数，根据众数的定义可知4左边有两个数不相等，4右边有两个数均为7，列出所有情况，求中位数即可． 【详解】∵一组数据由五个正整数组成，中位数是4， ∴4左边有两个数，4右边有两个数， ∵唯一的众数是7， ∴4左边有两个数不相等，4右边有两个数均为7 即这五个正整数为1，2，4，7，7或1，3，4，7，7或2，3，4，7，7 ，， 故选：D． 3．（25-26八年级下·全国·周测）五个整数按从小到大的顺序排列后，中位数是4．如果这组数据的众数是6，那么这五个整数的和的最大值是______． 【答案】21 【分析】根据题目条件，五个整数按从小到大排列后的中位数为，即第三个数为。众数为，说明出现的次数最多.需要构造满足条件的数列，并求和的最大值． 【详解】解：设五个整数从小到大依次为、、、、 由中位数是，得第个数为； 由众数是，得出现的次数最多，因此（使后两位尽可能大，且出现次数至少为两次）； 要使和最大，前两位、需满足（整数），且保证是唯一众数（即出现的次数多于其他数）； 若，则最大为（若，则出现两次，与出现的次数相同，众数不唯一，不符合要求）此时五个数为但与均出现两次，众数不唯一，不符合“众数是”的条件. 因此，为使和最大，应取最大整数。为保证是唯一众数，不能与相等，故，应取最大整数。此时这五个数为． 计算和：. 故答案为：． 【点睛】本题考查了中位数和众数的定义，解题关键是根据中位数确定中间数，根据众数确定出现次数最多的数，同时结合“和最大”的要求，分析出各数的最大可能取值． 4．（2025·八年级下 江西）某初中学校为进一步加强校园安全工作，对全校三个年级全体同学开展了校园安全知识测试（满分100分，成绩取整数），随机选取了20名学生此次测试的成绩，并将这20名同学的成绩从低到高的顺序整理成如下表格： 学生编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 成绩(x分) 50 56 57 60 62 68 73 75 75 80 学生编号 ⑪ ⑫ ⑬ ⑭ ⑮ ⑯ ⑰ ⑱ ⑲ ⑳ 成绩(x分) a 85 85 90 90 b 93 95 96 100 按照成绩，将这些学生划分四个等级，划分标准如下： 成绩范围 等级 不及格 及格 良好 优秀 注：在统计良好人数时，将优秀计算在内；在统计及格人数时，将良好(含优秀)算在内． (1)选取的学生的及格率是 ； (2)若参加测试的成绩的众数是唯一的，且中位数是82，求a，b的值； (3)若该校每个年级各有学生400名，估计本次测试中学生成绩在95分及以上的人数． 【答案】(1) (2) (3)180名 【分析】本题考查了统计表，众数与中位线，用样本估计总体等知识，掌握这些知识是关键； （1）根据表格及格人数及抽取的总人数，由及格率的计算方法即可求解； （2）根据中位数是82即可求得a的值；由表格可知，，再根据数据75、85、90都出现两次，且这组数据的众数是唯一的，则可得b的值； （3）三个年级的总人数与成绩在95分及以上的百分比的积，即可求解． 【详解】（1）解：根据表格及格人数为17人， ∴及格率为． 故答案为：； （2）解：由题意得，解得， 由表格可知，． 又因为数据75、85、90都出现两次，且这组数据的众数是唯一的， ∴； （3）解：（名）， 答：估计本次测试中学生成绩在95分及以上的共有180名． 【经典例题五 运用中位数、众数做决策】 1．（23-24八年级下·福建莆田）为了方便市民出行，打造健康莆田，莆田市政府推出“You Bike微笑自行车”的社会公共服务项目．微笑自行车运营管理公司经过调查获得关于微笑自行车租用骑行时间的数据，并由此制定了收费标准：若每次租用单车骑行a小时以内，则不收取费用；若超过a小时后，超过部分每小时收费1元．为保证不少于50%的骑行是免费的，自行车运营管理公司应从此次调查得到的骑行时间的数据中，选取下列哪个统计了作为a的值（    ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 【答案】C 【分析】根据中位数的意义求解即可． 【详解】解：∵要保证不少于50%的骑行是免费的，而中位数是这组数据最中间的数或最中间2个数的平均数 ∴选取中位数作为a的值最合适， 故选：C． 【点睛】本题主要考查统计量的选择，解题的关键是掌握中位数的意义． 2．（23-24八年级下·江西吉安）商家为了提高某种蔬菜的销售量，最应关注这种蔬菜近期的日销售量的（    ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 【答案】B 【分析】本题主要考查了众数，熟练掌握一组数据中出现次数最多的数是众数，众数反映了一组数据的多数水平是解题的关键． 根据众数的意义即可解答． 