专题01 数列12考点+17题型+4易错（期末复习知识清单）高二数学下学期人教A版

专题01 数列 1.数列的概念 概念 含义 数列 按照①确定的顺序排列的一列数 数列的项 数列中的②每一个数 数列的通项 数列{an}的第n项an 通项公式 数列{an}的第n项an与③序号n之间的关系式 前n项和 数列{an}中，Sn＝④a1＋a2＋…＋an 2.数列的表示方法 列表法 列出表格表示n与an的对应关系 图象法 把点⑤（n，an）画在平面直角坐标系中 公 式 法 通项公式 把数列的通项用⑥公式表示 递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式 3.数列的分类及性质 4.数列与函数的关系 数列{an}是从正整数集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）到实数集R的函数，其自变量是⑦序号n，对应的函数值是⑧数列的第n项an，记为an＝f（n）. 5.等差数列的有关概念 （1）定义：如果一个数列从①第2项起，每一项与它的前一项的②差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的③公差，公差通常用字母d表示，符号表示为④an＋1－an＝d　 （n∈N*，d为常数）； （2）等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝⑤其中A叫做a与b的等差中项. 6.等差数列的性质 （1）若{an}为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*)，则⑥ak+al=am+an （2）若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为⑦md的等差数列. （3）若Sn为等差数列{an}的前n项和,则数列Sm,⑧S2m-Sm ,S3m-S2m,…也是等差数列. （4）若Sn为等差数列{an}的前n项和,则数列也为⑨等差数列. 7.等差数列与函数关系 （1）等差数列{an}的单调性 当d>0时，{an}是⑩递增数列；当d<0时，{an}是⑪递减数列；当d＝0时，{an}是⑫常数列. （2）当d≠0时，等差数列{an}的前n项和是关于n的二次函数. 8.等差数列的常用结论 （1）在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值.（ （2）若等差数列{an}的项数为偶数2n，则S2n＝n（a1＋a2n）＝…＝n（an＋an＋1）；S偶－S奇＝nd，. （3）若等差数列{an}的项数为奇数2n－1，则S2n－1＝（2n－1）an；；S奇－S偶＝an（中间项）. 9.等比数列的有关概念 （1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于①同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的②公比，公比通常用字母q表示（显然q≠0），符号表示为＝③q 　（n∈N*）； （2）等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.即G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒④G2＝ab 【提醒】在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q=1与q≠1分类讨论，防止因忽略q=1这一特殊情形而导致解题失误. 10.等比数列的性质 已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和： （1）若k＋l＝m＋n（k，l，m，n∈N*），则有ak·al＝⑤am·an.； （2）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为⑥qm； （3）当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为⑦qn. （4）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），，{}，{an·bn}，仍是⑧等比数数列 11.等比数列的函数特征 等比数列{an}的首项为a1，公比为q （1）当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{an}是⑨递增数列； （2）当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，{an}是⑩递减数列； （3）当q＝1时，{an}是⑪常数列数列. 12.等比数列的常用结论 1.若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），，{}，{an·bn}，仍是等比数列 2.若a1·a2·…·an＝Tn，则，…成等比数列； 3.若等比数列{an}的项数为2n，则；若项数为2n＋1，则； 由an与Sn的关系求通项公式 【例1】（2025·天津卷T6），则数列 （   ） 【答案】 【解析】因为， 所以当时，， 当时，， 经检验，满足上式，所以 【变式】已知数列满足，则数列的通项公式为 . 【答案】 【解析】由题意， 当时，，两式相减得， ，解得， 在中，令，可得，故也满足， 综上所述，所求即为. 由数列的递推关系求通项公式 【例2】已知数列中，，（，且），则通项公式（   ） A． B． C． D． 【解析】当时，，即，而， 所以 ，满足上式， 所以所求通项公式为，故选C 【变式】已知数列满足，，则的前6项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，当时， ，显然，对于时也成立， 所以， 则的前6项和为，故选C. 数列的周期性 【例3】已知数列满足，则（    ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【解析】由，得且，所以，故， 所以是以8为一个周期的周期数列，又，所以，所 以，故选B. 【变式】在数列中，若，则（    ） A．-2 B．4 C．1 D． 【答案】B 【解析】因为数列中，，所以，， ，，所以数列是以3为周期的周期数列，所以.故选B 数列的单调性 【例4】（2022·北京卷T15节选）已知数列各项均为正数，其前n项和满足．证明为递减数列 【解】由题意可知，，，当时，，可得； 当时，由可得，两式作差可得， 可得，所以，数列为递减数列， 【变式】已知数列满足若数列为递增数列，则实数a的取值范围 【答案】 【解析】因为数列为递增数列，所以必有，解得 等差数列基本量的运算 【例5】（2025·新高考Ⅱ卷·T7）记为等差数列的前n项和，若则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设等差数列的公差为d，则由题可得 ， 所以，故选：B. 【变式】已知等差数列的前项和为，且，，若，则 . 【答案】9 【解析】设等差数列的公差为，由，得， 故，由，得. 等差数列的判定与证明 【例6】（2021·全国甲卷T18）记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列. 【解】∵数列是等差数列，设公差为 ∴， ∴， ∴当时， 当时，，满足， ∴的通项公式为， ∴，∴是等差数列. 【变式】（2021·全国乙卷节选T19）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．证明：数列是等差数列 【解】（1）[方法一]：由已知得,且，, 取,由得,由于为数列的前n项积， 所以, 所以，所以, 由于，所以，即,其中 所以数列是以为首项，以为公差等差数列; [方法二]由已知条件知    ① 于是．       ② 由①②得．     ③ 又，       ④ 由③④得． 令，由，得． 所以数列是以为首项，为公差的等差数列． 等差数列项的性质 【例7】（2024·全国甲卷T5）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【解析】根据等差数列的性质，，由，根据等差数列的求和公式， ，故，故选D 【变式】已知是等差数列，与是方程的两根，则的前项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设等差数列的公差为， 又由根与系数的关系得 ∴，故选C. 等差数列前n项和的性质 【例8】已知等差数列的前n项和为，若，则的值为（   ） A．0 B．3 C．6 D．12 【答案】A 【解析】因为是等差数列，所以成等差数列， 又，所以成等差数列， 则，则，故选A. 【变式】已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为等差数列，的前n项和分别为，，所以， 因为，所以可设，，则，， 所以，故选D. 等差数列前n项和的最值 【例9】记为等差数列的前项和，公差，且，则取得最小值时为（    ） A．2021 B．4039 C．2020 D．4040 【答案】C 【解析】因为公差，所以数列单调递增，所以，又， 所以，所以数列前项全为负，从开始为正， 所以前项的和为的最小值，故.故选：C. 【变式】等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝13，S3＝S11，当Sn最大时，试求n的值. 【解】法一（邻项变号法） 由S3＝S11，得a4＋a5＋…＋a11＝0，根据等差数列的性质，可得a7＋a8＝0.根据首项等于13可推知这个数列为递减数列，从而得到a7＞0，a8＜0，故n＝7时Sn最大. 法二（函数法） 由S3＝S11，可得3a1＋3d＝11a1＋55d，把a1＝13代入，得d＝－2，故Sn＝13n－n（n－1）＝－n2＋14n.根据二次函数的性质，知当n＝7时Sn最大. 法三（图象法） 根据a1＝13，S3＝S11，知这个数列的公差不等于零，且这个数列的和是先递增后递减.根据公差不为零的等差数列的前n项和是关于n的二次函数，以及二次函数图象的对称性，可得只有当时，Sn取得最大值. 等比数列基本量的运算 【例10】记等比数列的前项和为，若，，则（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】设等比数列的公比为，若，则，故， 由可得， 化简得，解得，则.故选：D. 【变式】已知递增等比数列的前项和为，若，则 ．（请用数字作答） 【答案】63 【解析】数列为等比数列，设公比为， 因为，所以， 化简得，解得或者. 因为数列为递增的等比数列，所以， 所以，将代入方程中解得. 所以. 等比数列的判定与证明 【例11】已知数列满足，，是数列的前项和，记．求证：数列是等比数列； 【解】由，，得， 则，而， 所以数列是等比数列. 【变式】已知数列的前n项和为， ，且，. 求证：是等比数列. 【解】由， 得， 两式相减，得，即. 又，所以. 选①:因为，且， 所以是首项为3，公比为2的等比数列， 等比数列项的性质 【例12】正项递增等比数列，前n项的和为，若，，则（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】A 【解析】由等比数列的性质可知，，且， 所以或， 因为数列是正项递增数列，所以，，则，故选A 【变式】已知等比数列的各项均为正数，且，则 . 【答案】10 【解析】因为数列为正项等比数列，则，即， 所以. 等比数列前n项和的性质 【例13】（2023·新课标Ⅱ卷T8）记为等比数列的前n项和，若，，则（    ）． A．120 B．85 C． D． 【答案】C 【解析】方法一：设等比数列的公比为，首项为， 若，则，与题意不符，所以； 若，则，与题意不符，所以； 由，可得，，①， 由①可得，，解得：， 所以，故选C． 方法二：设等比数列的公比为， 因为，，所以，否则， 从而，成等比数列， 所以有，，解得：或， 当时，，即为， 易知，，即； 当时，， 与矛盾，舍去．故选C． 【变式】等比数列的前项和记为，若，，，则 . 【答案】219 【解析】设数列的首项为，公比为. 因为，所以， 因为，所以，所以. 所以，所以. 于是. 等比数列的最值问题 【例14】设正项等比数列的前n项和为，，若，则数列中最大的项为 . 【答案】 【解析】设正项等比数列的公比为，其中， 因为，可得，解得或， 因为，所以，所以， 则，故， 当时，则由， 则有，所以数列中最大的项为. 【变式】已知数列的前n项和为，且，．若，则正整数k的最小值为 【答案】13 【解析】数列中，，当时，，则， 整理得，即，而，即， 因此数列是以为首项，公比为的等比数列，， 则，由，知为奇数，此时是递增的， 而，， 所以正整数k的最小值为13. 分组转化求和与并项求和 【例15】（2024·全国甲卷T17）已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【解】（1）因为,故， 所以即故等比数列的公比为， 故，故，故. （2）由等比数列求和公式得， 所以数列的前n项和 . 【变式】在数列中，已知，且当为奇数时，；当为偶数时，． (1)求的通项公式； (2)求的前项和． 【解】（1）依题意，， 当为偶数时，，则数列的奇数项是首项为2，公比为2的等比数列， 于是，即当为奇数时，，当为偶数时，， 所以的通项公式是. （2）由（1）知，， . 裂项相消法求和 【例16】（2022·新高考全国Ⅰ卷T17）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)证明：． 【解】（1）∵，∴,∴, 又∵是公差为的等差数列， ∴,∴, ∴当时，， ∴, 整理得：, 即, ∴ ， 显然对于也成立， ∴的通项公式； （2） ∴ 【变式】已知数列的首项为，前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)已知，记数列的前项和为，求证：． 【解】（1）由已知得， 即，则，，，， 等式左右分别相加可得 ， 则； （2）依题意得， ， 则， 又，所以，所以， 即． 错位相减法求和 【例17】已知数列的前项和为，且． (1)证明：是等比数列； (2)设，求数列的前项和． 【解】（1）当时，，解得． 当时，， 所以，即， 所以， 又， 所以,所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列． （2）由（1）知，， 所以， 所以． 设， 则， 两式相减，可得, 所以． 又， 所以． 【变式】设正项数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)已知，求数列的前项和的取值范围． 【解】（1）由得，， 两式作差得， 因数列为正项数列，则， 令，则，则， 则数列的奇数项是以为首项，为公差的等差数列， 故为奇数时，， 数列的偶数项是以为首项，为公差的等差数列， 故为偶数时，， 综上，数列的通项公式为； （2）由（1）可得，， 设数列的前项和为，则， 则， 两式作差得， ，则， 令，则， 则数列为递减数列，且， 则，故， 故数列的前项和的取值范围为. 易错01等差数列求和时，误用公式、混淆项数导致错误。 【例1】已知等差数列的前项和为，若，，则当取最小值时，（ ） A．6或7 B．7 C．8 D．7或8 【答案】D 【解析】已知等差数列，，， 由等差数列前项和公式可得， ，解得， ， ，是开口向上的二次函数， 对称轴为， 由于是正整数，离对称轴最近的整数为7和8， 当取最小值时，7或8． 【变式】已知等差数列的前项和分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为等差数列的前项和分别为，且， 所以可设，， 所以，所以. 易错02由前n项和求通项公式时，忽略公式成立条件导致错误。 【例2】已知Sn为数列{an}的前n项和，且log2（Sn＋1）＝n＋1，则数列{an}的通项公式为　　. 【答案】 【解析】由log2（Sn＋1）＝n＋1，得Sn＋1＝2n＋1，当n＝1时，a1＝S1＝3； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n，显然当n＝1时，不满足上式. 所以数列{an}的通项公式为 【变式】已知数列满足，则 ． 【答案】 【解析】时，，与原式相减得 ，则， 经检验，时也成立，故，即． 易错03等比数列中忽视公比的偶次方为正数，忽略项的符号关系。 【例3】若1，，，4成等差数列；1，，，，4成等比数列，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若1，，，，4的公比为，则， 由题设，，则（负值舍），所以.故选A 【变式】在等比数列中，是方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为是等比数列，且，是方程的两根， 所以：，且，. 根据等比数列的性质，得：，且，所以 ∴.故选：A 易错04混淆数列与连续函数的区别，误用函数性质导致错误。 【例4】已知首项为1的等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，若恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，成等差数列，所以， 又因为的首项为1，各项均为正数的等比数列， 所以，解得或（舍去），所以. 若恒成立，所以. 设，令，解得， 所以在为减函数，在为增函数. 而当时，即时，， 所以当时，即时，取得最小值为， 所以.故选B 【变式】已知是等比数列的前n项和，，，若关于n的不等式对任意的恒成立，则实数t的最大值为（    ） A．12 B．16 C．24 D．36 【答案】C 【详解】设等比数列的公比为，则， 解得，∴．∴关于n的不等式， 即，即对任意的恒成立． 解法一  设，则， 当时，，当时，， 当时，， 又，∴当或时，，∴． 故选:C． 解法二  由，当且仅当，即时等号成立， 又，∴当或时，取得最小值24，故． 故选:C． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 数列 1.数列的概念 概念 含义 数列 按照①确定的顺序排列的一列数 数列的项 数列中的②每一个数 数列的通项 数列{an}的第n项an 通项公式 数列{an}的第n项an与③序号n之间的关系式 前n项和 数列{an}中，Sn＝④a1＋a2＋…＋an 2.数列的表示方法 列表法 列出表格表示n与an的对应关系 图象法 把点⑤（n，an）画在平面直角坐标系中 公 式 法 通项公式 把数列的通项用⑥公式表示 递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式 3.数列的分类及性质 4.数列与函数的关系 数列{an}是从正整数集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）到实数集R的函数，其自变量是⑦序号n，对应的函数值是⑧数列的第n项an，记为an＝f（n）. 5.等差数列的有关概念 （1）定义：如果一个数列从①第2项起，每一项与它的前一项的②差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的③公差，公差通常用字母d表示，符号表示为④an＋1－an＝d　 （n∈N*，d为常数）； （2）等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝⑤其中A叫做a与b的等差中项. 6.等差数列的性质 （1）若{an}为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*)，则⑥ak+al=am+an （2）若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为⑦md的等差数列. （3）若Sn为等差数列{an}的前n项和,则数列Sm,⑧S2m-Sm ,S3m-S2m,…也是等差数列. （4）若Sn为等差数列{an}的前n项和,则数列也为⑨等差数列. 7.等差数列与函数关系 （1）等差数列{an}的单调性 当d>0时，{an}是⑩递增数列；当d<0时，{an}是⑪递减数列；当d＝0时，{an}是⑫常数列. （2）当d≠0时，等差数列{an}的前n项和是关于n的二次函数. 8.等差数列的常用结论 （1）在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值.（ （2）若等差数列{an}的项数为偶数2n，则S2n＝n（a1＋a2n）＝…＝n（an＋an＋1）；S偶－S奇＝nd，. （3）若等差数列{an}的项数为奇数2n－1，则S2n－1＝（2n－1）an；；S奇－S偶＝an（中间项）. 9.等比数列的有关概念 （1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于①同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的②公比，公比通常用字母q表示（显然q≠0），符号表示为＝③q 　（n∈N*）； （2）等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.即G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒④G2＝ab 【提醒】在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q=1与q≠1分类讨论，防止因忽略q=1这一特殊情形而导致解题失误. 10.等比数列的性质 已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和： （1）若k＋l＝m＋n（k，l，m，n∈N*），则有ak·al＝⑤am·an.； （2）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为⑥qm； （3）当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为⑦qn. （4）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），，{}，{an·bn}，仍是⑧等比数数列 11.等比数列的函数特征 等比数列{an}的首项为a1，公比为q （1）当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{an}是⑨递增数列； （2）当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，{an}是⑩递减数列； （3）当q＝1时，{an}是⑪常数列数列. 12.等比数列的常用结论 1.若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），，{}，{an·bn}，仍是等比数列 2.若a1·a2·…·an＝Tn，则，…成等比数列； 3.若等比数列{an}的项数为2n，则；若项数为2n＋1，则； 由an与Sn的关系求通项公式 【例1】（2025·天津卷T6），则数列 （   ） 【变式】已知数列满足，则数列的通项公式为 . 由数列的递推关系求通项公式 【例2】已知数列中，，（，且），则通项公式（   ） A． B． C． D． 【变式】已知数列满足，，则的前6项和为（   ） A． B． C． D． 数列的周期性 【例3】已知数列满足，则（    ） A． B． C．0 D． 【变式】在数列中，若，则（    ） A．-2 B．4 C．1 D． 数列的单调性 【例4】（2022·北京卷T15节选）已知数列各项均为正数，其前n项和满足．证明为递减数列 【变式】已知数列满足若数列为递增数列，则实数a的取值范围 等差数列基本量的运算 【例5】（2025·新高考Ⅱ卷·T7）记为等差数列的前n项和，若则（   ） A． B． C． D． 【变式】已知等差数列的前项和为，且，，若，则 . 等差数列的判定与证明 【例6】（2021·全国甲卷T18）记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列. 【变式】（2021·全国乙卷节选T19）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．证明：数列是等差数列 等差数列项的性质 【例7】（2024·全国甲卷T5）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．1 D． 【变式】已知是等差数列，与是方程的两根，则的前项和为（    ） A． B． C． D． 等差数列前n项和的性质 【例8】已知等差数列的前n项和为，若，则的值为（   ） A．0 B．3 C．6 D．12 【变式】已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则（   ） A． B． C． D． 等差数列前n项和的最值 【例9】记为等差数列的前项和，公差，且，则取得最小值时为（    ） A．2021 B．4039 C．2020 D．4040 【变式】等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝13，S3＝S11，当Sn最大时，试求n的值. 等比数列基本量的运算 【例10】记等比数列的前项和为，若，，则（    ） A．3 B．2 C． D． 【变式】已知递增等比数列的前项和为，若，则 ．（请用数字作答） 等比数列的判定与证明 【例11】已知数列满足，，是数列的前项和，记．求证：数列是等比数列； 【变式】已知数列的前n项和为， ，且，. 求证：是等比数列. 等比数列项的性质 【例12】正项递增等比数列，前n项的和为，若，，则（    ） A．3 B． C．4 D． 【变式】已知等比数列的各项均为正数，且，则 . 等比数列前n项和的性质 【例13】（2023·新课标Ⅱ卷T8）记为等比数列的前n项和，若，，则（    ）． A．120 B．85 C． D． 【变式】等比数列的前项和记为，若，，，则 . 等比数列的最值问题 【例14】设正项等比数列的前n项和为，，若，则数列中最大的项为 . 【变式】已知数列的前n项和为，且，．若，则正整数k的最小值为 分组转化求和与并项求和 【例15】（2024·全国甲卷T17）已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【变式】在数列中，已知，且当为奇数时，；当为偶数时，． (1)求的通项公式； (2)求的前项和． 裂项相消法求和 【例16】（2022·新高考全国Ⅰ卷T17）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)证明：． 【变式】已知数列的首项为，前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)已知，记数列的前项和为，求证：． 错位相减法求和 【例17】已知数列的前项和为，且． (1)证明：是等比数列； (2)设，求数列的前项和． 【变式】设正项数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)已知，求数列的前项和的取值范围． 易错01等差数列求和时，误用公式、混淆项数导致错误。 【例1】已知等差数列的前项和为，若，，则当取最小值时，（ ） A．6或7 B．7 C．8 D．7或8 【变式】已知等差数列的前项和分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 易错02由前n项和求通项公式时，忽略公式成立条件导致错误。 【例2】已知Sn为数列{an}的前n项和，且log2（Sn＋1）＝n＋1，则数列{an}的通项公式为　　. 【变式】已知数列满足，则 ． 易错03等比数列中忽视公比的偶次方为正数，忽略项的符号关系。 【例3】若1，，，4成等差数列；1，，，，4成等比数列，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式】在等比数列中，是方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 易错04混淆数列与连续函数的区别，误用函数性质导致错误。 【例4】已知首项为1的等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，若恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式】已知是等比数列的前n项和，，，若关于n的不等式对任意的恒成立，则实数t的最大值为（    ） A．12 B．16 C．24 D．36 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $