专题03 一元二次方程（期末复习课件）八年级数学下学期鲁教版五四制

这是一份初中数学期末复习课件，针对青教版五四制八年级下学期（九年级）一元二次方程专题，包含考期中考情分析、必备知识梳理、重难点题型突破及分层验收，为学生提供知识支架与系统解题训练。 资料以核心素养为导向，通过概念辨析、多种解法（开平方法、配方法等）及实际应用（增长率、几何面积问题）培养数学眼光、思维与语言，典例结合变式训练提升解题能力，分层验收满足不同学情。助力学生巩固知识应对升学，为教师提供系统复习资源，九年级学生需重点关注升学考试中的一元二次方程应用与综合题型。

专题03 一元二次方程 八年级数学下学期 期末复习大串讲 鲁教版五四制 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 明•期末考情 第一部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 核心考点 复习目标 考情规律 一元二次方程的概念与一般形式 理解一元二次方程的核心概念，能准确判断给定方程是否为一元二次方程，熟练将方程化为一般形式 ，并正确识别二次项系数、一次项系数和常数项。 高频考点，命题多考查判断方程是否为一元二次方程、确定一般形式中的系数、根据根的情况确定参数取值范围。 一元二次方程的解法 全面掌握四种求解方法，能根据方程特征灵活选择最优解法：熟练运用直接开平方法求解特殊形式方程；精准掌握配方法的完整步骤，能解决含分数系数的配方问题；牢记求根公式 ，并能规范代入计算；熟练运用因式分解法求解可分解的一元二次方程，理解“降次”的核心思想。 核心必考点，命题重点考查解法的灵活选择，其中因式分解法、配方法、公式法均有涉及。 根的判别式与韦达定理 掌握根的判别式与根的关系，能通过计算判别式判断方程根的情况；理解一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），解决根的求和、求积及参数求解问题。 高频核心考点，判别式常考查判断根的情况、根据根的情况求参数；韦达定理多考查已知两根求代数式值、已知一根求另一根及参数。 一元二次方程实际应用 能将实际问题抽象为一元二次方程模型，熟练解决四类典型应用题：增长率/降低率问题、矩形等图形的面积问题、商品利润问题、数字问题，求解后能结合实际情境检验解的合理性。 中频考点，命题聚焦增长率/降低率、面积、利润三大典型模型，题干贴近生活，难度中等。 记•必备知识 第二部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 一元二次方程的概念 知识点01 一元二次方程的定义： 只含有1个未知数且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 一元二次方程的一般形式： 二次项 一次项 常数项 其中a是二次项系数，b一次项系，c是常数项。 定义解析： 判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面： “化简后”； “一个未知数”； “未知数的最高次数是2”； “二次项的系数不等于0”； “整式方程”． 要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 解一元二次方程 知识点02 1.开平方法 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． ①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 注意 如果方程化成x2＝p的形式， 那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 解一元二次方程 知识点02 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 2.配方法 （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 解一元二次方程 知识点02 3.配方法的应用 （1）用配方法解一元二次方程． 配方法的理论依据是：公式a2±2ab+b2＝（a±b）2 配方法的关键是： 先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方． （2）利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值． 关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方． （3）配方法的综合应用． 解一元二次方程 知识点02 4.公式法 用公式法解一元二次方程的前提条件有两个： ①a≠0； ②b2﹣4ac≥0． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． （1）一元二次方程ax²+bx+c=0 (a ≠ 0）求根公式 （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． 注意 解一元二次方程 知识点02 5.因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零； ②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积； ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 解一元二次方程 知识点02 6.换元法 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 换元的实质是转化 关键是构造元和设元 理论依据是等量代换 目的是变换研究对象， 将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理 一元二次方程的判别式 知识点03 1.一元二次方程根的判别式： 我们把 叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示，记作． ①时，一元二次方程有两个不相等的实数根。 即；。 ②时，一元二次方程有两个相等的实数根。 即。 ③时，一元二次方程没有实数根。 2.一元二次方程 ， 一元二次方程根与系数的关系 知识点04 1.一元二次方程一元二次方程ax²+bx+c=0 (a ≠ 0）根与系数的关系： 如果 是一元二次方程 的两个根,由解方程中的公式法: ,。 由此可求出：① ；② 。 韦达定理 一元二次方程的应用 知识点05 1.列方程解实际问题的三个重要环节： 　　一是整体地、系统地审题； 　　二是把握问题中的等量关系； 　　三是正确求解方程并检验解的合理性. 2.解决应用题的一般步骤： 　　　审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 　　　设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 　　　列 (根据题目中的等量关系，列出方程)； 　　　解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）； 　　　答 (写出答案，切忌答非所问). 关键是寻找等量关系. 一元二次方程的应用 知识点05 （1）增长率问题 增长率：增加量占起始量的百分比，若起始量为q，终极量为p，增长率为x，则增长一次后：p=q(1+x)。 连续增长率公式： 连续增长两次公式为：p=q(1+x)² 若x>0，表示增长； 若x<0，表示降低， 此时公式变为p=q(1−x)²， 常用于计算降低率问题。  4.常见应用题型 （2）利润问题 总利润=单件利润×总件数； 总利润＝总售价－总成本价． 根据公式想办法将降价后的利润以及降价后能售出的件数表示出来即可． （3）几何面积问题 对于面积问题首先判断要求面积的图形的形状，再根据公式将要求出的量用x表示出来．例如要求的某个长方形面积，就必须先把长和宽表示出来． 一元二次方程的应用 知识点05 握手问题： 与单循环赛原理相同， 若有x人参加聚会，每两人都握一次手， 所有人共握手10次，可列方程： （4）握手、循环赛问题 1 支球队要和剩下的(n−1)支球队比赛， ∴n支球队比赛的总场次为n(n−1)场， 但A与B比赛和B与A比赛是同一场， 存在重复计算，因此实际比赛场次： m= 单循环赛：若有n支球队进行单循环比赛，即每两队之间都赛一场。 双循环赛：若每两队之间都赛两场， 比如有主客场之分， 那么比赛场次就是单循环赛的2倍， 即：m=n(n−1)。 互赠礼品问题：与比赛问题中的双循环原理相同， 若x人相互之间各赠送一件礼品，因为甲给乙送和乙给甲送是不同的两件礼品，所以总共赠送的礼品数为x(x−1)件。 如全组共互赠了182件礼品，可列方程： x(x−1)=182。 16 一元二次方程的应用 知识点05 （5）动态几何问题 矩形中的动态问题： 通常以矩形的长和宽为基础，动点在矩形的边或内部运动，可根据矩形的性质，如四个角为直角、对边相等，结合三角形面积公式等建立方程，如求何时三角形面积为定值 三角形中的动态问题： 例如在直角三角形中，动点从顶点出发沿直角边运动，根据三角形面积公式，利用动点运动速度和时间表示出相关线段长度，进而根据面积条件列出一元二次方程求解，如已知直角边长度和动点速度，求何时三角形面积为特定值。 破•重难题型 第三部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 一元二次方程的概念与一般形式 题型一 【典例1】（25-26九年级上·西藏拉萨·期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 解： 选项A：是整式方程，只含未知数x，且最高次数为2，故是一元二次方程． 选项B：含分式项，是分式方程，不是整式方程． 选项C：，展开得，简化后为，是一元一次方程． 选项D：是一元一次方程． A 一元二次方程的概念与一般形式 题型一 【变式1-1】（24-25九年级上·江西赣州·期末）将一元二次方程化成一般形式正确的是（   ） A． B． C． D． 解：， ， ， ∴将一元二次方程化成一般形式为， 一元二次方程的概念与一般形式 题型一 【变式1-2】（24-25九年级上·湖北孝感·期末）一元二次方程的一次项系数和常数项分别是（   ） A．和1 B．2和 C．和 D．和1 解：， ∴ 移项得， ∴ 一次项系数为，常数项为， A 一元二次方程的概念与一般形式 题型一 【变式1-3】（25-26九年级上·山东·期末）已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值为 ． 解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴x的最高次数为2，即， 解得或． 又∵二次项系数，即， ∴． 解一元二次方程 题型二 【典例2-1】（25-26九年级上·全国·期末）解方程：． 解：移项：， 系数化为1：， 两边开平方：， 移项：， ∴，． 【典例2-2】（24-25九年级上·甘肃天水·期末）解方程：． 解：， 配方，得， 即， ∴， ∴，． 解一元二次方程 题型二 【典例2-3】（24-25九年级上·甘肃临夏·期末）解方程：． 解：方程中，，，， ∵ ， ∴， ∴，． 解一元二次方程 题型二 【典例2-4】（24-25九年级上·广东肇庆·期末）解方程：． 解： 或 解得，． 解一元二次方程 题型二 【变式2-1】（24-25九年级上·四川泸州·期末） 解方程： 解：， ， ， ， 则， 所以 【变式2-2】（24-25九年级上·广东江门·期末）解方程： 解： 移项得， 配方得， 即， 开方得， 解得，． 解一元二次方程 题型二 【变式2-3】（24-25九年级上·北京海淀·期末）解方程：． 解：，，， ， ， ∴ ，． 解一元二次方程 题型二 【变式2-4】（25-26九年级上·全国·期末）解方程：． 解法：去分母，得 化简，得 ， 整理，得 解得 经检验，，是原方程的解． ∴原方程的解为，． 解一元二次方程 题型二 【变式2-4】（25-26九年级上·全国·期末）解方程：． 解法：令，则原方程可化为 ， 解得，． 当时，，解得； 当时，，解得． 经检验，和是原方程的解． ∴原方程的解为，． 换元法 解一元二次方程 题型二 【变式2-5】（24-25九年级上·河南周口·期末） （1）解方程：； （2）若，求的值． 解：（1）， ， ， ，或， ，； （2）设， 则有， ， 即或， ，， 的值为1或． 解一元二次方程 题型二 【变式2-6】（23-24九年级上·四川达州·期末）阅读材料： 为解方程，我们可以将视为一个整体，设，则原方程可化为，① 解得，． 当时，，∴即． 当时，，∴即． ∴原方程的解为，，，． 根据以上材料，解答下列问题． (1)填空：在原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了 的数学思想． (2)解方程 转 化 （1）解：在原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． 解一元二次方程 题型二 【变式2-6】（23-24九年级上·四川达州·期末）阅读材料： 为解方程，我们可以将视为一个整体，设，则原方程可化为，① 根据以上材料，解答下列问题． (1)填空：在原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了 的数学思想． (2)解方程 转 化 （2）设，则原方程可化为， 解得，（不合题意，舍去）， 由可得：，， 故方程的解是：，． 根的判别式及其应用 题型三 【典例3-1】（24-25九年级上·河南南阳·期末） 关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 解：∵原方程为， ∴化为标准形式：， 其中，，， ∴判别式： ， ∵，∴方程有两个相等的实数根； B 根的判别式及其应用 题型三 【典例3-2】（24-25九年级上·甘肃临夏·期末） 若关于的方程有两个实数根，求的取值范围． 解：方程有两个实数根 判别式，即： ． ． ． ． ∴的取值范围是． 根的判别式及其应用 题型三 【典例3-3】（24-25九年级上·湖北孝感·期末）已知关于x的一元二次方程．求证：无论m为何值，方程都有两个不相等的实数根． 证明： ，，， ， 无论m为何值，原方程都有两个不相等的实数根． 根的判别式及其应用 题型三 【变式3-1】（25-26九年级上·全国·期末）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖线，记成，并规定，例如，则的根的情况为（    ） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 解：根据规定得， 整理得， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根． C 根的判别式及其应用 题型三 【变式3-2】（24-25九年级上·云南红河·期末）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值可以是（   ） A．0 B． C． D． 解：∵ 方程有两个相等的实数根， ∴ Δ = = = 0， ∴ ， ∴ ， 故 的值可以是 ， C 根的判别式及其应用 题型三 【变式3-3】（24-25九年级上·甘肃武威·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，求实数k的取值范围． 解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：． 一元二次方程根与系数的关系 题型四 【典例4-1】（25-26九年级上·广东汕头·期末） 若，是方程的两根，则的值是（ ） A．18 B．9 C．6 D．0 解：∵ 方程 可化为 ， ∴ ，， ∴ ． D 一元二次方程根与系数的关系 题型四 【典例4-2】（24-25九年级上·新疆阿克苏·期末）设是一元二次方程的两个根，则 ． 解：∵ , 是一元二次方程 的两个根， ∴ ，且 ， ∴ ， ∴. 2025 一元二次方程根与系数的关系 题型四 【典例4-3】（25-26九年级上·全国·期末） 已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为 ，，求，的值． 解：在方程 中， ，，． 根据题意，可知 ， ． 解得 ：，． 一元二次方程根与系数的关系 题型四 【变式4-1】（25-26九年级上·内蒙古通辽·期末） 已知，是一元二次方程的两个根，求的值． 解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴ ， ∴ 一元二次方程根与系数的关系 题型四 【变式4-2】（25-26九年级上·全国·期末）若关于的一元二次方程有两个实数根互为相反数，求的值． 解：设方程的两个根分别为，，在方程中， ，，， ， 方程的两个根互为相反数， ，即， 解得：． 当时，方程为，此时一元二次方程无实数根，故舍去； 当时，方程为，解得，． 综上，的值为． 一元二次方程根与系数的关系 题型四 【变式4-3】（25-26九年级上·全国·期末） 已知关于的方程有实数根．(1)求的取值范围；(2)若该方程有两个实数根，分别为和，当时，求的值． 解：（1）当时，原方程为， 解得：， ∴符合题意； 当时，原方程为一元二次方程， ∵该一元二次方程有实数根， ∴，解得， 综上所述，的取值范围为； 一元二次方程根与系数的关系 题型四 【变式4-3】（25-26九年级上·全国·期末） 已知关于的方程有实数根．(1)求的取值范围；(2)若该方程有两个实数根，分别为和，当时，求的值． （2）解：∵和是方程有两个根， ∴，， ∵， 即， ∴， 解得，满足， 经检验，是分式方程的解，且符合题意． ∴的值为． 一元二次方程的应用 题型五 【典例5-1】（24-25九年级上·四川绵阳·期末）已知一架飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度v（单位：）与滑行时间t（单位：）之间满足一次函数关系．而滑行距离，，其中是初始速度，是t秒时的速度，当飞机在跑道起点处着陆后滑行了，则此时飞机的滑行速度（    ）． A．10 B．20 C．30 D．10或30 解：∵， ∴，， ， ∴， ∴， 当时，， 整理得：， 解得：（舍去）， 此时， 即此时飞机的滑行速度． C 一元二次方程的应用 题型五 【典例5-2】（24-25九年级上·湖南怀化·期末）已知一个两位数，十位上的数字是个位上的数字的倍，十位上的数字的平方与个位上的数字的倍之和正好是这个两位数，则这个两位数是 ． 解：设这个两位数个位上的数字为，则十位上的数字为， 这个两位数为， 十位上的数字的平方与个位上的数字的9倍之和正好是这个两位数， ， 解得：或（舍去）， ． 一元二次方程的应用 题型五 【典例5-3】（25-26九年级上·全国·期末）果农张大爷原计划以每千克4元的价格销售某种水果，由于部分果农盲目扩大种植，造成该水果滞销，张大爷为了加快销售，减少损失，经过两次下调价格后，以每千克元的价格销售．求平均每次下调价格的百分率． 解：设平均每次下调价格的百分率是x，由题意得： ， 解得，， 因为降价的百分率不可能大于1， 所以不符合题意，舍去； 答：平均每次下调价格的百分率是． 一元二次方程的应用 题型五 【典例5-4】（24-25九年级上·云南红河·期末）实施乡村振兴战略是中国共产党的重大决策部署，是新时代做好“三农”工作的总抓手．农业大学毕业的小宇积极响应号召回乡发展，他不仅是一个蔬菜种植能手，还是一个喜爱动脑筋的创意设计者．下面是他设计的一个矩形蔬菜仓库，如图，仓库的一边靠墙，这堵墙的长为18米，在与墙平行的一边，要开一扇2米宽的门，用33米长的木板材料，怎样围成一个面积为150平方米的长方形仓库？ 解：设长方形的长为米， 则每个长用的木板材料为米， 每个宽用的木板材料为： 米， ∴ ， 解得，， 当时，，不符合题意，舍去， ∴， ∴长方形的长为15米，宽为10米． 一元二次方程的应用 题型五 【典例5-5】（25-26九年级上·甘肃武威·期末）如图，在中，，，点点同时由、两点出发分别在线段线段上向点匀速移动，它们的速度都是，几秒后，的面积为面积的？ 解：设秒后，， 此时，，； 由题意得， 即， 解得，， 米， ， 不合题意，舍去， 即． 答：2秒后，的面积为面积的？ 一元二次方程的应用 题型五 【变式5-1】（25-26九年级上·山东青岛·期末）某校九年级举行篮球赛，比赛采用单循环赛制（每两队之间都赛一场），共进行了场比赛，设这次有个队参加 比赛，则列方程为 ． 解：设有x个队参加比赛，每个队需要与其他个队各赛一场， 但每场比赛涉及两个队，因此总比赛场数为， 根据题意，总场数为45， ∴ 列方程为． 单循环赛 一元二次方程的应用 题型五 【变式5-2】（25-26九年级上·全国·期末）某电厂规定，该厂家属区每户居民如果一个月的用电量不超过a度，那么这居民这个月只需缴30元电费；如果超过a度，那么这个月除了仍要缴30元的用电费以外，超过的部分还要每度按元缴费． (1)若该厂某户居民2月份用电度，超过了规定的a度，则超过的部分应缴电费多少元（用a表示）； (2)如表是这户居民3月、4月用电情况和缴费情况： 月份 用电量（度） 缴电费总数（元） 3 120 62 4 65 30 解：（1）由题意可知，超过a度的电费为： 元； 2）由表格可知3月份的用电量超过a度， 故：， 整理得：， 解得：， ∵4月份用电量度，交费元， ∴，∴不符合题意，舍去， ∴， 答：电厂规定的a的值为． 一元二次方程的应用 题型五 【变式5-3】（25-26九年级上·山东青岛·期末）已知甲商品的进价为每件元，商场确定其售价为每件元． (1)现需进行降价促销活动，预备从原来的每件元进行两次调价，已知该商品的现价为每件元，若该商品两次调价的降价率相同，求这个降价率； (2)经调查，该商品每降价元，即可多销售件，已知当甲商品的售价为每件元时，每月可销售件，若该商场希望该商品每月能盈利元，且尽可能增加销售量，则该商品在原售价的基础上应如何调整？ （2）解：设降价元， 则多销售：件， 根据题意得： 解得：（舍去）或， 答：在原售价的基础上，再降低元． （1）解：设这种商品平均降价率是，依题意得： ， 解得：， 舍去； 答：这个降价率为； 一元二次方程的应用 题型五 【变式5-4】（24-25九年级下·山东青岛·期末）如图所示，有两个体积相同的圆柱形铁块A和B，圆柱A的底面半径为，高为且比圆柱B高．(π取3)  (1)求圆柱B的底面积． (2)一个底面长，宽的长方体水箱里有一些水，将圆柱A和B立放于水箱里，水的深度恰好与圆柱A的高度相同，则水箱中，圆柱A，B放入之前的水面高度是多少厘米? （1）解：设圆柱B的底面半径为， 由题意，得圆柱B的高为， ∵圆柱A与圆柱B的体积相同， ∴， 解得， ∵π取3，∴圆柱B的底面积， 答：圆柱B的底面积是； 一元二次方程的应用 题型五 【变式5-4】（24-25九年级下·山东青岛·期末）如图所示，有两个体积相同的圆柱形铁块A和B，圆柱A的底面半径为，高为且比圆柱B高．(π取3)  (1)求圆柱B的底面积． (2)一个底面长，宽的长方体水箱里有一些水，将圆柱A和B立放于水箱里，水的深度恰好与圆柱A的高度相同，则水箱中，圆柱A，B放入之前的水面高度是多少厘米? （2）两个圆柱放入长方体后，总体积， ∵，∴， ∴水箱中，圆柱放入之前的水体积 ， ∴水箱中，圆柱放入之前的水面高度， 答：水箱中，圆柱放入之前的水面高度是． 过•分层验收 第四部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 期末基础通关练 1．（25-26九年级上·全国·期末）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 解：∵方程是一元二次方程，∴， ∵方程有实数根，由跟的判别式得： ， 解得： 综上，且， C 期末基础通关练 2．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）已知，是方程的两个实数根，则 ． 2028 解：∵是方程的根， ∴， 即． ∴ ． 期末基础通关练 （2）解：原方程可化为： ， ， ， 3．（25-26九年级上·全国·期末）解方程： (1)； (2) （1）解：， ， ， ， ， ，； 期末重难突破练 4．（25-26九年级上·全国·期末）将一元二次方程化成（为常数）的形式，则，的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， B 解：∵ ， 两边除以2：， 移项：， ∴ 配方：， 即 ， ∴ 与 比较，得 ，， 期末重难突破练 5．（23-24九年级上·内蒙古乌海·期末）设m，n分别为一元二次方程的两个实数根，则（    ） A．2019 B．2018 C．2017 D．2016 D 解：∵m，n分别为一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴． 期末重难突破练 6．（25-26九年级上·辽宁抚顺·期末）2026年元旦即将来临，某校九年级班主任为了鼓励本班学生期末努力学习，亲自购买了1600张元旦贺卡，准备在元旦来临的前一天，向每位同学赠送一张贺卡，每位同学也向班里其他每一位同学赠送了一张贺卡，贺卡恰好用完，设班级有名学生，则下列方程成立的是（    ） A． B． C． D． B 解：设班级有名学生，则班主任赠送贺卡数为， 学生互赠贺卡总数为， 根据题意得 期末重难突破练 解：解方程， 可得， ∵是“倍根方程”， ∴当是6 的2倍时， 即有即； 当6是的 2 倍时， 即有； 7．（25-26九年级上·河南安阳·期末）新定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．若是“倍根方程”，则 ． 或 期末重难突破练 （1）解：将这种水果的单价降低x元， 则每天的销售量是： （千克）． （2）解：设这种水果的单价降价x元． 则， 解得，． 8．（25-26九年级上·全国·期末）水果店张阿姨以2元/千克的价格购进某种水果若干，然后以4元/千克的价格出售，每天可售出100千克．通过调查发现，这种水果的单价每降低元，每天可多售出20千克．为保证每天至少售出260千克，张阿姨决定降价销售． (1)若将这种水果的单价降低x元，则每天的销售量是 千克 （用含x的代数式表示）． (2)销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将单价降至多少元？ 当时，每天的销售量为： （千克）； 当时，每天的销售量为： （千克）． 保证每天至少售出260千克， ∴，此时单价为（元）． 答：销售这种水果要想每天盈利300元， 张阿姨需将单价降至3元． 期末综合拓展练 9.（25-26九年级上·全国·期末）对于一个四位自然数M ，满足千位上的数字与个位上的数字之和等于百位上的数字与十位上的数字之和，那么就称这个数为“智慧数”．例如，，因为，所以5241是“智慧数”.则最小的“智慧数”是 ； 若“智慧数”（，，，，且a，b，c，d均为自然数），使关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，且满足，则满足条件的M的最大值为 ． 解：对于一个四位数，当各个数位上的数字最小时，这个四位数最小， 千位上的数字为1，百位上的数字为0， 又千位上的数字与个位上的数字之和等于百位上的数字与十位上的数字之和， 十位上的数字为1，个位上的数字为0，最小的“智慧数”是1010； 1010 期末综合拓展练 9.（25-26九年级上·全国·期末）对于一个四位自然数M ，满足千位上的数字与个位上的数字之和等于百位上的数字与十位上的数字之和，那么就称这个数为“智慧数”．若“智慧数”（，，，，且a，b，c，d均为自然数），使关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，且满足，则满足条件的M的最大值为 ． “智慧数”，根据“智慧数”的定义得：， 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ，， 整理得：，，， 又， ，解得：， “智慧数”为最大，、均为最大， 取最大值6，取最大值9，此时，， 的最大值为：6936． 6936 期末综合拓展练 10．（24-25九年级上·内蒙古包头·期末） （1）解方程：； （2）已知是方程的两个根．①若，求m的值；②若，求m的值． 解：（1）， ， ， 所以． （2）①由题知，方程有两个相同的实数根， ， 解得； ②由根与系数的关系， ， ， ， 即，解得：或， 当时，方程为， ，符合题意； 当时，方程为， ，不符合题意， 故． 期末综合拓展练 11．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，用长为25米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． (1)设花圃的一边长为米，请用含的代数式表示另一边的长为 米； (2)若此时花圃的面积刚好为平方米，求此时花圃的长与宽； (3)建成花圃的面积能为平方米吗？请说明理由． 解：（1）∵长方形花圃的宽长为米， ∴另一边的长为： （米） （2） ∵花圃的面积刚好为平方米， ∴， 化简得：， 解得：，， ∵墙的最大可用长度为米， 当时，， 不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 答：此时花圃的长与宽边分别为米和5米； 期末综合拓展练 11．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，用长为25米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． (1)设花圃的一边长为米，请用含的代数式表示另一边的长为 米； (2)若此时花圃的面积刚好为平方米，求此时花圃的长与宽； (3)建成花圃的面积能为平方米吗？请说明理由． （3）解：建成花圃的面积不可能为平方米，理由如下： 设花圃的一边长为米， 则 ， 根据题意可得：， 整理得：， ∵， ∴方程无解， ∴建成花圃的面积不可能为平方米． 期末综合拓展练 12．（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）阅读下列材料： 解方程， 解：设，则原方程化为， 解得，． 当时，，解得：； 当时，，解得． 原方程的解为：，，，． 以上解一元二次方程的方法叫做换元法，通过换元法达到了降次或者简化方程的目的，这体现了数学中的转化思想． (1)请用上述方法解下列方程：； (2)已知实数，满足，求的值． 期末综合拓展练 12．（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）阅读下列材料： 以上解一元二次方程的方法叫做换元法，通过换元法达到了降次或者简化方程的目的，这体现了数学中的转化思想． (1)请用上述方法解下列方程：； (2)已知实数，满足，求的值． （1）解：设， 则原方程可化为， 分解因式可得：， 解得：，， 当时，可得：， 解得：， 当时，可得：， 解得：， 原方程的解为，； 期末综合拓展练 12．（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）阅读下列材料： 以上解一元二次方程的方法叫做换元法，通过换元法达到了降次或者简化方程的目的，这体现了数学中的转化思想． (1)请用上述方法解下列方程：； (2)已知实数，满足，求的值． （2）解：整理方程得： ， 设，则原方程化为， 整理得：， 分解因式可得：， 解得：，， 当时，， 当时，(不符合题意，舍去)， ． 感谢聆听 每天解决一个小问题，每周攻克 一个薄弱点，量变终会引发质变。 教师寄语 $