【详解】解：商家为了提高某种蔬菜的销售量，最应关注这种蔬菜近期的日销售量的众数． 故选：B． 3．（23-24八年级下·全国·课后作业）为了解我市初三女生的体能状况，从某校初三的甲、乙两班中各抽取27名女生进行一分钟跳绳次数测试，测试数据统计结果如右表． 班级 人数 中位数 平均数 甲班 27 104 97 乙班 27 106 96 如果每分钟跳绳次数次的为优秀，那么甲、乙两班的优秀率的关系是_____． 【答案】 【分析】要比较甲、乙两班的优秀率，只要比较一下中位数即可，甲、乙两班的中位数都为第13位同学的成绩，所以，通过比较甲、乙两班的中位数即可比较优秀率． 【详解】解： 从表格中可看出甲班的中位数为104，，乙班的中位数为106，， 即甲班大于105次的人数少于乙班， ∴甲、乙两班的优秀率的关系是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了中位数，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 4．（24-25八年级下·河南驻马店·月考）为庆祝党的二十大胜利召开，培养学生的爱国情怀，某校组织七、八年级学生参加了“学习二 十大，永远跟党走”主题知识竞赛，并对学生的成绩（满分100分）进行了抽样调查，将所收集的数据 进行整理和分析，过程如下： 【方案选择】有以下三种抽样方案： 方案一：从七、八年级中指定抽取合适数量的学生的成绩； 方案二：从七、八年级的住校生中随机抽取合适数量的学生的成绩； 方案三：从七、八年级各班中随机抽取合适数量的学生的成绩． 【收集数据】从七、八年级各随机抽取20名学生的成绩（单位：分）如下：七年级：95 75 80 90 70 80 95 75 100 90 80 60 80 95 65 100 90 85 85 80 ，八年级：85 80 95 100 90 95 85 65 75 85 90 90 70 90 100 80 80 90 95 75 【整理数据】整理以上数据，得到如下频数分布表：根据信息，回答下列问题；      成绩分 频数 年级 七年级 3 7 5 5 八年级 2 5 8 5 【分析数据】根据以上数据，得到以下统计量： 平均数 中位数 众数 七年级 83.5 82.5 a 八年级 85.75 b 90 (1)三个方案中抽取的样本最具有代表性和广泛性的是 （填写“方案一”“方案二”或“方案三”）． (2)表格中， ， (3)若该校七、八年级学生人数相同，这次竞赛中，甲、乙两名学生的成绩均为80分，但甲的成绩在其所在年级中排名更靠前，则甲是 年级的学生（填“七”或“八”）． (4)根据以上统计量回答：哪个年级的学生成绩较好？请说明理由． 【答案】(1)方案三 (2)， (3)七 (4)八年级，理由见解析 【分析】（1）从总体中抽取部分单位作为样本进行调查，随机抽样具有代表性和广泛性，据此解答即可； （2）根据众数和中位数的定义求解即可； （3）根据中位数的意义进行判断即可； （4）根据平均数、中位数和众数的意义进行判断即可． 【详解】（1）解：方案一：指定抽取不具有代表性和广泛性， 方案二：住校生中随机抽取不具有代表性和广泛性， 方案三：从总体中随机抽取具有代表性和广泛性， 三个方案中抽取的样本最具有代表性和广泛性的是方案三， 故答案为：方案三； （2）解：从七年级随机抽取的名学生的成绩中，出现次数最多的是， 众数， 将从八年级随机抽取的名学生的成绩从小到大排列： 65 70 75 75 80 80 80 85 85 85 90 90 90 90 90 95 95 95 100 100 第个、第个数据分别为、， 中位数， 故答案为：，； （3）解：甲、乙两名学生的成绩均为80分，但甲的成绩在其所在年级中排名更靠前， 这说明：甲所在年级成绩的中位数更低， 甲是七年级的学生， 故答案为：七； （4）解：八年级的学生成绩较好，理由如下： 因为八年级学生成绩的平均数、中位数和众数均高于七年级，所以八年级的学生成绩较好（答案不唯一，合理即可）， 答：八年级的学生成绩较好． 【点睛】本题主要考查了抽样调查的可靠性，求众数，求中位数，利用平均数做决策，运用中位数做决策，运用众数做决策等知识点，熟练掌握平均数、中位数和众数的概念是解题的关键． 【经典例题六 利用方差求未知数数据的值】 1．（24-25八年级下·湖北襄阳·自主招生）一枚质地均匀的正方体骰子（六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6），投掷5次，分别记录每次骰子向上的一面出现的数字，根据下面的统计结果，能判断记录的这5个数字中一定没有出现数字6的是（   ） A．平均数是3，众数是2 B．平均数是3，中位数是2 C．中位数是3，众数是2 D．平均数是3，方差是2 【答案】D 【分析】本题考查中位数、众数、平均数、方差，解题的关键是根据每个选项中的设定情况，列出可能出现的5个数字． 根据中位数、众数、平均数、方差的定义，结合选项中设定情况，逐项判断即可．通过计算各选项下数字6出现的可能性，平均数为3且方差为2时，数字6一定不会出现. 【详解】解：A: 可能出现数字6，例如：1，2，2，4，6（平均数为3，众数2）； B: 可能出现数字6，例如：1，1，2，5，6（平均数为3，中位数2）； C: 可能出现数字6，例如：2，2，3，5，6（中位数3，众数2，）； D：∵ 平均数， ∴ 5个数字之和为：. ∵方差， ∴. 假设出现数字6，则，且其余4个数字之和为9. 为最小化， 其余数字应尽量接近3，应为2，2，2，3，（其和为9）， ∴ 最小为， 与已知矛盾. ∴ 一定没有出现数字6. ∴ 故选：D. 2．（25-26八年级下·山东威海·自主招生）由6个实数组成的一组数据的方差为，将其中一个数6改为2，另一个数5改为9，其余的数不变，得到新的一组数据的方差为，则（   ） A．0 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】本题考查方差、平均数计算公式等基础知识，考查运算求解能力，利用方差的计算公式直接求解． 【详解】解：∵由6个实数组成的一组数据的方差为， 将其中一个数6改为2，另一个数5改为9，其余的数不变， 得到新的一组数据的方差为， ∴前后两组数据的平均数不变，设为， 设没有变化的4个数与平均数差的平方和为s， 则． 故选：B． 3．（25-26八年级下·湖南邵阳·月考）数据的平均数是，方差的计算公式是，现有一组数据的平均数是，方差，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了方差的公式，熟记方差公式是解题的关键．通过方差表达式中的系数可知数据的频数，从而计算平均数． 【详解】解：从方差表达式中的系数可知，数据组中包含2个7，1个6，3个9，3个8，1个10，共10个数据， 这些数据的和为， 所以平均数． 故答案为：． 4．（2025·八年级下 江苏南京）今年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利八十周年．某市计划举办“铭记历史，缅怀先烈”主题知识竞赛．学校组建了甲，乙两支各20人的队伍，举行了一场预选赛，甲队成绩的频数分布直方图（成绩分成5组：，，，，）与乙队的成绩如下： 甲队成绩频数分布直方图 乙队成绩 78，81，82，83，86，87，89， 89，89，90，91，91，92，92， 93，93，93，93，94，99． 根据以上信息，回答下列问题： (1)补全频数分布直方图，乙队成绩的众数为 ； (2)甲队成绩的中位数 乙队成绩的中位数；（填“”“”“”号） (3)学校对预选赛成绩超过95分的小军，小明和小青三人又进行了五次测试，成绩如下： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 小军 96 97 97 98 97 小明 95 99 95 99 96 小青 98 96 96 98 平均数较大的人排名靠前，如果平均数相同，则方差较小的人排名靠前．若小青排名第二，则整数 ． 【答案】(1)统计图见解析，93 (2) (3)或 【分析】本题主要考查频数分布表、中位数、方差、平均数等知识点，掌握方差、平均数、中位数的求法是解题的关键． （1）先求出的频数，再补全条形统计图；根据众数的定义确定乙队成绩的众数即可； （2）分别求出甲、乙两队的中位数，然后比较即可； （3）分别求出小军、小明的平均数和方差，再根用表示出小青的平均数，然后根据题意确定n的值，最后运用方差验证即可． 【详解】（1）解：甲队成绩中的频数为：， 故补全条形统计图如下： ； 乙队成绩中出现次数最多的是93，即众数为93； （2）解：由甲队成绩的频数分布表可知：其中位数在中； 乙队成绩的中位数为， 所以甲队成绩的中位数小于乙队成绩的中位数． 故答案为：． （3）解：小军的平均数：； 小军的方差： ； 小明的平均数：； 小明的方差：； 小青的平均数：； ∵小青排名第二， ∴，即，解得：； ，即，解得：； ∵n为整数， ∴或； 当时，，小青和小明平均数相同，小于小军的平均数， ， ∴， ∴时，小青排第二，符合题意． 当时，，小青和小军平均数相同，大于小明的平均数， ， ∴， ∴时，小青排第二，符合题意． 综上所述：或． 【经典例题七 运用方差判断稳定性并作出决策】 1．（25-26八年级下·湖南株洲）求一组数据方差的算式为: ．由算式提供的信息，下列说法错误的是（   ） A．该组数据的众数是6 B．该组数据的平均数是7 C．n的值是5 D．若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小 【答案】A 【分析】根据方差算式，数据为6，8，8，6，7，计算平均数、众数、n值，并验证加入数据后的方差变化． 本题考查的是方差的计算，众数的含义，平均数的含义，掌握基本概念是解题关键． 【详解】∵ 算式中有五个平方项，对应数据点6，8，8，6，7， A、∵ 数据中6和8均出现2次，7出现1次， ∴ 众数为6和8，并非仅6，故选项A错误． B、∵ 数据总和为，， ∴ 平均数，选项B正确． C、，选项C正确． D、∵ 原始方差， 加入两个7后，数据为6，8，8，6，7，7，7，平均数仍为7， 新方差，， ∴ 方差变小，选项D正确． 故选：A． 2．（2026·八年级下 江西南昌）为塑造学校独特的品牌形象，某校邀请5位专家评委对进入复赛的两幅校徽设计作品甲、乙进行打分，其中甲作品最终所得平均分为90.8分，方差为0.5；乙作品得分（单位：分）分别为90，91，91，91，m（整数），若甲作品最终所得平均分低于乙作品，且5位评委对乙作品的评价相比甲作品更一致，则m的值为（   ） A．90 B．91 C．92 D．93 【答案】C 【分析】先由甲平均分低于乙得到m的取值范围，再由乙评分更一致说明乙方差更小，验证得到m的值． 【详解】解：∵甲平均分低于乙，甲平均分为，乙分数和为， ∴乙的平均分为， 解得：， ∵是整数， ∴，排除A、B选项； 方差越小，评分越一致，因此乙的方差需小于甲的方差， 当时： 乙的平均分为， 乙的方差， ∵，符合条件； 当时： 乙的平均分为， 乙的方差， ∵，不符合条件， ∴． 3．（25-26八年级下·山东青岛）甲、乙两个班级各20名男生测试引体向上的成绩（单位：个）如图所示： ： 设甲、乙两个班级男生引体向上成绩的方差分别为和，则_______．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】由扇形图得出甲、乙两个班级各20名男生测试引体向上个数的具体分布情况，再判断出“引体向上”个数分布较为稳定的班级即可解答． 【详解】解：由扇形图知，甲班男生“引体向上”个数分布情况为：5个的有5人，6个的有5人，7个的有5人，8个的有5人；乙班男生“引体向上”个数分布情况为：5个的有6人，6个的有4人，7个的有4人，8个的有6人， ∴甲班男生“引体向上”个数分布较为均匀、稳定， ∴． 4．（2026八年级下·吉林长春·专题练习）某校“节科技创意”比赛分为初赛和决赛两个阶段． (1)初赛由10名教师评委和50名学生评委给每位选手打分（百分制）．对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a.教师评委打分：，，，，，，，，，， b.学生评委打分的频数分布直方图如图（数据分4组：第1组，第2组，第3组，第4组）； c.评委打分的平均数、中位数、众数如下： 根据以上信息，回答下列问题： 平均数 中位数 众数 教师评委 学生评委 ①的值为______，的值位于学生评委打分数据分组的第______组； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则______（填“”“”或“”）； (2)决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）．对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差，平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 乙 丙 若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是______，表中（为整数）的值为______． 【答案】(1)①，；② (2)甲； 【分析】（1）①利用众数，中位数的概念计算即可；②利用平均数的公式计算即可； （2）根据题目要求，求出甲和乙的平均数，然后确定丙的平均数为，进而分两种情况分别求出方差进行比较即可． 【详解】（1）解：①评委打分出现次数最多的数据是， ∴； 学生评分数据共50个，中位数是第25位和26位数据的平均数， 第1组有4个数据，第2组有12个数据，第3组有28个数据， 所以第25位和26位数据在第3组， 即的值位于学生评委打分数据分组的第3组， 故答案为：，； ②； （2）解：甲选手平均数为分， 乙选手平均数为分， ∴甲在乙的前面， 丙的平均数为， ∴， 解得， 当时， 丙的平均数为， ∵， ， 此时， 即丙排在乙的后面，不符合题意； 当时， 丙的平均数为， ∵， ， 此时， 即丙排在甲的后面，符合题意； 综上，的值为． 学科网（北京）股份有限公司 $