专题08 第七章  随机变量及其分布列（6考点清单，知识导图+12个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高二数学下学期期末考点大串讲（人教A版2019）

清单08 第七章  随机变量及其分布列 （6个考点梳理+12题型解读+提升训练） 清单01 条件概率 （1）一般地，设，为两个随机事件，且，我们称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率． 清单02 条件概率性质 （1）由条件概率的定义，对任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式． （2）如果和是两个互斥事件，则； 清单03 全概率公式 一般地,设,,是一组两两互斥的事件,,且，,则对任意的事件,有,我们称此公式为全概率公式. 清单04 贝叶斯公式 （1）设,,是一组两两互斥的事件,,且，， 则对任意的事件,，有，. 清单05 均值和方差 （1） （2） 清单06 均值与方程性质 ①若与都是随机变量，且，则由与之间分布列的关系可知. ②若与相互独立，则. ③若与都是随机变量，且，则由与之间分布列的关系可知. 【考点题型一】条件概率（） 【例1】（24-25高二下·福建泉州·期中）一个盒子中装有个红球，个黑球，从中不放回地任取个小球，已知第一次取出黑球的条件下，第二次取出红球的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】计算条件概率 【分析】记事件第一次取出黑球，事件第二次取出红球，利用条件概率公式可求得的值. 【详解】记事件第一次取出黑球，事件第二次取出红球， 则，， 由条件概率公式可得. 故选：B. 【变式1-1】.（2025·甘肃白银·三模）暑假期间，甲､乙､丙､丁四名大学生到某科研单位的第一､二､三这三个科室实习，每个科室至少有一人实习，且每人只到一个科室实习.在甲在第一科室实习的条件下，甲与乙不在同一科室实习的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】计算条件概率 【分析】根据条件概率的公式和性质计算即可. 【详解】记事件为“甲在第一科室实习”，事件为“甲与乙不在同一科室实习”， 样本点的总数为，， 事件同时发生的情况种数为， ∴，. . 故选：C. 【变式1-2】.（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）已知某班级的数学兴趣小组中，有男生5人，女生3人，现从这个小组中随机抽出2名学生参加同一个数学竞赛，在其中一人是男生的条件下，另一人也是男生的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】实际问题中的组合计数问题、计算条件概率 【分析】由条件概率计算公式即可求解. 【详解】记“其中一人是男生”，“另一人也是男生”， 则， 故选：C 【变式1-3】.（24-25高二下·福建福州·期中）已知一个家庭有两个孩子，其中有一个是男孩，且这个男孩出生在星期二，那么另外一个也是男孩的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、计算条件概率 【分析】先设事件，再应用条件概率公式结合对立事件概率公式计算求解. 【详解】设“有一个是男孩，且这个男孩出生在星期二”，“另外一个也是男孩”， ． 故选：A. 【变式1-4】（24-25高二下·江苏淮安·期中）为践行“绿水青山就是金山银山”的理念，某校在第47个植树节来临之际，从高一、高二、高三中分别选派4名、5名、6名学生参加植树造绿活动，其中高一、高二、高三年级参加活动的学生中男生人数分别为2、3、4，活动结束后，随机推选一名学生汇报活动体会，如果选到的是女生，则该生不是高二同学的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】计算条件概率 【分析】根据条件概率公式计算可得. 【详解】依题意高一、高二、高三年级参加活动的学生中女生人数均是人， 记选到的是女生为事件，该生不是高二同学为事件， 则. 故选：D 【考点题型二】全概率公式及其应用（） 【例2】（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期中）现有一堆颜色不同，形状一样的小球在甲乙两袋中，其中甲袋有5个红色小球，4个白色小球，乙袋中有4个红色小球，3个白色小球. (1)分别从甲乙两袋中各取一个小球（相互无影响），求两个小球颜色不同的概率；（可直接用数字作答） (2)从甲袋中取出一球放入乙袋，然后从乙袋中取出一球；从甲袋中取出的是红球的条件下，求从乙袋中取出红球的概率；（可直接用数字作答） (3)先从两袋中任取一袋，然后在所取袋中任取一球，求取出为白球的概率.（以字母表述解题，并计算结果） 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】（1）设事件为“从甲袋中取出红球”，事件为“从乙袋中取出红球”，事件为“两球颜色不同”，得到，结合，即可求解； （2）根据题意，利用条件概率的计算公式，即可求解； （3）设事件为“取出为白球”，事件为“取到甲袋”，事件为“取到乙袋”，得到，结合全概率公式，即可求解. 【详解】（1）解：设事件为“从甲袋中取出红球”，事件为“从乙袋中取出红球”， 事件为“两球颜色不同”，则， 则. （2）解：由（1）知：， 若从甲袋中取出的是红球，放入乙袋中，取得红球的概率为， 所以从甲袋中取出红球的条件下，则从乙袋中取出红球的概率为. （3）解：设事件为“取出为白球”，事件为“取到甲袋”，事件为“取到乙袋”， 则， 则. 【变式2-1】.（24-25高二下·辽宁·期中）已知某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比为，高一、高二年级学生的近视率分别为25%，35%．若从该校三个年级中随机抽出一名学生，该学生近视的概率为40%，则高三年级学生的近视率为（   ） A．54.5% B．52.5% C．50.5% D．50.25% 【答案】B 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】设事件表示“抽出一名学生，该学生近视”，事件表示“学生抽自高一年级”，事件表示“学生抽自高二年级”， 事件表示“学生抽自高三年级”，根据全概率公式列式求解. 【详解】设事件表示“抽出一名学生，该学生近视”，事件表示“学生抽自高一年级”， 事件表示“学生抽自高二年级”， 事件表示“学生抽自高三年级”， 则，，，，，， 由全概率公式， 即，解得. 故选：B. 【变式2-2】.（24-25高二下·上海浦东新·期中）设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取两球，则从乙盒取出2个红球的概率是 . 【答案】 【知识点】利用全概率公式求概率、计算古典概型问题的概率 【分析】根据全概率公式进行求解. 【详解】设从甲盒取出2个红球；从甲盒取出2个白球； 从甲盒取出1个白球和1个红球；从乙盒取出2个红球. 所以 . 故答案为：. 【变式2-3】.（24-25高二下·浙江绍兴·期中）甲箱的产品中有6个正品和2个次品，乙箱的产品中有5个正品和2个次品. (1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品只有1个是次品的概率； (2)若先从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，再从乙箱中任取一个产品，求取出这个产品是正品的概率. 【答案】(1) (2) 【知识点】计算古典概型问题的概率、利用全概率公式求概率、互斥事件的概率加法公式 【分析】（1）分别求出甲箱中任取2个产品和这2个产品只有1个是次品的方法数，然后根据古典概型的概率公式求解即可； （2）令事件 “从甲箱中取出两个正品”，事件 “从甲箱中取出一个正品、一个次品”，事件 “从甲箱中取出两个次品”，然后利用古典概型的概率公式求出对应的概率，再结合全概率公式可求得结果. 【详解】（1）令事件“这2个产品只有1个是次品”， ； （2）令事件“从乙箱取出一个正品”，事件 “从甲箱中取出两个正品”，事件 “从甲箱中取出一个正品、一个次品”，事件 “从甲箱中取出两个次品”，则两两互斥，且， 则，， 则 【变式2-4】.（24-25高二下·福建泉州·期中）甲、乙两个箱子装有大小及外观相同的小球，甲箱中有5个白球和3个黑球，乙箱中有4个白球和3个黑球. (1)若从甲箱中任取2个小球，求这2个小球同色的概率； (2)若先从甲箱中任取2个小球放入乙箱中，然后再从乙箱中任取1个小球， ①求从乙箱中取出的球是白球的概率. ②若已知从乙箱中取出的球是白球，求从甲箱中取出的2个小球恰好是1黑1白的概率. 【答案】(1)； (2)①；②. 【知识点】计算古典概型问题的概率、利用全概率公式求概率、计算条件概率 【分析】（1）先求出从甲箱中任取2个小球的事件数，再求出这2个小球同色的事件数即可得出. （2）①求出从从甲箱中取出的2个小球的各种情况的概率，再利用全概率公式求解；②利用条件概率公式求解. 【详解】（1）从从甲箱中任取2个小球的试验有个基本事件， 其中2个小球同色的事件有个基本事件， 所以这2个小球同色的概率. （2）①设事件A为“从乙箱中任取1个小球，取出的这个小球是白球”， 事件为“从甲箱中取出的2个小球都是白球”，事件为“从甲箱中取出的2个小球为1个白球1个黑球”， 事件为“从甲箱中取出的2个小球都是黑球”，则事件，，彼此互斥． ，，， ，，， 所以， 所以取出的这个小球是白球的概率为． ②由①得， 所以从乙箱中取出的球是白球的情况下，从甲箱中取出的2个小球恰好是1黑1白的概率为. 【考点题型三】条件概率性质应用（） 【例3】（24-25高二下·江苏淮安·期中）已知两个随机事件，若，，，则 . 【答案】 【知识点】计算条件概率、条件概率性质的应用、乘法公式 【分析】根据条件概率的性质即可求解. 【详解】由可得，故, 故答案为：, 【变式3-1】.（24-25高二下·浙江·期中）对于随机事件、，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】计算条件概率、条件概率性质的应用 【分析】根据条件概率公式结合条件即可求解. 【详解】因为，. 故选：D 【变式3-2】.（多选）（24-25高二下·河南商丘·期中）设A，B是一次随机试验中的两个事件，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、计算条件概率、条件概率性质的应用 【分析】对于A，根据并事件的概率计算公式求解；对于B，由即可求解，再由对立事件的概率计算公式即可求；对于C，由A，B可判断C；对于D，由条件概率及其性质可求. 【详解】对于A，， 解得，故A错误； 对于B，，解得， ，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，，故D错误. 故选：BC． 【变式3-3】.（多选）（2025·安徽滁州·二模）某同学春节期间计划观看《蛟龙行动》《哪吒之魔童闹海》《熊出没：重启未来》三部电影，观看顺序随机．记“最先观看《哪吒之魔童闹海》”为事件，“最后观看《蛟龙行动》”为事件，则（    ） A． B． C．与相互独立 D． 【答案】ABD 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、计算条件概率、条件概率性质的应用、独立事件的判断 【分析】先求出事件结合和事件的关系可得D，根据独立事件的定义即可判断C，利用条件概率公式计算即可判断A，B. 【详解】随机事件A，B满足，，， 又， 所以，故D正确； 又， 所以不相互独立，故C不正确； ，故A正确； 因为，所以， 所以，故B正确. 故选：ABD. 【变式3-4】.（24-25高二下·安徽安庆·阶段练习）已知，，，则的值为 【答案】/ 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率、条件概率性质的应用 【分析】设，根据条件概率公式与互斥事件、对立事件的关系列方程组，即可得的值. 【详解】设， 由，， 可得，解得， 所以的值为. 故答案为：. 【考点题型四】贝叶斯公式及其应用（） 【例4】（24-25高二下·辽宁·期中）假设你是一个不算太差的一般人，crush喜欢你的概率是25%；如果ta喜欢你，第一次能约出来的概率是70%；如果ta不喜欢你，第一次能约出来的概率是20%. (1)如果第一次能约出来，ta有多大可能喜欢你呢？ (2)如果第一次约会后crush喜欢你，则第二次能约出来的概率为85%；如果ta不喜欢你，则第二次能约出来的概率为5%.如果crush连着两次都能约出来，ta有多大可能喜欢你呢？ 【答案】(1) (2) 【知识点】利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率 【分析】（1）根据全概率公式以及贝叶斯公式即可求得结果. （2）根据全概率公式以及贝叶斯公式即可求得结果. 【详解】（1）设事件A为“ta喜欢你”，事件B为“第一次能约出来”，则 又因为ta喜欢你，第一次能约出来的概率是70%；如果ta不喜欢你，第一次能约出来的概率是20%，故, 根据全概率公式可得, 则根据贝叶斯公式：, （2）设事件C为“第二次能约出来”,设事件D为“crush连着两次都能约出来”， 因为第一次约会后crush喜欢你，则第二次能约出来的概率为85%；如果ta不喜欢你，则第二次能约出来的概率为5%.故, 根据全概率事件, 而事件,则,, 根据全概率公式：, 根据贝叶斯公式：. 【变式4-1】.（24-25高二下·河北·期中）某疾病在人群中的患病率为．检测方法的灵敏度（即患者检测结果为阳性的概率）为，特异度（即非患者检测结果为阴性的概率）为．如果某人检测结果为阳性，他实际患病的概率约为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率 【分析】根据全概率公式及条件概率计算求解. 【详解】设患病为事件，设检测结果为阳性为事件， 某疾病在人群中的患病率为，检测方法的灵敏度（即患者检测结果为阳性的概率）为，特异度（即非患者检测结果为阴性的概率）为， 则，，， 则，， 所以， 如果某人检测结果为阳性，他实际患病的概率约为. 故选：B. 【变式4-2】.（24-25高二下·福建福州·期中）随着某市经济的蓬勃发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明的上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为，，，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，，，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率 【分析】利用全概率公式和贝叶斯公式求解概率即可. 【详解】设事件示“自驾”，事件表示“坐公交车”，事件表示“骑共享单车”，事件“表示迟到”， 由题意可知：，，，， 则，， 若小明迟到了，则他自驾去上班的概率是． 故选：B 【变式4-3】.（24-25高二下·湖南娄底·期中）甲、乙、丙3台机床加工统一型号的零件，它们加工的零件依次占总数的，，，已知甲机床加工的次品率为0.05，乙机床加工的次品率为0.15，丙机床加工的次品率为0.15，加工出来的零件混放在一起，现从中任取一个零件为次品的概率为 ，该次品来自乙机床的概率为 ． 【答案】 0.1/ 0.3/ 【知识点】利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率 【分析】利用全概率公式和贝叶斯公式求解即可. 【详解】记为事件“零件为第台车床加工”， 则，，， B为事件“任取一个零件为次品”，由全概率公式得： ， 由贝叶斯公式得：. 故答案为：0.1；0.3. 【变式4-4】.（2026高三·全国·专题练习）某地举办了一次地区性的中国象棋比赛，李夏作为选手参加.除李夏以外的其他参赛选手中，是一类棋手，是二类棋手，其余的是三类棋手.已知李夏与一、二、三类棋手比赛获胜的概率分别是，和. (1)从参赛选手中随机选取一位棋手与李夏比赛，求李夏获胜的概率； (2)如果李夏获胜，求与李夏比赛的棋手为一类棋手的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率 【分析】（1）利用全概率公式直接求解即可. （2）利用贝叶斯概率公式直接求解即可. 【详解】（1）设“李夏与第类棋手比赛”， 根据题意，，，记 “李夏获胜”， 则有． 由全概率公式知，李夏在比赛中获胜的概率为 ， 所以李夏获胜的概率为0.35. （2）若李夏获胜，则与李夏比赛的棋手为一类棋手的概率为 ． 即若李夏获胜，对手为一类棋手的概率为. 【考点题型五】离散型随机变量分布列均值，方差（） 【例5】（多选）（24-25高一下·甘肃兰州·期中）已知数据，，…，的平均数为10，方差为1，且，则下列说法正确的是（    ） A．数据，，…，的方差为2； B．数据，，…，的平均数为24； C．数据，，…，，10的平均数为10，方差大于1； D．若数据，，…，的中位数为m、75%分位数为n，则. 【答案】BD 【知识点】计算几个数的平均数、均值的性质、方差的性质、总体百分位数的估计 【分析】应用均值和方差的性质求的平均数和方差，再由平均数、方差、中位数及分位数求法判断C、D. 【详解】若表示的均值和方差，表示的均值和方差， 而，，而， 所以，，A错，B对， 对于C，数据的平均数为，方差为，错； 对于D，若，则其中位数为， 而，则75%分位数为，故，D对. 故选：BD 【变式5-1】.（24-25高二下·福建莆田·期中）若随机变量的分布列为 1 2 3 0.2 0.5 则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求离散型随机变量的均值、离散型随机变量的方差与标准差、利用随机变量分布列的性质解题、方差的性质 【分析】根据数学期望及方差定义计算，再结合数学期望及方差的性质计算即可. 【详解】因为随机变量的分布列可得，所以， 所以，所以，A选项正确；C选项正确； ， 所以，B选项正确，D选项错误. 故选：D. 【变式5-2】.（24-25高二下·浙江绍兴·期中）已知随机变量的分布列如下表： 0 1 2 若，则（   ） A． B．5 C．7 D．21 【答案】D 【知识点】离散型随机变量的方差与标准差、方差的性质 【分析】先根据分布列的性质与确定的值，计算，再根据求值. 【详解】由题意：. 所以. 所以. 故选：D 【变式5-3】.（多选）（24-25高二下·山东·期中）随机交量X的分布列为 X 1 2 3 P a 则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、求离散型随机变量的均值、离散型随机变量的方差与标准差、方差的性质 【分析】根据分布列的性质可得.对于A：根据期望公式直接运算即可；对于B：根据期望的性质分析判断；对于D：根据方差的定义和性质分析判断；对于D：根据分析判断. 【详解】由题意可知：，解得， 可得随机交量X的分布列为 X 1 2 3 P 对于选项A：，故A正确； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：因为， 所以，故C错误； 对于选项D：因为， 即，解得，故D正确； 故选：ABD. 【变式5-4】.（24-25高二下·安徽合肥·期中）已知离散型随机变量的分布列如下表： 0 1 2 5 则 . 【答案】10.4 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、方差的性质、求离散型随机变量的均值、离散型随机变量的方差与标准差 【分析】根据分布列的性质即概率之和为1，可求得a，运用期望方差公式计算期望和方差，最后用方差性质计算即可答案. 【详解】由分布列的基本性质知，解得 故， 由离散型随机变量方差的性质可得， 故答案为：. 【考点题型六】均值和方差的性质（） 【例6】（24-25高二下·河北·期中）某学校器乐大赛有7名选手进入最后决赛，6名评委给出评分如下表，按去掉2个最高分和2个最低分规则计算选手成绩： 选手 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 评委6 1 9.60 9.40 9.80 9.20 9.65 9.30 2 9.10 9.35 9.15 8.95 9.37 9.35 3 9.70 9.55 9.65 9.45 9.75 9.50 4 8.90 8.85 9.05 8.60 8.95 8.70 5 9.20 9.30 9.50 9.15 9.40 9.10 6 8.80 8.70 8.40 8.20 8.35 8.25 7 8.00 8.15 8.35 8.80 8.25 8.05 (1)试确定冠军、亚军、季军选手的序号； (2)若比赛结束后从7名选手中任选3名谈参赛体会，设谈体会的3人中含有冠军或亚军的人数为，求的分布列和数学期望以及方差. 【答案】(1)冠军，亚军，季军分别是3号，1号，2号选手. (2)分布列见解析，数学期望为， 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、方差的期望表示、计算几个数的平均数、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）先利用给定的赋分规则排除掉3名选手，再利用平均数的性质确定选手的胜负即可. （2）利用题意确定的取值，再确定对应的概率，进而求出分布列，并利用期望公式求解数学期望，最后利用方差公式求解方差即可. 【详解】（1）考察各选手得分发现，号选手得分较低， 不可能进入前三名，按规则计算其余选手得分如下： 1号选手平均得分， 同理可得号选手平均得分， 所以本次决赛的冠军，亚军，季军分别是3号，1号，2号选手. （2）由题意得的可能取值为， 则 故随机变量的分布列为 0 1 2 由期望公式得，故随机变量的数学期望为， 则. 【变式6-1】.（24-25高二下·重庆·期中）根据相关研究报告显示，预计2025年电商交易额突破18亿元，网购用户规模接近9亿，下表为某网店统计的近5个月的利润（单位：万元），其中为月份代号． 月份 2024年12月 2025年1月 2025年2月 2025年3月 2025年4月 月份代号 1 2 3 4 5 利润万元 8 6.3 5.1 3.2 2.4 (1)依据表中的统计数据，计算样本相关系数（精确到0.01），判断是否可以用线性回归模型拟合与的关系；若可用，求出关于的经验回归方程，并估计2025年5月该网店利润；若不可用，请说明理由； (2)该专营店为了吸引顾客，推出两种抽奖方案．方案一：一次性购物金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打9折，中奖两次打8折，中奖三次打6折，其余情况不打折．方案二：从装有8个形状大小、完全相同的小球（其中红球3个，白球1个，黑球4个）的抽奖盒中，一次性摸出2个球，其中奖规则为：若摸出1个红球和1一个白球打六折，摸出2个黑球打八折，其余情况不打折．某顾客计划在此网店购买1000元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠． 参考：． 【答案】(1)，可用线性回归模型拟合，回归方程为：，5月估计利润为0.71（万元）； (2)用方案2更优惠. 【知识点】相关系数的计算、求离散型随机变量的均值、求回归直线方程 【分析】（1）由题，利用参考公式可计算相关系数，据此可得可用线性回归模型拟合，然后可求得回归方程并估计5月利润； （2）由题可分别得两方案下的实际付款金额的数学期望，据此可完成判断. 【详解】（1）由题可得， 则， ， ， 则，因， 则线性相关关系较强，可用线性回归模型拟合. 则，， 则回归方程为：，则5月利润的估计值为：（万元） （2）对于方案一，设实际付款金额为， 则. 由题可得，， ，. 则对应期望为：； 对于方案2，设实际付款金额为， 则. 由题可得，， ， 则对应期望为：. 则选择方案2更优惠. 【变式6-2】.（24-25高二下·广东中山·阶段练习）猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名，该游戏中有A，B，C三首歌曲.嘉宾甲参加猜歌名游戏，需从三首歌曲中各随机选一首，自主选择猜歌顺序，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，并且获得本歌曲对应的奖励基金.假设甲猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲的概率及猜对时获得相应的奖励基金如下表： (1)求甲按“”的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名的概率； (2)甲决定按“”或者“”两种顺序猜歌名，请你计算两种猜歌顺序嘉宾甲获得奖励基金的期望；为了得到更多的奖励基金，请你给出合理的选择建议，并说明理由． 【答案】(1)0.4 (2)期望都是，按照“”的顺序猜歌名，理由见解析. 【知识点】独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值、互斥事件的概率加法公式、离散型随机变量的方差与标准差 【分析】（1）根据互斥事件和独立重复试验的概率公式即可求解； （2）先根据题意写出甲决定按“”的顺序猜歌名获得奖金数的所有可能取值，根据独立重复试验的概率公式求得每一个取值对应的概率，由数学期望的计算方法得出；再同理得出甲决定按“”顺序猜歌名的数学期望；最后可通过计算、比较方差得出答案或者分析获得0元的概率得出答案. 【详解】（1）由题意可知甲按“”的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名分两种情况：猜对；猜对，这两种情况不会同时发生， 设“甲按‘A，B，C’的顺序猜歌名至少猜对两首歌名”为事件E， 由甲猜对每首歌曲的歌名相互独立可得 （2）甲决定按“”顺序猜歌名，获得的奖金数记为， 则的所有可能取值为， 所以，，，， 所以； 甲决定按“”顺序猜歌名，获得的奖金数记为， 则的所有可能取值为， 所以，， 所以， 法1：因为， ， 由于，所以应该按照“”的顺序猜歌名. 法2：甲按“”的顺序猜歌名时，获得0元的概率为0.5，大于按照“”的顺序猜歌名时获得0元的概率0.2，所以应该按照“”的顺序猜歌名. 【变式6-3】.（2025·河南·模拟预测）某商场举办购物抽奖活动，在一个不透明的袋子中放入个大小、材质都相同的小球，小球有红和蓝两种颜色，每个小球上都画有符号“○”或“×”，不同颜色和符号的小球个数如下表所示．从袋中随机摸出一个球，记事件为“摸出红球”，事件为“摸出画○的球”． 红球 蓝球 画○ 画× (1)求和． (2)该商场规定在一次抽奖中，每人有放回地摸两次球，每次只摸出一个球，根据两次摸出球的颜色和符号是否相同设置三种奖项，等级从高到低依次为：颜色和符号均相同为一等奖；仅颜色相同或仅符号相同为二等奖；颜色和符号均不相同为三等奖． （ⅰ）以“结果发生的可能性越小，奖项等级越高”为标准，请你判断该奖项设置是否合理； （ⅱ）若按（ⅰ）中的标准对上述三种结果重新设置奖项，并且一等奖奖励元，二等奖奖励元，三等奖奖励元，要使一次抽奖的奖金期望值不超过元，则的最大值为多少？ 【答案】(1), (2) 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、计算条件概率、计算古典概型问题的概率、求离散型随机变量的均值 【分析】(1)由条件概率公式可直接求得答案； (2)(i)计算出颜色和符号均相同的概率、仅颜色相同或仅符号相同的概率、颜色和符号均不相同的概率，再比较大小关系即可判断； (ii)结合(i)的计算结论计算数学期望，解不等式即可得答案. 【详解】（1）由题意得， . （2）（i）在一次摸球的结果中， ，，，. 所以两次摸球的结果中， 颜色和符号均相同的概率为， 仅颜色相同或仅符号相同的概率为， 颜色和符号均不相同的概率为. ，不符合“结果发生的可能性越小，奖项等级越高”的标准，故该奖项设置不合理. （ii）设一次抽奖的奖金为元，由题意知，，. 按照题意，奖金越高，概率越小，结合（i），可知的分布列为 所以， 令，得，即的最大值为180. 【变式6-4】.（24-25高二下·北京·期中）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50m以上（含9.50m）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）： 甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25； 乙：9.78，9.56，9.49，9.36，9.32，9.23； 丙：9.85，9.65，9.20，9.16． 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立． (1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率； (2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，求所有的可能值及其发生的概率． (3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙投掷一次铅球，达到优秀的次数分别为，直接写出的大小关系（结论不要求证明） 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3) 【知识点】独立事件的乘法公式、离散型随机变量的方差与标准差、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）统计甲乙丙优秀的频率，即可根据概率与频率的关系求解， （2）根据相互独立事件的概率乘法公式分别求解概率即可， （3）根据两点分布的方差计算公式，即可比较大小作答. 【详解】（1）由频率估计概率可得 甲获得优秀的概率为，乙获得优秀的概率为，丙获得优秀的概率为， （2）的所有可能取值有0,1,2,3， 设甲获得优秀为事件,乙获得优秀为事件，丙获得优秀为事件, ， ， ， . （3）由题意可知：分别服从两点分布， 故,所以， 【考点题型七】独立重复试验与二项分布模型（） 【例7】（2025·浙江金华·三模）某手机厂对屏幕进行两项独立检测：亮度检测通过率，色准检测通过率.产品需通过两项检测才算合格.随机抽取3件产品，设合格品数为X. (1)求单件产品为合格品的概率； (2)求X的分布列及数学期望； (3)已知合格品利润100元/件，若改进工艺能使亮度检测通过率提升至，但每件成本增加1元.是否值得改进？ 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)值得改进 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、二项分布的均值、独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）根据概率的乘法公式，可得答案； （2）根据离散型随机变量的分布列以及数学期望的计算，可得答案； （3）由（2）所求的期望，结合题意，可得改进前的利润，利用二项分布的期望，结合题意，可得改进后的利润，通过比较，可得答案. 【详解】（1）设合格的概率为，则：（亮度通过）（色准通过）. （2），易知， ， ， ， ， 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 0.027 0.189 0.441 0.343 数学期望. （3）改进前： 每件产品的合格概率.对于3件产品，期望合格数. 总期望利润元. 改进后： 每件产品的合格概率，对于3件产品，新的期望合格数. 总期望利润元. 净期望利润元. 改进前的期望利润是210元，改进后是213元，改进后利润增加了3元. 【变式7-1】.（24-25高二下·重庆渝中·期中）某数学试卷的选择题有单选和多选两种题型.单选题每题四个选项，有且仅有一个选项正确，选对得5分，选错得0分.多选题每题四个选项，正确答案只有两种情况：两个选项正确或三个选项正确.全部选对得6分，部分选对的得一部分的分（如果正确答案是2项，那么每项得3分；如果正确答案是3项，那么每项得2分），有错误选择或不选择得0分. (1)若某同学对其中4道单选题完全没有答题思路，只能随机选择一个选项作答，且每题的解答相互独立.记该同学在这4道单选题中答对的题数为随机变量，求的分布列； (2)若某同学对其中一道多选题完全没有答题思路，决定只随机选择一个选项作答.已知此题正确答案是两个选项的概率为，求该同学回答这道多选题得分的期望和方差. 【答案】(1)答案见解析 (2)； 【知识点】利用二项分布求分布列、离散型随机变量的方差与标准差、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）由题意可得变量满足二项分布，根据其概率公式以及分布列，可得答案； （2）由题意可得变量的所有可能的值，分别求得每个值对应的概率，根据数学期望以及方差的计算，可得答案. 【详解】（1）该同学答对每道单选题的概率均为，易知， 所以， ，， 那么的分布列为： 0 1 2 3 4 （2）因为这道多选题的正确答案是2个选项的概率，正确答案是3个选项的概率为 只随机选择一个选项作答，共有4种情况，得分的随机变量可以取值为分， 若正确选项是2项，则在所有的4种情况里，共有种情况可以得3分，， 若正确答案是3个选项，则在所有的4种情况里，共有种情况可以得2分，， 其余情况得0分，， 所以得分的数学期望为； 得分的方差为. 【变式7-2】.（2025·河北·模拟预测）2024年奥运会，我国射击项目收获颇丰，现有甲､乙两位射击爱好者来到靶场射击．已知甲每次射击上靶的概率为，乙每次射击上靶的概率为，甲､乙两人每次射击是否上靶相互独立． (1)若甲､乙两人各自射击3次，求甲､乙两人共上靶至少2次的概率； (2)若甲､乙两人各自射击2次，上靶得一分，不上靶得零分，记甲､乙两人得分的差的绝对值为，求的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、写出简单离散型随机变量分布列、独立重复试验的概率问题、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）由对立事件的概率关系及相互独立事件、二项分布的概率公式列式计算； （2）先得到的可能取值为，分别求其概率，进而得到分布列和期望. 【详解】（1）设甲上靶次数为，乙上靶次数为，且 则 ； （2）的可能取值为， 有， ， ， 的分布列为 0 1 2 ． 【变式7-3】.（24-25高二下·山东·期中）诗词大会的挑战赛上，挑战者向守擂者提出挑战，规则为挑战者和守擂者轮流答题，直至一方答不出或答错，则另一方自动获胜，比赛最多进行5轮（挑战者和守擂者依次答题一次为一轮），若第五轮挑战者答题正确则不论守擂者答对与否都认为挑战者获胜.赛制要求挑战者先答题，守擂者和挑战者每次答对问题的概率都是，且每次答题互不影响.（其中挑战者第五轮答对问题概率为）. (1)若在不多于两次答题就决出胜负的条件下，则挑战者获胜的概率是多少？ (2)在此次比赛中，挑战者最终获胜的概率是多少？ (3)现赛制改革，挑战者需要按上述方式连续挑战全部6位守擂者，以（2）中求得的挑战者最终获胜的概率作为挑战者面对每个守擂者的获胜概率，每次挑战之间相互独立，若最终统计结果是挑战者战胜了不少于三分之二的守擂者，则称该挑战者挑战成功，反之则称挑战者挑战失败.若再增加1位守擂者，试分析该挑战者挑战成功的概率是否会增加？并说明理由. 【答案】(1) (2) (3)没有增加，理由见解析 【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立重复试验的概率问题、计算条件概率、独立事件的乘法公式 【分析】（1）根据给定条件，利用条件概率公式求解即可. （2）进行轮后不分胜负的概率为，求出第 轮挑战者获胜的概率，再互斥事件和概率公式求解. （3）分别求出增加1位守擂者前后挑战者胜利的概率，进行比较即可求解. 【详解】（1）设事件A为“挑战者获胜”，事件B为“不多于两次答题就决出胜负”，则， 又事件为“不多于两次答题就决出胜负且挑战者获胜”，即只有“挑战者获胜，守擂者失败”这一种情况， 则，， 所以挑战者获胜的概率是. （2）挑战者和守擂者依次答题一次为一轮， 每一轮答题中两人都答对的概率为，进行轮后不分胜负的概率为， 则第轮挑战者获胜的概率为，第5轮挑战者获胜的概率为 挑战者最终获胜的概率为. （3）设随机变量X为挑战者连续挑战6位守擂者时能够战胜守擂者的人数，为此时挑战者挑 战成功的概率，由守擂者有6位，得挑战者要想挑战成功，至少需要战胜4位守擂者； 设Y为挑战者连续挑战7位守擂者时能够战胜守擂者的人数，为此时挑战者挑战成功的概率， 由守擂者有7位，得挑战者要想挑战成功，至少需要战胜5位守擂者， ， ，而， 所以该挑战者胜利的概率没有增加. 【变式7-4】.（24-25高二下·河南郑州·期中）为宣扬中国文化，某校组织古诗词知识比赛．比赛分为两阶段，第一阶段为基础知识问答，每位选手都需要回答3个问题，答对其中至少2个问题，进入第二阶段，否则被淘汰；第二阶段分高分组和低分组，第一阶段3个问题都答对的选手进入高分组，共回答4个问题，每答对一个得20分，答错不得分；第一阶段答对2个问题的选手进入低分组，共回答4个问题，每答对一个得10分，答错不得分．第一阶段，每个问题选手甲答对的概率都是；第二阶段，若选手甲进入高分组，每个问题答对的概率都是，若选手甲进入低分组，每个问题答对的概率都是． (1)求选手甲在该次比赛得分数为40分的概率； (2)已知该次比赛选手甲进入了高分组，记选手甲在该次比赛中得分数为X，求随机变量X的分布列和期望值． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、独立事件的乘法公式、独立重复试验的概率问题、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）根据给定条件，利用互斥事件及相互独立事件、独立重复试验的概率公式列式求解. （2）求出X的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出期望. 【详解】（1）选手甲在该次比赛得分数为40分有两种情况：进入高分组，答对2个问题； 进入低分组，答对4个问题，所以概率为：. （2）X的可能取值有0，20，40，60，80， ， ， ， 所以分布列为： X 0 20 40 60 80 P 所以. 【考点题型八】超几何分布模型（） 【例8】（24-25高二下·天津·期中）为提高天津市的整体旅游服务质量，市旅游局举办了天津市旅游知识竞赛，参赛单位为本市内各旅游协会，参赛选手为持证导游．现有来自甲旅游协会的导游5名，其中高级导游4名；乙旅游协会的导游5名，其中高级导游2名、从这10名导游中随机选择4人参加比赛． (1)设A为事件“选出的4人中恰有2名高级导游，且这2名高级导游来自同一个旅游协会”，求事件A发生的概率； (2)设ξ为选出的4人中高级导游的人数，求随机变量ξ的分布列和数学期望 【答案】(1) (2)分布列见解析；期望为 【知识点】组合数的计算、计算古典概型问题的概率、超几何分布的均值、超几何分布的分布列 【分析】（1）根据组合数的计算以及古典概型概率问题的计算公式求得事件发生的概率； （2）由题意得的所有可能取值为0，1，2，3，4，然后根据超几何分布的知识求出相应的概率，从而可求得分布列和数学期望. 【详解】（1）由已知条件知，当两名高级导游来自甲旅游协会时，有种不同选法， 当两名高级导游来自乙旅游协会时，有种不同选法， 则； （2）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，4， ，， ，， ， 随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 随机变量的数学期望为. 【变式8-1】.（24-25高二下·山西·期中）袋中装有大小、形状、材质完全相同的小球，其中3个红球，4个黄球．现从袋子中一次性摸出3个球． (1)求摸出的红球个数多于黄球的概率； (2)记摸出黄球的个数为，求的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析；期望为 【知识点】互斥事件的概率加法公式、计算古典概型问题的概率、超几何分布的均值、求超几何分布的概率 【分析】（1）由已知可得从7个球中取3个球的基本事件总数为，设事件然后根据古典概型的计算方法求解即可； （2）由题意可得的所有可能取值，分别计算出概率可得分布列，由期望的公式即可求解. 【详解】（1）由题意可知，从7个球中取3个球，基本事件总数， 设事件表示“取出的红球个数多于黄球”，表示“恰好取出3个红球”， 表示“恰好取出2个红球1个黄球”，则，彼此互斥， 且，，， 所以摸出的红球个数多于黄球的概率； （2）由题意知的所有可能取值为0，1，2，3， 则，， ，， 所以的分布列为 所以. 【变式8-2】.（24-25高二下·安徽·期中）某高中举行爱国主义读书比赛，最终决出一等奖6名同学，其中高一年级2名，高二年级3名，高三年级1名，现从中任选3人作为代表发言. (1)求选出的3人中高一年级的人数多于高三年级的人数的概率； (2)设表示选出的3人中高二年级的人数，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【知识点】计算古典概型问题的概率、求离散型随机变量的均值、超几何分布的分布列 【分析】（1）根据古典概型结合组合数计算求解； （2）应用超几何分布列出概率，再写出分布列，计算数学期望即可. 【详解】（1）记“选出的3人中高一年级的人数多于高三年级的人数”为事件. 若选出的3人中有高一年级1人，有种取法； 若选出的3人中有高一年级2人，有种取法； 所以. （2）由题意得，的所有可能取值为0，1，2，3. ， . 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以. 【变式8-3】.（24-25高二下·云南昆明·期中）某冰糖橙按照等级可分为四类：珍品、特级、优级和一级.某采购商从采购的这批橙子中随机抽取100箱，利用橙子的等级分类标准得到的数据如下表： 等级 珍品 特级 优级 一级 箱数 10 20 30 40 (1)若将频率作为概率，从这100箱橙子中有放回地随机抽取4箱，求恰好有2箱是特极品的概率； (2)用分层随机抽样的方法从这100箱橙子中抽取10箱，再从抽取的10箱中随机抽取3箱，表示抽取的一级品的箱数，求的分布列及均值， 【答案】(1) (2)分布列见解析，均值为 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、建立二项分布模型解决实际问题、超几何分布的均值 【分析】（1）依题意可知抽到特极品的箱数，代入公式计算即可求得概率； （2）易知一级品的箱数服从超几何分布，求出所有可能取值和对应概率即可求得分布列和均值. 【详解】（1）根据题意可设“从这100箱橙子中任取一箱，取到特极品”为事件，则， 现有放回地随机抽取4箱，若频率作为概率， 设抽到特极品的箱数为，则； 因此恰好有2箱是特极品的概率为 （2）分层随机抽样的方法从这100箱橙子中抽取10箱，其中一级品4数，非一级品6箱， 再从中抽取3箱，则一级品的箱数服从超几何分布，且的所有可能取值为0，1，2，3； 可知； ； 所以的分布列为 0 1 2 3 均值为. 【变式8-4】.（24-25高二下·广东·期中）某班组织同学开展古诗词背诵活动，老师要从10篇古诗词中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能过关．某同学只能背诵其中的6篇，试求： (1)抽到他能背诵的古诗词的数量的分布列； (2)他能过关的概率． 【答案】(1)分布列见解析 (2) 【知识点】超几何分布的分布列、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）记抽到他会背诵的古诗词的数量为，由题意分析服从超几何分布，直接求出概率，写出分布列即可； （2）利用第一问直接求出能过关的概率． 【详解】（1）记抽到他会背诵的古诗词的数量为，则的所有可能取值为0，1，2，3， 且服从超几何分布， 所以． 所以，， ，， 的概率分布列为： 0 1 2 3 （2）他能过关的概率为． 【考点题型九】正态分布模型（） 【例9】（24-25高二下·云南昆明·期中）某商场在五一假期间开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，已知甲、乙、丙三人都参加了该项闯关活动.每个人闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为450分，现要根据得分给共2500名参加者中得分前400名发放奖励. (1)假设该闯关活动平均分数为171分，351分以上共有57人，已知甲的得分为270分，问甲能否获得奖励，请说明理由； (2)丙得知他的分数为430分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为201分，351分以上共有57人”，请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪. 附：若随机变量，则；；. 【答案】(1)甲能够获得奖励，理由见详解 (2)乙所说为假 【知识点】正态分布的实际应用、3δ原则 【分析】（1）由，且，计算，求出前400名参赛者的最低得分，与甲的得分比较即可； （2）假设乙所说为真，由计算，求出，利用小概率事件即可得出结论． 【详解】（1）甲能够获得奖励，理由如下： 设此次闯关活动的分数记为. 由题意可知，因为， 且， 所以，则；而， 且， 可知前400名参赛者的最低得分高于，而甲的得分为270分， 所以甲能够获得奖励. （2）假设乙所说为真，则， ， 而，所以，从而， 而， 所以为小概率事件，即丙的分数为430分是小概率事件，可认为其一般不可能发生，但却又发生了，所以可认为乙所说为假. 【变式9-1】.（24-25高二下·河南驻马店·阶段练习）天和核心舱是我国目前研制的最大航天器，是我国空间站的重要组成部分．为了能顺利地完成航天任务，挑选航天员的要求非常严格．经调研，在挑选航天员的过程中有一项必检的身体指标服从正态分布），航天员在此项指标中的要求为．为了宣传我国航天事业取得的巨大成就，某校特意在本校举办了航天员的模拟选拔活动，共有307名学生参加了这次模拟选拔活动．这些学生首先要进行身体指标的筛查，筛查合格的学生再进行另外4个环节选拔．假设学生通过另外4个环节的概率依次为，，，，且每个环节的选拔相互独立． (1)估计这307名学生中符合“”这个指标的学生人数（四舍五入到个位）； (2)如果符合“”这个指标的学生，继续进行另外4个环节的选拔，求最终通过学校航天员选拔活动的人数的方差． 参考数据：若，则，，． 【答案】(1)7 (2) 【知识点】二项分布的方差、正态分布的实际应用 【分析】（1）利用正态分布密度曲线的性质先求，再求人数. （2）利用二项分布的方差公式求方差. 【详解】（1）. 因为， 所以估计这307名学生中符合“”这个指标的学生人数为7. （2）学生符合“”这个指标，进行另外4个环节的选拔且能通过的概率为：， 由题意，，所以. 【变式9-2】.（24-25高二下·宁夏银川·期中）高中生坚持跑操有利于增强体质．某高中实践活动小组经过调查所在学校学生坚持跑操的次数与综合体测成绩等信息，得到如下数据：该学校有的学生每月平均坚持跑操的次数超过40次，这些学生中，综合体测成绩达到“及格”等级的概率为，而每月平均坚持跑操的次数不超过40次的学生的综合体测成绩达到“及格”等级的概率为． (1)若从该学校任意抽取一名学生，求该学生综合体测成绩达到“及格”等级的概率； (2)已知该实践活动小组的6名学生中有4名学生综合体测成绩达到“及格”等级，从这6名学生中抽取2名学生，记为抽取的这2名学生中综合体测成绩达到“及格”等级的人数，求随机变量的分布列和数学期望． (3)经统计：该校学生综合体测得分近似服从正态分布，若得分，则综合体测成绩达到“优秀”等级，假设学生之间综合体测成绩相互独立．现从该校所有学生中抽取40名学生，记为这40名学生中综合体测成绩达到“优秀”等级的人数，求的数学期望及方差．（结果四舍五入保留整数） 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，， 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)数学期望为6，方差为5 【知识点】超几何分布的分布列、利用全概率公式求概率、二项分布的均值、正态分布的实际应用 【分析】（1）设出事件，利用全概率公式计算；（2）利用超几何分布求分布列，利用期望定义计算期望；（3）利用正态分布求得 ，得到，然后利用二项分布的期望公式和方差公式计算. 【小题1】事件“抽取1名学生每月平均坚持跑操的次数超过40次”， 则“抽取1名学生每月平均坚持跑操的次数不超过40次”， 事件“抽取1名学生综合体测成绩达到“及格”等级” ， 由全概率公式： ， ∴从该学校任意抽取一名学生，该学生综合体测成绩达到“及格”等级的概率为； 【小题2】的可能取值为0，1，2 ， ， ，， ∴的分布列为： 0 1 2 ； 【小题3】由题意得，， ， ，， ∴的数学期望为6，方差为5. 【变式9-3】.（24-25高二下·福建福州·期中）冬奥会的成功举办极大鼓舞了人们体育强国的热情，掀起了青少年锻炼身体的热潮．某校为了解全校学生“体能达标”的情况，从高二年级12个班学生中每班随机选出5名学生参加“体能达标”测试，并且规定“体能达标”测试成绩小于60分的为“不合格”，否则为合格．若高二年级“不合格”的人数不超过总人数的5%，则该年级体能达标为“合格”，否则该年级体能达标为“不合格”，需要加强锻炼． (1)已知某班级的5名学生中，甲、乙2位同学体能预测不合格，从这5名学生中抽取2名，记X为抽取的2名学生中体能合格的人数，求随机变量X的分布列 (2)为了加强锻炼，甲、乙两位同学计划每天开展跳绳比赛以提高体能，并约定每轮比赛均采用五局三胜制（一方获胜三局则本轮比赛结束）．假设甲同学每局比赛获胜的概率均为，求甲在一轮比赛中至少比了四局并获胜的条件下，前2局比赛均获胜的概率； (3)经过一段时间的体能训练后，该校再次进行了体能检测，高二年级学生体能检测成绩近似服从正态分布．已知，请估计该校高二年级学生该次体能检测是否合格?附：． 【答案】(1)分布列见解析 (2) (3)高二年级学生体能检测合格 【知识点】超几何分布的分布列、正态分布的实际应用、计算条件概率 【分析】（1）由题意有服从超几何分布，利用超几何分布即可求解； （2）利用条件概率公式即可求解； （3）利用正态分布的区间即可求解. 【详解】（1）由题意的可能取值为， 所以， 所以的分布列为 1 2 （2）令事件表示“甲在一轮比赛中至少比了四局并获胜”，事件表示“甲以获胜”，事件表示“甲以获胜”，事件表示“甲前2局比赛均获胜”， 所以， 所以， ， 所以； （3）由已知有，所以， 所以， 所以高二年级学生体能检测合格. 【变式9-4】（24-25高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）2024年，全国政协十四届二次会议于3月4日下午3时在北京开幕，3月10日上午闭幕，会期6天；十四届全国人大二次会议于3月5日上午开幕，11日下午闭幕，会期7天.为调查居民对两会相关知识的了解情况，某小区开展了两会知识问答活动，现将该小区参与该活动的800名居民的得分（满分100分）进行了统计，得到如下的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，估计这800名居民得分的平均值；（同一组数据以该组区间的中点值作代表） (2)结合频率分布直方图，近似认为参与活动的小区居民的得分服从正态分布，其中近似为（1）中的样本平均值，试估计得分超过95.8分的居民人数（结果精确到个位）； (3)用频率估计概率，任选2名参加活动的居民，设为得分超过80分的居民人数，求的分布列和数学期望. 附：若随机变量服从正态分布，则.【答案】(1) (2)18人 (3)分布列见解析，1 【知识点】二项分布的均值、指定区间的概率、利用二项分布求分布列、由频率分布直方图估计平均数 【分析】（1）应用频率分布直方图计算平均数公式计算； （2）先计算正态分布对应概率再求解人数； （3）先计算二项分布的概率，再得出分布列计算数学期望即可. 【详解】（1）由题意得； （2）由（1）得， 则， 所以， 故估计得分超过95.8分的居民约有18人. （3）用频率估计概率，从该小区任选1名居民，该居民得分超过80分的概率为. 所以该小区任选2名居民互不影响，该问题可看作二项分布. 故得分超过80分的居民人数可能的取值为，且， 所以， 所以， 所以的分布列为 0 1 2 . 【考点题型十】正态分布模型中的决策问题（） 【例10】（2024·广东广州·模拟预测）阅读是人类获取知识、启智增慧、培养道德的重要途径.某年级共有学生500人，其中男生300人，女生200人，为了解学生每个学期的阅读时长，采用分层抽样的方法抽取样本，收集统计了他们的阅读时长（单位：小时），计算得男生样本的均值为100，标准差为16，女生样本的均值为90，标准差为19. (1)如果男、女的样本量都是25，请估计总样本的均值.以该结果估计总体均值合适吗？为什么？ (2)已知总体划分为2层，采用样本量比例分配的分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，.记总的样本的均值为，样本方差为. （ⅰ）证明：； （ⅱ）如果已知男、女样本量按比例分配，请直接写出总样本的均值和标准差（精确到1）： (3)假设全年级学生的阅读时长服从正态分布，以（ⅱ）总样本的均值和标准差分别作为和的估计值.如果按照的比例将阅读时长从高到低依次划分为，，，四个等级，试确定各等级时长（精确到1）. 附：，，，. 【答案】(1)95，合适，理由见解析 (2)（i）证明见解析；（ii）96，18 (3)定为等级，定为等级，定为等级，定为等级 【知识点】计算几个数据的极差、方差、标准差、3δ原则、抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、计算几个数的平均数 【分析】（1）结合比例分配的分层抽样，利用平均数公式即可求解；由样本的均值与总体均值的差异来估计总体均值的合适情况； （2）（ⅰ）结合比例分配的分层抽样，根据方差的定义，写出总样本方差，进而进行化简即可得证； （ⅱ）利用平均值公式计算，由（ⅰ）直接代入即可计算； （3）由（2）知，，进而由对称性和即可求解. 【详解】（1）总样本的均值为. 用该结果作为总体均值的估计不合适，因为男生和女生的阅读习惯差异比较大， 这个样本的分布与的分布相差可能比较大，所以总样本均值作为总体均值的估计有偏差. （2）（ⅰ）证明：根据方差的定义，总样本方差为 . ∵， 同理. 因此， . （ⅱ）因为是按比例分配分层随机抽样，所以，得 男生样本的均值为，方差为， 女生样本的均值为，方差为， 记总样本的均值为，方差为， 则， 所以 又，所以. 总样本的均值为96，标准差约为18. （3）由（2）知，，所以服从正态分布， 所以，. ， 故可将定为等级，定为等级， 定为等级，定为等级. 【变式10-1】.（24-25高二下·辽宁大连·阶段练习）某汽车公司研发了一款新能源汽车，并在出厂前对辆汽车进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行整理，得到如下的频率分布直方图： (1)估计这辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； (2)由频率分布直方图计算得样本标准差的近似值为，根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似的服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本标准差. （i）利用该正态分布，求； （ii）假设某企业从该汽车公司购买了辆该款新能源汽车，记表示这辆新能源汽车中单次最大续航里程的车辆数，求； 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）. 【知识点】由频率分布直方图估计平均数、3δ原则、二项分布的均值 【分析】（1）将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，再将所得结果全部相加，可得出的值； （2）（i）由题意可得出，，则，可得出，即可得解； （ii）分析可知，，利用二项分布的期望公式可求得的值. 【详解】（1）由频率分布直方图可得. （2）（i）由题意可得，，则， 所以，； （ii）由题意可知，，故. 【变式10-2】.（2024·辽宁抚顺·三模）某市共有教师1000名，为了解老师们的寒假研修情况，评选研修先进个人，现随机抽取了10名教师利用“学习APP”学习的时长（单位：小时）：35，43，90，83，50，45，82，75，62，35，时长不低于80小时的教师评为“研修先进个人”． (1)现从该样本中随机抽取3名教师的学习时长，求这3名教师中恰有2名教师是研修先进个人的概率． (2)若该市所有教师的学习时长近似地服从正态分布，其中为抽取的10名教师学习时长的样本平均数，利用所得正态分布模型解决以下问题： ①试估计学习时长不低于50小时的教师的人数（结果四舍五人到整数）； ②若从该市随机抽取的名教师中恰有名教师的学习时长在内，则为何值时，的值最大？ 附：若随机变量服从正态分布，则，，． 【答案】(1) (2)①841；②14 【知识点】指定区间的概率、计算古典概型问题的概率、3δ原则、服从二项分布的随机变量概率最大问题 【分析】（1）根据题意利用古典概型即可计算； （2）①由样本数计算，进而利用求解即可； ②首先求在内的概率，再由题意可知，然后设，最后利用可求使得的最小的值，从而得到使最大的的值. 【详解】（1）设事件“抽取的3名教师中恰有2名教师是研修先进个人”为． 由题知样本中学习时长不低于80小时的人数为3，时长低于80小时的人数为7， 则， 所以这3名教师中恰有2名教师是研修先进个人的概率为． （2）①由样本数据知，． 因为， 所以， 所以，学习时长不低于50小时的教师人数为841. ②每名教师的学习时长在内的概率为， 由题意可知，则， 设，则． 令，得，所以当时，， 令，得，所以当时，， 所以当时，最大，即使最大的的值为14． 【变式10-3】.（23-24高三上·广东江门·阶段练习）某公司建有1000个销售群，在某产品的销售旺季，所有群销售件数X服从正态分布，其中，公司把销售件数不小于596的群称为“A级群”，销售件数在内的群为“B级群”，销售件数小于266的群为“C级群”． (1)若，求a的取值范围； (2)该公司决定对每个“A级群”奖励1000元，每个“B级群”奖励500元，每个“C级群”奖励200元，那么公司大约需要准备多少奖金？（群的个数按四舍五入取整数） 附：若，，则，，． 【答案】(1) (2)464100 【知识点】3δ原则、根据正态曲线的对称性求参数、正态分布的实际应用 【分析】（1）根据正态分布的对称性，分和两种情况求解可得； （2）根据原则求出和，然后求出各级群个数，即可求出所需奖金. 【详解】（1）由正态分布的对称性可知，若， 当，即时，因为， 所以有，得； 当，即时，要使， 则有，解得（舍去）. 综上，a的取值范围为. （2）因为 所以， ， 所以A级群有个，B级群有个， C级群有个， 所以，公司大约需要准备奖金元. 【变式10-4】（2024·广东湛江·一模）某工厂一台设备生产一种特定零件，工厂为了解该设备的生产情况，随机抽检了该设备在一个生产周期中的100件产品的关键指标（单位：），经统计得到下面的频率分布直方图： (1)由频率分布直方图估计抽检样本关键指标的平均数和方差．（用每组的中点代表该组的均值） (2)已知这台设备正常状态下生产零件的关键指标服从正态分布，用直方图的平均数估计值作为的估计值，用直方图的标准差估计值作为估计值． （i）为了监控该设备的生产过程，每个生产周期中都要随机抽测10个零件的关键指标，如果关键指标出现了之外的零件，就认为生产过程可能出现了异常，需停止生产并检查设备．下面是某个生产周期中抽测的10个零件的关键指标： 0.8 1.2 0.95 1.01 1.23 1.12 1.33 0.97 1.21 0.83 利用和判断该生产周期是否需停止生产并检查设备． （ⅱ）若设备状态正常，记表示一个生产周期内抽取的10个零件关键指标在之外的零件个数，求及的数学期望． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则， 【答案】(1) (2)（i）需停止生产并检查设备；（ii）， 【知识点】由频率分布直方图估计平均数、建立二项分布模型解决实际问题、二项分布的均值、3δ原则 【分析】（1）根据频率分布直方图结合平均数的计算公式，即可求得，继而结合方差的计算公式求得； （2）（i）根据，，确定，，判断抽查的零件关键指标有无在之外的情况，即可得结论；（ii）求出抽测一个零件关键指标在之外的概率，确定，根据二项分布的概率公式以及期望公式，即可求得答案. 【详解】（1）由频率分布直方图，得． ． （2）（i）由（1）可知，， 所以，， 显然抽查中的零件指标，故需停止生产并检查设备． （ii）抽测一个零件关键指标在之内的概率为， 所以抽测一个零件关键指标在之外的概率为， 故，所以， X的数学期望． 【考点题型十一】概率与数列（） 【例11】（24-25高二下·浙江·期中）小明同学在学了概率统计的知识后，设计了如下的掷骰子跳台阶的游戏：台阶从下往上依次编号为1，2，3，……，n，选手掷两颗骰子，若点数之和大于等于10，则可以跳2级台阶，点数之和小于10，则只可以跳1级台阶，选手初始位置记为0，记跳到n级台阶的概率为. (1)求，，的大小； (2)求概率，，满足的关系式； (3)记概率的值构成的数列为（），求的最大值与最小值. 【答案】(1)，， (2) (3)的最大值为，最小值为 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】（1）先求得，，然后结合全概率公式可得； （2）由全概率公式即可得解； （3）首先求得，对分奇数、偶数两种情况讨论即可得解. 【详解】（1）记事件“掷两颗骰子所得的点数之和大于等于10”， 则“掷两颗骰子所得的点数之和小于10”， 易得，，故 ，； （2）； （3）由（2）有，即，（，） 所以，即， 设，解得，. 所以为等比数列，公比为的等比数列， 所以，所以， 当n为偶数时，，由于单调递减， ∵，∴最大值为； 当n为奇数时，，由于单调递增， ∵，∴最小值为； 综上，的最大值为，最小值为. 【变式11-1】.（24-25高二下·福建三明·期中）为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐、面食套餐和西餐套餐三种选择．已知某同学开学第一天选择的是米饭套餐，从第二天起，每天中午会在食堂随机选择与前一天不一样的两种套餐中的一种，如此往复． (1)求该同学第4天中午选择米饭套餐的概率； (2)记该同学第天选择米饭套餐的概率为； ①求； ②当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】写出等比数列的通项公式、计算古典概型问题的概率、计算条件概率、利用全概率公式求概率 【分析】（1）根据古典概型计算公式可得结果； （2）①利用全概率公式计算可得，再由等比数列定义计算可得；②结合通项公式以及数列单调性可得，即求得的取值范围. 【详解】（1）设为“第4天中午选择米饭套餐”， 根据每天与前一天选择不一样的套餐，且第一天选择米饭套餐，接下来的三天中每天都只有两种选择， 因此样本空间包含个样本点， 若第一天选择米饭套餐，第4天选择米饭套餐，则第二天有两种选择，第三天的和前后两天都不能相同，仅有一种选择， 即事件中包含个样本点， 所以， 所以第4天中午选择米饭套餐的概率 （2）①设为“第天选择米饭套餐”，为“第天选择面食套餐”，为“第天选择西餐套餐” 根据题意，，，， 由全概率公式得： ， ∴， 因为 ∴ 因此，因为， 所以是以为首项，为公比的等比数列． 所以 ②由①可得， 当为大于1的奇数时， 当为正偶数时， 因此，当时，，所以． 【变式11-2】.（2025·湖北·模拟预测）甲、乙、丙三人进行玩具传递游戏，每次抛掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传递方式，当玩具在甲手中时，若骰子点数大于4，甲将玩具传给乙；若骰子点数不大于4，甲保留玩具；当玩具在乙手中时，若骰子点数大于3，乙将玩具传给甲；若骰子点数不大于3，乙传给丙；当玩具在丙手中时，若骰子点数大于2，丙将玩具传给甲；若骰子点数不大于2，丙传给乙.初始时，玩具在甲手中. (1)设前三次抛掷骰子后，玩具在甲手中的次数为，求的分布列和数学期望； (2)抛掷次骰子后，玩具在乙手中的概率为，求的通项公式； (3)求证：. 【答案】(1)分布列见解析， (2) (3)证明见解析 【知识点】构造法求数列通项、求离散型随机变量的均值、写出简单离散型随机变量分布列、分组（并项）法求和 【分析】（1）根据传球游戏的规则，可得，再根据独立事件概率公式，求解概率，再结合分布列公式，即可求数学期望； （2）首先题意，可得关于数列的递推公式，再通过构造求数列的通项公式； （3）首先根据（2）的结果，利用数列分组求和即可 【详解】（1）由题意知，. ， ， ； ，      所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 随机变量的数学期望为 （2）由于投掷次骰子后球不在乙手中的概率为，此时无论球在甲手中还是球在丙手中，均有的概率传给乙， 故有，        变形为. 又，所以数列是首项为，公比为的等比数列. 所以 所以数列的通项公式； （3）由（2）可得； 所以 【变式11-3】.（2025·内蒙古包头·二模）高三某班为缓解学生高考压力，班委会决定在周班会课上进行“听音乐，猜歌名”的趣味游戏比赛，现将全班学生分为9组，每组5人，剩余的学生做裁判．比赛规则如下：比赛共分为两轮，第一轮比赛中9个小组分三场进行比赛，每场比赛有3个小组参加，在规定的时间内猜对歌名最多的小组获胜，获胜的三个小组进入第二轮比赛；第二轮进行一场比赛，选出获胜队伍．已知甲、乙、丙3个小组的学生能成功猜对歌名的概率分别为． (1)现从甲组中任选一名学生进行歌曲试猜，记5首歌曲中猜对的歌曲数为，求随机变量的数学期望； (2)若从甲、乙、丙3个小组中任选一名学生参加猜歌游戏，求该学生猜对歌曲的概率； (3)若第二轮比赛中丁、戊两组并列第一，则设置以下游戏决定最终获胜的小组，游戏规则如下：从丁、戊小组中任选一名代表，从装有3个白球和2个红球的不透明的盒子中有放回地随机摸出一个球，摸出白球记分，摸出红球记分，以0分开始计分，恰好获得分或分则结束摸球．若该代表获得分，则该代表所在小组获得胜利，否则另外一组获得胜利．若该代表来自戊组，试估计戊组获胜的概率． 【答案】(1)4 (2) (3) 【知识点】利用全概率公式求概率、二项分布的均值、递推法求概率 【分析】（1）分析可知，由二项分布的期望公式可得出的值； （2）记事件、、分别表示该学生来自甲、乙、丙组，事件表示该同学能猜对，利用全概率公式可求得的值； （3）记得分为的概率为，求得，推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求出数列的通项公式，利用累加法可求得的值，即为所求. 【详解】（1）由题意可知，，由二项分布的期望公式可得． （2）记事件分别表示该学生来自甲，乙，丙组，事件B表示该同学能猜对，所以，， 由全概率公式可得． 所以，该学生能猜对的概率为． （3）由题意可知，积分增加1分的概率为，增加2分的概率为， 记得分为的概率为，且， ， 所以，，且， 所以，数列是首项为，公比为的等比数列， 则， 由累加法可得 ． 因此，戊组获胜的概率为． 【变式11-4】（2025·安徽蚌埠·二模）某大学排球社团为了解性别因素是否对学生喜欢排球有影响，随机调查了男、女生各200名，得到如下数据： 性别 排球 喜欢 不喜欢 男生 78 122 女生 112 88 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为是否喜欢排球与性别有关联？ (2)在某次社团活动中，甲、乙、丙这三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人.记次传球后球在乙手中的概率为. （i）求； （ii）若随机变量服从两点分布，且，则.记前次（即从第1次到第次传球）中球在乙手中的次数为随机变量，求的数学期望. 附：，其中. 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)可以认为是否喜欢排球与性别有关联. (2)（i）；（ii） 【知识点】求离散型随机变量的均值、独立性检验解决实际问题、求等比数列前n项和、由递推关系证明等比数列 【分析】（1）计算卡方结合表中数据判断即可； （2）（i）由题意构造可得，进而可得数列的通项公式，从而求得； （ii）由题意可得，再根据等比数列求和即可. 【详解】（1）零假设为：是否喜欢排球与性别无关联. 根据表中的数据，经计算得到 所以依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，可以认为是否喜欢排球与性别有关联. （2）（i）由题意知， 设，所以，所以，解得， 所以， 又，故数列是以为首项，为公比的等比数列，所以， 所以，即第次传球后球在乙手中的概率为. （ii）因为， 所以当时，的数学期望 ，即的数学期望为 【考点题型十二】借助导数求概率中的最值问题（） 【例12】（2025·河南·二模）已知一款游戏以抽奖形式获得某种奖品，每次抽奖分为中奖和不中奖两种结果，现在利用伪随机算法进行若干次抽奖，假定中奖后就不再继续抽奖，设是第一次抽奖中奖的概率，此后若前次抽奖均未中奖，则进行第n次抽奖时中奖的概率满足其中时一定中奖，设从第一次抽奖开始，第一次中奖时抽奖的次数为X． (1)当时，求X的分布列和期望； (2)当X的期望为2时，证明：． 【答案】(1)分布列见解析， (2)证明见解析 【知识点】由离散型随机变量的均值求参数、求离散型随机变量的均值、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）由题意分析X的所有取值，求解出概率得到分布列，求解数学期望即可； （2）当期望为时，分，，，讨论证明即可. 【详解】（1）由题意可得，， ，， 故分布列为 X 1 2 3 4 P ． （2）证明：①当时，； ②当时，， 因此； ③当时，， 设，则， 故时，随p增大而减小，而， 故存在，使得； ④当时，， 由于，，故， 因此，故． 综上，． 【变式12-1】.（24-25高二下·陕西西安·期中）设随机变量，． (1)求； (2)若，求； (3)当p在变化时，求取得最大值时p的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用二项分布求分布列、二项分布的均值、二项分布的方差 【分析】（1）根据二项分布概率公式求解即可； （2）由二项分布的期望公式结合已知求出p的值，进而代入方差公式计算即可； （3）计算出.设，求导根据函数的单调性得出函数取最大值时p的值. 【详解】（1）因为，， 所以． （2）因为，所以， 所以． （3）因为，，所以． 设，求导得 ． 可知在上，，单调递增； 在上，，单调递减. 所以当时，取得最大值， 即取得最大值时，p的值为． 【变式12-2】.（2025·江西·二模）为了增强学生体质，学校举办趣味爬楼梯比赛．从地面开始，小明爬楼梯有两种方式，一步上一级台阶或2级台阶，其中一步上一级台阶的概率为，上两级台阶的概率为，爬楼梯过程中，小明爬到第n个台阶的概率为 (1)求的值； (2)设随机变量表示小明爬3步上的台阶总数，求的分布列及数学期望； (3)求． 【答案】(1)， (2)分布列见解析，数学期望为5； (3) 【知识点】求离散型随机变量的均值、独立事件的乘法公式、分步乘法计数原理及简单应用、由定义判定等比数列 【分析】（1）计算和运用了分步乘法计数原理和分类加法计数原理来计算事件发生的概率； （2）结合乘法公式计算概率，得到随机变量的分布列和期望； （3）通过分析爬台阶的不同情形建立递推关系，再通过变形构造等比数列来求解数列的通项公式． 【详解】（1）由题可知， （2）随机变量所有可能取值为：3，4，5，6， 的分布列 3 4 5 6 ； （3）爬到第个台阶有两种情况： 情形一：爬到第个台阶，下一步上两个台阶爬到第个台阶， 情形二：爬到第个台阶，下一步上一个台阶爬到第个台阶， 故， 则， 所以， ，又，故是等比数列， ， 故. 【变式12-3】.（2025·广东深圳·模拟预测）某大学有甲、乙两个运动场.假设同学们可以任意选择其中一个运动场锻炼，也可选择不锻炼，一天最多锻炼一次，一次只能选择一个运动场.若同学们每次锻炼选择去甲或乙运动场的概率均为，每次选择相互独立.设王同学在某个假期的三天内去运动场锻炼的次数为，已知的分布列如下：（其中，） 0 1 2 3 记事件表示王同学假期三天内去运动场锻炼次，事件表示王同学在这三天内去甲运动场锻炼的次数大于去乙运动场锻炼的次数. (1)当时，求的值； (2)是否存在实数，使得？若存在，求的值：若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用随机变量分布列的性质解题、由离散型随机变量的均值求参数、利用全概率公式求概率 【分析】（1）利用分布列的性质求得，再计算出，代入全概率公式计算即得； （2）先由得到；再按照均值定义得出，消去得出方程，分析函数得其最小值为正，方程无解，即不存在值，使得. 【详解】（1）当时，， 则，解得. 由题意，得. 由全概率公式，得 （2）由，得. 假设存在，使. 将上述两式左右分别相乘，得，化简得：（*）. 设，则. 由，得，由，得， 则在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为， 即方程（*）无解，故不存在值，使得. 提升训练 一、单选题 1．（24-25高二下·甘肃甘南·期末）设两个正态分布和的密度函数图象如图所示，则有（    ）    A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【知识点】正态曲线的性质 【分析】根据正态分布密度曲线中，的意义进行判断即可. 【详解】根据正态分布的密度函数的性质，正态分布曲线是一条关于对称， 在处取得最大值的连续钟形曲线，所以； 越大，曲线的最高点越低且曲线较平缓，反过来，越小，曲线的最高点越高且曲线较陡峭，所以. 故选：A. 2．（2025·山西朔州·模拟预测）已知随机变量，，则（   ） A．0.2 B．0.1 C．0.6 D．0.4 【答案】A 【知识点】指定区间的概率 【分析】根据正态分布曲线的对称性计算即可. 【详解】因为，所以， 又，根据正态曲线的性质可得，，故. 故选：A. 3．（24-25高二下·甘肃甘南·期末）甲箱中有4个红球，3个白球和3个黑球，乙箱中有5个红球，3个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一个球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则从乙箱中取出的是红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率 【分析】根据全概率公式求得正确答案 【详解】令事件A为“从甲箱中取出一个球是红球”， 事件B为“从甲箱中取出一个球是白球”， 事件C为“从甲箱中取出一个球是黑球”， 事件D为“从乙箱中取出一个球是红球”， 则， 所以 ， 故选；B 4．（24-25高二下·重庆·期中）已知贝叶斯公式：．某视频网站利用AI换脸掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.03，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性约为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用贝叶斯公式求概率 【分析】根据给定条件，由贝叶斯公式代入计算，即可得到结果. 【详解】记“视频是AI合成”为事件，记“鉴定结果为AI”为事件B， 则， 由贝叶斯公式得：. 故选：B 5．（江西省新九校协作体2024-2025学年高二下学期第二次联考数学试题）设随机变量，函数在定义域上是单调递增函数的概率为，则（    ） 附：若，则. A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、指定区间的概率、正态曲线的性质 【分析】求出函数的导函数，若恒成立，求出的取值范围，即可得到，，再由正态曲线的性质计算可得. 【详解】因为，所以， 若对任意实数恒成立，则， 所以， 又，所以，，，，，， 所以，， 则. 故选：B. 6．（2025·四川·模拟预测）若随机变量的分布列如下表，表中数列是公比为2的等比数列，则（   ） 1 2 3 A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、利用随机变量分布列的性质解题 【分析】根据等比数列通项公式用表示、，再结合概率和为求出，最后根据期望公式计算． 【详解】已知数列是公比为的等比数列，可得，． 因为随机变量的所有概率之和为，即，将，代入可得： ，合并同类项得，解得． 根据离散型随机变量的期望公式，把，，代入可得： ． 故选：D． 7．（24-25高二下·湖南衡阳·期中）学校要举办足球比赛，现在要从高一年级各班体育委员中挑选名不同的裁判员（一名主裁判，一名助理裁判，一名助理裁判，一名第四裁判），其中高一共个班，每个班各一名体育委员，共个女生，个男生，要求四名裁判中既要有男生，也要有女生，那么在女裁判员担任主裁判的条件下，第四裁判员是男生的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】计算条件概率 【详解】先确定四名裁判中既有男生也有女生，且女裁判员担任主裁判的事件数，再确定四名裁判中既有男生也有女生，且女裁判员担任主裁判，第四裁判是男生的事件数，最后根据条件概率公式得结果． 【分析】第一步确定四名裁判中既有男生也有女生，且女裁判员担任主裁判的事件数： 先从名女生中选出一名担任主裁判，有种选法，再从剩下人中选出人分别担任不同的助理裁判以及第四裁判， 注意到四名裁判中既有男生也有女生，所以有种选法， 故四名裁判中既有男生也有女生，且女裁判员担任主裁判的事件数为， 第二步确定四名裁判中既有男生也有女生，且女裁判员担任主裁判，第四裁判是男生的事件数： 先从名女生中选出一名担任主裁判，有种选法； 再从名男生中选出一名担任第四裁判，有种选法； 最后从剩下人中选出人分别担任不同的助理裁判，有种选法， 故四名裁判中既有男生也有女生，且女裁判员担任主裁判，第四裁判是男生的事件数为， 因此，四名裁判中既要有男生，也要有女生，且在女裁判员担任主裁判的条件下， 第四裁判员是男生的概率为， 故选：A. 8．（24-25高三下·湖南邵阳·阶段练习）如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次，则下列正确的是（    ） A．质点回到原点的概率为； B．质点回到原点的概率为 C．质点位于4的位置的概率为 D．质点位于4的位置的概率是 【答案】D 【知识点】独立重复试验的概率问题 【分析】质点回到原点可知质点向左移动3次，向右移动3次，质点位于4的位置可知质点向左移动1次，向右移动5次，结合独立试验概率计算公式即可求解． 【详解】设质点向右移动的次数为，又质点每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位， 共移动6次，且每次移动是相互独立，则． （1）质点回到原点，则， ， 所以质点回到原点的概率是； （2）当质点位于4的位置时，则， ， 所以质点位于4的位置的概率是． 故选：D 二、多选题 9．（24-25高二下·重庆·期中）已知随机变量的分布列为 1 2 3 4 0.2 0.3 0.4 0.1 则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】求离散型随机变量的均值、均值的性质、离散型随机变量的方差与标准差、方差的性质 【分析】结合数学期望和方差的公式及其性质计算判断各选项即可. 【详解】由题意，，故A正确； 则，故C错误； 而， 故B错误； 则，故D正确. 故选：AD. 10．（四川省新高考2025届高三适应性考试（第三次联考）数学试题）已知袋装食盐标准质量为400g，设甲、乙两品牌袋装食盐质量的误差分别为随机变量X，Y，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】特殊区间的概率、指定区间的概率 【分析】由正态曲线的性质，逐一判断，即可得到结果. 【详解】 对于A，作出随机变量的正态分布密度曲线草图，根据对称性，选项A正确； 对于B，，选项B错误； 对于C，，选项C错误； 对于D，对于正态分布，给定是一个只与有关的定值， 则，选项D正确． 故选：AD 三、填空题 11．（2025·广东揭阳·二模）设随机变量服从正态分布，且，若，则 . 【答案】0 【知识点】根据正态曲线的对称性求参数 【分析】根据正态分布的对称性，结合已知条件即可得出答案. 【详解】由已知可得，， 根据正态分布的对称性可知， 所以，. 所以. 故答案为：0. 12．（24-25高二下·河南郑州·期中）某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球．已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是，从按钮第二次按下起，若前一次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，若前一次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，记第次按下按钮后出现红球的概率为，则 ． 【答案】 【知识点】写出等比数列的通项公式、计算条件概率、由定义判定等比数列、利用互斥事件的概率公式求概率 【分析】依题意根据球颜色出现的概率得出相应的递推公式，再结合等比数列定义求出其通项公式代入计算可得结果. 【详解】由题意第次按下按钮后出现红球的概率为，则出现绿球的概率为； 因此可得，化简可得， 即，又， 因此可得是以为首项，为公比的等比数列， 可得，可得； 所以. 故答案为： 四、解答题 13．（2025届辽宁省沈阳市高三三模数学试卷）甲、乙两个箱子中，各装有个球，其中甲箱中有个红球和个白球，乙箱中有个红球，其余都是白球．掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为或，则从甲箱中随机摸出个球；如果点数为、、、，则从乙箱中随机摸出个球．已知掷次骰子后，摸出的球都是红球的概率是． (1)求的值； (2)记摸到红球的个数为随机变量，求的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)分布列答案见解析， 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、利用全概率公式求概率、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）设事件为“掷出骰子的点数为或”，则事件为“掷出骰子的点数为、、、”，设事件为“摸出的球都是红球”，利用全概率公式可得出关于的等式，即可解得的值； （2）由题意可知，随机变量的可能取值有：、、，求出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值. 【详解】（1）设事件为“掷出骰子的点数为或”，则事件为“掷出骰子的点数为、、、”， 则，， 设事件为“摸出的球都是红球”，则，， 由全概率公式可得， 整理可得，解得或（舍去），故. （2）由题意可知，随机变量的可能取值有：、、， 则，， ， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 则. 14．（2025·河北秦皇岛·三模）甲参加一项招聘考试，分为笔试和面试两个环节，笔试成绩合格后才能进入面试.笔试共有2道专业理论题与2道岗位实践题，每道专业理论题的难度系数（考生能够正确作答的概率）均为，每道岗位实践题的难度系数均为，考生至少答对3道题才能进入面试，否则被淘汰出局；面试共有5道问答题，由考官逐一提问作答，累计答对3道题或答错3道题，面试结束.已知甲笔试得满分的概率为，笔试和面试各题是否答对相互独立. (1)当时，求； (2)求甲能够进入面试的概率的最小值及相应的值； (3)已知甲通过了笔试环节，面试时每道题的难度系数是（2）中求得的值，令甲面试结束时的答题数为，求的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2)； (3)的分布列见解析； 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、独立事件的乘法公式、建立二项分布模型解决实际问题、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）由甲笔试得满分的概率为，可得，即可求得； （2）由题意，甲至少答对3道题才能够进入面试，可得甲能够进入面试的概率，化简的，利用基本不等式即可求得的最小值及相应的值； （3）由题意，甲面试结束时的答题数的可能取值为3，4，5，求出对应概率，得到分布列与数学期望. 【详解】（1）由题意，笔试和面试各题是否答对相互独立， 所以甲笔试满分的概率为，则， 又，所以. （2）由题意，甲至少答对3道题才能够进入面试， 所以甲能够进入面试的概率， 由（1）知，则， 则， 整理得， 因为， ， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以甲能够进入面试的概率的最小值为，相应的值为. （3）由（2）知，面试时每道题的难度系数是，则甲答对每道面试题的概率， 由题意，甲累计答对3道题或答错3道题，面试结束， 所以甲面试结束时的答题数的可能取值为3，4，5， 当时，， 当时，， 当时，， 所以的分布列为： 3 4 5 数学期望为：. 15．（24-25高二下·福建三明·期中）某公司邀请棋手与该公司研制的一款人形机器人进行象棋比赛，规则如下：棋手的初始分为20，每局比赛，棋手胜加10分；平局不得分；棋手负减10分.当棋手总分为0时，挑战失败，比赛终止；当棋手总分为30时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续.已知每局比赛棋手胜、平、负的概率分别为、、，且各局比赛相互独立. (1)求两局后比赛终止的概率； (2)在3局后比赛终止的条件下，求棋手挑战成功的概率； (3)在挑战过程中，棋手每胜1局，获奖5千元.记局后比赛终止且棋手获奖1万元的概率为，求的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】计算条件概率、独立事件的实际应用、互斥事件的概率加法公式 【分析】（1）两局后比赛终止有两种情况：两胜达到 30 分或两负达到 0 分，利用相互独立事件概率公式计算； （2）先求出 3 局后比赛终止的概率以及 3 局后挑战成功的概率，再利用条件概率公式计算； （3）根据获奖金额确定胜的局数，再结合比赛终止条件得到比赛局数与胜、负局数的关系，从而得出概率表达式，进而求最大值. 【详解】（1）设每局比赛甲胜为事件，每局比赛甲平为事件，每局比赛甲负为事件， 设“两局后比赛终止”为事件， 因为棋手与机器人比赛局，所以棋手可能得分或30分比赛终止． （i）当棋手得分为分，则局均负，即； （ii）当棋手得分为30分，则局先平后胜，即． 因为、互斥，所以 ． 所以两局后比赛终止的概率为． （2）设“局后比赛终止”为事件，“局后棋手挑战成功”为事件． 因为 ， ． 所以在局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为 ． 所以在局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为． （3）因为局获奖励万元，说明甲共胜局． （i）当棋手第局以分比赛终止，说明前局中有负胜， 且是“负胜负胜负”的顺序，其余均为平局，共有种， （ii）当棋手第局以30分比赛终止，说明前局中有负胜， 且是先负后胜的顺序，其余均为平局，共有种， 则“局后比赛终止且棋手获得万元奖励”的概率 ，． 所以． 因为，所以， 所以，所以单调递减， 所以当时，取最大值为. 16．（2025·湖北·模拟预测）2025年4月25日，中国人形机器人生态大会在上海汽车会展中心举办.其中，人形机器人拳王争霸赛让人大开眼界：在4米乘以4米的拳台上，可以看到各家公司在多模态融合算法、运动控制、视觉、感知等技术上的突破.比赛前，某科技公司机器人甲队和乙队进行练习赛，两队均由两台机器人组成.比赛要求每轮两局，每局比赛两队都需派不同机器人参赛，每局比赛获胜得1分，否则得0分（每局比赛都分胜负，没有平局）.设每轮比赛中各局结果互不影响，各轮结果也互不影响.已知甲队机器人，机器人每局比赛获胜的概率分别为. (1)设前两轮比赛中甲队得3分为事件，前两轮比赛中机器人得2分为事件，求； (2)机器人续航时间有限，规定本次比赛最多进行6轮，规定当一队得分比另一队得分多2分时比赛结束.设比赛结束时共进行了轮，求的分布列及数学期望. 【答案】(1). (2)分布列见解析， 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、计算条件概率、互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式 【分析】（1）根据独立事件互斥事件的概率公式可得、，然后利用条件概率公式求解即可； （2）根据独立事件的概率公式和期望公式可得； 【详解】（1）设前两轮比赛中得分为事件得分为事件 ， 由题意各轮比赛，各局比赛结果互不影响，与互斥， ， . （2）由题意，， 设第轮两队比分为为事件 各局比赛互不影响，， 由题意，时，时，事件“”， 各轮比赛互不影响，， 所以的分布列为： 1 2 3 4 5 6 . 17．（2025·山东·二模）甲乙二人进行比赛，已知在每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛的结果相互独立．为决出最终获胜的一方，有以下两种方案可供选择： 方案一：规定每局比赛的胜方得1分，败方得0分，则首次比对手高两分的一方获胜． 方案二：首次连胜两局比赛的一方获胜． (1)若，且采用方案一，求第四场比赛结束时恰好分出胜负的概率． (2)若，为使甲获胜的概率更大，则应该选择哪种比赛方案？请说明理由． 附：当0 < q < 1时，． 【答案】(1) (2)方案二，理由见解析 【知识点】独立事件的乘法公式、利用全概率公式求概率、互斥事件的概率加法公式 【分析】（1）根据题意，列出满足题意的所有事件，根据概率的加法公式即可求解； （2）根据概率公式分别求得选方案一和方案二时甲获胜的概率，作商比较大小即可求解． 【详解】（1）第四场结束恰好分出胜负对应的事件为： ：甲贏第1，3，4局，乙赢第2局， ：甲赢第2，3，4局，乙赢第1局， ：乙赢第1，3，4局，甲赢第2局， ：乙赢第2，3，4局，甲赢第1局， 对应概率：； （2）设事件：甲最终获胜，事件：甲乙在前两局结束后得分相同． 记使用方案一，二时甲胜出的概率分别为． 对于方案一，根据条件概率公式： ， 因为每场比赛的结果相互独立，所以在前两局甲，乙各胜出一局达到同分的条件下，甲从第三局开始出现优先超过乙两分的概率恰为，即， 故， 从而． 对于方案二，甲最终获胜对应的事件只可能是甲乙相互获胜且最后甲连胜两局，即每局胜者按照“甲乙甲乙…甲乙甲甲”或“乙甲乙甲…乙甲甲”的规律． 从而甲获胜的概率 ， 显然，令， 有，即， 因为，所以 所以应选择方案二． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单08 第七章  随机变量及其分布列 （6个考点梳理+12题型解读+提升训练） 清单01 条件概率 （1）一般地，设，为两个随机事件，且，我们称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率． 清单02 条件概率性质 （1）由条件概率的定义，对任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式． （2）如果和是两个互斥事件，则； 清单03 全概率公式 一般地,设,,是一组两两互斥的事件,,且，,则对任意的事件,有,我们称此公式为全概率公式. 清单04 贝叶斯公式 （1）设,,是一组两两互斥的事件,,且，， 则对任意的事件,，有，. 清单05 均值和方差 （1） （2） 清单06 均值与方程性质 ①若与都是随机变量，且，则由与之间分布列的关系可知. ②若与相互独立，则. ③若与都是随机变量，且，则由与之间分布列的关系可知. 【考点题型一】条件概率（） 【例1】（24-25高二下·福建泉州·期中）一个盒子中装有个红球，个黑球，从中不放回地任取个小球，已知第一次取出黑球的条件下，第二次取出红球的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】.（2025·甘肃白银·三模）暑假期间，甲､乙､丙､丁四名大学生到某科研单位的第一､二､三这三个科室实习，每个科室至少有一人实习，且每人只到一个科室实习.在甲在第一科室实习的条件下，甲与乙不在同一科室实习的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】.（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）已知某班级的数学兴趣小组中，有男生5人，女生3人，现从这个小组中随机抽出2名学生参加同一个数学竞赛，在其中一人是男生的条件下，另一人也是男生的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】.（24-25高二下·福建福州·期中）已知一个家庭有两个孩子，其中有一个是男孩，且这个男孩出生在星期二，那么另外一个也是男孩的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】（24-25高二下·江苏淮安·期中）为践行“绿水青山就是金山银山”的理念，某校在第47个植树节来临之际，从高一、高二、高三中分别选派4名、5名、6名学生参加植树造绿活动，其中高一、高二、高三年级参加活动的学生中男生人数分别为2、3、4，活动结束后，随机推选一名学生汇报活动体会，如果选到的是女生，则该生不是高二同学的概率为（   ） A． B． C． D． 【考点题型二】全概率公式及其应用（） 【例2】（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期中）现有一堆颜色不同，形状一样的小球在甲乙两袋中，其中甲袋有5个红色小球，4个白色小球，乙袋中有4个红色小球，3个白色小球. (1)分别从甲乙两袋中各取一个小球（相互无影响），求两个小球颜色不同的概率；（可直接用数字作答） (2)从甲袋中取出一球放入乙袋，然后从乙袋中取出一球；从甲袋中取出的是红球的条件下，求从乙袋中取出红球的概率；（可直接用数字作答） (3)先从两袋中任取一袋，然后在所取袋中任取一球，求取出为白球的概率.（以字母表述解题，并计算结果） 【变式2-1】.（24-25高二下·辽宁·期中）已知某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比为，高一、高二年级学生的近视率分别为25%，35%．若从该校三个年级中随机抽出一名学生，该学生近视的概率为40%，则高三年级学生的近视率为（   ） A．54.5% B．52.5% C．50.5% D．50.25% 【变式2-2】.（24-25高二下·上海浦东新·期中）设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取两球，则从乙盒取出2个红球的概率是 . 【变式2-3】.（24-25高二下·浙江绍兴·期中）甲箱的产品中有6个正品和2个次品，乙箱的产品中有5个正品和2个次品. (1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品只有1个是次品的概率； (2)若先从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，再从乙箱中任取一个产品，求取出这个产品是正品的概率. 【变式2-4】.（24-25高二下·福建泉州·期中）甲、乙两个箱子装有大小及外观相同的小球，甲箱中有5个白球和3个黑球，乙箱中有4个白球和3个黑球. (1)若从甲箱中任取2个小球，求这2个小球同色的概率； (2)若先从甲箱中任取2个小球放入乙箱中，然后再从乙箱中任取1个小球， ①求从乙箱中取出的球是白球的概率. ②若已知从乙箱中取出的球是白球，求从甲箱中取出的2个小球恰好是1黑1白的概率. 【考点题型三】条件概率性质应用（） 【例3】（24-25高二下·江苏淮安·期中）已知两个随机事件，若，，，则 . 【变式3-1】.（24-25高二下·浙江·期中）对于随机事件、，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】.（多选）（24-25高二下·河南商丘·期中）设A，B是一次随机试验中的两个事件，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】.（多选）（2025·安徽滁州·二模）某同学春节期间计划观看《蛟龙行动》《哪吒之魔童闹海》《熊出没：重启未来》三部电影，观看顺序随机．记“最先观看《哪吒之魔童闹海》”为事件，“最后观看《蛟龙行动》”为事件，则（    ） A． B． C．与相互独立 D． 【变式3-4】.（24-25高二下·安徽安庆·阶段练习）已知，，，则的值为 【考点题型四】贝叶斯公式及其应用（） 【例4】（24-25高二下·辽宁·期中）假设你是一个不算太差的一般人，crush喜欢你的概率是25%；如果ta喜欢你，第一次能约出来的概率是70%；如果ta不喜欢你，第一次能约出来的概率是20%. (1)如果第一次能约出来，ta有多大可能喜欢你呢？ (2)如果第一次约会后crush喜欢你，则第二次能约出来的概率为85%；如果ta不喜欢你，则第二次能约出来的概率为5%.如果crush连着两次都能约出来，ta有多大可能喜欢你呢？ 【变式4-1】.（24-25高二下·河北·期中）某疾病在人群中的患病率为．检测方法的灵敏度（即患者检测结果为阳性的概率）为，特异度（即非患者检测结果为阴性的概率）为．如果某人检测结果为阳性，他实际患病的概率约为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】.（24-25高二下·福建福州·期中）随着某市经济的蓬勃发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明的上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为，，，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，，，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】.（24-25高二下·湖南娄底·期中）甲、乙、丙3台机床加工统一型号的零件，它们加工的零件依次占总数的，，，已知甲机床加工的次品率为0.05，乙机床加工的次品率为0.15，丙机床加工的次品率为0.15，加工出来的零件混放在一起，现从中任取一个零件为次品的概率为 ，该次品来自乙机床的概率为 ． 【变式4-4】.（2026高三·全国·专题练习）某地举办了一次地区性的中国象棋比赛，李夏作为选手参加.除李夏以外的其他参赛选手中，是一类棋手，是二类棋手，其余的是三类棋手.已知李夏与一、二、三类棋手比赛获胜的概率分别是，和. (1)从参赛选手中随机选取一位棋手与李夏比赛，求李夏获胜的概率； (2)如果李夏获胜，求与李夏比赛的棋手为一类棋手的概率． 【考点题型五】离散型随机变量分布列均值，方差（） 【例5】（多选）（24-25高一下·甘肃兰州·期中）已知数据，，…，的平均数为10，方差为1，且，则下列说法正确的是（    ） A．数据，，…，的方差为2； B．数据，，…，的平均数为24； C．数据，，…，，10的平均数为10，方差大于1； D．若数据，，…，的中位数为m、75%分位数为n，则. 【变式5-1】.（24-25高二下·福建莆田·期中）若随机变量的分布列为 1 2 3 0.2 0.5 则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】.（24-25高二下·浙江绍兴·期中）已知随机变量的分布列如下表： 0 1 2 若，则（   ） A． B．5 C．7 D．21 【变式5-3】.（多选）（24-25高二下·山东·期中）随机交量X的分布列为 X 1 2 3 P a 则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-4】.（24-25高二下·安徽合肥·期中）已知离散型随机变量的分布列如下表： 0 1 2 5 则 . 【考点题型六】均值和方差的性质（） 【例6】（24-25高二下·河北·期中）某学校器乐大赛有7名选手进入最后决赛，6名评委给出评分如下表，按去掉2个最高分和2个最低分规则计算选手成绩： 选手 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 评委6 1 9.60 9.40 9.80 9.20 9.65 9.30 2 9.10 9.35 9.15 8.95 9.37 9.35 3 9.70 9.55 9.65 9.45 9.75 9.50 4 8.90 8.85 9.05 8.60 8.95 8.70 5 9.20 9.30 9.50 9.15 9.40 9.10 6 8.80 8.70 8.40 8.20 8.35 8.25 7 8.00 8.15 8.35 8.80 8.25 8.05 (1)试确定冠军、亚军、季军选手的序号； (2)若比赛结束后从7名选手中任选3名谈参赛体会，设谈体会的3人中含有冠军或亚军的人数为，求的分布列和数学期望以及方差. 【变式6-1】.（24-25高二下·重庆·期中）根据相关研究报告显示，预计2025年电商交易额突破18亿元，网购用户规模接近9亿，下表为某网店统计的近5个月的利润（单位：万元），其中为月份代号． 月份 2024年12月 2025年1月 2025年2月 2025年3月 2025年4月 月份代号 1 2 3 4 5 利润万元 8 6.3 5.1 3.2 2.4 (1)依据表中的统计数据，计算样本相关系数（精确到0.01），判断是否可以用线性回归模型拟合与的关系；若可用，求出关于的经验回归方程，并估计2025年5月该网店利润；若不可用，请说明理由； (2)该专营店为了吸引顾客，推出两种抽奖方案．方案一：一次性购物金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打9折，中奖两次打8折，中奖三次打6折，其余情况不打折．方案二：从装有8个形状大小、完全相同的小球（其中红球3个，白球1个，黑球4个）的抽奖盒中，一次性摸出2个球，其中奖规则为：若摸出1个红球和1一个白球打六折，摸出2个黑球打八折，其余情况不打折．某顾客计划在此网店购买1000元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠． 参考：． 【变式6-2】.（24-25高二下·广东中山·阶段练习）猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名，该游戏中有A，B，C三首歌曲.嘉宾甲参加猜歌名游戏，需从三首歌曲中各随机选一首，自主选择猜歌顺序，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，并且获得本歌曲对应的奖励基金.假设甲猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲的概率及猜对时获得相应的奖励基金如下表： (1)求甲按“”的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名的概率； (2)甲决定按“”或者“”两种顺序猜歌名，请你计算两种猜歌顺序嘉宾甲获得奖励基金的期望；为了得到更多的奖励基金，请你给出合理的选择建议，并说明理由． 【变式6-3】.（2025·河南·模拟预测）某商场举办购物抽奖活动，在一个不透明的袋子中放入个大小、材质都相同的小球，小球有红和蓝两种颜色，每个小球上都画有符号“○”或“×”，不同颜色和符号的小球个数如下表所示．从袋中随机摸出一个球，记事件为“摸出红球”，事件为“摸出画○的球”． 红球 蓝球 画○ 画× (1)求和． (2)该商场规定在一次抽奖中，每人有放回地摸两次球，每次只摸出一个球，根据两次摸出球的颜色和符号是否相同设置三种奖项，等级从高到低依次为：颜色和符号均相同为一等奖；仅颜色相同或仅符号相同为二等奖；颜色和符号均不相同为三等奖． （ⅰ）以“结果发生的可能性越小，奖项等级越高”为标准，请你判断该奖项设置是否合理； （ⅱ）若按（ⅰ）中的标准对上述三种结果重新设置奖项，并且一等奖奖励元，二等奖奖励元，三等奖奖励元，要使一次抽奖的奖金期望值不超过元，则的最大值为多少？ 【变式6-4】.（24-25高二下·北京·期中）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50m以上（含9.50m）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）： 甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25； 乙：9.78，9.56，9.49，9.36，9.32，9.23； 丙：9.85，9.65，9.20，9.16． 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立． (1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率； (2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，求所有的可能值及其发生的概率． (3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙投掷一次铅球，达到优秀的次数分别为，直接写出的大小关系（结论不要求证明） 【考点题型七】独立重复试验与二项分布模型（） 【例7】（2025·浙江金华·三模）某手机厂对屏幕进行两项独立检测：亮度检测通过率，色准检测通过率.产品需通过两项检测才算合格.随机抽取3件产品，设合格品数为X. (1)求单件产品为合格品的概率； (2)求X的分布列及数学期望； (3)已知合格品利润100元/件，若改进工艺能使亮度检测通过率提升至，但每件成本增加1元.是否值得改进？ 【变式7-1】.（24-25高二下·重庆渝中·期中）某数学试卷的选择题有单选和多选两种题型.单选题每题四个选项，有且仅有一个选项正确，选对得5分，选错得0分.多选题每题四个选项，正确答案只有两种情况：两个选项正确或三个选项正确.全部选对得6分，部分选对的得一部分的分（如果正确答案是2项，那么每项得3分；如果正确答案是3项，那么每项得2分），有错误选择或不选择得0分. (1)若某同学对其中4道单选题完全没有答题思路，只能随机选择一个选项作答，且每题的解答相互独立.记该同学在这4道单选题中答对的题数为随机变量，求的分布列； (2)若某同学对其中一道多选题完全没有答题思路，决定只随机选择一个选项作答.已知此题正确答案是两个选项的概率为，求该同学回答这道多选题得分的期望和方差. 【变式7-2】.（2025·河北·模拟预测）2024年奥运会，我国射击项目收获颇丰，现有甲､乙两位射击爱好者来到靶场射击．已知甲每次射击上靶的概率为，乙每次射击上靶的概率为，甲､乙两人每次射击是否上靶相互独立． (1)若甲､乙两人各自射击3次，求甲､乙两人共上靶至少2次的概率； (2)若甲､乙两人各自射击2次，上靶得一分，不上靶得零分，记甲､乙两人得分的差的绝对值为，求的分布列和数学期望． 【变式7-3】.（24-25高二下·山东·期中）诗词大会的挑战赛上，挑战者向守擂者提出挑战，规则为挑战者和守擂者轮流答题，直至一方答不出或答错，则另一方自动获胜，比赛最多进行5轮（挑战者和守擂者依次答题一次为一轮），若第五轮挑战者答题正确则不论守擂者答对与否都认为挑战者获胜.赛制要求挑战者先答题，守擂者和挑战者每次答对问题的概率都是，且每次答题互不影响.（其中挑战者第五轮答对问题概率为）. (1)若在不多于两次答题就决出胜负的条件下，则挑战者获胜的概率是多少？ (2)在此次比赛中，挑战者最终获胜的概率是多少？ (3)现赛制改革，挑战者需要按上述方式连续挑战全部6位守擂者，以（2）中求得的挑战者最终获胜的概率作为挑战者面对每个守擂者的获胜概率，每次挑战之间相互独立，若最终统计结果是挑战者战胜了不少于三分之二的守擂者，则称该挑战者挑战成功，反之则称挑战者挑战失败.若再增加1位守擂者，试分析该挑战者挑战成功的概率是否会增加？并说明理由. 【变式7-4】.（24-25高二下·河南郑州·期中）为宣扬中国文化，某校组织古诗词知识比赛．比赛分为两阶段，第一阶段为基础知识问答，每位选手都需要回答3个问题，答对其中至少2个问题，进入第二阶段，否则被淘汰；第二阶段分高分组和低分组，第一阶段3个问题都答对的选手进入高分组，共回答4个问题，每答对一个得20分，答错不得分；第一阶段答对2个问题的选手进入低分组，共回答4个问题，每答对一个得10分，答错不得分．第一阶段，每个问题选手甲答对的概率都是；第二阶段，若选手甲进入高分组，每个问题答对的概率都是，若选手甲进入低分组，每个问题答对的概率都是． (1)求选手甲在该次比赛得分数为40分的概率； (2)已知该次比赛选手甲进入了高分组，记选手甲在该次比赛中得分数为X，求随机变量X的分布列和期望值． 【考点题型八】超几何分布模型（） 【例8】（24-25高二下·天津·期中）为提高天津市的整体旅游服务质量，市旅游局举办了天津市旅游知识竞赛，参赛单位为本市内各旅游协会，参赛选手为持证导游．现有来自甲旅游协会的导游5名，其中高级导游4名；乙旅游协会的导游5名，其中高级导游2名、从这10名导游中随机选择4人参加比赛． (1)设A为事件“选出的4人中恰有2名高级导游，且这2名高级导游来自同一个旅游协会”，求事件A发生的概率； (2)设ξ为选出的4人中高级导游的人数，求随机变量ξ的分布列和数学期望 【变式8-1】.（24-25高二下·山西·期中）袋中装有大小、形状、材质完全相同的小球，其中3个红球，4个黄球．现从袋子中一次性摸出3个球． (1)求摸出的红球个数多于黄球的概率； (2)记摸出黄球的个数为，求的分布列及数学期望． 【变式8-2】.（24-25高二下·安徽·期中）某高中举行爱国主义读书比赛，最终决出一等奖6名同学，其中高一年级2名，高二年级3名，高三年级1名，现从中任选3人作为代表发言. (1)求选出的3人中高一年级的人数多于高三年级的人数的概率； (2)设表示选出的3人中高二年级的人数，求的分布列和数学期望. 【变式8-3】.（24-25高二下·云南昆明·期中）某冰糖橙按照等级可分为四类：珍品、特级、优级和一级.某采购商从采购的这批橙子中随机抽取100箱，利用橙子的等级分类标准得到的数据如下表： 等级 珍品 特级 优级 一级 箱数 10 20 30 40 (1)若将频率作为概率，从这100箱橙子中有放回地随机抽取4箱，求恰好有2箱是特极品的概率； (2)用分层随机抽样的方法从这100箱橙子中抽取10箱，再从抽取的10箱中随机抽取3箱，表示抽取的一级品的箱数，求的分布列及均值， 【变式8-4】.（24-25高二下·广东·期中）某班组织同学开展古诗词背诵活动，老师要从10篇古诗词中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能过关．某同学只能背诵其中的6篇，试求： (1)抽到他能背诵的古诗词的数量的分布列； (2)他能过关的概率． 【考点题型九】正态分布模型（） 【例9】（24-25高二下·云南昆明·期中）某商场在五一假期间开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，已知甲、乙、丙三人都参加了该项闯关活动.每个人闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为450分，现要根据得分给共2500名参加者中得分前400名发放奖励. (1)假设该闯关活动平均分数为171分，351分以上共有57人，已知甲的得分为270分，问甲能否获得奖励，请说明理由； (2)丙得知他的分数为430分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为201分，351分以上共有57人”，请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪. 附：若随机变量，则；；. 【变式9-1】.（24-25高二下·河南驻马店·阶段练习）天和核心舱是我国目前研制的最大航天器，是我国空间站的重要组成部分．为了能顺利地完成航天任务，挑选航天员的要求非常严格．经调研，在挑选航天员的过程中有一项必检的身体指标服从正态分布），航天员在此项指标中的要求为．为了宣传我国航天事业取得的巨大成就，某校特意在本校举办了航天员的模拟选拔活动，共有307名学生参加了这次模拟选拔活动．这些学生首先要进行身体指标的筛查，筛查合格的学生再进行另外4个环节选拔．假设学生通过另外4个环节的概率依次为，，，，且每个环节的选拔相互独立． (1)估计这307名学生中符合“”这个指标的学生人数（四舍五入到个位）； (2)如果符合“”这个指标的学生，继续进行另外4个环节的选拔，求最终通过学校航天员选拔活动的人数的方差． 参考数据：若，则，，． 【变式9-2】.（24-25高二下·宁夏银川·期中）高中生坚持跑操有利于增强体质．某高中实践活动小组经过调查所在学校学生坚持跑操的次数与综合体测成绩等信息，得到如下数据：该学校有的学生每月平均坚持跑操的次数超过40次，这些学生中，综合体测成绩达到“及格”等级的概率为，而每月平均坚持跑操的次数不超过40次的学生的综合体测成绩达到“及格”等级的概率为． (1)若从该学校任意抽取一名学生，求该学生综合体测成绩达到“及格”等级的概率； (2)已知该实践活动小组的6名学生中有4名学生综合体测成绩达到“及格”等级，从这6名学生中抽取2名学生，记为抽取的这2名学生中综合体测成绩达到“及格”等级的人数，求随机变量的分布列和数学期望． (3)经统计：该校学生综合体测得分近似服从正态分布，若得分，则综合体测成绩达到“优秀”等级，假设学生之间综合体测成绩相互独立．现从该校所有学生中抽取40名学生，记为这40名学生中综合体测成绩达到“优秀”等级的人数，求的数学期望及方差．（结果四舍五入保留整数） 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，， 【变式9-3】.（24-25高二下·福建福州·期中）冬奥会的成功举办极大鼓舞了人们体育强国的热情，掀起了青少年锻炼身体的热潮．某校为了解全校学生“体能达标”的情况，从高二年级12个班学生中每班随机选出5名学生参加“体能达标”测试，并且规定“体能达标”测试成绩小于60分的为“不合格”，否则为合格．若高二年级“不合格”的人数不超过总人数的5%，则该年级体能达标为“合格”，否则该年级体能达标为“不合格”，需要加强锻炼． (1)已知某班级的5名学生中，甲、乙2位同学体能预测不合格，从这5名学生中抽取2名，记X为抽取的2名学生中体能合格的人数，求随机变量X的分布列 (2)为了加强锻炼，甲、乙两位同学计划每天开展跳绳比赛以提高体能，并约定每轮比赛均采用五局三胜制（一方获胜三局则本轮比赛结束）．假设甲同学每局比赛获胜的概率均为，求甲在一轮比赛中至少比了四局并获胜的条件下，前2局比赛均获胜的概率； (3)经过一段时间的体能训练后，该校再次进行了体能检测，高二年级学生体能检测成绩近似服从正态分布．已知，请估计该校高二年级学生该次体能检测是否合格?附：． 【变式9-4】（24-25高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）2024年，全国政协十四届二次会议于3月4日下午3时在北京开幕，3月10日上午闭幕，会期6天；十四届全国人大二次会议于3月5日上午开幕，11日下午闭幕，会期7天.为调查居民对两会相关知识的了解情况，某小区开展了两会知识问答活动，现将该小区参与该活动的800名居民的得分（满分100分）进行了统计，得到如下的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，估计这800名居民得分的平均值；（同一组数据以该组区间的中点值作代表） (2)结合频率分布直方图，近似认为参与活动的小区居民的得分服从正态分布，其中近似为（1）中的样本平均值，试估计得分超过95.8分的居民人数（结果精确到个位）； (3)用频率估计概率，任选2名参加活动的居民，设为得分超过80分的居民人数，求的分布列和数学期望. 附：若随机变量服从正态分布，则.【答案】 【考点题型十】正态分布模型中的决策问题（） 【例10】（2024·广东广州·模拟预测）阅读是人类获取知识、启智增慧、培养道德的重要途径.某年级共有学生500人，其中男生300人，女生200人，为了解学生每个学期的阅读时长，采用分层抽样的方法抽取样本，收集统计了他们的阅读时长（单位：小时），计算得男生样本的均值为100，标准差为16，女生样本的均值为90，标准差为19. (1)如果男、女的样本量都是25，请估计总样本的均值.以该结果估计总体均值合适吗？为什么？ (2)已知总体划分为2层，采用样本量比例分配的分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，.记总的样本的均值为，样本方差为. （ⅰ）证明：； （ⅱ）如果已知男、女样本量按比例分配，请直接写出总样本的均值和标准差（精确到1）： (3)假设全年级学生的阅读时长服从正态分布，以（ⅱ）总样本的均值和标准差分别作为和的估计值.如果按照的比例将阅读时长从高到低依次划分为，，，四个等级，试确定各等级时长（精确到1）. 附：，，，. 【变式10-1】.（24-25高二下·辽宁大连·阶段练习）某汽车公司研发了一款新能源汽车，并在出厂前对辆汽车进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行整理，得到如下的频率分布直方图： (1)估计这辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； (2)由频率分布直方图计算得样本标准差的近似值为，根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似的服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本标准差. （i）利用该正态分布，求； （ii）假设某企业从该汽车公司购买了辆该款新能源汽车，记表示这辆新能源汽车中单次最大续航里程的车辆数，求； 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，. 【变式10-2】.（2024·辽宁抚顺·三模）某市共有教师1000名，为了解老师们的寒假研修情况，评选研修先进个人，现随机抽取了10名教师利用“学习APP”学习的时长（单位：小时）：35，43，90，83，50，45，82，75，62，35，时长不低于80小时的教师评为“研修先进个人”． (1)现从该样本中随机抽取3名教师的学习时长，求这3名教师中恰有2名教师是研修先进个人的概率． (2)若该市所有教师的学习时长近似地服从正态分布，其中为抽取的10名教师学习时长的样本平均数，利用所得正态分布模型解决以下问题： ①试估计学习时长不低于50小时的教师的人数（结果四舍五人到整数）； ②若从该市随机抽取的名教师中恰有名教师的学习时长在内，则为何值时，的值最大？ 附：若随机变量服从正态分布，则，，． 【变式10-3】.（23-24高三上·广东江门·阶段练习）某公司建有1000个销售群，在某产品的销售旺季，所有群销售件数X服从正态分布，其中，公司把销售件数不小于596的群称为“A级群”，销售件数在内的群为“B级群”，销售件数小于266的群为“C级群”． (1)若，求a的取值范围； (2)该公司决定对每个“A级群”奖励1000元，每个“B级群”奖励500元，每个“C级群”奖励200元，那么公司大约需要准备多少奖金？（群的个数按四舍五入取整数） 附：若，，则，，． 【变式10-4】（2024·广东湛江·一模）某工厂一台设备生产一种特定零件，工厂为了解该设备的生产情况，随机抽检了该设备在一个生产周期中的100件产品的关键指标（单位：），经统计得到下面的频率分布直方图： (1)由频率分布直方图估计抽检样本关键指标的平均数和方差．（用每组的中点代表该组的均值） (2)已知这台设备正常状态下生产零件的关键指标服从正态分布，用直方图的平均数估计值作为的估计值，用直方图的标准差估计值作为估计值． （i）为了监控该设备的生产过程，每个生产周期中都要随机抽测10个零件的关键指标，如果关键指标出现了之外的零件，就认为生产过程可能出现了异常，需停止生产并检查设备．下面是某个生产周期中抽测的10个零件的关键指标： 0.8 1.2 0.95 1.01 1.23 1.12 1.33 0.97 1.21 0.83 利用和判断该生产周期是否需停止生产并检查设备． （ⅱ）若设备状态正常，记表示一个生产周期内抽取的10个零件关键指标在之外的零件个数，求及的数学期望． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则， 【考点题型十一】概率与数列（） 【例11】（24-25高二下·浙江·期中）小明同学在学了概率统计的知识后，设计了如下的掷骰子跳台阶的游戏：台阶从下往上依次编号为1，2，3，……，n，选手掷两颗骰子，若点数之和大于等于10，则可以跳2级台阶，点数之和小于10，则只可以跳1级台阶，选手初始位置记为0，记跳到n级台阶的概率为. (1)求，，的大小； (2)求概率，，满足的关系式； (3)记概率的值构成的数列为（），求的最大值与最小值. 【变式11-1】.（24-25高二下·福建三明·期中）为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐、面食套餐和西餐套餐三种选择．已知某同学开学第一天选择的是米饭套餐，从第二天起，每天中午会在食堂随机选择与前一天不一样的两种套餐中的一种，如此往复． (1)求该同学第4天中午选择米饭套餐的概率； (2)记该同学第天选择米饭套餐的概率为； ①求； ②当时，恒成立，求的取值范围． 【变式11-2】.（2025·湖北·模拟预测）甲、乙、丙三人进行玩具传递游戏，每次抛掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传递方式，当玩具在甲手中时，若骰子点数大于4，甲将玩具传给乙；若骰子点数不大于4，甲保留玩具；当玩具在乙手中时，若骰子点数大于3，乙将玩具传给甲；若骰子点数不大于3，乙传给丙；当玩具在丙手中时，若骰子点数大于2，丙将玩具传给甲；若骰子点数不大于2，丙传给乙.初始时，玩具在甲手中. (1)设前三次抛掷骰子后，玩具在甲手中的次数为，求的分布列和数学期望； (2)抛掷次骰子后，玩具在乙手中的概率为，求的通项公式； (3)求证：. 【变式11-3】.（2025·内蒙古包头·二模）高三某班为缓解学生高考压力，班委会决定在周班会课上进行“听音乐，猜歌名”的趣味游戏比赛，现将全班学生分为9组，每组5人，剩余的学生做裁判．比赛规则如下：比赛共分为两轮，第一轮比赛中9个小组分三场进行比赛，每场比赛有3个小组参加，在规定的时间内猜对歌名最多的小组获胜，获胜的三个小组进入第二轮比赛；第二轮进行一场比赛，选出获胜队伍．已知甲、乙、丙3个小组的学生能成功猜对歌名的概率分别为． (1)现从甲组中任选一名学生进行歌曲试猜，记5首歌曲中猜对的歌曲数为，求随机变量的数学期望； (2)若从甲、乙、丙3个小组中任选一名学生参加猜歌游戏，求该学生猜对歌曲的概率； (3)若第二轮比赛中丁、戊两组并列第一，则设置以下游戏决定最终获胜的小组，游戏规则如下：从丁、戊小组中任选一名代表，从装有3个白球和2个红球的不透明的盒子中有放回地随机摸出一个球，摸出白球记分，摸出红球记分，以0分开始计分，恰好获得分或分则结束摸球．若该代表获得分，则该代表所在小组获得胜利，否则另外一组获得胜利．若该代表来自戊组，试估计戊组获胜的概率． 【变式11-4】（2025·安徽蚌埠·二模）某大学排球社团为了解性别因素是否对学生喜欢排球有影响，随机调查了男、女生各200名，得到如下数据： 性别 排球 喜欢 不喜欢 男生 78 122 女生 112 88 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为是否喜欢排球与性别有关联？ (2)在某次社团活动中，甲、乙、丙这三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人.记次传球后球在乙手中的概率为. （i）求； （ii）若随机变量服从两点分布，且，则.记前次（即从第1次到第次传球）中球在乙手中的次数为随机变量，求的数学期望. 附：，其中. 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【考点题型十二】借助导数求概率中的最值问题（） 【例12】（2025·河南·二模）已知一款游戏以抽奖形式获得某种奖品，每次抽奖分为中奖和不中奖两种结果，现在利用伪随机算法进行若干次抽奖，假定中奖后就不再继续抽奖，设是第一次抽奖中奖的概率，此后若前次抽奖均未中奖，则进行第n次抽奖时中奖的概率满足其中时一定中奖，设从第一次抽奖开始，第一次中奖时抽奖的次数为X． (1)当时，求X的分布列和期望； (2)当X的期望为2时，证明：． 【变式12-1】.（24-25高二下·陕西西安·期中）设随机变量，． (1)求； (2)若，求； (3)当p在变化时，求取得最大值时p的值． 【变式12-2】.（2025·江西·二模）为了增强学生体质，学校举办趣味爬楼梯比赛．从地面开始，小明爬楼梯有两种方式，一步上一级台阶或2级台阶，其中一步上一级台阶的概率为，上两级台阶的概率为，爬楼梯过程中，小明爬到第n个台阶的概率为 (1)求的值； (2)设随机变量表示小明爬3步上的台阶总数，求的分布列及数学期望； (3)求． 【变式12-3】.（2025·广东深圳·模拟预测）某大学有甲、乙两个运动场.假设同学们可以任意选择其中一个运动场锻炼，也可选择不锻炼，一天最多锻炼一次，一次只能选择一个运动场.若同学们每次锻炼选择去甲或乙运动场的概率均为，每次选择相互独立.设王同学在某个假期的三天内去运动场锻炼的次数为，已知的分布列如下：（其中，） 0 1 2 3 记事件表示王同学假期三天内去运动场锻炼次，事件表示王同学在这三天内去甲运动场锻炼的次数大于去乙运动场锻炼的次数. (1)当时，求的值； (2)是否存在实数，使得？若存在，求的值：若不存在，请说明理由. 提升训练 一、单选题 1．（24-25高二下·甘肃甘南·期末）设两个正态分布和的密度函数图象如图所示，则有（    ）    A．， B．， C．， D．， 2．（2025·山西朔州·模拟预测）已知随机变量，，则（   ） A．0.2 B．0.1 C．0.6 D．0.4 3．（24-25高二下·甘肃甘南·期末）甲箱中有4个红球，3个白球和3个黑球，乙箱中有5个红球，3个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一个球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则从乙箱中取出的是红球的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·重庆·期中）已知贝叶斯公式：．某视频网站利用AI换脸掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.03，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性约为（   ） A． B． C． D． 5．（江西省新九校协作体2024-2025学年高二下学期第二次联考数学试题）设随机变量，函数在定义域上是单调递增函数的概率为，则（    ） 附：若，则. A． B． C． D． 6．（2025·四川·模拟预测）若随机变量的分布列如下表，表中数列是公比为2的等比数列，则（   ） 1 2 3 A． B． C． D． 7．（24-25高二下·湖南衡阳·期中）学校要举办足球比赛，现在要从高一年级各班体育委员中挑选名不同的裁判员（一名主裁判，一名助理裁判，一名助理裁判，一名第四裁判），其中高一共个班，每个班各一名体育委员，共个女生，个男生，要求四名裁判中既要有男生，也要有女生，那么在女裁判员担任主裁判的条件下，第四裁判员是男生的概率为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高三下·湖南邵阳·阶段练习）如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次，则下列正确的是（    ） A．质点回到原点的概率为； B．质点回到原点的概率为 C．质点位于4的位置的概率为 D．质点位于4的位置的概率是 二、多选题 9．（24-25高二下·重庆·期中）已知随机变量的分布列为 1 2 3 4 0.2 0.3 0.4 0.1 则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（四川省新高考2025届高三适应性考试（第三次联考）数学试题）已知袋装食盐标准质量为400g，设甲、乙两品牌袋装食盐质量的误差分别为随机变量X，Y，且，，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 11．（2025·广东揭阳·二模）设随机变量服从正态分布，且，若，则 . 12．（24-25高二下·河南郑州·期中）某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球．已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是，从按钮第二次按下起，若前一次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，若前一次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，记第次按下按钮后出现红球的概率为，则 ． 四、解答题 13．（2025届辽宁省沈阳市高三三模数学试卷）甲、乙两个箱子中，各装有个球，其中甲箱中有个红球和个白球，乙箱中有个红球，其余都是白球．掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为或，则从甲箱中随机摸出个球；如果点数为、、、，则从乙箱中随机摸出个球．已知掷次骰子后，摸出的球都是红球的概率是． (1)求的值； (2)记摸到红球的个数为随机变量，求的分布列和数学期望． 14．（2025·河北秦皇岛·三模）甲参加一项招聘考试，分为笔试和面试两个环节，笔试成绩合格后才能进入面试.笔试共有2道专业理论题与2道岗位实践题，每道专业理论题的难度系数（考生能够正确作答的概率）均为，每道岗位实践题的难度系数均为，考生至少答对3道题才能进入面试，否则被淘汰出局；面试共有5道问答题，由考官逐一提问作答，累计答对3道题或答错3道题，面试结束.已知甲笔试得满分的概率为，笔试和面试各题是否答对相互独立. (1)当时，求； (2)求甲能够进入面试的概率的最小值及相应的值； (3)已知甲通过了笔试环节，面试时每道题的难度系数是（2）中求得的值，令甲面试结束时的答题数为，求的分布列与数学期望. 15．（24-25高二下·福建三明·期中）某公司邀请棋手与该公司研制的一款人形机器人进行象棋比赛，规则如下：棋手的初始分为20，每局比赛，棋手胜加10分；平局不得分；棋手负减10分.当棋手总分为0时，挑战失败，比赛终止；当棋手总分为30时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续.已知每局比赛棋手胜、平、负的概率分别为、、，且各局比赛相互独立. (1)求两局后比赛终止的概率； (2)在3局后比赛终止的条件下，求棋手挑战成功的概率； (3)在挑战过程中，棋手每胜1局，获奖5千元.记局后比赛终止且棋手获奖1万元的概率为，求的最大值. 16．（2025·湖北·模拟预测）2025年4月25日，中国人形机器人生态大会在上海汽车会展中心举办.其中，人形机器人拳王争霸赛让人大开眼界：在4米乘以4米的拳台上，可以看到各家公司在多模态融合算法、运动控制、视觉、感知等技术上的突破.比赛前，某科技公司机器人甲队和乙队进行练习赛，两队均由两台机器人组成.比赛要求每轮两局，每局比赛两队都需派不同机器人参赛，每局比赛获胜得1分，否则得0分（每局比赛都分胜负，没有平局）.设每轮比赛中各局结果互不影响，各轮结果也互不影响.已知甲队机器人，机器人每局比赛获胜的概率分别为. (1)设前两轮比赛中甲队得3分为事件，前两轮比赛中机器人得2分为事件，求； (2)机器人续航时间有限，规定本次比赛最多进行6轮，规定当一队得分比另一队得分多2分时比赛结束.设比赛结束时共进行了轮，求的分布列及数学期望. 17．（2025·山东·二模）甲乙二人进行比赛，已知在每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛的结果相互独立．为决出最终获胜的一方，有以下两种方案可供选择： 方案一：规定每局比赛的胜方得1分，败方得0分，则首次比对手高两分的一方获胜． 方案二：首次连胜两局比赛的一方获胜． (1)若，且采用方案一，求第四场比赛结束时恰好分出胜负的概率． (2)若，为使甲获胜的概率更大，则应该选择哪种比赛方案？请说明理由． 附：当0 < q < 1时，． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$