大单元复习·专题讲练 专题5 特殊平行四边形2025-2026学年数学浙教版八年级下册

专题5　特殊平行四边形 题型一　矩形的性质与判定 　　【典例1】 如图，在▱ABCD中，E，F为BC上的两点，且BE=CF，AF=DE。 (1)求证：△ABF≌△DCE。 (2)求证：▱ABCD是矩形。 (3)连结AE，若AF是∠BAD的平分线，BE=2，AF=，求▱ABCD的面积。 典例1图 　　【点悟】 (1)证明一个四边形是矩形的基本思路： ①若四边形(或可证明)为平行四边形，则再证明一个角是直角或对角线相等； ②若直角较多，可证明三个角是直角。 (2)利用矩形的性质解题的基本思路： ①从内角上看，矩形的四个角都是直角，可将矩形问题转化为直角三角形的问题去解决； ②从对角线上看，对角线将矩形分成四个面积相等的等腰三角形，可将矩形问题转化为等腰三角形的问题去解决。 　　【变式1】 如图，在矩形ABCD中，E是边BC的中点。连结AE并延长，与DC的延长线相交于点F，连结AC和BF。 (1)求证：四边形ABFC是平行四边形。 (2)若CF=2，AF=4，求BF的长。 　变式1图 题型二　菱形的性质与判定 　　【典例2】 如图，在▱ABCD中，已知AE=CF，DM=BN，EF与MN相交于点O，且MN⊥EF。 (1)试判断四边形ENFM的形状，并说明理由。 (2)若∠B=2∠MNF，且MN=4，EF=2，求AB的长。 典例2图 　　【点悟】 (1)证明一个四边形是菱形的基本思路： ①若四边形(或可证明)为平行四边形，则再证明一组邻边相等或对角线互相垂直； ②若相等的边数较多(或容易证出)时，可证明四条边相等。 (2)利用菱形的性质解题的基本思路： ①菱形的对角线将菱形分成四个全等的直角三角形，可将菱形问题转化为直角三角形的问题去解决； ②有一个内角为60°(或120°)的菱形，连结对角线可构成等边三角形，可将菱形问题转化为等边三角形的问题去解决。 　　【变式2】 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD是△ABC的中线，F是BD的中点，连结CF并延长到点E，交AB于点G，使FE=CF，连结BE，AE。 (1)求证：四边形AEBD是菱形。 (2)若BC=8，BE=5求菱形AEBD的面积。 变式2图 题型三　正方形的性质与判定 　　【典例3】 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，CF∥BE，BF∥CE。在以下命题中： ①当BF⊥CF 时，▱ABCD为正方形。 ②当BC=BF=BE时，▱ABCD为正方形。 ③当AB=CF 时，四边形EBFC为菱形。 ④当∠ABD=∠DCA 时，四边形EBFC为菱形。 正确的有：(填序号)，请选择一个正确的命题进行证明。  典例3图 　　【点悟】 (1)证明一个四边形是正方形可按照以下三步进行： ①证明它是平行四边形； ②证明有一组邻边相等(或一个角是直角)； ③证明它有一个角是直角(或有一组邻边相等)。 (2)正方形既具有矩形的性质，也具有菱形的性质，连结对角线后，可将正方形问题转化为等腰直角三角形的问题去解决。 　　【变式3】 如图，分别以△ABC的两边AB和AC为边向外作正方形ANMB和正方形ACDE，连结NC，BE，两者相交于点P。 (1)求证：∠ANC=∠ABE。 (2)若BC=6，Q是线段BC的中点，连结PQ，则PQ=。  变式3图 题型四　四边形中的动点问题 　　【典例4】 如图，在▱ABCD中，AC=6，BD=10，动点P从点B出发以每秒1个单位的速度沿射线BD匀速运动，动点Q从点D出发以相同的速度沿射线DB匀速运动，设运动时间为t秒。 (1)当t=2时，求证：以A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形。 (2)当以A，P，C，Q为顶点的四边形为矩形时，直接写出t的值。 (3)设PQ=y，求y关于t的函数表达式。 典例4图 　　【变式4】 如图，在矩形ABCD中，AB=3 cm，BC=6 cm。点P从点D出发，向点A运动，运动到点A即停止。同时，点Q从点B出发，向点C运动，运动到点C即停止，点P，Q的速度都是1 cm/s。连结PQ，AQ，CP。设点P，Q运动的时间为t(s)。 (1)当t为何值时，四边形ABQP是矩形？ (2)当t为何值时，四边形AQCP是菱形？ (3)求(2)中菱形AQCP的周长和面积。 　变式4图 1.下列命题正确的是( ) A.对角线相等的四边形是平行四边形 B.对角线相等的四边形是矩形 C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 2.如图，AC是▱ABCD的对角线，若当它满足：①∠1=∠2；②∠2=∠3；③∠B=∠3；④∠1=∠3中某一条件时，▱ABCD是菱形，则这个条件是( ) 第2题图 A.①或② B.①或④ C.②或③ D.③或④ 3.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，P为对角线BD上的一个动点，则下列线段的长等于AP＋EP最小值的是( ) 第3题图 A.AB B.DG C.BD D.AF 4.如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，AF与BE，CE与DF分别相交于点M，N，则四边形EMFN是( ) 第4题图 A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.一般的平行四边形 5.如图，在矩形ABCD中，M是BC上一点，连结DM。 (1)尺规作图：作△MCD 的中位线EF，分别交DM，DC于点E，F。(不写作法，保留作图痕迹) (2)在(1)作图的条件下，连结BE，MF，若MC=DC=2，BM=1，求四边形BMFE的面积。 第5题图 6.如图，已知四边形ABCD是正方形，G为线段AD上任意一点，CE⊥BG于点E，DF⊥CE于点F。求证：DF=BE＋EF。 　第6题图 7.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF。 (1)求证：四边形OEFG是矩形。 (2)若AD=10，EF=4，求OE和BG的长。 　第7题图 8.如图，菱形ABCD的边长为13，对角线AC=24，E，F分别是边CD，BC的中点，连结EF并延长，与AB的延长线相交于点G，则EG的长为( ) 第8题图 A.13 B.10 C.12 D.5 9.如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC，交CD于点F，交AC于点M，过点D作DE∥BF，交AB于点E，交AC于点N。有下列结论：①DN=BM；②AE=CF；③当AO=AD时，四边形DEBF是菱形；④当AO=AD时，S四边形DEBF=S矩形ABCD。其中正确的是(填序号)。  第9题图 10.如图，在矩形ABCD中，AB=4 cm，AD=12 cm。点P在边AD上以每秒1 cm的速度从点A向点D运动，点Q在边BC上以每秒4 cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两点同时出发，当点P到达点D时停止，求经过多长时间，四边形ABQP为矩形？ 　第10题图 11.如图1，已知在矩形ABCD中，E是边CD上一点，F是CB的延长线上一点，且BF=DE，AF⊥AE。 (1)求证：四边形ABCD是正方形。 (2)如图2，若CD=3DE=6，G是边AD上一点，连结CG交AE于点H，若∠AHG=45°，求CG的长。 图1　 　图2 第11题图 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5　特殊平行四边形 题型一　矩形的性质与判定 　　【典例1】 如图，在▱ABCD中，E，F为BC上的两点，且BE=CF，AF=DE。 (1)求证：△ABF≌△DCE。 (2)求证：▱ABCD是矩形。 (3)连结AE，若AF是∠BAD的平分线，BE=2，AF=，求▱ABCD的面积。 典例1图 解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD。 ∵BE=CF，∴BF=CE。 在△ABF和△DCE中， ∵ ∴△ABF≌△DCE(SSS)。 (2)∵△ABF≌△DCE，∴∠B=∠C。 在▱ABCD中，∵AB∥CD， ∴∠B＋∠C=180°，∴∠B=∠C=90°， ∴▱ABCD是矩形。 (3)∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠B=90°。 ∵AF是∠BAD的平分线， ∴∠BAF=∠BAD=45°，∴AB=BF。 ∵AF=，∴AB=BF=。 ∵CF=BE=2，∴BC=＋2。 ∴S▱ABCD=AB·BC=×(＋2)=15＋2。 　　【点悟】 (1)证明一个四边形是矩形的基本思路： ①若四边形(或可证明)为平行四边形，则再证明一个角是直角或对角线相等； ②若直角较多，可证明三个角是直角。 (2)利用矩形的性质解题的基本思路： ①从内角上看，矩形的四个角都是直角，可将矩形问题转化为直角三角形的问题去解决； ②从对角线上看，对角线将矩形分成四个面积相等的等腰三角形，可将矩形问题转化为等腰三角形的问题去解决。 　　【变式1】 如图，在矩形ABCD中，E是边BC的中点。连结AE并延长，与DC的延长线相交于点F，连结AC和BF。 (1)求证：四边形ABFC是平行四边形。 (2)若CF=2，AF=4，求BF的长。 　变式1图 解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD， ∴∠BAE=∠CFE，∠ABE=∠FCE。 又∵E是边BC的中点， ∴BE=CE， ∴△ABE≌△FCE(AAS)，∴AB=CF。 又∵AB∥CF，∴四边形ABFC是平行四边形。 (2)∵AB=DC=CF=2，∴DF=4。 ∴AD==4， ∴AD=BC=4， ∴BF==2。 题型二　菱形的性质与判定 　　【典例2】 如图，在▱ABCD中，已知AE=CF，DM=BN，EF与MN相交于点O，且MN⊥EF。 (1)试判断四边形ENFM的形状，并说明理由。 (2)若∠B=2∠MNF，且MN=4，EF=2，求AB的长。 典例2图 解：(1)四边形ENFM是菱形。理由如下： 在▱ABCD中，AD=BC， ∵AE=CF，DM=BN， ∴AD－AE－DM=BC－CF－BN， ∴ME=NF。 又∵ME∥NF，∴四边形ENFM是平行四边形。 又∵MN⊥EF，∴▱ENFM是菱形。 (2)∵四边形ENFM是菱形， ∴∠MNE=∠MNF。 又∵∠B=2∠MNF， ∴∠B=∠MNE＋∠MNF=∠ENC， ∴AB∥NE。 又∵AE∥BN，∴四边形ABNE是平行四边形， ∴AB=NE。 由菱形的性质易知OF=OE=1，OM=ON=2， ∴NE=， ∴AB=NE=。 　　【点悟】 (1)证明一个四边形是菱形的基本思路： ①若四边形(或可证明)为平行四边形，则再证明一组邻边相等或对角线互相垂直； ②若相等的边数较多(或容易证出)时，可证明四条边相等。 (2)利用菱形的性质解题的基本思路： ①菱形的对角线将菱形分成四个全等的直角三角形，可将菱形问题转化为直角三角形的问题去解决； ②有一个内角为60°(或120°)的菱形，连结对角线可构成等边三角形，可将菱形问题转化为等边三角形的问题去解决。 　　【变式2】 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD是△ABC的中线，F是BD的中点，连结CF并延长到点E，交AB于点G，使FE=CF，连结BE，AE。 (1)求证：四边形AEBD是菱形。 (2)若BC=8，BE=5求菱形AEBD的面积。 变式2图 解：(1)∵F是BD的中点， ∴DF=BF。 又∵CF=EF，∠CFD=∠EFB， ∴△CDF≌△EBF(SAS)， ∴CD=BE，∠FCD=∠FEB， ∴BE∥CD。 ∵BD是△ABC的中线， ∴AD=CD=BE， ∴四边形AEBD是平行四边形。 ∵∠ABC=90°， ∴BD=AD=CD， ∴四边形AEBD是菱形。 (2)如答图，连结ED。 变式2答图 ∵BE∥CD，BE=CD， ∴四边形BCDE是平行四边形， ∴DE=BC=8。 ∵AD=BE=5， ∴AC=2AD=10。 在Rt△ABC中， AB==6， ∴菱形AEBD的面积=AB·DE=×6×8=24。 题型三　正方形的性质与判定 　　【典例3】 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，CF∥BE，BF∥CE。在以下命题中： ①当BF⊥CF 时，▱ABCD为正方形。 ②当BC=BF=BE时，▱ABCD为正方形。 ③当AB=CF 时，四边形EBFC为菱形。 ④当∠ABD=∠DCA 时，四边形EBFC为菱形。 正确的有：　②④　(填序号)，请选择一个正确的命题进行证明。  典例3图 解：②④ 选择命题②证明如下： ∵CF∥BE，BF∥CE， ∴四边形BECF为平行四边形， ∴BF=EC。 又∵BC=BF=BE， ∴BF=BE，∴BE=EC。 ∵BE2＋EC2=2BE2=BC2， ∴△BEC为直角三角形， ∴AC⊥BD。 ∵AC，BD是▱ABCD的对角线， ∴ED=BE=EC=AE=AC=BD， ∴AC=BD，∴▱ABCD为正方形。 选择④的证明如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，ED=BE， ∴∠ABD=∠CDB。 又∵∠ABD=∠DCA， ∴∠CDB=∠DCA， ∴ED=EC，∴BE=EC， 同命题②证明可知四边形EBFC是平行四边形， ∴四边形EBFC是菱形。 　　【点悟】 (1)证明一个四边形是正方形可按照以下三步进行： ①证明它是平行四边形； ②证明有一组邻边相等(或一个角是直角)； ③证明它有一个角是直角(或有一组邻边相等)。 (2)正方形既具有矩形的性质，也具有菱形的性质，连结对角线后，可将正方形问题转化为等腰直角三角形的问题去解决。 　　【变式3】 如图，分别以△ABC的两边AB和AC为边向外作正方形ANMB和正方形ACDE，连结NC，BE，两者相交于点P。 (1)求证：∠ANC=∠ABE。 (2)若BC=6，Q是线段BC的中点，连结PQ，则PQ=　3　。  变式3图 解：(1)∵四边形ANMB和ACDE是正方形， ∴AN=AB，AC=AE，∠NAB=∠CAE=90°。 又∵∠NAC=∠NAB＋∠BAC，∠BAE=∠BAC＋∠CAE， ∴∠NAC=∠BAE。 在△ANC和△ABE中， ∵ ∴△ANC≌△ABE(SAS)， ∴∠ANC=∠ABE。 (2)∵∠NAB=90°， ∴∠ANC＋∠AON=90°。 ∵∠BOP=∠AON，∠ANC=∠ABE， ∴∠BPC=∠ABE＋∠BOP=90°。 又∵Q是线段BC的中点，BC=6， ∴PQ=BC=3。 题型四　四边形中的动点问题 　　【典例4】 如图，在▱ABCD中，AC=6，BD=10，动点P从点B出发以每秒1个单位的速度沿射线BD匀速运动，动点Q从点D出发以相同的速度沿射线DB匀速运动，设运动时间为t秒。 (1)当t=2时，求证：以A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形。 (2)当以A，P，C，Q为顶点的四边形为矩形时，直接写出t的值。 (3)设PQ=y，求y关于t的函数表达式。 典例4图 解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC=AC=3，OB=OD=BD=5。 当t=2时，BP=QD=2，∴OP=OQ=3， ∴四边形APCQ是平行四边形。 (2)t=2或t=8。 分两种情况讨论： ①如答图1。∵四边形APCQ是矩形， ∴PQ=AC=6， ∴BP=(BD－PQ)=2，∴此时t=2； ②如答图2。∵四边形APCQ是矩形， ∴PQ=AC=6， ∴BQ=(BD－PQ)=2， ∴BP=BQ＋QP=8，∴此时t=8。 综上所述，当以A，P，C，Q为顶点的四边形为矩形时，t的值为2或8。 典例4答图 (3)当0≤t≤5时，如答图1，y=PQ=BD－BP－DQ=10－t－t=10－2t； 当t＞5时，如答图2，y=PQ=OP＋OQ=BP－OB＋DQ－OD=t－5＋t－5=2t－10， 即y= 　　【变式4】 如图，在矩形ABCD中，AB=3 cm，BC=6 cm。点P从点D出发，向点A运动，运动到点A即停止。同时，点Q从点B出发，向点C运动，运动到点C即停止，点P，Q的速度都是1 cm/s。连结PQ，AQ，CP。设点P，Q运动的时间为t(s)。 (1)当t为何值时，四边形ABQP是矩形？ (2)当t为何值时，四边形AQCP是菱形？ (3)求(2)中菱形AQCP的周长和面积。 　变式4图 解：(1)由题意，得BQ=DP=t(cm)，AP=CQ=(6－t)cm。 在矩形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC， ∴当BQ=AP时，易证四边形ABQP是矩形， ∴t=6－t，解得t=3。 (2)由(1)可知，AP=CQ，AP∥CQ， ∴四边形AQCP是平行四边形， ∴当AQ=CQ时，▱AQCP是菱形， 即=6－t，解得t=。 (3)当t=时，AQ=CQ=6－t= cm， ∴菱形的周长为4AQ=4×=15(cm)， 面积为CQ·AB=×3=(cm2)。 1.下列命题正确的是(　C　) A.对角线相等的四边形是平行四边形 B.对角线相等的四边形是矩形 C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 2.如图，AC是▱ABCD的对角线，若当它满足：①∠1=∠2；②∠2=∠3；③∠B=∠3；④∠1=∠3中某一条件时，▱ABCD是菱形，则这个条件是(　B　) 第2题图 A.①或② B.①或④ C.②或③ D.③或④ 3.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，P为对角线BD上的一个动点，则下列线段的长等于AP＋EP最小值的是(　D　) 第3题图 A.AB B.DG C.BD D.AF 4.如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，AF与BE，CE与DF分别相交于点M，N，则四边形EMFN是(　B　) 第4题图 A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.一般的平行四边形 【解析】 如答图，连结EF。 第4题答图 ∵四边形ABCD是矩形，E，F分别是AD，BC的中点， ∴易证四边形ABFE，四边形EFCD都是矩形， ∴ME=MF，NE=NF，M，N分别是AF，EC的中点。 ∵AE∥FC，AE=FC=AD， ∴四边形AECF是平行四边形， ∴AF=EC，∴MF=NE， ∴ME=MF=NE=NF， ∴四边形EMFN是菱形。 5.如图，在矩形ABCD中，M是BC上一点，连结DM。 (1)尺规作图：作△MCD 的中位线EF，分别交DM，DC于点E，F。(不写作法，保留作图痕迹) (2)在(1)作图的条件下，连结BE，MF，若MC=DC=2，BM=1，求四边形BMFE的面积。 第5题图 解：(1)如答图1。 第5题答图1 (2)如答图2， 第5题答图2 ∵EF是△DCM的中位线， ∴EF∥CM，EF=MC=1=BM，FC=DC=1， ∴EF綊BM， ∴四边形BMFE为平行四边形， ∴S▱BMFE=BM·FC=1。 6.如图，已知四边形ABCD是正方形，G为线段AD上任意一点，CE⊥BG于点E，DF⊥CE于点F。求证：DF=BE＋EF。 　第6题图 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴BC=CD，∠BCD=90°。 ∵CE⊥BG，DF⊥CE， ∴∠BEC=∠DFC=90°， ∴∠BCE＋∠CBE=90°=∠BCE＋∠DCF， ∴∠CBE=∠DCF。 在△CBE和△DCF中， ∵ ∴△CBE≌△DCF(AAS)， ∴CF=BE，CE=DF。 又∵CE=EF＋CF， ∴DF=BE＋EF。 7.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF。 (1)求证：四边形OEFG是矩形。 (2)若AD=10，EF=4，求OE和BG的长。 　第7题图 解：(1)∵四边形ABCD是菱形， ∴OB=OD。 ∵E是AD的中点， ∴OE是△ABD的中位线， ∴OE∥FG。 又∵OG∥EF，∴四边形OEFG是平行四边形。 ∵EF⊥AB，∴∠EFG=90°， ∴▱OEFG是矩形。 (2)∵四边形ABCD是菱形， ∴BD⊥AC，AB=AD=10， ∴∠AOD=90°。 ∵E是AD的中点， ∴OE=AE=AD=5。 由(1)知，四边形OEFG是矩形， ∴FG=OE=5。 ∵AE=5，EF=4， ∴AF==3， ∴BG=AB－AF－FG=10－3－5=2。 8.如图，菱形ABCD的边长为13，对角线AC=24，E，F分别是边CD，BC的中点，连结EF并延长，与AB的延长线相交于点G，则EG的长为(　B　) 第8题图 A.13 B.10 C.12 D.5 【解析】 如答图，连结BD，交AC于点O。 第8题答图 ∵菱形ABCD的边长为13，E，F分别是边CD，BC的中点， ∴AB∥CD，BC=13，EF∥BD， ∴四边形BDEG是平行四边形，∴BD=EG。 ∵AC，BD是菱形的对角线，AC=24， ∴AC⊥BD，CO=12， ∴OD=OB==5， ∴EG=BD=10。 9.如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC，交CD于点F，交AC于点M，过点D作DE∥BF，交AB于点E，交AC于点N。有下列结论：①DN=BM；②AE=CF；③当AO=AD时，四边形DEBF是菱形；④当AO=AD时，S四边形DEBF=S矩形ABCD。其中正确的是　①②③④　(填序号)。  第9题图 【解析】 ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD，AD=BC，AD∥BC， ∴∠DAN=∠BCM。 ∵BF⊥AC，DE∥BF， ∴DE⊥AC，即∠AND=∠CMB=90°， ∴△ADN≌△CBM(AAS)， ∴DN=BM，∠ADN=∠CBM，①正确。 又∵∠DAE=∠BCF=90°，AD=CB， ∴△ADE≌△CBF(ASA)， ∴AE=CF，②正确。 ∵DE∥BF，AB∥CD， ∴四边形DEBF是平行四边形。 ∵四边形ABCD是矩形，∴AO=DO。 ∵当AO=AD时，AO=DO=AD， ∴△ADO是等边三角形，∴∠ADO=∠DAO=60°， ∴∠ADN=∠BDE=30°，∠ABD=30°， ∴∠BDE=∠ABD，∴DE=BE， ∴▱DEBF是菱形，③正确。 设AD=，则AE=1，DE=2， ∴BE=2，∴AB=3，∴BE=AB， ∴S四边形DEBF=S矩形ABCD，④正确。 综上所述，正确的是①②③④。 10.如图，在矩形ABCD中，AB=4 cm，AD=12 cm。点P在边AD上以每秒1 cm的速度从点A向点D运动，点Q在边BC上以每秒4 cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两点同时出发，当点P到达点D时停止，求经过多长时间，四边形ABQP为矩形？ 　第10题图 解：∵在矩形ABCD中，AD=12 cm， ∴BC=AD=12 cm。 设经过t(s)，四边形ABQP为矩形，此时AP=BQ。 ①当0＜t＜3时，有t=12－4t， 解得t=； ②当3≤t＜6时，有t=4t－12， 解得 t=4； ③当6≤t＜9时，有t=36－4t， 解得 t=； ④当9≤t≤12时，有t=4t－36， 解得t=12。 综上所述，当经过的时间为 s或4 s或 s或12 s时，四边形ABQP为矩形。 11.如图1，已知在矩形ABCD中，E是边CD上一点，F是CB的延长线上一点，且BF=DE，AF⊥AE。 (1)求证：四边形ABCD是正方形。 (2)如图2，若CD=3DE=6，G是边AD上一点，连结CG交AE于点H，若∠AHG=45°，求CG的长。 图1　 　图2 第11题图 解：(1)∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=∠ABC=∠D=90°，∴∠ABF=90°。 ∵AF⊥AE，∴∠FAE=90°， ∴∠EAD＋∠BAE=∠FAB＋∠BAE=90°， ∴∠FAB=∠EAD。 在△ABF与△ADE中， ∵ ∴△ABF≌△ADE(AAS)， ∴AB=AD，∴矩形ABCD是正方形。 (2)如答图，过点A作AM∥CG交BC于点M，连结ME， 第11题答图 ∴∠MAE=∠AHG=45°。 ∵∠FAE=90°，∴∠MAF=90°－45°=45°。 ∵△ABF≌△ADE，∴AF=AE。 在△MAF和△MAE中， ∵ ∴△MAF≌△MAE(SAS)，∴FM=EM。 ∵CD=3DE=6，∴BC=CD=6，BF=DE=2。 设BM=x，则EM=FM=2＋x，CM=6－x，CE=4。 在Rt△CEM中，根据勾股定理，得(6－x)2＋42=(2＋x)2， 解得x=3，∴BM=3。 ∵AB=CD=6，在Rt△ABM中， 根据勾股定理，得AM==3。 ∵AM∥CG，AG∥CM， ∴四边形AMCG是平行四边形， ∴CG=AM=3。 学科网（北京）股份有限公司 $