专题13.9 空间图形的体积重难点题型讲义（1个知识点+9大题型+1大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

该高中数学讲义通过表格对比柱体、锥体、台体的体积公式，结合关系图呈现公式间内在联系，系统梳理空间图形体积知识，涵盖柱锥台球及组合体等重难点，构建清晰知识脉络。 讲义亮点在于9大题型分层设计，如结合印章、浮标等实际情境题培养数学眼光，经典例题带即时训练强化数学思维，拓展训练提升综合应用能力，助力分层教学，支持教师精准复习与学生自主检测。

专题13.9 空间图形的体积重难点题型专训 （1个知识点+9大题型+1大拓展训练+自我检测） 题型一 柱体体积的有关计算 题型二 锥体体积的有关计算 题型三 台体体积的有关计算 题型四 求组合多面体的表面积 题型五 求组合旋转体的表面积 题型六 多面体与球体内切外接问题 题型七 求组合体的体积 题型八 求旋转体的体积 题型九 球的体积的有关计算 拓展训练一 几何图形的体积计算 知识点一： 1、棱锥、棱锥、棱台的高 （1）棱柱的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足(垂线与底面的交点）之间的距离； （2）棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离； （3）棱台的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足之间的距离。 2、棱锥、棱锥、棱台的体积公式 几何体 体积公式 说明 棱柱 为棱柱的底面积，为棱柱的高 棱锥 为棱锥的底面积，为棱锥的高 棱台 ，分别为棱台的上、下底面，为棱台的高 3、对棱柱、棱锥、棱台体积公式的理解 （1）等底、等高的两个棱柱的体积相同； （2）等底、等高的棱锥和棱柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的棱柱的体积是棱锥的体积的3倍.(3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系； （3）柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系 （4）求棱台的体积可转化为求棱锥的体积.根据棱台的定义进行“补形”，还原为棱锥，采用“大棱锥”减去“小棱锥”的方法求棱台的体积. 4、圆柱、圆锥、圆台的体积公式 几何体 体积公式 说明 圆柱 为圆柱的底面积，为圆柱的高 圆锥 为圆锥的底面积，为圆锥的高 圆台 ，分别为圆台的上、下底面，为圆台的高 5、对圆柱、圆锥、圆台体积公式的认识 （1）等底、等高的两个圆柱的体积相同； （2）等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍； （3）圆柱、圆锥、圆台体积公式之间的关系 （4）求圆台的体积转化为求圆锥的体积.根据台体的定义进行“补形”，还原为圆锥，采用“大圆锥”减去“小圆锥”的方法求圆台的体积. 6、球的体积公式： 【即时训练】 1．（25-26高一下·吉林长春·期中）已知圆锥和圆台的高相等，圆锥的底面半径与圆台的上底面半径相等，圆台的下底面半径等于圆台的上底面半径的2倍，则该圆锥与该圆台的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆锥及圆台的体积公式求解即可. 【详解】由题意可设圆锥和圆台的高为，圆锥的底面半径与圆台的上底面半径为， 则圆台的下底面半径为. . . 所以. 2．（24-25高三下·上海·月考）印章是中国传统文化的代表之一，古代的印章一般用贵重的金属或玉石制成，本是官员或私人签署文件时代表身份的信物，后因其独特的文化内涵，也被作为装饰物来使用，如图是某展览馆展示的一个金属印章摆件，可看作是高相等的正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该印章摆件底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为10cm，则该印章摆件的体积约为_________．    【答案】 【分析】先计算出正四棱柱和正四棱锥的高，利用柱体和锥体体积公式进行求解，相加可得答案. 【详解】设正四棱柱和正四棱锥的高均为，画出正四棱锥，对角线相交于点，即， 则正方形对角线长为，故，    故，解得， 故正四棱锥的体积为， 正四棱柱的体积为， 所以该印章摆件的体积为， 其中，故. 故答案为： 【经典例题一 柱体体积的有关计算】 【例1】（25-26高二上·上海浦东新·期中）圆柱底面直径扩大为原来的2倍，高缩小为原来的，则体积变为原来的（   ） A．0.5倍 B．1倍 C．2倍 D．4倍 【答案】C 【分析】利用圆柱的体积公式，直接计算求解即可. 【详解】设原来的圆柱体积为，底面半径为，高为，变化后的圆柱的体积为， 则，=，所以体积变为原来的2倍. 故选：C 【例2】（25-26高二上·上海浦东新·期中）一张矩形纸片的规格为：30cm×20cm，把它作为一个圆柱的侧面，求卷成的圆柱的体积.（精确到，为保证精度，在计算器使用过程中不对值进行四舍五入） 【答案】或 【分析】分别讨论以30cm边为底面周长，20cm边为高和以20cm边为底面周长，30cm边为高两种情况，求得底面圆半径，代入体积公式，即可得答案. 【详解】若以30cm边为底面周长，20cm边为高时， 底面圆半径， 则体积； 若以20cm边为底面周长，30cm边为高时， 底面圆半径， 则体积. 1．（25-26高一下·广东·期中）已知一圆柱有内切球，该球为一底面半径为，高为3的圆锥的外接球，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】    作出轴截面图，显然球心在圆锥的高所在的直线上，记球半径为， 由勾股定理得，解得，可得圆柱的底面半径为， 高为，故其体积. 2．（24-25高三下·湖南·月考）（多选）某圆柱的侧面展开图是长为4、宽为2的矩形，则该圆柱的体积可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由圆柱体积公式计算，注意分类讨论． 【详解】设该圆柱的底面半径为.若该圆柱的高为2，则，即，该圆柱的体积； 若该圆柱的高为4，则，即，该圆柱的体积. 故选：AC． 3．（2026·重庆·模拟预测）已知长方体中，分别是的中点，点分别满足，则几何体的体积为__________. 【答案】 【分析】根据棱柱体积公式计算即可. 【详解】由题意可知， ，， 几何体为四棱柱， 其的体积为. 4．（2025高二下·浙江·学业考试）如图所示，四边形是正方形在平面上的投影（），请回答下列问题： (1)证明：平面平面； (2)若，且，且． （Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）试求的体积． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)（Ⅰ）证明过程见解析；（Ⅱ） 【分析】（1）由和得到线面平行，进而得到面面平行； （2）（Ⅰ）先得到⊥，且，⊥，又，所以⊥平面； （Ⅱ）可视作直四棱柱，作出辅助线，求出等腰梯形的面积，利用柱体体积公式进行求解. 【详解】（1），平面，平面， 所以平面， 又为正方形，故，平面，平面， 所以平面， 又，平面， 所以平面平面； （2）（Ⅰ）正方形的平行投影有四种情况，正方形，矩形，平行四边形或线段， 显然投影不是线段，由于，故正方形的投影为矩形， 即四边形为矩形，要想投影为矩形，需满足⊥，且， ⊥， 又，，平面， 所以⊥平面， （Ⅱ）可视作直四棱柱， 其中，， 所以，，故四边形为等腰梯形， 过点分别作⊥，⊥于点， 故，， 由勾股定理得， 故等腰梯形的面积为， 又， 故. 【经典例题二 锥体体积的有关计算】 【例1】（2026·浙江·三模）已知圆锥的侧面积是底面积的倍，且圆锥的底面半径为，则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设圆锥母线长为，则，解得，则高， 因此体积，故B正确． 【例2】（25-26高三上·上海嘉定·月考）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，已知平面，且. (1)求四棱锥的体积； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由平面，确定为四棱锥的高，再利用四棱锥体积公式计算即可. （2）利用等体积法，结合的面积即可求解. 【详解】（1）由已知，四边形为正方形，且平面， 所以即四棱锥的高， 所以， 即四棱锥的体积为. （2）根据已知，连接，作图如下. 由（1）知，又为正方形的对角线， 所以， 又，即是等边三角形，所以， 设点到平面的距离为， 则，解得， 即点到平面的距离为. 1．（25-26高一下·安徽合肥·期中）如图，直三棱柱中，点分别为和的中点，则三棱锥与四棱锥的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 连接，对于三棱锥与三棱锥，二者高相等， 因为是的中点，所以底面积， 所以． 对于三棱锥与四棱锥，由于二者高相等， 底面积，所以． 所以，所以． 2．（2025高三·全国·专题练习）（多选）（多选）如图，三棱锥中，平面，，则下列条件中可使三棱锥体积唯一确定的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】ACD 【分析】根据三棱锥的体积公式为，在三棱锥中，为高，为底面，要使体积唯一确定，需要确定的长度和的面积. 【详解】设， 对于A，由可得，， 在中，由余弦定理得，解得， 所以唯一确定，故三棱锥的体积唯一确定，A正确； 对于B，在中，由正弦定理得，即， 解得，所以或，故三棱锥体积无法唯一确定，B错误； 对于C，因为平面，所以，又，， 所以平面，则． 设，则，， 故三棱锥的体积唯一确定，C正确； 对于D，由的三边已知，故三棱锥的底面积确定， 又，所以，所以三棱锥体积唯一确定，D正确． 故选：ACD. 3．（2026·辽宁锦州·二模）在四棱锥中，分别为侧棱的中点，则四面体的体积与四棱锥的体积之比为________. 【答案】/ 【分析】根据已知及棱锥的体积关系得，，且，即可得. 【详解】如下图示，由分别为侧棱的中点，则，， 且，所以，， 由，即， 所以，， 又， 所以. 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，长方体中，，，，过作长方体的截面使它成为正方形. (1)求三棱锥的体积； (2)求 . 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据计算即可； （2）根据进行计算． 【详解】（1）解：由题可得：， （2）因为， 在长方体中平面， 所以三棱锥的高为， 所以 ． 【经典例题三 台体体积的有关计算】 【例1】（25-26高一下·黑龙江佳木斯·期中）已知正四棱台的体积为其上下底面的边长分别为1和2，则这个正四棱台的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设正四棱台的高为，则，故. 【例2】（24-25高一·全国·寒假作业）我们生活中常以多少毫米降雨量来描述雨势的大小，例如：降雨量10毫米的实际意义为本次降雨过程平地上每平方米的平均水深为10毫米．这种计量方式源远流长，南宋数学家秦九韶在《数书九章》中有天池测雨一题：今州郡都有天池盆，以测雨水．但知以盆中之水为得雨之数．不知器形不同，则受雨多少亦异，未可以所测，便为平地得雨之数．假令盆口径二尺八寸，底径一尺二寸、深一尺八寸，接雨水深九寸，欲求平地雨降几何？ (1)试说明秦九韶认为不能直接用盆里的水深来代替平地水深的原因； (2)该盆的容积为多少立方寸？（注：径指直径，盆视为一个圆台，一尺等于十寸） (3)题中记载八百年前的这次降雨过程折算到现代为多少毫米的降雨量．（精确到1毫米，宋代一寸约为现代31.2毫米） 【答案】(1)答案见解析 (2)； (3)94毫米 【分析】（1）盆的形状不同，接到的雨水存在差异. （2）根据台体的体积公式求容积. （3）台体的容积除以盆口面积即可. 【详解】（1）因为器形不同，所以不能直接用盆里的水深来代替平地水深. （2）根据题意，该盆可以视作圆台，故作出该圆台的轴截面，如图， 根据题意得：寸，寸，寸，寸． （立方寸）. （3）由（2）知寸，即水面的半径为10寸， 所以盆中水的体积为（立方寸） 因为平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积，所以平地降雨量为寸． 再根据1寸约为现代的31.2毫米计算可得：（毫米） 故折算到现代的雨量约为94毫米． 1．（25-26高一下·湖南邵阳·期中）正四棱台的上、下底面的边长分别为，侧棱长为2，则其体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先计算得到上下底面对角线的长度，进而得到四棱台的高，最后利用棱台体积公式计算得到结果. 【详解】作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心， 如图，因为该四棱台上下底面边长分别为，侧棱长为2， 则上下底面对角线的长度为2和4， 所以该棱台的高，下底面面积，上底面面积， 所以该棱台的体积. 2．（24-25高一下·广东·期中）（多选）在高为3的正三棱台中，，且上底面的面积为，则（    ） A．正三棱台的下底面的面积为 B．正三棱台的下底面的面积为 C．正三棱台的体积为 D．正三棱台的体积为 【答案】AC 【分析】运用台体体积公式,结合正三角形面积计算即可. 【详解】因为正三棱台的下底面的面积为， 所以正三棱台的体积 则A，C正确，B，D错误． 故选：AC. 3．（25-26高一下·重庆·期中）已知正四棱台的体积为14，若，则正四棱台的高为___________． 【答案】 【分析】根据正四棱台的体积公式，代入已知上下底边长和体积求解高即可。 【详解】正四棱台的上下底面均为正方形，因此下底面面积，上底面面积， 设正四棱台的高为，根据棱台体积公式 ，. 4．（25-26高二上·四川达州·月考）如图，正四棱台两底面边长分别为2和4． (1)若侧棱长为，求棱台的表面积； (2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）作出辅助线，求出棱台的斜高，从而求出侧面积，再与底面积相加即可求出表面积； （2）根据已知条件求出斜高，再算出正棱台的高即可． 【详解】（1）如图，设分别为上，下底面的中心， 分别取的中点，连接，则为正四棱台的斜高， ， 则棱台的表面积． （2）两底面面积之和为， 正四棱台的侧面积为，解得， 正四棱台的高． 故． 【经典例题四 求组合多面体的表面积】 【例1】（24-25高二上·北京·期末）一些二次曲面常常用于现代建筑的设计中，常用的二次曲面有球面、椭球面、单叶双曲面和双曲抛物面、比如，中心在原点的椭球面的方程为，中国国家大剧院就用到了椭球面的形状（如图1），若某建筑准备采用半椭球面设计（如图2），半椭球面方程为，该建筑设计图纸的比例（长度比）为1：50（单位：m），则该建筑的占地面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，得到平面上的曲线方程为，为一个圆，求出面积即可求解. 【详解】解析：求占地面积即求半椭球面的底面积， 所以，到平面上的曲线方程为，为一个圆， 所以，该半椭球面的底面是一个半径为的圆， 因为该建筑设计图纸的比例（长度比）为1：50（单位：m） 所以，建筑时选的半径为米， 所以，建筑的占地面积为平方米. 故选：B 【例2】（24-25高一下·重庆·阶段检测）如图，正方体的棱长为a，截面将正方体分成两部分. (1)求几何体的表面积； (2)求点A到平面的距离d. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由几何体构成，结合正方体、棱锥的表面积求法求几何体的表面积； （2）由等体积法知，即可求点A到平面的距离. 【详解】（1）由题设，易知是边长为的等边三角形， 则， 由正方体的表面积为，棱锥的侧面积为， 所以几何体的表面积； （2）由， 又， 所以，可得. 1．（2025·江苏·模拟预测）在2023年3月12日马来西亚吉隆坡举行的Yong Jun KL Speedcubing比赛半决赛中，来自中国的9岁魔方天才王艺衡以4.69秒的成绩打破了“解三阶魔方平均用时最短”吉尼斯世界纪录称号.如图，一个三阶魔方由27个单位正方体组成，把魔方的中间一层转动了之后，表面积增加了（    ）    A．54 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用截面图，得出魔方相对原来魔方多出了16个小三角形的面积，再利用几何关系求出多出的一个小三角形的面积，进而可求出结果. 【详解】如图，    转动了后，此时魔方相对原来魔方多出了16个小三角形的面积，显然小三角形为等腰直角三角形， 设直角边，则斜边为，则有，得到，由几何关系得：阴影部分的面积为， 所以增加的面积为. 故选：C. 2．（25-26高一下·河北邢台·阶段检测）（多选）“阿基米德多面体”也称为半正多面体（semi-regularsolid），是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体，已知，则关于如图半正多面体的下列说法中，正确的有（    ） A．该半正多面体的体积为 B．该半正多面体过A，B，C三点的截面面积为 C．该半正多面体外接球的表面积为 D．该半正多面体的顶点数V、面数F、棱数E满足关系式 【答案】ABD 【分析】根据几何体的构成可判断A，由截面为正六边形可求面积判断B，根据外接球为正四棱柱的外接球即可判断C，根据顶点，面数，棱数判断D. 【详解】如图， 该半正多面体，是由棱长为2的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的. 对于A，因为由正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的，所以该几何体的体积为：，故正确； 对于B，过A，B，C三点的截面为正六边形ABCFED，所以，故正确. 对于C，根据该几何体的对称性可知，该几何体的外接球即为底面棱长为，侧棱长为2的正四棱柱的外接球，所以该半正多面体外接球的表面积，故错误； 对于D，几何体顶点数为12，有14个面，24条棱，满足，故正确. 故选：ABD 3．（24-25高一下·北京西城·期末）有一个木制工艺品，其形状是一个圆柱被挖去一个与其共底面的圆锥．已知圆柱的底面半径为3，高为5，圆锥的高为4，则这个木质工艺品的体积为______；表面积为______． 【答案】 【分析】根据圆柱和圆锥的体积公式求木质工艺品的体积，根据圆柱、圆锥的侧面积公式求木质工艺品的表面积. 【详解】由题意可知：这个木质工艺品的体积为； 因为圆锥的母线长为 所以这个木质工艺品的表面积为. 故答案为：；. 4．（25-26高一下·河南许昌·期中）已知长方体中，，，用平面截去长方体的一个角后得到如图所示的几何体． (1)求被截去的几何体的体积； (2)求几何体的表面积． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）由题可知截去的几何体为三棱锥，再利用锥体体积公式计算即可； （2）由题可知表面由3个三角形和3个矩形构成，结合余弦定理求面积即可． 【详解】（1）解：被截去的几何体为三棱锥，体积为． （2）解：因为，， 所以，，， ． ，， 在中，由余弦定理得， 则， 所以， 所以． 【经典例题五 求组合旋转体的表面积】 【例1】（24-25高三上·湖南怀化·期末）如图所示，在四边形中，，，，，，则四边形绕旋转一周所成几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断出几何体的结构，根据圆锥、圆台的知识求得正确答案. 【详解】由题意知，旋转所成的几何体是一个圆台上面挖掉一个圆锥的组合体， 且圆台的上底面半径，下底面半径，高，母线长， 圆锥的底面半径，高，母线长， 所以圆台的侧面积，圆锥的侧面积， 圆台的下底面面积，所以几何体的表面积. 故选：C 【例2】（24-25高一下·山西太原·月考）如图所示，在四边形中，，， (1)求四边形绕旋转一周所成几何体的表面积； (2)求四边形绕旋转一周所成几何体的体积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分析旋转体的结构特征，结合圆锥、圆台的侧面积公式运算求解； （2）根据题意结合锥体、台体的体积公式运算求解. 【详解】（1）由题意可知，四边形绕旋转一周所成几何体为圆台挖去一个圆锥的组合体， 过点作，垂足分别为，如下图所示： 易知，所以， 又，所以，可得； 故圆台的上底面半径为，下底面半径为，高为， 母线长；高，母线长， 所以圆台的侧面积为， 圆锥的侧面积为，圆台的下底面面积为， 所以几何体的表面积为． （2）易知几何体的体积等于圆台体积减去圆锥体积， 即， 所以几何体的体积为． 1．（2025·广东佛山·一模）陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县新石器时代遗址中发现的.如图所示是一个陀螺立体结构图，已知底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，则这个陀螺的表面积（单位：）是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知求出圆锥的母线长，从而可求出圆锥的侧面积，再求出圆柱的侧面积和底面面积，进而可求出陀螺的表面积 【详解】由题意可得圆锥体的母线长为， 所以圆锥体的侧面积为， 圆柱体的侧面积为，圆柱的底面面积为， 所以此陀螺的表面积为（）， 故选：B 2．（24-25高一下·重庆·期中）（多选）在等腰梯形中，，，，以所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则下列说法正确的是（    ） A．等腰梯形的高为2 B．该几何体为圆柱 C．该几何体的表面积为 D．该几何体的体积为 【答案】ACD 【分析】过点作交于点，过点作交于点，求出、，即可判断A，依题意可得该几何体的结构特征为一个圆柱挖去上、下两个圆锥，且圆柱的底面半径，高为，圆锥的底面半径，高为，再求出几何体的表面积与体积，即可得解. 【详解】因为在等腰梯形中，，，，    过点作交于点，过点作交于点， 则，所以， 所以等腰梯形的高为， 以所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体， 则该几何体的结构特征为一个圆柱挖去上、下两个圆锥， 且圆柱的底面半径，高为，圆锥的底面半径，高为，故A正确，B错误． 该几何体的表面积， 体积，故C、D正确． 故选：ACD 3．（2025·全国·模拟预测）自习近平到湖南湘西考察时首次作出了“实事求是、因地制宜、分类指导、精准扶贫”的重要指示后，各地根据“因地制宜、整合资源、精准施策、统筹推进”的工作思路，使得脱贫攻坚取得了历史性成效.如今脱贫攻坚工作已进入“啃硬骨头、攻坚拔寨”的冲刺期，大学生村干部这一支年轻的队伍，在精准扶贫过程中，充分发挥自己的聪明才智，带领村民走出一条致富之路.大学生王某带领团队研发一款绿色饮料，包装容器如图所示，容量为，容器由瓶盖及瓶身下部2个圆柱体，和瓶身上部一个圆台组成，但瓶盖部分不计入容积.则该容器的表面积为______.（圆台体积公式，圆台侧面积公式，，，） 【答案】396 【分析】根据圆台的体积求得，再求几何体的表面积，即可得答案； 【详解】由题知该容器由2个圆柱体和一个圆台组成，但瓶盖部分不计入容积， 由于，容器总容量， 所以， 又，所以可得. 所以容器的表面租为 . 故答案为：396. 【点睛】本题考查几何体的体积和表面积公式的运用，考查运算求解能力. 4．（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，在边长为8的正三角形ABC中，E、F分别是AB、AC的中点，，，，垂足分别为D，H，G，若将绕AD所在直线旋转，求阴影部分旋转形成的几何体的表面积.    【答案】 【分析】本题中所得几何体是一个圆锥挖去一个圆柱的组合体，注意结合特殊几何体的结构特征计算阴影部分不规则几何体的表面积即可. 【详解】由题意知，旋转后得到的几何体是一个圆锥挖去一个圆柱的组合体， 且圆锥底面圆的半径为4，高为，圆柱底面圆的半径为2，高为， 所求旋转体的表面积＝圆锥的底面积＋圆锥的侧面积＋圆柱的侧面积. 圆锥的底面积为，圆锥的侧面积为， 圆柱的侧面积为， ∴所求几何体的表面积为. 【经典例题六 多面体与球体内切外接问题】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）在四面体中，已知，，，则四面体的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可推出为等边三角形，设点是的中心．再设分别为的中点，则可得在上，计算相关线段长，可得，求出，即得N为四面体的外接球的球心，确定球的半径，即可求得答案. 【详解】由题意，， 可得为等边三角形，设点是的中心． 设为的中点，则在上，且， 则,则, 又， 则 ，故，同理, 连接，则，故， 在中，, 在中， ，即得， 故，即N为四面体的外接球的球心 球的半径，故． 故选：B． 【例2】（24-25高二上·辽宁抚顺·开学考试）如图，在棱长为的正方体 中，E为的中点.    (1)求点D到平面AEC的距离； (2)已知球O与该正方体的12条棱相切，求该球的表面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等体积法求得正确答案. （2）先求得球的半径，进而求得球的表面积. 【详解】（1）因为正方体中，平面， 由于平面，所以，. 因为正方体的棱长为，E为的中点， 所以. 因为，所以. 设到平面的距离为，， ，解得. （2）设球的半径为，该球的直径为面对角线长，即，， 所以该球的表面积. 1．