专题4.5～4.6 三角形的中位线和反证法重难点题型专训（1个知识点+6大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

本讲义聚焦三角形中位线（含定义、定理、性质及5个常用结论）和反证法（含假设与证明步骤）两大核心知识点，构建从图形性质应用到逻辑推理的学习支架，帮助学生衔接三角形中点关系与几何证明方法。 资料通过6大分层题型（求解、证明、实际应用等）和2大拓展训练，结合测量池塘距离等实例培养几何直观（数学眼光），反证法证明提升推理意识（数学思维），网格面积计算强化数学语言表达。课中辅助教师系统教学，课后助力学生自我检测、查漏补缺，深化知识应用。

专题4.5~4.6 三角形的中位线和反证法重难点题型专训 （1个知识点+6大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 与三角形中位线有关的求解问题 题型二 与三角形中位线有关的证明 题型三 三角形中位线的实际应用 题型四 反证法证明中的假设 题型五 用反证法证明命题 题型六 网格中多边形面积比较 拓展训练一 三角形中位线的综合应用 拓展训练二 反证法的相关应用 知识点一：三角形的中位线 1.定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 2.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半． 3.其他性质：（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形． （3）三角形中位线定理的作用： 位置关系：可以证明两条直线平行． 数量关系：可以证明线段的倍分关系． （4）常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有： 结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半． 结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形． 结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形． 结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分． 结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等． 【即时训练】 1．（23-24八年级下·河北秦皇岛·专题练习）用两个图钉将－一个橡皮筋的两个端点，固定在桌面上，拉动橡皮筋构成，点、点分别为，的中点，拉动点至的过程中，的长度（    ）    A．增长 B．缩短 C．不变 D．先增长后缩短 2．（23-24八年级下·山东日照·月考）如图，是的中线，点E是的中点，延长交于点F，若，则的长为____________． 【经典例题一 与三角形中位线有关的求解问题】 【例1】（2026·八年级下 贵州遵义）将直尺和按如图所示的方式放置，边与直尺的交点对应的刻度分别为和．若点分别是的中点，则边的长度是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·宁夏吴忠·期中）如图，在中，，点分别是三边的中点，且，则______． 1．（25-26八年级下·湖北·期中）如图，在中，是的中点，平分，，垂足为，连接．若，，则的长是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·广西来宾·期中）如图，四边形是平行四边形，对角线交于点是的中点，以下说法错误的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）如图，点是内一点，，，，点，，和分别是、、和的中点，若四边形的周长为17，则长为__________． 4．（2026·八年级下 北京通州）如图，在中，，点，点分别是，的中点，延长到点，使，连接，，，，与交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 【经典例题二 与三角形中位线有关的证明】 【例1】（25-26八年级下·山东聊城·月考）如图，已知长方形，R，P分别是，上的点；E，F分别是，的中点，当点P在上从点B向点C移动，而点R不动时，那么下列结论成立的是（    ） A．线段的长逐渐增大 B．线段的长逐渐减少 C．线段的长不变 D．线段的长先增大后变小 【例2】（24-25八年级下·湖南娄底·期中）如图，四边形是由四边形的各边中点依次连接而形成的四边形，则四边形一定是______． 1．（2025·八年级下 江苏宿迁）如图，在中，，点、、分别是边、、的中点，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·八年级下 河北邯郸）如图，，交于点，分别是的中点，选择图中的四个点为顶点画四边形，其中能画出的平行四边形有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（24-25八年级下·山东滨州·期中）如图，对“三角形中位线定理” 进行拓展思考，可以提出以下三个命题： ①若，则． ②若，则是的中位线． ③若，则． 以上命题是假命题有__________________(填序号) 4．（25-26八年级下·浙江丽水·期中）如图，在中，对角线与交于点，点分别是，的中点． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若的面积是，求四边形的面积． 【经典例题三 三角形中位线的实际应用】 【例1】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了间的距离：先在外选一地点C，然后测出的中点，并测出的长为，由此他就知道了间的距离．下列有关他这次探究活动的结论中，错误的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，为测量位于一水塘旁的两点，间的距离，在地面上确定点，连接，，分别取，的中点，，量得，则，间的距离是_________． 1．（2025八年级下·广东广州·专题练习）如图，某建筑房梁构成了一个三角形，现选取，，的中点，，，用木条将三个中点相连进行修复加固．经测量的周长为20米，则加固木条所组成的的周长为（    ） A．5米 B．10米 C．15米 D．20米 2．（24-25八年级下·山西临汾·期中）2023年7月28日第31届世界大学生夏季运动会在成都东安湖体育公园开幕．如图，贝贝想测量东安湖A，B两点间的距离，他在东安湖的一侧选取一点O，分别取的中点M，N，但M，N之间被障碍物遮挡，故无法测量线段的长，于是贝贝在延长线上分别选取P，Q两点，且满足，贝贝测得线段米，则A，B两点间的距离是（   ）米． A．120 B．140 C．160 D．180 3．（23-24八年级下·安徽六安·专题练习）如图，等腰中，，，，于点R，于点S，则下列结论： ①；②；③；④中一定正确的有_________．（填写所有正确序号） 4．（24-25八年级下·四川广安）小明探究：“用刀剪一个三角形分成块，再把它拼成一个长方形（无重叠，无缝隙）”时，遇到了困难．经提示他想到了从特殊到一般的数学思想，于是他先剪一个直角三角形纸片，然后沿其一条中位线剪一刀，分成块（如图），很快就拼成了一个与原三角形面积相等的长方形． (1)请你在图中用类似的方法把三角形纸片剪一刀分成块，使拼成的图形为平行四边形； (2)请你在图中把三角形纸片剪两刀分成块，使拼成的图形为长方形； (3)请你在图和图中，把正方形纸片剪两刀分成块，然后拼成一个与原正方形面积相等的三角形，要求所拼成的三角形既不是等腰三角形，也不是直角三角形．（请给出两种不同的方案） 【经典例题四 反证法证明中的假设】 【例1】（25-26八年级下·河北保定·月考）用反证法证明命题“在中，，则”时，首先应该假设（   ） A． B． C． D．且 【例2】（25-26八年级下·河南郑州·期中）牛顿曾说：“反证法是数学家最精良的武器之一”，用反证法证明命题“在三角形的三个内角中，至少有两个锐角”第一步应假设_______． 1．（25-26八年级下·陕西西安·月考）“已知在中，，求证：．”小明想用反证法证明这个命题是正确的，如果他假设“”则这个假设与以下哪个选项相矛盾（   ） A．等边对等角 B．等角对等边 C．三角形的内角和定理 D．三角形的三边关系 2．（25-26八年级下·全国·周测）用反证法证明“在中，，的对边长分别是，．若，则”．第一步应假设（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（25-26八年级下·山西太原·期中）用反证法证明，若，则时，应假设___________． 4．（25-26八年级下·山东聊城·月考）用反证法证明“平行于同一条直线的两直线平行”． 【经典例题五 用反证法证明命题】 【例1】（24-25八年级下·福建三明·期中）已知四个正数的和等于1，下列说法正确的是（   ） A．这四个数都等于 B．至少有一个数大于 C．至少有一个数不大于 D．这四个数中恰有两个数大于，两个数小于 【例2】（24-25八年级下·全国·课后作业）用反证法证明：若a，b，c是不全为0的有理数，且，那么a，b，c这三个数中至少有一个负数，完成下列填空： 证明：假设a，b，c都不是___________， 不全为0， 中至少有一个为正数， ________0，这与已知相___________， ∴___________，原命题成立， 即a，b，c这三个数中至少有一个负数． 1．（24-25八年级下·浙江宁波·月考）设均为整数，若，则下列结论正确的是（    ） A．不可能都是奇数 B．不可能都是偶数 C．必一奇一偶 D．不可能是偶数 2．（2023八年级下·浙江·专题练习）下面算式中，每个汉字代表0，1，2，…，9中的一个数字，不同的汉字代表不同的数字．算式中的乘数应是（    ） A．2 B．3 C．4 D． 3．（25-26八年级下·上海松江·期中）用反证法证明．已知：和是直线被直线截出的同位角，分别交于点M、N，． 求证：． 证明：假设________________，过点M作直线，使得 根据________________，可得到________________， 又因为，与________________矛盾， 故假设不成立，所以 4．（25-26八年级下·上海·专题练习）反证法是数学中一种常用的证明方法，请你用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于”．（提示；先根据题意写出已知求证，再给予证明） 已知： 求证： 证明： 【经典例题六 网格中多边形面积比较】 【例1】（23-24八年级下·广西河池·期中）如图，网格图中每个小正方形的边长均为1，以为半径的扇形经过平移到达扇形的位置，那么图中阴影部分的面积是（　　）．    A．8 B．6 C．6.5 D．7.5 【例2】（23-24八年级下·河南洛阳·专题练习）如图，小个方格都是边长为1的正方形，图中四边形的面积为________． 1．（23-24八年级·江苏·暑假作业）如图所示的方格（每个小方格面积为1）中阴影部分为两个轴对称型的汉字，图①中汉字面积为，图②中汉字的面积为，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 2．（23-24八年级下·天津南开·专题练习）正方形网格中的交点，我们称之为格点．如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为．现有格点，那么，在网格图中找出格点，使以和格点为顶点的三角形的面积为1．这样的点可找到的个数为（       ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．（23-24八年级下·天津和平·专题练习）如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，，正方形、正方形的顶点均在格点上．    利用面积计算线段_____，_____，则，，三条线段的数量关系为_______． 4．（23-24 八年级下 ·吉林·月考）图①、图②均为的正方形网格，线段的端点均在格点上，按要求在图①、图②中作图并计算其面积． (1)在图①中画一个四边形，使四边形有一组对角相等，_____； (2)在图②中画一个四边形，使四边形有一组对角互补，_____． 【拓展训练一 三角形中位线的综合应用】 【例1】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，在四边形中，对角线，且，，点E、F分别是边、的中点，则的长度是（   ） A． B． C．6 D．不确定，随着四边形的形状改变 【例2】（25-26八年级下·福建龙岩·期中）谢尔宾斯基三角形是一种经典的分形图形．初始三角形（分形次数为0）是1个边长为1的等边三角形，每进行一次分形，都会取黑色的小等边三角形的三边中点并连接，形成几个形状、大小完全相同的等边三角形．如图，经过第一次分形得到3个边长为的黑色等边三角形，经过第二次分形得到9个边长为的黑色等边三角形…按此规律，第5次分形图形中黑色的等边三角形的周长和为_____________． 1．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，，，D，E分别是边，上的动点，连接，F，M分别是，的中点，则长的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 2．（24-25八年级下·浙江舟山·期中）如图，四边形，对角线，且平分，为的中点．在上取一点．使，为垂足，取中点，连结．下列五句判断：①；②；③；④连结，则四边形是平行四边形；⑤．其中判断正确的是（   ） A．①②③ B．②④ C．②④⑤ D．③④⑤ 3．（23-24八年级下·湖北武汉·专题练习）如图，点O为等边边的中点．以为斜边作（点A与点D在同侧且点D在外），点F为线段上一点，延长到点E使，，若，，则_______ 4．（25-26八年级下·上海闵行·期中）【教材呈现】如图是沪教版八年级下册教材第42页的第1题，请完成这道题的证明． (1)如图①，在四边形．中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．求证：． (2)【教材延伸】 如图②，延长图①中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点，求证：． (3)【应用探究】 如图③，在中，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，若，求的长． 【拓展训练一 三角形中位线的综合应用】 【例1】（24-25八年级下·河南周口·月考）用反证法证明命题“在中，，求证：”的第一步应先假设（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·四川眉山·专题练习）利用反证法证明命题“同一平面内，平行于同一直线的两条直线平行”，第一步应该假设：______． 1．（23-24八年级下·四川达州·专题练习）如图，的对角线，交于点，平分，交于点，且，，连接，下列结论：①；②；③；④垂直平分；⑤，其中成立的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（25-26八年级下·山东·单元复习）用反证法证明命题“在同一平面内，若直线，，则”时，应假设（　　） A． B．a与b不平行 C． D． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）反证法是数学中一种常用的证明方法，通常先假设求证的结论是错误的，再由此推导出与已知、公理、定理或条件等相矛盾的结果，从而否定开始的假设，肯定先前求证结论的正确性．在证明“两直线平行，内错角相等”时，采用反证法． 如图1，已知：与是直线，被直线所截得到的一对内错角，，直线，分别与直线相交于点，．求证：． 证明：假设_______，过点N画一条直线，使得， 如图2所示，根据________，可得， 又因为，这样直线、都过点N，这与________矛盾． 说明假设不成立，所以______． 4．（25-26八年级下·福建厦门·月考）已知实数a，b，c，m，n满足，． (1)当时，求证：． (2)若m，n为正整数，且为奇数，m，n是否可以都为偶数？说明你的理由． 1．（25-26八年级下·福建厦门·期中）如图，中，点D，E分别是边，的中点，，，，则的长为（   ） A．6 B．4 C．3 D．2 2．（25-26八年级下·四川成都·月考）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，点E，F分别是，的中点，连接，已知，则的长为（   ） A．12 B．5 C．20 D．15 3．（24-25八年级下·江苏南通·月考）如图，在四边形中，E，F分别是的中点，G，H分别是的中点，，则的大小是(　　) A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·浙江台州·专题练习）如图，在四边形中，点E，F，G，H分别是各边的中点．甲说：若四边形是平行四边形，则四边形也是平行四边形；乙说：若四边形是平行四边形，则四边形也是平行四边形．下列说法正确的是（    ） A．甲、乙都正确 B．甲正确，乙错误 C．甲错误，乙正确 D．甲、乙都错误 5．（2025·八年级下 四川雅安）下列命题中，真命题是（    ） A．方程的解是 B．有两边和一角相等的两个三角形全等 C．4的平方根是2 D．连接任意四边形各边中点的四边形是平行四边形 6．（25-26八年级下·山东青岛·期中）下列说法，正确的是（   ） A．等腰三角形的高、中线、角平分线重合 B．“若，则”的逆命题是真命题 C．在角的内部到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上 D．用反证法证明“三角形中必有一个角不大于”，先假设这个三角形中有一个内角大于 7．（2025·八年级下 上海闵行）如图，在等边三角形中，、分别在、上，连接、交于，连接交于点．有下列两个命题： ①如果，那么为中点； ②如果，那么． 对于这两个命题判断正确的是（   ） A．①②都是真命题； B．①是真命题，②是假命题； C．①是假命题，②是真命题； D．①②都是假命题． 8．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，已知点在四边形的边上，且，平分，与交于点，分别与、交于点、．（1）；（2）；（3）；（4）四边形的周长最大值为10．以上说法正确的是个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（2026·八年级下 安徽滁州）如图，在中，是的角平分线，，垂足为点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24八年级下·全国·单元测试）在中，已知和分别是两边上的中线，并且，，，那么的面积等于（     ） A．28 B．36 C．34 D．32 11．（25-26八年级下·河南新乡·期中）如图，在中，，，于点，，若，分别为的中点，则的长是_______． 12．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，平行四边形的对角线相交于点，是的中点，连接．下列结论：①；②平分；③；④．其中结论正确的序号有______． 13．（2023·八年级下 广东深圳）如图，在中，，点，分别从点，同时出发，沿，方向以相同的速度运动（分别运动到点，即停止），与相交于点，与相交于点．则在此运动过程中，线段的长始终等于______． 14．（25-26八年级下·湖南长沙·期中）已知正整数N，满足，甲、乙、丙、丁四人进一步对这个数进行了猜测，甲说：“N是2的倍数”；乙说：“N是3的倍数”；丙说：“N是5的倍数”；丁说：“N是7的倍数”．已知他们中有一人说错，那么满足条件的N的最大值为________． 15．（23-24八年级下·北京·期中）边长为 的菱形是由边长为 的正方形“形变”得到的，若这个菱形一组对边之间的距离为 ，则称 为这个菱形的“形变度”． （）一个“形变度”为 的菱形与其“形变”前的正方形的面积之比为________________； （）如图，，， 为菱形网格（每个小菱形的边长为 ，“形变度”为 ）中的格点则 的面积为________________． 16．（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，连接，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 17．（25-26八年级下·广东东莞·期中）观察下面图形，解决问题： (1)用数学的眼光观察 如图，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．求证：； (2)用数学的思维思考 如图，延长图中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点．求证：； (3)用数学的语言表达 如图，在中，，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，试判断的形状，并进行证明． 18．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图任务，每个任务的画线不得超过三条． (1)在图1中，点P在线段上，先画，再在上画点E，使得； (2)在图2中，在线段上找一点G，使得，垂足为点G，并在线段上找一点H，使． 19．（23-24八年级下·江苏南京·自主招生）对一个正整数n，我们进行如下操作：若它是奇数，则乘以3再加1；若是偶数，则除以2． (1)对于，进行若干次上述操作后，是否有一数是4的倍数． (2)求证对任意正整数n，进行有限次上述操作后，必有一数是4的倍数． 20．（25-26八年级下·北京）如图，在中，，点为边上一点，； (1)如图1，若，，，求点到直线的距离； (2)如图2，点为线段中点，点为线段上一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，若点恰好在线段上，连接，与线段交于点，连接，判断线段的数量关系，并证明． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.5~4.6 三角形的中位线和反证法重难点题型专训 （1个知识点+6大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 与三角形中位线有关的求解问题 题型二 与三角形中位线有关的证明 题型三 三角形中位线的实际应用 题型四 反证法证明中的假设 题型五 用反证法证明命题 题型六 网格中多边形面积比较 拓展训练一 三角形中位线的综合应用 拓展训练二 反证法的相关应用 知识点一：三角形的中位线 1.定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 2.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半． 3.其他性质：（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形． （3）三角形中位线定理的作用： 位置关系：可以证明两条直线平行． 数量关系：可以证明线段的倍分关系． （4）常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有： 结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半． 结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形． 结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形． 结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分． 结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等． 【即时训练】 1．（23-24八年级下·河北秦皇岛·专题练习）用两个图钉将－一个橡皮筋的两个端点，固定在桌面上，拉动橡皮筋构成，点、点分别为，的中点，拉动点至的过程中，的长度（    ）    A．增长 B．缩短 C．不变 D．先增长后缩短 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，掌握三角形的中位线定理是解题的关键．根据题意可得是的中位线，得到，即可求解． 【详解】解：点、点分别为，的中点，， 是的中位线， ， 拉动点至的过程中，的长度不变， 故选：C． 2．（23-24八年级下·山东日照·月考）如图，是的中线，点E是的中点，延长交于点F，若，则的长为____________． 【答案】1 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．取的中点H，连接，根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：取的中点H，连接， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴， 故答案为1． 【经典例题一 与三角形中位线有关的求解问题】 【例1】（2026·八年级下 贵州遵义）将直尺和按如图所示的方式放置，边与直尺的交点对应的刻度分别为和．若点分别是的中点，则边的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可知的长度以及是的中位线，然后根据中位线的性质可知，据此解答即可． 【详解】解：根据题意可知，， 又∵点分别是的中点， ∴是的中位线， ∴． 【例2】（25-26八年级下·宁夏吴忠·期中）如图，在中，，点分别是三边的中点，且，则______． 【答案】 【分析】根据线段中点的定义求出斜边的长，再根据三角形中位线定理解答即可求解． 【详解】解：∵点是的中点，， ， ∵点分别是的中点， 是的中位线， ． 1．（25-26八年级下·湖北·期中）如图，在中，是的中点，平分，，垂足为，连接．若，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长交于点，可证 ，可得 ，为中点，即得，再利用三角形中位线定理解答即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， 平分， ， ， ， 在和 中， ， ， ，， 是的中点， ， ， 是的中点，是的中点， 是的中位线 ， ． 2．（23-24八年级下·广西来宾·期中）如图，四边形是平行四边形，对角线交于点是的中点，以下说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质，可得，，由此可判定B正确，不符合题意；进而得到是的中位线，是的中位线，利用中位线性质以及平行线性质，可得，，由此判定A、C正确，不符合题意；由已知条件，无法判定，故D错误，符合题意． 【详解】解： 四边形是平行四边形， ，，故B正确， E是的中点， 是的中位线，是的中位线， ，，故A正确， ， ，故C正确，不符合题意， 由已知条件，不能得到，故不能判定，故D错误，符合题意． 3．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）如图，点是内一点，，，，点，，和分别是、、和的中点，若四边形的周长为17，则长为__________． 【答案】 6 【分析】由三角形中位线的性质可得，，由四边形周长求得，再由勾股定理求得即可． 【详解】解：∵点，，和分别是、、和的中点， ，， ∵四边形的周长为17， ． ． ． ． ． ∵，， ． 4．（2026·八年级下 北京通州）如图，在中，，点，点分别是，的中点，延长到点，使，连接，，，，与交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形中位线定理可得，，进而证明，，则可证明四边形是平行四边形； （2）先利用勾股定理求出，再由平行四边形的性质求出的长，进而利用勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）证明：∵点，点分别是，的中点， ∴，， ∵， ∴，， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵，，， ∴在中，， ∵点是的中点，， ∴ ， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴在中，， ∴． 【经典例题二 与三角形中位线有关的证明】 【例1】（25-26八年级下·山东聊城·月考）如图，已知长方形，R，P分别是，上的点；E，F分别是，的中点，当点P在上从点B向点C移动，而点R不动时，那么下列结论成立的是（    ） A．线段的长逐渐增大 B．线段的长逐渐减少 C．线段的长不变 D．线段的长先增大后变小 【答案】C 【分析】如图，连接，证明出是的中位线，得到，进而求解即可． 【详解】解：如图，连接 ∵E，F分别是，的中点 ∴是的中位线 ∴ ∵点R不动 ∴的长度不变 ∴线段的长不变． 【例2】（24-25八年级下·湖南娄底·期中）如图，四边形是由四边形的各边中点依次连接而形成的四边形，则四边形一定是______． 【答案】平行四边形 【分析】本题主要考查了中位线的性质，平行四边形的判定，熟练掌握中位线性质，平行四边形的判定方法是解题的关键． 根据中位线的性质得出，，根据平行公理得出，同理得出，即可得出答案； 【详解】解：连接、，如图所示： ∵E，F，G，H分别是边，，，的中点， ∴，， ∴， 同理可得：， ∴四边形为平行四边形， 故答案为：平行四边形． 1．（2025·八年级下 江苏宿迁）如图，在中，，点、、分别是边、、的中点，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键． 由题意可得为的中位线，根据三角形的中位线定理可得，则，四边形是平行四边形，即可判断A、B、D；再由，是边的中点，即可判断C． 【详解】解：点、、分别是边、、的中点 ∴为的中位线， ∴， ∴，四边形是平行四边形， ∴， 故A、B、D正确，不符合题意； ∵，是边的中点， ∴， 故C错误，符合题意， 故选：C． 2．（2025·八年级下 河北邯郸）如图，，交于点，分别是的中点，选择图中的四个点为顶点画四边形，其中能画出的平行四边形有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，三角形的中位线的性质，如图，连接，，，，证明，再进一步结合平行四边形的判定方法求解即可. 【详解】解：如图，连接，，，， ∵， ∴，， ∴， ∴，，， ∴四边形是平行四边形， ∵分别是的中点， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， 综上：能画出的平行四边形有4个； 故选C 3．（24-25八年级下·山东滨州·期中）如图，对“三角形中位线定理” 进行拓展思考，可以提出以下三个命题： ①若，则． ②若，则是的中位线． ③若，则． 以上命题是假命题有__________________(填序号) 【答案】③ 【分析】本题考查了命题与定理以及三角形中位线定理，掌握平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． ①是真命题，过点作交边于点，连接，证明四边形是平行四边形得，，再证明四边形是平行四边形得，，然后证明四边形是平行四边形可证结论成立； ②是真命题，作交的延长线于点，证明四边形是平行四边形得，．再证明得，，进而可证结论成立； ③是假命题，画出图形说明即可． 【详解】解：命题①是真命题，理由： 证明：过点作交边于点，连接， 又， 四边形是平行四边形， ，， ∵， ， 四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， ，， ， 四边形是平行四边形， ∴， ∴， 命题②是真命题，理由： 证明：如图，作交的延长线于点， ∵， ∴四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）， ，． ∵， ∴， ， ∵， ∴， ， ，， ∴ 是的中位线． ③是假命题，如图，满足，但．故③是假命题． 故答案为：③． 4．（25-26八年级下·浙江丽水·期中）如图，在中，对角线与交于点，点分别是，的中点． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若的面积是，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，，由三角形中位线的判定和性质得到，，即可得到结论； （2）求出，继而得到． 【详解】（1）证明：， ，，， 点分别是，的中点， ，，， ， 四边形是平行四边形； （2）解：是的中点，， ， ． 【经典例题三 三角形中位线的实际应用】 【例1】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了间的距离：先在外选一地点C，然后测出的中点，并测出的长为，由此他就知道了间的距离．下列有关他这次探究活动的结论中，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的中位线定理解题． 【详解】解：由题意知，点为的中点， ∴，故选项C不合题意； 为的中位线， ∴，且， ∴，故选项A和选项B不合题意； ∵点为的中点， ∴，无法得到，故选项D符合题意． 【例2】（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，为测量位于一水塘旁的两点，间的距离，在地面上确定点，连接，，分别取，的中点，，量得，则，间的距离是_________． 【答案】/16米 【分析】先判断是的中位线，再由中位线的性质即可得解． 【详解】解：，是，的中点， 是的中位线， ， ． 1．（2025八年级下·广东广州·专题练习）如图，某建筑房梁构成了一个三角形，现选取，，的中点，，，用木条将三个中点相连进行修复加固．经测量的周长为20米，则加固木条所组成的的周长为（    ） A．5米 B．10米 C．15米 D．20米 【答案】B 【分析】根据已知得出、、是的中位线，然后根据中位线的性质得，，，即可求解． 【详解】解：∵的周长为20米， ∴（米）， ∵，，分别为，，的中点， ∴、、是的中位线， ∴，，， ∴的周长（米）． 2．（24-25八年级下·山西临汾·期中）2023年7月28日第31届世界大学生夏季运动会在成都东安湖体育公园开幕．如图，贝贝想测量东安湖A，B两点间的距离，他在东安湖的一侧选取一点O，分别取的中点M，N，但M，N之间被障碍物遮挡，故无法测量线段的长，于是贝贝在延长线上分别选取P，Q两点，且满足，贝贝测得线段米，则A，B两点间的距离是（   ）米． A．120 B．140 C．160 D．180 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．证明，根据全等三角形的性质求出，再根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：在和中， ， ， 米， 点分别为，的中点， 是的中位线， 米， 故选：D． 3．（23-24八年级下·安徽六安·专题练习）如图，等腰中，，，，于点R，于点S，则下列结论： ①；②；③；④中一定正确的有_________．（填写所有正确序号） 【答案】①②④ 【分析】根据已知条件证得△PBR≌△PCS求得PB=PC，由等腰三角形三线合一的特征可得AP⊥BC，∠BAP=∠CAP；由∠PAR=∠APQ，可得结论②；由QP是△CAB的中位线，可得结论④；结论③仅一边一角对应相等，无法判定全等； 【详解】解：△PBR和△PCS中，AB=AC，则∠B=∠C，∠PRB=∠PSC=90°，PR=PS， ∴△PBR≌△PCS， ∴PB=PC， △ABC是等腰三角形， ∴AP⊥BC，结论①正确， ∴∠BAP=∠CAP， ∵QA=QP，则∠PAQ=∠APQ， ∴∠PAR=∠APQ， ∴QP∥AB，结论②正确， P为BC中点，则QP是△CAB的中位线， ∴AQ=CQ，结论④正确， △BPR和△QPS中仅有一边一角对应相等，不满足全等的判定条件，结论③判断错误， 故答案为：①②④ 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形的中位线；掌握全等三角形的判定和等腰三角形的性质是解题关键． 4．（24-25八年级下·四川广安）小明探究：“用刀剪一个三角形分成块，再把它拼成一个长方形（无重叠，无缝隙）”时，遇到了困难．经提示他想到了从特殊到一般的数学思想，于是他先剪一个直角三角形纸片，然后沿其一条中位线剪一刀，分成块（如图），很快就拼成了一个与原三角形面积相等的长方形． (1)请你在图中用类似的方法把三角形纸片剪一刀分成块，使拼成的图形为平行四边形； (2)请你在图中把三角形纸片剪两刀分成块，使拼成的图形为长方形； (3)请你在图和图中，把正方形纸片剪两刀分成块，然后拼成一个与原正方形面积相等的三角形，要求所拼成的三角形既不是等腰三角形，也不是直角三角形．（请给出两种不同的方案） 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】本题考查了图形的剪拼，中位线定理，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意把三角形纸片剪一刀分成块，然后拼成平行四边形即可； （）根据题意把三角形纸片剪两刀分成块，拼成长方形即可 （）根据题意把正方形纸片剪两刀分成块，拼成一个与原正方形面积相等的三角形即可． 【详解】（1）解：如图，根据提示图形，作出三角形的中位线，再按照图示方法即可拼成平行四边形， （2）解：如图，根据提示图形，先作出三角形的中位线，然后过顶点作中位线的垂线，再按照图示方法即可拼成矩形， （3）解：如图，， 【经典例题四 反证法证明中的假设】 【例1】（25-26八年级下·河北保定·月考）用反证法证明命题“在中，，则”时，首先应该假设（   ） A． B． C． D．且 【答案】A 【分析】根据反证法的步骤，第一步需假设命题结论不成立，找到结论的反面即可求解． 【详解】解：用反证法证明命题时，需假设原结论不成立， ∵原命题结论为，它的反面是， ∴第一步应该假设，即选项A符合题意． 【例2】（25-26八年级下·河南郑州·期中）牛顿曾说：“反证法是数学家最精良的武器之一”，用反证法证明命题“在三角形的三个内角中，至少有两个锐角”第一步应假设_______． 【答案】 在三角形的三个内角中，最多有一个锐角 【分析】反证法的第一步是假设原命题的结论不成立，只需对原命题的结论进行否定即可得到假设内容. 【详解】解：用反证法证明命题“在三角形的三个内角中，至少有两个锐角”时， 第一步应假设原命题的结论不成立，即假设在三角形的三个内角中，最多有一个锐角. 1．（25-26八年级下·陕西西安·月考）“已知在中，，求证：．”小明想用反证法证明这个命题是正确的，如果他假设“”则这个假设与以下哪个选项相矛盾（   ） A．等边对等角 B．等角对等边 C．三角形的内角和定理 D．三角形的三边关系 【答案】C 【分析】本题考查反证法的应用，结合等腰三角形性质推导假设对应的结论，再判断该结论和哪个定理矛盾即可． 【详解】解：∵ ∴ 假设 ，则 ∴ 又∵ ∴ 该结论与三角形内角和定理矛盾，因此选C． 2．（25-26八年级下·全国·周测）用反证法证明“在中，，的对边长分别是，．若，则”．第一步应假设（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 反证法的第一步是假设原命题的结论不成立． 【详解】解：∵ 原命题的结论是“”， ∴ 其否定为“”. 故第一步应假设“若，则”， 故选：D． 3．（25-26八年级下·山西太原·期中）用反证法证明，若，则时，应假设___________． 【答案】 【分析】了解反证法证明的方法和步骤，反证法的步骤中，首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设成立． 【详解】解：反面是． 因此用反证法证明若，则时，应假设． 4．（25-26八年级下·山东聊城·月考）用反证法证明“平行于同一条直线的两直线平行”． 【答案】见解析． 【分析】查了反证法．解此题的关键是要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立． 画出图形，写出已知、求证，然后根据反证法的步骤给出证明即可解决问题． 【详解】解：已知：，， 求证：． 证明：假设与相交于点， 则过点有两条直线平行于直线， 这与过直线外一点平行于已知直线的直线有且只有一条相矛盾， 所以， 所以平行于同一条直线的两直线平行． 【经典例题五 用反证法证明命题】 【例1】（24-25八年级下·福建三明·期中）已知四个正数的和等于1，下列说法正确的是（   ） A．这四个数都等于 B．至少有一个数大于 C．至少有一个数不大于 D．这四个数中恰有两个数大于，两个数小于 【答案】C 【分析】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 先要假设每个数大于，则四个正数的和大于1，即可证明结论． 【详解】解：先要假设每个数大于， 则四个正数的和大于1， 与已知已知四个正数的和等于1矛盾， 故至少有一个数不大于， 故选：C． 【例2】（24-25八年级下·全国·课后作业）用反证法证明：若a，b，c是不全为0的有理数，且，那么a，b，c这三个数中至少有一个负数，完成下列填空： 证明：假设a，b，c都不是___________， 不全为0， 中至少有一个为正数， ________0，这与已知相___________， ∴___________，原命题成立， 即a，b，c这三个数中至少有一个负数． 【答案】 负数 矛盾 假设不成立 【分析】本题主要考查了反证法的应用，准确分析判断是解题的关键． 首先假设a，b，c都不是负数，然后证明出a，b，c这三个数中至少有一个负数即可求解． 【详解】证明：假设a，b，c都不是负数， 不全为0， 中至少有一个为正数， ，这与已知相矛盾， ∴假设不成立，原命题成立， 即a，b，c这三个数中至少有一个负数． 故答案为：负数，，矛盾，假设不成立． 1．（24-25八年级下·浙江宁波·月考）设均为整数，若，则下列结论正确的是（    ） A．不可能都是奇数 B．不可能都是偶数 C．必一奇一偶 D．不可能是偶数 【答案】A 【分析】当都是奇数时，是奇数，是奇数，是奇数，此时必定不满足，据此可判断A；根据可判断B、C、D． 【详解】解：当都是奇数时，是奇数，是奇数，是奇数， ∴是偶数， ∴此时一定不满足， ∴不可能都是奇数，故A结论正确，符合题意； ∵，满足，本例中都是偶数，是偶数， ∴可能都是偶数，故B、C、D结论都错误，不符合题意； 2．（2023八年级下·浙江·专题练习）下面算式中，每个汉字代表0，1，2，…，9中的一个数字，不同的汉字代表不同的数字．算式中的乘数应是（    ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了用反证法证明命题的正确性，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法． 【详解】解：假设：“好”，则“客”，因为积的末尾是“客”，故“好”或9．若“好”，则“居”，因为积的首是“居”，引出矛盾； 假设：“好”，则“居”，因为不同的汉字代表不同的数字，引出矛盾．故“好”．显然“好”； 假设：“好”，因为积是五位数，则“客”，因为积的末尾是“客”，故只有“客”，从而“居”，因为积的首是“居”，引出矛盾； 假设：“好”，因为积是五位数，不同的汉字代表不同的数字，则“客“，但若“客”，则“居”，因为积的首是“居”，引出矛盾； 假设：“客”，因为积的末尾是“客”，则“居”，因为积的首是“居”，引出矛盾． 故只有“好”． 故选：C． 3．（25-26八年级下·上海松江·期中）用反证法证明．已知：和是直线被直线截出的同位角，分别交于点M、N，． 求证：． 证明：假设________________，过点M作直线，使得 根据________________，可得到________________， 又因为，与________________矛盾， 故假设不成立，所以 【答案】，同位角相等，两直线平行，；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【分析】根据反证法证明的基本思路，平行线的判定和性质，求解即可． 【详解】解：证明：假设，过点M作直线，使得， 根据同位角相等，两直线平行，可得到， 又因为，与过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 矛盾， 故假设不成立，所以． 4．（25-26八年级下·上海·专题练习）反证法是数学中一种常用的证明方法，请你用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于”．（提示；先根据题意写出已知求证，再给予证明） 已知： 求证： 证明： 【答案】见解析 【分析】本题考查反证法，包括反证法的逻辑步骤、三角形内角和定理．先通过反设结论(假设三个内角都大于)，推导出与三角形内角和定理矛盾的结果，从而肯定原命题成立． 【详解】解：已知：在中，、、为其三个内角． 求证：、、中至少有一个内角小于或等于． 证明：假设的三个内角都大于，即 则将三个不等式相加，得 此结论与“三角形内角和为”的定理相矛盾． 因此，假设不成立，原命题成立．即三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于． 【经典例题六 网格中多边形面积比较】 【例1】（23-24八年级下·广西河池·期中）如图，网格图中每个小正方形的边长均为1，以为半径的扇形经过平移到达扇形的位置，那么图中阴影部分的面积是（　　）．    A．8 B．6 C．6.5 D．7.5 【答案】B 【分析】如图：连接和，可以发现，然后求得平行四边形的面积即可解答． 【详解】解：连接和，则 ．    故选：B． 【点睛】本题主要考查了求阴影部分的面积，将阴影部分的面积转换成求平行四边形的面积是解答本题的关键． 【例2】（23-24八年级下·河南洛阳·专题练习）如图，小个方格都是边长为1的正方形，图中四边形的面积为________． 【答案】 【分析】利用大正方形的面积减去四边形周围的小三角形面积即可． 【详解】解：四边形ABCD的面积为： =， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了四边形面积求法，掌握割补法是解题的关键． 1．（23-24八年级·江苏·暑假作业）如图所示的方格（每个小方格面积为1）中阴影部分为两个轴对称型的汉字，图①中汉字面积为，图②中汉字的面积为，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】D 【分析】利用割补法分别求出和的面积，再作差即可． 【详解】解：如图， ， ， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查不规则图形的面积，掌握割补法求不规则图形的面积是解题关键． 2．（23-24八年级下·天津南开·专题练习）正方形网格中的交点，我们称之为格点．如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为．现有格点，那么，在网格图中找出格点，使以和格点为顶点的三角形的面积为1．这样的点可找到的个数为（       ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据题意画出图形，即可求解． 【详解】解：如图，根据题意画出图形，这样的点有6个． 故选：C 【点睛】本题考查了三角形的面积，两平行线间的距离．应注意数形结合，防止漏解或错解． 3．（23-24八年级下·天津和平·专题练习）如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，，正方形、正方形的顶点均在格点上．    利用面积计算线段_____，_____，则，，三条线段的数量关系为_______． 【答案】 【分析】根据网格，计算正方形、正方形的面积，利用面积计算线段，，从而得到，，三条线段的数量关系． 【详解】解：，正方形、正方形的顶点均在格点上， 正方形面的积，正方形的面积，， ，， ， 故答案为：，，． 【点睛】本题主要考查了网格图形面积计算，正方形面积与边长关系，算术平方根计算，熟练掌握网格图形面积计算是解题的关键． 4．（23-24 八年级下 ·吉林·月考）图①、图②均为的正方形网格，线段的端点均在格点上，按要求在图①、图②中作图并计算其面积． (1)在图①中画一个四边形，使四边形有一组对角相等，_____； (2)在图②中画一个四边形，使四边形有一组对角互补，_____． 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）过C画的平行线，过A画的平行线，两线交于一点D，根据平行四边形的判定定理可得四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可知，然后用割补法求出面积即可； （2）根据图中正方形网格和的特点，作出与互补，然后用割补法求面积即可． 【详解】（1）解：如图①， ； （2）解：如图②， ． 【拓展训练一 三角形中位线的综合应用】 【例1】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，在四边形中，对角线，且，，点E、F分别是边、的中点，则的长度是（   ） A． B． C．6 D．不确定，随着四边形的形状改变 【答案】A 【分析】取的中点G，连接，，利用三角形中位线定理将已知的对角线和的长度及垂直关系转化到中，从而求解． 【详解】解：如图，取的中点G，连接，， ∵点E、F、G分别是、、的中点，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴． 【例2】（25-26八年级下·福建龙岩·期中）谢尔宾斯基三角形是一种经典的分形图形．初始三角形（分形次数为0）是1个边长为1的等边三角形，每进行一次分形，都会取黑色的小等边三角形的三边中点并连接，形成几个形状、大小完全相同的等边三角形．如图，经过第一次分形得到3个边长为的黑色等边三角形，经过第二次分形得到9个边长为的黑色等边三角形…按此规律，第5次分形图形中黑色的等边三角形的周长和为_____________． 【答案】 【分析】先根据中位线定理推出第次分形的等边三角形的边长是，再通过规律得到第次分形图形中黑色三角形的个数，从而得结论． 【详解】解：∵每进行一次分形，都会取黑色的小等边三角形的三边中点并连接，形成几个形状、大小完全相同的等边三角形， ∴根据中位线定理可知每进行一次分形得到的三角形边长是上一次分形三角形边长的， ∴第一次分形图形中等边三角形的边长是，第二次分形图形中等边三角形的边长是，第三次分形图形中等边三角形的边长是，第次分形图形中的等边三角形的边长是， ∵每进行一次分形，黑色三角形的个数是上一次分形中黑色三角形个数的三倍， ∴第一次分形图形中黑色的三角形的个数为3个，第二次分形图形中黑色的三角形的个数为个，第三次分形图形中黑色的三角形的个数为个，第次分形图形中黑色的三角形的个数为个， ∴第次分形图形中黑色的等边三角形的周长和为 ， ∴第5次分形图形中黑色的等边三角形的周长和为． 1．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，，，D，E分别是边，上的动点，连接，F，M分别是，的中点，则长的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】过点B作于G，连接，由三线合一定理和勾股定理求出，进而求出，证明是的中位线，得到，则当时，最小，即此时最小，利用面积法求出，则． 【详解】解：如图所示，过点B作于G，连接， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵F，M分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当时，最小，即此时最小， ∵当时，， ∴， ∴， ∴最小值为． 2．（24-25八年级下·浙江舟山·期中）如图，四边形，对角线，且平分，为的中点．在上取一点．使，为垂足，取中点，连结．下列五句判断：①；②；③；④连结，则四边形是平行四边形；⑤．其中判断正确的是（   ） A．①②③ B．②④ C．②④⑤ D．③④⑤ 【答案】B 【分析】根据含角直角三角形的性质即可判定①；根据题意证明出，得到，然后利用三角形中位线的性质即可判定②；延长，交于点H，然后证明出，得到，然后得到是的中位线，得到，然后结合等边对等角得到，然后结合即可判断③；连接，证明出，得到，然后结合，即可证明出四边形是平行四边形，进而可判断④；由，，而，从而得到，即可判断⑤． 【详解】∵，但不一定等于， ∴不一定等于，故①错误； ∵， ∴ ∵平分 ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵中点为F ∴，故②正确； 如图所示，延长，交于点H ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵点F为的中点 ∴是的中位线 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵是的中位线 ∴ ∴，故③错误； 如图所示，连接， ∵，， ∴ ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形，故④正确； ∵，，而不一定等于 ∴不一定等于，故⑤错误， 综上所述，其中判断正确的是②④． 故选：B． 【点睛】本题综合考查了中位线定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质和判定、平行四边形的判定等知识点．掌握相关结论是解题关键． 3．（23-24八年级下·湖北武汉·专题练习）如图，点O为等边边的中点．以为斜边作（点A与点D在同侧且点D在外），点F为线段上一点，延长到点E使，，若，，则_______ 【答案】9 【分析】延长到N，使．连接，并延长交于．连接在上截取．连接．证明，得出，得出，再通过平行四边形的性质证明为中点，，再证明，，得出，再证明，证出为等边三角形，得出，即可求解； 【详解】解：延长到N，使．连接，并延长交于．连接在上截取．连接． ， ， ， O为中点， ， 延长使得，连接， ∵， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 为中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即 ， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， 故答案为：9． 【点睛】该题主要考查了等边三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，三角形中位线定理，平行线的性质和判定等知识点，解题的关键是正确作出辅助线． 4．（25-26八年级下·上海闵行·期中）【教材呈现】如图是沪教版八年级下册教材第42页的第1题，请完成这道题的证明． (1)如图①，在四边形．中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．求证：． (2)【教材延伸】 如图②，延长图①中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点，求证：． (3)【应用探究】 如图③，在中，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据中位线定理证明即可； （2）根据中位线定理证明即可； （3）连接，取中点，连接、，结合（1）（2）的结论证明为等腰直角三角形，进而解题． 【详解】（1）证明：∵是的中点，是的中点， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：如图，由（1）得， ∵是的中点，是的中点，为的中点， ∴，， ∴，， ∴； （3）证明：如图，连接，取中点，连接，，由（1）知， 由（2）可知，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， 由（1）知， ∴． 【拓展训练一 三角形中位线的综合应用】 【例1】（24-25八年级下·河南周口·月考）用反证法证明命题“在中，，求证：”的第一步应先假设（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查反证法，熟练掌握反证法是解题的关键．根据反证法的方法进行第一步假设即可得到答案． 【详解】解：用反证法证明命题“在中，，求证：”的第一步应先假设， 故选：A． 【例2】（25-26八年级下·四川眉山·专题练习）利用反证法证明命题“同一平面内，平行于同一直线的两条直线平行”，第一步应该假设：______． 【答案】这两条直线不平行 【分析】本题考查了反证法，根据反证法的第一步是假设原命题的结论不成立即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由原命题“同一平面内，平行于同一直线的两条直线平行”的结论是“两条直线互相平行”， 因此反证法第一步应假设结论不成立，即“这两条直线不平行”， 故答案为：这两条直线不平行． 1．（23-24八年级下·四川达州·专题练习）如图，的对角线，交于点，平分，交于点，且，，连接，下列结论：①；②；③；④垂直平分；⑤，其中成立的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】对于①，根据平行四边形的性质及角平分线的定义可证明是等边三角形，进一步可推得，从而可求得，即可求得； 对于②，根据勾股定理可证明，即，进一步可求出，即可判断②错误； 对于③，设，根据①②中的结论，及平行四边形的对角线互相平分，可分别求得，，由此即得结论③； 对于④，由①可知，，根据等腰三角形三线合一性质可得，即知结论④正确； 对于⑤，运用反证法证明，假设，逐步推理得到，这与②中的结论矛盾，从而得到证明． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， 是等边三角形， ， ，， ， ， ， ， 所以①正确； 四边形是平行四边形， ，，， 在中，， ， ， ， 所以②错误； 设， ， ，， ， ， ， ， ， ， 所以③正确； ，， ， 即垂直平分， 所以④正确； 假设，则， ， ， ， ， ， 这与矛盾， 假设不成立， 故， 所以⑤错误； 综上所述，成立的结论是①③④， 所以成立的个数是3个． 故选B． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的判定与性质，勾股定理及反证法，灵活运用相关知识是解题的关键． 2．（25-26八年级下·山东·单元复习）用反证法证明命题“在同一平面内，若直线，，则”时，应假设（　　） A． B．a与b不平行 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反证法，解题关键是明确反证法的步骤． 反证法证明命题时，应假设结论的反面成立．结论是，其反面是 与 不平行． 【详解】∵ 反证法需假设结论不成立，结论的反面是与 不平行， ∴ 应假设 与 不平行， 故选 B． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）反证法是数学中一种常用的证明方法，通常先假设求证的结论是错误的，再由此推导出与已知、公理、定理或条件等相矛盾的结果，从而否定开始的假设，肯定先前求证结论的正确性．在证明“两直线平行，内错角相等”时，采用反证法． 如图1，已知：与是直线，被直线所截得到的一对内错角，，直线，分别与直线相交于点，．求证：． 证明：假设_______，过点N画一条直线，使得， 如图2所示，根据________，可得， 又因为，这样直线、都过点N，这与________矛盾． 说明假设不成立，所以______． 【答案】 内错角相等，两直线平行 过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【分析】本题考查的是反证法，利用反证法的一般步骤解答即可． 【详解】证明：假设， 过点N画一条直线，使得，如图2所示，根据内错角相等，两直线平行，可得， 又因为，这样直线、都过点N， 这与过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行矛盾． 说明假设不成立，所以， 故答案为：；内错角相等，两直线平行；过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，． 4．（25-26八年级下·福建厦门·月考）已知实数a，b，c，m，n满足，． (1)当时，求证：． (2)若m，n为正整数，且为奇数，m，n是否可以都为偶数？说明你的理由． 【答案】(1)见解析 (2)m，n不可以都为偶数，理由见解析 【分析】（1）由得出，再结合题意计算即可得出结果； （2）假设m，n都是偶数，设，（，为正整数），求出，由、、都是偶数，得出为偶数，这与为奇数矛盾，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； （2）解：m，n不可以都为偶数，理由如下： 假设m，n都是偶数，设，（，为正整数）， ∵，， ∴， ∵、、都是偶数， ∴为偶数，这与为奇数矛盾， ∴假设不成立，即m，n不可以都为偶数． 1．（25-26八年级下·福建厦门·期中）如图，中，点D，E分别是边，的中点，，，，则的长为（   ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】根据三角形中位线定理计算即可解题． 【详解】解：∵点，分别是，的中点， ∴， ∵， ∴． 2．（25-26八年级下·四川成都·月考）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，点E，F分别是，的中点，连接，已知，则的长为（   ） A．12 B．5 C．20 D．15 【答案】C 【详解】解： 四边形是平行四边形， 对角线与互相平分， 是的中点，，， 是的中点，是的中点， 是的中位线， ， ， ， ． 3．（24-25八年级下·江苏南通·月考）如图，在四边形中，E，F分别是的中点，G，H分别是的中点，，则的大小是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定等知识点，由题意得分别是的中位线，推出，，，；进而得四边形是平行四边形，；根据推出，即可求解； 【详解】解：由题意得：分别是的中位线， ∴，，，； ∴，，； ∴四边形是平行四边形，； ∵ ∴， ∴， 故选：C 4．（23-24八年级下·浙江台州·专题练习）如图，在四边形中，点E，F，G，H分别是各边的中点．甲说：若四边形是平行四边形，则四边形也是平行四边形；乙说：若四边形是平行四边形，则四边形也是平行四边形．下列说法正确的是（    ） A．甲、乙都正确 B．甲正确，乙错误 C．甲错误，乙正确 D．甲、乙都错误 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，三角形中位线定理，根据三角形中位线定理推出，则可证明四边形是平行四边形，根据现有条件无法证明四边形是平行四边形，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵在四边形中，点E，F，G，H分别是各边的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 根据现有条件无法证明四边形是平行四边形，故甲说法正确，乙说法不正确， 故选：B． 5．（2025·八年级下 四川雅安）下列命题中，真命题是（    ） A．方程的解是 B．有两边和一角相等的两个三角形全等 C．4的平方根是2 D．连接任意四边形各边中点的四边形是平行四边形 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程的解法，平方根，全等三角形的判定，中点四边形等知识，根据相关知识逐项进行判断即可． 【详解】解：A. 方程的解为，，故选项不正确； B.有两边对应相等，且夹角相等的两三角形全等，故选项不正确； C. 4的平方根是，故选项不正确； D. 连接任意四边形各边中点的四边形是平行四边形，故选项正确； 故选：D． 6．（25-26八年级下·山东青岛·期中）下列说法，正确的是（   ） A．等腰三角形的高、中线、角平分线重合 B．“若，则”的逆命题是真命题 C．在角的内部到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上 D．用反证法证明“三角形中必有一个角不大于”，先假设这个三角形中有一个内角大于 【答案】C 【分析】本题考查真假命题判断，涉及等腰三角形性质、逆命题、角平分线判定、反证法知识点，逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵等腰三角形只有底边上的高、底边上的中线、顶角的角平分线互相重合，并非所有高、中线、角平分线重合， ∴A错误； 原命题“若，则”的逆命题为“若，则”， ∵存在，但， ∴逆命题为假命题，B错误； 由角平分线的判定定理可知，在角的内部到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上， ∴C正确； 用反证法证明“三角形中必有一个角不大于”时，需假设结论的反面成立，即假设三角形中每一个内角都大于， ∴D错误． 7．（2025·八年级下 上海闵行）如图，在等边三角形中，、分别在、上，连接、交于，连接交于点．有下列两个命题： ①如果，那么为中点； ②如果，那么． 对于这两个命题判断正确的是（   ） A．①②都是真命题； B．①是真命题，②是假命题； C．①是假命题，②是真命题； D．①②都是假命题． 【答案】A 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，中垂线的判定，证明，得到，再证明，得到，进而得到垂直平分，判断①，反证法判断②． 【详解】解析：①三角形为等边三角形， ∴， ， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ， ∵，， ， ， 为中垂线上的点， ∵， ∴为中垂线上的点， ∴垂直平分， 为中点； 所以①为真命题； 假设与不平行，作，与交于点，作，则：，， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴，即：，与矛盾， ∴假设不成立， ∴；故②为真命题． 故选A． 8．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，已知点在四边形的边上，且，平分，与交于点，分别与、交于点、．（1）；（2）；（3）；（4）四边形的周长最大值为10．以上说法正确的是个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据等边对等角得，再根据角平分线的定义得，然后根据三角形外角的性质得，即可得，进而解答（1）；根据“边角边”解答（2）即可；结合已知条件不能得出该结论，判断（3）；先说明是的垂直平分线，再设则，根据勾股定理得，进而得出，然后根据中位线的性质得，接下来结合四边形的周长为，最后结合完全平方公式的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴，则（1）正确； ∵平分， ∴． ∵， ∴，则（2）正确； 只有都是等边三角形，可得，由已知条件不能得出该结论，所以（3）不正确； ∵， ∴． ∵，， ∴是的垂直平分线，即． 设则， ∵， 即， 解得， ∴． ∵， ∴， ∴四边形的周长为， 当时，四边形的周长最大值为10，则（4）正确． 所以正确的有3个，C符合题意． 9．（2026·八年级下 安徽滁州）如图，在中，是的角平分线，，垂足为点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长交于点，即可证明，有和，结合题意可得和，作，则，可证明为的中位线，可得，同理可证为的中位线，则，那么有，根据三角形三边关系得到，有，即可解得答案． 【详解】解析：如图，延长交于点， 则， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ． 作，则， ∴点Q为的中点， ∴为的中位线， ∴． ∵， ∴同理可证为的中位线， ∴， 则， ∵， ∵， ∴， 则， 那么，． 10．（23-24八年级下·全国·单元测试）在中，已知和分别是两边上的中线，并且，，，那么的面积等于（     ） A．28 B．36 C．34 D．32 【答案】D 【分析】先画出图形，连接，过点作，交的延长线于点．由，，，得，根据中位线的性质，求得，即得出，，从而得出的面积． 【详解】连接，过点作，交的延长线于点． ∵和分别是两边上的中线 ∴ ∵，， ∴ ∵四边形为平行四边形 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理和三角形面积的求法，根据题意作出辅助线，构造出平行四边形是解答此题的关键． 11．（25-26八年级下·河南新乡·期中）如图，在中，，，于点，，若，分别为的中点，则的长是_______． 【答案】/ 【分析】先根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得，再证明是等腰直角三角形，结合勾股定理得到，然后由三角形的中位线的性质解答即可． 【详解】解：∵，，， ∴，则， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，则， ∴， ∵，分别为的中点， ∴． 12．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，平行四边形的对角线相交于点，是的中点，连接．下列结论：①；②平分；③；④．其中结论正确的序号有______． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形中位线定理等知识，确定是的中位线是解题的关键．首先可知是等边三角形，得，再利用平行线的性质可得，可知①正确，由，得平分，故②正确；由平行四边形的性质得是的中位线，利用三角形中位线定理可对③进行判断．根据等底同高的三角形面积相等可得，再由③可知，进而可得，可对④进行判断． 【详解】解：是的中点， ， ， ， 又， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， 故①正确； ，， ， 平分， 故②正确； 平行四边形的对角线，相交于点， ， 是的中点， 是的中位线， ， 又， ， ， 故③正确； ， ， ，， ， ， ，故④错误． 故答案为：①②③ 13．（2023·八年级下 广东深圳）如图，在中，，点，分别从点，同时出发，沿，方向以相同的速度运动（分别运动到点，即停止），与相交于点，与相交于点．则在此运动过程中，线段的长始终等于______． 【答案】 【分析】由平行四边形的性质得出，，得出四边形和四边形都是平行四边形，则，，由三角形中位线定理可得出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， 点，分别从点A，同时出发，沿，方向以相同的速度运动， ， ， 四边形和四边形都是平行四边形， ，， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，证明四边形和四边形是平行四边形是解题的关键． 14．（25-26八年级下·湖南长沙·期中）已知正整数N，满足，甲、乙、丙、丁四人进一步对这个数进行了猜测，甲说：“N是2的倍数”；乙说：“N是3的倍数”；丙说：“N是5的倍数”；丁说：“N是7的倍数”．已知他们中有一人说错，那么满足条件的N的最大值为________． 【答案】90 【分析】本题考查了反证法，根据题意，正整数N满足，且甲、乙、丙、丁四人中有一人说错，其余三人说对．分别考虑甲错、乙错、丙错、丁错四种情况，计算满足条件的N值，并比较得出最大值． 【详解】解：若甲错，则N不是2的倍数，但N是3、5、7的倍数．3、5、7的最小公倍数为105，但，无解； 若乙错，则N不是3的倍数，但N是2、5、7的倍数．2、5、7的最小公倍数为70，70在50到100之间且不是3的倍数，故； 若丙错，则N不是5的倍数，但N是2、3、7的倍数．2、3、7的最小公倍数为42，42的倍数在50到100之间有84，84不是5的倍数，故； 若丁错，则N不是7的倍数，但N是2、3、5的倍数．2、3、5的最小公倍数为30，30的倍数在50到100之间有60和90，两者均不是7的倍数，故或90． 比较各情况，N的最大值为90． 验证：当时，甲说正确（90是2的倍数），乙说正确（90是3的倍数），丙说正确（90是5的倍数），丁说错误（90不是7的倍数），符合题意． 故答案为：90． 15．（23-24八年级下·北京·期中）边长为 的菱形是由边长为 的正方形“形变”得到的，若这个菱形一组对边之间的距离为 ，则称 为这个菱形的“形变度”． （）一个“形变度”为 的菱形与其“形变”前的正方形的面积之比为________________； （）如图，，， 为菱形网格（每个小菱形的边长为 ，“形变度”为 ）中的格点则 的面积为________________． 【答案】 【分析】（1）先分别求出菱形和正方形的面积，然后根据变形度为2求解即可； （2）先把网格中的菱形当成是正方形，然后算出三角形的面积，最后根据变形度求解即可得到答案. 【详解】解：（）∵边长为的正方形面积，边长为的菱形面积， ∴菱形面积：正方形面积， ∵菱形的变形度为，即， ∴． 故答案为：； （）∵菱形边长为，“形变度”为， ∴菱形形变前的面积与形变后面积比为， ∴． 故答案为：9. 【点睛】本题主要考查了网格中面积的计算，解题的关键在于能够准确地读懂题意进行求解. 16．（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，连接，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）根据三角形中位线定理得到，根据平行四边形的判定定理得到四边形为平行四边形，进而得证； （2）首先推导出，在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】（1）证明：是的中点， ， 又， 是的中位线， ， ， 又， 四边形为平行四边形， ； （2）解：由（1）知，是的中位线，四边形为平行四边形， ， ， ， 在中，，， 由勾股定理得：． 17．（25-26八年级下·广东东莞·期中）观察下面图形，解决问题： (1)用数学的眼光观察 如图，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．求证：； (2)用数学的思维思考 如图，延长图中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点．求证：； (3)用数学的语言表达 如图，在中，，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，试判断的形状，并进行证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)是直角三角形，证明见解析 【分析】（）利用三角形中位线的性质可得，进而即可求证； （）利用三角形中位线的性质可得，，进而根据（）的结论即可求证； （）取的中点，连接，利用三角形中位线的性质可证，进而得到 ，即得到是等边三角形，即可得，得到，进而得 ，即可求证． 【详解】（1）证明：∵是的中点，是的中点， ∴， 同理可得，， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵是的中点，是的中点， ∴， ∴， 同理可证，， 由（）知，， ∴； （3）解：是直角三角形，证明如下： 如图，取的中点，连接， ∵是的中点， ∴，， 同理可得，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴ ， 又∵ ， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 18．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图任务，每个任务的画线不得超过三条． (1)在图1中，点P在线段上，先画，再在上画点E，使得； (2)在图2中，在线段上找一点G，使得，垂足为点G，并在线段上找一点H，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质是关键． （1）作平行四边形并利用平行四边形的性质进行作点E即可； （2）利用三角形中位线定理、等腰三角形的判定和性质进行作图即可． 【详解】（1）解：所作图形如图所示： （2）所作图形如图所示： 19．（23-24八年级下·江苏南京·自主招生）对一个正整数n，我们进行如下操作：若它是奇数，则乘以3再加1；若是偶数，则除以2． (1)对于，进行若干次上述操作后，是否有一数是4的倍数． (2)求证对任意正整数n，进行有限次上述操作后，必有一数是4的倍数． 【答案】(1)和，进行一次上述操作后，都有一数是4的倍数； (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了反证法和有理数的四则运算： （1）根据定义进行判断即可； （2）奇数经过一次操作后一定会变为偶数，因此只需要证明偶数经过操作后有一数是4的倍数即可；若偶数为4的倍数，则问题得证，若偶数不是4的倍数时，则该偶数可以表示为（m为整数），当（k为整数），则，经过操作后可变为，问题得证；当（k为整数），则经过操作后可得，对于，要使不是4的倍数，那么k一定要是奇数，则可推出要一直成立，即对于任意的k的结果都是整数，显然这是不可能的，据此问题得证． 【详解】（1）解：∵，且52是4的倍数， ∴进行一次上述操作后，有一数是4的倍数； ∵，且112是4的倍数， ∴进行一次上述操作后，有一数是4的倍数； （2）解：∵奇数乘以3再加1后一定会变为偶数，而偶数除以一定数量的2之后一定会变为奇数， ∴经过有限步后奇数一定会变为偶数， 若偶数为4的倍数，则问题得证， 若偶数不是4的倍数时，则该偶数可以表示为（m为整数）， 当（k为整数），则， ，， ∴一定是4的倍数，故当m为偶数时，满足题意； 当（k为整数），则， ，，， ，， 对于，要使不是4的倍数，那么k一定要是奇数， 设（p为整数），则， ，，， 同理要使不是4的倍数，则p一定是奇数， 如此反复，在此过程中，若有一个环节中出现了偶数，那么环节中必有4的倍数， ∴假设不存在4的倍数，那么要一直成立，即对于任意的k的结果都是整数，显然这是不可能的， ∴假设不成立， ∴原结论正确． 20．（25-26八年级下·北京）如图，在中，，点为边上一点，； (1)如图1，若，，，求点到直线的距离； (2)如图2，点为线段中点，点为线段上一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，若点恰好在线段上，连接，与线段交于点，连接，判断线段的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）过点作延长线于点，利用勾股定理求得，再利用，即可求解； （2）连接，交于点，通过导角得出，可知，证明，可得，即可证明，得，再利用直角三角形证明，得，最后利用中位线证明即可． 【详解】（1）解：过点作延长线于点， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即点到直线的距离为； （2）解：，理由如下： 如图，连接，交于点， 设， ∵，点为线段中点， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 由旋转知，， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴，     ∴， ∵点为线段中点， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $