专题03 第五章 导数在研究函数中的作用（5考点清单，知识导图+12个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高二数学下学期期末考点大串讲（人教A版2019）

清单03 第五章 导数在研究函数中的作用 （5个考点梳理+12题型解读+提升训练） 清单01 由函数单调性求参数取值范围 （1）已知函数在区间上单调 ①已知在区间上单调递增，恒成立. ②已知在区间上单调递减，恒成立. 注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号. （2）已知函数在区间上存在单调区间 ①已知在区间上存在单调增区间使得有解 ②已知在区间上存在单调减区间使得有解 （3）已知函数在区间上不单调，使得有变号零点 清单02 含参问题讨论单调性 第一步：求的定义域 第二步：求（导函数中有分母通分） 第三步：确定导函数有效部分，记为 对于进行求导得到，对初步处理（如通分），提出的恒正部分，将该部分省略，留下的部分则为的有效部分（如：，则记为的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定的正负. 第四步：确定导函数有效部分的类型： ①为一次型（或可化为一次型）②为二次型（或可化为二次型） 第五步：通过分析导函数有效部分，讨论的单调性 清单03 函数的极值 一般地，对于函数， （1）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极小值点，叫做函数的极小值. （2）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极大值点，叫做函数的极大值． （3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值. 注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数. 清单04 函数的最大（小）值 一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值. 设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为： （1）求在内的极值； （2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 清单05 函数的最值与极值的关系 （1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言； （2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）； （3）函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点； （4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得. 【考点题型一】求已知函数（不含参）的单调区间（） 【例1】（24-25高二下·四川泸州·阶段练习）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】直接求导，再令其小于0，解出即可. 【详解】的定义域为，解不等式，可得， 故函数的单调递减区间为. 故选：B. 【变式1-1】．（24-25高二下·辽宁·期中）已知函数满足，则的单调递增区间为（   ） A．， B．， C． D． 【答案】B 【知识点】导数的运算法则、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】利用导数，再进行赋值求解，然后根据导数的正负来求单调区间即可． 【详解】求导得：，再令得： ， 再由，令得; ，联立上两式可得：， 故， 由，满足解得：或， 所以的单调递增区间为，， 故选：B． 【变式1-2】.（24-25高二下·江西宜春·期中）函数的单调增区间为 ． 【答案】 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】根据导数与函数单调性的关系，即可求解. 【详解】，， ，得，所以函数的单调递增区间是. 故答案为： 【变式1-3】.（24-25高二下·广东广州·期中）函数的单调递减区间是 ． 【答案】 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】求定义域，求导，解不等式，求出单调递减区间. 【详解】的定义域为， ， 令得，故的单调递减区间为. 故答案为： 【考点题型二】已知函数在区间上单调，求参数（） 【例2】（2025·山西·一模）设，若函数在区间上单调，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由函数的单调区间求参数 【分析】由题意，设，利用导数可得在上单调递减，由，进而可得在区间上单调递增，在区间上单调递减，进而可得. 【详解】， 设，则， 故在上单调递减，又，可知在区间上单调递增， 在区间上单调递减，故，的取值范围是. 故答案为： 【变式2-1】.（24-25高二下·吉林四平·期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由函数的单调区间求参数、已知二次函数单调区间求参数值或范围 【分析】根据题意，求得，转化为恒成立，令，得到，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数， 可得， 因为在上单调递增，有恒成立， 整理为， 令，可得， 由二次函数的单调性，则满足，可得， 即实数的取值范围为. 故选：D. 【变式2-2】.（24-25高二下·福建福州·期中）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】求出函数的导数，再利用给定单调区间及单调性列出不等式，再利用分离参数法求解即可. 【详解】函数，求导得， 由在上单调递增， 得，，而恒有， 所以， 所以实数a的取值范围是. 故选：A. 【考点题型三】已知函数在区间上存在单调区间，求参数（） 【例3】（24-25高二下·天津滨海新·期中）若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】求出导函数，检验时的情况；当时，令，只需或.代入求解不等式，即可得出答案. 【详解】由已知可得定义域为， 当时，解可得，不满足定义域； 当时，令， 要使函数在区间内存在单调递减区间， 只需满足或. 由可得，，此时有； 由可得，，此时有. 所以，. 综上所述，. 故选：A. 【变式3-1】.（多选）（24-25高二下·湖北武汉·阶段练习）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】求出函数的导数，利用导函数的符号，转化求解表达式的最小值，然后推出的范围，结合选项即可判断． 【详解】， 因为函数在区间内存在单调递增区间， 所以在内有解，所以有解， 由于，所以，故， 则实数的取值范围是，结合选项可知，符合题意． 故选：CD. 【考点题型四】已知函数在区间上不单调，求参数（） 【例4】（24-25高二下·江西南昌·期中）若函数在区间上不单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由函数的单调区间求参数、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】根据题意转化为导数在上有变号零点，列出不等式求解. 【详解】，令， 因为函数在区间上不单调， 所以在上有变号零点， 即，解得， 故选：C 【变式4-1】.（24-25高二下·北京·期中）若函数不单调，则可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】分析可知，函数存在异号零点，则，可求出实数的取值范围，即可得出合适的选项. 【详解】因为函数的定义域为，则， 因为函数在上不单调，则函数存在异号零点， 所以，解得， 故选：A. 【变式4-2】.（24-25高二下·山东淄博·期中）已知函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由函数的单调区间求参数 【分析】求导后讨论单调性，再根据题意可得，进而解不等式即可. 【详解】由题知函数的定义域为， ， 所以，当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 因为函数在区间上不单调， 所以，，解得， 所以，实数的取值范围是. 故选：D． 【变式4-3】.（24-25高二下·天津滨海新·期中）若函数在上不单调，则实数的取值范围是 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】先对函数求导，根据函数单调性与导数的关系，结合函数在上不单调这一条件，确定的取值范围. 【详解】已知，其定义域为. 对求导可得：. 令，即，因为，所以，则，解得. 当时，，，，所以，函数在上单调递减； 当时，，，，所以，函数在上单调递增. 因为函数在上不单调，所以. 故实数的取值范围是. 故答案为：. 【考点题型五】函数与导函数图象之间的关系（） 【例5】（24-25高二下·上海徐汇·期中）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（    ）． A．函数在点处的切线斜率小于零 B．函数在区间上严格增 C．函数在处取得极大值 D．函数在区间内至多有两个零点 【答案】D 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、函数（导函数）图象与极值的关系 【分析】根据导函数的图象，结合函数的切线斜率、单调性、极值、零点与导数的关系逐项判断即可得结论. 【详解】选项A:曲线在点处的切线斜率等于零，故A错误； 选项B:函数在区间上单调递减，故B错误； 选项C:函数在左右两侧都单调递减，函数在此处不取得极大值，故C错误； 选项D:函数在区间先单调递增，再单调递减，故在区间内内至多有两个零点，故D正确． 故选：D． 【变式5-1】.（多选）（24-25高二下·贵州贵阳·期中）设是函数的导函数，的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ）    A．函数在区间上单调递减 B．函数一定有三个极值点 C．函数一定有最小值 D．函数一定有最大值 【答案】BD 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、函数（导函数）图像与极值点的关系 【分析】利用导函数的图象的正负即可判断的单调性，从而得到极值点和最值. 【详解】如图，设的图象和轴交点的横坐标从左到右依次为， 根据的图象可知， 函数在和上，单调递增， 函数在和上，单调递减， 故在上单调递增，上单调递减，故A错误； 由单调性知的极大值点为，极小值点为，故B正确； 函数的最大值是和两者中较大的一个，没有最小值，故C错误，D正确. 故选：BD.    【变式5-2】.（多选）（24-25高二下·四川资阳·期中）已知为函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，则（    ） A．有3个极值点 B．是的极大值点 C．是的极大值点 D．在上单调递增 【答案】ACD 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、函数极值点的辨析 【分析】根据函数得到图象，得出的符号，求得的单调性和极值点，由此确定正确答案． 【详解】根据函数的图象得： 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当，，单调递减， 所以有3个极值点，其中和是的极大值点， 且在上单调递增，是的极小值点， 结合选项，可得A、C、D正确，B错误． 故选：ACD 【变式5-3】.（多选）（24-25高二下·广东广州·期中）函数的导函数的图象如图所示，下列命题中正确的是（   ）    A．和是函数的极值点 B．是函数的最小值点 C．在区间上单调递增 D．在处切线的斜率大于零 【答案】CD 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、函数（导函数）图像与极值点的关系 【分析】由导函数图象与原函数关系可判断选项正误； 【详解】对于A，由图可得，又在附近，的符号发生了变化， 则是的极值点；注意到，但在附近，的符号没有发生变化，则不是函数的极值点，故A错误； 对于BC，由图可得当时，，则在上单调递增， 则不是函数的最小值点，故B错误，C正确； 对于D，由图可知，，即在处切线的斜率大于零，故D正确. 故选：CD 【考点题型六】导函数有效部分是一次型或可化为一次型（） 【例6】（24-25高二下·福建三明·期中） (1)，求曲线在点处的切线方程 (2)讨论的单调性 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）把代入，求出的导数，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求出的导数，再分类讨论求出函数的单调区间. 【详解】（1）当时，，求导得，则，而， 所以所求切线方程为：，即． （2）函数的定义域为R，求导得， 当时，恒成立，函数在R上单调递减； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在R上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 【变式6-1】.（24-25高二下·天津红桥·阶段练习）已知 (1)若 求在处的切线的斜率; (2)讨论的单调性; 【答案】(1) (2)答案见详解 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线的斜率即可. （2）求导，分和讨论，求出单调性即可. 【详解】（1）当时，，则， 所以所求切线的斜率为. （2）由，，则， 当时，，即在上单调递增， 当时，， 由，得，由，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【变式6-2】（23-24高二下·天津·期中）已知函数，． (1)若在点处取得极值． ①求的值； ②证明：； (2)求的单调区间． 【答案】(1)①1；②证明见解析； (2)答案见解析. 【知识点】根据极值点求参数、利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）①先由在点处取得极值，求出参数的值；②经分析函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，即时，取得最小值，即可得证； （2）分和两种情况讨论函数的单调区间即可. 【详解】（1）①由于函数，得， 因为在点处取得极值， 所以,所以， 经检验的导函数在区间上小于，在区间上大于， 故在点处取得极小值． ②由①得，，． 令，解得． 当x变化时，，的变化情况如表所示． x 1 － 0 ＋ 单调递减 1 单调递增 所以，当时，取得最小值． 所以，即． （2）函数的定义域为，且， 当时，恒成立， 所以的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，令解得， 的解集为， 的解集为， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为 综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 【考点题型七】导函数有效部分是二次型或可化为二次型（） 【例7-1】（24-25高三上·江苏淮安·开学考试）已知函数． (1)若，求函数的极值； (2)讨论函数的单调性． 【答案】(1)极小值为，极大值为 (2)答案见解析 【知识点】求已知函数的极值、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）对求导，分析单调性，再根据极值定义即可求解； （2），对分，和讨论单调性即可. 【详解】（1）. 所以或时，，时，， 则在上递减，在递增， 所以的极小值为，极大值为. （2）， 当时，，所以在上递增， 当时，或时，；时，， 所以在上递增，在上递减， 当时，或时，；时，， 所以在上递增；在上递减． 【例7-2】（24-25高二下·四川绵阳·期中）已知函数. (1)当时，求证； (2)讨论的单调性； 【答案】(1)证明见详解 (2)答案见详解 【知识点】利用导数研究函数的零点、含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数证明不等式 【分析】（1）求导，利用导数分析的单调性和最值，即可得结果； （2）求导可得，分和两种情况，利用导数判断函数单调性； 【详解】（1）若，则，， 令，则，解得； 令，则，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减， 所以. （2）因为， 若，则，可知在上单调递减； 若，令，则，解得； 令，则，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减； 综上所述：若，在上单调递减； 若，在内单调递增，在内单调递减. 【变式7-1】.（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）已知函数. (1)若，求在处的切线方程. (2)讨论的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解直线方程， （2）求导，对分类讨论，根据导函数的正负即可求解单调性. 【详解】（1）由题设，则， 所以，，故切线方程为，         整理得. （2）由题设，且， 当时，当时，时， 所以在上单调递增，在上单调递减； 当时，时，或时， 所以在上单调递减，在上单调递增； 当时，恒成立，即在上单调递减；. 当时，时，或时， 所以在上单调递减，在上单调递增； 【变式7-2】（24-25高二下·山东临沂·阶段练习）已知函数，其中. (1)若在处取得极值，求a的值； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】根据极值求参数、含参分类讨论求函数的单调区间、根据极值点求参数 【分析】（1）首先根据极值点和极值求参数，再代入验证； （2）首先求函数的导数，再讨论的取值，根据二次函数的不同情况，求解函数的单调区间. 【详解】（1）， 由题意，， 解得， 当时，，定义域为， ，令，解得， 令，解得，故为的极值点， 满足题意，故； （2）定义域为， 当时，， 所以时，，单调递增，时，，单调递减， 当时，， 当时， ①时，， 令，解得或，令，解得， 函数在，内单调递增，在内单调递减； ②当时，，故函数在上单调递增； ③当时，，令，解得或，令，解得， 故在，内单调递增，在内单调递减． 当时，当时，，单调递增，当时，，单调递减， 综上：当时，在单调递增，在单调递减， 当时，在，内单调递增，在内单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，内单调递增，在内单调递减. 【考点题型八】导函数有效部分是不可因式分解的二次型（） 【例8】（2025·吉林·模拟预测）已知函数，其中为常数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数研究函数的零点、根据极值点求参数 【分析】（1），求导，得到，利用导数几何意义求出切线方程； （2）求定义域，求导，结合导函数特征，分，和三种情况，解不等式，求出函数单调性； （3）在（2）基础上，得到，由二次函数对称轴得到，且，解得． 【详解】（1）当时，，， ，此时， 因此曲线在点处的切线方程为． （2）函数的定义域为，， 当，即时，，令，解得， 令得，令得， 此时函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，中，， 当，即时， 方程在上仅有一个正根， 令得，令得， 此时函数在上单调递增，在上单调递减； 当，即时， 方程在上有两个不等正根， 分别为，， ， 故， 令令得，令得， 此时函数在和上单调递增， 在上单调递减． 综上，当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在和上单调递增， 在上单调递减； 【变式8-1】.（24-25高二下·广东佛山·阶段练习）已知函数. (1)当时，求函数在点处的切线； (2)若函数在上为增函数，求实数的取值范围； (3)讨论函数的导函数在定义域上的单调性. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【知识点】求已知函数的极值、由函数在区间上的单调性求参数、含参分类讨论求函数的单调区间、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）先求导函数，把代入导函数得切线斜率，再代入原函数得切点纵坐标，最后用点斜式求切线方程. （2）已知在上为增函数，那么其导函数在该区间恒成立.通过分离参数得到与一个新函数的关系，设新函数，对求导判断单调性，进而求出最小值，得到的取值范围. （3）先得出及其导函数，令导函数中分子为，根据判别式的值分类讨论.当时，恒正，单调递增；当时，求出的根，再根据的不同取值范围，确定正负，从而得到的单调区间. 【详解】（1）时，， ，则，， 所以在点处的切线为，整理得：， 故在点处的切线为； （2）易知， 因为在上为增函数，所以在恒成立， 由在恒成立，得，， 设，， 令，在上恒成立， 所以在上递增，，即在上恒成立， 所以在上递增，，故，即； （3）由题意知，定义域为，故， 设，， （ⅰ）当时，即时，对恒成立，即对恒成立， 故函数在上单调递增. （ⅱ）当时，即时， 令，解得：， ①当时，由韦达定理得：，，故， 令，解得：或， 令，解得：， 故函数在和上单调递增，在上单调递减. ②当时，由韦达定理得： ，，故， 令，解得：，令，解得：， 故函数在上单调递增，在上单调递减. 综上所述， 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增. 【变式8-2】.（24-25高三下·福建龙岩·阶段练习）已知函数. (1)讨论的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、求已知函数的极值 【分析】（1）对函数求导，对参数进行分类讨论即可. 【详解】（1）易知的定义域为， 且， 记 当时，，此时恒成立，则恒成立， 当时，，此时恒成立，则恒成立，当且仅当时取等号. 所以函数在上单调递增； 当时，，此时有两个正根： 或. 当时，； 当时，； 所以在上单调递增， 在上单调递减. 综上所述：当时，函数在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【考点题型九】求已知函数（不含参）极值（点）最值（） 【例9-1】（24-25高二下·甘肃武威·期中）已知函数． (1)求函数的极值； (2)求函数在上的最大值和最小值． 【答案】(1)极小值为，极大值为0 (2)，. 【知识点】求已知函数的极值、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）求出导函数，再列表得出函数单调性及函数的极值； （2）求出导函数，再列表得出函数单调性及函数的极值比较得出函数最值； 【详解】（1）定义域，令，， 0 2 0 0 单调递减 极小值 单调递增 极大值0 单调递减 当时，有极小值，极小值为； 当时，有极大值，极大值为． （2） 0 2 3 0 0 16 单调递减 极小值 单调递增 极大值0 单调递减 所以，.． 【例9-2】（24-25高二下·天津·期中）已知函数，当时，取得极大值，当时，取得极小值. (1)求的值； (2)求的极小值. 【答案】(1)， (2) 【知识点】求已知函数的极值、根据极值点求参数、根据极值求参数 【分析】（1）求出函数的导函数，依题意和是方程的两根，利用韦达定理求出、的值，再检验即可； （2）由极大值求出，从而求出函数的极小值. 【详解】（1）∵，∴. ∵当时，取得极大值，当时，取得极小值， ∴和是方程的两根， 所以，解得， 此时，所以， 所以当或时，当时， 即在，上单调递增，在上单调递减， 则在处取得极大值，在处取得极小值，符合题意； 所以，. （2）由（1）知，， ∵当时取得极大值， ∴，∴， 则， 此时函数的极小值为. 【变式9-1】.（24-25高二下·安徽宿州·期中）已知函数在处取得极值. (1)求函数的单调区间； (2)求函数在区间的最大值与最小值. 【答案】(1)单调递增区间为，，单调递减区间为. (2)最大值为2，最小值为. 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、由导数求函数的最值（不含参）、根据极值点求参数 【分析】（1）根据函数的极值点求出a，再结合导数与函数单调性的关系，即可求得答案； （2）结合（1）判断函数的极值点，代入解析式求值，即得答案. 【详解】（1）由题意得，由题意得，即，解得， 故，定义域为R， ，令得或，令得， 故在，上单调递增，在上单调递减， 易知为极小值点，符合题意， 所以单调递增区间为，，单调递减区间为. （2）由（1）知，在，上单调递增，在上单调递减， 1 + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以，. 又，， 故的最大值为2，最小值为. 【变式9-2】.（24-25高二下·广东东莞·阶段练习）已知函数， (1)求函数在点点处的切线方程； (2)求函数的极值点和极值． 【答案】(1) (2)极值点；极大值0，无极小值 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求已知函数的极值、求已知函数的极值点 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）利用导数求出函数的极值点和极值. 【详解】（1）函数，求导得，则，而 所以所求切线方程为：. （2）函数的定义域为，， 由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的极大值点为1，极大值，无极小值． 【考点题型十】根据函数的极值（点）求参数（） 【例10】（24-25高二下·浙江·期中）若，，且函数在处有极值，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】基本不等式求积的最大值、根据极值点求参数 【分析】对求导，得到，根据条件有，得到，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】因为，则， 由题有，得到，所以， 得到，当且仅当时，取等号， 故选：D. 【变式10-1】．（24-25高二下·广东汕头·期中）已知函数在处有极大值，则（   ） A．2 B．6 C．2或6 D． 【答案】B 【知识点】根据极值点求参数 【分析】通过函数求导，由题意可得，求得或，再回代入函数解析式，检验其单调性和极值情况即可. 【详解】由求导得：， 因函数在处有极大值，故，解得或. 当时，， 由可得或，由可得， 即函数在和上单调递增，在上单调递减， 故此时函数在处有极小值，不合题意； 当时，， 由可得或，由可得， 即函数在和上单调递增，在上单调递减， 故此时函数在处有极大值，符合题意. 故. 故选：B. 【变式10-2】.（24-25高二下·云南昆明·期中）已知函数在内有最小值，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知函数最值求参数 【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，求出函数的极小值点，进而求出的范围即可. 【详解】函数定义域为，求导得， 当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，函数在处取得极小值，即最小值， 又函数在内有最小值，则，解得， 所以实数的取值可以是. 故选：D 【变式10-3】.（24-25高三上·湖南永州·阶段练习）函数在区间上有最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、已知函数最值求参数 【分析】根据的导数求的单调性和极值，作出简图，数形结合即可求m的范围. 【详解】因为， 所以当或时，当时， 所以在，单调递增，在单调递减， 又，，，， 故的图象如图： 函数在区间上有最小值，则由图可知， 即的取值范围是. 故选：D. 【考点题型十一】求已知函数（含参）极值（点）、最值（） 【例11-1】（24-25高二下·内蒙古赤峰·期中）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若，的极小值为，求的最小值． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、求已知函数的极值 【分析】（1）求导得，即可对讨论，根据导数的正负确定单调性即可， （2）根据（1）的单调性可得，根据的单调性即可求解. 【详解】（1）因为， 所以， 易知，恒成立， 当时，恒成立，所以在上单调递减， 当时，由，得到， 当时，；当时，， 所以时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 综上，当时，在上单调递减， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增． （2）由（Ⅰ）知，当时，在上单调递减，此时无极值， 当时，函数的极小值为： ， 由于均为单调递增，故在上递增 的最小值为． 【例11-2】（24-25高二下·北京·期中）已知函数 (1)若时，求函数在处的切线方程； (2)求函数的极值. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【知识点】简单复合函数的导数、求已知函数的极值、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）把代入，求出导数，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）按求出定义域及导数，进而求出极值. 【详解】（1）当时，函数，求导得，则，而， 所以函数的图象在处的切线方程为，即. （2）当时，函数的定义域为， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 函数在处取得极大值，无极小值； 当时，函数的定义域为， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在处取得极大值，无极小值. 【变式11-1】.（24-25高二下·北京·期中）设函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的极值； (3)求函数在区间上的最大值 【答案】(1)； (2)极大值为，极小值为； (3)答案见解析. 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（含参）、求已知函数的极值 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程； （2）利用导数研究单调性，即可得极值； （3）由题设有，，再讨论、确定对应最大值. 【详解】（1）由题设，则，且， 所以曲线在点处的切线方程，则； （2）由（1）有， 或时，，则在、上单调递增， 时，，则在上单调递减， 所以函数极大值为，极小值为. （3）在区间上，，显然， 若，则，此时的最大值为0； 若，则，此时的最大值为. 【变式11-2】.（24-25高二下·黑龙江大庆·期中）已知函数. (1)当时，求的单调递增区间； (2)当时，设的极大值为，求证：. 【答案】(1)和. (2)证明见解析 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、求已知函数的极值、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）求导，判断导数正负得解； （2）分，，讨论，利用导数判断单调性求极值证明. 【详解】（1）因为，所以，, 由，即，解得或， 所以在和单调递增， 由，即，解得， 所以在单调递减， 故的单调增区间为和. （2）当时，由（1）知，的极大值等于； 当时，，单调递增，无极大值； 当时，当时，单调递增，当时，单调递减， 当时，单调递增，所以的极大值等于， 令，所以， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以. 综上所述，. 【考点题型十二】根据函数的最值求参数（） 【例12】（24-25高二下·四川绵阳·期中）函数 (1)若在处取得极小值，求实数的取值范围， (2)若在区间上的最大值是，最小值是，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据极值点求参数、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）利用导数判断函数单调性，从而得极值，即可得解； （2）分和，由单调性得最值，从而求解. 【详解】（1）因为， 令得或， 当时， 所以在递增，在递减，则为极大值点，不符合题意； 当时， 在递减，在递增，则为极小值点，符合题意； 所以的取值范围为. （2）当时， 在递增，在递减， 又，， ，， ，满足，则， 当时， 在递减，在递增， ，， ，满足，则， 综上：. 【变式12-1】.（24-25高二下·四川成都·期中）已知函数． (1)若，求函数的单调区间； (2)求在上的最大值为0，求a的值． 【答案】(1)增区间为，减区间为 (2) 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）对函数求导，令可得的增区间，令可得的减区间； （2）对分类讨论，求出，，时函数的最大值，令最大值为0，即可求解. 【详解】（1）函数的定义域为，则．因为，所以， 由，可得，由，可得． 此时，函数的增区间为，减区间为． （2）， 当时，在上，所以函数在上单调递减， 此时，，令，则，不合题意. 当时，由得，由得，所以函数在上单调递增，在上单调递减， 此时，，令，则. 当时，在上，所以函数在上单调递增，此时，，令，则，不合题意. 综上所述：. 【变式12-2】.（24-25高二下·山东·期中）已知函数． (1)讨论的单调性． (2)若函数有最小值，且的最小值大于，求实数的取值范围． 【答案】(1) 答案见解析 (2) 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）求导，对讨论，即可根据导函数的正负确定单调性， （2）根据（1）的单调性求解的最小值，即可构造函数，求导，即可根据函数单调性求解. 【详解】（1）的定义域为， 当时，，则在上单调递增； 当时，由得，由得， 所以在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时， 在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）知 当时， 在上单调递增，无最小值； 当时，有最小值， 依题意，，即， 因为，所以， 设，（），则， 因，则在上单调递增， 又，故由可得， 即，解得， 故实数a的取值范围是. 【变式12-3】.（24-25高二下·江苏常州·期中）已知函数（其中为常数）在处取得极值. (1)当时，求的极值； (2)若在上的最大值为2，求的值. 【答案】(1)极大值为：，极小值 (2)或. 【知识点】已知函数最值求参数、求已知函数的极值 【分析】（1）由函数的解析式，可求出函数导函数的解析式，进而根据是的一个极值点，可构造关于，的方程，根据求出值；可得函数导函数的解析式，分析导函数值大于0和小于0时，的范围，可得函数的单调区间； （2）对函数求导，写出函数的导函数等于0的的值，列表表示出在各个区间上的导函数和函数的情况，做出极值，把极值同端点处的值进行比较得到最大值，最后利用条件建立关于的方程求得结果. 【详解】（1）因为，所以， 因为函数在处取得极值，， 当时，，， ，随的变化情况如下表： 1 + 0 - 0 + 增 极大值 减 极小值 增 所以的单调递增区间为，；单调递减区间为， 极大值为：，极小值， （2）当时，由，可知， ，， 易知当时，，当时，， 所以，在单调递增，在单调递减， 此时最大值为，不符合题意， 当时，由，得到， 所以， 令，，， 因为在处取得极值，所以， 当时，易得在上恒成立， 在上单调递减； 所以在区间上的最大值为， 令，解得， 当，； 当时，易得在恒成立， 在上单调递增， 所以，解得，符合； 当时， 由得，由得 所以在上单调递减，上单调递增， 所以最大值2可能在或处取得，而， 所以， 解得，与矛盾 当时，可以在恒成立， 所以在单调递减， 所以最大值2可能在处取得，而，矛盾 综上所述，或. 提升训练 一、单选题 1．（24-25高二下·江苏徐州·期中）函数存在大于1的极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据极值点求参数 【分析】求出函数导数，将问题转化为存在大于1的根，即存在大于1的解，即存在大于1的解，结合二次函数性质即可求得答案. 【详解】由题意知的定义域为， 则， 由存在大于1的极值点，可知存在大于1的根， 即存在大于1的解，即存在大于1的解， 而时，随x增大而增大，故， 故， 故选：B 2．（河北省2025届高三下学期普通高等学校招生考试预测卷（一）数学试题）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数与导函数图象之间的关系 【分析】求导可得，再由二次函数的图象性质即可判断. 【详解】， 如图：因为的图象是开口向上的抛物线，所以； 应为函数图象关于轴对称，即为偶函数，所以； 因为有两根且互为相反数，所以. 综上：. 故选：B． 3．（2025·安徽·模拟预测）已知若函数有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据分段函数的单调性求参数、根据极值点求参数、分段函数的性质及应用 【分析】根据分段函数思想，结合函数的性质分析，可得函数在对称轴和分界点两处取得极值，列出不等式组，解之即得. 【详解】因时，，函数图象的对称轴为， 当时，函数在时取得极大值， 又因时，，且， 由函数的性质，可知要使还有一个极值，那就是， 所以必须使， 则由，可得. 故选：A. 4．（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）若函数无极值，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、根据极值点求参数 【分析】由已知可得恒成立，求解即可. 【详解】的导数为， 函数不存在极值点， 在R上恒成立， 即恒成立， ，解得， 即实数a的取值范围是. 故选：D. 5．（24-25高二下·甘肃白银·期中）已知函数的导函数的图象如图所示，则的极大值点为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数（导函数）图像与极值点的关系、求已知函数的极值点 【分析】根据导函数的图象得到的取值情况，即可得到的单调性，从而得到函数的极大值点. 【详解】由导函数的图象可知，当时，当时， 当时， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以的极大值点为. 故选：B 6．（2025·重庆·三模）已知函数的一个极小值点为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数极值的辨析、根据极值求参数 【分析】先根据绝对值的性质将函数写成分段函数的形式，再对其求导，结合极小值点的性质来确定实数的取值范围. 【详解】已知，根据绝对值的性质， 当时，，此时； 当时，，此时. 所以. 对分段函数求导， 当时，，对其求导，可得； 当时，，对其求导可得. 因为是函数的一个极小值点，所以在左侧附近，在右侧附近. 当时，，令，即，解得； 当时，，令，即，解得. 要使是极小值点，则需满足，解这个不等式，得. 所以实数的取值范围是. 故选：A. 7．（24-25高二下·四川南充·期中）已知函数，若在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】利用导函数将题设条件转化成在上恒成立，分离参数可得，再根据函数单调性求出函数的最值，即可得到结论. 【详解】由求导可得， 根据题意，在区间上单调递增，则在上恒成立， 即，分离参数可得， 因为函数在上单调递增，所以， 所以，故实数的取值范围是. 故选：D. 8．（24-25高二下·云南昆明·期中）已知函数，若对于任意两个不相等的实数、，都有恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】依题意可得在上单调递增，则恒成立，参变分离可得恒成立，求出，即可得解. 【详解】因为对于任意两个不相等的实数、，都有恒成立， 所以在上单调递增， 因为，则恒成立， 所以恒成立， 又，所以，即实数的取值范围是. 故选：A 二、多选题 9．（24-25高二下·广东中山·阶段练习）函数 的导函数 的图像如图所示，以下命题正确的是（ ） A．是函数的最小值 B．是函数的极值 C．在区间上单调递增 D．在处的切线的斜率大于0 【答案】BCD 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、函数与导函数图象之间的关系、函数（导函数）图象与极值的关系、函数最值与极值的关系辨析 【分析】利用导函数的图像，可得函数的单调性，逐一判断即可. 【详解】由图像可知：当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在单调递增， 所以是函数的极小值，在区间上单调递增，故A错误，B正确，C正确； 由图可知，故D正确， 故选：BCD. 10．（吉林省吉林市普通高中2024-2025学年高三下学期第四次模拟测试数学试题）已知函数，则（   ） A．当时，函数的单调递减区间是 B．当时，函数的单调递增区间是 C．是函数的极大值 D．函数有且只有一个零点 【答案】BCD 【知识点】由函数的单调区间求参数、求已知函数的极值、利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究函数的零点 【分析】当时，利用导数求函数的单调性，判断AB；分和研究函数的单调性和最值，从而判断CD. 【详解】当时，, 则， 当时，， 则函数的单调递减区间是和， 当时，，则函数的单调递增区间是， 故A错误，B正确； 因为，则， 当时，当时，， 则函数的单调递减区间是和， 当时，，则函数的单调递增区间是， 所以是函数的极大值点，极大值为， 当时，当时，， 则函数的单调递增区间是和， 当时，，则函数的单调递减区间是， 所以是函数的极大值点，极大值为，故C正确； 根据上面研究，当时，函数的单调递减区间是和， 单调递增区间是，且，所以当时，， 当时，，所以函数只有一零点， 当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是，且，所以当时，， 当时，，所以函数只有一零点，D正确. 故选：BCD 三、填空题 11．（2025·甘肃平凉·模拟预测）函数的单调递减区间是 . 【答案】（写成，，，同样给分） 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】根据导数和函数单调性的关系，即可求解. 【详解】因为，， 令，得，解得， 所以的单调递减区间是. 故答案为： 12．（24-25高二下·四川成都·期中）若函数恰有三个单调区间，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、函数极值点的辨析 【分析】将问题转化为存在两个不同的零点，利用即可. 【详解】函数定义域为R， 因函数恰有三个单调区间，则函数有两个极值点， 即在上存在两个不同的零点， 则判别式，解得或， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 四、解答题 13．（24-25高二下·天津·期中）已知函数 (1)讨论的单调性； (2)当时， ， 求实数 的最大值． (3)当时， 设的极大值为， 求证： 【答案】(1)答案见解析 (2)3 (3)证明见解析 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间、求已知函数的极值、利用导数证明不等式 【分析】（1）求出函数及其导数，再分类讨论求出的单调区间. （2）等价变形给定不等式分离参数，构造函数，利用导数探讨其最小值即可. （3）由（1）求出，再分类并结合导数证明不等式. 【详解】（1）函数定义域为R，， ①当时，令，；  ， 函数在上单调递增，在上单调递减； ②当时，令，或；，， 函数在和上单调递增，在上单调递减； ③当时，，函数在上单调递增； ④当时，令，或；，； 函数在和上单调递增，在单调递减， 所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在和上单调递增，在单调递减. （2），不等式恒成立， 令，求导得， 令，求导得，在上递增， 而，，则使得，即， 当时，，此时；当时，，此时， 在上递减，在上递增， ，， 所以的最大整数值为3． （3）由（1）知，当时，的极大值等于； 当时，，单调递增，无极大值； 当时，当时，，当时，， 函数的极大值等于， 令，求导得， 在上，在上，， 因此在上单调递减，在上单调递增，故， 综上可得：. 14．（24-25高二下·北京·期中）已知函数在处取得极值. (1)求实数、的值； (2)求函数在区间上的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【知识点】根据极值求参数、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）由题意可得，解出、的值，结合函数极值的定义验证即可； （2）利用导数求出函数在区间上的最大值和最小值，即可得出答案. 【详解】（1）由，得. 又当时，有极值，所以，解得. 所以， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 所以当时，有极小值，所以，. （2）由（1）知，， 令，得，， 、的值随的变化情况如下表： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 由表可知在上的最大值为，最小值为， 即在上的取值范围为. 15．（24-25高三下·广西·期中）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)当时，求证：对任意的，恒成立； (3)若的极大值为，求的取值范围． 【答案】(1)函数的单调递减区间是，单调递增区间是 (2)证明见解析 (3) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、根据极值点求参数、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）求导，根据导数的符号求函数的单调区间； （2）分析可知原题意等价于，构建，利用导数分析最值证明不等式即可； （3）求导整理可得，分和两种情况，结合极大值的定义运算求解即可. 【详解】（1）当时，，则． 令，得；令，得． 所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是． （2）当时，． 要证，即证． 构建，则． 构建，则． 所以函数在上单调递增，则，即， 可知函数在上单调递增， 则，即． （3）因为． 当时，则， 令，得；令，得； 可知在上单调递减，在上单调递增， 此时只有极小值，不符合题意； 当时，令，得． 因为的极大值为，则，解得， 此时当或时，；当时，； 可知在内单调递增，在内单调递减， 则的极大值为，符合题意； 综上，的取值范围为． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03 第五章 导数在研究函数中的作用 （5个考点梳理+12题型解读+提升训练） 清单01 由函数单调性求参数取值范围 （1）已知函数在区间上单调 ①已知在区间上单调递增，恒成立. ②已知在区间上单调递减，恒成立. 注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号. （2）已知函数在区间上存在单调区间 ①已知在区间上存在单调增区间使得有解 ②已知在区间上存在单调减区间使得有解 （3）已知函数在区间上不单调，使得有变号零点 清单02 含参问题讨论单调性 第一步：求的定义域 第二步：求（导函数中有分母通分） 第三步：确定导函数有效部分，记为 对于进行求导得到，对初步处理（如通分），提出的恒正部分，将该部分省略，留下的部分则为的有效部分（如：，则记为的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定的正负. 第四步：确定导函数有效部分的类型： ①为一次型（或可化为一次型）②为二次型（或可化为二次型） 第五步：通过分析导函数有效部分，讨论的单调性 清单03 函数的极值 一般地，对于函数， （1）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极小值点，叫做函数的极小值. （2）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极大值点，叫做函数的极大值． （3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值. 注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数. 清单04 函数的最大（小）值 一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值. 设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为： （1）求在内的极值； （2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 清单05 函数的最值与极值的关系 （1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言； （2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）； （3）函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点； （4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得. 【考点题型一】求已知函数（不含参）的单调区间（） 【例1】（24-25高二下·四川泸州·阶段练习）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】．（24-25高二下·辽宁·期中）已知函数满足，则的单调递增区间为（   ） A．， B．， C． D． 【变式1-2】.（24-25高二下·江西宜春·期中）函数的单调增区间为 ． 【变式1-3】.（24-25高二下·广东广州·期中）函数的单调递减区间是 ． 【考点题型二】已知函数在区间上单调，求参数（） 【例2】（2025·山西·一模）设，若函数在区间上单调，则的取值范围是 ． 【变式2-1】.（24-25高二下·吉林四平·期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】.（24-25高二下·福建福州·期中）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【考点题型三】已知函数在区间上存在单调区间，求参数（） 【例3】（24-25高二下·天津滨海新·期中）若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】.（多选）（24-25高二下·湖北武汉·阶段练习）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值可以为（    ） A． B． C． D． 【考点题型四】已知函数在区间上不单调，求参数（） 【例4】（24-25高二下·江西南昌·期中）若函数在区间上不单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】.（24-25高二下·北京·期中）若函数不单调，则可以为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】.（24-25高二下·山东淄博·期中）已知函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】.（24-25高二下·天津滨海新·期中）若函数在上不单调，则实数的取值范围是 【考点题型五】函数与导函数图象之间的关系（） 【例5】（24-25高二下·上海徐汇·期中）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（    ）． A．函数在点处的切线斜率小于零 B．函数在区间上严格增 C．函数在处取得极大值 D．函数在区间内至多有两个零点 【变式5-1】.（多选）（24-25高二下·贵州贵阳·期中）设是函数的导函数，的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ）    A．函数在区间上单调递减 B．函数一定有三个极值点 C．函数一定有最小值 D．函数一定有最大值 【变式5-2】.（多选）（24-25高二下·四川资阳·期中）已知为函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，则（    ） A．有3个极值点 B．是的极大值点 C．是的极大值点 D．在上单调递增 【变式5-3】.（多选）（24-25高二下·广东广州·期中）函数的导函数的图象如图所示，下列命题中正确的是（   ）    A．和是函数的极值点 B．是函数的最小值点 C．在区间上单调递增 D．在处切线的斜率大于零 【考点题型六】导函数有效部分是一次型或可化为一次型（） 【例6】（24-25高二下·福建三明·期中） (1)，求曲线在点处的切线方程 (2)讨论的单调性 【变式6-1】.（24-25高二下·天津红桥·阶段练习）已知 (1)若 求在处的切线的斜率; (2)讨论的单调性; 【变式6-2】（23-24高二下·天津·期中）已知函数，． (1)若在点处取得极值． ①求的值； ②证明：； (2)求的单调区间． 【考点题型七】导函数有效部分是二次型或可化为二次型（） 【例7-1】（24-25高三上·江苏淮安·开学考试）已知函数． (1)若，求函数的极值； (2)讨论函数的单调性． 【例7-2】（24-25高二下·四川绵阳·期中）已知函数. (1)当时，求证； (2)讨论的单调性； 【变式7-1】.（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）已知函数. (1)若，求在处的切线方程. (2)讨论的单调性. 【变式7-2】（24-25高二下·山东临沂·阶段练习）已知函数，其中. (1)若在处取得极值，求a的值； (2)讨论的单调性． 【考点题型八】导函数有效部分是不可因式分解的二次型（） 【例8】（2025·吉林·模拟预测）已知函数，其中为常数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； 【变式8-1】.（24-25高二下·广东佛山·阶段练习）已知函数. (1)当时，求函数在点处的切线； (2)若函数在上为增函数，求实数的取值范围； (3)讨论函数的导函数在定义域上的单调性. 【变式8-2】.（24-25高三下·福建龙岩·阶段练习）已知函数. (1)讨论的单调性； 【考点题型九】求已知函数（不含参）极值（点）最值（） 【例9-1】（24-25高二下·甘肃武威·期中）已知函数． (1)求函数的极值； (2)求函数在上的最大值和最小值． 【例9-2】（24-25高二下·天津·期中）已知函数，当时，取得极大值，当时，取得极小值. (1)求的值； (2)求的极小值. 【变式9-1】.（24-25高二下·安徽宿州·期中）已知函数在处取得极值. (1)求函数的单调区间； (2)求函数在区间的最大值与最小值. 【变式9-2】.（24-25高二下·广东东莞·阶段练习）已知函数， (1)求函数在点点处的切线方程； (2)求函数的极值点和极值． 【考点题型十】根据函数的极值（点）求参数（） 【例10】（24-25高二下·浙江·期中）若，，且函数在处有极值，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】．（24-25高二下·广东汕头·期中）已知函数在处有极大值，则（   ） A．2 B．6 C．2或6 D． 【变式10-2】.（24-25高二下·云南昆明·期中）已知函数在内有最小值，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】.（24-25高三上·湖南永州·阶段练习）函数在区间上有最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考点题型十一】求已知函数（含参）极值（点）、最值（） 【例11-1】（24-25高二下·内蒙古赤峰·期中）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若，的极小值为，求的最小值． 【例11-2】（24-25高二下·北京·期中）已知函数 (1)若时，求函数在处的切线方程； (2)求函数的极值. 【变式11-1】.（24-25高二下·北京·期中）设函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的极值； (3)求函数在区间上的最大值 【变式11-2】.（24-25高二下·黑龙江大庆·期中）已知函数. (1)当时，求的单调递增区间； (2)当时，设的极大值为，求证：. 【考点题型十二】根据函数的最值求参数（） 【例12】（24-25高二下·四川绵阳·期中）函数 (1)若在处取得极小值，求实数的取值范围， (2)若在区间上的最大值是，最小值是，求的值. 【变式12-1】.（24-25高二下·四川成都·期中）已知函数． (1)若，求函数的单调区间； (2)求在上的最大值为0，求a的值． 【变式12-2】.（24-25高二下·山东·期中）已知函数． (1)讨论的单调性． (2)若函数有最小值，且的最小值大于，求实数的取值范围． 【变式12-3】.（24-25高二下·江苏常州·期中）已知函数（其中为常数）在处取得极值. (1)当时，求的极值； (2)若在上的最大值为2，求的值. 提升训练 一、单选题 1．（24-25高二下·江苏徐州·期中）函数存在大于1的极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（河北省2025届高三下学期普通高等学校招生考试预测卷（一）数学试题）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·安徽·模拟预测）已知若函数有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）若函数无极值，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·甘肃白银·期中）已知函数的导函数的图象如图所示，则的极大值点为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·重庆·三模）已知函数的一个极小值点为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·四川南充·期中）已知函数，若在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·云南昆明·期中）已知函数，若对于任意两个不相等的实数、，都有恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二下·广东中山·阶段练习）函数 的导函数 的图像如图所示，以下命题正确的是（ ） A．是函数的最小值 B．是函数的极值 C．在区间上单调递增 D．在处的切线的斜率大于0 10．（吉林省吉林市普通高中2024-2025学年高三下学期第四次模拟测试数学试题）已知函数，则（   ） A．当时，函数的单调递减区间是 B．当时，函数的单调递增区间是 C．是函数的极大值 D．函数有且只有一个零点 三、填空题 11．（2025·甘肃平凉·模拟预测）函数的单调递减区间是 . 12．（24-25高二下·四川成都·期中）若函数恰有三个单调区间，则实数的取值范围为 ． 四、解答题 13．（24-25高二下·天津·期中）已知函数 (1)讨论的单调性； (2)当时， ， 求实数 的最大值． (3)当时， 设的极大值为， 求证： 14．（24-25高二下·北京·期中）已知函数在处取得极值. (1)求实数、的值； (2)求函数在区间上的取值范围. 15．（24-25高三下·广西·期中）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)当时，求证：对任意的，恒成立； (3)若的极大值为，求的取值范围． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$