江西省九江第一中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

九江一中 2024—2025 学年下学期期末考试 高二数学试卷 本试卷共 4 页，22 小题，满分 150 分，考试时间 120 分钟. 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名等项内容填写在答题卡上. 2.第 I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净 后，再选涂其他答案标号，第 II 卷用黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效. 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知全集  0,1,2,3,4I  ，集合    0,1,2 , 0,2,3M N  ，则  IM N  ð （ ） A． 1 B． 2,3 C． 0,1,2 D． 2．下列四个条件中，使 a b 成立的充要条件是（ ） A． a b B． 1 1 3 3a b C． 1 1 b a  D． 3 3log loga b 3．命题“ R, 0x x x    ”的否定是（ ） A． R, 0x x x    B． R, 0x x x    C． R, 0x x x    D． R, 0x x x    4．已知 nS 为等比数列 na 前 n项和，若 4 3 26 9a a a  ，则 4 1 2 S a a   （ ） A．10 B．9 C．6 D．4 5．已知各项为正的等差数列 na 的前 n项和为 nS ，且 153 7 11 15 5 Sa a a    ，则 7 8a a 为（ ） A．5 B．4 C．3 D． 5 2 6．设0 1m  ，若 2 1 4 8 1 k k m m     恒成立，则 k的最小值为（ ） A．9 B．8 C． 1 D． 2 7．已知函数   cos sinf x x x x  ，若存在实数  0,2πx ，使得  f x t 成立，则实数 t的最小值是（ ） A． π B． 2π C． 1 D．1 8．已知函数   lnxf x x  ，若  0 1.5,2x  ，则（ ） A．    0 05f x f x  B．    0 05f x f x  C．      0 05 4f x f x f   D．以上都不对 二、多选题：本小题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的 得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9．已知 0, 1x y xy   ，则（ ） A． x y y x B． 1 1x y x y    C． 2 2 1 1 2 x y   D．e e 9x y  10.已知数列 na 的前 n项和为 nS ，且 3 2cos nan  ， 2nbn  ， nnn bac  ，则下列选项正确的是（ ） A． 15 0S  B． 10 1 1 1 9 10n n nb b    C．若 3 2 3 1 3n n n np c c c    ，则 np 为等差数列 D． 30 1 470n n c   11．已知函数  f x 满足：对任意      , ,x y xf y yf x f xy  R ，且当0 1x  时，   0f x  .下列说法正确的是（ ） A．    0 1 0f f  B．  f x 为偶函数 C．当 1x  时，   0xf x  D．  f x 在  1, 上单调递减 三、填空题：本小题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。把答案填在答题卡中的横线处。 12. 2 2log 4 2  . 13．已知数列 na 满足 1 18, n na a a n   （ *n N ），则 n a n 取最小值时 14．已知奇函数 )(xf 满足 )()2( xfxf  ，当  1,0x 时， axf x  4)( ，则 )5.101(f 四、解答题：本小题共 5 小题，共 77 分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知等差数列 na 的前 n项和为 nS ，且 1=2a ， 6510 S . （1）求数列 na 的通项公式； （2）求数列        1 1 nn aa 的前 n项和为 nT 16. 已知函数 beaxxf x  )()( . (1)直线 12  xy 在 0x 处与函数  f x 相切，求实数 ba, 的值； (2)若  f x 在  0, 4 上单调，求实数 a的取值范围. 17．如图，在三棱柱 1 1 1ABC ABC 中，平面 1 1ABB A 平面 ABC， 1AB  ， 1 2BC CC  ， 1 5A B  ． (1)求证： 1BB 平面 ABC； (2)若 AB BC ，D为 BA1 的中点，求 DC1 与面 BCA1 所成角的正弦值． 18．已知函数 2( ) ( 2) ln , Rf x ax a x x a     . (1)讨论函数 ( )f x 的单调性； (2)若 ( )f x 有两个零点，求实数 a的取值范围； (3)若函数  axxaxxfeex x  2)()(g 22 ，证明： 1)(g x 。 19．如图，在直角坐标系 xOy中，已知 F是拋物线 2: 2 ( 0)x py p   的焦点，过点 F 的直线交抛物线于A ， B两 点，且满足 4A Bx x   . (1)求 p的值； (2)已知点 (0,3)T ，直线 AT ，BT 与拋物线的另一个交点分别为C，D，直线CD交 y轴于点 P，交直线 AB于点 N . 抛物线在C，D处的切线交于点K，过点 P作平行于 x轴的直线，分别交直线 KD，KC于点 E，G . （i）求证：点 P为定点； （ii）记 ENK△ ， GNK 的面积分别为 1S ， 2S ，是否存在实数使得 1 2= PNKS S S  成立，若存在，则求出，若 不在，则说明理由. 答案： 单选题：ABDA ACAB 8：求导得   2 1 lnxf x x   ， 当  0,ex 时，   2 1 ln 0xf x x    ，所以   lnxf x x  在区间  0,e 上单调递增， 当  e,+x  时，   2 1 ln 0xf x x    ，所以   lnxf x x  在区间  e,+ 上单调递减， 根据   ln11 0 1 f   ，    ln4 2ln2 ln24 2 4 4 2 f f    ， 当  e,+x  时，   ln 0xf x x   ，可作出图象： 所以当  0 1.5,2x  时，  05 3,3.5x  ， 根据图象可知    0 2f x f ，      05 4 2f x f f   ， 所以恒有    0 05f x f x  ，故 B 正确， 由于  0 0f x  ，    05 4f x f  ，所以      0 05 4f x f x f   ，故 C 错误， 故选：B. 多选题：9. AC 10. ACD 解析：A: 001, 2 1, 2 1 153132331323   Saaaaaa nnnnnn B. 10 10 10 1 1 11 1 1 1 1 1 101 ( 1) 1 11 11n n nn n n n n nb b                 C.       2 5931-n3 2 1-2-n3 2 1- 222332313   nncccP nnnn D. 30 10 1 1 470n n n n c p      11. ACD 解析：因为      , ,x y xf y yf x f xy  R ， 令 0x  ， 0y  ，可得      0 0 0 0 0 0f f f   ， 所以  0 0f  ， 令 1x  ， 1y  ，可得      1 1 1 1 1 1f f f   ， 所以  1 0f  ， 所以    0 1 0f f  ，A 正确； 由      xf y yf x f xy  ， 令 1y   可得，      1xf f x f x    ， 再将      1xf f x f x    中的 x替换为 1 ，可得      1 1 1f f f     ， 所以  1 0f   ， 所以    f x f x   ，所以函数  f x 为奇函数，B 错误； 当 0x  时，将      xf y yf x f xy  中的 y用 1 x 替换， 可得    1 1 1 0xf f x f x x         ，即   3 1xf x x f x        ， 当 1x  时， 10 1 x   ，由已知可得 1 0f x       ， 所以   0xf x  ，   0f x  ， 又函数  f x 为奇函数，所以当 1x   时，   0f x  ，   0xf x  ， 所以当 1x  时，   0xf x  ，C 正确； 因为      xf y yf x f xy  ， 所以若 0xy  ，则      f y f x f xy y x xy   ， 任取  1 2, 1,x x   ，且 1 2x x ， 则           2 2 1 2 1 1 11 1 1 2 1 2 22 1 1 1 2 1 1 1 1 x xf x f f x f x f x f xx x x xf x fx xx x x x x xx x x                        ， 因为 2 1 0x x  ，所以 2 1 1x x  ， 1 2 0 1x x   ， 所以    2 1 2 1 0 f x f x x x   ，所以    2 1 2 1 f x f x x x  ， 所以函数  f x x 在  1,  上单调递减， 设  f x y x x   ， 当 1x  时，     ' f x f x y x x x          ， 因为   0f x  ，所以   0f x x  ， 因为函数  f x x 在  1,  上单调递减，所以   0f x x        ， 所以 0y  ， 所以  f x 在  1,  上单调递减. 故选：ACD. 填空题：12： 3 5 13. 4 14. 1 解答题： 15:   )1(21 1 2 1(2)T 1 .1 n     n n n nan 16： 15 (2) 0b -1 1   aa a 或 ）（ 17； 105 105 42 1 ）（ ）略（ 18:解析：函数  f x 的定义域为  0,  ，       1 2 112 2 ax xf x ax a x x        ①当 0a  时，   0f x  ，函数  f x 在  0,  单调递减，此时  f x 最多一个零点，舍去； ②当 0a  时，令   0f x  ，解得 1x a  ， 当 10,x a      时，   0f x  ，函数  f x 单调递减； 当 1 ,x a       时，   0f x  ，函数  f x 单调递增. 由（1）知，当 1x a  时，  f x 取得最小值，最小值为 1 11 lnf a a a         . 因为当 x时，  f x  ； 0x  时，  f x  所以要函数  f x 有两个零点，当且仅当 1 0f a       . 设   1ln 1h a a a    ，知函数  h a 在  0,  单调递增. 因为  1 0h  ，则   0h a  的解集为  0,1a . 综上所述， a的取值范围是  0,1 . （3） x eexgxeexg xx 2 2 )(ln)(  ，所以 )(xg 在  ,0 则存在 0x 使得 0)( 0 xg ，则 )(xg 在   ,(,),0 00 xx 0 2 ln0 xee x  ，又因为 )2, 2 3(0)2(,0) 2 3( 0  xgg 1 6 e 2 3 2 2 32ln)()( 2 222 0 2 0 2 0 2 0min 0         eeexe x exeexgxg x 19.（1）由题意，直线 AB斜率必存在， 设 : 2 pAB y kx  ，  1 1,A x y ，  2 2,B x y ， 联立 2 2 2 py kx x py       得 2 22 0x pkx p   ，  2 2Δ 4 1 0p k   . 所以 1 2 2x x pk  ， 21 2x x p  . 解得 2p  或 2p   （舍）.所以 2p  . （2）（i）直线 AC斜率必存在，设 1: 3AC y k x  ，  3 3,C x y ，  4 4,D x y ， 联立 2 1 4 3 x y y k x      得 2 14 12 0x k x   ，所以 1 3 12x x   . 同理 2 4 12x x   .又因为 1 2 4x x   ，所以 3 4 36x x   . 直线CD斜率必存在，设 2:CD y k x m  ， 联立 2 2 4x y y k x m      得 2 24 4 0x k x m   ，所以 3 4 4 36x x m    . 解得 9m  ，所以直线CD过定点  0,9 .即 P的坐标为  0,9 . （ii）由 3 4 3 4 3 4 4 CD y y x xk x x      ，且 1 3 2 4 12x x x x   ， 1 2 4x x   ， 得  3 4 1 2 1 2 1 12 12 3 3 4 4 4CD x xk x x k x x             . 所以直线CD的方程为 3 9y kx  .由直线CD与直线 AB相交，可得 0k  . 联立 3 9 1 y kx y kx      解得 4 , 3N k       . 因为抛物线方程为 2 4 x y  ，所以 2 xy   . 抛物线在点C处切线方程为   23 33 3 3 1 2 2 4 x xy x x y x x     . 所以 3 3 18 ,9 2 xE x       .同理 4 4 18 ,9 2 xG x       . 又  3 43 3 44 3 4 3 4 1818 18 0 2 2 2 x xx x xx x x x x         ，所以 EG的中点为 P . 联立 23 3 24 4 1 2 4 1 2 4 xy x x xy x x         得 3 4 3 4, 2 4 x x x xK      ， 由  3 4 1 23x x x x   及 3 4 36x x   ，所以  6 , 9K k  . 过 N作平行于 x轴的直线交 PK于点 H ，则  4 , 3H k  . 所以 1 2 2 PNKS S S   2