精品解析：吉林吉林市实验中学2025-2026学年度第二学期七年级下学期期中考试数学试题

吉林吉林市实验中学2025-2026学年度第二学期 七年级下学期期中考试数学试题 一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 的平方根是（ ） A. B. C. D. 2. 在下列实数中，属于无理数的是（ ） A. 0 B. C. D. 3. 下列命题中，假命题是（ ） A. 同旁内角相等，两直线平行 B. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 C. 平行于同一条直线的两条直线平行 D. 两直线平行，同旁内角互补 4. 《孙子算经》中有一道题: “今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是:“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余尺；将绳子对折再量木条，木条剩余尺，问木条长多少尺？”如果设木条长尺，绳子长尺，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 5. 一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点在的延长线上，当时，的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知点，，若将线段平移至，其中点，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 3 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 写出一个比3大的正无理数__________． 8. 一杆古秤在称物体时的状态如图所示，已知，则的度数是______． 9. 数轴是一个非常重要的数学工具，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．如图，面积为5的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为1，若点在数轴上（点E在点A左侧），且，则点E表示的数为______． 10. 如图，借助直尺和三角尺画平行线，保持直尺不动，沿直尺推动三角尺，分别画直线a，b，则，其中用到的理论依据是__________． 11. 已知点，点是平面直角坐标系内两点，当的值为______时，线段有最小值． 三、解答题（12-14每小题6分，15-17每小题7分，18-19每小题8分，20-21每小题10分，22题12分，共87分） 12. 计算：． 13. 解方程组： 14. 已知的算术平方根是3，的立方根是2． （1）求和的值； （2）若，是整数，求的平方根． 15. 为了节能减排，一家工厂将照明灯换成了节能灯．A车间购买了3盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯，共花费50元；B车间购买了12盏甲型节能灯和4盏乙型节能灯，共花费88元．1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元？ 16. 某学习小组进行如下探究活动： 探究1：如图1，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大正方形，探求大正方形的边长． 探究2：如图2，用面积为的正方形纸片，沿纸片的边的方向裁出一个面积为的长方形，使裁出的长方形纸片的长、宽之比为． 解决问题： （1）图1拼成的大正方形的边长是否为有理数？请说明理由； （2）图2能否裁出符合要求的长方形纸片？为什么？ 17. 如图，直线与被直线所截，与，分别交于，，且，． （1）试说明：； （2）若平分，，求的度数． 18. 完成下面推理过程： 如图，已知，，于点，于点，试说明：． 证明：，已知， ， （______）， ______（______） ，已知， ，（______） ． （______）， ______（______）， （______） 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，点.若将平移得到，三角形中任一点经过平移后的对应点的坐标是． （1）通过平移，画出； （2）直接写出的面积是__________； （3）线段的关系是__________． 20. 【问题情境】小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个题目： 解方程组：． 【观察发现】 （1）如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把也看成一个整体，通过换元，可以解决问题．例如：设，，则原方程组可化为__________，解关于a，b的方程组，得，所以．解这个方程组，得__________； 【探索应用】 （2）运用上述方法解下面的方程组： 21. 材料一：如图，某数学兴趣小组的同学们在学习平行线的过程中，他们发现一个点与一组平行线的位置关系有多种多样： 材料二：在研究的过程中同学们总结出：可以先过某一点作已知直线的平行线，再将角进行拆分或重组从而解决问题．为此，老师给出如下问题： 如图①，，，交于点Q，交于点P．请判断与有怎样的数量关系； 如图②，明明同学通过在点F处作，利用平行线的性质实现了角的转移，进而解决了问题； 如图③，欣欣同学受到了明明方法的启发，另辟蹊径，在点Q处作，同样也有着异曲同工之妙． 【问题解决】 （1）请判断与有怎样的数量关系，并选择一名同学的解题思路，写出证明过程； 【类比运用】 （2）如图④，，反向延长的平分线，交直线于点F，点H在直线上，连接，若，，求的度数； 【变式探究】 （3）如图⑤，，平分，且，，请直接写出的度数． 22. 如图，已知长方形，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，点在第四象限内，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着的路线运动(即：沿着长方形的边运动一周)． （1）当点运动了秒时，点的坐标是______； （2）当点在上运动时，若的面积是，求点运动的时间； （3）当点距离轴为个单位长度时，求点运动的时间： （4）若点的坐标为，且直线轴，直接写出点运动的时间． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林吉林市实验中学2025-2026学年度第二学期 七年级下学期期中考试数学试题 一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 的平方根是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：的平方根是． 2. 在下列实数中，属于无理数的是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，正确把握相关定义是解题关键． 无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类；②开方开不尽的数；③虽有规律但却是无限不循环的小数，根据无理数的特征即可解答． 【详解】解：A．0，是有理数，不是无理数，故此选项不符合题意； B．，是无限不循环小数，是无理数，故此选项符合题意； C．，是有理数，不是无理数，故此选项不符合题意； D．，是分数属于有理数，不是无理数，故此选项不符合题意； 故选：B． 3. 下列命题中，假命题是（ ） A. 同旁内角相等，两直线平行 B. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 C. 平行于同一条直线的两条直线平行 D. 两直线平行，同旁内角互补 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线的判定定理和性质定理判断即可． 【详解】解：A. 同旁内角互补，两直线平行，是假命题，符合题意； B. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，是真命题，不符合题意； C. 平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题，不符合题意； D. 两直线平行，同旁内角互补，是真命题，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 4. 《孙子算经》中有一道题: “今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是:“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余尺；将绳子对折再量木条，木条剩余尺，问木条长多少尺？”如果设木条长尺，绳子长尺，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺”可知：绳子－木条=4.5，再根据“将绳子对折再量木条，木条剩余1尺”可知：木条－绳子=1，据此列出方程组即可． 【详解】由题意可得，． 故选：D． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的二元一次方程组． 5. 一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点在的延长线上，当时，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根据平行线的性质求出角的度数，三角板中角度的计算，根据平行线的性质求出，再根据三角板中的角度，以及角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∵， ∴， ∴； 故选B． 6. 如图，已知点，，若将线段平移至，其中点，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据平移坐标确定这个平移变换是向左平移4个单位，再向上平移1个单位，解答即可． 本题考查了平移计算，熟练掌握平移规律是解题的关键． 【详解】解：∵点，，若将线段平移至，其中点， 故平移变换是向左平移4个单位，再向上平移1个单位， ∴， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 写出一个比3大的正无理数__________． 【答案】（答案不唯一，大于3的正无理数均可） 【解析】 【分析】由，即可得出结果． 【详解】解：是正无理数，且，满足题意要求． 8. 一杆古秤在称物体时的状态如图所示，已知，则的度数是______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平角的定义，先根据两直线平行，内错角相等得到，再根据平角的定义求解即可． 【详解】解：如图所示，由题意得，， ∴， ∴， 故答案为：． 9. 数轴是一个非常重要的数学工具，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．如图，面积为5的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为1，若点在数轴上（点E在点A左侧），且，则点E表示的数为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，理解数轴上表示的点的方法是解答本题的关键． 根据正方形的面积为5得到，再结合，点表示的数为1，点E在点A的左侧，然后确定点E表示的数即可． 【详解】解：∵正方形的面积为5， ∴， ∵， ∴， ∵点A表示的数为1，点在数轴上（点在点A左侧）， ∴点E所表示的数为：． 故答案为：． 10. 如图，借助直尺和三角尺画平行线，保持直尺不动，沿直尺推动三角尺，分别画直线a，b，则，其中用到的理论依据是__________． 【答案】同位角相等，两直线平行 【解析】 【分析】根据两角的位置，结合平行线的判定方法，即可得出答案． 【详解】解：如图，直尺的边缘所在的直线视为截线，在推动三角尺的过程中，三角尺的一边与直尺边缘所成的角的大小保持不变， 这两个角分别在直线，的同一方，并且都在截线的同侧，属于同位角， 因为同位角相等，根据平行线的判定定理，可得． 所以该作图方法用到的理论依据是：同位角相等，两直线平行． 11. 已知点，点是平面直角坐标系内两点，当的值为______时，线段有最小值． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，垂线段最短，根据点，得出点在直线上的一点，结合点，且线段有最小值，则，据此即可作答． 【详解】解：∵点， ∴点在直线上的一点， ∵点，且线段有最小值， ∴， 此时， 故答案为：4． 三、解答题（12-14每小题6分，15-17每小题7分，18-19每小题8分，20-21每小题10分，22题12分，共87分） 12. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的加减运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的加减，熟练掌握运算法则是解题的关键． 13. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】利用加减消元法运算解答即可． 【详解】解： 解：可得：， 可得：， 解得：， 把代入可得：， 解得：， ∴方程组的解为：． 14. 已知的算术平方根是3，的立方根是2． （1）求和的值； （2）若，是整数，求的平方根． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根、立方根和平方根，无理数的估算，代数式求值，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据算术平方根和立方根的定义列方程求解即可； （2）估算的范围确定的值，代入计算后求平方根即可． 【小问1详解】 解：的算术平方根是3，的立方根是2， ，， ，； 【小问2详解】 解：， ， ，是整数， ， ， 的平方根为． 15. 为了节能减排，一家工厂将照明灯换成了节能灯．A车间购买了3盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯，共花费50元；B车间购买了12盏甲型节能灯和4盏乙型节能灯，共花费88元．1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元？ 【答案】1盏甲型节能灯售价为5元，1盏乙型节能灯的售价为7元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程解决实际问题，正确列出二元一次方程是解题的关键． 设出两种型号的节能灯的价格，然后算出各自花费的金额，其和等于54元，可列出方程求解． 【详解】解：设1盏甲型节能灯售价为x元，1盏乙型节能灯的售价为y元，根据题意得： ， 解得， 答：1盏甲型节能灯售价为5元，1盏乙型节能灯的售价为7元． 16. 某学习小组进行如下探究活动： 探究1：如图1，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大正方形，探求大正方形的边长． 探究2：如图2，用面积为的正方形纸片，沿纸片的边的方向裁出一个面积为的长方形，使裁出的长方形纸片的长、宽之比为． 解决问题： （1）图1拼成的大正方形的边长是否为有理数？请说明理由； （2）图2能否裁出符合要求的长方形纸片？为什么？ 【答案】（1）大正方形的边长是有理数，见解析 （2）不能裁出符合要求的长方形纸片，见解析 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根和平方根的应用，能根据题意列出算式或方程是解题关键． （1）根据已知正方形的面积求出大正方形的边长即可； （2）设长方形纸片的长为，宽为，列方程，求出长方形的长与宽，将长方形的长与正方形边长比较大小再判断即可． 【小问1详解】 解：两个小正方形纸片的面积为， 那么拼成一个大正方形后的面积为， 大正方形边长为， 大正方形的边长是有理数； 【小问2详解】 解：不能裁出符合要求的长方形纸片，理由如下： 设长方形纸片的长为，宽为， 根据题意得， 解得或（负值，舍去）， ∴长方形的长为，宽为， ， ， ； 又∵，，不符合题意， 不能用这块纸片剪出符合要求的长方形纸片． 17. 如图，直线与被直线所截，与，分别交于，，且，． （1）试说明：； （2）若平分，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了垂直的定义、邻补角的定义、平行线的判定和性质以及二元一次方程组的应用等知识； （1）根据垂直的定义和邻补角的定义可得，结合已知可得，即可得出结论； （2）由角平分线的定义结合邻补角的定义可得，根据可得，结合已知求解方程组即得答案. 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 即， 又∵， ∴，， ∴， ∵， ∴. 18. 完成下面推理过程： 如图，已知，，于点，于点，试说明：． 证明：，已知， ， （______）， ______（______） ，已知， ，（______） ． （______）， ______（______）， （______） 【答案】同旁内角互补，两直线平行    两直线平行，内错角相等  垂直的定义  同位角相等，两直线平行    两直线平行，同位角相等  等量代换 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟知平行线的判定定理是解题的关键． 根据平行线的判定定理与性质定理求证即可． 【详解】证明：，已知， ． （同旁内角互补，两直线平行）． （两直线平行，内错角相等）． ，（已知）， ，（垂直的定义）． ． （同位角相等，两直线平行）． （两直线平行，同位角相等）． （等量代换）． 故答案为：同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；垂直的定义；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；等量代换． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，点.若将平移得到，三角形中任一点经过平移后的对应点的坐标是． （1）通过平移，画出； （2）直接写出的面积是__________； （3）线段的关系是__________． 【答案】（1）见解析 （2）11 （3）平行且相等 【解析】 【分析】（1）由题意得，向左平移个单位长度，向上平移个单位长度得到，根据平移的性质作图即可． （2）利用割补法求三角形的面积即可． （3）根据平移的性质可得答案． 【小问1详解】 解：由题意得，向左平移个单位长度，向上平移个单位长度得到， 如图，即为所求． 【小问2详解】 解：的面积是． 【小问3详解】 由平移得，线段，的关系是平行且相等． 20. 【问题情境】小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个题目： 解方程组：． 【观察发现】 （1）如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把也看成一个整体，通过换元，可以解决问题．例如：设，，则原方程组可化为__________，解关于a，b的方程组，得，所以．解这个方程组，得__________； 【探索应用】 （2）运用上述方法解下面的方程组： 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，原方程组可化为，再求出方程组的解，即可； （2）结合题意，设，，原方程组可化为，求出、的值，即可列出方程组，再解方程组求出、的值即可． 【小问1详解】 解：设，， 则原方程组可化为； 解关于a，b的方程组，得， 所以， 解得． 【小问2详解】 解：设，， 则原方程组可化为； 解关于，的方程组，得， 所以， 解得． 21. 材料一：如图，某数学兴趣小组的同学们在学习平行线的过程中，他们发现一个点与一组平行线的位置关系有多种多样： 材料二：在研究的过程中同学们总结出：可以先过某一点作已知直线的平行线，再将角进行拆分或重组从而解决问题．为此，老师给出如下问题： 如图①，，，交于点Q，交于点P．请判断与有怎样的数量关系； 如图②，明明同学通过在点F处作，利用平行线的性质实现了角的转移，进而解决了问题； 如图③，欣欣同学受到了明明方法的启发，另辟蹊径，在点Q处作，同样也有着异曲同工之妙． 【问题解决】 （1）请判断与有怎样的数量关系，并选择一名同学的解题思路，写出证明过程； 【类比运用】 （2）如图④，，反向延长的平分线，交直线于点F，点H在直线上，连接，若，，求的度数； 【变式探究】 （3）如图⑤，，平分，且，，请直接写出的度数． 【答案】（1），见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）选择明明同学，由，，得，由平行线的性质得，，，进而即可证明；选择欣欣同学，由平行线的性质得，，推出，进而即可证明； （2）过点P作，根据平行线的性质求出和，进而即可求解； （3）过点P作，过点N作，延长交于点Q，则，根据平行线的性质得，，进而证明，根据推出，进而可得，再根据平行线的性质得，，通过等量代换即可求解． 【详解】解：（1）选择明明同学，证明过程如下： ，， ， ， ， ， ， ； 选择欣欣同学，证明过程如下： ， ， ， ， ， ， ， ； （2）如图 ，过点P作， 则， ， ， ， 平分， ， ，， ， ， ， ， 即的度数为； （3）如图 ，过点P作，过点N作，延长交于点Q， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ，， ， 即的度数是． 22. 如图，已知长方形，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，点在第四象限内，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着的路线运动(即：沿着长方形的边运动一周)． （1）当点运动了秒时，点的坐标是______； （2）当点在上运动时，若的面积是，求点运动的时间； （3）当点距离轴为个单位长度时，求点运动的时间： （4）若点的坐标为，且直线轴，直接写出点运动的时间． 【答案】（1） （2）秒 （3）秒或秒 （4）秒或秒 【解析】 【分析】此题考查长方形的性质，坐标与图形，数形结合是解题的关键； （1）根据根据速度乘以时间得出点路程，结合坐标系，即可求解； （2）根据题意，的运动速度与移动的时间，进而结合三角形的面积公式可得答案； （3）根据题意，当点到轴距离为个单位长度时，有在与上两种情况，分别求解可得答案; （4）根据题意，可得或，根据路程除以时间，即可求解． 【小问1详解】 解：∵长方形，点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∵， ∴当点运动了秒时，点的坐标是 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵长方形，点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∵的面积是， ∴， 即， 解得： 【小问3详解】 点距离轴为个单位长度时， 当在上时， ∴ 解得： 当在上时， ∴ 解得： ∴当点距离轴为个单位长度时，点运动了秒或秒 【小问4详解】 ∵点的坐标为，且直线轴， ∴或 ∴或 ∴点运动秒或秒 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $