专题02 函数导数基本性质和运用（期末真题汇编，江西专用）高二数学下学期北师大版

**基本信息** 聚焦函数与导数核心专题，汇编江西多所重点中学期末真题，覆盖函数概念、性质及导数应用五大高频考点，适配高二期末复习与能力检测。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|多|函数定义域、奇偶性、导数几何意义、极值点判断|梯度设计明显，基础题（如定义域求解）与能力题（如含参单调性分析）结合，贴近高考命题趋势| |多选题|少|函数奇偶性判定、导数与函数单调性综合|注重知识交叉，如结合奇偶性与周期性（奇函数满足f(x+2)=f(x)），考查逻辑推理| |填空题|中|函数定义域、单调区间、极值计算|源自南昌二中、师大附中名校真题，强化导数在零点、不等式恒成立问题中的应用|

专题02 函数导数基本性质和运用 高频考点概览 考点01函数的概念 考点02函数的基本性质 考点03 导数的运算法则和几何意义 考点04 导数在函数中的基本运用 考点05 利用导数研究函数的零点和不等式恒成立问题 一、单选题 考点01 函数的概念 1．(24-25高二下·江西南昌第二中学·期末)已知函数的定义域为，，则 （   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】借助赋值法，分别令及，可得求得答案. 【详解】令，得①； 令，得②， 由得. 故选：A. 2．(24-25高二下·江西宜春中学·期末)已知函数的定义域为，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数解析式可求出的值. 【详解】因为函数的定义域为，且满足， 所以，. 故选：B. 3．(24-25高二下·江西宜春中学·期末)已知定义在上的偶函数满足，若，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据抽象函数的奇偶性与周期性计算即可. 【详解】由，所以是函数的一个周期， 所以， 又是偶函数且，所以. 故选：C 2、 填空题 4．(24-25高二下·江西九江第一中学·期末)______． 【答案】/ 【分析】根据对数运算性质计算 【详解】， 故答案为： 5．(24-25高二下·江西萍乡·期末)已知函数的定义域是，则函数的定义域为__________. 【答案】 【分析】根据抽象函数定义域性质得出，再结合对数复合函数定义域求解. 【详解】函数的定义域是，所以，所以， 所以函数的定义域是， 则函数满足且且不是3， 则函数的定义域为. 故答案为：. 6．(24-25高二下·江西九师联盟·期末)若函数的定义域为，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】由题可得在上恒成立，利用数形结合思想列出不等式求解即得. 【详解】因函数的定义域为 则在内恒成立， 故需使，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 考点02 函数的基本性质 一、单选题 1．(24-25高二下·江西南昌江西师范大学附属中学·期末)已知定义域为的奇函数，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．不能确定 【答案】A 【分析】根据奇函数的定义域关于原点对称求出，根据求出，再根据奇函数的定义可求出结果. 【详解】依题意得，解得， 由，得， 所以 . 故选：A. 2．(24-25高二下·江西南昌江西师范大学附属中学·期末)已知函数的值域为R，则实数的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分段函数值域为R，在x＝1左侧值域和右侧值域并集为R. 【详解】当， ∴当时，， ∵的值域为R，∴当时，值域需包含， ∴，解得， 故选：C. 3．(24-25高二下·江西上进联考·期末)已知函数的最小值为，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用基本不等式求得，进而得，再利用指数函数和反比例函数的单调性，即可求解. 【详解】因为，当且仅当时取等号， 所以．易知的定义域为， 当时，，则；当时，，则， 所以的值域为． 故选：A． 4．(24-25高二下·江西南昌南昌中学（三经路校区）·期末)已知函数是定义在R上的增函数，且，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数单调性解不等式即可. 【详解】因为函数是定义在R上的增函数，且， 所以， 故选：A 5．(24-25高二下·江西九江第一中学·期末)已知函数，若存在实数，使得成立，则实数t的最小值是（    ） A． B．2π C．-1 D．1 【答案】A 【分析】利用导数求出函数在时的最小值，结合题意即可求得答案. 【详解】由，得， 当时，，故在上单调递减， 当时，，故在上单调递增， 故当时，， 而存在实数，使得成立，故， 即实数t的最小值是， 故选：A 6．(24-25高二下·江西上饶·期末)已知函数，且，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得函数为增函数，且为奇函数，进而可由得，解得答案. 【详解】函数，定义域为， 恒成立，故函数为增函数， 又由，故函数为奇函数， ，则， 解得：. 故选：B. 7．(24-25高二下·江西宜春中学·期末)若定义在上的奇函数，对，且有，且，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的奇偶性和在上的单调性，判断函数在上的单调性，从而得到函数的正负，分、、三种情况讨论，得到使得成立的的取值范围. 【详解】因为对，且有，所以在上单调递减， 因为是奇函数，所以在上也单调递减，且， 所以当时，，当时，，当时，， ①当时，要使得，则要求，所以，解得； ②当时，符合； ③当时，要使得，则要求，所以，解得； 综上，x的取值范围是， 故选：B. 8．(24-25高二下·江西南昌南昌中学（三经路校区）·期末)已知定义在上的函数在上单调递减，且对任意的，总有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数单调性可得,得出在上的最值解不等式即可得结果. 【详解】因为函数对称轴为，函数在上单调递减，则， 且函数在上单调递减，在上单调递增， 则， 因为，即，则， 若对任意的，都有， 则只要即可，即， 解得，又因为，则. 故选：D 9．(24-25高二下·江西南昌南昌中学（三经路校区）·期末)已知是定义在上且不恒为的连续函数，若，，则（   ） A． B．为奇函数 C．的周期为 D．的值域为 【答案】D 【分析】对于A，B，C利用赋值法即可判断，对于D，令和，再结合函数的对称性即可判断. 【详解】令得，因为不恒为，所以，所以A错误； 令得，得，则为偶函数，所以B错误； 令得， 则， 则，得周期为，所以C错误； 令得，，即， 令得，即关于中心对称 ，即， 所以，所以D正确. 故选：D. 10．(24-25高二下·江西南昌江西师范大学附属中学·期末)已知函数为定义在上的奇函数，是偶函数，且当时，，则 A．-3 B．-2 C．-1 D．0 【答案】C 【解析】先通过分析求出函数f(x)的周期，再利用函数的周期求值得解. 【详解】因为函数是偶函数， 所以 所以函数f(x)的图像关于直线x=2对称， 所以 所以， 所以， 所以函数的周期为8， 所以 . 故选C 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、对称性和周期性应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 11．(24-25高二下·江西南昌江西师范大学附属中学·期末)已知定义在R上的函数满足：，且时，，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数单调性和奇偶性则得到不等式，解出即可. 【详解】任取，则， 而时，，则， ， 所以在上单调递减， ，， 取，则，令， 得， 所以为上的奇函数， ，即，则，解得 故选：A. 12．(24-25高二下·江西九师联盟·期末)已知奇函数的定义域为，当且，时，恒成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合奇函数性质可知函数在内单调递减，再根据奇函数性质以及单调性解不等式即可. 【详解】因为当且，时，恒成立， 则在内单调递减， 又因为函数为奇函数，可知在内单调递减， 所以函数在内单调递减， 若，则， 可得，即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：C. 13．(24-25高二下·江西九江第一中学·期末)已知函数，若，则（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】利用求导判断单调性，再借助，然后通过数形结合，即可作出判断. 【详解】求导得， 当时，，所以在区间上单调递增， 当时，，所以在区间上单调递减， 根据，， 当时，，可作出图象： 所以当时，， 根据图象可知，， 所以恒有，故B正确， 由于，，所以，故C错误， 故选：B. 二、多选题 14．(24-25高二下·江西南昌江西师范大学附属中学·期末)下列函数中，是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由奇函数定义逐一判断即可. 【详解】对于A，的定义域为全体实数，关于原点对称，且，故A满足题意； 对于B，若，则，故B不满足题意； 对于C，的定义域为，它关于原点对称，且，故C满足题意； 对于D，的定义域为，它关于原点对称，且，故D满足题意. 故选：ACD. 15．(24-25高二下·江西九江第一中学·期末)已知函数满足：对任意，且当时，.下列说法正确的是（    ） A． B．为偶函数 C．当时， D．在上单调递减 【答案】ACD 【分析】由关系取，可求，取，可求，再求，判断A，取，可得，的关系，再将替换为，求，由此判断函数的奇偶性，判断B，将中的用替换可得，结合条件证明当时，，再结合函数的奇偶性判断C，结合单调性定义证明函数在上单调递减，再利用导数证明函数在上单调递减，判断D. 【详解】因为， 令，，可得， 所以， 令，，可得， 所以， 所以，A正确； 由， 令可得，， 再将中的替换为，可得， 所以， 所以，所以函数为奇函数，B错误； 当时，将中的用替换， 可得，即， 当时，，由已知可得， 所以，， 又函数为奇函数，所以当时，，， 所以当时，，C正确； 因为， 所以若，则， 任取，且， 则， 因为，所以，，, 所以，所以， 所以函数在上单调递减， 设， 当时，， 因为，所以， 因为函数在上单调递减，所以， 所以， 所以在上单调递减. 故选：ACD. 16．(24-25高二下·江西九师联盟·期末)已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，当时，，，则（   ） A．函数的一个周期为4 B．函数是偶函数 C． D．不存在，使得在上单调递增 【答案】AC 【分析】对于A：根据题意奇偶性的定义结合周期性的定义分析判断；对于B：整理可得，结合题意以及奇偶性定义分析判断即可；对于C：根据题意求，利用并项求和结合周期性求解；对于D：做出函数图象，结合图象分析判断即可. 【详解】对于选项A：因为为偶函数，则， 可得， 又因为为奇函数，则， 即，可得， 则， 所以函数的一个周期为4，故A正确； 对于选项B：由可得， 且，可得， 可知函数为奇函数， 显然不恒为0，所以函数不为偶函数，故B错误； 对于选项C：因为，， 且当时，，则，解得， 又因为，可知， 则，为偶数， 可得 ， 所以，故C正确； 对于选项D：做出函数的部分图象， 结合图象可知在上单调递增， 所以存在，使得在上单调递增，故D错误； 故选：AC. 三、填空题 17．(24-25高二下·江西九江第一中学·期末)已知奇函数满足，当时，，则______． 【答案】1 【分析】由题意可求出函数的周期，进而求出参数a的值，结合函数奇偶性以及周期性，即可求得答案. 【详解】因为函数满足，故， 即是以4为周期的函数； 由奇函数的自变量x可取0，则， 结合当时，，得， 故，则，故当时，， 则 ， 故答案为：1 18．(24-25高二下·江西南昌南昌中学（三经路校区）·期末)已知的定义域为R，且，当时，，则_________． 【答案】1 【分析】分析可知的一个周期为6，结合周期性运算求解即可. 【详解】因为，则， 可知的一个周期为6， 又因为当时，， 所以. 故答案为：1. 19．(24-25高二下·江西南昌江西师范大学附属中学·期末)函数的单调增区间是__________ 【答案】 【分析】首先求出函数的定义域，再结合二次函数的单调性即可求解. 【详解】，， ，解得， 函数对称轴是：， 当，函数单调递增， 当，函数单调递减， 函数的单调增区间是. 故答案为： 【点睛】本题考查了求复合函数的单调区间，注意求单调区间需在定义域内进行求解，此题属于基础题. 20．(24-25高二下·江西宜春丰城第九中学·期末)若函数的减区间为，则的值为______. 【答案】3 【分析】由的解集，求出的值. 【详解】的解集为， 即的解集为，所以， 解得. 故答案为：. 考点03 导数的运算法则和几何意义 一、单选题 1．(24-25高二下·江西定南中学·期末)设函数满足，则（   ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】根据导数的定义可求. 【详解】, 故， 故选：D. 2．(24-25高二下·江西九师联盟·期末)若函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求导可得，结合导数的定义运算求解即可. 【详解】因为，则， 所以. 故选：C. 3．(24-25高二下·江西萍乡·期末)已知函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导数的极限定义，借助于导数公式即可求解. 【详解】由求导，可得， 则. 故选：D. 4．(24-25高二下·江西萍乡·期末)设函数，则（   ） A．8 B．4 C．2 D．0 【答案】C 【分析】直接求导，代入即可求解. 【详解】因为， 所以，所以. 故选：C. 5．(24-25高二下·江西定南中学·期末)已知函数，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】求导，令可得结果. 【详解】由，可得，则，解得. 故选：D. 6．(24-25高二下·江西部分校·)已知函数，则（   ） A． B．1 C．0 D．2 【答案】B 【分析】求出函数导数，令即可得解. 【详解】由题可得， 令，可得， 解得． 故选：B 7．(24-25高二下·江西上进联考·期末)已知函数，若，则（    ） A．－1 B．－2 C．1 D．2 【答案】A 【分析】对函数求导，然后把代入到导函数中求解即可. 【详解】因为，所以，， 所以． 故选：A． 8．(24-25高二下·江西南昌南昌中学（三经路校区）·期末)曲线在处的切线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对函数求导，根据导数的几何意义求出切线斜率，然后利用点斜式可写出直线方程. 【详解】，则，根据导数的几何意义，切线的斜率为：，又，即切线过点，根据点斜式方程，切线为：，即. 故选：D 二、多选题 9．(24-25高二下·江西定南中学·期末)下列求导不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由基本初等函数的求导公式以及求导法则，可得答案. 【详解】. 故选：ABD. 3、 填空题 10．(24-25高二下·江西定南中学·期末)设曲线在处的切线方程为__________. 【答案】 【分析】由导数的几何意义求出切线斜率，再根据点斜式即可求得切线方程. 【详解】由求导得：， 则曲线在处的切线斜率为3， 又时，， 故切线方程为：，即. 故答案为：. 考点04 导数在函数中的基本运用 一、单选题 1．(24-25高二下·江西上饶·期末)已知函数没有极值，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，求得，由函数没有极值，得到，即可求解. 【详解】由函数，可得， 因为函数没有极值，可得， 即，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 2．(24-25高二下·江西赣州·期末)已知的导函数的图象如图所示，下列说法正确的是（    ）    A．的增区间是和 B．有4个极值点 C．的减区间是和和 D．极大值点和极小值点的个数相同 【答案】A 【分析】根据图像得函数的单调性，进而得函数的极值，逐一判断即可. 【详解】由图可知的增区间为和，减区间为和，故A正确，C错误， 所以有3个极值点分别是，故B错误，极大值点为，极小值点为，故D错误. 故选：A. 3．(24-25高二下·江西部分校·)若是定义在区间上的函数，其图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合图象，利用导数与函数单调性间的关系，得和时，的取值范围，即可求解. 【详解】由图可知的减区间为，，增区间为， 所以当时，，当时，， 又由图知，当时，，当时，， 所以的解集为， 故选：B. 4．(24-25高二下·江西南昌南昌中学（三经路校区）·期末)若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】可知在区间上有解，,等价于在区间上有解，结合存在性问题分析求解即可. 【详解】因为， 若在区间上存在单调递减区间， 则在区间上有解，可得在区间上有解， 又因为在区间上单调递增，则， 可得，所以实数的取值范围是. 故选：A． 5．(24-25高二下·江西吉安·期末)函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对函数求导，令，求解即可. 【详解】定义域为，由题意得， 令，解得， 所以函数的递减区间为， 故选：D. 6．(24-25高二下·江西九师联盟·期末)已知函数在上恰有一个极值点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导，利用导数分析的单调性和极值点，结合题意列式求解即可. 【详解】由题意可知：的定义域为，则， 又因为，令，解得；令，解得； 可知函数在内单调递减，在内单调递增， 则有且仅有一个极值点， 若函数在上恰有一个极值点， 则，解得， 所以的取值范围是. 故选：B. 7．(24-25高二下·江西抚州·)若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对函数求导得.由函数在上存在单调递增区间可知在上有解，分离参数后可得在上有解，故.设，，求导研究其在上的单调性求出函数最大值即可求解. 【详解】∵，∴. ∵函数在上存在单调递增区间，∴在上有解，即在上有解，∴在上有解，即在上有解，∴. 设，.则， 令得；令得， ∴在上单调递减，在上单调递增. 又，，∴，∴， 即实数的取值范围为. 故选：D. 8．(24-25高二下·江西定南中学·期末)已知函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导研究函数的单调性，结合即可得出范围. 【详解】由得， 则得或；得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 又， 则在区间上有最大值时有，， 得， 则实数的取值范围是. 故选：B 9．(24-25高二下·江西南昌江西师范大学附属中学·期末)设函数，若存在实数，使得，则的最小值为（    ） A． B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】变形得到，故，二次求导得到在R上单调递增，从而得到，故，构造，求导得到其单调性，确定最值，得到答案. 【详解】， 存在实数，使得，即， ， 令，则， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故在处取得极小值，也是最小值， ， 故在R上单调递增， 所以， 故， 令，，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故， 所以，当且仅当，时，等号成立. 故选：C 【点睛】关键点点睛：变形得到，故，结合在R上单调递增，得到，进而将二元问题转化为单元问题进行求解. 10．(24-25高二下·江西新余·期末)已知分别为定义在上的函数和的导函数，且，，若是奇函数，则下列结论不正确的是（    ） A．函数的图象关于点对称 B．函数的图象关于直线对称 C． D． 【答案】C 【分析】由条件可得，由此证明关于对称，再结合图象变换判断A，再证明函数为偶函数由此判断B，由条件证明为偶函数，由此证明为周期函数，结合周期性求，举反例判断C. 【详解】因为，， 所以， 所以， 所以函数为奇函数， 所以函数的图象关于点对称， 所以关于对称， 又， 所以函数的图象关于点对称，A正确； 因为函数的图象关于点对称， 所以的图象关于原点对称， 所以， 所以， 所以函数为偶函数，其图象关于轴对称， 所以函数的图象关于直线对称，B正确； 因为是奇函数，所以， 所以，即 又， 所以， 所以函数为周期函数，周期为4， 所以， 又，所以， 所以，故，D正确； 设，则，， 满足所给条件，但，所以C错误. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于充分利用函数的奇偶性的定义，结合条件判断相关函数的奇偶性，再结合奇函数和偶函数的性质判断相关结论. 二、多选题 11．(24-25高二下·江西抚州·)定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ）    A．函数在上单调递减 B．函数的单调递减区间为 C．函数在处取得极大值 D．函数在处取得极大值 【答案】BC 【分析】利用导函数的图象，根据导函数值的正负判断函数的单调性，从而得出极值点，逐项判断即可. 【详解】由导函数的图象可知， 当时，，单调递增；当时，，单调递减.故A错误B正确； 所以，函数在处取得极大值，不是极大值点，故C正确D错误. 故选：BC. 12．(24-25高二下·江西赣州·期末)关于函数，以下说法正确的是（    ） A．当时，的增区间为 B．当时，的值域为 C．如果的值域为，则 D．函数的图象关于直线对称 【答案】AD 【分析】利用对数函数的性质，包括定义域、值域、单调性等，同时结合二次函数分析复合函数的性质，逐个分析每个选项即可得到答案. 【详解】由题可知为复合函数，其中对数函数的底数，对数函数单调递减，令. 对于A 选项，当时，，的定义域为，根据复合函数的单调性可知，只需求 的减区间即可，的单调递减区间为，的增区间为，故A正确. 对于B 选项，当时，，此时的定义域为，此时，的最小值为，即内层函数可取，即，的值域为，故B错误. 对于C 选项，的值域为,只需要内层函数能取到所有的正实数，即判别式，解得，故C错误. 对于D 选项，内层函数关于直线对称，而函数的图象是由经过对数变换得到的，的图象形状由决定，即函数的图象关于直线对称（也可验证是否成立），故D正确. 故选：AD. 13．(24-25高二下·江西定南中学·期末)已知定义在R上的函数满足，为的导函数，且对于任意的，都有，则（   ） A． B． C．， D．， 【答案】BC 【分析】通过赋值法可判断A、B；由题知的对称轴为直线，函数在上单调递增，在上单调递减，由此可判断C、D. 【详解】当时，，故A错误； 当时，，故B正确； 对于由 知，的图象关于直线对称， 又， 当时，，即在区间上单调递减； 当时，，在区间上单调递增， ，，故C正确，D错误． 故选：BC. 14．(24-25高二下·江西上饶·期末)设函数，则下列结论正确的是（） A．为偶函数 B．在区间上为增函数 C．的值域为 D．不等式的解集为 【答案】ABD 【分析】根据函数奇偶性的定义，判断选项A的正误，根据函数单调的定义，判断函数单调区间，求出值域，再根据函数单调性解函数不等式，逐一判断各选项正误. 【详解】已知，则，所以为偶函数，所以A正确； 当时，， 在区间上和单调递增，所以在上单调递增，所以B正确； 根据分段函数性质可得， 已知在区间上为增函数，同理可得在区间上为减函数， 所以在处函数取得最大值，最大值，所以C错误； 已知在区间上为增函数，在区间上为减函数， 当时，可得，解得，所以D正确. 故选：ABD. 15．(24-25高二下·江西吉安·期末)已知函数，则（    ） A．的极小值为 B．有三个零点 C．图象的对称中心为 D．过点只能作曲线的一条切线 【答案】AC 【分析】利用函数的极值与导数的关系可判断A选项；解方程，可判断B选项；利用函数对称性的定义可判断C选项；设切点为，利用导数的几何意义结合点在切线上，可得出关于的方程，解之可判断D选项. 【详解】因为，则， 当时，当时， 即为函数的极小值点，极小值为，故选项A正确； 由于，令，解得或，所以只有个零点，故选项B错误； 假设函数的对称中心为，则， 所以，可得， 故函数的图象关于直线对称， 因为图象的对称轴为直线，且， 所以函数的对称中心为， 事实上 ， 所以， 故函数的对称中心为，故选项C正确； 设切点为，切线的斜率为， 故切线方程为， 将点代入切线方程可得，即， 解得或，即过点作函数的切线有两条，故选项D错误； 故选：AC. 16．(24-25高二下·江西宜春丰城第九中学·期末)已知函数，则（    ） A．当时，函数在上单调递增 B．当时，函数有两个极值 C．过点且与曲线相切的直线有且仅有一条 D．当时，直线与曲线有三个交点，，则 【答案】ACD 【分析】A选项，求导，得到导函数大于0恒成立，故A正确；B选项，时，导函数大于等于0恒成立，B错误；C选项，设切点，由几何意义得到切线方程，将代入，整理得到，构造设，求导得到单调性，数形结合得到只有1个根-2，C正确；D选项，若，此时直线与曲线只有1个交点，不合要求，故，联立直线与曲线得到，令，变形得到. 【详解】A选项，时，， 恒成立，故函数在上单调递增，A正确； B选项，，当时，恒成立， 此时在R上单调递增，无极值，B错误； C选项，显然不在上，设切点为， 因为，所以， 故切线方程为， 又切线过点，故， 整理得， 设，则 令得或， 令得或，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 其中，， 又，故只有1个根-2， 故过点且与曲线相切的直线有且仅有一条，C正确； D选项，当时，， 若，直线， 此时与曲线只有1个交点，不合要求，故， ，直线与曲线联立得 ， 设， 故， 所以，则，D正确. 故选：ACD 3、 填空题 17．(24-25高二下·江西定南中学·期末)函数的极大值为______． 【答案】0 【分析】利用导数计算的极大值. 【详解】，令，可得或2， 当时，，单调递减；当时，或，单调递增， 所以在处取得极大值，极大值为. 故答案为：0. 18．(24-25高二下·江西宜春中学·期末)已知函数恰有2个极值点，则实数a的取值范围为________. 【答案】 【分析】由题可得有两个不同正根，利用分离参数法得到.令，，只需与有两个交点，利用导数研究的单调性与极值，利用数形结合即可求解. 【详解】因为函数的定义域为， 由，可得， 要使函数有两个极值点，只需有两个不同正根，并且在的两侧的单调性相反， 由得，，所以， 由题意可知与有两个不同的交点， 令，则， 所以当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以，当时，， 作出图形如图所示： 由图象可得实数a的取值范围为. 故答案为：. 19．(24-25高二下·江西新余·期末)已知函数满足：①，；②，．若是方程的实根，则___________． 【答案】2 【分析】先根据②将方程变形为，由①知为增函数，从而，变形构造函数可得，代入可得结果. 【详解】由②及题设条件，得. 由①，知为增函数，得，即 即. 令，则. 又为增函数，所以，即，所以， 故. 故答案为：2. 考点05 利用导数研究函数的零点和不等式恒成立问题 一、单选题 1．(24-25高二下·江西新余·期末)已知函数，若有三个零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可知时，函数至多有一个零点，进而可得时，要使得有两个零点，然后根据二次函数的性质结合条件即得. 【详解】当时，单调递增且，此时至多有一个零点， 若有三个零点，则时，函数有两个零点； 当时，，故； 当时，要使有两个零点， 则， 所以，又， 所以实数m的取值范围是. 故选：C. 2．(24-25高二下·江西吉安·期末)已知函数，若时，恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先分别对函数求导，然后讨论当时两个函数的单调性和最值，判断其乘积是否大于等于0. 【详解】由题意得， 当时，，则函数与均在上单调递增，所以，故此时恒成立； 当时，，则在上单调递增，，在上单调递增，在上单调递减，故的最小值为，此时不满足恒成立； 当时，在上单调递减，在上单调递增，故的最小值为，但在存在小于零的情况，不满足恒成立； 当时，与都存在大于零和小于零的情况，故也不满足恒成立； 综上可知的取值范围为. 故选：A. 3．(24-25高二下·江西萍乡·期末)已知函数定义域为，为其导函数，若恒成立，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，根据已知不等式，求出构造函数在定义域上的单调性，根据函数单调性，解出不等式的解集. 【详解】令，则， 因为在上，恒成立，可知在上单调递增， 因为，所以， 当时，即，可得， 因为在上单调递增，所以. 故选：B. 2、 多选题 4．(24-25高二下·江西上进联考·期末)下列函数中恰有2个零点的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由解析式直接判断可得A错误；求导后分析单调性结合零点存在定理依次判断BCD即可； 【详解】对于A，令，得只有1个零点，故A错误； 对于B，由，故当时，单调递减， 当时，单调递增． 又，，， 所以在区间上各有1个零点，共2个零点，故B正确； 对于C，易知是的1个零点． 当时，令，得． 设，则， 所以当时，，当时，， 所以只有1个零点，故C错误； 对于D，当时，．当时，，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 且，所以有2个零点，故D正确． 故选：BD． 5．(24-25高二下·江西赣州·期末)已知函数，若存在使得，则a的范围可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】若存在使得，即函数的对称轴在即可求解. 【详解】若存在使得，所以函数的对称轴在即可， 由的对称轴为，所以，所以满足是的子区间即可，故AD错误，BC正确， 故选：BC. 6．(24-25高二下·江西宜春中学·期末)函数叫自然指数函数，是一种常见的超越函数，它常与其它函数进行运算产生新的函数.已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数在上单调递减 B．函数既有极大值，也有极小值 C．方程有个不同的实数解 D．在定义域内，恒有 【答案】BCD 【分析】对于A，由题知定义域为，，利用导数与函数单调性间的关系，即可求解；对于B，利用极值的定义，即可求解；对于选项C，利用函数的单调性，得出函数图象，再数形结合，即可求解；对于D，构造函数，利用的图象关于点中心对称，即可求解. 【详解】易知的定义域为，， 对于选项A，由，得到，且，所以减区间为，，故选项A错误， 对于选项B，由，得到或， 当时，，当时，，当，，当时，， 所以的极大值为，极小值为，故选项B正确， 对于选项C，由选项B知，的增区间为，减区间为， 当时，，且时，，当从左边时，， 当从右边时，，且时，，当时，， 图象如图所示，由图知，只有一个零点，且， 令，由，得到，所以，令， 由图知，与有且仅有两个交点，所以选项C正确， 对于选项D，令，易知的图象关于点中心对称， 所以，即，得到，故选项D正确， 故选：BCD. 7．(24-25高二下·江西萍乡·期末)对于三次函数，给出定义：是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学探究发现：任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是其对称中心.若函数，则下列说法正确的是（   ） A．的极小值为 B．有且仅有个零点 C．点是的对称中心 D． 【答案】ACD 【分析】对A：利用导数计算可得函数单调性，即可得极小值；对B：根据极大值、极小值，结合零点的存在性定理可得函数有3个零点；对C：求出方程的实数解，再计算出即可得；对D：根据对称性，可得，再结合倒序相加法计算即可得. 【详解】对A：， 则当时，，当时，， 故在、上单调递增，在上单调递减； 则的极小值为，故A正确； 对B：由，， ，， 故在、及上各有一零点， 即有且仅有个零点，故B错误； 对C：，则， 令，解得，， 故点是的对称中心，故C正确； 对D：由关于点对称， 则， 故 ， 则，故D正确. 故选：ACD. 3、 填空题 8．(24-25高二下·江西赣州·期末)函数，存在实数k，使有5个根，则a的取值范围是__________. 【答案】 【分析】转化为与的图象有5个交点，结合函数的图象可得答案. 【详解】令，， 由得，单调递增，得，单调递增， 得，单调递减， 所以，在有极大值，在有极小值，为，， 其图象如下图， 令，其图象如下图， 由于，且有5个根，即与的图象有5个交点， 即与的图象有3个交点，与的图象有2个交点， 要与的图象有3个交点，如下图，图象左侧部分有两个交点， 图象右侧部分必须，才有第三个交点，即必须包括极小值点， 与的图象有2个交点，如下图，图象右侧部分有一个交点， 左侧部分必须包括对称轴，才有第二个交点， 又因为， 由解得，或， 当时，， 所以要使与的图象有5个交点，结合函数图象可知只需. 故答案为：. 故答案为：. 9．(24-25高二下·江西南昌南昌中学（三经路校区）·期末)已知函数有两个不同的极值点，，若不等式恒成立，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【分析】由是函数的两个不同的极值点可得，进而得到，然后构造函数，求出函数的值域后可得所求范围． 【详解】由题意可知：的定义域为，且． 因为函数有两个不同的极值点，， 则，是方程的两个实数根，且， 可得，解得， 又因为 ， 构建，则， 可知在上单调递增，则， 若不等式 恒成立，则， 所以实数的取值范围是． 故答案为：． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 函数导数基本性质和运用 高频考点概览 考点01函数的概念 考点02函数的基本性质 考点03 导数的运算法则和几何意义 考点04 导数在函数中的基本运用 考点05 利用导数研究函数的零点和不等式恒成立问题 一、单选题 考点01 函数的概念 1．(24-25高二下·江西南昌第二中学·期末)已知函数的定义域为，，则 （   ） A．1 B． C． D． 2．(24-25高二下·江西宜春中学·期末)已知函数的定义域为，且满足，则（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二下·江西宜春中学·期末)已知定义在上的偶函数满足，若，则（    ） A． B．1 C． D．2 2、 填空题 4．(24-25高二下·江西九江第一中学·期末)______． 5．(24-25高二下·江西萍乡·期末)已知函数的定义域是，则函数的定义域为__________. 6．(24-25高二下·江西九师联盟·期末)若函数的定义域为，则实数的取值范围是_____. 考点02 函数的基本性质 一、单选题 1．(24-25高二下·江西南昌江西师范大学附属中学·期末)已知定义域为的奇函数，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．不能确定 2．(24-25高二下·江西南昌江西师范大学附属中学·期末)已知函数的值域为R，则实数的取值范围是( ) A． B． C． D． 3．(24-25高二下·江西上进联考·期末)已知函数的最小值为，则的值域为（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高二下·江西南昌南昌中学（三经路校区）·期末)已知函数是定义在R上的增函数，且，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．(24-25高二下·江西九江第一中学·期末)已知函数，若存在实数，使得成立，则实数t的最小值是（    ） A． B．2π C．-1 D．1 6．(24-25高二下·江西上饶·期末)已知函数，且，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．(24-25高二下·江西宜春中学·期末)若定义在上的奇函数，对，且有，且，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．(24-25高二下·江西南昌南昌中学（三经路校区）·期末)已知定义在上的函数在上单调递减，且对任意的，总有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．(24-25高二下·江西南昌南昌中学（三经路校区）·期末)已知是定义在上且不恒为的连续函数，若，，则（   ） A． B．为奇函数 C．的周期为 D．的值域为 10．(24-25高二下·江西南昌江西师范大学附属中学·期末)已知函数为定义在上的奇函数，是偶函数，且当时，，则 A．-3 B．-2 C．-1 D．0 11．(24-25高二下·江西南昌江西师范大学附属中学·期末)已知定义在R上的函数满足：，且时，，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 12．(24-25高二下·江西九师联盟·期末)已知奇函数的定义域为，当且，时，恒成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 13．(24-25高二下·江西九江第一中学·期末)已知函数，若，则（    ） A． B． C． D．以上都不对 二、多选题 14．(24-25高二下·江西南昌江西师范大学附属中学·期末)下列函数中，是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 15．(24-25高二下·江西九江第一中学·期末)已知函数满足：对任意，且当时，.下列说法正确的是（    ） A． B．为偶函数 C．当时， D．在上单调递减 16．(24-25高二下·江西九师联盟·期末)已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，当时，，，则（   ） A．函数的一个周期为4 B．函数是偶函数 C． D．不存在，使得在上单调递增 三、填空题 17．(24-25高二下·江西九江第一中学·期末)已知奇函数满足，当时，，则______． 18．(24-25高二下·江西南昌南昌中学（三经路校区）·期末)已知的定义域为R，且，当时，，则_________． 19．(24-25高二下·江西南昌江西师范大学附属中学·期末)函数的单调增区间是__________ 20．(24-25高二下·江西宜春丰城第九中学·期末)若函数的减区间为，则的值为______. 考点03 导数的运算法则和几何意义 一、单选题 1．(24-25高二下·江西定南中学·期末)设函数满足，则（   ） A． B．3 C． D． 2．(24-25高二下·江西九师联盟·期末)若函数，则（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高二下·江西萍乡·期末)已知函数，则（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高二下·江西萍乡·期末)设函数，则（   ） A．8 B．4 C．2 D．0 5．(24-25高二下·江西定南中学·期末)已知函数，则（    ） A．2 B．1 C． D． 6．(24-25高二下·江西部分校·)已知函数，则（   ） A． B．1 C．0 D．2 7．(24-25高二下·江西上进联考·期末)已知函数，若，则（    ） A．－1 B．－2 C．1 D．2 8．(24-25高二下·江西南昌南昌中学（三经路校区）·期末)曲线在处的切线方程为（　　） A． B． C． D． 二、多选题 9．(24-25高二下·江西定南中学·期末)下列求导不正确的是（    ） A． B． C． D． 3、 填空题 10．(24-25高二下·江西定南中学·期末)设曲线在处的切线方程为__________. 考点04 导数在函数中的基本运用 一、单选题 1．(24-25高二下·江西上饶·期末)已知函数没有极值，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高二下·江西赣州·期末)已知的导函数的图象如图所示，下列说法正确的是（    ）    A．的增区间是和 B．有4个极值点 C．的减区间是和和 D．极大值点和极小值点的个数相同 3．(24-25高二下·江西部分校·)若是定义在区间上的函数，其图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高二下·江西南昌南昌中学（三经路校区）·期末)若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．(24-25高二下·江西吉安·期末)函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 6．(24-25高二下·江西九师联盟·期末)已知函数在上恰有一个极值点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．(24-25高二下·江西抚州·)若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．(24-25高二下·江西定南中学·期末)已知函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．(24-25高二下·江西南昌江西师范大学附属中学·期末)设函数，若存在实数，使得，则的最小值为（    ） A． B．2 C．1 D． 10．(24-25高二下·江西新余·期末)已知分别为定义在上的函数和的导函数，且，，若是奇函数，则下列结论不正确的是（    ） A．函数的图象关于点对称 B．函数的图象关于直线对称 C． D． 二、多选题 11．(24-25高二下·江西抚州·)定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ）    A．函数在上单调递减 B．函数的单调递减区间为 C．函数在处取得极大值 D．函数在处取得极大值 12．(24-25高二下·江西赣州·期末)关于函数，以下说法正确的是（    ） A．当时，的增区间为 B．当时，的值域为 C．如果的值域为，则 D．函数的图象关于直线对称 13．(24-25高二下·江西定南中学·期末)已知定义在R上的函数满足，为的导函数，且对于任意的，都有，则（   ） A． B． C．， D．， 14．(24-25高二下·江西上饶·期末)设函数，则下列结论正确的是（） A．为偶函数 B．在区间上为增函数 C．的值域为 D．不等式的解集为 15．(24-25高二下·江西吉安·期末)已知函数，则（    ） A．的极小值为 B．有三个零点 C．图象的对称中心为 D．过点只能作曲线的一条切线 16．(24-25高二下·江西宜春丰城第九中学·期末)已知函数，则（    ） A．当时，函数在上单调递增 B．当时，函数有两个极值 C．过点且与曲线相切的直线有且仅有一条 D．当时，直线与曲线有三个交点，，则 3、 填空题 17．(24-25高二下·江西定南中学·期末)函数的极大值为______． 18．(24-25高二下·江西宜春中学·期末)已知函数恰有2个极值点，则实数a的取值范围为________. 19．(24-25高二下·江西新余·期末)已知函数满足：①，；②，．若是方程的实根，则___________． 考点05 利用导数研究函数的零点和不等式恒成立问题 一、单选题 1．(24-25高二下·江西新余·期末)已知函数，若有三个零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二下·江西吉安·期末)已知函数，若时，恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二下·江西萍乡·期末)已知函数定义域为，为其导函数，若恒成立，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2、 多选题 4．(24-25高二下·江西上进联考·期末)下列函数中恰有2个零点的函数是（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高二下·江西赣州·期末)已知函数，若存在使得，则a的范围可以是（    ） A． B． C． D． 6．(24-25高二下·江西宜春中学·期末)函数叫自然指数函数，是一种常见的超越函数，它常与其它函数进行运算产生新的函数.已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数在上单调递减 B．函数既有极大值，也有极小值 C．方程有个不同的实数解 D．在定义域内，恒有 7．(24-25高二下·江西萍乡·期末)对于三次函数，给出定义：是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学探究发现：任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是其对称中心.若函数，则下列说法正确的是（   ） A．的极小值为 B．有且仅有个零点 C．点是的对称中心 D． 3、 填空题 8．(24-25高二下·江西赣州·期末)函数，存在实数k，使有5个根，则a的取值范围是__________. 9．(24-25高二下·江西南昌南昌中学（三经路校区）·期末)已知函数有两个不同的极值点，，若不等式恒成立，则实数的取值范围是_________． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $