第五章 特殊平行四边形重难点检测卷 -2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

**基本信息** 聚焦特殊平行四边形全章，通过28题（选择10、填空8、解答10）分层检测，融合折叠、动态等情境，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|矩形判定（第4题）、正方形性质（第5题）|结合几何直观，考查概念辨析| |填空题|8/24|菱形对角线计算（第12题）、矩形旋转问题（第14题）|渗透空间观念，强化运算能力| |解答题|10/66|正方形折叠探究（第19题）、动态四边形证明（第25题）|注重推理能力，体现模型意识|

第五章 特殊平行四边形重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共28题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：特殊平行四边形全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26八年级下·山东淄博·期中）如图，四边形是平行四边形，下列说法不正确的是（    ） A．当时，四边形是矩形 B．当时，四边形是菱形 C．当时，四边形是菱形 D．当时，四边形是正方形 【答案】D 【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定定理，对各选项逐一判断，找出说法错误的选项即可． 【详解】解：A、， 根据对角线相等的平行四边形是矩形可得，四边形是矩形，故说法正确，不符合题意； B、， 根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得，四边形是菱形，故说法正确，不符合题意； C、∵， 根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得，四边形是菱形，故说法正确，不符合题意； D、， 根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得，四边形是矩形，不一定是正方形，故说法错误，符合题意． 2．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在直角坐标系中，矩形的对角线轴，若，，与的交点为E，则C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】不妨设，，利用中点坐标公式，建立等式，根据矩形的对角线相等，利用两点间距离公式建立新等式，解答即可． 本题考查了坐标的特点，中点坐标公式，两点间距离公式，矩形的性质，熟练掌握公式和性质是解题的关键． 【详解】解：由轴，，， 不妨设，， 由矩形， 故点E是与的中点，且， 故，或， 同一点的坐标是相同的， 故， 故， 故 故， 解得， 故， 故选：A． 3．（25-26八年级下·湖北孝感·期中）如图，矩形中，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交于点M，N，则的长为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】由矩形的性质和勾股定理求出的长，由作图方法可知，平分，则，证明，得到，据此可得答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴； 由作图方法可知，平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 4．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）数学兴趣小组的同学用木棒做了4个相框，下面是他们的测量结果，则不一定是矩形相框的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、有三个角是直角的四边形是矩形，故不符合题意； B、有两个角是直角的四边形不一定是矩形，故符合题意； C、由两组对边相等得到该四边形是平行四边形，再由有一个角是直角的平行四边形是矩形，故不符合题意； D、先由对角线互相平分得到该四边形是平行四边形，再由对角线相等得到该四边形是矩形，故不符合题意． 5．（25-26八年级下·浙江嘉兴·期末）如图，在正方形中，点G为边上一点，以为边向右作正方形，连接，交于点P，连接，过点F作交于点H，连接，交于点K，下列结论中错误的是（    ） A． B．是等腰直角三角形 C．点P为中点 D． 【答案】D 【分析】A．证明四边形BHFG为平行四边形，得BH=GF=CE，得BC=HE，再由正方形的性质得HE=CD，进而便可判断选项正误；B．证明△ABH≌△HEF，进而得出△AHF是等腰直角三角形，便可判断选项正误；C．过H作HM⊥BC，HM与BD交于点M，连接MF，证明四边形EFMH为矩形，再证明△PAD≌△PFM得AP=FP，便可判断选项正误；D．将△ADP绕点A顺时针旋转90，得△ABQ，连接QK，证明△AQK≌△APK得AK=PK，进而得BK2+DP2=KP2，便可判断正误． 【详解】解：A．∵四边形CEFG是正方形， ∴GF∥CE，GF=CE， ∵BG∥HF， ∴四边形BHFG为平行四边形， ∴GF=BH， ∴BH=CE， ∴BC=HE， ∵四边形ABCD为正方形， ∴BC=CD． ∴HE=CD，故A正确； B．∵ABCD是正方形，CEFG是正方形， ∴AB=BC，CE=EF，∠ABH=∠HEF=90°， ∵BC=HE，BH=CE， ∴AB=HE，BH=EF， ∴△ABH≌△HEF（SAS）， ∴AH=HF，∠BAH=∠EHF， ∵∠BAH+∠AHB=90°， ∴∠EHF+∠AHB=90°， ∴∠AHF=90°， ∴△AHF为等腰直角三角形，故B正确； C．过H作HM⊥BC，HM与BD交于点M，连接MF，则MH∥EF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC=90°，∠HBD=∠ABC， ∴∠HBM=45°， ∴BH=MH， ∵△ABH≌△HEF， ∴BH=EF， ∴MH=EF， ∴四边形EFMH为矩形， ∴MF∥BE∥AD，MF=HE， ∴∠DAP=∠MFP，∠ADP=∠FMP， ∵AD=BC=HE， ∴AD=MF， ∴△PAD≌△PFM（ASA）， ∴AP=FP，故C正确； D．将△ADP绕点A顺时针旋转90，得△ABQ，连接QK，则AQ=AP，∠QAP=90°， ∵△AHF是等腰直角三角形， ∴∠HAF=45°， ∴∠QAK=∠PAK=45°， ∵AK=AK， ∴△AQK≌△APK（SAS）， ∴QK=PK， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABD=∠ADB=45°， 由旋转性质知，∠ABQ=∠ADP=45°，BQ=DP， ∴∠QBK=90°， ∴BK2+BQ2=QK2， ∴BK2+DP2=KP2，故D错误； 故选：D． 【点睛】本题是正方形的一个综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，后两选项关键在构造全等三角形． 6．（25-26八年级下·北京朝阳·期中）如图，在正方形中，点E从点B出发，沿边方向向终点C运动，交于点F，以，为邻边构造平行四边形，连接，则的度数的变化情况是（　　）    A．一直减小 B．一直减小后增大 C．一直不变 D．先增大后减小 【答案】C 【分析】作交的延长线于H，证明是的角平分线，由即可解决问题． 【详解】解：作交的延长线于H，    ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的角平分线， ∴点P的运动轨迹是的角平分线， ∵， ∴， 而， ∴一直不变， 故选：C． 【点睛】本题考查正方形的性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、余角性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线构造全等三角形以及得到点P的运动路线是解答的关键． 7．（25-26八年级下·上海·期中）如图，在正方形纸片中，对角线相交于点O，折叠正方形纸片，使落在上，点恰好与上的点重合，展开后，折痕分别交、于点、，连接，下列结论：①；②；③；④四边形是菱形；⑤，其中结论正确的是（   ） A．①④ B．②③④ C．①④⑤ D．①②④⑤ 【答案】C 【分析】①由四边形是正方形，可得，又由折叠的性质，可求得的度数；②由，可得；③由，可得的面积的面积；④由折叠的性质与平行线的性质，易得是等腰三角形，即可证得，易证得四边形是菱形；⑤由菱形性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，即可得． 【详解】解：四边形是正方形， ， 由折叠的性质可得： 故，故①正确． 由折叠的性质可得：，， ， ， ， ，故②错误． ， ，与同高， ，故③错误． ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 四边形是菱形， 故四边形是菱形，故④正确． 四边形是菱形， ， ， ， ， 同理可得．故⑤正确． 综上，正确的结论有①④⑤． 8．（23-24八年级下·全国·期中）如图，点分别是四边形边的中点．则下列说法： ①若，则四边形为矩形； ②若，则四边形为菱形； ③若四边形是平行四边形，则与互相平分； ④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等． 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】先根据三角形的中位线性质证明四边形为平行四边形，然后根据矩形、菱形的判定与性质逐项即可解答． 【详解】解：∵点分别是四边形边的中点， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ①若，则， ∴四边形为菱形，即①错误； ②若，则，即， ∴四边形为矩形，即②错误； ③与是否互相平分均能得到四边形是平行四边形，即③错误； ④若四边形是正方形，则，， ∴，，即与互相垂直且相等，故④正确， 故正确的个数是1个． 故选：A． 9．（25-26八年级下·河南周口·期末）两张全等的矩形纸片，按如图所示的方式交叉叠放在一起，，．若，，则图中阴影部分的面积（   ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 设相交于点G，相交于点H，易证四边形是平行四边形，再证明可得，则平行四边形是菱形可得，设，则，再根据勾股定理列方程求得x，进而求得，最后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图：设相交于点G，相交于点H， ∵两张全等的矩形纸片，按如图方式交叉叠放在一起， ∴， ∴四边形是平行四边形，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：，解得： ∴， ∴图中阴影部分的面积． 故选：D． 10．（25-26八年级下·陕西榆林）如图，是菱形的对角线，作的垂直平分线分别交、于点E、F，连接、，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由菱形的性质可得，，，证明并结合线段垂直平分线的性质可得，由等边对等角得出，即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题3分，共24分） 11．（2026·八年级下 湖南长沙）如图，在矩形中，以点为圆心，长为半径作弧交对角线于点，分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点、连接交于点，连接，，则的值为___________． 【答案】2 【分析】连接，，由作图痕迹可知，可知四边形是菱形，得到，根据矩形的性质得到，进而证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可求出的值． 【详解】解：如图，连接，，由作图痕迹可知， 四边形是菱形， ， 四边形是矩形， 四边形是平行四边形， 点是的中点， ． 12．（25-26八年级下·北京·期中）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作且，连接交于点，连接、．已知，，则菱形的面积______；______． 【答案】 【分析】先根据菱形的性质得到，，．结合已知得到，，利用勾股定理求得，则，然后利用菱形的面积公式求解面积即可；再证明四边形是平行四边形，得到，．利用勾股定理求得即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，． ∵，， ∴，， 在中，， ∴，则， ∴菱形的面积为； ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，． 在中，， ∴． 13．（25-26八年级下·河南南阳·期末）在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，点E为AB上一动点，DE交AC于F，当∠CFE＝2∠ACB时，线段DF的长为____． 【答案】5 【分析】连接BD交AC于点O，由矩形的性质可知，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，OA＝OB＝OC＝OD＝5，∠AOB＝2∠ACB；所以∠AOB＝∠CFE，所以∠DFO＝∠DOF，由“等角对等边”可知DF＝DO＝5． 【详解】解：如图，连接BD交AC于点O， 在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6， ∴AC＝BD＝10， ∴OA＝OB＝OC＝OD＝5， ∴∠ACB＝∠OBC， ∴∠AOB＝∠ACB+∠OBC＝2∠ACB， ∵∠CFE＝2∠ACB， ∴∠AOB＝∠CFE， ∵∠AOB+∠DOF＝∠CFE+∠DFO＝180°， ∴∠DFO＝∠DOF， ∴DF＝DO＝5． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，等腰三角形的性质与判定等相关知识，熟知矩形的性质，由此作出辅助线是解题的关键． 14．（2026·八年级下 黑龙江齐齐哈尔）在矩形中，，．将边绕点A逆时针旋转，得到线段，过点E作的垂线交直线于点F．当F，E，D三点共线时，的长为______． 【答案】1或9 【分析】分两种情况求解：①当点E在上时，连接，可证得，从而，设，则，可求得，在中列出，进而求得的值；②当点E在的延长线上时，同样方法求得结果． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ ①当点E在上时，连接，如图， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 由旋转得：， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴， ②当点在线段的延长线上时．如图，连接， 同理可得：，，， 设，则，， ∴， ∴， ∴， 综上所述：的长为或9． 15．（2023·八年级下 广东深圳）如图，在中，，点是上一点，交延长线于点，连接．若图中两阴影三角形的面积之差为32（即，），则___________．    【答案】8 【分析】延长交于点E，过点C作于点H，于点G，则，先证明，可得四边形是正方形， 从而得到，再证得，可得，，从而得到，然后证明，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点E，过点C作于点H，于点G，则，    在中，∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴，四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8 【点睛】本题主要考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 16．（25-26八年级下·河南平顶山·期中）如图：现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，点H为的中点，连接．将乙纸片放到甲的内部得到图2，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为__________． 【答案】19 【分析】先设甲正方形的边长为a，乙正方形的边长为b，即可求出，然后根据中点的定义可得，接下来求出，最后根据得出答案． 【详解】解：设甲正方形的边长为a，乙正方形的边长为b，根据题意得 ，， 由①，得， 由，得， ∴． ∵点H是的中点， ∴， ∴， ∴． 17．（25-26八年级下·北京门头沟·期末）如图，大正方形与小正方形的面积之差是8，则阴影部分的面积是_______． 【答案】4 【分析】本题考查了利用平方差公式求面积，数形结合，正确表示出阴影部分的面积是解此题的关键．由题意得出，表示出，即可得出答案． 【详解】解：如图， 大正方形与小正方形的面积之差是8， ， 由图可知： ， 故答案为：4． 18．（25-26八年级下·广东河源·期中）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，且是边长为的等边三角形．点E，F同时从点O出发在线段上以的速度反向运动（点E，F分别到达A，C两点时停止运动），连接，，，．当运动时间为______s时，四边形为正方形． 【答案】4 【分析】本题考查了“菱形的性质”“正方形的判定”，找到运动路程与正方形的判定条件之间的关系是解题关键． 由菱形的性质，可知，，因此，当时，即可判定四边形为正方形，此时的时间即为所求． 【详解】∵四边形是菱形， ∴，． 设运动时间为t，则． ∴四边形是菱形． ∴当时，四边形是正方形． ∵是边长为4 cm的等边三角形， ∴． ∴． 故答案为：4． 三、解答题（10小题，共66分） 19．（23-24八年级下·河南开封·期末）实践探究： （1）如图①，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，要得到一个正方形．剪口与折痕应成___________度的角． 知识应用： （2）小明按照以上方法剪出两个边长为1的全等正方形，把正方形绕正方形的中心点转动的过程中，如图②所示摆放，求证． 拓展延伸 （3）小明把2024个边长为1的全等正方形重叠在一起，如图③……分别是正方形的中心，请直接写出正方形重叠阴影部分的面积． 【答案】（1）45；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查了正方形的性质与判定，全等三角形的判定和性质． （1）根据翻折变换的性质及正方形的判定进行分析从而得到最后答案； （2）由正方形的性质得，，然后证明可证明结论成立； （3）由（2）可得，进而可求出2024个边长为1的全等正方形重叠在一起阴影部分的面积． 【详解】解：（1）一张长方形纸片对折两次后，剪下一个角，是菱形，而出现的四边形的两条对角线分别是两组对角的平分线， 所以当剪口线与折痕成角，菱形就变成了正方形． 故答案为：45； （2）证明：在正方形和正方形中， ，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）由（2）可知，， ∴， ∴， ∵2024个边长为1的全等正方形重叠在一起， ∴正方形重叠阴影部分的面积为： 20．（25-26八年级下·江西抚州·期中）如图①，将四边形纸片沿两组对边中点连线剪切为四部分，将这四部分镶嵌可得到如图②所示的四边形．    (1)试判断四边形的形状，并证明． (2)若要镶嵌后的平行四边形为矩形，则四边形需要满足什么条件，并证明． 【答案】(1)四边形是平行四边形，证明见解析； (2)，证明见解析 【分析】（1）利用平行四边形的判定方法得出即可； （2）首先认真读题，理解题意．密铺后的平行四边形成为矩形，必须四个内角均为直角，据此需要判定中点四边形为菱形，进而由中位线定理判定四边形的对角线垂直． 【详解】（1）解：平行四边形， 理由： ∵将四边形纸片沿两组对边中点连线剪切为四部分，将这四部分镶嵌可得到如图②所示的四边形， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）对角线时，密铺后的平行四边形为矩形． 理由：根据密铺后的平行四边形成为矩形，必须四个内角均为直角． 如图所示，    连接、、、，设与交于点O， 连接、， 由中位线定理得：，且， ，且， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴中点四边形为菱形， ∴， 故要镶嵌后的平行四边形为矩形， 则四边形需要满足的条件为． 【点睛】本题考查图形剪拼与中点四边形．解题关键是理解三角形中位线的性质，熟练应用矩形、菱形等特殊四边形的判定与性质． 21．（25-26八年级下·北京昌平·期中）如图矩形中，为平面直角坐标系的原点，、两点的坐标分别为、． (1)直接写出点坐标； (2)若过点的直线交边于点，且把矩形的周长分为1：3两部分，求直线的表达式． 【答案】(1)B(3，5) (2) 【分析】（1）B的横坐标与A的横坐标相同，纵坐标与C的纵坐标相同； （2）根据比例的性质求得BD的长，即可求得D的坐标，利用待定系数法，即可求得直线的解析式． 【详解】（1）解：∵矩形， ∴OA∥BC，OC∥AB，OA=BC，OC=AB， ∵、， ∴B(3，5) ． （2）∵过点C的直线CD交AB边于点D，且把矩形OABC的周长分为1：3两部分， OC=AB>BD，OA=BC， 则一定有：， 解得BD=1， ∴AD=AB-BD=5-1=4， 即D点的坐标为（3，4）， 设直线CD的关系式为y=kx+b，且经过（0，5）和（3，4）得， 解之得 即直线CD的关系式为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，比例的性质，以及待定系数法求函数解析式． 22．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）如图，在四边形纸片中，，点E，F分别在边，上，将，分别沿，折叠，点B，D恰好都和点G重合，． (1)求证：四边形是正方形； (2)若正方形边长为3，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查折叠的性质、正方形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）根据折叠的性质得到、，进而得到，则求出，证明四边形是矩形，利用，证明四边形是正方形； （2）设，则，由折叠的性质得到、，进而得到，在中，利用勾股定理列出方程，解方程，从而求出的值． 【详解】（1）证明：由折叠可知，、、、， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 矩形是正方形； （2）解：由（1）知，四边形是正方形， 、， ， 设，则， 由折叠的性质知，、， ， 在中，， ， 解得：， ． 23．（2026·八年级下 江西抚州）如图，在中，是对角线的交点，过点作对角线的垂线分别交于点，点在上，且，求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】先结合平行四边形的性质得，，又因为，故，证明，得出，结合对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形是平行四边形，最后由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可作答． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ， ． 又， ． 在和中，， ， ． ∴四边形是平行四边形． ∵过点作对角线的垂线分别交于点， ， ∴四边形是菱形． 24．（25-26八年级下·江苏盐城·月考）如图，将的边延长至点，使，连接,若 ． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】（1）先根据平行四边形的判定与性质证明四边形，再根据矩形的判定定理可得结论； （2）根据矩形性质得到，再由勾股定理求得，然后利用平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：由（1）可知，四边形是矩形， ∴，即， ∵，， ∴， ∴平行四边形的面积． 25．（25-26八年级下·河南郑州·阶段检测）如图①，在菱形中，点O为对角线的中点，将对角线绕点O逆时针旋转到，且旋转角α满足，构造出四边形，连结． (1)四边形是哪种特殊的四边形？请写出你的猜想，并证明． (2)若，设的面积为，的面积为，当时，求的值． (3)如图②，若四边形是正方形，当经过中点时，探究三条边存在的等量关系．请给出结论，并说明理由． 【答案】(1)矩形，证明见解析 (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）根据菱形的性质以及旋转的性质解答即可； （2）连接，延长交于G，根据菱形的性质以及勾股定理可得，再由，可得，证明，可得，可得到，即可求解； （3）连接，证明，可得，再结合勾股定理可得，即可求解． 【详解】（1）解：四边形为矩形， 证明：四边形为菱形， ∴O是中点， ∴， 由旋转知， ∴四边形为矩形； （2）解：连接，延长交于G，如图①， ∵四边形为菱形，AC=4， ∴，， ∴， 在中， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接，如图②， ∵四边形为正方形， ∴， ∵过中点， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知四边形为矩形， ∴， ∴， 又∵，， ∴． 【点睛】本题主要查了四边形的综合题，涉及了菱形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 26．（25-26八年级下·山西朔州·期中）如图，在矩形中，E，F分别为边，上的点，，，相交于点G，过点C作，交的延长线于点H，且． (1)求证：四边形是正方形． (2)已知，． ①连接，求的长． ②请直接写出与之间的距离． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）先证明，得出，再根据有一组邻边相等的矩形为正方形，即可证明矩形为正方形； （2）①过点D作于点M，根据，，求出，，用等积法求出，，根据勾股定理求出，求出，根据勾股定理求出即可； ②过点C作于点N，证明，得出，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形为正方形； （2）解：①过点D作于点M，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 根据解析（1）可知：， ∴， ∴， ∴， 同理得：， 在中，根据勾股定理得： ， ∴， 在中，根据勾股定理得：； ②过点C作于点N，如图所示： 则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得：， 即与之间的距离为． 27．（25-26八年级下·重庆渝北·期中）已知平行四边形中，对角线、相交于点，． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，，点、在线段上，为等腰直角三角形且，连接，求证：． (3)如图3，若，，点是线段上的一个动点，连接，以线段为边在下方构造等边三角形，连接，当的值最小时，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质，三角形的全等、等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． （1）证明是等边三角形，进而得四边形是菱形，再根据菱形性质及勾股定理求解即可； （2）过点A作，垂足为H，证明和，再根据全等三角形的性质求解即可； （3）连接，证明，是等边三角形，四边形是菱形，，进而得出当点在线段上时，的值最小，再根据求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，过点A作，垂足为H， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ （3）解：连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴，是等边三角形， ∴，， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即当点在线段上时，的值最小， 如图， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 28．（25-26八年级下·山东淄博·期末）定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． (1)根据定义判矩形 已知：如图1，在平行四边形中，是它的两条对角线，．求证：平行四边形是矩形． (2)动手操作有发现 如图2，在矩形中，是的中点，将沿折叠后得到，点在矩形内部，延长交于点．猜想线段与有何数量关系?并证明你的结论． (3)类比探究到一般 如图3，将(2)中的矩形改为平行四边形，其它条件不变，(2)中的结论是否仍然成立，请说明理由． (4)解决问题巧应用 如图4，保持(2)中的条件不变，若点是的中点，且，请直接写出矩形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)成立，理由见解析 (4) 【分析】（1）由“边边边”证明，然后得到，即可得到结论成立； （2）连接，利用折叠的性质，矩形的性质，证明，即可得到结论成立； （3）连接，利用折叠的性质，平行四边形的性质，证明，即可得到结论成立； （4）由折叠的性质，先求出，然后由勾股定理求出，即可求出面积． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形 ∴，， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）证明：． 理由如下：如图，连接， ∵E是的中点， ∴， ∵沿折叠后得到， ∴，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵在和中， ∵， ∴， ∴； （3）证明：（2）中的结论仍然成立． 理由如下：如图，连接， ∵E是的中点， ∴， ∵将沿折叠后得到， ∴，， ∴， ∴； ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 即（2）中的结论仍然成立． （4）解：在平行四边形中，， 由（2）可知， ∵点是的中点， ∴， 由折叠的性质，则， ∴， ∵， ∴， ∴矩形的面积为： ； 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行证明． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 特殊平行四边形重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共28题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：特殊平行四边形全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26八年级下·山东淄博·期中）如图，四边形是平行四边形，下列说法不正确的是（    ） A．当时，四边形是矩形 B．当时，四边形是菱形 C．当时，四边形是菱形 D．当时，四边形是正方形 2．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在直角坐标系中，矩形的对角线轴，若，，与的交点为E，则C的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·湖北孝感·期中）如图，矩形中，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交于点M，N，则的长为（   ） A． B．1 C． D． 4．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）数学兴趣小组的同学用木棒做了4个相框，下面是他们的测量结果，则不一定是矩形相框的是（   ） A．B． C． D． 5．（25-26八年级下·浙江嘉兴·期末）如图，在正方形中，点G为边上一点，以为边向右作正方形，连接，交于点P，连接，过点F作交于点H，连接，交于点K，下列结论中错误的是（    ） A． B．是等腰直角三角形 C．点P为中点 D． 6．（25-26八年级下·北京朝阳·期中）如图，在正方形中，点E从点B出发，沿边方向向终点C运动，交于点F，以，为邻边构造平行四边形，连接，则的度数的变化情况是（　　）    A．一直减小 B．一直减小后增大 C．一直不变 D．先增大后减小 7．（25-26八年级下·上海·期中）如图，在正方形纸片中，对角线相交于点O，折叠正方形纸片，使落在上，点恰好与上的点重合，展开后，折痕分别交、于点、，连接，下列结论：①；②；③；④四边形是菱形；⑤，其中结论正确的是（   ） A．①④ B．②③④ C．①④⑤ D．①②④⑤ 8．（23-24八年级下·全国·期中）如图，点分别是四边形边的中点．则下列说法： ①若，则四边形为矩形； ②若，则四边形为菱形； ③若四边形是平行四边形，则与互相平分； ④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等． 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（25-26八年级下·河南周口·期末）两张全等的矩形纸片，按如图所示的方式交叉叠放在一起，，．若，，则图中阴影部分的面积（   ） A．5 B． C． D． 10．（25-26八年级下·陕西榆林）如图，是菱形的对角线，作的垂直平分线分别交、于点E、F，连接、，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题3分，共24分） 11．（2026·八年级下 湖南长沙）如图，在矩形中，以点为圆心，长为半径作弧交对角线于点，分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点、连接交于点，连接，，则的值为___________． 12．（25-26八年级下·北京·期中）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作且，连接交于点，连接、．已知，，则菱形的面积______；______． 13．（25-26八年级下·河南南阳·期末）在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，点E为AB上一动点，DE交AC于F，当∠CFE＝2∠ACB时，线段DF的长为____． 14．（2026·八年级下 黑龙江齐齐哈尔）在矩形中，，．将边绕点A逆时针旋转，得到线段，过点E作的垂线交直线于点F．当F，E，D三点共线时，的长为______． 15．（2023·八年级下 广东深圳）如图，在中，，点是上一点，交延长线于点，连接．若图中两阴影三角形的面积之差为32（即，），则___________．    16．（25-26八年级下·河南平顶山·期中）如图：现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，点H为的中点，连接．将乙纸片放到甲的内部得到图2，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为__________． 17．（25-26八年级下·北京门头沟·期末）如图，大正方形与小正方形的面积之差是8，则阴影部分的面积是_______． 18．（25-26八年级下·广东河源·期中）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，且是边长为的等边三角形．点E，F同时从点O出发在线段上以的速度反向运动（点E，F分别到达A，C两点时停止运动），连接，，，．当运动时间为______s时，四边形为正方形． 三、解答题（10小题，共66分） 19．（23-24八年级下·河南开封·期末）实践探究： （1）如图①，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，要得到一个正方形．剪口与折痕应成___________度的角． 知识应用： （2）小明按照以上方法剪出两个边长为1的全等正方形，把正方形绕正方形的中心点转动的过程中，如图②所示摆放，求证． 拓展延伸 （3）小明把2024个边长为1的全等正方形重叠在一起，如图③……分别是正方形的中心，请直接写出正方形重叠阴影部分的面积． 20．（25-26八年级下·江西抚州·期中）如图①，将四边形纸片沿两组对边中点连线剪切为四部分，将这四部分镶嵌可得到如图②所示的四边形．    (1)试判断四边形的形状，并证明． (2)若要镶嵌后的平行四边形为矩形，则四边形需要满足什么条件，并证明． 21．（25-26八年级下·北京昌平·期中）如图矩形中，为平面直角坐标系的原点，、两点的坐标分别为、． (1)直接写出点坐标； (2)若过点的直线交边于点，且把矩形的周长分为1：3两部分，求直线的表达式． 22．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）如图，在四边形纸片中，，点E，F分别在边，上，将，分别沿，折叠，点B，D恰好都和点G重合，． (1)求证：四边形是正方形； (2)若正方形边长为3，，求的长度． 23．（2026·八年级下 江西抚州）如图，在中，是对角线的交点，过点作对角线的垂线分别交于点，点在上，且，求证：四边形是菱形． 24．（25-26八年级下·江苏盐城·月考）如图，将的边延长至点，使，连接,若 ． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的面积． 25．（25-26八年级下·河南郑州·阶段检测）如图①，在菱形中，点O为对角线的中点，将对角线绕点O逆时针旋转到，且旋转角α满足，构造出四边形，连结． (1)四边形是哪种特殊的四边形？请写出你的猜想，并证明． (2)若，设的面积为，的面积为，当时，求的值． (3)如图②，若四边形是正方形，当经过中点时，探究三条边存在的等量关系．请给出结论，并说明理由． 26．（25-26八年级下·山西朔州·期中）如图，在矩形中，E，F分别为边，上的点，，，相交于点G，过点C作，交的延长线于点H，且． (1)求证：四边形是正方形． (2)已知，． ①连接，求的长． ②请直接写出与之间的距离． 27．（25-26八年级下·重庆渝北·期中）已知平行四边形中，对角线、相交于点，． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，，点、在线段上，为等腰直角三角形且，连接，求证：． (3)如图3，若，，点是线段上的一个动点，连接，以线段为边在下方构造等边三角形，连接，当的值最小时，请直接写出的面积． 28．（25-26八年级下·山东淄博·期末）定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． (1)根据定义判矩形 已知：如图1，在平行四边形中，是它的两条对角线，．求证：平行四边形是矩形． (2)动手操作有发现 如图2，在矩形中，是的中点，将沿折叠后得到，点在矩形内部，延长交于点．猜想线段与有何数量关系?并证明你的结论． (3)类比探究到一般 如图3，将(2)中的矩形改为平行四边形，其它条件不变，(2)中的结论是否仍然成立，请说明理由． (4)解决问题巧应用 如图4，保持(2)中的条件不变，若点是的中点，且，请直接写出矩形的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $