6.3 第2课时正方形的判定-【练测考】2025-2026学年八年级下册数学（鲁教版五四制）

(2)解：BE+DH=EH. 理由：，△BAE≌△DAG, ∴.∠ADG=∠B=90°，BE=DG. .∠ADG+∠ADH=180°，.点H,D,G共线 ,四边形AEFG是正方形，∴∠EAH=∠GAH=45°. AE=AG, 在△EAH和△GAH中，∠EAH=∠GAH, AH=AH, ∴.△EAH≌△GAH(SAS),,.EH=GH. .DG+DH=GH,.'BE+DH=EH. 第2课时正方形的判定 1.B解析：A.对角线相等的矩形不能得到正方形，故错误； B.对角线垂直的矩形是正方形，正确；C.对角线相等且垂直 的四边形不一定是正方形，故错误：D.对角线相等且平分的 四边形是矩形，但不能得到菱形，故错误.故选B. 2.对折后，三个角是直角且一组邻边相等 3.正方形解析：如图所示，在△ABC中 E,F分别是AB,BC的中点， ,EF是△ABC的中位线， 网理PG=BD.GH=合AC.HE 2 BD. .AC=BD, ..EF=FG=GH=HE, .四边形EFGH是菱形. 设AC与BD交于点O,AC与EH交于点M. 在△ABD中，E,H分别是AB,AD的中点， ∴.EHBD,同理GHAC. .AC⊥BD,∴.∠BO℃=90 EH/BD,∴.∠EMC=∠BOC=90 .'HG∥AC,.∴.∠EHG=∠EMC=90° .四边形EFGH是正方形. 4.证明：(1)四边形ABCD是矩形，，.∠DAB=∠B=90° .DE⊥AF,.∠DAB=∠AGD=90°， ∴.∠BAF+∠DAF=90°，∠ADE+∠DAF=90°， ,∴.∠BAF=∠ADE I∠ABF=∠DAE, 在△ABF和△DAE中， ∠BAF=∠ADE, AF-DE. .∴.△ABF≌△DAE(AAS). (2).'△ABF≌△DAE,.AB=AD」 又·四边形ABCD是矩形，.四边形ABCD是正方形 5.解：(1)四边形BPCO为平行四边形. 理由：：四边形ABCD为平行四边形， 0c=0A=2Ac,0B=-0D= 2 BD. :以点B,C为圆心，2AC,2BD长为半径面弧，两孤交 于点P, .∴.OB=CP,BP=OC, .四边形BPCO为平行四边形. (2)当AC⊥BD,AC=BD时，四边形BPCO为正方形 AC⊥BD,∴.∠BOC=90°，∴.平行四边形BPCO为矩形. AC-BD.OB-BD.(C-AC..OB-X. .矩形BPCO为正方形. 6.D 7.B解析：如图所示，连接DC △ABC为等腰直角三角形， .∴.AC=BC=4,∠A=∠B=45°. ,点D为AB的中点，∴CDLAB, ∴.△ADC,△BCD是等腰直角三角形 ,DE⊥BC,DF⊥AC, DE=C-号=2.DF=FC-号AC=2 即DE=EC=DF=FC, ,'.四边形DECF是菱形 又∠ACB=90°， ∴.四边形DECF为正方形， .正方形DECF的周长为4DF=8. 故选B 8.8 9.(1)证明：.'DE∥AC,CE∥BD,即DEOC,CEOD, .四边形OCED是平行四边形. ,四边形ABCD是菱形， ∴.ACBD,.∠DOC=90°， ∴.平行四边形OCED是矩形. (2)解：四边形ABCD是菱形，∴.AC⊥BD,AB=BC, ∠AOB=90,∠AB0=∠CB0-3∠ABC ∠ABC=60°，∴∠ABO=30°. :AB=2,A0=3AB=1.0B=5. .OD=OB=√3，OC=OA=1, .C矩形0cD=2(OD+OC)=23+2. (3)90° 10.D11.D 12.16解析：如图，过点B作BE⊥CDF 于点E,则BE=4米，∠BEC= ∠BED=90°， 过，点B作BF⊥DA,交DA的延长线 D 于点F,则∠F=90°， ∴.∠F=∠BEC. :∠F=∠D=∠BED=90°， 四边形BEDF是矩形， ∠EBF=90°，即∠FBA+∠ABE=90°. :∠CBE+∠ABE=∠ABC=90°， .∠FBA=∠EBC. 在△ABF和△CBE中， |∠F=∠BEC, ∠ABF=∠CBE, AB=CB, .△ABF≌△CBE(AAS),∴.BF=BE=4米， ,矩形BEDF是正方形，S方形=BE2=4=16(平方米). .'△ABF≌△CBE .S四边形ACD=S四边形ABBD十S△CE=Sg边形AFD十S△ABF一 S正方形BEDF=16(平方米). 13.解：PC=PE,PC⊥PE. 证明：由正方形的轴对称性质，可得∠PAD=∠PCD, PA=PC. ,点P位于AE的垂直平分线上，PA=PE,PC=PE. ,PA=PE,∴∠PAD=∠E,∴.∠PCD=∠E. ,∠PFC=∠DFE,∠CPF=∠FDE. :∠ADC=90°，∠FDE=90°，∴.∠CPF=90°， .PC⊥PE. 14.(1)证明：四边形ABCD是正方形， ,.AB=AD,∠BAD=90° ,AF⊥AC, ,.∠EAF=90°， ∴.∠BAF=∠EAD (AD=AB, 在△ADE和△ABF中，{∠DAE=∠BAF, AE=AF. ,.△ADE2△ABF(SAS), .'BF=DE. (2)解：当点E运动到AC的中点时，四边形AFBE是正 方形. 理由：·点E运动到AC的中点，AB=BC, ∴BELAC.BE=AE-2AC .AF=AE, ..BE=AF=AE. 又，BE⊥AC,.∠BEC=90°=∠FAE, .BE∥AF. .BE=AF, .四边形AFBE是平行四边形 ,∠FAE=90°，AF=AE, ∴，四边形AFBE是正方形， 15.(1)证明：如图1. ,四边形ABCD是正方形， .AB=BC=CD=DA,∠A=∠B ∠C=∠D=90°. .AE=BF=CM=DN, ,∴.AN=DM=CF=BE ,∠A=∠B=∠C=∠D=90°， 图1 ∴.△AEN≌△DNM≌△CMF≌△BFE(SAS), ,∴.EN=NM=MF=EF,∠ENA=∠DMN, .四边形EFMN是菱形. :∠ENA=∠DMN,∠DMN+∠DNM=90°， .∠ENA+∠DNM=90°， .∠ENM=90°， ∴.四边形EFMN是正方形. (2)解：如图2， 由(I),可知EF=FM=MN=NE,EH FG=MR=NQ,EQ=FH=MG=NR. 设正方形EFMN的边长EF=FM=MN= 图2 NE=C,EH=FG=MR=NQ=6,EQ= FH=MG=NR=a, 则小正方形QHGR的边长QH=b一a, ∴.小正方形QHGR的面积为(b-a)2=a2十b2-2ab, ,∴，正方形EFMN的面积=c2,正方形EFMN的面积= 2ab×4+(6-a)2=a2+b2. .∴.a2+b2=c2. (3)解：·正方形ABCD的边长为4， ..a十b=4, .∴.a2+b2+2ab=16, .∴.2ab=16-(a2+b2)=6. .中间小正方形的面积为10一6=4. 微专题三特殊平行四边形的中点、最值问题 1.B2.D 3.D解析：如图，连接AC ,四边形ABCD是菱形，∠B=60°， △ABC是等边三角形. 点E是BC的中点， .BE=1,BE⊥AE, ∴AE2+BE2=AB2, 即AE2+12=2,即AE=5,且∠EAC=30. 同理可得AF=√3，∠FAC=30°， ∴.AE=AF,∠EAC=∠FAC=30° △AEF是等边三角形， ∴.△AEF的周长为3X√3=3√3」 故选D. 4.245.23 6.(1)证明：如图，连接EF,GF,GH,HE. 点E,F分别是线段AD,DB的 中点， Er//AB.EF-AB. ,点G,H分别是线段BC,AC的 中点， GH//AB.GH-AB..EF/GH.EF-GH. ,∴.四边形EFGH为平行四边形 ∴.线段EG,FH互相平分. (2)解：当AB=CD时，EG⊥FH,理由如下： ,点G,F分别是线段BC,BD的中点， GF-CD.EF-2AB.AB-CD.EF-GF. ∴.平行四边形EFGH是菱形，∴.EG⊥FH. 7.(1)证明：D,G分别是AB,AC的中点， X/C.IG-RC. E,F分别是OB,O℃的中点， EF/BC.EF-BC..DG-EF.IG//EF. ∴四边形DEFG是平行四边形 (2)解：，BO⊥CO,M为EF的中点，OM=3, ∴.EF=2OM=6. 由(1)知四边形DEFG是平行四边形，∴.DG=EF=6.第六章特殊平行四边形 第2课时 正方形的判定 (教材P24-P27内容) 基础夯实 5.[教材P28复习题T10变式]如图，□ABCD 知识点一正方形的判定 的对角线AC,BD交于点O,分别以点B,C 1.(2024·淄博高青县期中)四边形ABCD的 1 1 为圆心，2AC,2BD长为半径画弧，两弧交 对角线AC和BD相交于点O,设有下列条 件：①AC=BD;②AC⊥BD;③AC与BD 于点P,连接BP,CP 互相平分；④矩形ABCD;⑤菱形ABCD; (1)试判断四边形BPCO的形状，并说明 ⑥正方形ABCD,则下列推理成立的是 理由： (2)请说明当口ABCD的对角线满足什么条 A.①④→⑥ B.②④→⑥ 件时，四边形BPCO是正方形？ C.①②→⑥ D.①③→⑤ 2.把一张长方形纸片如图那样折一下，就可以 裁出正方形纸片，其理由是 3.(2024·菏泽成武县期中)在四边形ABCD 中，AC=BD,AC⊥BD,E,F,G,H分别是 AB,BC,CD,DA的中点，则四边形EFGH 的形状是 4.如图，在矩形ABCD中，点E,F分别在边 AB,BC上，DE=AF,DE⊥AF于点G (1)求证：△ABF≌△DAE; (2)求证：四边形ABCD是正方形 知识点二正方形的性质与判定的综合运用 6.若四边形ABCD是 ,则四边形 ABCD一定是 这两个空依次可以 填 ( ) A.平行四边形，矩形B.矩形，菱形 C,菱形，正方形 D.正方形，平行四边形 7.[教材P28复习题T12变式]如 图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB 90°，AC=4,点D为AB的中点， DE⊥BC,DF⊥AC,则四边形 B DECF的周长为 A.6 B.8 C.10 D.12 数学是一种精神，一种理性的精神。正是这种精神，激发、促进、鼓舞并驱使人类的思维得以运用到 最完善的程度，亦是这种精神，试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活；试图回答有关人类 21 自身存在提出的问题。一克莱因《西方文化中的数学》 练测考八年级数学下册LJ 8.七巧板由五个等腰直角三角 D 11.如图，用四块同样大小的正方形纸片，围出 形与两个平行四边形（其中 一个菱形ABCD,一个小孩顺次在这四块 的一个平行四边形是正方 纸片上轮流走动，每一步都踩在一块纸片 形)组成.用七巧板可以拼出 的中心，则这个小孩走的路线所围成的图 丰富多彩的图形，图中的正 A 形是 () 方形ABCD就是由七巧板拼成的，那么正方 A.平行四边形 B.矩形 形EFGH的面积与正方形ABCD的面积的 C.菱形 D.正方形 比值为 9.如图，四边形ABCD是菱形，DE∥AC,CEBD. (1)求证：四边形OCED是矩形； (2)若∠ABC=60°，AB=2,求矩形OCED 的周长； D 第11题图 第12题图 (3)当∠ABC= 时，四边形OCED 12.某同学的卧室地面形状是一个如图所示的 是正方形 四边形，现在量得AB=BC,∠B=∠D= 90°，若点B到CD的距离为4米，则该同学 的卧室地面的面积为 平方米. 13.如图，在正方形ABCD中，点E在AD的 延长线上，P是对角线BD上的一点，且点 P位于AE的垂直平分线上，PE交CD于 点F,猜测PC和PE的数量及位置关系， 并给出证明. 能力提升 10.如图，AD是△ABC的角平分线，DE,DF分 别是△ABD和△ACD的高，得到下列四个结 论：①OA=OD;②AD⊥EF;③当∠A=90° 时，四边形AEDF是正方形；④AE十DF= AF十DE.其中正确的是 A.②③ B.②④ C.①③④ D.②③④ 22 数学是一种理性的精神，使人类的思维得以运用到最完善的程度。一克莱因