专题06 第六章 两个计数原理及排列组合（3考点清单，知识导图+10个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高二数学下学期期末考点大串讲（人教A版2019）

清单06 第六章 两个计数原理及排列组合 （3个考点梳理+10题型解读+提升训练） 清单01 两个计数原理综合 （1）定义：完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法. （2）定义：完成一件事需要两个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法. 清单02 排列数计算 排列数公式 ①（连乘形式）：，， ②（阶乘形式），， 清单03 组合数的计算和性质 或：（，）. （1）性质1： （2）性质2： 【考点题型一】两个计数原理综合（） 【例1】（重庆市江北区部分学校2024-2025学年高三下学期5月模拟考试数学试题）有两户四口之家（父亲、母亲和两个孩子）要乘坐3艘不同的小船游玩，每艘小船至多坐三人，要求孩子必须与自己的父亲或母亲同船，则不同的乘坐方案共有（   ） A．20种 B．72种 C．96种 D．120种 【变式1-1】.（24-25高二下·北京·期中）甲、乙、丙、丁和戊5名同学进行数学演讲比赛，若安排上场顺序时甲、乙均不能第一个上场，且乙不能最后一个上场，则这5人上场顺序的不同排法种数为（   ） A．27 B．48 C．54 D．72 【变式1-2】.（24-25高二下·四川德阳·期中）7个停车位连成一排，有4辆不同的车要停到车位上，恰有两个空车位相邻的不同方法数为 ． 【变式1-3】.（24-25高二下·北京·期中）由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的三位数，奇数共有 个，其中个位数字比十位数字大的奇数共有 个.（用数字作答） 【考点题型二】排列数计算（） 【例2】（24-25高二下·广东深圳·期中）若，则（    ） A．28 B．56 C．112 D．120 【变式2-1】.（24-25高二下·吉林松原·期中）已知，则（   ） A．5 B．3 C．4或6 D．4 【变式2-2】.（24-25高二下·山东临沂·期中）若，则（    ） A．5 B．12 C．24 D．36 【变式2-3】.（24-25高二下·浙江·期中）（   ） A．100 B．110 C．120 D．130 【变式2-4】.（多选）（24-25高二下·湖北宜昌·期中）已知，，则满足不等式的的值为（   ） A．6 B．3 C．8 D．4 【考点题型三】捆绑法和插空法（） 【例3】（24-25高二下·江苏连云港·阶段练习）灌云县第一中学高二动漫社团中有6名优秀学员、、、、、和他们的指导老师共7人站成一排合影留念，则指导老师和同学站在两端，、相邻，、不相邻的排法种数为（   ） A．56 B．72 C．36 D．48 【变式3-1】.（24-25高二下·天津·期中）在一次数学复习课上，黑板上从左至右分别为直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线5道题．现有6名学生去黑板上作答，甲乙同学先后作答同一道题，丙同学作答的题目不能与甲乙作答的题目相邻，则6名学生的答题方案有（    ） A．60种 B．72种 C．120种 D．144种 【变式3-2】.（24-25高二下·重庆渝中·期中）在某校高二年级半期考试表彰仪式上，班1人、班2人、班3人总共6人站成一排在舞台上领奖，要求同班的同学不相邻，则不同排法共有（    ） A．72种 B．84种 C．120种 D．150种 【变式3-3】.（24-25高二下·四川绵阳·期中）甲、乙、丙、丁、戊、己等六人站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不相邻，则不同的安排方法有（   ） A． 种 B． 种 C． 种 D．种 【变式3-4】.（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期中）甲、乙、丙、丁、戊、戌名同学相约到电影院观看电影《哪吒》，他们恰好买到了六张连号且在同一排的电影票，若甲不坐在个人的两端，乙和丙相邻，则不同的排列方式种数为（    ） A． B． C． D． 【考点题型四】特殊元素（位置）法（） 【例4】（24-25高二下·福建福州·期中）如图，某种雨伞架前后两排每排4个孔，共8个孔，编号分别为1-8号．若甲、乙、丙、丁四名同学每人要放一把伞，每个孔最多放一把伞，则甲放在奇数孔，乙放在偶数孔，甲、乙不放在同一排且丙、丁也不放在同一排的放法有（   ）    A．68种 B．136种 C．144种 D．152种 【变式4-1】.（24-25高二下·宁夏银川·期中）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”，对乙说：“你当然不会是最差的”.从这两个回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同情况（  ）. A．18 B．36 C．48 D．54 【变式4-2】.（24-25高二下·广西·期中）甲、乙、丙、丁共4人站成一排，且甲不在两端，则不同排法共有（    ） A．24种 B．12种 C．8种 D．6种 【变式4-3】.（24-25高二下·广东惠州·期中）某学校周一安排有语文、数学、英语、政治、历史、地理、体育七节课，要求体育课不排在第一节课，数学不排在第四节课，则这天课表的不同排法种数为（    ） A． B． C． D． 【变式4-4】.（24-25高三下·安徽阜阳·阶段练习）毕业前夕，某高中高三（6）班科技创新兴趣小组的5名同学与1名辅导老师，共6人合影留念，站成前后相对应的两排，每排3人，老师站在前排中间，其中甲、乙两名同学相邻（仅包括正前后或左右），则不同站法种数为（    ） A．24 B．36 C．42 D．48 【考点题型五】间接法（） 【例5】（24-25高二下·天津滨海新·期中）公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率π的范围是：，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前6位数字3，1，4，1，5，9进行某种排列得到密码.如果排列时要求数字9不在最后一位，那么小明可以设置的不同密码有（   ）个. A．180 B．300 C．360 D．480 【变式5-1】.（2025·福建三明·三模）县委组织部拟派六位大学生村官对五个贫困村进行驻村帮扶，每位大学生村官只去一个贫困村，每个贫困村至少派一位大学生村官，其中甲、乙两位大学生村官派遣至不同的贫困村，则不同的派遣方案共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【变式5-2】.（2025·宁夏吴忠·一模）在三棱锥的顶点和各棱中点中取4个不共面的点，不同的取法共有（    ） A．141种 B．144种 C．147种 D．149种 【变式5-3】.（24-25高二下·浙江绍兴·期中）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑假开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有 种排法. 【变式5-4】.（24-25高二下·安徽合肥·阶段练习）党的二十大报告指出，坚持以人民为中心发展教育，加快建设高质量教育体系.发展素质教育，促进教育公平，现有甲乙等名大学生主动申请毕业后到偏远山区小学任教.若将这名大学生分成三组分别去三个不同的学校参加工作，保证每所学校至少有一名大学生去，且每名大学生只能去一所学校，则甲乙不同在一个学校的安排方案共有 种.（用数字作答） 【考点题型六】部分定序问题（） 【例6】（24-25高二下·河南信阳·期中）2025年4月12日是成都七中成立120周年校庆日，将2，0，2，5，4，1，2这些数字排成一行拼成7位数，则不同的7位数的有（ ）个. A．480 B．600 C．720 D．840 【变式6-1】.（24-25高三下·河北张家口·开学考试）某同学将英文单词“”中字母的顺序记错了，则该同学写错的情况有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【变式6-2】.（23-24高二下·安徽合肥·阶段练习）一班有5名棋手，出场次序已经排定，二班有2名棋手，现要排出这7人的出场顺序，如果不改变一班棋手出场次序，那么不同排法有（    ）种 A．12 B．20 C．30 D．42 【变式6-3】.（24-25高二下·重庆·期中）今有甲、乙、丙、丁、戊、己6名学生站成一排拍照，要求甲乙相邻，且丙在丁的左边，则符合要求的排法共有 种． 【变式6-4】.（24-25高二下·江苏盐城·阶段练习）《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有 种. 【考点题型七】组合数的计算及性质的应用（） 【例7】（24-25高二下·江苏扬州·期中）已知，则 ．（用数字作答） 【变式7-1】.（24-25高二下·江苏宿迁·期中）（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】.（24-25高二下·上海嘉定·期中）若，则 . 【变式7-3】.（24-25高二下·上海徐汇·期中）若，则的值为 ． 【变式7-4】.（24-25高二下·广东东莞·阶段练习）计算： ．  （用数字作答） 【考点题型八】分组，分配问题（①不平均分组问题②部分平均分组③平均分组）（） 【例8】（24-25高三下·云南临沧·阶段练习）第届夏季奥林匹克运动会于年月日在法国巴黎开幕，某观赛团在现场为中国运动健儿加油助威，观赛团中有名女性观众和名男性观众，计划观看在个不同场地同时举行的个比赛项目，要求每个项目都要有男性观众前往观赛，则不同的分配方法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【变式8-1】.（24-25高二下·河北·期中）将4名优秀教师分配到3个不同的学校进行教学交流，每名优秀教师只分配到1个学校，每个学校至少分配1名优秀教师，则不同的分配方案共有（    ） A．72种 B．48种 C．36种 D．24种 【变式8-2】.（24-25高二下·浙江绍兴·期中）某地区安排，，，，，六名党员志愿者同志到三个基层社区开展防诈骗宣传活动，每个地区至少安排一人，至多安排三人，且，两人安排在同一个社区，则不同的分配方法总数为（   ） A．132 B．114 C．90 D．72 【变式8-3】.（2025·河南郑州·三模）河南具有悠久的历史和丰富的文化底蕴，其美食也独具特色．现有一名游客计划在三天内品尝完以下六种河南特色美食：烩面、胡辣汤、灌汤包、道口烧鸡、焖饼、黄河鲤鱼．该游客每天从这六种美食中选择1到3种进行品尝（每天必须选择且不能重复选择已品尝过的美食）．若三天后恰好品尝完所有美食，则不同的选法种数为（   ） A．450 B．360 C．180 D．90 【变式8-4】.（24-25高二下·江苏宿迁·期中）某市组织6名获奖者到当地四个不同的会场与学生进行交流，要求每个会场至少派一名获奖者，每名获奖者只去一个会场，则不同的派出方法有（   ） A．4320种 B．2640种 C．1560种 D．110种 【考点题型九】隔板法（） 【例9】（24-25高二下·浙江·期中）某班级共有44位同学，在一次春季研学活动中，要按学号顺序抽取两位同学担任活动的负责人，并使抽到的学号将其余同学仍按学号顺序自然分成三组，且要求每组的人数均大于零且是3的倍数，则两位负责人的选取方法种数是（   ） A．55 B．66 C．78 D．132 【变式9-1】.（2025·江苏泰州·二模）2025年央视春晚的四个分会场分别为重庆、武汉、无锡和拉萨，现有11个志愿者名额分配给这四个分会场，其中一个分会场分5个名额，在余下的三个分会场中每个会场至少分一个名额，则名额分配的不同种数为（    ） A．210 B．35 C．40 D．120 【变式9-2】.（24-25高二下·宁夏·期中）不等式，其中是正整数，则使不等式成立的四元数组的组数为（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】.（24-25高二下·河南周口·期中）2025年2月深圳福田区推出基于DeepSeek开发的AI数智员工，并上线福田区政务大模型2．0版，该模型能进一步驱动政务效能全面跃升．某地也准备推出20名AI数智员工（假定这20名AI数智员工没有区别），分别从事三个服务项目，若每个项目至少需要5名AI数智员工，则不同的分配方法种数为（   ） A．21 B．18 C．15 D．12 【变式9-4】（24-25高二下·天津南开·期中）把个相同的小球放入个不同的盒子中，每个盒子最多放个小球，则不同方法有 种（用数字作答）. 【考点题型十】涂色问题（） 【例10】（24-25高二下·天津滨海新·期中）对一个四棱维各个顶点着色，现有5种不同颜色供选择，要求同一条棱连接的两个顶点不能着相同的颜色，则不同的着色方法有（   ）种． A．120 B．360 C．420 D．240 【变式10-1】.（24-25高二下·福建三明·期中）小张打算对如图的4个区域涂色，每个区域涂一种颜色，相邻区域（有公共边）涂不同颜色.现有6种颜色可供选择（6种颜色不一定用完），则不同的涂色方法种数有（    ） A．630 B．480 C．360 D．150 【变式10-2】.（24-25高二下·重庆·期中）现有四种不同颜色可供选择，需给图中5个区域着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法有（   ） A．112种 B．146种 C．192种 D．168种 【变式10-3】.（24-25高二下·山西·期中）用五种不同颜色的涂料涂在如图所示的五个区域，相邻两个区域不能同色，且至少要用四种颜色，则不同的涂色方法有（   ）      A．240 B．480 C．420 D．360 【变式10-4】．（24-25高二下·云南·期中）用4种不同的颜色给图中6个区域染色，要求边界有重合部分的区域染上不同的颜色，则不同的染色方法有 种.    提升训练 一、单选题 1．（陕西省汉中市2025届高三下学期联考模拟（二）（5月）数学试题）若从小明､小红､小刚等6名同学中选出3名同学分别到三个班级进行学习经验分享，则小明､小红､小刚三名同学不去班，且小刚不去班分享学习经验的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·四川遂宁·期中）四人相约到射洪新时代电影院观看电影《哪吒2》，恰好买到了四张连号的电影票.若甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为（    ） A．12 B．16 C．20 D．24 3．（24-25高二下·河北承德·期中）某班星期二上午有五节课，下午有三节课，安排的课程有语文、数学、英语、物理、化学、生物、体育，其中数学是上午或下午连续的两节课，其余课程各一节，现将体育课安排在下午的第三节，则不同的安排方案有（    ） A．120 B．480 C．600 D．720 4．（24-25高二下·天津滨海新·期中）“ ”是“” 的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（24-25高三下·广西·期中）某货架放有7包不同的薯片，6瓶不同的饮料，从这些货品中任取2包薯片和1瓶饮料，不同的取法有（    ） A．19种 B．20种 C．126种 D．294种 6．（2025·广西北海·模拟预测）桂林的象鼻山景区有4个主要景点：象鼻山、水月洞、普贤塔、爱情岛．若游客可以选择游览其中的3个景点，且必须包含景点象鼻山，则不同的游览顺序有（   ） A．12种 B．14种 C．18种 D．20种 7．（24-25高二下·福建莆田·期中）运动会期间，将甲､乙等6名志愿者安排到A，B，C三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲､乙两名志愿者安排到同一个场地，则不同的安排方法种数为（    ） A．78 B．126 C．150 D．168 8．（24-25高二下·福建泉州·期中）某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形（边长为2个单位）的顶点处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为，则棋子就按逆时针方向行走个单位，一直循环下去．某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点处的概率是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二下·吉林松原·期中）以下结论正确的是（   ） A．4个人分别从3个景点中选择一处游览，有81种不同选法 B．从5名员工中选出经理、副经理各1名，共有10种不同的选法 C．某学校需要从4名男生和6名女生中选取5名志愿者，则志愿者中至少有3名男生的不同选法有66种 D．用数字0，1，2，3这四个数可以组成没有重复数字的四位数共有24个 10．（24-25高二下·山东济宁·期中）下列说法正确的是（   ） A．用1～9这9个自然数组成的四位数的个数是 B．用1～9这9个自然数组成的没有重复数字的四位数的个数是 C．用1～9这9个自然数组成的千位数字小于百位数字，百位数字小于十位数字，十位数字小于个位数字的四位数的个数是 D．用1～9这9个自然数组成的没有重复数字的四位数中，包含1和3，且1和3不相邻的四位数的个数是 三、填空题 11．（2025·江苏南京·二模）英国数学家弗朗西斯·格思里提出四色猜想（四色定理）：任何平面或球面上的地图只需不超过四种颜色即可实现相邻区域颜色不同.该猜想于1976年由阿佩尔和哈肯借助计算机完成证明.如图，一个地区分为6个行政区域，现给地图上的行政区域涂色（注：人工湖不需要涂色），要求：每个区域涂1种颜色，相邻区域不同色.现有红、黄、蓝、绿4种颜色可供选择，则不同的涂色方法有 种（用数字作答）. 12．（24-25高二下·天津西青·期中）天津某中学在学校发展目标的引领下，不断推进教育教学工作的高质量发展，学生社团得到迅猛发展.现有高一新生中的五名同学打算参加“地理行知社”“英语ABC”“篮球之家”“生物研启社”四个社团.若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“生物研启社”，则不同的参加方法的种数为 . 四、解答题 13．（23-24高二下·浙江台州·期中）现有4名男生和3名女生， (1)若安排7名学生站成一排照相，要求甲乙排在一起，这样的排法有多少种？ (2)若安排7名学生站成一排照相，要求3名女生互不相邻，这样的排法有多少种？ (3)若邀请7名学生中的4名参加一项活动，其中男生甲和女生乙不能同时参加，求邀请的方法种数. 14．（23-24高二上·北京西城·期末）从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动. (1)共有多少种不同的选择方法？ (2)若要求选出的3名志愿者中有2男1女，且他们分别从事经济､文化和民生方面的问卷调查工作，求共有多少种不同的选派方法？ 15．（24-25高二下·吉林松原·期中）现有7名师生站成一排照相，其中老师1人，男学生4人，女学生2人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？ (1)老师站在最中间，2名女学生相邻； (2)4名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端； (3)2名女学生之间只有2名男学生． 16．（24-25高二下·安徽安庆·期中）将4个编号为的小球放入4个编号为的盒子中． (1)有多少种放法？ (2)恰好有一个空盒，有多少种放法？ (3)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？ 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单06 第六章 两个计数原理及排列组合 （3个考点梳理+10题型解读+提升训练） 清单01 两个计数原理综合 （1）定义：完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法. （2）定义：完成一件事需要两个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法. 清单02 排列数计算 排列数公式 ①（连乘形式）：，， ②（阶乘形式），， 清单03 组合数的计算和性质 或：（，）. （1）性质1： （2）性质2： 【考点题型一】两个计数原理综合（） 【例1】（重庆市江北区部分学校2024-2025学年高三下学期5月模拟考试数学试题）有两户四口之家（父亲、母亲和两个孩子）要乘坐3艘不同的小船游玩，每艘小船至多坐三人，要求孩子必须与自己的父亲或母亲同船，则不同的乘坐方案共有（   ） A．20种 B．72种 C．96种 D．120种 【答案】B 【知识点】实际问题中的计数问题、元素（位置）有限制的排列问题、分组分配问题 【分析】分同一家庭两个孩子在同一条船上或在两条不同船上，依照分类、分步计数原理可得答案. 【详解】由题可得不同家庭的两个孩子不能在同一条船上，则同一家庭两个孩子在同一条船上或在两条不同船上. 若两户家庭孩子均在同一船上，有种方法，再分别从两户家庭中选择一个大人安排进相应船上，有4种方法，则剩下两名家长坐第3条船，有1种方法，则此种情况下的安排数为：； 若同一家庭中有孩子在不同船上，则先选择家庭有2种情况，再选择船，有种情况，则剩下两个孩子安排在第三条船有1种情况，对于孩子在不同船上的家庭，安排父母有2种情况，对于孩子在同一条船上的家庭，安排一大人与孩子同乘有2种情况，再安排剩下家长选择剩余两条船坐下，有2种情况，则此种情况下的安排数为：； 综上，满足题意的乘坐方案有种. 故选：B. 【变式1-1】.（24-25高二下·北京·期中）甲、乙、丙、丁和戊5名同学进行数学演讲比赛，若安排上场顺序时甲、乙均不能第一个上场，且乙不能最后一个上场，则这5人上场顺序的不同排法种数为（   ） A．27 B．48 C．54 D．72 【答案】C 【知识点】实际问题中的计数问题、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】利用特殊元素法，分两种情况：甲最后一个上场和甲不能最后一个上场，再安排其他人，计算即可得出结果. 【详解】甲、乙均不能第一个上场，且乙不能最后一个上场， 可以先排甲分两种情况进行考虑： 甲最后一个上场，则乙有3个位置可选，再排另外3人有种，共有种排法， 甲不能最后一个上场，则甲、乙从3个位置可选2个进行排列，有种， 再排另外3人有种，共有种排法， 所以，这5人上场顺序的不同排法种数为种. 故选：C 【变式1-2】.（24-25高二下·四川德阳·期中）7个停车位连成一排，有4辆不同的车要停到车位上，恰有两个空车位相邻的不同方法数为 ． 【答案】480 【知识点】实际问题中的计数问题、全排列问题、相邻问题的排列问题 【分析】对停车位编号，两个空车位的情况有、、、、、，并确定不同情况下第三个空车位的选法数，最后乘以4辆不同车的停法数，即可得. 【详解】由7个停车位依次编号，两个空车位的情况有、、、、、， 当两个空车位为时，第三个空车位可选，共4种， 当两个空车位为时，第三个空车位可选，共3种， 当两个空车位为时，第三个空车位可选，共3种， 当两个空车位为时，第三个空车位可选，共3种， 当两个空车位为时，第三个空车位可选，共3种， 当两个空车位为时，第三个空车位可选，共4种， 所以三个空车位共有种，其它四个车位4辆不同车的停法数有种， 所以所求不同的方法数有种. 故答案为： 【变式1-3】.（24-25高二下·北京·期中）由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的三位数，奇数共有 个，其中个位数字比十位数字大的奇数共有 个.（用数字作答） 【答案】 36 18 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、数字排列问题 【分析】对于第一空：分2步分析：①分析可得要求三位奇数的个位有3种情况，②在剩下的4个数字中任选2个，安排在前2个数位，由分步计数原理计算可得答案； 对于第二空：按个位数字分2种情况讨论，分别求出每种情况下的三位数的数目，由加法原理计算可得答案． 【详解】对于第一空：分2步分析： 要求是没有重复数字的三位奇数，其个位是1、3或5，有3种情况， ②在剩下的4个数字中任选2个，安排在前2个数位，有种情况， 则有符合题意的三位奇数； 对于第二空：分2种情况讨论： 当其个位为3时，十位数字只能是1，2，百位数字有3种情况，此时有个符合题意的三位数； 当其个位为5时，十位数字可以是1、2、3，4，百位数字有3种情况， 此时有个符合题意的三位数； 则有个符合题意的三位数； 故答案为：36；18 【考点题型二】排列数计算（） 【例2】（24-25高二下·广东深圳·期中）若，则（    ） A．28 B．56 C．112 D．120 【答案】B 【知识点】组合数的计算、组合数的性质及应用 【分析】根据给定条件，利用组合数的性质求出，再利用组合性质求解. 【详解】由，得，解得， 所以 . 故选：B 【变式2-1】.（24-25高二下·吉林松原·期中）已知，则（   ） A．5 B．3 C．4或6 D．4 【答案】D 【知识点】排列数的计算、排列数方程和不等式 【分析】利用排列数与组合数的相关公式，化简计算求出即可. 【详解】由，可知，且， 化简得：， 解得或，因，故. 故选：D. 【变式2-2】.（24-25高二下·山东临沂·期中）若，则（    ） A．5 B．12 C．24 D．36 【答案】C 【知识点】排列数的计算、组合数的性质及应用 【分析】先利用组合数性质得出，再利用排列数公式计算. 【详解】因，则或，解得或， 因，则， 则. 故选：C 【变式2-3】.（24-25高二下·浙江·期中）（   ） A．100 B．110 C．120 D．130 【答案】B 【知识点】组合数的计算、组合数的性质及应用 【分析】根据组合数的性质公式，可得答案. 【详解】 . 故选：B. 【变式2-4】.（多选）（24-25高二下·湖北宜昌·期中）已知，，则满足不等式的的值为（   ） A．6 B．3 C．8 D．4 【答案】BD 【知识点】排列数的计算、排列数方程和不等式 【分析】根据排列数的计算得出不等式，解不等式再根据的范围即可求得结果. 【详解】因为， 所以，即，解得； 又，，所以或4， 故选：BD. 【考点题型三】捆绑法和插空法（） 【例3】（24-25高二下·江苏连云港·阶段练习）灌云县第一中学高二动漫社团中有6名优秀学员、、、、、和他们的指导老师共7人站成一排合影留念，则指导老师和同学站在两端，、相邻，、不相邻的排法种数为（   ） A．56 B．72 C．36 D．48 【答案】B 【知识点】相邻问题的排列问题、不相邻排列问题 【分析】根据题意，分2步进行分析：①指导老师和站在两端，全排列即可；②中间5人分2种情况讨论：相邻且与相邻、相邻且不与相邻，相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插空，最后再由分步乘法计数原理计算可得答案. 【详解】根据题意，分2步进行分析： ①指导老师和站在两端，有种情况， ②中间5人分2种情况讨论： 若相邻且与相邻，有种安排方法， 若相邻且不与相邻，有种安排方法， 则中间5人有安排方法，则有种不同的安排方法. 故选：B. 【变式3-1】.（24-25高二下·天津·期中）在一次数学复习课上，黑板上从左至右分别为直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线5道题．现有6名学生去黑板上作答，甲乙同学先后作答同一道题，丙同学作答的题目不能与甲乙作答的题目相邻，则6名学生的答题方案有（    ） A．60种 B．72种 C．120种 D．144种 【答案】D 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、不相邻排列问题 【分析】法一利用插空法即可；法二根据甲乙同学先后作答同一道题分类应用乘法原理结合排列数计算求解. 【详解】法一：先将甲乙看作一个整体，要求其与丙不相邻，先排列其余三人共有种，再将甲乙整体和丙插入个空隙中有种， 最后将甲乙排序有种， 则共有答题方案有种. 法二：甲乙同学先后作答同一道题是直线或抛物线，丙同学作答的题目是椭圆，其他人作答其他剩下的题，共有； 甲乙同学先后作答同一道题是圆、椭圆、双曲线，丙同学作答的题目是椭圆，其他人作答其他剩下的题，共有； 所以共有答题方案有种. 故选：D. 【变式3-2】.（24-25高二下·重庆渝中·期中）在某校高二年级半期考试表彰仪式上，班1人、班2人、班3人总共6人站成一排在舞台上领奖，要求同班的同学不相邻，则不同排法共有（    ） A．72种 B．84种 C．120种 D．150种 【答案】C 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、不相邻排列问题 【分析】根据排列组合的知识，先将C班的人按照不相邻的条件排列，共有4种情况，然后针对每种情况利用插空法再将A班和B班的人进行排列，最后将其相加得到总的排法数. 【详解】因为C班3人不相邻排列，所以有以下情形的排列方式： 第一类，C班3人分别在第一､第三､第五个位置，则有种排法； 第二类，C班3人分别在第一､第三､第六个位置，则有种排法； 第三类，C班3人分别在第一､第四､第六个位置，则有种排法； 第四类，C班3人分别在第二､第四､第六个位置，则有种排法；因此不同排法共有种. 故选：C. 【变式3-3】.（24-25高二下·四川绵阳·期中）甲、乙、丙、丁、戊、己等六人站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不相邻，则不同的安排方法有（   ） A． 种 B． 种 C． 种 D．种 【答案】D 【知识点】相邻问题的排列问题、不相邻排列问题、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】根据相邻捆绑，不相邻插空和分步乘法计数原理即可分析计算求解. 【详解】甲、乙必须相邻，先将甲、乙两人捆绑作为一人有种排列方法， 接着和除丙、丁外的2人一起进行排列有种排列方法， 最后上述排列种形成的4个空中选出两个空给丙、丁插入排列有种方法， 所以总的不同的安排方法有种. 故选：D 【变式3-4】.（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期中）甲、乙、丙、丁、戊、戌名同学相约到电影院观看电影《哪吒》，他们恰好买到了六张连号且在同一排的电影票，若甲不坐在个人的两端，乙和丙相邻，则不同的排列方式种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】根据条件，利用捆绑法和插空法列式求解即可. 【详解】先将乙和丙看成一个人与丁，戊，戌排列，有种排法， 再将甲插入这四个人中间的三个空位，有种排列方式， 最后考虑乙和丙的顺序有种方式， 故共有种排列方式. 故选：D. 【考点题型四】特殊元素（位置）法（） 【例4】（24-25高二下·福建福州·期中）如图，某种雨伞架前后两排每排4个孔，共8个孔，编号分别为1-8号．若甲、乙、丙、丁四名同学每人要放一把伞，每个孔最多放一把伞，则甲放在奇数孔，乙放在偶数孔，甲、乙不放在同一排且丙、丁也不放在同一排的放法有（   ）    A．68种 B．136种 C．144种 D．152种 【答案】C 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题 【分析】先排甲乙，再排丙丁，由此即可得解. 【详解】由题意，先排甲，有种，再排乙，有种， 则甲乙两人有种排法， 再排丙，有种，最后排丁，有种， 所以甲乙丙丁有种放法. 故选：C. 【变式4-1】.（24-25高二下·宁夏银川·期中）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”，对乙说：“你当然不会是最差的”.从这两个回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同情况（  ）. A．18 B．36 C．48 D．54 【答案】D 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题 【分析】依题意甲和乙都不是第一名，且乙不是最后一名，故先排乙，再排甲，最后将其余人全排列，按照分步乘法计数原理计算可得. 【详解】由条件可知，甲和乙都不是第一名，且乙不是最后一名， 所以先排乙有种方法，再排甲有种方法，其余人全排列，有种方法， 所以人的名次排列有种方法. 故选：D. 【变式4-2】.（24-25高二下·广西·期中）甲、乙、丙、丁共4人站成一排，且甲不在两端，则不同排法共有（    ） A．24种 B．12种 C．8种 D．6种 【答案】B 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】先排甲，甲只能在中间两个位置，有2种排法，其他3人任意排，然后根据分类加法计数原理求得结果. 【详解】先排甲，甲只能在中间两个位置，有2种排法，其他3人任意排，有种，由分步乘法计数原理，共有12种不同的排法， 故选：B. 【变式4-3】.（24-25高二下·广东惠州·期中）某学校周一安排有语文、数学、英语、政治、历史、地理、体育七节课，要求体育课不排在第一节课，数学不排在第四节课，则这天课表的不同排法种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、实际问题中的计数问题 【分析】问题化为用个不同的元素填个空的问题，应用特殊元素法及排列数，求体育课排在第四节、体育课不排第四节两种情况下的排法数，即可得. 【详解】学校安排七节课程可看做是用个不同的元素填个空的问题， 要求体育不排在第一节课，数学不排在第四节课的排法可分两类． 体育课排在第四节，则满足了体育课不在第一节，同时满足了数学课不在第四节，排法种数是种； 体育课不排第四节，数学课也不排在第四节，先排第四节，不能是体育和数学，有种， 再排第一节，除了选定的和体育也有种，剩下个全排，种． 所以这天课表的不同排法种数为种． 故选：B. 【变式4-4】.（24-25高三下·安徽阜阳·阶段练习）毕业前夕，某高中高三（6）班科技创新兴趣小组的5名同学与1名辅导老师，共6人合影留念，站成前后相对应的两排，每排3人，老师站在前排中间，其中甲、乙两名同学相邻（仅包括正前后或左右），则不同站法种数为（    ） A．24 B．36 C．42 D．48 【答案】D 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题 【分析】分两种情况，正前后相邻或左右相邻，再利用排列和计数原理知识解决. 【详解】当甲、乙两名同学为正前后相邻时，其中必有1人站在老师的左侧或右侧， 另1人站在正后面，站法种数为2=24； 当甲、乙两名同学为左右相邻时，两人必都站在后一排，将甲、乙两名同学看成一个元素， 从其余的3人中选2人站在老师的左右两侧，余下的1人与甲、乙两名同学看成的一个元素进行全排列， 所以站法种数为，所以不同站法种数为. 故选：D. 【考点题型五】间接法（） 【例5】（24-25高二下·天津滨海新·期中）公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率π的范围是：，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前6位数字3，1，4，1，5，9进行某种排列得到密码.如果排列时要求数字9不在最后一位，那么小明可以设置的不同密码有（   ）个. A．180 B．300 C．360 D．480 【答案】B 【知识点】全排列问题、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】将六个数全排并剔除两个1的重复情况，求出9为最后一位数的排法数，间接法求不同密码数. 【详解】将六个数字看作不同数有种，剔除两个1的重复情况，共有， 若9为最后一位数有种，剔除两个1的重复情况，共有， 所以一共有种. 故选：B 【变式5-1】.（2025·福建三明·三模）县委组织部拟派六位大学生村官对五个贫困村进行驻村帮扶，每位大学生村官只去一个贫困村，每个贫困村至少派一位大学生村官，其中甲、乙两位大学生村官派遣至不同的贫困村，则不同的派遣方案共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【知识点】分组分配问题 【分析】先考虑将六位大学生村官分派到五个贫困村的分法种数，然后考虑虑甲、乙两位大学生村官分派在同一个贫困村的派遣方案种数，结合间接法可求得结果. 【详解】先考虑将六位大学生村官分派到五个贫困村的分法种数， 则五个贫困村分派的村官人数分别为、、、、， 不同的派遣方案种数为； 接下来考虑甲、乙两位大学生村官分派在同一个贫困村，则不同的派遣方案种数为种， 由间接法可知，甲、乙两位大学生村官派遣至不同的贫困村，则不同的派遣方案共有种. 故选：B. 【变式5-2】.（2025·宁夏吴忠·一模）在三棱锥的顶点和各棱中点中取4个不共面的点，不同的取法共有（    ） A．141种 B．144种 C．147种 D．149种 【答案】A 【知识点】空间中的点（线）共面问题、几何组合计数问题、棱锥的结构特征和分类 【分析】根据棱锥的结构特征，应用组合数及列举法确定所有选取方法数、共面情况的选取方法数，即可得. 【详解】如下图，共有10个点任选4个有种， 每个侧面的6个点都共面，任选4个有种，共4个面，则有60种共面情况， 如分别构成一个平面，有3种， 如分别构成一个平面，有6种， 综上，在三棱锥的顶点和各棱中点取4个不共面的点，不同的取法共有种. 故选：A 【变式5-3】.（24-25高二下·浙江绍兴·期中）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑假开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有 种排法. 【答案】504 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、全排列问题 【详解】依题意，六门课程的全排列为，其中“礼”排在第一周有种，“数”排在最后一周有种， “礼”排在第一周且“数”排在最后一周有种， 所以符合要求的排法种数为. 故答案为：504 【变式5-4】.（24-25高二下·安徽合肥·阶段练习）党的二十大报告指出，坚持以人民为中心发展教育，加快建设高质量教育体系.发展素质教育，促进教育公平，现有甲乙等名大学生主动申请毕业后到偏远山区小学任教.若将这名大学生分成三组分别去三个不同的学校参加工作，保证每所学校至少有一名大学生去，且每名大学生只能去一所学校，则甲乙不同在一个学校的安排方案共有 种.（用数字作答） 【答案】 【知识点】分组分配问题 【分析】利用间接法，对三组人数进行分类讨论，除去甲乙两人在一组的情形，结合分类加法计数原理可得结果. 【详解】利用间接法：将这名大学生分成三组，每组的人数分别为、、或、、或、、，分以下几种情况讨论： 若三组人数分别为、、，且甲乙不在同一组，其反面是甲乙在同一组， 此时，不同的安排方案种数为种； 若三组人数分别为、、，且甲乙不在同一组，其反面是甲乙在同一组， 此时，不同的安排方案种数为种； 若三组人数分别为、、，且甲乙不在同一组，其反面是甲乙所在的一组有人或人， 此时，不同的安排方案种数为. 综上所述，由分类加法计数原理可知，不同的安排方案种数为种. 故答案为：. 【考点题型六】部分定序问题（） 【例6】（24-25高二下·河南信阳·期中）2025年4月12日是成都七中成立120周年校庆日，将2，0，2，5，4，1，2这些数字排成一行拼成7位数，则不同的7位数的有（ ）个. A．480 B．600 C．720 D．840 【答案】C 【知识点】数字排列问题、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】根据给定条件，利用写序问题倍缩法，排除首位为0的情况即可. 【详解】数字：2，0，2，5，4，1，2中数字2出现了3次，则7个数字的所有排列情况有种， 当首位为0时，剩下6个数字：2，2，5，4，1，2，其中数字2出现了3次，排列的情况有种， 所以不同的7位数有个. 故选：C 【变式6-1】.（24-25高三下·河北张家口·开学考试）某同学将英文单词“”中字母的顺序记错了，则该同学写错的情况有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【知识点】其他排列模型 【分析】先求出英文单词“”中字母所有排列，即可求解. 【详解】因为“”中字母共有种排法，所以该同学写错的情况有种， 故选：D. 【变式6-2】.（23-24高二下·安徽合肥·阶段练习）一班有5名棋手，出场次序已经排定，二班有2名棋手，现要排出这7人的出场顺序，如果不改变一班棋手出场次序，那么不同排法有（    ）种 A．12 B．20 C．30 D．42 【答案】D 【知识点】全排列问题、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】把7名棋手作全排列，而原有5名棋手的排列只有一种顺序，利用缩倍法列式计算即得. 【详解】依题意，7名棋手作全排列为，其中原有5名棋手的排列有， 所以不改变一班棋手出场次序的不同排法种数有. 故选：D 【变式6-3】.（24-25高二下·重庆·期中）今有甲、乙、丙、丁、戊、己6名学生站成一排拍照，要求甲乙相邻，且丙在丁的左边，则符合要求的排法共有 种． 【答案】120 【知识点】相邻问题的排列问题、其他排列模型 【分析】根据相邻问题“捆绑法”和排列数公式，利用分步乘法计数原理计算即得. 【详解】先将甲乙“捆绑”看成一个元素，与另外四人在五个位置上进行全排，甲乙内部全排； 再考虑丙在丁的左边，和丁在丙的左边的情况的排列数相等，故有种方法. 故答案为：120. 【变式6-4】.（24-25高二下·江苏盐城·阶段练习）《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有 种. 【答案】 【知识点】其他排列模型、相邻问题的排列问题、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】利用捆绑法结合倍缩法可得出不同的下锅顺序种数. 【详解】根据题意，将香菌、新笋、豆腐干三种原料进行捆绑，且这三种原料无顺序， 茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅， 所以，不同的下锅顺序种数为种. 故答案为：. 【考点题型七】组合数的计算及性质的应用（） 【例7】（24-25高二下·江苏扬州·期中）已知，则 ．（用数字作答） 【答案】495 【知识点】组合数方程和不等式、组合数的计算、组合数的性质及应用 【分析】先利用组合数的性质求得的值，再将所求式，利用组合数性质化简成，代入的值计算即可. 【详解】由可得， 故. 故答案为：495. 【变式7-1】.（24-25高二下·江苏宿迁·期中）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】组合数的性质及应用 【分析】由组合数的运算性质即可求解. 【详解】， 故选：B 【变式7-2】.（24-25高二下·上海嘉定·期中）若，则 . 【答案】3或4 【知识点】组合数的性质及应用 【分析】利用组合数的性质即可求解. 【详解】由有或，所以或. 故答案为：3或4. 【变式7-3】.（24-25高二下·上海徐汇·期中）若，则的值为 ． 【答案】 【知识点】组合数的性质及应用 【分析】根据组合数的性质列方程求解即可得的值. 【详解】因为，所以， 故，所以. 故答案为：. 【变式7-4】.（24-25高二下·广东东莞·阶段练习）计算： ．  （用数字作答） 【答案】35 【知识点】组合数的性质及应用 【分析】方法一：直接利用组合数公式计算即可；方法二：结合组合数的性质求解. 【详解】方法一：； 方法二：. 故答案为：35 【考点题型八】分组，分配问题（①不平均分组问题②部分平均分组③平均分组）（） 【例8】（24-25高三下·云南临沧·阶段练习）第届夏季奥林匹克运动会于年月日在法国巴黎开幕，某观赛团在现场为中国运动健儿加油助威，观赛团中有名女性观众和名男性观众，计划观看在个不同场地同时举行的个比赛项目，要求每个项目都要有男性观众前往观赛，则不同的分配方法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【知识点】实际问题中的计数问题、分组分配问题 【分析】首先应用分步计数求出将名女性观众分配到个项目，再应用分组分配，将男性分成各组人数分别为，，或，，，结合排列组合数求不同的分配方法数，即可得. 【详解】先将名女性观众分配到个项目，有种分配方法． 每个项目都要有男性观众，将男性观众分成三组，各组人数分别为，，或，，． 当男性观众分成三组的人数为，，时，此时共有种 当男性观众分成三组的人数为，，时，此时共有种． 所以不同的分配方法共有种． 故选：C 【变式8-1】.（24-25高二下·河北·期中）将4名优秀教师分配到3个不同的学校进行教学交流，每名优秀教师只分配到1个学校，每个学校至少分配1名优秀教师，则不同的分配方案共有（    ） A．72种 B．48种 C．36种 D．24种 【答案】C 【知识点】分组分配问题 【分析】将4名教师分成三组，再全排列即可求解. 【详解】将4名教师分成三组，只有一种分法，即1，1，2，共有， 再排列得. 故选：C. 【变式8-2】.（24-25高二下·浙江绍兴·期中）某地区安排，，，，，六名党员志愿者同志到三个基层社区开展防诈骗宣传活动，每个地区至少安排一人，至多安排三人，且，两人安排在同一个社区，则不同的分配方法总数为（   ） A．132 B．114 C．90 D．72 【答案】B 【知识点】分组分配问题、分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】根据题意分为每个社区各两人和一个社区1人，一个社区2人，一个社区3人，第二种分配方式再分，两人一组去一个社区，，两人加上另一个人三人去一个社区，进行求解，最后利用分类加法原理求解即可. 【详解】第一种分配方式这每个社区各两人，则，为一组，再从，，，中选两人为一组，剩下的两人为一组，所以有种分配方法， 第二种分配方式为一个社区1人，一个社区2人，一个社区3人， 当，两人一组去一个社区，则剩下的4人，1人为一组，3人为一组，所以有种分配方法， 当，两人加上另一个人三人去一个社区，则剩下的3人，1人为一组，2人为一组，所以有种分配方法， 所以由分类加法原理可知共有种不同的分配方法. 故选：B 【变式8-3】.（2025·河南郑州·三模）河南具有悠久的历史和丰富的文化底蕴，其美食也独具特色．现有一名游客计划在三天内品尝完以下六种河南特色美食：烩面、胡辣汤、灌汤包、道口烧鸡、焖饼、黄河鲤鱼．该游客每天从这六种美食中选择1到3种进行品尝（每天必须选择且不能重复选择已品尝过的美食）．若三天后恰好品尝完所有美食，则不同的选法种数为（   ） A．450 B．360 C．180 D．90 【答案】A 【知识点】实际问题中的计数问题、分组分配问题 【分析】根据题意可知分配方式有和两种情况，然后分别计算这两种情况的选法种数，最后相加就是所求答案. 【详解】①计算按照分配的选法种数. 根据分步乘法计数原理，按分配的选法种数为： 种. ②按照分配的选法种数为： 种. 最后将两种选法种数相加得到总的选法种数为种. 故选：A. 【变式8-4】.（24-25高二下·江苏宿迁·期中）某市组织6名获奖者到当地四个不同的会场与学生进行交流，要求每个会场至少派一名获奖者，每名获奖者只去一个会场，则不同的派出方法有（   ） A．4320种 B．2640种 C．1560种 D．110种 【答案】C 【知识点】分组分配问题 【分析】各会场的获奖者人数可能是或，先分组，再分配，部分平均分组需除以组数（平均的组）的全排列. 【详解】依题意各会场的获奖者人数可能是或， 若为，则有种不同的派出方法； 若为，则有种不同的派出方法； 综上可得一共有种不同的派出方法. 故选：C 【考点题型九】隔板法（） 【例9】（24-25高二下·浙江·期中）某班级共有44位同学，在一次春季研学活动中，要按学号顺序抽取两位同学担任活动的负责人，并使抽到的学号将其余同学仍按学号顺序自然分成三组，且要求每组的人数均大于零且是3的倍数，则两位负责人的选取方法种数是（   ） A．55 B．66 C．78 D．132 【答案】C 【知识点】实际问题中的组合计数问题、组合数的计算 【分析】由题意减去担任负责人的两人，再将三人看作一人，利用隔板法，可得答案. 【详解】从位同学中抽取两人当负责人，则还剩人， 若按学号从小到大分成大三组人数分别为，其中， 则，解得， 由隔板法可得两位负责人的选取方法种数是. 故选：C. 【变式9-1】.（2025·江苏泰州·二模）2025年央视春晚的四个分会场分别为重庆、武汉、无锡和拉萨，现有11个志愿者名额分配给这四个分会场，其中一个分会场分5个名额，在余下的三个分会场中每个会场至少分一个名额，则名额分配的不同种数为（    ） A．210 B．35 C．40 D．120 【答案】C 【知识点】实际问题中的组合计数问题 【分析】根据给定条件，选择一个分会场获5个名额，再将余下6个名额利用隔板法分到另外3个分会场即可. 【详解】依题意，选择一个分会场获取5个名额，有种方法， 再将余下的6个名额分配到另三个分会场，用隔板法有种， 所以名额分配的不同种数为. 故选：C 【变式9-2】.（24-25高二下·宁夏·期中）不等式，其中是正整数，则使不等式成立的四元数组的组数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】x+y+z=n的整数解的个数、分类加法计数原理 【分析】问题转化成不等式的正整数解的组数，即求方程的正整数解，应用隔板法和组合数的性质求结论. 【详解】由，且是正整数， 将问题转化成不等式的正整数解的组数. 求方程的正整数解， 可先将看作个“”，将这个“”排成一排，在其中间形成的个空位中选择个空位放入隔板，则隔板隔开形成组“”，每组“”的和分别对应的值， 因此，方程的正整数解的组数为， 方程的正整数解的组数为， 方程的正整数解的组数为， ， 方程的正整数解的组数为， 所以原不等式的非负整数解的组数为 . 故选：B. 【变式9-3】.（24-25高二下·河南周口·期中）2025年2月深圳福田区推出基于DeepSeek开发的AI数智员工，并上线福田区政务大模型2．0版，该模型能进一步驱动政务效能全面跃升．某地也准备推出20名AI数智员工（假定这20名AI数智员工没有区别），分别从事三个服务项目，若每个项目至少需要5名AI数智员工，则不同的分配方法种数为（   ） A．21 B．18 C．15 D．12 【答案】A 【知识点】分组分配问题 【分析】先每组分5名员工，然后剩余5名分成三组，采用隔板法即可. 【详解】先每组分5名员工，然后剩余5名分成三组， 采用隔板法，五名员工和两个隔板，共有七个位置， 所以不同的分配方法种数为种. 故选：A 【变式9-4】（24-25高二下·天津南开·期中）把个相同的小球放入个不同的盒子中，每个盒子最多放个小球，则不同方法有 种（用数字作答）. 【答案】 【知识点】x+y+z=n的整数解的个数 【分析】先考虑个相同的小球放入个不同的盒子的情形，其中有空盒的放法种数；接下来考虑把个相同的小球放在同一个盒子的情形，结合隔板法和间接法可求得结果. 【详解】先考虑个相同的小球放入个不同的盒子的情形，那么其中有空盒， 可考虑在每个盒子中各加一个球，问题转化为将个相同的小球放入个不同的盒子， 每个盒子中至少有个球，由隔板法可知，不同的方法种数为种； 接下来考虑把个相同的小球放在同一个盒子的情形，有种情况. 由间接法可知，不同的方法种数为种. 故答案为：. 【考点题型十】涂色问题（） 【例10】（24-25高二下·天津滨海新·期中）对一个四棱维各个顶点着色，现有5种不同颜色供选择，要求同一条棱连接的两个顶点不能着相同的颜色，则不同的着色方法有（   ）种． A．120 B．360 C．420 D．240 【答案】C 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】根据分类与分步计数原理，点P，A，B分别有5，4，3种涂法，再分当C与A颜色相同与颜色不同分类计数即可. 【详解】设四棱锥为， 则由题意，点P，A，B分别有5，4，3种涂法， 当C与A颜色相同时，C有1种涂色方法，此时D有3种涂色方法， 当C与A颜色不相同时，C有2种涂色方法，此时D有2种涂色方法， 故此时共有种涂色方法（种）. 故选：C． 【变式10-1】.（24-25高二下·福建三明·期中）小张打算对如图的4个区域涂色，每个区域涂一种颜色，相邻区域（有公共边）涂不同颜色.现有6种颜色可供选择（6种颜色不一定用完），则不同的涂色方法种数有（    ） A．630 B．480 C．360 D．150 【答案】A 【知识点】涂色问题、排列数的计算、组合数的计算 【分析】将图中的地图涂色，最少需要2种颜色，最多可用4种颜色，可对所用颜色的种数分类计数． 【详解】四部分分别记为，如图所示， 由题意知给四部分涂色，至少要用两种颜色，故可分成三类涂色： 第一类，用4种颜色涂色，有种方法． 第二类，用3种颜色涂色，选3种颜色的方法有种．在涂的过程中，选对顶的两部分（或）涂同色，另两部分涂异色有种选法；3种颜色涂上去有种涂法，根据分步计数原理求得共种涂法． 第三类，用两种颜色涂色，选颜色有种选法，用一种颜色，涂一种颜色，有种涂法，故共种涂法． 所以共有涂色方法种． 故选：A. 【变式10-2】.（24-25高二下·重庆·期中）现有四种不同颜色可供选择，需给图中5个区域着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法有（   ） A．112种 B．146种 C．192种 D．168种 【答案】D 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、涂色问题、分类加法计数原理 【分析】利用分类计数原理和分步计数原理可求解. 【详解】对1，4，5染色，有种方法.若1和3同色，则不同的染色方法有种； 若1和3不同色，则不同的染色方法有种. 综上，不同的染色方法有168种. 故选：D. 【变式10-3】.（24-25高二下·山西·期中）用五种不同颜色的涂料涂在如图所示的五个区域，相邻两个区域不能同色，且至少要用四种颜色，则不同的涂色方法有（   ）      A．240 B．480 C．420 D．360 【答案】D 【知识点】涂色问题 【分析】按照分类加法和分步乘法计算原理，对5个区域进行分步、分类涂色即可. 【详解】先不考虑至少要用四种颜色，完成涂色需要分5步，按照顺序依次涂区域CADEB， C区域有5种颜色可选，A区域有4种颜色可选，D区域有3种颜色可选； 若E区域与D区域颜色相同，E区域有1种颜色可选，则B区域有3种颜色可选； 若E区域与D区域颜色不同，E区域有2种颜色可选，则B区域有2种颜色可选； 再由分类加法和分步乘法计数原理计算可得共有种； 如果只使用三种颜色涂色（小于三种无法涂色），则A，B同色且D,E同色，共有种涂色方法； 所以满足题意的不同的涂色方法有种. 故选：D. 【变式10-4】．（24-25高二下·云南·期中）用4种不同的颜色给图中6个区域染色，要求边界有重合部分的区域染上不同的颜色，则不同的染色方法有 种.    【答案】192 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、涂色问题、分类加法计数原理 【分析】先对2，5染色，分1和5同色，或1和5不同色，两种情况下讨论4的涂法，再根据1，4分别与3，6对称得到答案. 【详解】先给2，5染色，有种方法. 若1和5同色，则4有2种涂法； 若1和5不同色，则4有种涂法. 因为1，4分别与3，6对称，所以不同的染色方法有种. 故答案为：192. 提升训练 一、单选题 1．（陕西省汉中市2025届高三下学期联考模拟（二）（5月）数学试题）若从小明､小红､小刚等6名同学中选出3名同学分别到三个班级进行学习经验分享，则小明､小红､小刚三名同学不去班，且小刚不去班分享学习经验的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、元素（位置）有限制的排列问题、计算古典概型问题的概率 【分析】基本事件总数为，利用分步乘法原理结合排列组合求出符合条件的方案数，从而可求出概率. 【详解】从6人中选3人排列共有种，由题意得 去班的方案有：种； 去B班的方案有： 种；去C班的方案有： 种； 所以，满足条件的方案数是：. 所以所求概率是. 故选：D. 2．（24-25高二下·四川遂宁·期中）四人相约到射洪新时代电影院观看电影《哪吒2》，恰好买到了四张连号的电影票.若甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为（    ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】B 【知识点】分类加法计数原理、排列数的计算、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】利用分类加法原理，可得答案. 【详解】将四张连号的电影票由左到右标号为， 若丙在或号，则情况数为；若丙在或号，则情况数为. 所以不同的坐法种数为. 故选：B. 3．（24-25高二下·河北承德·期中）某班星期二上午有五节课，下午有三节课，安排的课程有语文、数学、英语、物理、化学、生物、体育，其中数学是上午或下午连续的两节课，其余课程各一节，现将体育课安排在下午的第三节，则不同的安排方案有（    ） A．120 B．480 C．600 D．720 【答案】C 【知识点】分类加法计数原理、相邻问题的排列问题 【分析】对数学课分上下午安排，由分类加法计数原理即得. 【详解】若数学课安排在下午，只能安排在6，7节，其余5节课全排列，有(种)不同的安排方案， 若数学课安排在上午，可以是12，23，34，45，共4种，其余5节课全排列，有 (种)不同的安排方案， 由分类加法计数原理，共有(种)不同的安排方案. 故选：C 4．（24-25高二下·天津滨海新·期中）“ ”是“” 的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、组合数的性质及应用 【分析】根据组合数的性质计算出，再由充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由，可得或，解得或， 所以由“ ”推得出“”，故充分性成立； 由“”推不出“ ”，故必要性不成立； 所以“ ”是“” 的充分不必要条件. 故选：A 5．（24-25高三下·广西·期中）某货架放有7包不同的薯片，6瓶不同的饮料，从这些货品中任取2包薯片和1瓶饮料，不同的取法有（    ） A．19种 B．20种 C．126种 D．294种 【答案】C 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、组合意义理解、组合数的计算 【分析】根据分步乘法原理以及分类加法原理，结合组合数的计算，可得答案. 【详解】7包不同的薯片任取2包有种取法，6瓶不同的饮料任取1瓶有6种取法， 现从这些货品中任取2包薯片和1瓶饮料， 根据分步乘法计数原理得到不同的取法有种． 故选：C． 6．（2025·广西北海·模拟预测）桂林的象鼻山景区有4个主要景点：象鼻山、水月洞、普贤塔、爱情岛．若游客可以选择游览其中的3个景点，且必须包含景点象鼻山，则不同的游览顺序有（   ） A．12种 B．14种 C．18种 D．20种 【答案】C 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、排列数的计算、组合数的计算 【分析】根据排列数与组合数计算即可求解. 【详解】因为必须包含景点象鼻山， 所以从剩下的3个景点中选择2个景点与象鼻山组合，有种选法，游览顺序可以不同， 所以共有种不同的游览路线. 故选：C． 7．（24-25高二下·福建莆田·期中）运动会期间，将甲､乙等6名志愿者安排到A，B，C三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲､乙两名志愿者安排到同一个场地，则不同的安排方法种数为（    ） A．78 B．126 C．150 D．168 【答案】C 【知识点】排列组合综合、组合数的计算、分组分配问题 【分析】利用捆绑法和分组分配求解计算即可得到结果. 【详解】甲､乙两名志愿者安排到同一个场地，可将甲乙捆绑成一个元素，6名志愿者可以理解为5名志愿者. 将5名志愿者分为1，2，2， 则不同的安排方法有种. 将5名志愿者分为1，1，3， 则不同的安排方法有种. 故不同的安排方法共有种. 故选：C. 8．（24-25高二下·福建泉州·期中）某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形（边长为2个单位）的顶点处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为，则棋子就按逆时针方向行走个单位，一直循环下去．某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点处的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】排列组合综合、计算古典概型问题的概率 【分析】先利用正方形的周长计算出三次骰子的点数之和是或者，再依次分类列出这两种情况所包含的样本点个数，最后再利用古典概型的概率公式求得. 【详解】由题意知正方形（边长为2个单位）的周长是， 则抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点处的表示三次骰子的点数之和是或者， 三次点数之和为的有：（无序）， 其中再排序有种；再排序有种； 三次点数之和为的有：（无序） 将它们再排序共有种； 则抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点处的所有样本点个数为， 又抛掷一次骰子共有种可能，则抛掷三次骰子共有种， 则利用古典概型的概率公式可得， 抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点处的概率是. 故选：B． 二、多选题 9．（24-25高二下·吉林松原·期中）以下结论正确的是（   ） A．4个人分别从3个景点中选择一处游览，有81种不同选法 B．从5名员工中选出经理、副经理各1名，共有10种不同的选法 C．某学校需要从4名男生和6名女生中选取5名志愿者，则志愿者中至少有3名男生的不同选法有66种 D．用数字0，1，2，3这四个数可以组成没有重复数字的四位数共有24个 【答案】AC 【知识点】排列组合综合、分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】利用两个计数原理和排列组合数公式，根据选项条件逐一列式计算即可. 【详解】对于A，4个人分别从3个景点中选择一处游览，每个人有3种选择，故共有种选法，故A正确； 对于 B，从5名员工中选出经理、副经理各1名，共有种方法，故B错误； 对于C，要从4名男生和6名女生中选取5名志愿者，志愿者中至少有3名男生包括3名男生或4名男生两种情况， 故共有选法数为种，故C正确； 对于D，先确定千位数字，有3种方法，再考虑其它三个数位，有种方法， 故没有重复数字的四位数共有个，故D错误. 故选：AC. 10．（24-25高二下·山东济宁·期中）下列说法正确的是（   ） A．用1～9这9个自然数组成的四位数的个数是 B．用1～9这9个自然数组成的没有重复数字的四位数的个数是 C．用1～9这9个自然数组成的千位数字小于百位数字，百位数字小于十位数字，十位数字小于个位数字的四位数的个数是 D．用1～9这9个自然数组成的没有重复数字的四位数中，包含1和3，且1和3不相邻的四位数的个数是 【答案】BC 【知识点】代数中的组合计数问题、数字排列问题、排列组合综合 【分析】按照分步乘法计数原理判断A，利用排列数公式判断B，利用组合数公式判断C，先排两个数，再利用插空法判断D. 【详解】对于A：用1～9这9个自然数组成的四位数的个数是，故A错误； 对于B：用1～9这9个自然数组成的没有重复数字的四位数的个数是，故B正确； 对于C：因为各位数字从左到右依次递增，所以排列方法唯一且不能出现重复数字， 所以这样的四位数有个，故C正确； 对于D：首先从其余个数字中选出个数字并排列好，有种， 再将1和3插入所形成的三个空中，则有种插法， 按照分步乘法计数原理可知一共有个数字，故D错误. 故选：BC 三、填空题 11．（2025·江苏南京·二模）英国数学家弗朗西斯·格思里提出四色猜想（四色定理）：任何平面或球面上的地图只需不超过四种颜色即可实现相邻区域颜色不同.该猜想于1976年由阿佩尔和哈肯借助计算机完成证明.如图，一个地区分为6个行政区域，现给地图上的行政区域涂色（注：人工湖不需要涂色），要求：每个区域涂1种颜色，相邻区域不同色.现有红、黄、蓝、绿4种颜色可供选择，则不同的涂色方法有 种（用数字作答）. 【答案】216 【知识点】排列组合综合、分步乘法计数原理及简单应用、涂色问题 【分析】如图，将6个行政区标上序号，根据分步乘法计数原理，按照一定的顺序对各个区域进行涂色，同时考虑相邻区域颜色不同的限制条件即可求解. 【详解】如图，将6个行政区标上序号， 区域1有4种颜色可选，共4种方法； 区域2与区域1相邻，不能与区域1同色，有3种颜色可选，共3种方法； 区域3与区域1、2相邻，不能与区域1、2同色，有2种颜色可选，共2种方法； ①若区域4与区域2同色，有1种颜色可选，此时区域5与区域2不同色且有2种涂色方法，此时区域6有2种涂色方法； ②若区域4与区域2不同色，有1种颜色可选，此时若区域5与区域2同色，有1种涂色方法，区域6有3种涂色方法， 若区域5与区域2不同色，有1种涂色方法，区域6有2种涂色方法， 所以一共有种方法. 故答案为：216. 12．（24-25高二下·天津西青·期中）天津某中学在学校发展目标的引领下，不断推进教育教学工作的高质量发展，学生社团得到迅猛发展.现有高一新生中的五名同学打算参加“地理行知社”“英语ABC”“篮球之家”“生物研启社”四个社团.若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“生物研启社”，则不同的参加方法的种数为 . 【答案】 【知识点】排列组合综合、分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、分组分配问题 【分析】根据甲参加的社团分类，分甲参加的社团只有1人和参加的社团有2人，再将个组分到四个社团，由分步和分类计数原理即可求解． 【详解】将人分成组，由题可知，有一组必有2人， 若甲单独成组，有种分法，若甲不单独成组，则种分法， 将个组分到四个社团，因为同学甲不参加“生物研启社”，则有种分法， 故不同的参加方法的种数为， 故答案为：. 四、解答题 13．（23-24高二下·浙江台州·期中）现有4名男生和3名女生， (1)若安排7名学生站成一排照相，要求甲乙排在一起，这样的排法有多少种？ (2)若安排7名学生站成一排照相，要求3名女生互不相邻，这样的排法有多少种？ (3)若邀请7名学生中的4名参加一项活动，其中男生甲和女生乙不能同时参加，求邀请的方法种数. 【答案】(1)1440 (2)1440 (3)25 【知识点】不相邻排列问题、相邻问题的排列问题、元素（位置）有限制的排列问题、排列组合综合 【分析】（1）利用捆绑法，结合排列组合知识求解； （2）利用插空法，结合排列组合知识求解； （3）利用间接法求解． 【详解】（1）由题意可知：运用捆绑法，可得共有排法数为种. （2）由题意可知：运用插空法，可得共有排法数为种. （3）由题意可知：邀请这7名学生中的4名参加一项活动共有种方法， 男生甲和女生乙同时参加的方法有，共有邀请方法数为种. 14．（23-24高二上·北京西城·期末）从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动. (1)共有多少种不同的选择方法？ (2)若要求选出的3名志愿者中有2男1女，且他们分别从事经济､文化和民生方面的问卷调查工作，求共有多少种不同的选派方法？ 【答案】(1)120 (2)360 【知识点】排列组合综合、分步乘法计数原理及简单应用、实际问题中的组合计数问题 【分析】（1）利用组合计数，求选择的方法数； （2）利用分步计数原理，结合组合数和排列数的计算，求选派的方法数. 【详解】（1）从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动， 选择方法数为种. （2）从10名志愿者中选2男1女，选择方法数共有种， 故从10名志愿者中选2男1女，且分别从事经济､文化和民生方面的问卷调查工作的选派方法数为种. 15．（24-25高二下·吉林松原·期中）现有7名师生站成一排照相，其中老师1人，男学生4人，女学生2人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？ (1)老师站在最中间，2名女学生相邻； (2)4名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端； (3)2名女学生之间只有2名男学生． 【答案】(1)192 (2)72 (3)576 【知识点】排列组合综合、元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题、不相邻排列问题 【分析】（1）元素相邻运用捆绑法，借助于排列组合公式即得； （2）元素互不相邻运用插空法，特殊元素优先法处理即可； （3）要使2名女生之间只有2名男生，应先选出2名男生再进行捆绑，考虑女生和男生内部顺序，再考虑这个整体与另外三人共四人全排即得. 【详解】（1）因老师站在最中间，2名女生相邻，可先考虑从4个男生中选1人与女生在同侧有种， 这三个人与另外三个男生在老师两侧有种，女生与同侧的男生排序有种， 女生内部排序有种，另一边的三个男生排序有种， 由分步乘法计数原理，不同的排法有种； （2）先排老师和女生共有种站法，再排男生甲有种站法，最后排剩余的3名男生有种站法， 所以共有种不同的站法； （3）先任选2名男生站两名女生中间，有种站法， 再将这两名男生和两名女生进行捆绑与剩余的3个人进行全排有种， 由分步乘法计数原理，共有种不同的站法． 16．（24-25高二下·安徽安庆·期中）将4个编号为的小球放入4个编号为的盒子中． (1)有多少种放法？ (2)恰好有一个空盒，有多少种放法？ (3)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？ 【答案】(1)256（种） (2)144（种） (3)12（种） 【知识点】排列组合综合、分步乘法计数原理及简单应用、分组分配问题 【分析】（1）根据分步乘法计数原理即可求解； （2）方法1先分组再分配即可；方法2先取4个球中的两个“捆”在一起，把它与其他两个球共3个元素分别放入4个盒子中的3个盒子，最后利用分步乘法计数原理即可求解； （3）方法1先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下两个盒子各放一个，利用组合数即可求解；方法2恰有一个空盒子，第一步先选出一个盒子，第二步在小球之间的3个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，由分步计数原理即可求解， 【详解】（1）每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个一个放入盒子，共有种放法． （2）（方法1）先将4个小球分为三组，有种方法，再将三组小球投入四个盒子中的三个盒子，有种投放方法，故共有（种）放法． （方法2）先取4个球中的两个“捆”在一起，有种选法， 把它与其他两个球共3个元素分别放入4个盒子中的3个盒子，有种投放方法，所以共有（种）放法． （3）（方法1）先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下两个盒子各放一个．由于球是相同的即没有顺序，所以属于组合问题，故共有（种）放法． （方法2）恰有一个空盒子，第一步先选出一个盒子，有种选法， 第二步在小球之间的3个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，有种方法，由分步计数原理得，共有（种）放法． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$