第5章特殊平行四边形精选练习-2025-2026学年数学八年级下册浙教版

**基本信息** 本卷为浙教版八年级下册第5章特殊平行四边形单元复习卷，聚焦矩形、菱形、正方形的性质与判定，通过生活情境（如矩形相框检测、伸缩衣帽架）和动态问题（如动点面积函数图像），培养几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|9|矩形判定（第1题）、菱形性质（第3题）、正方形计算（第5题）|结合生活实践（第1题量角器检测矩形）| |填空题|6|菱形面积（第11题）、折叠问题（第13题）、最短路径（第14题）|联系实际应用（第11题伸缩衣帽架面积）| |解答题|6|平行四边形证明（第16题）、动态几何（第20题）、折纸探究（第21题）|注重实践探究（第21题正方形折纸求长度）|

第5章特殊平行四边形精选练习-2025-2026学年数学八年级下册浙教版（2024） 一、单选题 1．为检测如图所示的矩形相框是否标准，小明同学认为用一个量角器就可以检测；小华认为用一根适当长度的绳子也可以检测．你认为他们俩的说法（   ） A．小明正确，小华错误 B．小明错误，小华正确 C．小明正确，小华也正确 D．小明错误，小华也错误 2．下列命题中，真命题是（     ） A．对角线相等的四边形是平行四边形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 3．若菱形的周长为8，高为1，则菱形两个相邻的内角的度数比为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，为的中点，，，则下列说法错误的是（   ） A．当时，四边形是矩形 B．当时，四边形是菱形 C．当时，四边形是矩形 D．当时，四边形是菱形 5．如图，四边形是正方形，点在对角线上，过点作交于点．若，，则正方形的边长为（   ） A．10 B． C． D． 6．如图，矩形中，，，动点P沿折线从B点开始以每秒的速度向D点运动．设的面积为S，点P运动时间为t，则S与t之间的函数关系的图象大致是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在菱形中，点E是对角线上一点，，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在矩形中，，，点分别在边，上，且满足，连接，，点，分别在，上移动（不与端点重合），且满足，则下列说法不正确的是（   ） A．连接， B．的最小值为 C． D．当时，四边形为矩形 9．如图，在菱形中，，，点E，F分别是，的中点，，相交于点G，连接，，有下列结论：①；② ；③；④．其中正确的结论有（　　） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 二、填空题 10．如图，某景区有一块矩形草坪，岩岩同学发现有极少数人不沿小路，行走，直接践踏草坪沿行走，为了倡导人们爱护花草，于是建议景区管理人员在A处立一个标牌：“小草青青，脚下留情”，经过测量得知：A，C两处的距离为，B，C两处的距离为，则践踏草坪少走的距离仅仅为________． 11．如图是一款利用菱形四连杆伸缩结构实现折叠收纳的壁挂式挂架，也常被称为伸缩衣帽架或魔术挂架．这个挂架可以看作是由三个菱形组成，我们将其中一个记为菱形，测得这个菱形的对角线，，则这个菱形的面积为________． 12．在菱形中，，点是菱形内一点，，则的长为_____． 13．如图，在矩形中，，，点在上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，那么的值为_____． 14．如图，是面积为6的正方形的对角线，点E在正方形内，连接、、是等边三角形，在对角线上有一点P，连接、，则的最小值为______． 15．如图，正方形的边长为4，点是对角线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，点为中点，，垂足为，若，则_____． 三、解答题 16．如图，在中，D是的中点，E是延长线上一点，连接，，过点A作交的延长线于点F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，直接写出的面积． 17．如图，在四边形中，点，分别在边，上，连接，，已知．条件：①；②；③． 请你从以上三个条件中任选一个条件：___________（填写条件序号），证明四边形是菱形， 18．如图，已知，延长到，使，连接，，，若． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 19．如图1，在正方形中，点是上一点，连接，点在线段上，． (1)求证：； (2)如图2，当点是中点时，求的度数； (3)如图3，过点作交于点，求证：． 20．已知：如图，在四边形中，，，，，，点从出发，以的速度向点运动，点从出发，以的速度向运动，其中一动点到达端点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为． (1)经过多少时间，四边形是平行四边形？ (2)在运动过程中，需经过多长时间才能使？ 21．折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形．同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识． (1)折纸1：如图1，将正方形沿对折，使点A落在平面内的点处，连接，若，则= ． (2)折纸2：如图2，操作一：将边长为4的正方形纸片对折，使点B、C分别与点A，D重合，再展开得到折痕；操作二：将正方形纸片沿着折叠，使得点D落在平面内点处，延长交于点P，求线段的长度． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《第5章特殊平行四边形精选练习-2025-2026学年数学八年级下册浙教版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 C B C A B A A C A 1．C 【分析】运用矩形的判定即可． 【详解】解：小明同学用量角器只要量出三个角为直角即可：小华先测量四边形的四条边，若对边相等，可证明为平行四边形，再测量对角线，若对角线相等，则可证明矩形． 2．B 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理，逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A．对角线相等的四边形不一定是平行四边形，只有对角线互相平分的四边形才是平行四边形，故A是假命题，不符合题意； B．根据矩形的判定定理，对角线相等的平行四边形是矩形，故B是真命题，符合题意； C．对角线互相垂直平分的四边形才是菱形，仅对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故C是假命题，不符合题意； D．对角线互相垂直平分且相等的四边形才是正方形，仅对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，故D是假命题，不符合题意； 3．C 【分析】如图，菱形中，过点作于点，取中点，连接，利用直角三角形的性质证明是等边三角形，得到，再根据菱形的性质求出，，即可求解． 【详解】解：如图，菱形中，过点作于点，取中点，连接， 则，， ∵菱形的四条边相等，周长为， ∴菱形边长， ∵在中，，， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵菱形中，， ∴，， ∴，， ∴两个相邻内角的度数比为． 4．A 【分析】根据两组对边分别平行判断出四边形是平行四边形，再添加一个条件：一个角是为矩形，一组邻边相等为菱形． 【详解】，， 四边形是平行四边形． 选项A：当时，无法判断四边形是矩形； 选项B： ，为的中点， ， 平行四边形是菱形； 选项C：当时，为的中点， ， ， 平行四边形是矩形； 选项D：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 平行四边形是菱形． 5．B 【分析】根据正方形的性质得出相等的边和相关角的度数，然后利用勾股定理列出方程求解． 【详解】解：， ． ∵四边形是正方形， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ∴， 即， ∴， 解得． 6．A 【分析】本题是矩形背景下的动点问题，核心考查分段函数的建立与函数图像的识别，解题思路是根据点的运动路径分两段讨论，分别求出的面积与时间的函数关系，再匹配对应的图像． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 当点在上运动时，即时，， 当点在上运动时，即时，， ， ， 结合函数解析式可知，函数图像在时水平，在时下降． 7．A 【分析】根据菱形的性质，，，然后根据等边对等角求得，进而可求得答案． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 8．C 【分析】连接，证出四边形是菱形即可得A正确；连接，根据垂线段最短可得当时，的值最小，再利用三角形的面积公式计算可得B正确；连接，先证出四边形为平行四边形，再得出要使得，则需，由此即可得C错误；连接，先证出，则，再根据矩形的判定可得D正确． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∵， ∴，， 同理可得：， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，则说法A正确； 如图，连接， 由垂线段最短可知，当时，的值最小， ∴此时有， ∴， 即的最小值为，说法B正确； 如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 假设， ∴平行四边形是矩形， ∴，但由已知条件不能得出这个结论， ∴假设不成立，即不成立，说法C错误； 如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由上已得：四边形是平行四边形， ∴四边形为矩形，则说法D正确． 9．A 【分析】根据菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：①∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴ ， ∵E，F分别是，的中点， ∴平分，平分，， ∴ ， ， ∴ ，故①符合题意； ②∵ ， ∴， ∵，， ∴， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理： ， ， ∴ ， ∴ ，故②符合题意； ③∵， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴和不全等，故③不符合题意； ④如图，设与交于点M， 同①得：是等边三角形， ∴ ，， 由②可知，， ∴， ∴ ， ∴， ∴，故④不符合题意； 综上所述，其中正确的结论有①②. 10． 【分析】根据勾股定理求得的长度，然后和的长度之和减去的长度，即可解答． 【详解】解：根据题意可知，，，， ∴， ∴践踏草坪少走的距离仅仅为． 11．48 【分析】根据菱形的面积等于对角线的长度的乘积的一半计算即可． 【详解】解：∵菱形的对角线，， ∴这个菱形的面积为． 12．或 【分析】分成P在上和P在上两种情况进行讨论，根据是等边三角形，即可求得的长度，在直角中利用勾股定理求得的长，则即可求得． 【详解】解：设和相交于点O． ， ∵四边形是菱形，则垂直平分， 又， ∴点在上， 当P在上时， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，． ∴． 在中，． 则； 当P在上时，． 综上，的长为或． 13．/ 【分析】在中，利用勾股定理计算出，则，设，则，然后在中根据勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∵矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上的处， ∴，， 在中，∵， ∴， 设，则， 在中，∵， ∴， 解得， ∴． 14． 【分析】连接，利用正方形的对称性，将转化为，则的最小值转化为的最小值，即线段的长度． 【详解】解：连接，如图所示： ∵正方形的对角线是对称轴， 点关于的对称点是， ∴． ， ∵两点之间线段最短，　 ∴当P在与的交点时，最小，最小值为的长度， ∵正方形的面积为6， ∴正方形的边长为， ∵是等边三角形， ， ∴的最小值为． 15． 【分析】本题主要考查了正方形的性质，三角形中位线的判定与性质，全等三角形的判定与性质． 连接，先证，再证明为的中位线，问题即可得解． 【详解】解：连接，如图， 正方形的边长为4，点是对角线上一点， ，，，， 线段绕点逆时针旋转得到， ，， ， ， ， ， ，， ，即， ， ， 点为中点， 为的中位线， ， ， ， ． 16．(1)见解析 (2) 【分析】（1）先根据是的中点得出，再由得到两组内错角相等，利用证明，从而推出，最后结合，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可证得四边形是平行四边形； （2）先由结合，得出、、，接着由推出，在中运用勾股定理求出的长度，最后根据平行四边形面积公式“底×高”，以为底、为高即可计算出平行四边形的面积． 【详解】（1）证明：∵是的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 17．选条件①，证明见解析；选条件②，证明见解析；选条件③，证明见解析； 【分析】选条件①，由全等三角形的性质可得，再结合四边形的内角和为360度，可得，即，易证四边形是平行四边形，再结合即可证明结论；选择②、③，同理可证明． 【详解】解：选条件①，证明如下： ∵， ∴ ∵四边形内角和为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 选条件②，证明如下： ∵， ∴， 如图：连接， ∵， ∴， ∵， ∴,即， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形； 选条件③，证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴, ∴, ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 18．(1)见解析 (2) 【分析】（）由四边形是平行四边形，则，，又得四边形是平行四边形及，结合可得，由此可得平行四边形是矩形； （）连接，由（）得，，，所以，则，又四边形是矩形，故有，，然后通过勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：如图，连接， 由（）得，，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 19．(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）由是等腰三角形，可得．由正方形中，即，得．由三角形内角和得，即可推导与的数量关系． （2）是中点，且，所以直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得，证明，结合已知以及正方形边长相等的性质，可得到等边三角形，进而求角度． （3）延长到点F，使，将绕点A顺时针旋转得到，连接，，可得G、A、D共线，，得，四边形是正方形，作的平分线交于点H，可得，证明，得，证明，得，，得,得，得，可得，得，即得. 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， 即， 两边乘2得：． 又∵， ∴， 由三角形内角和：， ∴， 代入得：， ∴． （2）解：连接，， ∵是中点，， ∴． ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． （3）证明：延长到点F，使，将绕点A顺时针旋转得到，连接，， 则，， ∴，， ∴G、A、D共线， ∵，， ∴， ∴，四边形是正方形， ∴，， 作的平分线交于点H，连接， 则， 由（1）知，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴. 20．(1) (2)或 【分析】（1）由四边形是平行四边形可得，设运动时间为，可得，再解方程即可； （2）证明四边形是矩形，再结合运动速度表示出，根据勾股定理列式，，同理表达，结合进行列方程，再解方程，即可作答． 【详解】（1）解：由四边形是平行四边形可得，设运动时间为， ∴， 解得：； 即经过，四边形是平行四边形； （2）解： 过点作，过点作，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵点从出发，以的速度向点运动，点从出发，以的速度向运动，且，， ∴， ∴， ∴， 同理证明四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 依题意，，运动停止时间为， ∵， ∴在运动过程中，需经过或才能使． 21．(1) (2) 【分析】（1）由邻补角的性质先求解再由对折的性质求解结合正方形的性质解答即可； （2）连接，证明，可得，再由勾股定理可得． 【详解】（1）解： ， 由折叠可得：， 正方形， ∴， ； （2）解：如图，连接， ∵由边长为4的正方形纸片对折，再沿对折， 正方形纸片沿着折叠再展开，折痕与边交于点P， ， ， ∵， ， ， 由勾股定理得：， ， 解得：． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $