专题5.3 正方形重难点题型专训（3个知识点+18大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

本讲义聚焦正方形的定义、性质、判定及中点四边形等核心知识点，系统梳理其与平行四边形、矩形、菱形的从属关系，构建“定义-性质-判定-应用”的知识支架，助力学生形成完整知识网络。 资料通过18大题型分层设计，涵盖证明、计算、折叠等，搭配即时训练与经典例题，培养学生几何直观与推理意识。拓展训练结合生活情境，如七巧板面积问题，提升应用意识，课中辅助教学，课后助力查漏补缺。

专题5.3 正方形重难点题型专训 （3个知识点+18大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 证明四边形是正方形 题型二 正方形的判定定理理解 题型三 添一个条件使四边形是正方形 题型四 正方形性质理解 题型五 根据正方形的性质求角度 题型六 根据正方形的性质求线段长 题型七 根据正方形的性质求面积 题型八 正方形折叠问题 题型九 求正方形重叠部分面积 题型十 根据正方形的性质证明 题型十一 根据正方形的性质与判定求角度 题型十二 根据正方形的性质与判定求线段长 题型十三 根据正方形的性质与判定求面积 题型十四 根据正方形的性质与判定证明 题型十五 利用（特殊）平行四边形的对称性求阴影面积 题型十六 （特殊）平行四边形的动点问题 题型十七 四边形中的线段最值问题 题型十八 四边形其他综合问题 拓展训练一 根据正方形的性质解决相关问题 拓展训练二 正方形的性质在折叠问题中的应用 拓展训练三 根据正方形的性质与判定解决相关问题 知识点一：正方形的定义及性质 1. 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 2. 数学语言描述：如图，在ABCD中，若，且，则ABCD是正方形． 3.正方形的性质 图示 性质 数学语言描述 边 对边平行 AB∥CD，AD∥BC 四条边均相等 角 四个角都是直角 对角线 对角线相等且互相垂直平分 ， 每条对角线平分一组对角 对称性 轴对称图形，对称轴是两条对角线所在直线和过每一组对边中点的直线，有四条对称轴 中心对称图形，对称中心是对角线的交点 【即时训练】 1．（2025·八年级下 河南驻马店）下面是一张正方形彩纸，现要交叉裁剪两刀，使其分成面积相等的四部分，则裁剪方案有（   ） A．1种 B．2种 C．4种 D．无数种 2．（2023·八年级下 吉林松原）如图，在矩形中，．将矩形沿翻折，使点恰好落在边上的处，再将四边形绕点逆时针旋转得到四边形，交于点，则的面积为__________．    知识点二：正方形的判定 【即时训练】 1．（2023·八年级下 河北邢台）下列四个菱形中分别标注了部分数据，根据所标数据，可以判断菱形是正方形的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（23-24八年级下·湖南湘西·期末）判断四个命题：①对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；②对角线互相垂直的矩形是正方形；③对角线相等的菱形是正方形；④对角线互相垂直且互相平分的四边形是正方形．命题成立的是（填序号）_____． 知识点三：中点四边形及菱形、矩形、正方形与平行四边形的关系 1. 定义：顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形叫做中点四边形．如图所示，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，则四边形EFGH就是中点四边形． 2. 常见的中点四边形形状归纳 原四边形 中点四边形 任意四边形（包括平行四边形） 平行四边形 两条对角线相等的四边形（包括矩形和等腰梯形) 菱形 两条对角线互相垂直的四边形（包括菱形） 矩形 两条对角线相等且互相垂直的四边形（包括正方形） 正方形 3.菱形、矩形、正方形与平行四边形的关系 正方形既是菱形，又是矩形． 菱形、矩形、正方形都是平行四边形，且都是特殊的平行四边形．常见关系使用举例： 【即时训练】 1．（23-24·八年级下 广东潮州）以下四个命题中，真命题是（　　　） ①若，则； ②顺次连接四边形各边中点所得的四边形一定是平行四边形； ③方程有两个不相等的实数根； ④六边形的内角和是其外角和的两倍； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26八年级下·北京·课后作业）从知识结构来看，平行四边形、矩形、菱形、正方形的包含关系可以如图表示，则其中最大的椭圆表示的是______形，阴影部分表示的是______形． 【经典例题一 证明四边形是正方形】 【例1】（23-24八年级下·贵州六盘水·期中）如图，在由六个大小相同的小正方形组成的的矩形网格中，去掉两条线段后，还有四个正方形．以下去掉两条线段的方法正确的是（    ）    A．、 B．、 C．、 D．、 【例2】（23-24八年级下·河南平顶山·期末）如图，菱形的对角线，相交于点，点，同时从点出发在线段上以0.5cm/s的速度反向运动（点，分别到达，两点时停止运动），设运动时间为．连接，，，，已知是边长为4cm的等边三角形，当______s时，四边形为正方形． 1．（2026·八年级下 河北邯郸）如图，在菱形中，M，N是对角线上不重合的两个点，且．当改变点M，N位置的过程中，下列对于四边形的说法正确的是（   ） A．总是矩形 B．总是菱形 C．中不可能存在 D．中可能存在 2．（2024·八年级下 上海）关于下列两个结论正确性的说法正确是（   ） （1）矩形各个角的平分线所围成的图形是正方形 （2）平行四边形各个角的平分线所围成的图像是矩形 A．（1）（2）都错误 B．（1）（2）都正确 C．（1）错误，（2）正确 D．（1）正确，（2）错误 3．（2025八年级下·全国·专题练习）将两块完全相同的等腰直角三角形纸板按如图所示的方式叠放，已知是的中点．当绕直角顶点旋转时，阴影部分的形状也随之改变，但其面积不变，则阴影部分面积的值是_________． 4．（25-26八年级下·江苏南京·期中）在菱形中，对角线，相交于点O，M，N分别是，的中点，E，F是的三等分点（点E靠近点B），G，H是的三等分点（点H靠近点D）． (1)如图（1），连接，，，． ①求证：四边形是菱形； ②当四边形是正方形时，菱形需要满足的条件是______． (2)如图（2），连接，，，．请从角、边和对角线三个角度描述四边形的性质．（要求：用文字描述．） 【经典例题二 正方形的判定定理理解】 【例1】（24-25八年级下·河南平顶山·期中）在学习完特殊的平行四边形这一章后，老师测验了同学们对特殊平行四边形的知识掌握情况，下面是张小亮的答卷，他的得分应是（   ） 姓名：张小亮 得分： ？ 判断（每小题分，共分） ①四边相等的四边形是菱形．（√） ②菱形的对角线相等且互相平分．（√） ③有两个角是直角的四边形是矩形．（×）． ④对角线相等的平行四边形是矩形．（√） ⑤有一个角是直角的平行四边形是正方形．（×） A．分 B．分 C．分 D．分 【例2】（2024·八年级下 山东菏泽）将菱形的两个相邻的内角记为和，定义为菱形的“接近度”，则当“接近度”为______时，这个菱形就是正方形． 1．（2026·八年级下 河南郑州）定义：将边长相同的菱形与正方形的接近程度叫做菱形的“接近度”，记作，且，其中，为菱形的两个相邻内角的度数．下列说法不正确的是（    ） A．内角等于130°的菱形的接近度 B．接近度越大的菱形越接近于正方形 C．当时，该菱形是正方形 D．菱形的接近度的取值范围是 2．（23-24八年级下·广东广州·期末）下列命题：①若是整数，则正整数的最小值是12；②“”与“”均一定成立；③“如果，，（是正整数）是一组勾股数，那么正整数，，也是一组勾股数”的逆命题是真命题；④四条边相等的四边形是菱形，四个角相等的四边形是正方形，不正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）定义菱形的两条对角线长之比为“对角线比”． （1）若菱形成为正方形，则“对角线比”为 ___； （2）当“对角线比”为4，菱形面积为800时，菱形的边长为 ___． 4．（23-24八年级下·陕西延安·期中）问题提出 （1）如图1，在中，是边上的一个动点，过点作的平行线，交的平分线于点，交外角的平分线于点，连接，，求证：是的中点． 问题探究 （2）在（1）的条件下，线段能否和线段相等？请说明理由． 问题解决 （3）某市新区进行生态修复治理，美化人居环境．为了充分利用河道上方空间，现规划从地铁口处向河畔，上方建一个四边形河上公园，其中河岸和相互平行，，两点在上，平分交于点，平分交于点，点在上．按设计要求，要在四边形河上公园内建一个正方形休息亭，那么，应该满足什么关系？请在图2上补充完整设计图，并说明理由． 【经典例题三 添一个条件使四边形是正方形】 【例1】（25-26八年级下·山东聊城·期中）已知一个四边形是矩形，要使它成为一个正方形，在下列给出的条件中，可添加（   ） A．有一个角是 B．对角线互相垂直 C．对角线互相平分 D．对角线相等 【例2】（25-26八年级下·全国·单元测试）如图，矩形的对角线相交于点O，再添加一个条件，使得四边形是正方形，这个条件可以是_______（写出一个条件即可）． 1．（25-26八年级下·陕西渭南·期中）已知在中，．添加一个条件，使得四边形为正方形．添加的条件可以为（    ） A． B．平分 C． D． 2．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）在复习特殊四边形的关系时，小明同学整理出如图所示的转换图，①、②、③、④处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（   ） A．①填 B．②填 C．③填 D．④填 3．（25-26八年级下·黑龙江七台河·期中）如图，在平行四边形中，，在不添加任何辅助线的前提下，若使平行四边形 是正方形，则需添加的一个条件是________． 4．（25-26八年级下·湖北咸宁·期中）如图，四边形是平行四边形，，延长至点E，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)当是多少度时，四边形是正方形，为什么？ 【经典例题四 正方形性质理解】 【例1】（25-26八年级下·辽宁大连·期中）正方形具有，而菱形不具有的性质是（   ） A．对角线垂直 B．对角线平分一组对角 C．对角线相等 D．对角线互相平分 【例2】（24-25八年级下·江苏南京·期中）将对角线分别为和的菱形改为一个面积不变的正方形，则正方形的边长为______ ． 1．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形，是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（    ） A． B． C．3 D． 2．（25-26八年级下·浙江嘉兴·期末）如图，由边长相同的9个小正方形组成的图形，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点在轴上，顶点在轴上，且，则正方形ABCD的面积是____ 4．（25-26八年级下·河南许昌·期中）如图，点是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，连接、，和相交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【经典例题五 根据正方形的性质求角度】 【例1】（25-26八年级下·陕西榆林·期中）如图，在正方形内，以为边作等边三角形，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知正方形，连接、，平分交于点E，则______． 1．（25-26八年级下·河南濮阳·期中）如图，分别以正方形的顶点A，B为圆心，的长为半径作弧，两弧在正方形的内部交于点E，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·湖南永州·期中）如图，正方形的对角线为菱形的一边，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·广西玉林·期中）如图，正方形中，，，则 ．    4．（2026·八年级下 安徽阜阳）如图，在正方形中，点，分别在，上，是等边三角形．求的度数． 【经典例题六 根据正方形的性质求线段长】 【例1】（2026·八年级下 广西玉林）如图，四边形是正方形，点表示的数为（   ） A．1 B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·上海·期中）如图，正方形的边长为1，点E在对角线上且，则的长为______． 1．（2026·八年级下 山西临汾）如图，在边长为4的正方形中，按如下步骤作图： ①分别以为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于两侧，过两交点作直线，分别交，于点； ②连接，以为圆心，适当长为半径作弧，分别与，交于两点；再分别以这两点为圆心，适当长为半径作弧，两弧交于内一点，过与该交点作射线，交于点； ③过点作于点． 根据以上作图步骤，线段的长为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·八年级下 湖北襄阳）如图，为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到，延长交于点，连接．则的长为（   ） A． B． C．4 D． 3．（2026·八年级下 天津东丽）如图，是等腰直角三角形，，，边长为的正方形的顶点D，E，F分别在的边，，上． （Ⅰ）点F到边的距离为__________； （Ⅱ）的长为__________． 4．（25-26八年级下·湖北随州·期中）如图，已知正方形的边长为3，E、F分别是、边上的点，且，将绕点D逆时针旋转，得到．若，求的长． 【经典例题七 根据正方形的性质求面积】 【例1】（25-26八年级下·福建三明·月考）如图，七巧板是由宋代的宴几图演变而来的，小明用边长为的正方形纸板制作了一幅七巧板（图①），然后拼成“飞机”（图②），则“飞机尾翼”（阴影部分）的面积是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·陕西安康·月考）如图，在中，，，，则正方形的面积是______． 1．（2026·八年级下 河北保定）如图，在正方形中，，E为边上一点，连接，过点C作于点F，记，．当x，y的值变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·北京海淀·期中）如图，在正方形中，点是上任意一点，，垂足分别为点，若该正方形的面积为50，则的值为（   ） A．4 B．5 C．8 D．10 3．（23-24八年级下·江苏盐城·月考）如图，以边长为1的正方形的边为对角线作第二个正方形，再以为对角线作第三个正方形，如此作下去，，则所作的第2022个正方形的面积_____． 4．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． (1)请分别写出图1，图2阴影部分的面积能解释的乘法公式： 图1： ． 图2： ． (2)【拓展探究】用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图3的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式之间的等量关系是 ． (3)【知识迁移】当时，则的值为 ． (4)【解决问题】如图4，C是线段上的一点，分别以为边向两边作正方形和正方形．已知，两正方形的面积和为20，求的面积 (5)如图5，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，，，求图中阴影部分的面积． 【经典例题八 正方形折叠问题】 【例1】（24-25八年级下·四川内江·月考）已知正方形的面积为81，点H是边上的一个动点，沿过点H的直线将正方形折叠，使顶点D恰好落在边上的三等分点E处，则线段的长是（   ） A．5.5 B．6.5 C．5或5.5 D．5或6.5 【例2】（23-24八年级下·江苏盐城·月考）如图，在正方形中，，是上一点，且，是上一动点，连接，若将沿翻折后，点落在点处，则到点的最短距离为________ 1．（25-26八年级下·山东聊城·期中）如图，将一张正方形纸片的顶点A折叠至边上的E点，折痕为，若折痕比边长长2，，则正方形的边长为（   ） A．20 B．22 C．24 D．25 2．（25-26八年级下·重庆·阶段检测）如图，正方形的边长为5，点E在边上，且，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得到，延长交于点F，连接，作和的平分线相交于点G，则的面积为（   ） A． B． C． D． 3．（2023·八年级下 吉林长春）如图，在正方形中，，点E为的中点，点F为边一动点，将沿翻折得到，连接，则线段的长度的最小值为______． 4．（25-26八年级下·广西南宁·期中）【教材重现】宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫作黄金矩形． 【教材拓展】一个点把一条线段分为两段，如果其中较长线段与整条线段的比等于较短线段与较长线段的比，我们就说这个点是这条线段的黄金分割点，这个比值叫做黄金比，这个比值为（约为0.618） (1)【概念理解】一条线段有 个黄金分割点； (2)【操作探究】如图1，先将边长为2的正方形纸片对折，使与重合，得到折痕，把纸片展开，连接，继续沿过点C的直线折叠，使点E落在的延长线上的点G处，得到折痕，把纸片展开，连接，求证点P为线段的黄金分割点． (3)【操作探究】如图2，矩形纸片是黄金矩形（满足，，将矩形纸片的边沿向内折叠，使点B落在边上的点E处，折痕为，纸片展开后，连接，得到正方形和新矩形，连接，求线段的长（结果保留根号） 【经典例题九 求正方形重叠部分面积】 【例1】（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图，正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是4和3，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D．无法确定 【例2】（23-24八年级下·山东泰安·期中）如图，将5个边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点是正方形的中心，则正方形重叠的部分（阴影部分）面积和为_____． 1．（25-26八年级下·河北唐山·期中）如图，有大小不同的2个正方形A和B，当B的对角线交点与A的一个顶点重合时，重叠部分的面积是A的，那么当A的对角线交点与B的一个顶点重合时，重叠部分的面积是B的（  ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）已知正方形纸片和的面积分别为，．如图①，先将正方形纸片的顶点A放置在正方形纸片的对称中心O处，此时重叠部分的面积为；如图②，再将正方形纸片的顶点H放置在正方形纸片的对称中心处，此时重叠部分的面积为．若，则等于（    ） A． B． C．4 D．9 3．（2026八年级下·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）现有①②③三种不同的矩形木板（边长如图（1）所示），取①②③木板各一块，按如图（2）所示的方式摆放（木板②③无重叠，无缝隙），则木板①没有被覆盖的面积为________；在图（2）摆放的基础上再放置一块木板②，如图（3）所示，则此时的木板①没有被覆盖的面积为________． 4．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）如图，四边形中，，，过点D分别作的延长线的垂线，垂足分别为点E，F，设，，，．    (1)证明：四边形是正方形； (2)用a，b，c表示四边形的面积； (3)请根据本题情境，证明：． 【经典例题十 根据正方形的性质证明】 【例1】（23-24八年级下·陕西商洛·期末）如图，在菱形中，连接，有以下结论：①当时，菱形是正方形；②当时，菱形是正方形，下列说法正确的是（   ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①错误，②错误 D．①正确，②正确 【例2】（24-25八年级下·河南郑州·月考）如图所示，在边长为2的正方形中，．分别为边上不与端点重合的两动点，且，连接，则的最小值为___________． 1．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在正方形中，E、F、G、H分别为，，，边上的动点，且．设，，，，则下列结论正确的是（） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·重庆长寿·期中）如图，正方形中，E为对角线上一点，连接AE并延长交于H，过E作交于F，若，则=（   ） A．α B．2α C． D． 3．（25-26八年级下·吉林长春·期中）如图，在正方形中，是边上一点，的垂直平分线交于点，交的延长线于点，连结交于点，连结．给出下面四个结论：①；②平分；③；④若是中点，则也是中点．上述结论中，正确结论的序号有________ 4．（25-26八年级下·山东临沂·期中）学完《正方形》后，老师布置了一道作业如图1，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点．求证：． (1)【思路梳理】取的中点，连接，根据 （判定），易证 ，从而证得； (2)【类比引申】爱思考的小华做完这道题后，想到老师在课堂上经常通过变条件、变结论、条件结论互换或变换图形等多种方式对例题进行变式，以锻炼同学们的思维能力．于是他把原题中的点为边的中点改为点为边上任意一点（，两点除外），其他条件不变（如图2），那么结论是否还成立？请说明理由； (3)【拓展应用】若将（2）中的点改为边延长线一点，其他条件不变，请猜想是否仍然成立？ （填是或否） (4)【拓展应用】如图3，当点为反向延长线上一点，交正方形外角的平分线所在直线于点．若，时，求的长． 【经典例题十一 根据正方形的性质与判定求角度】 【例1】（23-24八年级下·北京·期中）将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上点F处，折痕为（如图1）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在上的点处，折痕为（如图2）；再展平纸片（如图3）．则图3中的度数是（　　） A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级下·江苏泰州·期末）直角梯形中，是边上的一点，恰好使，并且，则的长是__________． 1．（23-24八年级下·山东滨州·期末）如图，将正方形绕点A顺时针旋转，得到正方形，的延长线交于点H，则的大小为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·浙江衢州·期末）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BD，E，F分别是AB，CD的中点，若AC＝BD＝2，则EF的长是（　　） A．2 B． C． D． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）如图所示，在矩形中，是上一点，交于点F，将沿折叠，点C恰好落在边上的点处，则的度数为________． 4．（24-25八年级下·海南·期末）在菱形中，点E是对角线上一点，点F、G在直线上，且，． (1)如图1，求证：①；②； (2)如图2，当时，判断、、的数量关系，并说明理由； (3)如图3，当时，点F在线段上，判断、、的数量关系，并说明理由． 【经典例题十二 根据正方形的性质与判定求线段长】 【例1】（24-25八年级下·全国·暑假作业）如图，现有一块边长为2的正方形毛巾，将其一角折叠至毛巾的中心位置，折痕的长为（   ） A．2 B． C．1 D． 【例2】（2025·八年级下 浙江）如图，在一张矩形纸片中，，分别是和的中点．现将纸片按如图方式折叠，使点与上的点重合．若平分，则的长为___________． 1．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，且，，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，中，，，，、的角平分线交于点D，于点E，于点F，则的长为（   ） A．1.6 B．2 C．2.4 D．3 3．（2026·八年级下 河南许昌）动手操作是学习数学的一种好方法．如图，小华同学在一次折纸活动中，将一张纸（长宽比为）沿折叠，使点落在边上的点处，再沿折叠，使点落在边上的点处，则矩形的长与宽的比值为___________． 4．（25-26八年级下·河南商丘·期中） 如图，在四边形中，，，，．点从点出发，沿方向运动到点，点从点出发，沿方向运动到点，点，的速度均为每秒1个单位长度．设点，的运动时间为（秒）． (1)求与之间的距离； (2)求当为何值时，四边形是平行四边形，并求此时四边形的面积； (3)分别过点，作于点，于点，若以，，，四个点为顶点的四边形是正方形，直接写出t的值． 【经典例题十三 根据正方形的性质与判定求面积】 【例1】（23-24八年级下·山西临汾·期末）如图，在五边形中，，，，，连结，．若，则的面积为（    ） A．15 B．20 C．25 D．30 【例2】（23-24八年级下·重庆沙坪坝·月考）如图，在矩形中，，，以A为圆心，为半径画弧，分别与边交于点E，与的延长线交于点F，则阴影部分的面积为___________．（结果不取近似值）    1．（25-26八年级下·重庆铜梁·期中）如图，点为正方形的对角线的中点，在中，两直角边，分别交，于点，．若正方形的边长为，则重叠部分四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·云南大理·期中）如图，在中，，分别以，，为边向外作正方形，，，连接交于点M，连接交于点N，给出以下三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是(　　) A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 3．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）如图，在正方形中，为对角线上的一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接． （1）若，则矩形的面积为_______； （2）当线段与正方形的一边的夹角是时，则的度数为_______． 4．（25-26八年级下·河北唐山·期中）如图，四边形中，，于点E，旋转一定角度后能与重合，根据图形回答问题． (1)旋转中心是点________，旋转了________度； (2)若，求四边形的面积． 【经典例题十四 根据正方形的性质与判定证明】 【例1】（25-26八年级下·陕西榆林·期中）下列说法中正确的是（　　） A．四个角都相等的四边形是正方形 B．对角线互相垂直的四边形是矩形 C．菱形的两条对角线相等 D．正方形的四条边都相等 【例2】（23-24八年级下·山东德州·期中）如图，点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点，则下列命题中：①若，则四边形为矩形；②若，则四边形为菱形；③若四边形是平行四边形，则与互相平分；④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等．其中是真命题的序号是________． 1．（23-24八年级下·贵州贵阳·月考）将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形，转动这个四边形，使它形状改变．当时，如图①，测得．当时，如图②，（   ） A． B．2 C．6 D． 2．（24-25八年级下·四川达州·期末）如图，在矩形中，，．把沿折叠，使点恰好落在边上的处，再将绕点顺时针旋转，得到，使得恰好经过的中点．设交于点，连接．有如下结论：①；②；③的长度是；④．上述结论中，正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，在正方形中，是边上一动点（不与、重合），对角线、相交于点，过点分别作、的垂线，分别交、于点、，交．于点、，下列结论：①；②；③；④当是的中点时，．其中正确的结论有______． 4．（25-26八年级下·湖北孝感·期中）如图，在矩形中，O为对角线的中点，点E，F分别在边上，且． (1)求证：； (2)如图1，若， ①求证：； ②猜想线段和之间的数量关系是______； (3)如图2，若，那么（2）②中线段和之间的数量关系还成立吗?若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【经典例题十五 利用（特殊）平行四边形的对称性求阴影面积】 【例1】（23-24八年级下·陕西西安·阶段测试）如图，已知长方形中，，那么阴影部分面积是长方形面积的（   ） A． B． C． 【例2】（23-24八年级下·湖南永州·期中）如下图，长为6，宽为3的矩形，阴影部分的面积为_____. 1．（23-24八年级下·浙江·期中）在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为的小正方形拼成的图形，是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·黑龙江大庆·阶段测试）下图中，阴影部分面积与其他三幅不相等的是（    ） A．  B．  C．   D．   3．（23-24八年级下·浙江温州·阶段测试）如图，点，分别是矩形的边，的中点，两条平行线，分别经过菱形的顶点，和边，的中点，，已知菱形的面积为，则图中阴影部分的面积和为___________．（用含的代数式表示） 4．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图所示，四边形是正方形的内接四边形，与都是锐角，已知，，四边形的面积是．求正方形的面积．    【经典例题十六 （特殊）平行四边形的动点问题】 【例1】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在四边形中，，动点P从点B出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（    ）秒． A．2或 B．或 C．或 D．2或 【例2】（23-24八年级下·山东菏泽·期末）如图，在四边形中，，且，动点P，Q分别从点D，B同时出发，点P以的速度向终点A运动，点Q以的速度向终点C运动．______秒时四边形是平行四边形？    1．（25-26八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在四边形中，，，，动点从点出发，以的速度向点运动，同时动点从点出发，以相同的速度向点运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点同时停止运动．设点的运动时间为（单位：），对于结论：①当时，四边形为矩形；②当时，四边形为平行四边形；③当时，或；④点，在运动中会存在一个时刻，使得．不正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 2．（24-25八年级下·新疆昌吉·期末）如图，在正方形中，，是上的一点且，连接，动点从点出发，沿着路径以的速度运动，运动到点停止，设点的运动时间为秒，当和全等时，的值是（    ） A． B． C．或 D．或 3．（25-26八年级下·江苏盐城·月考）如图，在四边形中，，，，点P从点D出发，以的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论中：①当时，四边形为矩形；②当时，四边形为平行四边形；③当时，或；④当时，或．正确的是______（填序号） 4．（24-25八年级下·浙江宁波·月考）在四边形中，，，点，分别从，出发，在线段上往返运动；点，分别从，出发，在线段上往返运动．四个点同时开始运动，设运动的时间为． (1)如图，已知，点，的速度都是，点，的速度都是． ①若点，，，恰好同时回到初始位置，求的所有可能取值； ②设，当时，求的值． (2)如图，若，，点，，，的速度都是，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求的所有可能取值． 【经典例题十七 四边形中的线段最值问题】 【例1】（23-24八年级下·山东聊城·月考）如图，已知正方形的边长为4，点M在上，，点N是上的一个动点，那么的最小值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【例2】（24-25八年级下·江苏淮安·期末）如图，已知正方形的对角线交于O，G是的中点，线段（点在点的左边）在直线上运动，连结，若，则的最小值是______． 1．（25-26八年级下·河南商丘·期中）如图，正方形的边长为是边上的一动点，以为边向左作正方形，连接，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·重庆潼南·期末）如图，正方形的对角线，相交于点，点是上任意一点，于点，于点，若，则的长的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 3．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图在矩形中，，，点E是边的中点，点F是矩形左侧的一个动点，且，连接，线段的最大长度_____________． 4．（25-26八年级下·福建莆田·阶段检测）已知正方形的对角线交于O，M是上一点． (1)如图，于点N，交于点Q． ①求证：； ②若，求的值． (2)如图，M是的中点，线段（点E在点F的左边）在直线上运动，连接，若，，则的最小值是 【经典例题十八 四边形其他综合问题】 【例1】（23-24八年级下·江西上饶·月考）如图，在菱形中，于E．若，且，则菱形的周长为（    ）    A．12 B．8 C．4 D．2 【例2】（23-24八年级下·吉林长春·阶段检测）如图，把边长为的正方形纸片分割成如图的三块，其中点为正方形的中心，为的中点，用这三块纸片拼成与该正方形不全等且面积相等的四边形（要求这三块纸片不重叠无缝隙），若四边形为矩形，则四边形的周长是___________． 1．（24-25八年级下·北京·期中）如图，在中，O为的中点，点E，M为同一边上任意两个不重合的动点（不与端点重合），的延长线分别与的另一边交于点F，N，连接，下面四个推断： ①；②；③若是菱形，则至少存在一个四边形是菱形；④对于任意的，存在无数个四边形是矩形；其中所有正确的有（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 2．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）小明参观完洛阳博物馆后，在出口处购买了博物馆文创产品之一的信封．信封正面可看成如图所示的矩形（虚线为重叠部分四边形的轮廓），其中，，，已知，且，则重叠部分四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·全国·期中）如图，有八个全等的直角三角形拼成一个大四边形和中间一个小四边形，连接、得到四边形，设，，，若，则___________． 4．（25-26八年级下·广西玉林·期中）如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫作垂美四边形． (1)概念理解：下列四边形中：①正方形，②矩形，③菱形，④平行四边形，是垂美四边形的是___________（填写序号）； (2)性质探究：如图1，垂美四边形中，，垂足为，试猜想：与的数量关系，并说明理由； (3)问题解决：如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，且与相交于点，已知，求的长． 【拓展训练一 根据正方形的性质解决相关问题】 【例1】（24-25八年级下·山西运城·期中）如图，在正方形右侧作，使，，连接，随着由小到大的变化，的大小是（    ） A．由小到大 B． C．由大到小 D．会发生变化，但无规律 【例2】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）如图，两个相同的正方形与正方形的顶点重合，恰好落在正方形的对角线上，与交于点，连接，则的度数为______． 1．（2026 八年级下 江苏徐州）如图，将正方形沿折叠，使点A落在点处，且点到两端点B，C的距离相等，若，E为射线上一点，则的长为（   ） A． B． C．或 D．或 2．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）如图，在长方形中，，，、交于点，四边形是正方形．若长度已知．则只需要知道以下哪个长方形的周长（    ），就能求出图中阴影部分面积． A．长方形 B．长方形 C．长方形 D．长方形 3．（25-26八年级下·江苏·月考）如图1，两个相互重合的正方形的边长为a，若将其中一个正方形绕对称中心旋转，如图2所示，最内侧多边形是________边形，在图2外放置两个边长相等的正方形形成图3，如按此规律进行操作，如图3所示，则图3中阴影部分的面积之和________． 4．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．下面借助数形结合思想进行探究． (1)将图①中形状和大小都一样的四个小长方形，按照图②拼成一个正方形，通过计算阴影部分的面积可以得到的数学等式是 ； (2)若，求的值； (3)如图③，某景区计划在一个正方形空地上打造一个人工景点（正方形），连接，空地为休闲娱乐区，空地为风景观赏区．已知的面积为，，求休闲娱乐区的面积． 【拓展训练二 正方形的性质在折叠问题中的应用】 【例1】（24-25八年级下·福建福州·月考）如图所示，取一张菱形的纸片，先沿对折，再沿对折，最后沿中点F与顶点D的连线剪开，将阴影部分展开，平铺后是一个边长为2的正方形，则等于（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·湖北武汉·月考）如图1是由正方形纸片去掉一个以中心为顶点的等腰直角三角形后得到的．该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示．（说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余）．王明通过一系列的操作将图1所示的纸片载剪，拼成了钻石型五边形．具体操作如下：首先如图3，王明沿虚线，裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图4进行拼接．根据王明的剪拼过程，则图3中，的长为_____． 1．（25-26八年级下·山东淄博·期中）如图，在一张边长为的正方形纸片上，将四边形沿翻折，使得点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接，则线段与的长度之和最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·重庆·期中）在边长为12的正方形ABCD中，E为CD边中点，连接AE，将沿线段AE翻折得到，延长AF交BC边于点N，连接EN，延长EF交BC边于点G，其中，连接DF并延长交BC边于点K，连接EK，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24八年级下·重庆巫山·期末）如图，点E是正方形ABCD的边CD上一动点（不与点C、D重合），将△BCE沿BE翻折得到△BFE，连接并延长AF交BE的延长线于点P，连接PD、PC，取AF的中点G，连接BG． 下列结论中正确的结论序号为__________________ ①BP=BG；   ②AP+PC=BP；   ③PD=PC   ④若DE=2CE，AB=3，则PC=3     4．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）正方形的边长为，点是边上一点不与端点重合，将沿所在直线对折至，延长交边于点，连接，可得，连接． (1) ； (2)如图1，若，点为边的中点，求的面积； (3)如图2，若，判断与是否平行？并说明理由； (4)请直接写出 用含的式子表示． 【拓展训练三 根据正方形的性质与判定解决相关问题】 【例1】（24-25八年级下·北京·期末）如图，在矩形中，点P是对角线上任意一点（不与A，C重合），过点P作，点E，F，M，N分别是边上的点，连接．设．下面四个结论中正确的个数是（    ） ①当时．四边形是正方形； ②四边形与四边形的面积始终相等； ③； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】（23-24八年级下·四川绵阳·期末）如图，P是正方形对角线上的一点，直线m，n经过点P且，若四边形与四边形的面积分别是，，那么四边形与四边形的面积之和是________． 1．（23-24·八年级下 浙江宁波）如图，两个大小相同的正方形，如图放置，点，分别在边，上，若要求出阴影部分的周长，只要知道下列哪条线段的长度即可（    ）． A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·浙江温州·期中）将四个全等的三角形按如图所示的方式围成正方形，连接、，记的面积为，四边形的面积为，若A、E、G三点共线，，，则阴影部分的面积是（   ） A．6 B．8 C．12 D．20 3．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，将沿翻折得到，将沿翻折得到，则的长为______． 4．（25-26八年级下·广东揭阳·期末）如图（1），在平面直角坐标系中，轴于，轴于，点，，过点作分别交线段、于、两点． (1)若，求证：． (2)如图（2），且，，求的值． 1．（2026·八年级下 江苏扬州）如图是小华同学在中考一轮复习四边形时整理的平行四边形，矩形，菱形，正方形之间关系的思维导图，其中对应序号的条件填写错误的是（   ） A．① B．② C．③平分 D．④ 2．（23-24八年级下·河北沧州·期中）如图，这是嘉嘉同学答的试卷，嘉嘉同学应得（    ） 班级八（1）班  姓名嘉嘉  得分______ 判断下列各题，对的打“√”，错的打“×”． 每题20分，共100分． （1）若有意义，则．（√） （2）矩形的对角线互相垂直平分．（√） （3）平行四边形是轴对称图形．（√） （4）一个直角三角形的两边长分别5是12和，则第三边长为13．（√） （5）对角线相等的菱形是正方形．（√） A．20分 B．40分 C．60分 D．80分 3．（24-25八年级下·甘肃武威·阶段测试）如图，在矩形中，分别是边上的动点，点从出发到停止运动，点从出发到停止运动，若两点以相同的速度同时出发，匀速运动．下面四个结论中，①存在四边形是矩形；②存在四边形是菱形；③存在四边形是矩形；④存在四边形是正方形．所有正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．②③④ C．②③ D．①②③④ 4．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，用线段和角度作一个菱形，使得，其中，记以为内角的菱形的面积为，当内角发生变化时，菱形的面积也随之改变，定义：菱形的形状系数，其中为菱形的面积的最大值，则下列说法不正确的是（　　） A．若菱形是正方形，则 B．若菱形有一个内角为，则 C．若菱形每个内角都大于，则 D．若菱形有一个内角小于，则存在一个，使得 5．（23-24八年级下·重庆北碚·期中）如图，在正方形的边上取一点E，连接并延长交的延长线于点F，将射线绕点A顺时针旋转后交的延长线于点G，连接，若，则的大小是（　　） A．α B． C． D． 6．（2023·八年级下 浙江台州）如图，一张大正方形纸片，E，F，G，H分别为四边上的点，且，现将大正方形的四个角分别沿，，，翻折．四边形的面积与图中每个三角形的面积均相等，则等于（   ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·浙江宁波·月考）如图，已知正方形，以点为中心，任意作正方形，其边长分别与交于点，交于点M，连接，，，若D，E，F三点共线，若要求的面积，则需要知道以下哪个面积（   ） A．正方形 B．正方形 C． D． 8．（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，中，，，的中垂线与的平分线相交点P，与相交于点Q，与相交于D，连接、．若，下列结论： ①；        ②； ③；        ④． 其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（2026·八年级下 广东深圳）如图，在正方形中，点在上，连接，作于点，交于点，作于点，交于点．若，则等于（　　） A． B． C． D． 10．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在正方形中，点E，F分别为边上两点，满足，过点作于点，过点作于点，作的角平分线交于点．若，，则a，b，c满足下列哪个选项中的数量关系（   ） A． B． C． D． 11．（23-24八年级下·浙江金华·月考）伸缩枪是孩子们喜欢的玩具，它巧妙运用了平行四边形的不稳定性．如图1它由几个相同的菱形连续组成．如图2是对它抽象简化图，点A是位于枪口内垂直平分线的拉伸控制点．已知枪口宽，菱形边长，当时，______；如图3当点A被向枪管更内侧拉至点，且时，点A移动的长度______． 12．（23-24八年级下·浙江丽水·期末）如图，在中，，在内取一点G，使点G到三角形三边距离，，都相等，连结，，已知，．    （1）若，则的长是______（用含m的代数式表示）； （2）当，时，的值为______． 13．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，已知，斜边为的等腰直角三角板如图放置，顶点C与O点重合，现将点C沿滑至点P，点B随之在上滑至点O，则滑动过程中点A所走过的路径长为______ ． 14．（23-24八年级下·浙江·期中）如图，矩形中，，点H在边上，为边上一个动点，连，以为一边在的右上方作菱形，使点G落在边上，连结． （1）如图1，当菱形为正方形时，的长为_________； （2）如图2，在点E的运动过程中，的面积S的取值范围为________． 15．（2023·八年级下 河北石家庄）（1）如图1，正方形ABCD的面积为a，延长边BC到点C１，延长边CD到点D１，延长边DA到点A1，延长边AB到点B1，使，，，，连接C1D1，D1A1，A1B1，B1C1，得到四边形A1B1C1D1，此时我们称四边形ABCD向外扩展了一次，若阴影部分的面积为S1，则_____.（用含a的代数式表示） （2）如图2，任意四边形ABCD面积为m，像（1）中那样将四边形ABCD向外进行两次扩展，第一次扩展成四边形A1B1C1D1，第二次扩展由四边形A1B1C1D1扩展成四边形A2B2C2D2，若阴影部分面积为S2，则_____.（用含m的代数式表示） 16．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，四边形中，，E、F、G、H分别是的中点． (1)求证：四边形是菱形； (2)当四边形满足______（添一个条件）时，四边形为正方形． 17．（25-26八年级下·江苏常州·期中）定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径． 如图1，，四边形是损矩形，则该损矩形的直径是线段．我们还发现损矩形中有公共边的两个三角形角的特点：在公共边的同侧的两个角是相等的（本题中可直接使用）．如图1中：和有公共边，在同侧有和，此时；再比如和有公共边，在同侧有和，此时． (1)请在图1中再找出一对这样的角来：__________． (2)如图2，中，，以为一边向外作菱形，D为菱形对角线的交点，连接，当平分时，判断四边形为何种特殊的四边形？请说明理由． (3)在（2）的条件下，若此时，求的长． 18．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图所示，将两个长为9，宽为3的全等矩形叠合从而得到四边形，求四边形面积的最大值与最小值的差． 19．（25-26八年级下·山东济宁·月考）如图，将边长为的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，设移动的距离 (1)用x表示两个三角形重叠部分的面积 (2)若两个三角形重叠部分的面积为，求出移动的距离? 20．（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，在矩形中，平分，交于点，，交于点，以，为邻边作平行四边形，与相交于点． (1) 求证：平行四边形是正方形； (2)在（）的条件下． 如图，连接．求证：； 如图，连接，点是线段的中点，过点作，与线段，，分别交于点，，．求证． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.3 正方形重难点题型专训 （3个知识点+18大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 证明四边形是正方形 题型二 正方形的判定定理理解 题型三 添一个条件使四边形是正方形 题型四 正方形性质理解 题型五 根据正方形的性质求角度 题型六 根据正方形的性质求线段长 题型七 根据正方形的性质求面积 题型八 正方形折叠问题 题型九 求正方形重叠部分面积 题型十 根据正方形的性质证明 题型十一 根据正方形的性质与判定求角度 题型十二 根据正方形的性质与判定求线段长 题型十三 根据正方形的性质与判定求面积 题型十四 根据正方形的性质与判定证明 题型十五 利用（特殊）平行四边形的对称性求阴影面积 题型十六 （特殊）平行四边形的动点问题 题型十七 四边形中的线段最值问题 题型十八 四边形其他综合问题 拓展训练一 根据正方形的性质解决相关问题 拓展训练二 正方形的性质在折叠问题中的应用 拓展训练三 根据正方形的性质与判定解决相关问题 知识点一：正方形的定义及性质 1. 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 2. 数学语言描述：如图，在ABCD中，若，且，则ABCD是正方形． 3.正方形的性质 图示 性质 数学语言描述 边 对边平行 AB∥CD，AD∥BC 四条边均相等 角 四个角都是直角 对角线 对角线相等且互相垂直平分 ， 每条对角线平分一组对角 对称性 轴对称图形，对称轴是两条对角线所在直线和过每一组对边中点的直线，有四条对称轴 中心对称图形，对称中心是对角线的交点 【即时训练】 1．（2025·八年级下 河南驻马店）下面是一张正方形彩纸，现要交叉裁剪两刀，使其分成面积相等的四部分，则裁剪方案有（   ） A．1种 B．2种 C．4种 D．无数种 【答案】D 【分析】本题考查了正方形性质，它是中心对称图形，经过正方形的对称中心作互相垂直的两条线段，这两条线段把正方形分成的四部分面积相等． 【详解】解：如图，连接交于点O，则点O是正方形的对称中心； 则沿裁剪，分成面积相等的四部分； 当过点O，且时，沿裁剪，也分成面积相等的四部分； 一般地，只要沿着过正方形中心O裁剪，且裁剪的两刀相互垂直，则可以分成面积相等的四部分，因此裁剪方案有无数种； 故选：D． 2．（2023·八年级下 吉林松原）如图，在矩形中，．将矩形沿翻折，使点恰好落在边上的处，再将四边形绕点逆时针旋转得到四边形，交于点，则的面积为__________．    【答案】 【分析】根据矩形的性质和折叠的性质可得四边形是正方形，是等腰直角三角形，四边形是矩形，四边形是矩形，由此可得是等腰直角三角形，由此即可求出，根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，将矩形沿翻折，使点恰好落在边上的处， ∴四边形是正方形， ∴，且是等腰直角三角形， ∴，， ∵，，， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∵将四边形绕点逆时针旋转得到四边形， ∴四边形是矩形，， ∴，，， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查矩形与折叠，等腰三角形的性质的综合，掌握矩形的性质，折叠的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质的综合运用是解题的关键． 知识点二：正方形的判定 【即时训练】 1．（2023·八年级下 河北邢台）下列四个菱形中分别标注了部分数据，根据所标数据，可以判断菱形是正方形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据菱形的性质和正方形的判定逐项判断即可． 【详解】解：A中图形中是一组邻边相等不能判定此菱形是正方形，故不符合题意； B中图形给出，根据菱形的对角线平分对角可得到，则可判定此菱形是正方形，符合题意； C中图形只给出，但不能证得，不能判定此菱形是正方形，故不符合题意； D中图形只给出，即对角线互相垂直平分，不能判定此菱形是正方形，故不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查正方形的判定、菱形的性质，熟知正方形的判定方法是解答的关键． 2．（23-24八年级下·湖南湘西·期末）判断四个命题：①对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；②对角线互相垂直的矩形是正方形；③对角线相等的菱形是正方形；④对角线互相垂直且互相平分的四边形是正方形．命题成立的是（填序号）_____． 【答案】②③ 【分析】根据正方形的判定定理进行判断即可． 【详解】解：①对角线互相平分且垂直且相等的四边形是正方形，原命题是假命题； ②对角线互相垂直的矩形是正方形，是真命题； ③对角线相等的菱形是正方形，是真命题； ④对角线互相垂直且相等且互相平分的四边形是正方形，原命题是假命题； 故答案为：②③． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．同时还考查了正方形的判定． 知识点三：中点四边形及菱形、矩形、正方形与平行四边形的关系 1. 定义：顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形叫做中点四边形．如图所示，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，则四边形EFGH就是中点四边形． 2. 常见的中点四边形形状归纳 原四边形 中点四边形 任意四边形（包括平行四边形） 平行四边形 两条对角线相等的四边形（包括矩形和等腰梯形) 菱形 两条对角线互相垂直的四边形（包括菱形） 矩形 两条对角线相等且互相垂直的四边形（包括正方形） 正方形 3.菱形、矩形、正方形与平行四边形的关系 正方形既是菱形，又是矩形． 菱形、矩形、正方形都是平行四边形，且都是特殊的平行四边形．常见关系使用举例： 【即时训练】 1．（23-24·八年级下 广东潮州）以下四个命题中，真命题是（　　　） ①若，则； ②顺次连接四边形各边中点所得的四边形一定是平行四边形； ③方程有两个不相等的实数根； ④六边形的内角和是其外角和的两倍； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】分别根据等式的性质、中点四边形的性质、一元二次方程根的判别式、多边形的内角和与外角和定理判断即可． 【详解】解：①若，则，原命题是假命题； ②顺次连接四边形各边中点所得的四边形一定是平行四边形，原命题是真命题； ③方程中，>0，方程有两个不相等的实数根，原命题是真命题； ④六边形的内角和是180°×（6-2）=720°，是其外角和的两倍，原命题是真命题； 综上，真命题是②③④，共3个， 故选：C． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 2．（25-26八年级下·北京·课后作业）从知识结构来看，平行四边形、矩形、菱形、正方形的包含关系可以如图表示，则其中最大的椭圆表示的是______形，阴影部分表示的是______形． 【答案】 平行四边 正方 【详解】解：正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形； 正方形、矩形和菱形都是特殊的平行四边形， 所以最大的椭圆表示的是平行四边形，阴影部分表示的是正方形． 【经典例题一 证明四边形是正方形】 【例1】（23-24八年级下·贵州六盘水·期中）如图，在由六个大小相同的小正方形组成的的矩形网格中，去掉两条线段后，还有四个正方形．以下去掉两条线段的方法正确的是（    ）    A．、 B．、 C．、 D．、 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的判定，根据正方形的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．去掉、还有正方形，故不符合同意；     B．去掉、还有正方形，故不符合同意；         C．去掉、还有正方形，故符合同意； D．去掉、还有正方形，故不符合同意；     故选C． 【例2】（23-24八年级下·河南平顶山·期末）如图，菱形的对角线，相交于点，点，同时从点出发在线段上以0.5cm/s的速度反向运动（点，分别到达，两点时停止运动），设运动时间为．连接，，，，已知是边长为4cm的等边三角形，当______s时，四边形为正方形． 【答案】4 【分析】由已知条件可得四边形是菱形，当BD=EF时，即为正方形． 【详解】解：∵菱形的对角线，相交于点，点，同时从点出发在线段上以0.5cm/s的速度反向运动， ∴OD=OB,OE=OF,DB⊥EF， ∴四边形是菱形； ∵是边长为4cm的等边三角形， ∴OD=OB=2； 运动后，OE=OF=， 当OB=OE时，四边形为正方形，即，即． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查菱形与正方形的性质与判定，熟练掌握判定方法是解题的关键． 1．（2026·八年级下 河北邯郸）如图，在菱形中，M，N是对角线上不重合的两个点，且．当改变点M，N位置的过程中，下列对于四边形的说法正确的是（   ） A．总是矩形 B．总是菱形 C．中不可能存在 D．中可能存在 【答案】B 【分析】连接交于点O，根据菱形的性质可得四边形是菱形，当时，菱形是正方形，则．据此判断即可． 【详解】解：如图，连接交于O， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形， ∴， 当时，菱形是正方形，则． 2．（2024·八年级下 上海）关于下列两个结论正确性的说法正确是（   ） （1）矩形各个角的平分线所围成的图形是正方形 （2）平行四边形各个角的平分线所围成的图像是矩形 A．（1）（2）都错误 B．（1）（2）都正确 C．（1）错误，（2）正确 D．（1）正确，（2）错误 【答案】B 【分析】本题考查矩形、正方形的判定定理． 根据矩形、正方形的判定定理判断即可． 【详解】解：（1）解： ∵四边形是矩形， ∴，， ∵、分别是矩形的内角平分线， ∴， ∴， 同理可求， ∴四边形是矩形， ∵，，，为矩形的角平分线， ∴，，是等腰直角三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， ∴矩形为正方形 矩形各个角的平分线所围成的图形是正方形，本说法正确． （2）解： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵、分别是、的平分线， ∴， ∴， 同理可求，，， ∴四边形是矩形． 平行四边形各个角的平分线所围成的图像是矩形，本说法正确． 故选：B． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）将两块完全相同的等腰直角三角形纸板按如图所示的方式叠放，已知是的中点．当绕直角顶点旋转时，阴影部分的形状也随之改变，但其面积不变，则阴影部分面积的值是_________． 【答案】 【分析】本题是旋转问题，考查旋转的性质、正方形的判定，全等三角形的判定和性质，过点作的垂线段，交于点，证明，可得阴影部分面积的值是正方形的面积，证明四边形是正方形是关键． 【详解】解：如图，过点作的垂线段，交于点， , ， 四边形是矩形， ，, , 是的中点， ， ， 为等腰直角三角形， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， 阴影部分面积为， 故答案为：． 4．（25-26八年级下·江苏南京·期中）在菱形中，对角线，相交于点O，M，N分别是，的中点，E，F是的三等分点（点E靠近点B），G，H是的三等分点（点H靠近点D）． (1)如图（1），连接，，，． ①求证：四边形是菱形； ②当四边形是正方形时，菱形需要满足的条件是______． (2)如图（2），连接，，，．请从角、边和对角线三个角度描述四边形的性质．（要求：用文字描述．） 【答案】(1)①证明见解析；② (2)见解析 【分析】（1）①先证明四边形是平行四边形，再根据对角线互相垂直证明其为菱形；②根据对角线相等的菱形是正方形证明即可； （2）根据菱形的对角线互相垂直得到四边形的对角线互相垂直，可得垂直平分，则，即四边形有两组邻边相等；通过证明，得到，则四边形有一组对角相等． 【详解】（1）证明：①∵四边形是菱形， ∴ ∵M，N分别是，的中点，E，F是的三等分点（点E靠近点B），G，H是的三等分点（点H靠近点D） ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是菱形； ②当菱形满足时，四边形是正方形 证明：由①知 ∵ ∴， ∴； 由①知 ∴ ∴， ∴四边形是正方形； （2）解：四边形的性质：有两组邻边相等；一组对角相等；对角线互相垂直（答案不唯一）， 由（1）可得，，，即， ∴垂直平分 ∴； ∵ ∴ ∴， ∴四边形的性质有：两组邻边相等；一组对角相等；对角线互相垂直． 【经典例题二 正方形的判定定理理解】 【例1】（24-25八年级下·河南平顶山·期中）在学习完特殊的平行四边形这一章后，老师测验了同学们对特殊平行四边形的知识掌握情况，下面是张小亮的答卷，他的得分应是（   ） 姓名：张小亮 得分： ？ 判断（每小题分，共分） ①四边相等的四边形是菱形．（√） ②菱形的对角线相等且互相平分．（√） ③有两个角是直角的四边形是矩形．（×）． ④对角线相等的平行四边形是矩形．（√） ⑤有一个角是直角的平行四边形是正方形．（×） A．分 B．分 C．分 D．分 【答案】B 【分析】本题主要考查菱形，矩形和正方形的判定，掌握菱形，矩形和正方形的判定定理和性质是解题的关键．根据菱形，矩形和正方形的判定逐个分析即可． 【详解】①四边相等的四边形是菱形，故①正确，小亮回答正确； ②菱形的对角线垂直且互相平分，故②错误，小亮回答错误； ③有两个角是直角的四边形不一定是矩形，例直角梯形，故③错误，小亮回答正确； ④对角线相等的平行四边形是矩形，故④正确，小亮回答正确； ⑤有一个角是直角的平行四边形是矩形不一定是正方形，故⑤错误，小亮回答正确； 小亮答对4题，共得分， 故选：B． 【例2】（2024·八年级下 山东菏泽）将菱形的两个相邻的内角记为和，定义为菱形的“接近度”，则当“接近度”为______时，这个菱形就是正方形． 【答案】1 【分析】本题主要考查了正方形的判定，菱形的性质，有一个角是直角的菱形就是正方形，且菱形相邻的两个内角互补，据此可得当菱形相邻的两个内角都为90度时，该菱形是正方形，由此可得答案． 【详解】解：∵有一个角是直角的菱形就是正方形，且菱形相邻的两个内角互补， ∴当菱形相邻的两个内角都为90度时，该菱形是正方形， ∴， ∴当时，这个菱形就是正方形， 故答案为：1． 1．（2026·八年级下 河南郑州）定义：将边长相同的菱形与正方形的接近程度叫做菱形的“接近度”，记作，且，其中，为菱形的两个相邻内角的度数．下列说法不正确的是（    ） A．内角等于130°的菱形的接近度 B．接近度越大的菱形越接近于正方形 C．当时，该菱形是正方形 D．菱形的接近度的取值范围是 【答案】D 【分析】本题为新定义问题，结合菱形的邻角互补性质，逐一验证选项即可得到不正确的结论. 【详解】解：∵菱形对边平行，∴菱形相邻内角满足， 对选项A：若菱形一个内角为，则相邻内角为， ，A正确； 对选项B：由可知，越大，越小，相邻内角越接近，菱形越接近正方形，B正确； 对选项C：当时，，即，结合得，此时菱形是正方形，C正确； 对选项D：∵菱形的内角满足，， ，可得，的最大值为， 因此的取值范围是，不包含，D错误. 2．（23-24八年级下·广东广州·期末）下列命题：①若是整数，则正整数的最小值是12；②“”与“”均一定成立；③“如果，，（是正整数）是一组勾股数，那么正整数，，也是一组勾股数”的逆命题是真命题；④四条边相等的四边形是菱形，四个角相等的四边形是正方形，不正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质、勾股定理和勾股数、菱形和正方形的判定定理判断即可． 【详解】解：①若是整数，而 则正整数n的最小值是3，故原说法不正确； ②当a≥0时，“ ”与“”一定成立，故原说法不正确； ③“如果na，nb，nc（n是正整数）是一组勾股数，那么正整数a，b，c也是一组勾股数”的逆命题是“如果正整数a，b，c是一组勾股数，那么正整数na，nb，nc（n是正整数）也是一组勾股数”， 所以逆命题是真命题，故原说法正确； ④四条边相等的四边形是菱形，四个角相等的四边形是矩形，故原说法不正确； 故选：C． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理，同时考查了勾股定理，二次根式的性质，菱形与正方形的判定． 3．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）定义菱形的两条对角线长之比为“对角线比”． （1）若菱形成为正方形，则“对角线比”为 ___； （2）当“对角线比”为4，菱形面积为800时，菱形的边长为 ___． 【答案】 1：1 【分析】（1）根据菱形的性质和正方形的判定定理即可得到结论； （2）设菱形的两条对角线长分别为4x，x，根据菱形的面积公式，即可得到结论． 【详解】解：（1）∵正方形的对角线相等， ∴若菱形成为正方形，则“对角线比”为1：1； 故答案为：1：1； （2）∵“对角线比”为4， ∴设菱形的两条对角线长分别为4x，x， ∴×4x•x＝800， 解得：x＝20（负值舍去）， ∴4x＝80， ∴菱形的边长=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的判定，菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 4．（23-24八年级下·陕西延安·期中）问题提出 （1）如图1，在中，是边上的一个动点，过点作的平行线，交的平分线于点，交外角的平分线于点，连接，，求证：是的中点． 问题探究 （2）在（1）的条件下，线段能否和线段相等？请说明理由． 问题解决 （3）某市新区进行生态修复治理，美化人居环境．为了充分利用河道上方空间，现规划从地铁口处向河畔，上方建一个四边形河上公园，其中河岸和相互平行，，两点在上，平分交于点，平分交于点，点在上．按设计要求，要在四边形河上公园内建一个正方形休息亭，那么，应该满足什么关系？请在图2上补充完整设计图，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）能，当点运动到的中点时，，理由见解析；（3）图见解析，，且，理由见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，熟悉相关性质是解题的关键． （1）利用角平分线的定义和平行线的性质，证明，，即可解答； （2）利用（1）中结论，即可解答； （3）得到是等腰直角三角形，再推出，可得，即可证明四边形是矩形，再通过对角线相互垂直，即可得到四边形是正方形． 【详解】（1）证明：∵， ∴，． 又∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是的中点． （2）能．当点运动到的中点时，． 理由：∵当点运动到的中点时，， 由（1），可知， ∴， ∴，即． （3）设计图如图所示，此时，且． 理由：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵平分，平分，， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形． ∵， ∴四边形是正方形， 即，且． 【经典例题三 添一个条件使四边形是正方形】 【例1】（25-26八年级下·山东聊城·期中）已知一个四边形是矩形，要使它成为一个正方形，在下列给出的条件中，可添加（   ） A．有一个角是 B．对角线互相垂直 C．对角线互相平分 D．对角线相等 【答案】B 【分析】根据正方形的判定定理，判断哪个条件可将矩形变为正方形. 【详解】解：∵原四边形已经是矩形 ∴矩形本身四个角都是，对角线互相平分且相等，因此选项A，C，D给出的条件都是矩形已有的性质，不能推出矩形是正方形； 根据正方形的判定定理，对角线互相垂直的矩形是正方形，因此添加“对角线互相垂直”的条件，可使矩形成为正方形. 【例2】（25-26八年级下·全国·单元测试）如图，矩形的对角线相交于点O，再添加一个条件，使得四边形是正方形，这个条件可以是_______（写出一个条件即可）． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴当时，四边形是正方形． 1．（25-26八年级下·陕西渭南·期中）已知在中，．添加一个条件，使得四边形为正方形．添加的条件可以为（    ） A． B．平分 C． D． 【答案】C 【分析】先根据已知条件推出四边形是菱形，再结合正方形的判定定理逐一分析各选项即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，且， ∴四边形是菱形， A、菱形对边相等，是菱形原本就成立的性质，添加该条件不能判定四边形是正方形，错误； B、菱形对角线平分内角，平分是菱形原本就成立的性质，添加该条件不能判定四边形是正方形，错误； C、根据正方形的判定，对角线相等的菱形是正方形， ∴添加，可判定菱形是正方形，正确； D、平行四边形对角相等，原本就成立，添加该条件不能判定四边形是正方形，错误． 2．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）在复习特殊四边形的关系时，小明同学整理出如图所示的转换图，①、②、③、④处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（   ） A．①填 B．②填 C．③填 D．④填 【答案】A 【分析】根据菱形、矩形、正方形的判定定理逐项分析即可得出结果． 【详解】解：A、添加，无法使平行四边形变为菱形，故符合题意； B、添加，可以使菱形变为正方形，故不符合题意； C、添加，可以使平行四边形变为矩形，故不符合题意； D、添加，可以使矩形变为正方形，故不符合题意． 3．（25-26八年级下·黑龙江七台河·期中）如图，在平行四边形中，，在不添加任何辅助线的前提下，若使平行四边形 是正方形，则需添加的一个条件是________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了矩形的判定、正方形的判定，因为平行四边形中，，根据对角线相等的平行四边形可证四边形是矩形，根据有一组邻边相等的矩形是正方形，再添加一组邻边相等即可证明四边形是正方形． 【详解】解：平行四边形中，， 四边形是矩形， 当时， 根据有一组邻边相等的矩形是正方形， 可知四边形是正方形． 故答案为：(答案不唯一)． 4．（25-26八年级下·湖北咸宁·期中）如图，四边形是平行四边形，，延长至点E，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)当是多少度时，四边形是正方形，为什么？ 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形是正方形，理由见解析 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，由，即可得到四边形是矩形； （2）根据邻边相等的矩形是正方形即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵，， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是矩形； （2）解：当时，四边形是正方形， ∵，， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形． 【经典例题四 正方形性质理解】 【例1】（25-26八年级下·辽宁大连·期中）正方形具有，而菱形不具有的性质是（   ） A．对角线垂直 B．对角线平分一组对角 C．对角线相等 D．对角线互相平分 【答案】C 【分析】本题考查正方形与菱形的性质，解题关键是熟记两种图形的性质，对比即可找出正方形有而菱形不具有的性质． 【详解】解：∵ 正方形的性质为：四条边都相等，四个角都是直角，对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角； 又∵ 菱形的性质为：四条边都相等，对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角，菱形的对角线不一定相等； ∴ 正方形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等． 【例2】（24-25八年级下·江苏南京·期中）将对角线分别为和的菱形改为一个面积不变的正方形，则正方形的边长为______ ． 【答案】5 【分析】本题考查了菱形的面积和正方形的面积计算的方法，已知对角线的长度，根据菱形的面积计算公式即可计算菱形的面积，进一步开方求得正方形的边长即可． 【详解】解：菱形的对角线分别为和， 菱形的面积， 正方形的边长是． 故答案为：5． 1．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形，是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】0正方形对角线的交点，取正方形对角线的交点Q，则经过P、Q的直线把它剪成了面积相等的两部分，令直线与直线交于点，先后证明，，得出，在中，利用勾股定理求出，即可得解． 【详解】解：如图，标记四边形顶点，取正方形对角线的交点Q，则经过P、Q的直线则把它剪成了面积相等的两部分，令直线与直线交于点， 由题意可得，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，即， 在中，，，， ， ，即剪痕的长度是． 2．（25-26八年级下·浙江嘉兴·期末）如图，由边长相同的9个小正方形组成的图形，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了网格中的度数、全等三角形的判定和性质、正方形的性质、角的和差等知识点，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 如图：先判定可得，进而得到，由正方形的性质可得，然后求和即可解答． 【详解】解：如图： 根据题意和图形可知可看作两个全等矩形的对角线， ∴， 由图可知， ∴ ∴ ， ∴， ∵可以看作是正方形对角线和边构成的角， ∴ ∴． 故选B． 3．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点在轴上，顶点在轴上，且，则正方形ABCD的面积是____ 【答案】20 【分析】过点D作y轴的垂线，垂足为，证明，得到的长度，再运用勾股定理，得到正方形的边长，最后得出正方形的面积． 【详解】解：过点D作y轴的垂线，垂足为点E；从点D坐标，可知E点坐标，； 四边形是正方形， ， 与互余， ， 与互余， ， ， ，， ， ． 4．（25-26八年级下·河南许昌·期中）如图，点是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，连接、，和相交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由正方形的性质，可得，，，可得，证明，即可证得结论； （2）连接交于点，由正方形的性质，结合勾股定理，可得，可得，根据勾股定理即可得的长． 【详解】（1）证明：∵四边形和四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴． （2）解：如图，连接交于点， ∵四边形是正方形， ∴，，，，，， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴． 【经典例题五 根据正方形的性质求角度】 【例1】（25-26八年级下·陕西榆林·期中）如图，在正方形内，以为边作等边三角形，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形，等边三角形的性质，掌握以上知识，角度的计算是关键． 根据正方形，等边三角形的性质得到，结合角度的计算即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B ． 【例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知正方形，连接、，平分交于点E，则______． 【答案】 【分析】根据正方形的性质可知，然后由角平分线的定义即可解答． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 又∵平分， ∴． 1．（25-26八年级下·河南濮阳·期中）如图，分别以正方形的顶点A，B为圆心，的长为半径作弧，两弧在正方形的内部交于点E，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先得到是等边三角形，求出，然后结合正方形得到，，进而求解即可． 【详解】解：连接，， 由作图得，， 是等边三角形， ， 在正方形中，，， ，， ， ． 2．（25-26八年级下·湖南永州·期中）如图，正方形的对角线为菱形的一边，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方形的性质可知，由菱形的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形为正方形 ，为对角线， ∴ 平分， ∴， ∵四边形为菱形， ∴． 3．（25-26八年级下·广西玉林·期中）如图，正方形中，，，则 ．    【答案】/30度 【分析】把逆时针旋转得到，则，先证出C、A、G三点共线，得出，，由证明，得出，证出，即是等边三角形，得出，再由三角形的内角和定理求出即可． 【详解】解：把逆时针旋转得到，连接；如图所示：    则， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点C、A、G三点共线， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线、等边三角形的判定与性质、三角形的外角性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键． 4．（2026·八年级下 安徽阜阳）如图，在正方形中，点，分别在，上，是等边三角形．求的度数． 【答案】 【分析】先证，得，结合，可得，在中利用直角两锐角互余即可求的度数． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，． ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴． 【经典例题六 根据正方形的性质求线段长】 【例1】（2026·八年级下 广西玉林）如图，四边形是正方形，点表示的数为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的性质以及勾股定理可求出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，且， ∴， ∴， ∴， ∵点A表示的数为， ∴点表示的数为． 【例2】（25-26八年级下·上海·期中）如图，正方形的边长为1，点E在对角线上且，则的长为______． 【答案】 【分析】先由正方形的性质结合勾股定理求解，再由求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴ ∵ ∴． 1．（2026·八年级下 山西临汾）如图，在边长为4的正方形中，按如下步骤作图： ①分别以为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于两侧，过两交点作直线，分别交，于点； ②连接，以为圆心，适当长为半径作弧，分别与，交于两点；再分别以这两点为圆心，适当长为半径作弧，两弧交于内一点，过与该交点作射线，交于点； ③过点作于点． 根据以上作图步骤，线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由作图步骤可知是线段的垂直平分线，平分，因此由正方形的性质可得四边形是矩形，利用勾股定理求得，然后在上截取，连接、，根据角平分线的定义，利用可证，推出，，然后设，在和中，利用勾股定理建立方程，即可求解． 【详解】解：四边形是正方形，边长为4， ∴，， 由步骤①可知，是线段的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴在中，， 由步骤②可知，平分，即， 如图，在上截取，连接、， 又∵， ， ，， ， 设，则，，， 在中，， 在中，， ∴， ， 解得， ． 2．（2026·八年级下 湖北襄阳）如图，为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到，延长交于点，连接．则的长为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】由旋转得，，可得出四边形为正方形，可得．在中，由勾股定理得，，则．在中，由勾股定理得，，进而可得答案． 【详解】解：由旋转得， 四边形为矩形， 四边形为正方形， 在中，由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得，． 3．（2026·八年级下 天津东丽）如图，是等腰直角三角形，，，边长为的正方形的顶点D，E，F分别在的边，，上． （Ⅰ）点F到边的距离为__________； （Ⅱ）的长为__________． 【答案】 2 【分析】过点F作与点G，由等腰直角三角形的性质得出，，进一步得出是等腰直角三角形，则，证明，由全等三角形的性质得出，，设，则，，，由勾股定理求出，再由勾股定理求出，最后根据线段的和差关系即可求出． 【详解】解：过点F作与点G， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴，． 设，则，，， 在中，， 即， 解得：， ∴， ∴， ∴． 4．（25-26八年级下·湖北随州·期中）如图，已知正方形的边长为3，E、F分别是、边上的点，且，将绕点D逆时针旋转，得到．若，求的长． 【答案】 【分析】根据旋转的性质得出、、三点共线，，，进而得出，然后利用判断出，根据全等三角形的对应边相等得出，设，然后根据勾股定理建立方程，求解即可得出答案． 【详解】解：逆时针旋转得到， ， 、、三点共线， ，， ， ， ， 在和中， ， ， 设， ，且， ， ， ， 在中，即， 解得， . 【经典例题七 根据正方形的性质求面积】 【例1】（25-26八年级下·福建三明·月考）如图，七巧板是由宋代的宴几图演变而来的，小明用边长为的正方形纸板制作了一幅七巧板（图①），然后拼成“飞机”（图②），则“飞机尾翼”（阴影部分）的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，根据图形可得“飞机尾翼”（阴影部分）为等腰直角三角形，腰长为正方形边长的，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：依题意，“飞机尾翼”（阴影部分）为等腰直角三角形，腰长为正方形边长的， ∵边长为的正方形纸板， ∴“飞机尾翼”（阴影部分）的面积为， 故选：A． 【例2】（25-26八年级下·陕西安康·月考）如图，在中，，，，则正方形的面积是______． 【答案】16 【分析】根据已知条件利用勾股定理求得的长，从而利用正方形面积公式即可求得结果． 【详解】解：∵，，， ∴在中，， ∴． 1．（2026·八年级下 河北保定）如图，在正方形中，，E为边上一点，连接，过点C作于点F，记，．当x，y的值变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，由面积公式得，代入相关数据可得结论． 【详解】解：如图，连接， 由面积公式得， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26八年级下·北京海淀·期中）如图，在正方形中，点是上任意一点，，垂足分别为点，若该正方形的面积为50，则的值为（   ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】B 【分析】证明四边形是矩形，是等腰直角三角形，得到，利用正方形的面积公式求得正方形的边长，据此求解即可． 【详解】解：∵正方形， ∴，，即， ∵， ∴四边形是矩形，是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵正方形的面积为50， ∴边长为， ∴， ∴的值为5． 3．（23-24八年级下·江苏盐城·月考）如图，以边长为1的正方形的边为对角线作第二个正方形，再以为对角线作第三个正方形，如此作下去，，则所作的第2022个正方形的面积_____． 【答案】 【分析】本题考查了图形规律，正方形的性质，二次根式的计算，理解图示，找出规律是关键，根据题意，第n个正方形的面积为，由此即可求解． 【详解】解：边长为1的正方形的面积为， 根据题意，，， ∴， ∴正方形的边长，则面积为， 正方形的边长为，则面积为， ， ∴第n个正方形的面积为， ∴第2022个正方形的面积为 ． 4．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． (1)请分别写出图1，图2阴影部分的面积能解释的乘法公式： 图1： ． 图2： ． (2)【拓展探究】用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图3的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式之间的等量关系是 ． (3)【知识迁移】当时，则的值为 ． (4)【解决问题】如图4，C是线段上的一点，分别以为边向两边作正方形和正方形．已知，两正方形的面积和为20，求的面积 (5)如图5，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)， (2) (3) (4)11 (5)120 【分析】（1）因为图1是大正方形分割为四个部分，所以可通过大正方形面积和各部分面积的关系推导乘法公式；因为图2是大正方形挖去小正方形后剩余部分拼接为长方形，所以可通过两种方式表示阴影面积推导乘法公式． （2）因为阴影部分面积可直接用边长为的正方形面积表示，也可用大正方形面积减去4个长方形面积表示，所以可建立三个代数式的等量关系． （3）因为的相反数，所以可设，，利用（2）的等量关系求解． （4）因为设，，则，，所以先利用完全平方公式求出的值；因为的面积可通过正方形面积、三角形面积的和差关系表示，且和相关，所以代入的值计算． （5）因为阴影部分面积是两个三角形面积的和，等于大正方形与小正方形面积和的一半，所以运用完全平方公式变形，可转化为含和的形式，代入已知值计算即可． 【详解】（1）解：图1：大正方形边长为，阴影面积等于4个部分面积和，得公式：； 图2：阴影正方形边长为，面积等于大正方形面积减去多余部分，得公式：． （2）解：大正方形面积为，阴影小正方形面积为，4个长方形总面积为， ∴，或写成． （3）解：设，， 则，，且， ∴． 代入（2）的结论：（或） （4）解：设，， 则，两正方形面积和． ∵是直角三角形，面积． 由完全平方公式：， 代入得， 解得， ∴． （5）解：∵，且B、C、G三点共线， ∴， ∴， ∴ 代入，， ． 【经典例题八 正方形折叠问题】 【例1】（24-25八年级下·四川内江·月考）已知正方形的面积为81，点H是边上的一个动点，沿过点H的直线将正方形折叠，使顶点D恰好落在边上的三等分点E处，则线段的长是（   ） A．5.5 B．6.5 C．5或5.5 D．5或6.5 【答案】D 【分析】本题考查正方形的折叠问题，分类讨论，利用勾股定理建立方程是解题的关键． 分类讨论：当时，当时，逐一分析求解即可． 【详解】解：根据题意，得 ． ∴． 设，由折叠得 ． 如图①所示， 当时，． 由勾股定理，得 ， 解得； 如图②所示， 当时．由勾股定理，得 ， 解得． 综上所述，DH的长为5或6.5． 故选D． 【例2】（23-24八年级下·江苏盐城·月考）如图，在正方形中，，是上一点，且，是上一动点，连接，若将沿翻折后，点落在点处，则到点的最短距离为________ 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、圆外一点到圆上的最短距离；由翻折的性质可知：点在上运动的过程中，点的轨迹是一段圆弧，由此可以求出的最小值； 【详解】解：如图，连接，以为圆心，的长为半径画弧； 在正方形中，， ∴， 在中，， 由翻折的性质可知： 点在上运动的过程中，， ∴点的轨迹是以为圆心，半径为的一段弧； ∴当 三点共线时，有最小值， 此时， 故答案为：． 1．（25-26八年级下·山东聊城·期中）如图，将一张正方形纸片的顶点A折叠至边上的E点，折痕为，若折痕比边长长2，，则正方形的边长为（   ） A．20 B．22 C．24 D．25 【答案】C 【分析】先过点作于点，利用三角形全等的判定得到，从而求出，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作于点， 由正方形的性质得，，， ，， 由折叠得到， ， 又， ， ∴，又， ， ∴． 在中，，， 由勾股定理得， 解得，即正方形的边长为24． 2．（25-26八年级下·重庆·阶段检测）如图，正方形的边长为5，点E在边上，且，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得到，延长交于点F，连接，作和的平分线相交于点G，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由折叠的性质可知， ， ∴， 在正方形中，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，，， ∴， 解得：，即， ∵和的平分线相交于点G， ∴点G到的距离相等， 设点G到的距离为h， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴△的面积为． 3．（2023·八年级下 吉林长春）如图，在正方形中，，点E为的中点，点F为边一动点，将沿翻折得到，连接，则线段的长度的最小值为______． 【答案】 【分析】连接，可得，由可得当点在线段上时，线段的长度最小，再由勾股定理求解即可． 【详解】解：连接， 四边形是正方形， ， 点为的中点 由折叠的性质可知： ∵， 则 ∴当点在线段上时，线段的长度最小 在中，由勾股定理得： 线段的长度的最小值为． 4．（25-26八年级下·广西南宁·期中）【教材重现】宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫作黄金矩形． 【教材拓展】一个点把一条线段分为两段，如果其中较长线段与整条线段的比等于较短线段与较长线段的比，我们就说这个点是这条线段的黄金分割点，这个比值叫做黄金比，这个比值为（约为0.618） (1)【概念理解】一条线段有 个黄金分割点； (2)【操作探究】如图1，先将边长为2的正方形纸片对折，使与重合，得到折痕，把纸片展开，连接，继续沿过点C的直线折叠，使点E落在的延长线上的点G处，得到折痕，把纸片展开，连接，求证点P为线段的黄金分割点． (3)【操作探究】如图2，矩形纸片是黄金矩形（满足，，将矩形纸片的边沿向内折叠，使点B落在边上的点E处，折痕为，纸片展开后，连接，得到正方形和新矩形，连接，求线段的长（结果保留根号） 【答案】(1)2 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由黄金分割点的定义即可得出结果； （2）利用折叠的性质并结合勾股定理计算后，根据黄金分割点的定义，即可得出结果； （3）根据黄金分割矩形的定义，求出的长，进而求出的长，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，一条线段有2个黄金分割点； （2）证明：∵边长为2的正方形纸片， ∴， 设，则， 由折叠的性质可得：，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴； 故点P为线段的黄金分割点． （3）解：由题意，，， ∴， ∴， ∴． 【经典例题九 求正方形重叠部分面积】 【例1】（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图，正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是4和3，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，正方形环的面积计算是解题的关键．连接，根据题意，得阴影部分的面积是，解答即可． 【详解】解：连接， 由正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是4和3， 根据题意，得阴影部分的面积是， 故选：A． 【例2】（23-24八年级下·山东泰安·期中）如图，将5个边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点是正方形的中心，则正方形重叠的部分（阴影部分）面积和为_____． 【答案】 【分析】如图，连接，，证明出，得到，推出每一个阴影部分的面积等于正方形的，再根据正方形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：如图，连接，， 由正方形的性质得，，， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴每一个阴影部分的面积等于正方形的， ∴正方形重叠的部分（阴影部分）面积和． 1．（25-26八年级下·河北唐山·期中）如图，有大小不同的2个正方形A和B，当B的对角线交点与A的一个顶点重合时，重叠部分的面积是A的，那么当A的对角线交点与B的一个顶点重合时，重叠部分的面积是B的（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及到正方形性质的应用，正确认识图形是解题的关键． 根据题意，结合图形，先得到图1中，结合已知条件，得到，结合图2，得到结果． 【详解】解∶如图，设正方形的面积为，正方形的面积为，图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为， ∵图1中，，，， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理，图2中，， ∴， 即当的对角线交点与的一个顶点重合时，重叠部分的面积是的， 故选∶． 2．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）已知正方形纸片和的面积分别为，．如图①，先将正方形纸片的顶点A放置在正方形纸片的对称中心O处，此时重叠部分的面积为；如图②，再将正方形纸片的顶点H放置在正方形纸片的对称中心处，此时重叠部分的面积为．若，则等于（    ） A． B． C．4 D．9 【答案】A 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，连接，设交于点，交于点，证明，推出，同理推出，进而求出即可． 【详解】解：连接，设交于点，交于点， ∵正方形，正方形，点为正方形的中心， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选A． 3．（2026八年级下·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）现有①②③三种不同的矩形木板（边长如图（1）所示），取①②③木板各一块，按如图（2）所示的方式摆放（木板②③无重叠，无缝隙），则木板①没有被覆盖的面积为________；在图（2）摆放的基础上再放置一块木板②，如图（3）所示，则此时的木板①没有被覆盖的面积为________． 【答案】 【分析】此题考查正方形的性质，整式的混合运算，掌握基本平面图形的面积计算方法是解决问题的关键． 图（2）木板①没有被覆盖的是长为，宽为的矩形，利用矩形的面积公式直接求解即可；图（3）木板①没有被覆盖的部分可以用长为，宽为的矩形面积减去长为，宽为的矩形，化简后合并同类项即可． 【详解】解：图（2）木板①没有被覆盖的面积为， 图（3）木板①没有被覆盖的面积为， 故答案为：，． 4．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）如图，四边形中，，，过点D分别作的延长线的垂线，垂足分别为点E，F，设，，，．    (1)证明：四边形是正方形； (2)用a，b，c表示四边形的面积； (3)请根据本题情境，证明：． 【答案】(1)见解析 (2)四边形的面积为 (3)见解析 【分析】（1）证明，由全等三角形的性质得出，由正方形的判定可得出结论； （2）过点作的垂线，垂足为．由直角三角形的性质及三角形面积可得出答案； （3）由全等三角形的性质得出，四边形的面积正方形的面积．设，则，即，求出，由图形的面积关系可得出结论． 【详解】（1）证明：，， ， ， 四边形为矩形， ， 又， 即， ． ， ， ， 四边形为正方形． （2）解：过点作的垂线，垂足为． 由题意得为等腰直角三角形，即点为斜边的中点．   ， ， 又，，， 四边形的面积； （3）证明：四边形为正方形， ． ， ，四边形的面积正方形的面积． 设，则， 即， ， 正方形的面积． ， 整理得， ． 【点睛】题是四边形综合题，考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定、平行四边形的判定、等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关图形的性质和判定定理是解题的关键． 【经典例题十 根据正方形的性质证明】 【例1】（23-24八年级下·陕西商洛·期末）如图，在菱形中，连接，有以下结论：①当时，菱形是正方形；②当时，菱形是正方形，下列说法正确的是（   ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①错误，②错误 D．①正确，②正确 【答案】A 【分析】本题考查正方形的判定以及菱形的性质，解题的关䋖是熟练掌握正方形和菱形的相关判定定理与性质． 分别分析当时，菱形的形状，以及当时，菱形的形状，从而判断对错． 【详解】解：①当时，菱形又是矩形，判定菱形是正方形， ②当时，推出是等边三角形，得到，不能判定菱形是正方形， ∴①正确，②错误． 故选：A． 【例2】（24-25八年级下·河南郑州·月考）如图所示，在边长为2的正方形中，．分别为边上不与端点重合的两动点，且，连接，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等．连接，证明，可得，从而得到．作点关于的对称G，连接，可得则， 由三角形三边关系可知，在中，利用勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接． ∵四边形是正方形， CD，， ， ． ， ． 如图所示，作点关于的对称点G，连接，则， 由三角形三边关系可知，即． 在中，， 的最小值为． 故答案为： 1．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在正方形中，E、F、G、H分别为，，，边上的动点，且．设，，，，则下列结论正确的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作交于，过点作交于，根据正方形的性质及平行四边形的判定和性质得出四边形是平行四边形，，同理可得四边形是平行四边形，，再由全等三角形的判定和性质得出，，结合图形求解即可． 【详解】解：过点作交于，过点作交于，交于点O， 四边形是正方形， ，， ，， 四边形是平行四边形， ， 同理可得四边形是平行四边形， ， ，，， ， ， 又， ， 在和中 ， ， 由图可知，， ， ， ． 2．（25-26八年级下·重庆长寿·期中）如图，正方形中，E为对角线上一点，连接AE并延长交于H，过E作交于F，若，则=（   ） A．α B．2α C． D． 【答案】C 【分析】过点作于点，射线交于点，由正方形的性质得，又证四边形是矩形，得，再证，得，进一步可得答案. 【详解】解：过点作于点，射线交于点， ∵四边形是正方形， ∴ ∵， ∴四边形是矩形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 3．（25-26八年级下·吉林长春·期中）如图，在正方形中，是边上一点，的垂直平分线交于点，交的延长线于点，连结交于点，连结．给出下面四个结论：①；②平分；③；④若是中点，则也是中点．上述结论中，正确结论的序号有________ 【答案】①②③ 【分析】根据线段垂直平分线的性质即可判断①；根据平行线的性质以及等腰三角形即可判断②；过点A作于点E，根据角平分线的性质可得， 证明，可得，证明，可得，即可判断③；假设是的中点，此时，可得，不满足三角形的三边关系，故假设不成立，即可判断④． 【详解】解：①∵垂直平分， ∴，故①正确； ②∴， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴， ∴，即平分，故②正确； ③过点A作于点E， ∵平分，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ，故③正确； ④∵是的中点， ∴， 假设是的中点，此时， ∴， ∵， ∴，与在中，相矛盾，故假设不成立，即此时不是的中点，故④错误； 综上所述，正确的有①②③． 4．（25-26八年级下·山东临沂·期中）学完《正方形》后，老师布置了一道作业如图1，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点．求证：． (1)【思路梳理】取的中点，连接，根据 （判定），易证 ，从而证得； (2)【类比引申】爱思考的小华做完这道题后，想到老师在课堂上经常通过变条件、变结论、条件结论互换或变换图形等多种方式对例题进行变式，以锻炼同学们的思维能力．于是他把原题中的点为边的中点改为点为边上任意一点（，两点除外），其他条件不变（如图2），那么结论是否还成立？请说明理由； (3)【拓展应用】若将（2）中的点改为边延长线一点，其他条件不变，请猜想是否仍然成立？ （填是或否） (4)【拓展应用】如图3，当点为反向延长线上一点，交正方形外角的平分线所在直线于点．若，时，求的长． 【答案】(1)， (2)结论还成立，理由见解析 (3)是 (4) 【分析】（1）取正方形边中点构造辅助点，利用正方形边长相等、内角为直角的性质，推出线段相等，再求出对应角度，借助同角的余角相等，利用角边角证明三角形全等，从而证得线段相等． （2）在边上截取与相等的线段，构造等腰直角三角形求出钝角角度，结合外角平分线得到等角，再利用余角关系推导角相等，证三角形全等得出结论成立． （3）在延长线上截取等长线段构造等腰直角三角形，依次推导边角等量关系，沿用前两问全等证明思路，完整推导线角相等，证得线段相等仍然成立． （4）先构造辅助线证明三角形全等，再利用外角平分线和等腰直角三角形性质求出垂线段长度，结合全等得到对应边长，最后用勾股定理分步求出线段长． 【详解】（1）解：取的中点，连接． 四边形是正方形， ，， 为中点，为中点， ，， ， ，， ， ， 平分正方形的外角， ， ， ， ， ， ， ， ， （）， ． （2）解：结论还成立，理由如下： 在上截取，连接． 四边形是正方形， ，， ， ， ， ，， ， ， 平分正方形的外角， ， ， ， ， ， ， ， ， （）， （3）解：在延长线上截取，连接，点在延长线上， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 平分正方形外角， ， ， ， ， ， ， ， ∵，， ∴ （）， ． （4）解：在延长线上截取，连接；过点作，交的延长线于点． 四边形是正方形， ，， ， ，, ， 平分正方形外角， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ∴（）, ∴， ，，， （）， ， ， ， ， 【经典例题十一 根据正方形的性质与判定求角度】 【例1】（23-24八年级下·北京·期中）将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上点F处，折痕为（如图1）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在上的点处，折痕为（如图2）；再展平纸片（如图3）．则图3中的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形与折叠，正方形的判定与性质．熟练掌握矩形与折叠，正方形的判定与性质是解题的关键． 由矩形与折叠的性质可证四边形是正方形，，由折叠的性质可知，，根据，计算求解即可． 【详解】解：由矩形与折叠的性质可知，，， ∴四边形是正方形，， 由折叠的性质可知，， ∴， 故选：B． 【例2】（23-24八年级下·江苏泰州·期末）直角梯形中，是边上的一点，恰好使，并且，则的长是__________． 【答案】4或6 【分析】本题考查正方形的判定与性质，旋转，全等三角形的判定与性质，勾股定理，一元二次方程，正确作出辅助线是解题的关键． 过点B作交的延长线于F，证明四边形是正方形，则把绕点B顺时针旋转得到，再，得到，设，则，，根据勾股定理，得到，求解即可． 【详解】解：如图，过点B作交的延长线于F， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， 把绕点B顺时针旋转得到， 则． ∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴， ∴． 设，则， ∴． 在中， ， 即， 整理得 ， 解得， ∴的长是4或6． 故答案为：4或6． 1．（23-24八年级下·山东滨州·期末）如图，将正方形绕点A顺时针旋转，得到正方形，的延长线交于点H，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质，求得∠BAE=38°，根据正方形的性质，求得∠DBA=45°，∠ABH=135°，利用四边形的内角和定理计算即可． 【详解】根据旋转的性质，得∠BAE=38°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DBA=45°，∠ABH=135°， ∵四边形AEFG是正方形， ∴∠E=90°， ∴∠DHE=360°-90°-38°-135°=97°， 故选B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，四边形的内角和定理，熟练掌握正方形的性质，旋转的性质是解题的关键． 2．（23-24八年级下·浙江衢州·期末）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BD，E，F分别是AB，CD的中点，若AC＝BD＝2，则EF的长是（　　） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】分别取的中点为，连接，利用中点四边形的性质可以推出，再根据，可以推导出四边形是正方形即可求解． 【详解】解：分别取的中点为，连接， 分别是的中点， ， 又， ， 四边形是正方形， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了中点四边形的性质、正方形的判定及性质，解题的关键是作出适当的辅助线，利用题意证明出四边形是正方形． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）如图所示，在矩形中，是上一点，交于点F，将沿折叠，点C恰好落在边上的点处，则的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查矩形与折叠，正方形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，是解题的关键，先求出的度数，折叠，推出四边形是正方形，进而得到，根据三角形的外角的性质，折叠的性质和平角的定义，进行求解即可． 【详解】解：在矩形中，，． 沿折叠，点C恰好落在边上的点处，， 四边形是正方形， ． 由三角形的外角性质，得． 由翻折的性质，得，． 故答案为：． 4．（24-25八年级下·海南·期末）在菱形中，点E是对角线上一点，点F、G在直线上，且，． (1)如图1，求证：①；②； (2)如图2，当时，判断、、的数量关系，并说明理由； (3)如图3，当时，点F在线段上，判断、、的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）①由菱形性质得到，由等腰三角形性质得到．从而有．由等量代换得到，从而可证； ②由全等的性质得出，由菱形的性质得出，从而有，最后有等量代换即可得到； （2）由菱形的性质可求出，从而得到为等边三角形，得到，从而可证结论； （3）证明四边形是正方形，得到，同（1）可证，得到，进而得到为等腰直角三角形，从而得到结论． 【详解】（1）证明∶①如图， ∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴，即． ∴； ②∵， ∴． ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴．即． （2）解：． 理由如下： ∵四边形是菱形，， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴． 由（1）知：， ∵， ∴． （3）解：． 理由如下： 如图， ∵四边形是菱形，， ∴四边形是正方形， ∴． ∵， ∴． ∴． 又∵， ∴，即． ∴， ∴． ∵， ∴在中，． ∵． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，灵活运用相关性质定理和判定定理是解题的关键． 【经典例题十二 根据正方形的性质与判定求线段长】 【例1】（24-25八年级下·全国·暑假作业）如图，现有一块边长为2的正方形毛巾，将其一角折叠至毛巾的中心位置，折痕的长为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质与判定、折叠的性质，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 根据正方形的性质得到，由折叠的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，推出，同理，得到四边形是正方形，根据正方形的性质得到，于是得到结论． 【详解】解：如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由折叠的性质得，， ， ， 同理， ∴四边形是正方形， ∴． 故选B． 【例2】（2025·八年级下 浙江）如图，在一张矩形纸片中，，分别是和的中点．现将纸片按如图方式折叠，使点与上的点重合．若平分，则的长为___________． 【答案】 【分析】根据题意可得四边形是矩形，，是等腰直角三角形，则，如图所示，过点作，可得是等腰三角形，四边形是矩形，是正方形，四边形是矩形，则，，根据折叠，得到，在中由勾股定理得到，由即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵点，分别是和的中点， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵平分， ∴， ∴是等腰直角三角形，则， 如图所示，过点作， ∴是等腰三角形， ∴四边形是矩形，是正方形，四边形是矩形， ∴，， ∵折叠， ∴， 在中，， ∴， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，折叠性质，勾股定理的运用，掌握矩形的折叠，勾股定理的运用是解题的关键． 1．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，且，，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的证明及性质，矩形的证明及性质，正方形的证明及性质，能够正确作出辅助线是解题关键； 过点C作，，先证得四边形是矩形，再通过可证得，进而证得矩形是正方形，再通过线段的和差关系算出，进而可得到答案． 【详解】解：如图，过点C作，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴ 在和中， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴矩形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 2．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，中，，，，、的角平分线交于点D，于点E，于点F，则的长为（   ） A．1.6 B．2 C．2.4 D．3 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定，过D作于H，由角平分线的性质推出，，判定四边形是正方形，得到，由勾股定理求出，判定，得到，同理，得到，即可求出的长． 【详解】解：过D作于H， ∵平分，平分，，， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 3．（2026·八年级下 河南许昌）动手操作是学习数学的一种好方法．如图，小华同学在一次折纸活动中，将一张纸（长宽比为）沿折叠，使点落在边上的点处，再沿折叠，使点落在边上的点处，则矩形的长与宽的比值为___________． 【答案】 【分析】根据矩形的性质及折叠的性质证明四边形是正方形，四边形是正方形，设，则，根据正方形的性质得到，，进而得到，计算即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， 由折叠的性质可知，， ∴， ∴四边形是正方形， 同理可证四边形是正方形， 设，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴矩形的长与宽的比值为． 4．（25-26八年级下·河南商丘·期中） 如图，在四边形中，，，，．点从点出发，沿方向运动到点，点从点出发，沿方向运动到点，点，的速度均为每秒1个单位长度．设点，的运动时间为（秒）． (1)求与之间的距离； (2)求当为何值时，四边形是平行四边形，并求此时四边形的面积； (3)分别过点，作于点，于点，若以，，，四个点为顶点的四边形是正方形，直接写出t的值． 【答案】(1)6 (2)，四边形的面积为54 (3)2或8 【分析】（1）过点作于点，证明四边形是矩形，求出，再利用勾股定理求出即可； （2）先列式得出，，，要使四边形是平行四边形，只需即可，列式求解即可； （3）先证明四边形是矩形，四边形是矩形，分两种情况：当在左侧时，当在右侧时，得出要使以，，，四个点为顶点的四边形是正方形，只需即可，分别列式求解即可． 【详解】（1）解：过点作于点， 则， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 即与之间的距离为； （2）解：设点，的运动时间为（秒）， ∵点，的速度均为每秒1个单位长度．，， ∴，，， 要使四边形是平行四边形， ∵， ∴只需即可， ∴， 解得：， 此时， 由（1）可知，与之间的距离为， ∴四边形的面积为； （3）解：∵，，， ∴，， 又∵， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， 当在左侧时，如图， 要使以，，，四个点为顶点的四边形是正方形， 则只需， ∵与之间的距离为， ∴， ∵四边形是矩形，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； 当在右侧时，如图， 要使以，，，四个点为顶点的四边形是正方形， 则只需， ∵与之间的距离为， ∴， ∵四边形是矩形，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； 综上，或． 【经典例题十三 根据正方形的性质与判定求面积】 【例1】（23-24八年级下·山西临汾·期末）如图，在五边形中，，，，，连结，．若，则的面积为（    ） A．15 B．20 C．25 D．30 【答案】A 【分析】此题考查了正方形的性质和判定，解题的关键是证明出四边形是正方形． 延长，交于点F，首先证明出四边形是正方形，得到，，求出，，然后利用的面积代数求解即可． 【详解】如图所示，延长，交于点F， ∵ ∴四边形是矩形 ∵ ∴四边形是正方形 ∴， ∵，， ∴， ∴的面积 ． 故选：A． 【例2】（23-24八年级下·重庆沙坪坝·月考）如图，在矩形中，，，以A为圆心，为半径画弧，分别与边交于点E，与的延长线交于点F，则阴影部分的面积为___________．（结果不取近似值）    【答案】/ 【分析】过E作交于点G，证明四边形，都是矩形，得到矩形是正方形，推出阴影部分的面积矩形的面积，据此求解即可． 【详解】解：过E作交于点G，    ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形，都是矩形， ∵，， ∴， ∴， ∴矩形是正方形， ∴，， ∴阴影部分的面积矩形的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的判定和性质、矩形的性质、勾股定理的应用，掌握矩形的判定和性质是正确解答的前提． 1．（25-26八年级下·重庆铜梁·期中）如图，点为正方形的对角线的中点，在中，两直角边，分别交，于点，．若正方形的边长为，则重叠部分四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点于点，证明，得到计算即可． 【详解】解：过点作于点于点， ∵四边形是正方形， ∴平分， ∴， ∴四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ． 2．（25-26八年级下·云南大理·期中）如图，在中，，分别以，，为边向外作正方形，，，连接交于点M，连接交于点N，给出以下三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是(　　) A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】根据正方形的性质，三角形的三边关系，旋转的性质，三角形的面积，正方形的面积，对3个结论逐一说明，再作出判断即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵在中，， ∴，故①正确； ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， 即， 故②正确； ∵四边形是正方形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴绕点逆时针旋转得到， 绕点逆时针旋转得到， ∴与为对应边， ∴与成角， 即， 故③正确， 综上所述，①②③都正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，三角形的三边关系，三角形的面积，正方形的面积等知识点，解题关键是掌握上述知识点，并能运用求解． 3．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）如图，在正方形中，为对角线上的一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接． （1）若，则矩形的面积为_______； （2）当线段与正方形的一边的夹角是时，则的度数为_______． 【答案】 3 或 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． （1）作，，证明，得到，根据正方形的判定定理证明即可； （2）分两种情况讨论即可，①当与的夹角为时，②当与的夹角为时，从而可得答案． 【详解】如图，作于P，于Q， 四边形为正方形， ∵， ∴， 矩形， ， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； ∵ ∴正方形的面积为：， 故答案为：3； （2）①当与的夹角为时， 如图2， ∵，， ∴， ②当与的夹角为时，如图3，即交于， ， 综上所述：或． 故答案为：或 4．（25-26八年级下·河北唐山·期中）如图，四边形中，，于点E，旋转一定角度后能与重合，根据图形回答问题． (1)旋转中心是点________，旋转了________度； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)A，或； (2) 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质以及旋转中心的确定，旋转角的确定，以及旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小的性质． （1）根据图形确定旋转中心即可，对应边的夹角即为旋转角，再根据正方形的每一个角都是直角解答； （2）根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得的面积等于的面积，从而得到四边形的面积等于正方形的面积，然后求解即可． 【详解】（1）解：由图可知，点A为旋转中心，在四边形中，， ∴， ∴，， 所以，逆时针旋转了或顺时针； 故答案为：A，或； （2）解：由旋转性质知，， ∴四边形是正方形， ∵旋转后能与重合， ∴， ∴， ∴四边形的面积=正方形的面积， ∵， ∴四边形的面积． 【经典例题十四 根据正方形的性质与判定证明】 【例1】（25-26八年级下·陕西榆林·期中）下列说法中正确的是（　　） A．四个角都相等的四边形是正方形 B．对角线互相垂直的四边形是矩形 C．菱形的两条对角线相等 D．正方形的四条边都相等 【答案】D 【分析】本题考查了特殊四边形的性质与判定，由矩形、菱形、正方形的定义和性质逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵ 四个角都相等的四边形是矩形，但矩形不一定是正方形（需边相等），∴ A错误； ∵ 对角线互相垂直的四边形不一定是矩形（如菱形），矩形的对角线相等但不一定垂直，∴ B错误； ∵ 菱形的对角线互相垂直且平分，但不一定相等（只有正方形对角线相等），∴ C错误； ∵ 正方形的定义是四边相等、四角为直角，∴ 四条边都相等正确，∴ D正确． 故选：D． 【例2】（23-24八年级下·山东德州·期中）如图，点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点，则下列命题中：①若，则四边形为矩形；②若，则四边形为菱形；③若四边形是平行四边形，则与互相平分；④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等．其中是真命题的序号是________． 【答案】④ 【分析】本题考查中点四边形、平行四边形、矩形、菱形的判定等知识， 先证明一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线时，中点四边形是菱形，当对角线时，中点四边形是矩形，当对角线，且时，中点四边形是正方形，再逐一分析各选项即可． 【详解】解：∵点 E、F、G、H分别是四边形边边、、、的中点， ∴，，，，，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ①当时，则， 则四边形为菱形，①说法错误； ②当时，则， 则四边形为矩形，②说法错误； ③四边形一定是平行四边形，与不一定互相平分，③说法错误； ④当四边形是正方形时，与互相垂直且相等，④说法正确； 故答案为：④． 1．（23-24八年级下·贵州贵阳·月考）将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形，转动这个四边形，使它形状改变．当时，如图①，测得．当时，如图②，（   ） A． B．2 C．6 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 如图①先根据题意得到四边形是正方形，连接，利用勾股定理求出的长，如图②根据，证明三角形为等边三角形即可得到答案． 【详解】解：如图①∵，， ∴四边形是正方形， 连接，则， ∴， 如图②，，连接， ∵ ∴为等边三角形， ∴． 故选A． 2．（24-25八年级下·四川达州·期末）如图，在矩形中，，．把沿折叠，使点恰好落在边上的处，再将绕点顺时针旋转，得到，使得恰好经过的中点．设交于点，连接．有如下结论：①；②；③的长度是；④．上述结论中，正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】证明四边形是正方形，可求，，求出，结合是的中点可判断①正确；取的中点，连接，可证是等边三角形，从而可求，进而可判断②正确；求出，进而可判断③正确；由，，可求，进而可判断④正确． 【详解】解：四边形是矩形， ， 四边形是矩形， 由折叠得：， 四边形是正方形， ， ， 是的中点， ．故①正确； 在中 ， 如图，取的中点，连接，   ， ， 是等边三角形， ， ， ，故②正确； 在中 ， 由旋转得：， ，故③正确； 四边形是正方形， ， ，， ， ，故④正确． ①②③④均正确． 故选D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质等知识，灵活运用这些性质进行推理证明是本题的关键． 3．（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，在正方形中，是边上一动点（不与、重合），对角线、相交于点，过点分别作、的垂线，分别交、于点、，交．于点、，下列结论：①；②；③；④当是的中点时，．其中正确的结论有______． 【答案】①③ 【分析】根据正方形的性质证明全等，可判断①结论；根据正方形的性质证明边形是矩形，可判断②结论；过点作交于点，分别证明四边形是平行四边形，四边形是正方形，可判断③结论；同③理可证，四边形、是正方形，可判断④结论． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， ， 又， ，①结论正确； 四边形是正方形， ， ， 四边形是矩形， ， ，②结论错误； 如图，过点作交于点， ，， ， 四边形是平行四边形， ， 由①可知，， ， ， 垂直平分， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 又， 四边形是正方形， ， ，③结论正确； 设正方形的边长为，则， 是的中点， ， 同③理可证，四边形、是正方形， ， ， ，， ，④结论错误， 故答案为：①③． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质等知识，掌握相关知识点是解题关键． 4．（25-26八年级下·湖北孝感·期中）如图，在矩形中，O为对角线的中点，点E，F分别在边上，且． (1)求证：； (2)如图1，若， ①求证：； ②猜想线段和之间的数量关系是______； (3)如图2，若，那么（2）②中线段和之间的数量关系还成立吗?若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② (3)成立，证明见解析 【分析】（1）利用四边形的内角和定理以及邻补角进行证明； （2）①连接，利用正方形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质证明； ②根据正方形的性质得出相等的边，利用勾股定理求解； （3）延长交于点G，连接，根据矩形的性质证明和，得出相等的边，然后利用勾股定理求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：①证明：如图1，连接， ∵四边形是矩形，且， ∴四边形是正方形，是等腰直角三角形， ∴，， 由（1）可知， 在和中， ， ∴， ∴； ②，证明如下： 由①得， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 由勾股定理得， 即； （3）解：线段和之间的数量关系还成立，证明如下： 如图2，延长交于点G，连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ∴． 【经典例题十五 利用（特殊）平行四边形的对称性求阴影面积】 【例1】（23-24八年级下·陕西西安·阶段测试）如图，已知长方形中，，那么阴影部分面积是长方形面积的（   ） A． B． C． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形面积的计算，作出三角形的高，并表示出三角形与长方形的面积是解题的关键．过点作，垂足为，由图形可知，既是的高，也是的高，设，，根据三角形的面积公式可得，，接着可得，即可得出阴影部分占长方形面积的比例． 【详解】如图所示，过点作，垂足为， 设，， 则， ， ，， ， ， ， ，即阴影部分面积是长方形面积的． 故选：C． 【例2】（23-24八年级下·湖南永州·期中）如下图，长为6，宽为3的矩形，阴影部分的面积为_____. 【答案】9 【分析】根据矩形是中心对称图形，可得阴影部分的面积是矩形面积的一半，求出矩形面积即可求解． 【详解】解：因为O为矩形的对称中心，则阴影部分的面积是矩形面积的一半，因为矩形面积为，所以阴影部分的面积9． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了矩形是中心对称图形的性质．熟练掌握中心对称图形的性质是解题的关键． 1．（23-24八年级下·浙江·期中）在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为的小正方形拼成的图形，是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中心对称的性质即可作出剪痕，根据三角形全等的性质即可证得PM=AB，利用勾股定理即可求得． 【详解】解：如图，经过P、Q的直线则把它剪成了面积相等的两部分， 由图形可知△AMC≌△FPE≌△BPD， ∴AM=PB， ∴PM=AB， ∵PM==， 故选：A． 【点睛】本题考查了图形的剪拼，中心对称的性质，勾股定理的应用，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 2．（23-24八年级下·黑龙江大庆·阶段测试）下图中，阴影部分面积与其他三幅不相等的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】运用平行四边形的面积，三角形的面积公式，先计算出每个阴影部分的面积，比较大小即可． 【详解】解：设平行四边形的面积为S， A选项中阴影部分面积小于，B、C、D三个选项中阴影部分的面积都等于， ∴阴影部分面积与其他三幅不相等的是A选项． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了图形面积的计算，解题的关键是根据平行四边形的面积得出各个图形中阴影部分的面积． 3．（23-24八年级下·浙江温州·阶段测试）如图，点，分别是矩形的边，的中点，两条平行线，分别经过菱形的顶点，和边，的中点，，已知菱形的面积为，则图中阴影部分的面积和为___________．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】连接、交于点，设交于点，交于点，连接，由、分别是、的中点，得，，得出四边形是平行四边形，再利用四边形是菱形，可得，，，利用证明，再利用证明，从而得出，根据菱形的面积为，进而得出，运用平行四边形面积可得，，最后根据即可求得答案． 【详解】解：如图，连接、交于点，设交于点，交于点，连接， 四边形是矩形， ，，， 、分别是、的中点， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ，，， 四边形是菱形， ，， ， ， ， ， 点是的中点， ， 在和中，， ， ， ， ，，， 点是矩形的中心，即、、三点在同一条直线上， ， ， ， 在和中，， ， ， ，， 四边形是平行四边形， 同理，四边形是平行四边形， ， ， 同理可得，， ， 菱形的面积为， ， ， ， ， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形性质，平行四边形的判定与性质，菱形性质，全等三角形判定和性质，平行四边形面积等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质及全等三角形判定和性质等相关知识是解题关键． 4．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图所示，四边形是正方形的内接四边形，与都是锐角，已知，，四边形的面积是．求正方形的面积．    【答案】 【分析】过点，，，，分别作，，，的垂线，分别交于,于，于,于,得矩形，利用勾股定理表示出，，然后由，，，，推出，即可得出，得到最后结果． 【详解】解：过点，，，，分别作，，，的垂线，分别交于,于，于,于,得矩形，      设正方形的边长为，，， ，，，， ，，四边形的面积为， ，， 由，，，， 得到， ， 即， 又四边形的面积是， ， 解得：，即正方形的面积为． 【点睛】本题主要考查了三角形的面积、正方形的性质以及勾股定理，此题难度较大，在解题时需灵活运用图中的直角三角形和矩形的性质． 【经典例题十六 （特殊）平行四边形的动点问题】 【例1】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在四边形中，，动点P从点B出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（    ）秒． A．2或 B．或 C．或 D．2或 【答案】C 【分析】本题考查了动点问题，平行四边形的判定，利用分类讨论的思想解决问题是关键．由题意可得，分两种情况讨论：当点在上时；当点在延长线上时，表示出，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形求解即可． 【详解】解：由题意可知，，， ， ， 当点在上时，， ， 当时，四边形是平行四边形， ， 解得：； 当点在延长线上时，， ， 当时，四边形是平行四边形， ， 解得：， 综上可知，以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为或秒， 故选：C 【例2】（23-24八年级下·山东菏泽·期末）如图，在四边形中，，且，动点P，Q分别从点D，B同时出发，点P以的速度向终点A运动，点Q以的速度向终点C运动．______秒时四边形是平行四边形？    【答案】3 【分析】由运动时间为秒，则，，而四边形是平行四边形，所以，则得方程求解． 【详解】解：设秒后，四边形是平行四边形， ，， ， 当时，四边形是平行四边形， ， ， 秒时四边形是平行四边形． 故答案为：3． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，关键是由，得到． 1．（25-26八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在四边形中，，，，动点从点出发，以的速度向点运动，同时动点从点出发，以相同的速度向点运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点同时停止运动．设点的运动时间为（单位：），对于结论：①当时，四边形为矩形；②当时，四边形为平行四边形；③当时，或；④点，在运动中会存在一个时刻，使得．不正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】根据题意，用含的代数式表示出的长，利用矩形及平行四边形、梯形的性质逐一判断即可. 【详解】解：由题意得：， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 当四边形为矩形时， ∴， 即：， 解得：， ∴不正确； 当四边形是平行四边形时， ∴， 即：， 解得：， ∴②不正确； 当时，若四边形是平行四边形，； 若四边形是梯形，分别过点作于，于， ∴， ∴， ∵， ∴四边形、四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 综上：当时，或， ∴③正确； 由题意得：， 若， 则， ∵， ∴点，在运动中不存在一个时刻，使得， ∴④不正确． 综上：①②④不正确. 2．（24-25八年级下·新疆昌吉·期末）如图，在正方形中，，是上的一点且，连接，动点从点出发，沿着路径以的速度运动，运动到点停止，设点的运动时间为秒，当和全等时，的值是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、动点问题．当和全等时，一定为直角三角形，点在上时，不能构成三角形；点在上时构成的不是直角三角形，此时两个三角形不能全等；当点在上时，此时点运动的路程为，根据运动的速度可以求出运动的时间；当点在上时，此时点运动的路程为，根据运动的速度求出运动的时间即可． 【详解】解：中， 当和全等时，一定为直角三角形， 当点在上时，不能构成三角形； 当点在上时，如下图所示， 构成的不是直角三角形，此时和不全等； 当点在上时，如下图所示， ， 则有， 此时点运动的路程为， 运动的时间为； 当点在上时，如下图所示， ， ， 此时点运动的路程为， 运动的时间为， 综上所述，当和全等时，的值是或． 故选：D ． 3．（25-26八年级下·江苏盐城·月考）如图，在四边形中，，，，点P从点D出发，以的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论中：①当时，四边形为矩形；②当时，四边形为平行四边形；③当时，或；④当时，或．正确的是______（填序号） 【答案】④ 【分析】用含t的式子表示出，，，的长度，当四边形为矩形时，根据列方程；当四边形为平行四边形时，根据列方程；当时分两种情况：一是四边形为平行四边形，二是四边形为等腰梯形，分别列方程求解即可． 【详解】解：由题意得，， ， ，， 当四边形为矩形时，， 即， 解得，故①错误； 当四边形为平行四边形时，， 即， 解得，故②错误； 当时分两种情况： 当四边形为平行四边形时，； 当四边形为等腰梯形时，过点M作于点G，过点C作于点H，如图所示， 则， ，， ， ， ， ，， 四边形为矩形， ， ， 解得， 综上可得，当时，或， 故③错误，④正确． 综上所述，正确的是④． 4．（24-25八年级下·浙江宁波·月考）在四边形中，，，点，分别从，出发，在线段上往返运动；点，分别从，出发，在线段上往返运动．四个点同时开始运动，设运动的时间为． (1)如图，已知，点，的速度都是，点，的速度都是． ①若点，，，恰好同时回到初始位置，求的所有可能取值； ②设，当时，求的值． (2)如图，若，，点，，，的速度都是，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求的所有可能取值． 【答案】(1)①，为整数且；②； (2)，，，，为整数且． 【分析】（1）①分别找到，和，的周期以及，，，共同的周期即可求解；②找到当时，，，此时的位置，计算，的值即可求解； （2）找到，，，的周期，画出一个周期内，的距离，根据周期内有次，此时以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求出的值即可． 【详解】（1）解：①因为，回到初始位置的周期为，，回到初始位置的周期为， 又因为， 所以点，，，恰好同时回到初始位置的时间，为整数且； ②由①得，当时，，的位置为， 当时，， ，的位置为， 当时，， 所以； （2）因为以，，，为顶点的四边形是平行四边形仅与，的长度有关， 所以为一个周期， 如图，以时间为轴，，的距离，，的距离为轴，在同一直角坐标系中画出图象， 由图可得，在一个周期内有次，此时以，，，为顶点的四边形是平行四边形， 由，，解得，由，，解得， 再由对称性，得，， 所以的所有可能取值是，，，，为整数且． 【经典例题十七 四边形中的线段最值问题】 【例1】（23-24八年级下·山东聊城·月考）如图，已知正方形的边长为4，点M在上，，点N是上的一个动点，那么的最小值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】由正方形的对称性可知点B与D关于直线对称，连接交于点，即为所求，在中利用勾股定理即可求出的长即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴点B与D关于直线对称， 连接交于点，连接， 则， ， 当B、N、M三点共线时，取得最小值， 则即为所求的点， 则的长即为的最小值， ∵四边形是正方形， ∴是线段的垂直平分线， 又， 在中，， 故的最小值是5． 故选：C． 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题及正方形的性质，根据点B与点D关于直线对称，可知的长即为的最小值是解答此题的关键． 【例2】（24-25八年级下·江苏淮安·期末）如图，已知正方形的对角线交于O，G是的中点，线段（点在点的左边）在直线上运动，连结，若，则的最小值是______． 【答案】 【分析】取的中点，则与关于对称，过点作，，交于点，连接，则四边形是平行四边形，，根据轴对称的性质可以得出，利用三角形三边关系可以得出，根据两点间的距离最短进一步得出，在中，根据勾股定理即可解此题． 本题主要考查了正方形的性质、勾股定理以及利用平移和对称求最值问题，关键在于通过平移和对称将所求线段和转化为两点之间的距离． 【详解】，解：四边形是正方形，， ， ， 是的中点， ， 取的中点，则与关于对称， ， 过点作，，交于点，连接， 四边形是平行四边形， ，， 在中，， 又点是上的动线段， ， 当点在一条直线上时，取最小值， ， , 在中，，，根据勾股定理， 最小值为， 故答案为：． 1．（25-26八年级下·河南商丘·期中）如图，正方形的边长为是边上的一动点，以为边向左作正方形，连接，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长到，使，连接，，证明，得，根据，，得是线段的垂直平分线，则，由此得，因此当为最小时，为最小，根据“两点之间线段最短”得，据此得当点，，共线时，为最小，最小值为线的长，继而得的最小值为线段的长，然后在中，由勾股定理求出即可得出答案． 【详解】解：延长到，使，连接，，如图所示: ∵四边形是正方形，且边长为3， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴当为最小时，为最小，根据“两点之间线段最短”得：， ∴当点，，共线时，为最小，最小值为线段的长， ∴的最小值为线段的长， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴的最小值是， 2．（23-24八年级下·重庆潼南·期末）如图，正方形的对角线，相交于点，点是上任意一点，于点，于点，若，则的长的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接OP、EF，根据已知条件和正方形的性质可以得到当EF最小就是OP最小，然后利用垂线段最短即可求解． 【详解】解：如图，连接OP、EF， ∵正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是BC上任意一点，PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F， ∴四边形OEPF为矩形， ∴EF=OP， ∴EF最小时OP最小， 当OP⊥BC于P的时候OP最小， 而当OP⊥BC时，P为BC的中点， ∴OP=BC， ∵AC=， 则BC=2， ∴OP=1， ∴EF的长的最小值为1． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，同时也利用了垂线段最短解决问题． 3．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图在矩形中，，，点E是边的中点，点F是矩形左侧的一个动点，且，连接，线段的最大长度_____________． 【答案】 【分析】使用勾股定理计算出，由“三角形的两边之和大于第三边”可知，，因此当，，三点共线时，最大． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 在直角中，， ∵， ∴当，，三点共线时，取得最大值． 4．（25-26八年级下·福建莆田·阶段检测）已知正方形的对角线交于O，M是上一点． (1)如图，于点N，交于点Q． ①求证：； ②若，求的值． (2)如图，M是的中点，线段（点E在点F的左边）在直线上运动，连接，若，，则的最小值是 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】（1）①根据正方形的性质及可证的，进而得到；②连接，作于O交于P，结合①中可证得，进而得到，结合，得到，从而得到，从而可得，于是可得答案； （2）连接，过C作且，连接，可知为平行四边形，根据，转化为求，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）①证明：∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ②解：连接，作交DN于点E，    ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴，， 则， 在等腰直角中，有， 由（1）可知，则， 故：； （2）如图，连接，过C作，且，连接，，    ∴， 则为平行四边形， ∴， ，， ∵M为中点且， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【经典例题十八 四边形其他综合问题】 【例1】（23-24八年级下·江西上饶·月考）如图，在菱形中，于E．若，且，则菱形的周长为（    ）    A．12 B．8 C．4 D．2 【答案】A 【分析】根据菱形的面积公式和题意可求出菱形的边长，进而可求出菱形的周长． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， ， ， ， 菱形的周长为， 故选A． 【点睛】本题考查了菱形的性质及其面积和周长，熟练掌握这些知识是解题的关键． 【例2】（23-24八年级下·吉林长春·阶段检测）如图，把边长为的正方形纸片分割成如图的三块，其中点为正方形的中心，为的中点，用这三块纸片拼成与该正方形不全等且面积相等的四边形（要求这三块纸片不重叠无缝隙），若四边形为矩形，则四边形的周长是___________． 【答案】 【分析】根据四边形为矩形及为的中点即可得到，再利用正方形的性质得到即可解答． 【详解】解：如图所示， ∵四边形是正方形，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴四边形的周长是：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了图形的剪拼，全等图形，掌握图形的剪拼是解题的关键． 1．（24-25八年级下·北京·期中）如图，在中，O为的中点，点E，M为同一边上任意两个不重合的动点（不与端点重合），的延长线分别与的另一边交于点F，N，连接，下面四个推断： ①；②；③若是菱形，则至少存在一个四边形是菱形；④对于任意的，存在无数个四边形是矩形；其中所有正确的有（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定，菱形的判定和性质，平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定和性质，证明四边形是平行四边形是解题的关键． 由“”可证，，可证四边形是平行四边形，可得，与不一定相等，故①错误，②正确，由菱形的判定和性质和矩形的判定可判断③错误，④正确． 【详解】解：如图1，∵O为对角线的中点， ∴，， ∴， 在和中， ，    ∴， ∴， 同理可得：， ∴，即； 又∵， ∴四边形是平行四边形，   ∴，故②正确； 根据现有条件无法证明，故①错误． 若平行四边形是菱形，则， ∴， ∵点E，M为边上任意两个不重合的动点(不与端点重合)， ∴， ∴四边形不可能是菱形，故③不正确； 如图2，当时，则， ∵四边形是平行四边形， ∴边形是矩形， 又∵存在无数个点E、M满足， ∴对于任意的，存在无数个四边形是矩形，故④正确；        综上所述，正确结论为②④． 故选：D． 2．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）小明参观完洛阳博物馆后，在出口处购买了博物馆文创产品之一的信封．信封正面可看成如图所示的矩形（虚线为重叠部分四边形的轮廓），其中，，，已知，且，则重叠部分四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明四边形是正方形，由正方形的面积公式可求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∵， ∴， ∴ ∴四边形的面积为． 故选：B． 【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，证明四边形是正方形是解题的关键． 3．（23-24八年级下·全国·期中）如图，有八个全等的直角三角形拼成一个大四边形和中间一个小四边形，连接、得到四边形，设，，，若，则___________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了代数式求值，四边形面积计算，将四边形的面积设为x，其余八个全等的三角形相等，每个三角形的面积设为y，由，，，可得出，，，根据，得出，从而求出，即可得出答案． 【详解】解：设四边形的面积为x，其余八个全等的三角形面积相等，每个三角形的面积设为y， ∵，，， ∴，，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 4．（25-26八年级下·广西玉林·期中）如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫作垂美四边形． (1)概念理解：下列四边形中：①正方形，②矩形，③菱形，④平行四边形，是垂美四边形的是___________（填写序号）； (2)性质探究：如图1，垂美四边形中，，垂足为，试猜想：与的数量关系，并说明理由； (3)问题解决：如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，且与相交于点，已知，求的长． 【答案】(1)①③ (2)；理由见解析 (3) 【分析】（1）根据垂美四边形的定义进行判断即可； （2）根据勾股定理得出，，，，即可得出结论； （3）连接，，设交点为，根据勾股定理得出，证明，得出，证明，得出，根据解析（2）的结论可知，，求出，即可得出结论． 【详解】（1）解：正方形的对角线互相垂直平分且相等； 矩形的对角线互相平分且相等； 菱形对角线互相垂直平分； 平行四边形的对角线互相平分； 因此是垂美四边形的是①③； （2）解：；理由如下： ∵， ∴， ∴，，，， ∴，， ∴； （3）解：连接，，如图所示：设交点为， ∵在中，，， ∴， ∵四边形和为正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 根据解析（2）的结论可知，， ∵，， ∴， ∴． 【拓展训练一 根据正方形的性质解决相关问题】 【例1】（24-25八年级下·山西运城·期中）如图，在正方形右侧作，使，，连接，随着由小到大的变化，的大小是（    ） A．由小到大 B． C．由大到小 D．会发生变化，但无规律 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，设，根据等边对等角和三角形内角和定理求出的度数，再根据正方形的性质证明，进而求出的度数，据此可得答案． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【例2】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）如图，两个相同的正方形与正方形的顶点重合，恰好落在正方形的对角线上，与交于点，连接，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，由正方形的性质可得，，，即得，得到，进而即可求解，掌握正方形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形和四边形是两个相同的正方形，恰好落在正方形的对角线上， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 1．（2026 八年级下 江苏徐州）如图，将正方形沿折叠，使点A落在点处，且点到两端点B，C的距离相等，若，E为射线上一点，则的长为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了图形的翻折，垂直平分线的判定定理以及运用勾股定理求线段长度，综合性比较强，注意分情况讨论点的位置．①当点在正方形内部时，过点作于点G，延长交于点F．先证四边形为矩形，在中，求出的长，再设，，在中，由勾股定理得，，建立关于x的方程，解方程即可求出的长；②当点在正方形外部时，过点作于点F，延长交于点G．同理，设 ，在中，由勾股定理得，，建立关于x的方程，解方程即可求出的长． 【详解】解：①当点在正方形内部时， 如图1，过点作于点G，延长交于点F． ∵正方形，， ∴， ∴四边形为矩形，即， 由折叠的性质可得，，， ∵点到两端点B，C的距离相等， ∴是的垂直平分线， ∴，， ∵正方形，， ∴， ∴，， 在中， 由勾股定理得． 设，，； 在中， 由勾股定理得，， 即， 解得， 即； ②当点在正方形外部时， 如图2，过点作于点F，延长交于点G． ∴同理可得，是的垂直平分线，四边形为矩形， ，， 在中， 由勾股定理得． 同理，，，， ∴． 设，则，， 在中， ∵， 即，解得， ∴． ∴综上所述，的长为或． 2．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）如图，在长方形中，，，、交于点，四边形是正方形．若长度已知．则只需要知道以下哪个长方形的周长（    ），就能求出图中阴影部分面积． A．长方形 B．长方形 C．长方形 D．长方形 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，正方形的性质，掌握割补法求不规则图形的面积是解题的关键． 连接，根据图形可得，再结合，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 四边形是正方形， 四边形是长方形，且，， 四边形是长方形， ， ， ，长度已知， 当长方形的周长已知时，可求出阴影部分的面积． 3．（25-26八年级下·江苏·月考）如图1，两个相互重合的正方形的边长为a，若将其中一个正方形绕对称中心旋转，如图2所示，最内侧多边形是________边形，在图2外放置两个边长相等的正方形形成图3，如按此规律进行操作，如图3所示，则图3中阴影部分的面积之和________． 【答案】 八 【分析】根据图形旋转的度数，判定出正八边形，然后根据旋转性质得出小三角形为等腰直角三角形，根据勾股定理以及面积公式进行求解． 【详解】解：如图所示， 由图可知，最内侧多边形是八边形， 由图可知，阴影部分图形为等腰直角三角形，且较大的4个等腰直角三角形全等，较小的4个等腰直角三角形全等， 且， ∴由勾股定理得， ∴， ∴, ∴， ∴较大的4个等腰直角三角形的面积和为： ， 由图可知，， ∴较小的4个等腰直角三角形的面积和为， ∴阴影部分的面积为：． 4．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．下面借助数形结合思想进行探究． (1)将图①中形状和大小都一样的四个小长方形，按照图②拼成一个正方形，通过计算阴影部分的面积可以得到的数学等式是 ； (2)若，求的值； (3)如图③，某景区计划在一个正方形空地上打造一个人工景点（正方形），连接，空地为休闲娱乐区，空地为风景观赏区．已知的面积为，，求休闲娱乐区的面积． 【答案】(1) (2)16 (3) 【分析】（1）根据题意，得到正方形的边长为，计算即可． （2）根据公式变形计算即可． （3）设正方形的边长为，则正方形的边长为，根据题意，得，解方程，然后计算即可． 本题考查了完全平方公式的计算，变形计算，正方形的性质，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】（1）根据题意，得小正方形的边长为，大正方形的边长为，根据分割法，得， 故答案为：． （2）解：∵，， ∴． （3）解：设正方形的边长为，则正方形的边长为， ∵的面积为， 即， 整理，得， 解得或舍去， 即正方形的边长为，正方形的边长为， ∴休闲娱乐区的面积为． 【拓展训练二 正方形的性质在折叠问题中的应用】 【例1】（24-25八年级下·福建福州·月考）如图所示，取一张菱形的纸片，先沿对折，再沿对折，最后沿中点F与顶点D的连线剪开，将阴影部分展开，平铺后是一个边长为2的正方形，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形、正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，正确理解题意，知道裁剪后的图形是解题的关键． 确定为等腰直角三角形，，继而由勾股定理可得，再在中，由勾股定理求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵平铺后是一个边长为2的正方形， 由折叠可知：为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， 故选：D． 【例2】（24-25八年级下·湖北武汉·月考）如图1是由正方形纸片去掉一个以中心为顶点的等腰直角三角形后得到的．该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示．（说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余）．王明通过一系列的操作将图1所示的纸片载剪，拼成了钻石型五边形．具体操作如下：首先如图3，王明沿虚线，裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图4进行拼接．根据王明的剪拼过程，则图3中，的长为_____． 【答案】/ 【分析】本题考查的是正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，本题要求学生的操作能力要好，想象能力强，有一定的难度． 如图，过作于，结合题意可得：四边形为矩形，可得，由拼接可得：，可得，，为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，设，则，再进一步解答即可； 【详解】解：如图，过点D作交延长线于， 过中点作于， 结合题意可得：四边形为矩形， ∴， 由拼接可得：， 由正方形的性质可得：， ∴，，为等腰直角三角形， ∴为等腰直角三角形， 设， ∴， ∴，， ∵正方形的边长为， ∴对角线的长， ∴， ∴， 解得：， ∴； 故答案为：． 1．（25-26八年级下·山东淄博·期中）如图，在一张边长为的正方形纸片上，将四边形沿翻折，使得点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接，则线段与的长度之和最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于，连接，交于，根据正方形的性质得出四边形是矩形，可得，根据折叠的性质及直角三角形两锐角互余得出，即可证明，得出，作点关于的对称点，连接、，得出当、、在同一条直线上时，取最小值，最小值为，利用勾股定理求出的长即可得答案． 【详解】解：如图，过点作于，连接，交于， ∵四边形是正方形，边长为 ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵将四边形沿翻折，使得点的对应点恰好落在边上， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 作点关于的对称点，连接、， ∴，， ∴， ∵， ∴当、、在同一条直线上时，取最小值，最小值为， ∵， ∴， ∴线段与的长度之和最小值为． 2．（23-24八年级下·重庆·期中）在边长为12的正方形ABCD中，E为CD边中点，连接AE，将沿线段AE翻折得到，延长AF交BC边于点N，连接EN，延长EF交BC边于点G，其中，连接DF并延长交BC边于点K，连接EK，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】先证明可得是的垂直平分线，可判断①，再证明可得 而设 则 再利用勾股定理求解 即可判断②，证明 可得 可判断③，设 而则 则 再利用勾股定理求解 可判断④，分别计算，可判断⑤，从而可得答案. 【详解】解： 正方形 由对折可得： 是的垂直平分线， 故①正确，符合题意； 而 设 则 解得： 故②正确，符合题意； 故③正确，符合题意， 设 而则 故④错误，不符合题意； ，故⑤正确，符合题意； 综上：正确的有：①②③⑤， 故选D 【点睛】本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，灵活运用以上知识解题是解题的关键. 3．（23-24八年级下·重庆巫山·期末）如图，点E是正方形ABCD的边CD上一动点（不与点C、D重合），将△BCE沿BE翻折得到△BFE，连接并延长AF交BE的延长线于点P，连接PD、PC，取AF的中点G，连接BG． 下列结论中正确的结论序号为__________________ ①BP=BG；   ②AP+PC=BP；   ③PD=PC   ④若DE=2CE，AB=3，则PC=3     【答案】①②④ 【分析】通过等腰直角三角形BPG得出①的结果； 过点B作BI⊥BP交PA的延长线于点I，通过等腰直角三角形得到BI= ，通过△BAI≌△BCP得到AI=CP，进一步得出②的结论； 通过说明点P不一定在DC的垂直平分线上得出③结果错误； 如右图，连接FC，则FC⊥PB，面积法知FM=3，利用等腰直角三角形求出所求④的结果． 【详解】①∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BA=BC， 由翻折得BC=BF，∠CBE=∠FBE， ∴BA=BF， 又∵AG=GF， ∴∠ABG=∠FBG， ∴∠GBE=∠ABC=45°，BG⊥AP， 在直角△BGP中，GB=GP， ∴BP= ， 故①正确; ②如图，过点B作BI⊥BP交PA的延长线于点I， 有①知，∠BPI=45°， ∴BP=BI， 根据勾股定理得BI= ， 又∵∠IBA+∠ABE=∠ABE+PBC=90°， ∴∠IBA=∠PBC， 在△BAI和△BCP中， ∴△BAI≌△BCP， ∴AI=CP， 实验AP+CP= ， 故②正确； ③∵∠DAP+∠BAG=∠BAG+∠ABG=90°， ∴∠DAP=∠ABG， 随着点E由C向D移动，∠PBC逐渐增大， ∠ABP逐渐减小， 而∠DAP=∠ABG=45°-∠PBC， 故∠DAP逐渐减小，∠PAB逐渐增大， 故∠PAB和∠PBC随着点E从C向D移动过程中，分别增大和减小，不可能一直相等， 即PA不一定等于PB， ∴点P不一定在AB和CD的垂直平分线上， 故PC不一定等于PD， 故③错误； ④如图，连接FC， ∵BF=BC，EF=EC， ∴BE垂直平分FC， ∴PF=PC， ∴在直角△BCM中，∠BMC=90°， 又∵DE=2CE， ∴CE=CD= ， ∴BE= ， 又∵S△ABC= ， ∴CM=， ∴EC=2MC=6， 又∵∠FPC=90°， ∴PC= ， PC=， 故④正确； 故答案为①②④． 【点睛】本题考查和矩形折叠有关的计算问题，解决问题的关键是掌握折叠前后的对应关系，得到等边、等角以及直角． 4．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）正方形的边长为，点是边上一点不与端点重合，将沿所在直线对折至，延长交边于点，连接，可得，连接． (1) ； (2)如图1，若，点为边的中点，求的面积； (3)如图2，若，判断与是否平行？并说明理由； (4)请直接写出 用含的式子表示． 【答案】(1) (2) (3)与平行，理由见解析 (4) 【分析】本题考查正方形半角模型以及勾股定理和面积的应用，解题关键是能够熟练运用这些知识去解题． （1）通过证明，，进而得到答案； （2）设，结合，利用勾股定理解直角三角形得到的值，再通过相似即可得到答案； （3）通过勾股定理得到为中点，得到，通过倒角得到答案； （4）利用正方形的面积与三角形面积与五边形的面积的关系，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图1，四边形是正方形， ，， 将沿直线翻折，得到， ，，，， ， 在和中，， ， ， ， ， ， ； 故答案为：． （2）作，垂足为点，如图， 设，则， 为中点， ， 由（1）知，， 在中，由勾股定理得， ， ， 整理得：， 解得：， ，， ， ， ； （3）与平行，理由如下， 设，则，如图， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 整理得：， ∴ ， ， 由折叠可知，， 又， ， ， ， ； （4）设，，则，，如图， 在中，由勾股定理得， ， ∴， 整理得：，① 由，② ∴把①代入②得， ， ∵， ∴ ， ∵， ∴， 故答案为：． 【拓展训练三 根据正方形的性质与判定解决相关问题】 【例1】（24-25八年级下·北京·期末）如图，在矩形中，点P是对角线上任意一点（不与A，C重合），过点P作，点E，F，M，N分别是边上的点，连接．设．下面四个结论中正确的个数是（    ） ①当时．四边形是正方形； ②四边形与四边形的面积始终相等； ③； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，正方形的判定，三角形三边的不等关系，掌握这些知识是解题的关键；由题意得四边形是矩形，同理易得四边形，四边形，四边形均是矩形，由可判定①；利用矩形的性质可判定②；利用三角形三边关系及勾股定理可分别判定③与④，最后可确定答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，； ∵， ∴四边形是平行四边形； ∵， ∴四边形是矩形， ∴； 同理得四边形，四边形，四边形均是矩形； ∵， ∴四边形是正方形； 故①正确； ∵，， ∴， 即四边形与四边形的面积相等； 故②正确； ∵， ∴； 在中，， 即； 故③错误； 如图，连接， ∵，； 在中，，当点P位于对角线上时，等号成立； ∴； 故④不正确； 综上，正确的有2个； 故选：B． 【例2】（23-24八年级下·四川绵阳·期末）如图，P是正方形对角线上的一点，直线m，n经过点P且，若四边形与四边形的面积分别是，，那么四边形与四边形的面积之和是________． 【答案】 【分析】此题考查了矩形的判定和性质、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，过点P作于点M，的延长线与相交于点R，过点P作于点N，的延长线与相交于点S，证明四边形的面积正方形的面积，，得到，四边形的面积正方形的面积，，则，则四边形与四边形的面积之和矩形和矩形的面积之和，即可得到答案． 【详解】解：过点P作于点M，的延长线与相交于点R，过点P作于点N，的延长线与相交于点S， ∵P是正方形对角线上的一点， ∴，， ∴四边形、都是矩形，，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴ ∵直线m，n经过点P且， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， ∴四边形的面积正方形的面积 ∴， 同理可证，是正方形，， 则四边形的面积正方形的面积，， ∴四边形与四边形的面积之和矩形和矩形的面积之和，即四边形与四边形的面积之和 故答案为： 1．（23-24·八年级下 浙江宁波）如图，两个大小相同的正方形，如图放置，点，分别在边，上，若要求出阴影部分的周长，只要知道下列哪条线段的长度即可（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过B作BN⊥EH，垂足为N，连接BE，BK，KP，分别证明△ABE≌△FEB，△BAE≌△BNE，△BNK≌△BCK，△KHP≌△PCK，再将△KHQ的周长进行转化，得到ED=KC+KH=C△KQH，可得结果． 【详解】解：过B作BN⊥EH，垂足为N，连接BE，BK，KP， ∵两个大小相同的正方形， ∴AB=EF，又∵∠A=∠F，BE=EB， ∴Rt△ABE≌Rt△FEB（HL）， ∴∠AEB=∠FBE=∠NEB，AE=BF， 同理可得：Rt△BAE≌Rt△BNE，Rt△BNK≌Rt△BCK， ∴∠EBK=45°， ∴AE+KC=EK， ∵AE=BF， ∴DE=BG， ∵∠H=∠C=90°，∠PQC=∠KQH， ∴∠BPG=∠CPQ=∠QKH=∠EKD， ∴△BGP≌△EDK， ∴PG=KD， ∴PH=KC， 同理可证：△KHP≌△PCK， ∴△KQH的周长为KC+KH， 又∵AE+ED=EK+KH，AE+KC=EK， ∴AE+ED=AE+KC+KH， ∴ED=KC+KH=△KQH的周长， ∴要求出阴影部分的周长，只要知道线段ED的长度， 故选C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等量代换，解题的关键是利用全等的性质得到线段的等量关系． 2．（24-25八年级下·浙江温州·期中）将四个全等的三角形按如图所示的方式围成正方形，连接、，记的面积为，四边形的面积为，若A、E、G三点共线，，，则阴影部分的面积是（   ） A．6 B．8 C．12 D．20 【答案】B 【分析】先证明，可得，从而得到四边形是正方形，设，则，再由，列式计算即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： 依题意得，，， ， 四边形为正方形， ， 即， 在和中， ， ， ， 同理：， ， 四边形为菱形， ∵A、E、G三点共线，即，，和，，和，，也在同一条直线上， ， ， 菱形为正方形，则， 设，则， ， ， ∵， ∴， ∴， 整理得， 解得或（舍去）， ， ． 3．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，将沿翻折得到，将沿翻折得到，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了折叠，正方形的判定和性质，解一元二次方程，掌握折叠的性质，构造正方形是解题的关键． 根据题意，如图所示，延长交于点，根据折叠的性质可得四边形是正方形，设，可得，即，由，据此列一元二次方程可求得，然后再求的长． 【详解】解：如图：延长交于点， ∵，将沿翻折得到，将沿翻折得到， ∴，，，， ∴， ∵，即 ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， 设， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴，整理得，， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴或（舍弃）， ∴． 故答案为：． 4．（25-26八年级下·广东揭阳·期末）如图（1），在平面直角坐标系中，轴于，轴于，点，，过点作分别交线段、于、两点． (1)若，求证：． (2)如图（2），且，，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)的值为 【分析】本题是一道全等三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定方法，正确的寻找出全等的条件是解决此类问题的关键． （1）根据条件证出四边形为边长为4的正方形，然后证明即可； （2）将绕点顺时针旋转，证出，根据全等三角形的面积相等得出，然后利用进行计算即可． 【详解】（1）证明：∵轴，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为边长为4的正方形， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：将绕点顺时针旋转， ∴， 又∵， ∴点、、三点共线， 又∵， 则，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵由（1）知四边形为边长为4的正方形， ∴， ∴， ∴的值为． 1．（2026·八年级下 江苏扬州）如图是小华同学在中考一轮复习四边形时整理的平行四边形，矩形，菱形，正方形之间关系的思维导图，其中对应序号的条件填写错误的是（   ） A．① B．② C．③平分 D．④ 【答案】D 【分析】根据矩形，菱形，正方形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是平行四边形，则①处的条件正确，故此选项不符合题意； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，则②处的条件正确，故此选项不符合题意； C、由角平分线的性质得到，有一组邻边相等的矩形是正方形，则③处的条件正确，故此选项不符合题意； D、菱形的邻边本就相等，则④处的条件错误，故此选项符合题意． 2．（23-24八年级下·河北沧州·期中）如图，这是嘉嘉同学答的试卷，嘉嘉同学应得（    ） 班级八（1）班  姓名嘉嘉  得分______ 判断下列各题，对的打“√”，错的打“×”． 每题20分，共100分． （1）若有意义，则．（√） （2）矩形的对角线互相垂直平分．（√） （3）平行四边形是轴对称图形．（√） （4）一个直角三角形的两边长分别5是12和，则第三边长为13．（√） （5）对角线相等的菱形是正方形．（√） A．20分 B．40分 C．60分 D．80分 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，勾股定理，二次根式有意义的条件，根据以上知识逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：（1）若有意义，则．故（1）错误 （2）矩形的对角线互相平分且相等．故（2）错误 （3）平行四边形不是轴对称图形．故（3）错误 （4）一个直角三角形的两边长分别5是12和，则第三边长为13或．故（4）错误 （5）对角线相等的菱形是正方形．故（5）正确 故选：A． 3．（24-25八年级下·甘肃武威·阶段测试）如图，在矩形中，分别是边上的动点，点从出发到停止运动，点从出发到停止运动，若两点以相同的速度同时出发，匀速运动．下面四个结论中，①存在四边形是矩形；②存在四边形是菱形；③存在四边形是矩形；④存在四边形是正方形．所有正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．②③④ C．②③ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查动点问题，特殊四边形的存在问题，特殊四边形的性质等知识点，理解并熟练掌握相关图象的性质是解决问题的关键．设两点速度为每秒1个单位长度，则，，由题意可得四边形是平行四边形，再利用矩形，菱形，正方形的性质分别进行求解即可． 【详解】解：设两点速度为每秒1个单位长度，则，， ∵四边形是矩形，， ∴，，， ∴时，四边形是平行四边形， 当时，点与点重合，点与点重合，此时四边形是矩形，故①正确； 当四边形是菱形时，， 则，解得：，符合题意， 即：当时，四边形是菱形，故②正确； 当四边形是矩形时，，则，解得， 即：当时，四边形是矩形，故③正确； 当四边形是正方形时，， 则，解得，但此时，不符合题意，故④不正确， 综上，正确的有①②③， 故选：A． 4．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，用线段和角度作一个菱形，使得，其中，记以为内角的菱形的面积为，当内角发生变化时，菱形的面积也随之改变，定义：菱形的形状系数，其中为菱形的面积的最大值，则下列说法不正确的是（　　） A．若菱形是正方形，则 B．若菱形有一个内角为，则 C．若菱形每个内角都大于，则 D．若菱形有一个内角小于，则存在一个，使得 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，正方形性质和对新定义的理解是本题的解题关键．逐个计算每个选项的菱形面积，按照定义进行计算，即可判断是否正确． 【详解】解：如图， 若菱形是正方形，则， 此时面积为菱形面积的最大值，且， ∴， ∴，故A正确，不符合题意； 若菱形有一个内角为，， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； 若菱形每个一个内角都大于，则， ∴， ∴，故C正确，不符合题意； 若菱形一个内角都小于，则， ∴， ∴，故D不正确，符合题意． 故选：D． 5．（23-24八年级下·重庆北碚·期中）如图，在正方形的边上取一点E，连接并延长交的延长线于点F，将射线绕点A顺时针旋转后交的延长线于点G，连接，若，则的大小是（　　） A．α B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，由“”可证，可得，由“”可证，可得，由角的数量关系可求解．． 【详解】解：在上截取，连接， ∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵将射线绕点A顺时针旋转后交的延长线于点G， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 6．（2023·八年级下 浙江台州）如图，一张大正方形纸片，E，F，G，H分别为四边上的点，且，现将大正方形的四个角分别沿，，，翻折．四边形的面积与图中每个三角形的面积均相等，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得，又可得，设，，则可得，则可得等式，可求得，则，即可求解． 【详解】∵四边形的面积与图中每个三角形的面积均相等， ∴， ∵，正方形中， ∴， 设，， ∴ ， ∴， 化简得 ， 解得 或 ， ∵， ∴，得， ∴， ∴， ∴． 7．（25-26八年级下·浙江宁波·月考）如图，已知正方形，以点为中心，任意作正方形，其边长分别与交于点，交于点M，连接，，，若D，E，F三点共线，若要求的面积，则需要知道以下哪个面积（   ） A．正方形 B．正方形 C． D． 【答案】B 【分析】连接，将绕点顺时针旋转得到，连接交于点，连接，根据旋转的性质得到，，，，则有，根据正方形的性质得到，，则有，进而证出O，E，C三点共线，利用三角形内角和定理得到，再利用三角形面积公式得到，再利用正方形的性质即可得出结论． 【详解】解：连接，将绕点顺时针旋转得到，连接交于点，连接，如图所示： 由旋转的性质得，，，， ∴， ∵点为正方形的中心， ∴，，， ∴，， 又∵D，E，F三点共线， ∴O，E，C三点共线， ∵正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ∴， 又∵， ∴， ∴要求的面积，则需要知道正方形的面积． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、三角形内角和定理、三角形面积公式，添加适当的辅助线是解题的关键． 8．（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，中，，，的中垂线与的平分线相交点P，与相交于点Q，与相交于D，连接、．若，下列结论： ①；        ②； ③；        ④． 其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】①直接根据垂直平分线的性质即可判断①；②如图：过P作，过P作垂直于延长线于F，由等量代换可得，可证明可得即,再结合角平分线的定义即可判断②；③由全等三角形的性质、等腰三角形的性质可得，进而得到，再结合可得是等腰直角三角形即可判定③；④证明四边形是正方形可得，由等腰三角形的性质可得，然后由勾股定理可得、，进而得到，最后根据平方差和等量代换即可判断④． 【详解】解：①∵是的垂直平分线， ∴，即①正确； ②如图：过P作，过P作垂直于延长线于F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴, ∴， ∴, 在和中， ， ∴，即②正确； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，即，故③正确； ④∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴ ，即④正确． 综上， ①②③④正确，正确的有4个． 故选D． 【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质、角平分线的性质、正方形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 9．（2026·八年级下 广东深圳）如图，在正方形中，点在上，连接，作于点，交于点，作于点，交于点．若，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求角度，涉及正方形性质、全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 由，四边形是正方形，可证明，得，故，同理可得，可证明，即得，得，从而求出，而，得，即得． 【详解】解：， ， ， ， ∴， ， 在正方形中，， ，即， 同理可得， ， ，即， ， ∴， ， ， ， ， ， ， ∴， 故选：B． 10．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在正方形中，点E，F分别为边上两点，满足，过点作于点，过点作于点，作的角平分线交于点．若，，则a，b，c满足下列哪个选项中的数量关系（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接交于点K，设交于点H，过点M作于点L，证明，可得，再证明为等腰直角三角形，可得，从而得到，从而得到，可证得四边形为正方形，进而得到，可得，然后根据，即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点K，设交于点H，过点M作于点L， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， 同理， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 故选：D 11．（23-24八年级下·浙江金华·月考）伸缩枪是孩子们喜欢的玩具，它巧妙运用了平行四边形的不稳定性．如图1它由几个相同的菱形连续组成．如图2是对它抽象简化图，点A是位于枪口内垂直平分线的拉伸控制点．已知枪口宽，菱形边长，当时，______；如图3当点A被向枪管更内侧拉至点，且时，点A移动的长度______． 【答案】 【分析】①连接，可知点A、C和H在同一条直线上，得到四边形为正方形，求得，则； ②连接和交于点M，可得是等腰直角三角形和是等边三角形，可知，利用求得，求得，可得即可． 【详解】解：①连接，如图， 则点A、C和H在同一条直线上， ∵， ∴四边形为正方形， ∵， ∴， 则； 故答案为：． ②连接和交于点M，如图， ∵点A是位于枪口内垂直平分线上一点，，， ∴是等腰直角三角形、是等边三角形，点、A和点在同一条直线上， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴,, 则． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是找对对应的边角关系和变量之间的等式关系． 12．（23-24八年级下·浙江丽水·期末）如图，在中，，在内取一点G，使点G到三角形三边距离，，都相等，连结，，已知，．    （1）若，则的长是______（用含m的代数式表示）； （2）当，时，的值为______． 【答案】 【分析】（1）先证明四边形是正方形，进而证明，得出，同理：，在中，，得出，即可得出答案； （2）由（1）可得，在直角中，由勾股定理得出，即，得出，求出，再得出，，求出，即可得出答案． 【详解】解：（1）∵，，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， 同理：， ∴，，， 在中，， ∴， 又∵， ∴或（舍去） 故答案为：；    （2）由（1）可得，在直角中，由勾股定理得出，即， 又，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的判定与性质，完全平方公式，正确理解题意是解题的关键． 13．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，已知，斜边为的等腰直角三角板如图放置，顶点C与O点重合，现将点C沿滑至点P，点B随之在上滑至点O，则滑动过程中点A所走过的路径长为______ ． 【答案】 【分析】过A作于E，于P，证明，进而可证四边形是正方形，则，则点A在直线上运动，B向下运动时，A点先从运动至，再返回至，再分别算出最小值和最大值，即可求出A点所走过的路径长． 【详解】解：如图，过A作于E， 于P，则， ， 四边形是矩形， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是正方形， ， 点A在的平分线上运动， 当C与O重合时，A在位置，此时最小，如图，过A作于G，则， 是等腰直角三角形，， ， ， 的最小值为， 当B向下运动时，先逐渐增大再逐渐减小， 当时，A运动至位置，此时最大，如图， ， ， ，， 四边形是正方形， ， 最大值为， 当C与P重合时，A运动回至位置，此时最小，最小值为， 点A所走过的路径长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，正方形的性质和判定，确定A点的运动轨迹是解题的关键． 14．（23-24八年级下·浙江·期中）如图，矩形中，，点H在边上，为边上一个动点，连，以为一边在的右上方作菱形，使点G落在边上，连结． （1）如图1，当菱形为正方形时，的长为_________； （2）如图2，在点E的运动过程中，的面积S的取值范围为________． 【答案】 2 8-≤S≤8 【分析】（1）由于四边形ABCD为矩形，四边形HEFG为正方形，那么∠D=∠A=∠GHE=90°，HG=HE，易证△GDH≌△HAE，得DG=AH=2； （2）过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，由于AB∥CD，可得∠AEG=∠MGE，同理有∠HEG=∠FGE，利用等式性质有∠AEH=∠MGF，再结合∠A=∠M=90°，HE=FG，可证△AHE≌△MFG，从而有FM=HA=2，进而可求△FCG的面积S的最大值和最小值，从而确定S的取值范围． 【详解】解：（1）如图1，当菱形HEFG为正方形时，∠EHG=90°，GH=EH， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠A=∠D=90°， ∴∠DHG+∠AHE=∠AHE+∠AEH=90°， ∴∠DHG=∠AEH， 在△GDH和△HAE中， ， ∴△GDH≌△HAE（AAS）， ∴DG=AH=2； （2）如图2，过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE， ∵AB∥CD， ∴∠AEG=∠MGE， ∵HE∥GF， ∴∠HEG=∠FGE， ∴∠AEH=∠MGF， 在△AHE和△MFG中， ， ∴△AHE≌△MFG（AAS）， ∴FM=HA=2，即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2， 因此S△FCG=×FM×GC=×2×CG=CG， 设DG=x，则S△FCG=8-x， 在△AHE中，AE≤AB=8， ∴HE2≤68， ∴x2+16≤68， ∴x≤， ∴8-x≥8-， ∴S△FCG的最小值为8-，此时DG=，S△FCG的最大值为8，此时DG=0， ∴在点E的运动过程中，△FCG的面积S的取值范围为：8-≤S≤8， 故答案为：8-≤S≤8． 【点睛】本题考查了矩形、菱形、正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 15．（2023·八年级下 河北石家庄）（1）如图1，正方形ABCD的面积为a，延长边BC到点C１，延长边CD到点D１，延长边DA到点A1，延长边AB到点B1，使，，，，连接C1D1，D1A1，A1B1，B1C1，得到四边形A1B1C1D1，此时我们称四边形ABCD向外扩展了一次，若阴影部分的面积为S1，则_____.（用含a的代数式表示） （2）如图2，任意四边形ABCD面积为m，像（1）中那样将四边形ABCD向外进行两次扩展，第一次扩展成四边形A1B1C1D1，第二次扩展由四边形A1B1C1D1扩展成四边形A2B2C2D2，若阴影部分面积为S2，则_____.（用含m的代数式表示） 【答案】 4a 24m 【分析】（1）利用正方形ABCD的面积求出，因为，，故可求出，同理可求出、、，相加即为阴影部分的面积； （2）先求出第一次扩展后的面积，同理可得第二次扩展后的面积，再减去四边形ABCD面积即为阴影部分的面积． 【详解】解：（1）∵正方形ABCD的面积为a， ∴， 又∵，，，， ∴，， 同理：，，， ∴阴影部分的面积为：4a （2）连接AC，A1C，可得， 同理：，，， ∴第一次扩展后的面积为， 同理：第二次扩展后的面积为， ∴阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查的求阴影部分的面积，解题的关键是理解：等底等高的三角形面积相等，做出正确的辅助线，找出扩展后的面积与原四边形面积的关系． 16．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，四边形中，，E、F、G、H分别是的中点． (1)求证：四边形是菱形； (2)当四边形满足______（添一个条件）时，四边形为正方形． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由三角形中位线定理可证明，再由，可证明，据此可证明结论； （2）由三角形中位线定理得到，当时，，则菱形为正方形． 【详解】（1）证明：∵E、F、G、H分别是的中点， ∴分别是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：当四边形满足时，四边形为正方形，理由如下： 由（1）可得分别是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴菱形为正方形． 17．（25-26八年级下·江苏常州·期中）定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径． 如图1，，四边形是损矩形，则该损矩形的直径是线段．我们还发现损矩形中有公共边的两个三角形角的特点：在公共边的同侧的两个角是相等的（本题中可直接使用）．如图1中：和有公共边，在同侧有和，此时；再比如和有公共边，在同侧有和，此时． (1)请在图1中再找出一对这样的角来：__________． (2)如图2，中，，以为一边向外作菱形，D为菱形对角线的交点，连接，当平分时，判断四边形为何种特殊的四边形？请说明理由． (3)在（2）的条件下，若此时，求的长． 【答案】(1) (2)四边形为正方形；理由见解析 (3) 【分析】（1）以为公共边，有； （2）证明，则四边形为损矩形，根据，可得结论； （3）如图2，过点作，求出，再根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：由图1得：和有公共边，在同侧有和，此时； （2）解：四边形为正方形， 证明：∵平分， ， ∵四边形为菱形， ，即， ， ∴四边形为损矩形， 由（1）得， ， ∴四边形为正方形； （3）解：过点作， ， 为等腰直角三角形， ， ∵四边形为正方形， ∴， ∴, 又, ∴, ∵， ∴， 即， 整理得：， 解得：或（舍去）， ． 18．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图所示，将两个长为9，宽为3的全等矩形叠合从而得到四边形，求四边形面积的最大值与最小值的差． 【答案】6 【分析】本题主要考查了平行四边形，菱形以及正方形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． 作于点于点，根据平行四边形的性质以及等面积可得平行四边形是菱形，然后求出四边形面积的最大值和最小值即可． 【详解】解：如图①所示，作于点于点， ， ∴四边形是平行四边形， ∵两个矩形的宽都是3， ， ， ， 平行四边形是菱形； 如图②所示，当菱形的一条对角线为矩形的对角线时， 四边形的面积最大．设，则， ， ， 解得． 四边形面积的最大值是． 当四边形的边长最小时，其面积有最小值， 此时四边形是正方形，其最小面积为 所求四边形面积的最大值与最小值的差是． 19．（25-26八年级下·山东济宁·月考）如图，将边长为的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，设移动的距离 (1)用x表示两个三角形重叠部分的面积 (2)若两个三角形重叠部分的面积为，求出移动的距离? 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设与的交点为E，与的交点为F，根据平行四边形的面积公式解答即可． （2）根据两个三角形重叠部分的面积为，建立方程解答即可． 本题考查正方形和图形的平移，一元二次方程的应用，熟练掌握平移的性质，正方形的性质，列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设与的交点为E，与的交点为F， 根据平移的性质，得四边形是平行四边形，且， 故， 由将边长为的正方形沿其对角线剪开， 故， 故， 故， 故， 故重叠部分的面积为：． （2）解：由两个三角形重叠部分的面积为， 得即， 解得， 故移动的距离为． 20．（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，在矩形中，平分，交于点，，交于点，以，为邻边作平行四边形，与相交于点． (1) 求证：平行四边形是正方形； (2)在（）的条件下． 如图，连接．求证：； 如图，连接，点是线段的中点，过点作，与线段，，分别交于点，，．求证． 【答案】(1)见解析； (2)见解析；见解析． 【分析】（）证明得到，再证明， ，即可证明平行四边形是正方形； （）证明得到，再推导出 ，即可证明； 连接，过点作交于点，先证明，则，故，然后证明为等腰直角三角形，由得到、为等腰直角三角形，那么，而，故，即可证明． 【详解】（1）证明: ∵四边形是矩形， ∴ ，， ∵平分， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴ ， 在中，， ∴ ， 在和中， ， ∴， ∴ ， ∴四边形是菱形， ∵ ， ∴平行四边形是正方形； （2）证明：如图，过作， ，交延长线于点，则 ， 由（）知，四边形是正方形， ∴ ，， ∴ ， ∴四边形 是矩形， 同（）理可得： ， ∴ ， ， 由（）得， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴四边形 是正方形， ∴ ， ∴ ， ∴ ； 证明：连接，过点作交于点， ∵四边形是正方形， ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴， ∵点是线段的中点，， ∴ ∵正方形， ∴，， ∵ ∴ ∴，，， ∴， 设，则 ∵正方形中， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴、为等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴ ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $