专题01 特殊平行四边形（期末复习课件）八年级数学下学期鲁教版五四制

这是一份鲁教版五四制初中数学八年级下学期期末复习课件，围绕特殊平行四边形专题，以“考情分析-知识梳理-题型突破-分层验收”为支架，系统覆盖菱形、矩形、正方形等核心考点及折叠、旋转等综合题型。 资料以核心素养为导向，通过考情规律明确复习目标，结合典例变式训练提升推理运算能力，分层验收题兼顾基础与拓展，助力学生构建知识体系，也为教师提供高效复习教学资源。 八年级下学期学生正处于几何知识整合关键期，需巩固特殊平行四边形性质与判定，提升复杂问题解决能力，本资料能帮助学生系统复习，为后续学习及升学考试夯实基础。

专题01 特殊平行四边形 八年级数学下学期 期末复习大串讲 鲁教版五四制 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 明•期末考情 第一部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 核心考点 复习目标 考情规律 基础性质与判定的直接应用 精准掌握矩形、菱形、正方形的定义，明确三者与平行四边形的从属关系，能清晰梳理“平行四边形→矩形/菱形→正方形”的演变逻辑。能结合性质与判定定理，完成相关证明题 基础考点，重点考查矩形的对角线性质、菱形的边长与对角线关系、正方形的边角特征，以及三类图形的判定条件辨析。 与计算相关的综合问题 能运用特殊平行四边形的性质，求解边长、角度、周长、面积等基础问题。 高频考点，涵盖边长、角度、周长、面积的计算，以及坐标系中坐标的求解。常结合勾股定理、全等三角形、三角形中位线定理等知识。 折叠与旋转相关问题 能解决含特殊平行四边形的综合题，熟练运用数形结合、转化、方程等数学思想，处理与折叠、旋转、动点相关的复杂问题 高频考点，折叠问题侧重折叠前后对应边、对应角相等的性质，结合特殊平行四边形的性质求解线段或角度；旋转问题常以正方形为背景，利用旋转全等解决线段关系问题。 中点四边形问题 掌握三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等相关性质，能将其与特殊平行四边形的知识融合运用。 考查顺次连接特殊平行四边形各边中点得到的四边形形状判断，核心是利用三角形中位线定理，结合原图形对角线的关系推导中点四边形的性质。 多结论综合判断题 能根据边、角、对角线的特征，准确选择判定定理，并理解判定定理的推导依据。 通过图形分析，快速捕捉关键信息，建立图形与性质、判定之间的关联。 难点，通常作为选择题或填空题的压轴题，给出多个关于特殊平行四边形的结论，要求判断正确结论的个数。这类题目综合性强，需要逐一分析每个结论，结合性质、判定及辅助线方法进行推理。 记•必备知识 第二部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 菱形 知识点01 4.菱形的面积公式： S=对角线乘积的一半. 1.菱形的定义： 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2.菱形的性质： 3.菱形的判定： （1）对角线互相垂直的平行四边形是菱形. （2）一组邻边相等的平行四边形是菱形. （3）四条边相等的四边形是菱形. （1）具有平行四边形的所有性质； （2）四条边都相等； （3）两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角. 矩形 知识点02 1.矩形的定义： 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.矩形的性质： （1）矩形具有平行四边形的所有性质； （2）矩形的四个角都是直角； （3）对角线互相平分且相等； 【推论】 （1）在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半. （2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半. 矩形的判定： （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形； （2）对角线相等的平行四边形是矩形； （3）有三个角是直角的四边形是矩形. 正方形 知识点03 1.正方形的定义： 四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 2.正方形的性质： （1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质. （2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等. （3）正方形对边平行且相等. （4）正方形的对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角； （5）正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； （6）正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形. 3.正方形的判定： 1）平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角； 2）矩形+一组邻边相等； 3）矩形+对角线互相垂直； 4）菱形+一个角是直角； 5）菱形+对角线相等. 破•重难题型 第三部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 添一个条件使四边形是菱形 题型一 【典例1-1】（24-25九年级上•宁夏中卫•期末）如图，添加下列条件不能判定平行四边形是菱形的是（ ） A． B．平分 C．， D． 解：∵四边形是平行四边形， ∴ A、当时，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形， 可得 是菱形，故本选项不符合题意； B、当平分 时， ，∵， ∴ ，∴ ， ∴，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形， 可得 是菱形，故本选项不符合题意； C、当，时，不能证明 是菱形，故本选项符合题意； D、当时，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形， 可得 是菱形，故本选项不符合题意； C 添一个条件使四边形是菱形 题型一 【变式1-1】（23-24九年级上•贵州六盘水•期末）如图，要使成为菱形，则需添加的一个条件是（ ） A． B． C． D． 解：对角线垂直的平行四边形为菱形， 邻边相等的平行四边形为菱形． 要使成为菱形， 则需添加的一个条件是：， 其余选项的条件均不能使为菱形，不符合题意； C 利用菱形的性质与判定计算 题型二 【典例2-1】（24-25九年级上•陕西宝鸡•期末）如图，在菱形中，于点，于点，若 ，则的度数为（ ） A． B． C． D． 解： 四边形是菱形， ， ， ， 于点，于点， ， B 利用菱形的性质与判定计算 题型二 【典例2-2】（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，交于点，若，，则的长为 . 解：连接，由作图知： ，，平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，∴， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， ∴， ，， ∴， ∴， 【变式2-1】（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如图，在菱形中，若对角线，，则菱形的面积为（   ） A．10 B．24 C．40 D．48 解：菱形的面积． 利用菱形的性质与判定计算 题型二 B 【变式2-2】（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在中，，分别以C、B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点D，连接、、．若，则 °． 解：根据作图，得到，故四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴，∴， 利用菱形的性质与判定计算 题型二 【变式2-3】（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，四边形是矩形，分别以点A和点C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N；作直线分别交于点E，F，连接，若，则四边形的面积为 ． 解：设与交于点，由作图过程可知， 直线为线段的垂直平分线， ，，，． 四边形为矩形，， ，， ， ， ， 四边形为菱形， ，， 在中，，， ，， ，， 四边形的面积为： ． 利用菱形的性质证明 题型三 【典例3】（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，在菱形中，E、F分别是和的中点，连接、．求证：． 证明：四边形是菱形， ， 、分别是和的中点， ，， ， 又， ，． 利用菱形的性质证明 题型三 【变式3-1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，四边形是菱形，点，分别在边，上，且．求证：． 证明∶∵四边形是菱形， ∴，， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 即． 利用菱形的性质证明 题型三 【变式3-2】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，在菱形中，E，F分别是边上的点，且，连接交于点G．求证：． 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 证明四边形是菱形 题型四 【典例4】（24-25九年级上·四川成都·期末）在中，，现将沿翻折得到，连接交于点O，过点B作交于点E，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求四边形的周长． （1）证明：∵将沿翻折得到，连接交C于点O， ∴，线段垂直平分，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，∴四边形是菱形； 证明四边形是菱形 题型四 【典例4】（24-25九年级上·四川成都·期末）在中，，现将沿翻折得到，连接交于点O，过点B作交于点E，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求四边形的周长． （2）解：∵，，∴， ∵四边形是菱形， ∴ ， ∴， ∵， ∴由勾股定理可得：，在中，由勾股定理可得： ， 在中，由勾股定理可得： ， ∴， ∴， 解得， ∴ ， ∴四边形的周长为． 证明四边形是菱形 题型四 【变式4-1】（24-25九年级上·全国·期末）如图，在中，D是边的中点，M，N分别在及其延长线上，，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)当满足什么条件时，四边形是菱形？判断并说明理由． （1）证明：，， 是边的中点，， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：当满足时， 四边形是菱形，理由如下： 由可知，四边形是平行四边形， ，是边的中点， ， 平行四边形是菱形． 证明四边形是菱形 题型四 【变式4-2】（24-25九年级上·全国·期末）已知四边形中，．连接，过点C作的垂线交于点E，连接DE． (1)如图1，若，求证：四边形是菱形； (2)如图2，连接，设，相交于点F，垂直平分线段．求的大小． （1）证明：设与交于点O， ∵，，∴， O ∵，∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； 证明四边形是菱形 题型四 【变式4-2】（24-25九年级上·全国·期末）已知四边形中，．连接，过点C作的垂线交于点E，连接DE． (1)如图1，若，求证：四边形是菱形； (2)如图2，连接，设，相交于点F，垂直平分线段．求的大小． （2）解：∵垂直平分，∴且， ∴， 又∵且， ∴垂直平分， ∴，∴， ∴， 又∵， ∴． 添一个条件使四边形是矩形 题型五 【典例5】（24-25九年级上·全国·期末）如图，要使成为矩形，则可添加的一个条件是（   ） A． B． C． D． 解： A、添加，根据邻边相等的平行四边形是菱形， 不能得到为矩形，本选项不符合题意； B、添加，根据对角线相互垂直的平行四边形是菱形， 不能得到为矩形，本选项不符合题意； C、添加，不能得到为矩形，本选项不符合题意； D、添加，根据对角线相等的平行四边形是矩形， 能得到为矩形，本选项符合题意； D 添一个条件使四边形是矩形 题型五 【变式5-1】（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，要使平行四边形成为矩形，可以添加的条件是（    ） A． B． C． D． 解： A、根据平行四边形中邻边相等，可证得四边形为菱形，故此项错误； B、根据平行四边形中对角线垂直，可证得四边形为菱形，故此项错误； C、根据平行四边形中一个角等于，可证得四边形为距形，故此项正确； D、平行四边形对角线平分一组对角，得，不能证明四边形为距形，故此项错误； C 添一个条件使四边形是矩形 题型五 【变式5-2】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，已知四边形为平行四边形，对角线与交于点，试添加一个条件 ，使为矩形． 解：∵四边形是平行四边形， ∴当时，平行四边形是矩形； 当 （或或或）时，平行四边形是矩形； 或 25 利用矩形的性质与判定计算 题型六 【典例6】（24-25九年级上·内蒙古包头·期末）如图所示，在矩形中，对角线、相交于点O，，，则（　　） A． B． C． D． 解：四边形是矩形， ，， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， B 利用矩形的性质与判定计算 题型六 【变式6-1】（24-25九年级上·全国·期末）如图，在矩形中，分别为的中点，若，四边形的周长是40，则矩形的面积是 ． 解：在和中， ∵ ， ∴，∴， 同理， 即四边形为菱形． 又∵四边形的周长是40cm， ∴． ∵ 设，则． 由勾股定理得， ， 即， ∴， 矩形的面积 ． 192 利用矩形的性质与判定计算 题型六 【变式6-2】（25-26九年级上·全国·期末）如图，在梯形中，，，，，，为中点，交于点，求的长． 解：如图1，过点作于点， ，，． ∴四边形为矩形． ，． ，． ，， ，， ， 又为中点，． ，． 在中， ． G ∟ 利用矩形的性质证明 题型七 【典例7】（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，矩形中，将绕点A顺时针旋转到位置，点F落在边上，过D作于E．求证：． 证明：由旋转得：， 四边形是矩形， ，， ，， ，四边形是矩形， ， ，，， ， ， ， ， ． 利用矩形的性质证明 题型七 【变式7-1】（24-25九年级上·陕西渭南·期末）如图，四边形是矩形，点分别在边上，连接，且．求证：． 证明：四边形是矩形， ，，， ， ， ， 在和中， ， ． 利用矩形的性质证明 题型七 【变式7-2】（24-25九年级上·云南昭通·期末）如图所示，四边形是矩形， 点是边上的中点．求证：； 证明：点是中点， ． 又四边形是矩形， ． 在和中， ． 证明四边形是矩形 题型八 【典例8】（25-26九年级上·全国·期末）如图，在中，，为边的中点，以，为邻边作，连接，，求证：四边形是矩形． 证明：，为边的中点， ，， ， 四边形是平行四边形， ，， ，， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形． 证明四边形是矩形 题型八 【变式8-1】（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，对角线与相交于点，为延长线上一点，且，为延长线上一点，且，连接． (1)当时，求证：四边形是矩形； (2)当，，时，求四边形的周长． （1）证明： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴，∴， ∴四边形是矩形； 证明四边形是矩形 题型八 【变式8-1】（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，对角线与相交于点，为延长线上一点，且，为延长线上一点，且，连接． (1)当时，求证：四边形是矩形； (2)当，，时，求四边形的周长． （2）解：由（1）知， 四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， 在中， ， ∴四边形的周长． 证明四边形是矩形 题型八 【变式8-2】（25-26九年级上·全国·期末）如图，四边形为平行四边形，且，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，是上一点，且，求的长． （1）证明：于点D，∴， ∵四边形为平行四边形，∴四边形是矩形； （2）解：在中， ，，， ， 于， ， ， ，解得：． 添一个条件使四边形是正方形 题型九 【典例9】（23-24九年级上·陕西渭南·期末）如图，在菱形中，对角线相交于点，添加下列条件，能使菱形成为正方形的是（    ） A． B． C． D． 解：要使菱形成为正方形， 只要菱形满足以下条件之一即可， （1）有一个内角是直角， （2）对角线相等．即满足条件． C 添一个条件使四边形是正方形 题型九 【变式9-1】（22-23九年级上·福建漳州·期末）如图，在矩形中，对角线，交于点O，要使该矩形成为正方形，则应添加的条件是（    ） A． B． C． D． 解：添加， 则根据有一组邻边相等的矩形是正方形， 能使矩形成为正方形． A 添一个条件使四边形是正方形 题型九 【变式9-2】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，点E，F，G，H分别是边的中点，那么添加下列条件一定能判定四边形是正方形的是（    ） A．且 B．且和互相平分 C．且 D．且 解：如图：当且，四边形是正方形 理由如下：∵点E，F，G，H分别是边的中点， ∴,，，， ∴，∴四边形是平行四边形， ∵，∴，∴四边形是菱形， ∵，∴，∵， ∴，∴， ∵，∴， ∴四边形是正方形，故D符合题意，而A、B、C均不能证明，不符合题意， D 利用正方形的性质与判定计算 题型十 【典例10】（24-25九年级上·辽宁本溪·期末）如图，正方形是小明用木条制作的一个学具，在取放学具时，学具发生了形变，此时，则形变后四边形的面积是原正方形面积的（    ） A． B． C． D． 解：过点作于点，  ∵四边形是正方形， ∴， 由题意可得 ， ∴四边形为菱形， ∴， 设 ∵ ∴ H ∟ ∴， 而， ∴， A 利用正方形的性质与判定计算 题型十 【变式10-1】（25-26九年级上·广东揭阳·期末）如图，是正方形的对角线，E，F，O，G分别是，，，的中点．若，则的长为 ． 解：设，以A为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图． 则，，，． ∵是正方形的对角线，E，F，O，G分别 是，，，的中点，∴，∴， ∵O是中点，，，G是中点， ∴，， 根据两点间距离公式，， 即，解得，即的长为． 8 利用正方形的性质与判定计算 题型十 【变式10-2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在四边形中，，，于点，若，则四边形的面积是 ． 解：过点作，交的延长线于点，如图所示：  ∵，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，∴， ∵，∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴矩形是正方形， ∴， 利用正方形的性质证明 题型十一 【典例11】（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图，在正方形中，点M，N分别是边，上的点，且，线段，相交于点E． (1)请用无刻度的直尺和圆规过点B作的垂线，交于点P，交于点Q（保留作图痕迹，不写作法）； (2)根据（1）中所作图形，判断四边形的形状，并说明理由． （1）解：如图  （2）四边形为平行四边形，理由如下： 四边形为正方形， ， ， ， ，(SAS) ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形． 利用正方形的性质证明 题型十一 【变式11-1】（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，在正方形中，E、F是对角线上的两点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． （1）证明：∵将线段绕点A顺时针旋转得到线段， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由(1)得， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴在中， ． 利用正方形的性质证明 题型十一 【变式11-2】（25-26九年级上·全国·期末）如图，四边形是正方形，是边上任意一点，于点，且交于点． (1)求证：； (2)连接，，探究线段与的关系并证明． （1）证明： ，，． ． ∵四边形是正方形， ，． ． ， ． ．． 利用正方形的性质证明 题型十一 【变式11-2】（25-26九年级上·全国·期末）如图，四边形是正方形，是边上任意一点，于点，且交于点． (1)求证：； (2)连接，，探究线段与的关系并证明． （2）且． 证明：， ， ． ，． 又∵四边形是正方形，． ． ，． ， ．． 综上所述，且． 证明四边形是正方形 题型十二 【典例12】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，在四边形中，，，，，的垂直平分线交于点，交于点，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长．（用含的代数式表示） （1）证明：∵的垂直平分线交于，交于， ∴，∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，∴四边形是正方形； 证明四边形是正方形 题型十二 【典例12】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，在四边形中，，，，，的垂直平分线交于点，交于点，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长．（用含的代数式表示） （2）解：∵垂直平分， ∴，， ∵，∴． ∴， 又∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴ 在和中， ∴， 证明四边形是正方形 题型十二 【变式12】（22-23九年级上·全国·期末）如图，正方形中，，点E是对角线上的一点，连接．过点E作，交于点F，以，为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)求的值； (3)若F恰为的中点，求正方形的面积． （1）证明：如图，作于M，于N． ∵四边形是正方形， ∴， ∵于M，于N， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵，∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形； 证明四边形是正方形 题型十二 【变式12】（22-23九年级上·全国·期末）如图，正方形中，，点E是对角线上的一点，连接．过点E作，交于点F，以，为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)求的值； (3)若F恰为的中点，求正方形的面积． ∵四边形是正方形， 四边形是正方形， ∴， ， ， ∴， ∴，∴， ∴； （2）解： 证明四边形是正方形 题型十二 【变式12】（22-23九年级上·全国·期末）如图，正方形中，，点E是对角线上的一点，连接．过点E作，交于点F，以，为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)求的值； (3)若F恰为的中点，求正方形的面积． （3）解：连接，  ∵四边形是正方形， ∴，， ∵F是中点，∴， ∴， ∴正方形的面积． 中点四边形 题型十三 【典例13】（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，连接四边形各边中点得到四边形，要使四边形为矩形，则对角线，应满足（   ） A． B．平分 C．平分 D． 解：由题意得：点分别是的中点， ∴， 同理可得：，， ∴， ∴四边形为平行四边形， 要使平行四边形为矩形，则需要， 又∵，， ∴要使，则需要， D 中点四边形 题型十三 【变式13-1】（22-23九年级上·贵州六盘水·期末）如图，已知点分别是四边形的边的中点，顺次连接得到四边形，我们把四边形叫做四边形的“中点四边形”．若四边形是菱形，则它的“中点四边形”一定是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 解：连接，如图所示：  点分别是四边形的边的中点， 是的中位线、 是的中位线、 是的中位线， ，且； ，且； ， ，且， 即四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， ，， ， 平行四边形是矩形， B 中点四边形 题型十三 【变式13-2】（22-23九年级上·山西太原·期末）如图，在中，点M和N分别在边和上，，连接，点D，E，F，G分别是的中点．求证：四边形是菱形． 证明：∵点，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，， 同理可得： ，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形为菱形． 折叠问题 题型十四 【典例14-1】（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·月考）把矩形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，点落在点处．设，，则的长为（    ） A． B． C． D．4 解：由折叠可知 ， ， ， ， ． C 折 叠 问 题 题型十四 【典例14-2】（24-25九年级上·重庆·期末）如图，已知正方形的边长为，点是正方形的边上的一点，点关于的对称点为，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 解：如图，延长交于，连接， 四边形是正方形， ，， 点关于直线的对称点为， ， 在与中， ， ， ， 正方形的边长为， ， 设， ， 即， 解得：． A 折 叠 问 题 题型十四 【变式14-1】（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期末）如图，在矩形纸片中，，，把纸片沿对角线向上折叠，顶点落在处，交于点，连接分别交于点，交于点，则 ． 解：设，则，由折叠可知， ，， 在和中， ， ∴， ∴，， 3 设， ， 在中， ， ∴， 解得：，∴． 折叠问题 题型十四 【变式14-2】（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图，正方形的边长是4，点在边上，，点是边上不与点重合的一个动点，把沿折叠，点落在处．若恰为等腰三角形，则的长为 ． 解：如图1所示：当时， 过点作，则，  当时，， ∵，， ∴， 由翻折的性质，得， ， ， ，   ； 如图2所示：当时，则； 当时， ∵，， 点、在的垂直平分线上， 垂直平分， 由折叠可知点与点重合，不符合题意，舍去． 综上所述，的长为4或． 折叠问题 题型十四 【变式14-2】（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图，正方形的边长是4，点在边上，，点是边上不与点重合的一个动点，把沿折叠，点落在处．若恰为等腰三角形，则的长为 ． 4或 折叠问题 题型十四 【变式14-3】（24-25九年级上·广东珠海·期末）综合探究 操作一：折叠正方形纸片，使顶点落在边上点处，得到折痕，把纸片展平（如图1）； 操作二：折叠正方形纸片，使顶点也落在边上的点处，得到折痕，与交于点，连接（如图2）． (1)根据以上操作，直接写出图2中与线段相等的两条线段：______； (2)探究发现：把上题图中的纸片展平，得到图，通过观察发现无论点在线段上任何位置，线段与线段始终相等，请你直接用第一问发现的结论写出完整的证明过程； (3)拓展应用：已知正方形纸片的边长为，在以上探究过程中当点到的距离是时，求线段的长． 折叠问题 题型十四 【变式14-3】（24-25九年级上·广东珠海·期末）综合探究 操作一：折叠正方形纸片，使顶点落在边上点处，得到折痕，把纸片展平（如图1）； 操作二：折叠正方形纸片，使顶点也落在边上的点处，得到折痕，与交于点，连接（如图2）． (1)根据以上操作，直接写出图2中与线段相等的两条线段： ； （1）解：如图2，连接，  ∵折叠正方形纸片，使顶点A落在边上点P处，得到折痕， ∴垂直平分，∴， ∵折叠正方形纸片，使顶点B也落在边上点P处，得到折痕， ∴垂直平分， ∴，∴ 折叠问题 题型十四 【变式14-3】（24-25九年级上·广东珠海·期末）综合探究 (2)探究发现：把上题图中的纸片展平，得到图，通过观察发现无论点在线段上任何位置，线段与线段始终相等，请你直接用第一问发现的结论写出完整的证明过程； 如图，过点作， 交于，交于，  ∵四边形为正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，∴， ∴， M ∟ ∴， ∴， 又∵， ， ∴， ∴； （2）证明： 折叠问题 题型十四 【变式14-3】（24-25九年级上·广东珠海·期末）综合探究 (3)拓展应用：已知正方形纸片的边长为，在以上探究过程中当点到的距离是时，求线段的长． （3）解：过点作，交于，交于， 当点在点的右侧时， ∵，， ∴， ∵点到距离是， ∴， ∴ ， ∵， ∴四边形是矩形， K ∟ ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点在点的左侧时， ， 综上所述：或． 旋 转 问 题 题型十五 【典例15-1】（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，矩形中，顶点，，，将矩形绕点O逆时针旋转，每秒旋转，则第100秒旋转结束时，点D的坐标为(    ) A． B． C． D． 解：∵，∴每旋转八次一个循环． ∵余4， ∴第100秒旋转结束时点D的位置， 与第4秒旋转结束时点D的位置相同． 连接和， ∵四边形是矩形， ∴和互相平分， ∴， ， D′ ∴，， ∴点D的坐标为． 又∵， ∴第4秒旋转结束时的点D与点关于坐标原点对称， ∴此时点D的坐标为． 即第100秒旋转结束时， 点D的坐标为． B 旋 转 问 题 题型十五 【典例15-2】（22-23九年级上·湖北襄阳·期末）如图，正方形中，，E是边的中点，F是正方形内一动点，且，连接，，，并将绕点D逆时针旋转得到（点M，N分别为点E，F的对应点）．连接，则线段长度的最小值为 ． P ∟ 解：过点M作，垂足为P，连接，  由旋转可得：， ，， 在正方形中， ，E为中点， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∵C，M位置固定，∴，即， ∴，即的最小值为， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 旋 转 问 题 题型十五 【变式15-1】（24-25九年级上·重庆忠县·期末）如图，已知点的坐标为，，点在轴的正半轴上，边长为的正方形绕点旋转，当、、三点共线时，（   ） A． B．或 C．或 D．或 H ∟ P ∟ 解：根据题意，分两种情况： 当点D在上时，如图，过A作轴于P， 过C作轴于H，过E作轴于F， ∵的坐标为，， ∴，则，∴， 设，则直线的函数表达式为， ∵四边形是边长为的正方形， ∴，，， ∴， ∴，又， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴设直线的函数表达式为， 将代入，得， 得， ∴直线的函数表达式为， 旋 转 问 题 题型十五 【变式15-1】（24-25九年级上·重庆忠县·期末）如图，已知点的坐标为，，点在轴的正半轴上，边长为的正方形绕点旋转，当、、三点共线时，（   ） A． B．或 C．或 D．或 H ∟ P ∟ 由题意，点B在直线上， ∴，则， ∵， ∴，（负值已舍去）， ∴， ∴； 当点E在上时，如图，设， 同理可求得直线的函数表达式为， ， 直线的函数表达式为， 由题意，点B在直线上， ∴，则， ∵， ∴，（正值已舍去）， ∴， ∴； 综上，或， D 旋 转 问 题 题型十五 【变式15-2】（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，把菱形绕点O逆时针旋转，使点A落到y轴上，则旋转后点B的对应点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 解：如图，过点作轴于点，  ， 由旋转的性质可得：，， 四边形是菱形，，， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理可得： ， 点的坐标为， 由题意可得，点旋转后在轴正半轴或负半轴，即当点旋转至轴的负半轴时所得到的菱形与点位于轴正半轴时得到的菱形关于原点中心对称， 点与点关于原点对称， 点的坐标为， 旋转后点的对应点（或）的坐标为: 或， 旋 转 问 题 题型十五 【变式15-3】（23-24九年级上·广东揭阳·期末）【综合与探究】 问题情境：综合实践课上，老师让同学们探究“平面直角坐标系中图形的旋转问题”．如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点在x轴上，点在y轴上．操作发现：以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F． （1）如图①，当点D落在边上时，求D点的坐标； 【继续探究】（2）如图②，当点D落在线段上时，与交于点H， ①求证：；②求点H的坐标． 【拓展探究】（3）如图①，点M是x轴上任意一点，点N是平面内任意一点，是否存在点N，使以A、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由． 旋 转 问 题 题型十五 【变式15-3】（23-24九年级上·广东揭阳·期末）【综合与探究】 问题情境：综合实践课上，老师让同学们探究“平面直角坐标系中图形的旋转问题”．如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点在x轴上，点在y轴上．操作发现：以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F． （1）如图①，当点D落在边上时，求D点的坐标； 1）解：∵，，四边形为矩形， ∴，， ∵顺时针旋转矩形，得到矩形， ∴， 根据勾股定理可得：， ∴， ∴； 旋 转 问 题 题型十五 【变式15-3】（23-24九年级上·广东揭阳·期末）【综合与探究】 问题情境：综合实践课上，老师让同学们探究“平面直角坐标系中图形的旋转问题”．如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点在x轴上，点在y轴上．操作发现：以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F． 【继续探究】（2）如图②，当点D落在线段上时，与交于点H， ①求证：； （2）①∵顺时针旋转矩形，得到矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； 旋 转 问 题 题型十五 【变式15-3】（23-24九年级上·广东揭阳·期末）【综合与探究】 问题情境：综合实践课上，老师让同学们探究“平面直角坐标系中图形的旋转问题”．如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点在x轴上，点在y轴上．操作发现：以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F． 【继续探究】（2）如图②，当点D落在线段上时，与交于点H， ②求点H的坐标． ②∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， 则， 在中， 根据勾股定理可得： ， 即，解得：， 即，∴； 旋 转 问 题 题型十五 【变式15-3】（23-24九年级上·广东揭阳·期末）【综合与探究】 问题情境：综合实践课上，老师让同学们探究“平面直角坐标系中图形的旋转问题”．如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点在x轴上，点在y轴上．操作发现：以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F． 【拓展探究】（3）如图①，点M是x轴上任意一点，点N是平面内任意一点，是否存在点N，使以A、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）∵使以A、D、M、N为顶点的四边形是菱形， ∴使以A、D、M为顶点的三角形是等腰三角形， 设，， ∵，， ∴， ， ， 旋 转 问 题 题型十五 【变式15-3】（23-24九年级上·广东揭阳·期末）【综合与探究】 问题情境：综合实践课上，老师让同学们探究“平面直角坐标系中图形的旋转问题”．如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点在x轴上，点在y轴上．操作发现：以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F． 【拓展探究】（3）如图①，点M是x轴上任意一点，点N是平面内任意一点，是否存在点N，使以A、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由． ①当时，， ∴， 解得：， ∴或， 解得： 或 ∴或； ∴或 旋 转 问 题 题型十五 【变式15-3】（23-24九年级上·广东揭阳·期末）【综合与探究】 问题情境：综合实践课上，老师让同学们探究“平面直角坐标系中图形的旋转问题”．如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点在x轴上，点在y轴上．操作发现：以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F． 【拓展探究】（3）如图①，点M是x轴上任意一点，点N是平面内任意一点，是否存在点N，使以A、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由． ②当时， ， ， 解得： （舍去）， ∴， ∴， 解得： ∴ 旋 转 问 题 题型十五 【变式15-3】（23-24九年级上·广东揭阳·期末）【综合与探究】 问题情境：综合实践课上，老师让同学们探究“平面直角坐标系中图形的旋转问题”．如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点在x轴上，点在y轴上．操作发现：以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F． 【拓展探究】（3）如图①，点M是x轴上任意一点，点N是平面内任意一点，是否存在点N，使以A、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由． ③当时，， ∴， 解得：，∴， ∴，解得：， ∴， 综上： 或或或． 最 值 问 题 题型十六 【典例16-1】（24-25九年级上·贵州安顺·期末）如图，在菱形中，，，点分别是边、、、中点，在直线上方有一动点，且满足，则周长的最小值为 ． 解：如图，连接交于， ∵点分别是边、、、中点，   ∴为的中位线， ∴，，， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形为菱形， ∴，∴， ∴四边形为矩形， 在上方作直线， 且到的距离为，即， ∵ ∴点在直线上， 如上图，作点关于直线的对称点， 连接，交直线于点， 交直线于点，交于点， 由对称性可知：， ∴， 根据两点之间线段最短可得： 当点三点共线时， 最短为长， ∴周长的最小， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，∴， 最 值 问 题 题型十六 【典例16-1】（24-25九年级上·贵州安顺·期末）如图，在菱形中，，，点分别是边、、、中点，在直线上方有一动点，且满足，则周长的最小值为 ． 由勾股定理得： , ∵分别为中点， ∴， ∵， ∴为等边三角形，∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴周长的最小值为， 最 值 问 题 题型十六 【典例16-2】（22-23九年级上·陕西西安·期末）如图，，是菱形的边，的中点，是菱形的对角线上的动点，若，，则的最小值是 ． 解：作点关于的对称点，连接交于点，连接， ， ， 当、、三点共线时，有最小值，最小值为， 四边形是菱形， 是菱形的一条对称轴， 是的中点， 点是的中点， ， ， ， 13 连接， 是的中点，， ， 在中，， 的最小值为13， 最 值 问 题 题型十六 【变式16-1】（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，正方形的边长为4，点是边上的动点，连结，作的中垂线交于点，则的最大值为（   ） A． B． C． D．4 E ∟ 解：∵正方形的边长为4，∴ ， 如图：过Q作于E， 设，（）， 则，， ∵的中垂线交， ∴， ∵， ∴， 整理得：， 设，则， ∴ ， ∴的最大值为， ∴的最大值为 B 最 值 问 题 题型十六 【变式16-2】（24-25九年级上·广东佛山·期末）如图，在菱形中，，、分别是、上的动点，满足．若，则周长的最小值为（   ） A． B． C．12 D．18 E1 ∟ 解：如图：连接． ∵四边形是菱形， ∴， ， ∴都是等边三角形， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 根据垂线段最短可知， 当时，的长最短， 如图：过B作垂足为， ∵,∴, ∴， ∴, 即的最小值为， ∴周长的最小值为． ∴， B 最 值 问 题 题型十六 【变式16-3】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在矩形中，，．点在对角线上，点、分别在边、上，且，，则四边形周长的最小值为 ． H ∟ 解：如图，过点作于， 则，  ∵四边形是矩形， ∴，， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ， 最 值 问 题 题型十六 【变式16-3】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在矩形中，，．点在对角线上，点、分别在边、上，且，，则四边形周长的最小值为 ． ∴四边形的周长， 当时，取最小值，此时四边形的周长， H ∟ 如图，此时点与点重合，  在中，， ∵， ∴， ∵， ∴，解得， ∴四边形周长的最小值， 多结论综合判断题 题型十七 【典例17-1】（24-25九年级上·四川达州·期末）如图，在正方形中，G为对角线上一点，连接、，E是边上一点，连接交的延长线上于点F，且满足．下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 H ∟ 解：过点E作，交于点H， 四边形是正方形， ，， 是等腰直角三角形，， ，， ，，， ，， ， ，故①正确； 多结论综合判断题 题型十七 【典例17-1】（24-25九年级上·四川达州·期末）如图，在正方形中，G为对角线上一点，连接、，E是边上一点，连接交的延长线上于点F，且满足．下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 H ∟ 四边形是正方形， ， ，，故②正确； 连结，， 四边形是正方形， ，， ，， ，，，故③正确； 多结论综合判断题 题型十七 【典例17-1】（24-25九年级上·四川达州·期末）如图，在正方形中，G为对角线上一点，连接、，E是边上一点，连接交的延长线上于点F，且满足．下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 H ∟ 在中，， ， ，， ， ， ，故④正确； 正确的结论有4个． D 多结论综合判断题 题型十七 【典例17-2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在正方形中，点M，N为边和上的动点（不含端点），，是旋转得到的．下列四个结论：①当时，则；②；③若如图位置测得，，则的面积为40；④的周长不变，其中正确结论的序号是 ． 解：①∵正方形中，， ∴， 当时，， ∴，∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，故①正确； 多结论综合判断题 题型十七 【典例17-2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在正方形中，点M，N为边和上的动点（不含端点），，是旋转得到的．下列四个结论：①当时，则；②；③若如图位置测得，，则的面积为40；④的周长不变，其中正确结论的序号是 ． ②如图，将绕点A顺时针旋转得， 则， 在和中，， ，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故②错误； 多结论综合判断题 题型十七 【典例17-2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在正方形中，点M，N为边和上的动点（不含端点），，是旋转得到的．下列四个结论：①当时，则；②；③若如图位置测得，，则的面积为40；④的周长不变，其中正确结论的序号是 ． ③设正方形的边长为，则，， 根据③可知，， ∵， 即， 解得：， ∵，∴， ∴ ，故③错误． 多结论综合判断题 题型十七 【典例17-2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在正方形中，点M，N为边和上的动点（不含端点），，是旋转得到的．下列四个结论：①当时，则；②；③若如图位置测得，，则的面积为40；④的周长不变，其中正确结论的序号是 ． ④∵， ∴， ∴的周长为： ， ∵和均为正方形的边长，故的周长不变，故④正确； 综上①④都正确， ①④ 多结论综合判断题 题型十七 【变式17-1】（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，已知四边形为正方形．为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以为邻边作矩形，连接．下列结论：①；②矩形是正方形；③；④平分．其中结论正确的序号有（   ） A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④ H ∟ L ∟ 解：连接，作于点H，于点L， 则， ∵四边形是正方形， ∴，，垂直平分， ∵E为上一点，∴， ∵，， ∴平分，∴， ∵，∴， ∵， ∴， 多结论综合判断题 题型十七 【变式17-1】（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，已知四边形为正方形．为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以为邻边作矩形，连接．下列结论：①；②矩形是正方形；③；④平分．其中结论正确的序号有（   ） A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④ H ∟ L ∟ 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵四边形是矩形， ， ∴四边形是正方形， 故②正确； ∴， ， ∴ 多结论综合判断题 题型十七 【变式17-1】（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，已知四边形为正方形．为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以为邻边作矩形，连接．下列结论：①；②矩形是正方形；③；④平分．其中结论正确的序号有（   ） A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④ H ∟ L ∟ 在和中， ， ∴， ∴，，故③正确； ∴， ∵，∴， ∴平分，故④正确． D 多结论综合判断题 题型十七 【变式17-2】（24-25九年级上·四川宜宾·期末）如图，正方形的边长为2，点为边上一点，连接，交于点，且，平分，交于点，交于点，是线段上的一个动点，过点作，垂足为，连接．有下列四个结论： ①； ②； ③； ④的最小值为． 其中正确的有 （填写正确结论的序号）． 多结论综合判断题 题型十七 【变式17-2】（24-25九年级上·四川宜宾·期末）如图，正方形的边长为2，点为边上一点，连接，交于点，且，平分，交于点，交于点，是线段上的一个动点，过点作，垂足为，连接．有下列四个结论： ①；②； ③；④的最小值为． 其中正确的有 （填写正确结论的序号）． 解：∵四边形是正方形， ∴， ，， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴∴， 故①正确的； 多结论综合判断题 题型十七 【变式17-2】（24-25九年级上·四川宜宾·期末）如图，正方形的边长为2，点为边上一点，连接，交于点，且，平分，交于点，交于点，是线段上的一个动点，过点作，垂足为，连接．有下列四个结论： ①；②； ③；④的最小值为． 其中正确的有 （填写正确结论的序号）． ∵， ∴， 在中， ， ∴， 过点作， 如图所示：∵， ∴ ∴在中， ， 解得， 则 ， 故②正确的； 多结论综合判断题 题型十七 【变式17-2】（24-25九年级上·四川宜宾·期末）如图，正方形的边长为2，点为边上一点，连接，交于点，且，平分，交于点，交于点，是线段上的一个动点，过点作，垂足为，连接．有下列四个结论： ①；②； ③；④的最小值为． 其中正确的有 （填写正确结论的序号）． ∵四边形是正方形， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故 ， ∴， 则 ， ∴， ； 故③正确的； 多结论综合判断题 题型十七 【变式17-2】（24-25九年级上·四川宜宾·期末）如图，正方形的边长为2，点为边上一点，连接，交于点，且，平分，交于点，交于点，是线段上的一个动点，过点作，垂足为，连接．有下列四个结论： ①；②； ③；④的最小值为． 其中正确的有 （填写正确结论的序号）． ∵， ∴， 连接，∴是的垂直平分线， ∴，∴， ∵是线段上的一个动点， 过点作，垂足为， ∴当这三点共线时，则最小， 此时， ∵ ∴ 则 ∴ 故 ∴的最小值为． 故④是错误的， ①②③ 97 多结论综合判断题 题型十七 【变式17-3】（23-24九年级上·山东青岛·期末）如图，四边形是边长为的正方形，点E在边上，，作，分别交，于点G、F，M，N分别是，的中点，则下列5个结论中：①点F、N、C共线；②；③；④的面积为；⑤．正确的是 ．（填写所有正确结论的序号）． 解：连接，   ∵四边形是正方形，， ∴四边形是矩形， ∵N是的中点， 为矩形的对角线， ∴点F、N、C共线； 故①正确； 多结论综合判断题 题型十七 【变式17-3】（23-24九年级上·山东青岛·期末）如图，四边形是边长为的正方形，点E在边上，，作，分别交，于点G、F，M，N分别是，的中点，则下列5个结论中：①点F、N、C共线；②；③；④的面积为；⑤．正确的是 ．（填写所有正确结论的序号）． ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵M是的中点， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∵N是的中点，四边形是矩形， ∴点N在上，且是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴；故②正确； 多结论综合判断题 题型十七 【变式17-3】（23-24九年级上·山东青岛·期末）如图，四边形是边长为的正方形，点E在边上，，作，分别交，于点G、F，M，N分别是，的中点，则下列5个结论中：①点F、N、C共线；②；③；④的面积为；⑤．正确的是 ．（填写所有正确结论的序号）． 连接，∵四边形是正方形， ∴，∴错误，故③错误； ∵四边形是正方形，∴， ∵，， ∴，∴， ∴， 找的中点H，连接， ∴，， ∴， ∴ ， 故④正确； 多结论综合判断题 题型十七 【变式17-3】（23-24九年级上·山东青岛·期末）如图，四边形是边长为的正方形，点E在边上，，作，分别交，于点G、F，M，N分别是，的中点，则下列5个结论中：①点F、N、C共线；②；③；④的面积为；⑤．正确的是 ．（填写所有正确结论的序号）． 连接，在与中， ， ∴，∴， 由①得点N为矩形对角线的交点， ∴点N为等腰三角形底边的中点， ∴， ∵， ∴，故⑤正确； 综上可得：正确的有①②④⑤， ①②④⑤ 过•分层验收 第四部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 期末基础通关练 1.(24-25九年级上·四川成都·期末)在下列条件中选取一个作为增加条件，能使ABCD成为菱形的是( ) A. AC=BD B. AB=DC C. AC ⊥ BD D. AD// BC C 解: AC=BD，可判断ABCD是矩形，不能判断ABCD 是菱形，故选项A错误，不符合题意: AB=DC,是ABCD已具有的性质，不能判断ABCD是菱形，故选项B错误，不符合题意: AC⊥BD对角线互相垂直，可知判断ABCD是菱形，故选项C正确，符合题意: AD// BC,是ABCD已具有的性质，不能判断ABCD是菱形，故选项 D 错误，不符合题意: 期末基础通关练 2.(24-25 九年级上·陕西咸阳·期末)如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，连接AC、BD，AC与 BD交于点 O，若OA=OD=5，AB=6，则四边形ABCD的面积为( ) A. 24 B. 36 C. 48 D. 60 解: 在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC, ∴.四边形ABCD是平行四边形， ∴AC=2AO=10,BD=2OD=10，∴AC=BD， ∴.四边形 ABCD是矩形，∴∠ABC=90°， ∴BC ==8 ∴矩形ABCD的面积为6x8=48, C 期末基础通关练 3.(23-24九年级上·辽宁朝阳·期末)如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE=AD，连接EB,EC,DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是( ) A. BE ⊥AB B. CE ⊥DE C.∠ADB=90° D. AB=BE 解:∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD,AD=BC, AB∥CD, AD∥BC. ∵延长AD到E，使DE=AD， ∴DE∥BC,DE=BC, ∴四边形 DBCE是平行四边形， 当添加BE ⊥AB时，则有∠ABE=90°， 设CD,BE交于点F，如图所示， A ∵AB∥CD,∠DFE=∠ABE=90°, ∴.CDIBE, ∵四边形 DBCE是平行四边形， ∴.平行四边形 DBCE 是菱形， 故A选项不能使四边形DBCE成为矩形，符合题意 F 当添加CE⊥DE时，则∠CED=90°， ∵四边形DBCE是平行四边形， ∴平行四边形 DBCE是矩形， 故B选项能使四边形DBCE成为矩形，不符合题意 当添加∠ADB=90°时，则有∠BDE=90°， ∵四边形DBCE是平行四边形， ∴平行四边形 DBCE 是矩形， 故C选项能使四边形DBCE成为矩形，不符合题意; 当添加AB=BE时， ∵DE=AD,∴点D是AE中点， ∴BD ⊥AE,则∠BDA=/BDE=90°， ∵四边形DBCE是平行四边形， ∴平行四边形 DBCE是矩形， 故D选项能使四边形DBCE 成为矩形，不符合题意: 期末基础通关练 4．（24-25九年级上·广东清远·期末）矩形各边中点构成的四边形是 ． 解:如图，矩形ABCD，取出各边中点为E，F，G，H，连接 AC、BD， ∵矩形ABCD，AC=BD， 在△ABD中，E，H分别为AB，AD的中点， EH= BD, 同理可得，EF= AC，FG= BD,GH= AC, ∴EF=GF=GH=EH， ∴四边形 EFGH 是菱形， ∴矩形各边中点构成的四边形是菱形. 菱形 期末重难突破练 5.(24-25 九年级上·广东佛山·期末)如图，把两个全等的矩形ABCD和矩形FGCE 拼成如图所示的图案，判断△ACF的形状并说明理由. 解: △ACF是等腰直角三角形，理由: ∵矩形ABCD与矩形FGCE全等, ∴AB=CE，BC=EF，∠B=∠E=90° ∴△ABC≌△CEF， ∴AC=CF,∠CAB=∠FCE ∵∠B=90°， ∴∠CAB+∠ACB=90°， ∴∠FCE +∠ACB=90° ∠ACF=90°， ∴△ACF 是等腰直角三角形. 期末重难突破练 1.(23-24九年级上·江苏无锡·期末)正方形ABCD，BEFG如图放置，AB=6，AG，CE相交于点P，Q为AD边上一点，且DQ:AQ=1:2，则PQ的最大值为( ) A. 3+3 B. 3+ C. 7 D. 53 B 解:如图，连接AC，取AC的中点 O，连接OQ，延长AD至E，使DE=2，连接CE，OP， .四边形ABCD、BEFG是正方形，AB=6，∴.AD=CD=AB=BC-6，BG=BE，∠ADC=∠ABC=∠CBE=90°， ∴AC=AD=6, ∵DQ:AQ=1:2, :.D2=AD=2,AQ=AD=4, ∴.QE=DQ+DE=2+2=4， ∴AQ=QE，即Q是AE的中点， 又∵点O是AC的中点，OQ=CE， ∵∠CDE=90°， ∴. CE ===2，∴OQ=CE= 在△ ABG和△CBE中 ∴△ABG≌ △CBE(SAS), ∴∠BAG=∠BCE， ∵∠BCE+∠CEB=90°， ∴.∠BAG+∠CEB=90°， ∴∠APC=∠BAG+∠CEB=90°， ∵点O是AC的中点， ∴OP=AC=3, 在△OPQ中，PQ≤OP+0Q=3+, ∴PQ的最大值为3+, 期末重难突破练 5.(25-26 九年级上·广东揭阳·期末)如图，在矩形ABCD中，点F是边CD的中点，点E是边BC 上一动点，连接EF，将△ECF沿EF折叠使点C落到点C′处，连接AC′，在EF上任取一点G，连接AG，C′G，若AB=6，AD=8，则△AC′G周长的最小值为 . 解：如图，当点E固定时，连接 AC交 EF于点G，连接 C′G， AF，此时△AC′G 的周长最小，最小值为AC′+AG+C′G ， 由折叠的性质知C'G=CG， ∵四边形ABCD为矩形， ∴.∠D=90°，AD=BC=8，AB=CD=6， 在Rt△ADC中，AC==10, 当AC'最小时，△AC'G的周长最小， ∵FD=FC=FC′=-3, ∴在Rt△ADF中，AF== 7+ ∵≥ AF-FC'=-3， ∴AC'的最小值为-3， ∴. =AC+AC′ =10+-3=7+ 期末综合拓展练 6.(24-25 九年级上·辽宁葫芦岛·期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=3，点D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE，将△ADE绕点D按顺时针方向旋转α(0°<α≤90°)，点A，E的对应点分别为点G，F，直线GF与AC交于点P，当GF与△ABC的一边平行时，CP的长为 _. 解:在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°,BC=3， ∴.AB=2BC=6， 由勾股定理得:AC =3， ∵DE为△ABC 的中位线， ∴DE∥BC， DE=BC=AD=BD=3, 分两种情况讨论: ①当GF∥AB时，如图所示， 设GD与AC交于点M， ∵GF∥AB,∠DGP=∠ADG，∠MPG=∠A=30°， 由旋转得， ∠A=∠DGP=30°，DG=AD=3, ∴∠ADG=∠A，∠MPG=∠DGP， ∴AM=DM，PM=GM， ∵AP=AM+PM，DG=DM+GM， ∴AP=DG=3，CP=AC-AP=3-3 期末综合拓展练 6.(24-25 九年级上·辽宁葫芦岛·期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=3，点D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE，将△ADE绕点D按顺时针方向旋转α(0°<α≤90°)，点A，E的对应点分别为点G，F，直线GF与AC交于点P，当GF与△ABC的一边平行时，CP的长为 _. ②当GF // BC 时，如图所示， 设GF与AB交于点N， ∴∠ANP=∠B，∠APN=∠C=90°， ∴∠A+∠ANP=90°， 由旋转得 ∠A=∠DGN=30°，AD=DG=3， FD=ED= BC= AE=FG=AC=×3 则∠ANP+∠DGP=90°， 或 即DG⊥AB，此时α=90°， ∵DF ⊥GF,DE ⊥CE， ∠APN=90°， ∴四边形 DFPE是矩形， ∴PE=DF=DE= CP=CE-PE= 感谢聆听 每天解决一个小问题，每周攻克 一个薄弱点，量变终会引发质变。 教师寄语 $