（2026·天津红桥·一模）在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可知顶点在底面的投影为的外心（正三角形的中心），外接球的球心在过该中心且垂直于底面的直线上，通过勾股定理建立方程求解半径. 【详解】如图，设点为底面的投影，因为， 则为正三角形的中心，计算可得， 则平面，连接 在中，： ， 设外接球的球心为，半径为，则在直线上. 设，则， 在中：解得：， 所以，即. 所以三棱锥外接球的半径为. 2．（2025·山西·三模）（多选）将一个直径为的铁球磨制成一个零件，能够磨制成的零件可以是（    ） A．底面直径为，高为的圆柱体 B．底面直径为，高为的圆锥体 C．底面直径为，高为的圆锥体 D．各棱长均为的四面体 【答案】ABD 【分析】根据球的几何性质，结合勾股定理，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A,若圆柱的底面直径为8，则半径为4， 此时球心到圆柱底面的距离为，故圆柱的高可以为6，A符合， 对于B，若圆锥的底面直径为8，则半径为4， 此时球心到圆锥底面的距离为，故圆锥的高最大时为，B符合， 对于C，若圆锥的底面直径为7，则半径为， 此时球心到圆锥底面的距离为， 故圆锥的高最大时为，C不符合， 对于D , 若将各棱长均为的四面体放入到棱长为的正方体中， 此时正方体的外接球直径为，故D符合， 故选：ABD 3．（25-26高一下·云南昭通·期中）已知在棱长为4的正方体中，为的中点，若球的球面与该正方体的表面有公共点，则球的半径的取值范围是______. 【答案】 【分析】当球与正方体的各面相切时，球的半径达到最小；当球是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶点，所求的球的半径最大，由此求解即可. 【详解】设球的半径为，当球是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶点， 所求的球的半径最大，若半径变得更大，正方体完全位于球内，此时球面与正方体没有公共点， 正方体的外接球直径为体对角线长， 即， 故； 当球与正方体的各面相切时，球的半径达到最小， 即的最小值为2， . 4．（2025高三·全国·专题练习）三个直径相等的圆柱体，半径为R，它们两两垂直且两两相切，求同时与三圆柱体相切的小球的半径r． 【答案】 【分析】如果我们联想到立方体的棱之间的关系就豁然开朗了，证明球心O即为立方体的中心即可求解. 【详解】 （如图18）由立方体的对称性知， 球心O即为立方体的中心， 三圆柱的轴心线即为立方体的三条互为异面的棱,， 所以． 【经典例题七 求组合体的体积】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）如图，某种浮标由两个相同的空心圆台黏合而成，其中圆台高为0.5m，上底面直径为0.4m，下底面直径为0.6m，则此浮标完全浸入水中后排开的水的质量为（水的密度：，忽略浮标的厚度）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆台体积公式及质量公式计算可得结果。 【详解】由题得此浮标的体积为 ， 故所求质量为，即. 故选：C. 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）在中，，，，把绕其斜边所在的直线旋转一周后，所形成的几何体的体积是多少？ 【答案】 【分析】首先判断形成几何体的形状，再利用圆锥体积公式求解即可. 【详解】由题意得，所形成的几何体为两个圆锥的组合体， 如图所示，两个圆锥的底面半径为斜边上的高， 在中，，， 由勾股定理得， 且， 两个圆锥的高分别为和， 所以． 故所形成的几何体的体积是. 1．（25-26高三上·北京西城·期末）记以长方体的四个顶点为顶点的三棱锥的体积为．若，，则的取值集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用三棱锥的体积公式计算求解判断选项. 【详解】以长方体的四个顶点为顶点的三棱锥的体积为， 因为，，应用长方体的对称性，计算以为三棱锥顶点的三棱锥， 所以， ， 则的取值集合为. 故选：C. 2．（24-25高一下·安徽宿州·期中）（多选）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一，印信的形状多为长方体，正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是半正多面体.半正多面体亦称“阿基米德多面体”，它是由边数不全相同的正多边形为面所围成的多面体，这体现了数学的对称美.如图，将棱长为1的正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此一共可截去八个三棱锥，得到一个半正多面体，它们的棱长都相等，则下列说法正确的有（   ） A．该半正多面体有12个顶点 B．该半正多面体有12个面 C．该半正多面体表面积为3 D．该半正多面体体积为 【答案】AD 【分析】求得半正多面体的顶点数和面数，可判断A、B；由半正多面体的顶点是正方体各棱的中点求得半正多面体的棱长，计算表面积和体积，可判断C、D． 【详解】该半正多面体的所有顶点恰为正方体各棱的中点，有12个顶点，14个面（6个正方形，8个正三角形），故A正确，B错误； 该半正多面体所有顶点都为正方体的棱的中点，所以该半正多面体的棱长为， 故半正多面体的面积为，故C错误； 半正多面体的体积为，故D正确. 故选：AD. 3．（2026·北京顺义·二模）现有两个完全相同的四棱柱材料（如图一所示）.某课外手工小组的同学将其中一个切掉一个三棱柱后拼接成如图二所示的“型”几何体（正方形与正方形在同一平面内，四点在一条直线上），，则图一所示的四棱柱的侧面的面积为__________，图二所示的几何体的体积为__________. 【答案】 ; ； 【分析】根据棱柱的性质知侧面为平行四边形，结合面积公式求解；根据题意可知，分别求出两个棱柱体积即可. 【详解】由题意四棱柱，则侧面为平行四边形, 所以； 由正方形ABCD可知，，， ，平面，则三棱柱为直三棱柱 ，，同理可知 为边长为2的等边三角形， 4．（25-26高一下·河北·期中）如图所示的几何体，由上、下两层组成，上层是正四棱锥，下层是长方体，，，．    (1)求这个几何体的表面积； (2)求这个几何体的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）取的中点，连接，先求出，进而求得正四棱锥的侧面积，再求长方体底座的侧面积和底面积，把它们相加，即得这种几何体的表面积； （2）连接，设的交点为，连接，根据图形和相关边长求出正四棱锥的高，再利用棱锥和长方体的体积公式计算即得. 【详解】（1）如图，取的中点，连接， 由四棱锥为正四棱锥知，所以，且， 又，所以， 则， 故正四棱锥的侧面积为． 长方体的侧面积为， 长方体的下底面积为， 所以这个几何体的表面积为． （2）连接，设的交点为，连接， 易知为正四棱锥的高，且， 因为，所以，又，所以， 则正四棱锥的体积为． 长方体的体积为． 所以这个几何体的体积为．    【经典例题八 求旋转体的体积】 【例1】（2025·湖南永州·模拟预测）将上下底分别为、，高为的直角梯形绕其最短的底边旋转一周得到的几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】本题可将旋转后得到的几何体看作在一个圆柱中挖去一个圆锥的组合体，分别计算圆柱和圆锥的体积，再将它们相减即可得到该几何体的体积． 【分析】将上、下底分别为、，高为的直角梯形绕其最短的底（即上底）旋转一周， 得到的几何体是在一个底面半径为，高为的圆柱中挖去个底面半径为，高为的圆锥所形成的组合体． 已知圆柱底面半径，高，则圆柱体积． 已知圆锥底面半径，高，则圆锥体积． 所以，该组合体的体积． 故选：D. 【例2】（24-25高一下·黑龙江大庆·月考）已知的三边长分别是，，，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积． 【答案】， 【分析】根据旋转体的定义，明确组合体是由同底的两个圆锥组成的，结合圆锥的侧面积和体积公式可得答案. 【详解】如图，在中，过C作CD⊥AB，垂足为D. 由AC＝3，BC＝4，AB＝5，知AC2＋BC2＝AB2，则AC⊥BC，∵BC·AC＝AB·CD， ∴CD＝，记为r＝，那么以AB所在直线为轴旋转所得旋转体是两个同底的圆锥，且底半径r＝，母线长分别是AC＝3，BC＝4， 所以S表面积＝πr·(AC＋BC)＝π××(3＋4)＝π， V＝πr2(AD＋BD)＝πr2·AB＝π×2×5＝π. 1．（2025·河北·模拟预测）祖暅原理也称祖氏原理，一个涉及几何求积的著名命题.公元656年，唐代李淳风注《九章算术》时提到祖暅的开立圆术.祖暅在求球体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积相等，则体积相等.更详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.如图圆弧：与，，围成的阴影部分绕轴旋转，所得旋转体的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，得到截面为圆面的半径为，构造以下3个几何体：①底面半径为，高为1的圆柱；②底面半径为1，高为1的倒立圆锥；③底面半径为1，高为，把轴截面水平放置的半个圆柱，分别求得截面的面积，结合祖暅定理，即可求得旋转体的体积. 【详解】由题意得，与距离轴为的平面截旋转体，截面为圆面，半径为， 面积为，构造以下3个几何体： ①底面半径为，高为1的圆柱，用平行于底面且距离底面为的平面去截，可得截面面积为； ②底面半径为1，高为1的倒立圆锥，用平行于底面且与顶点距离为的平面去截，可得截面面积为； ③底面半径为1，高为，把轴截面水平放置的半个圆柱，用平行于底面且与底面距离为的平面去截，可得截面面积为， 由祖暅定理可知所求旋转体的体积为：， 故选：D. 2．（24-25高一下·云南楚雄·期末）（多选）在直角梯形ABCD中，，，，，，以AD所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则（   ） A．该几何体为圆台 B．该几何体的母线长为5 C．该几何体的体积为93π D．该几何体的表面积为56π 【答案】ABD 【分析】由圆台的结构特征可得几何体为圆台，求得母线长，圆如的体积与表面积可得结论. 【详解】由题意可知该几何体为圆台，该圆台的母线， 体积为，表面积为． 故选：ABD. 3．（25-26高一下·浙江宁波·期中）如图，在直角梯形中，，则绕直线旋转一周形成的几何体的体积为___________． 【答案】 【详解】如图， 直角梯形绕直线旋转一周形成的几何体是圆台， 且圆台上底面面积,下底面圆的面积为，圆台的高为. 因此，该圆台的体积. 绕直线旋转一周形成的几何体为圆锥， 且该圆锥的底面圆的面积为，圆锥的高为，因此，该圆锥的体积为, 故所求几何体的体积. 4．（2025·上海·高考真题）如图为正四棱锥为底面的中心． (1)若，求绕旋转一周形成的几何体的体积； (2)若为的中点，求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正四棱锥的数据，先算出直角三角形的边长，然后求圆锥的体积； （2）连接，可先证平面，根据线面角的定义得出所求角为，然后结合题目数量关系求解. 【详解】（1）正四棱锥满足且平面，由平面，则， 又正四棱锥底面是正方形，由可得，， 故， 根据圆锥的定义，绕旋转一周形成的几何体是以为轴，为底面半径的圆锥， 即圆锥的高为，底面半径为， 根据圆锥的体积公式，所得圆锥的体积是 （2）连接，由题意结合正四棱锥的性质可知，每个侧面都是等边三角形， 由是中点，则，又平面， 故平面，即平面，又平面， 于是直线与平面所成角的大小即为， 不妨设，则，， 又线面角的范围是， 故.即为所求. 【经典例题九 球的体积的有关计算】 【例1】（25-26高一下·山西晋中·期中）如图圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设球的半径为R，根据球与圆柱的体积公式计算即可 【详解】设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高． 则球的体积，圆柱的体积， ∴. 【例2】（25-26高一下·全国·课后作业）如图，圆锥型容器内盛有水，水深，水面直径，放入一个铁球后，水恰好把铁球淹没，求该铁球的体积． 【答案】． 【分析】作出轴截面，截球得大圆为轴截面三角形的内切圆，设球半径为，由求得体积，由水的体积与球的体积和求得半径，得结论． 【详解】由题意，圆锥轴截面是正三角形，设铁球的半径为，则放入铁球后水深为，上底面半径为，此时铁球与水的体积和为．原来水的体积为，铁球的体积为， 则，解得． 所以铁球的体积． 所以该铁球的体积为． 1．（2026·福建泉州·模拟预测）某超市在售的西瓜均可视为实心球体，且瓜皮厚度均匀相等.已知大、小两种西瓜的售价分别为80元/个、10元/个，且半径之比为2：1.若以西瓜瓜瓤的体积与其售价的比值作为西瓜的性价比，则（    ） A．大西瓜的性价比高 B．小西瓜的性价比高 C．大、小西瓜的性价比一样 D．大、小西瓜的性价比的高低不确定 【答案】A 【分析】根据新定义分别求出大小西瓜的性价比，作商比较大小即可. 【详解】设大西瓜半径为，小西瓜半径为，已知，即， 设瓜皮厚度为（为常数，且）， 则， 所以大、小西瓜的性价比分别为，， 因为，令， 则上式可化为， 因为，所以，所以， 所以，即，所以， 所以大西瓜的性价比高. 2．（2025高三·全国·专题练习）（多选）已知圆柱形容器底面半径为2，高为2（容器壁厚忽略不计），则下列物体能放入该容器内的有（    ） A．表面积为的球 B．体积为125的正方体 C．棱长为5的正四面体 D．底面半径为2，体积为的圆锥 【答案】AD 【分析】根据立体几何球柱锥体体积和表面积逐项分析判断. 【详解】 设圆柱形容器底面半径为，高为，则，． 选项A：设球的半径为，因为，得，所以，A正确； 选项B：圆柱容器表面上任意两点间的最大距离， 设正方体的棱长为，则，，B错误； 选项C：因为，C错误； 选项D：设圆锥的高为，即，则，解得，D正确． 故选：AD. 3．（2025·广东广州·模拟预测）已知圆台上、下底面圆周都在球面上，且下底面过球心，若圆台上、下底面面积之比为1：4，则圆台的体积与球体积之比为___________. 【答案】 【分析】由题意设圆台上底面圆的半径为，则圆台下底面圆的半径为，求得圆台的高，进而求得圆台的体积与球的体积，可得结论. 【详解】作出示意图如图所示： 因为圆台上、下底面面积之比为1：4，所以圆台上、下底面圆的半径之比为1：2， 设圆台上底面圆的半径为，则圆台下底面圆的半径为， 由题意可得圆台的高为， 则圆台的体积为， 因为下底面过球心，所以球的半径为，所以球的体积为， 所以. 故答案为：. 4．（24-25高二上·广西柳州·开学考试）如图，圆台的上底面直径，下底面直径，母线. (1)求圆台的表面积与体积； (2)若圆台内放入一个圆锥和一个球，其中在圆台下底面内，当圆锥的体积最大时，求球体积的最大值. 【答案】(1)表面积为，体积为 (2) 【分析】（1）根据圆台表面积以及体积公式计算可得结果； （2）利用圆锥与圆台的位置关系求得圆锥体积最大值，再根据圆内切条件可得球的最大半径为，即可求得球体积的最大值. 【详解】（1）由上、下底面直径可得上底面面积为，下底面面积， 圆台侧面积为； 所以圆台的表面积为. 取圆台轴截面，易知为等腰梯形，高为，即为圆台的高； 可得圆台的体积为. （2）如下图所示： 圆锥的高为，当其底面圆的半径最大时，其体积最大； 圆锥底面圆的最大半径为，此时底面右侧以为直径刻画最大圆， 而，则圆台上底面与该圆可得一个倾斜的圆柱，且轴截面为菱形， 当球与上述倾斜圆柱轴截面各边都相切时，其体积最大， 易知为等边三角形，可得， 作于点，易知， 因此球的直径为时，体积最大，此时圆台的高也能满足条件， 所以球体积的最大值为. 【拓展训练一 几何图形的体积计算】 【例1】（2026·安徽·模拟预测）“方斗”是中国古代盛米的一种重要容器，其形状是一个上大下小的正四棱台．如图，在一个盛满米的“方斗”容器中，，，若从中取出18.2kg米后，米的高度下降一半，则剩余米的质量为（   ）    A．6.1kg B．9.1kg C．12.2kg D．13.65kg 【答案】C 【分析】假设从“方斗”中取出18.2kg米后，米的高度下降一半至平面处.分析出取出米的质量与剩余的米的质量之比为正四棱台和的体积之比，再根据棱台的体积公式分别求出两个棱台的体积即可得解. 【详解】从“方斗”中取出18.2kg米后，米的高度下降一半至平面处，    由题意可知正四棱台和的高相等，设为． 因为，，则， 可得，． 设剩余的米的质量为， 则，解得． 【例2】（25-26高一下·北京大兴·期中）如图1，正三棱柱形容器中盛有水，侧棱，底面边长，若侧面水平放置时，水面恰好经过的中点 . (1)当底面水平放置时（如图1所示），求水面的高度； (2)已知某三棱锥的底面与该三棱柱底面全等，若将这些水全部倒入此三棱锥形的容器中，则水恰好装满此三棱锥，求此三棱锥的高； (3)当底面水平放置时（如图1所示），打开上底面的盖子，从上底面 放入半径为的小铁球，且沉入水中，当水从上底面溢出时，求放入的小铁球个数的最小值．（结论不要求证明） 【答案】(1)6 (2)18 (3)个. 【分析】（1）首先求水的体积，再应用棱柱的体积公式求底面ABC水平放置后水面的高度； （2）根据前后体积相同以及三棱锥的体积公式求解即可. （3）由题设只需放入小铁球的总体积大于空白区域的体积，结合球体的体积公式求放入的小铁球个数的最小值. 【详解】（1）因为正三棱柱中，侧棱，底面边长， 由题意可得底面内四边形的面积， 所以正三棱柱中水的体积． 又因为底面三角形的面积， 所以底面水平放置后水面高. （2）设三棱锥的高为． 由题意三棱锥的体积， 所以，则 所以三棱锥的高为． （3）个. 由题意，只需放入小铁球的总体积大于空白区域的体积即可. 空白区域的体积为. 小铁球的体积，若放入个小铁球水从上底面溢出， 所以，故最小为3. 1．（25-26高一下·福建莆田·期中）已知直三棱柱的各顶点都在以为球心的球面上，且，，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦定理可得所在的截面圆的半径，再结合勾股定理求出球的半径，结合球的体积公式计算即可. 【详解】在中，由正弦定理得所在的截面圆的半径为， 则直三棱柱的外接球的半径为， 则直三棱柱的外接球的体积为. 2．（2026·湖北鄂州·模拟预测）（多选）在四面体中，是边长为2的等边三角形，，均为等腰直角三角形，则该四面体的体积可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】分，，三种情况求出体积即可. 【详解】若， 因为平面，所以平面， 因为，均为等腰直角三角形，，所以， 所以该四面体的体积为； 若， 因为平面，所以平面， 因为，均为等腰直角三角形，， 所以，则，则， 所以该四面体的体积为； 若， 因为，均为等腰直角三角形，， 所以， 取线段的中点，连接，则， 因为平面，所以平面， 因为，，所以点到直线的距离为， 则， 所以该四面体的体积为.      3．（25-26高一下·湖南长沙·期中）如图，已知三棱台的体积为，上、下底面边长之比为，若截去三棱锥，则剩余部分的体积为__________．（用表示） 【答案】 【分析】利用棱台性质及棱台与棱锥体积公式计算即可得. 【详解】由相似可知，三棱台上、下底面的面积之比为， 设棱台的高为，上底面的面积为，则点到平面的距离也是， 从而有， 则剩余部分的体积为． 4．（2025高三·全国·专题练习）设球的半径为，试根据祖暅原理设计一个与球体积相等的四棱锥． 【答案】答案见解析 【分析】根据祖暅原理，棱锥体积及球的体积公式可得结果. 【详解】如图，取正四棱锥，底面是边长为的正方形，高为． 的中点分别为，作平面，用一个与平面相距的平面去 截这个四棱锥，截面为等腰梯形，，∴， 设梯形的高为，由，其中， 得，∴， 因此，则． 此截面积恰好等于同一水平面上的球的截面面积，又球的直径与棱锥底面边长相等， 这说明两个几何体夹在两个平行平面间，这两个平行平面都平行于平面， 根据祖暅原理，这两个几何体的体积相等，即， ∴球的体积为． 1．（2026·云南·模拟预测）太空舱储液罐从早期的金属贮箱逐渐发展成不锈钢复用贮箱，从铝合金到碳纤维复合材料，实现减重30%～50%．太空舱储液罐由一个圆柱和两个半球构成（如图所示），已知圆柱的高是底面外圈半径的8倍，若球外圈半径为4m，内部容积为，则它使用材料的体积（近似为3）为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，， 所以. 2．（25-26高一下·贵州安顺·阶段检测）如图，在正方体的八个顶点中，，，，四个顶点恰好是正三棱锥的顶点，则正三棱锥的体积与正方体的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设正方体的棱长为，求得正方体的体积是，结合间接法，求得正三棱锥的体积为，进而得到正三棱锥的体积与正方体的体积之比. 【详解】设正方体的棱长为，可得该正方体的体积是， 由三棱锥的体积为 正三棱锥的体积为， 所以正三棱锥的体积与正方体的体积之比为. 3．（2026·河南·三模）一个高为，上、下底面半径分别是1cm和4cm的封闭圆台容器（容器壁厚度忽略不计）内有一个铁球，则当该铁球体积最大时，该铁球的体积与圆台的体积的比值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出圆台轴截面，分析可知当球与相切时，其体积最大，再计算出球的体积和圆台的体积即可得比值. 【详解】如图，作出圆台的轴截面，可知当球与相切时体积最大， 由切线性质可得，作，垂足分别为， 可知，所以，又， 所以，则， 设球的半径也即圆的半径为，由 可得，解得，因为， 所以该球是存在的，此时球的体积为， 圆台的体积为，所求比值为. 4．（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图，圆内接四边形中，，现将该四边形沿旋转一周，则旋转形成的几何体的体积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作分别交于点，作交于点，可得四边形为长方形，求出、.该四边形沿旋转一周，则旋转形成的几何体是以为下底面半径、为上底面半径、为高的圆台除去以为底面半径、高为的圆锥，求出圆台、圆锥体积可得答案. 【详解】因为圆内接四边形中，所以为外接圆的直径， ，， ，作分别交于点， 交于点，可得四边形为长方形， 因为得， 可得，因，代入解得， 由得， ，    该四边形沿旋转一周，则旋转形成的几何体如下图，是以为 下底面半径、为上底面半径、为高的圆台除去 以为底面半径、高为的圆锥，且， ， ， 则旋转形成的几何体的体积为. 故选：B.    5．（25-26高一下·广东梅州·期中）设某正四面体的内切球的体积为，则该正四面体的棱长为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】由球的体积公式求得球的半径，再通过正四面体体积确定棱长和半径的关系，即可求解. 【详解】球的体积公式为， 由题意内切球体积， 代入得： ，整理得： 设正四面体棱长为，高为 如图为正四面体，为的中心， 根据正弦定理知的外接圆半径， 所以， 设是正四面体PABC的内切球球心，内切球半径为， 则根据等体积法得： ． 故 对两边立方得： 将​代入上式，得： 因此该正四面体的棱长为. 6．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）（多选题）下列命题正确的有（   ） A．台体的体积公式中令，则得到柱体的体积公式 B．球的体积与球的半径成正比，球的体积越大，半径越大 C．在台体的体积公式中令，即可得锥体的体积公式 D．若圆台的上、下底面半径分别为，高为，则 【答案】ACD 【详解】对于A，，令，可得，故A正确； 对于B，球的体积与球的半径的立方成正比，半径越大，体积越大，故B错误； 对于C，，令，可得锥体的体积公式，故C正确； 对于D，，故D正确． 7．（25-26高三上·辽宁·期末）（多选）如图，在圆台 中，上、下底面的半径分别为1和2 是圆台 的两条母线，且 为 的中点，则下列说法正确的是（    ）    A． B．圆台 的体积为 C．直线 与平面 所成角的正弦值为 D．三棱锥 外接球的表面积为 【答案】ABD 【分析】根据面面平行的性质定理可证明选项；先求圆台的高再利用台体体积公式即可判断选项；作辅助线先找到直线 与平面 所成角的平面角，再结合勾股定理求的长，先求线面角的正切值再求正弦值即可判断选项；先找到外接圆的半径，再求三棱锥 外接球半径，即可算出其表面积. 【详解】延长交于一点因为平面平面且平面平面 平面平面所以项正确. 易求得圆台的高为 所以圆台的体积，项正确. 作垂直交的延长线于点连接 因为所以又所以. 易知，，，平面， 所以平面 所以点到平面的距离为 为与平面所成角的平面角，连接 易知，所以为直角三角形， 在中 则故项错误. 三棱锥的外接球，即为三棱锥的外接球， 设其半径为设的外接圆半径为 在中，由余弦定理得， 即由正弦定理得解得 故则该球的表面积项正确. 故选:.    8．（24-25高一下·安徽宿州·期中）（多选）在等腰梯形中，，以CD所在的直线为轴，其余三边绕CD旋转一周形成的面围成一个几何体，则下列说法正确的有（    ） A．等腰梯形ABCD的高为1 B．该几何体为圆柱 C．该几何体的表面积为 D．该几何体的体积为 【答案】ACD 【分析】根据该几何体的结构特征为一个圆柱挖去上下两个圆锥，结合体积、表面积公式逐项求解判断. 【详解】因为在等腰梯形ABCD中，，，， 所以等腰梯形ABCD的高为， 该几何体的结构特征为一个圆柱挖去上下两个圆锥，A正确，B错误． 该几何体的表面积， 体积，C、D正确． 故选：ACD 9．（24-25高三上·江苏扬州·期末）（多选）已知所有顶点在两个平行平面内的多面体叫作拟柱体，在这两个平面内的面叫作拟柱体的底面，其余各面叫作拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫作拟柱体的高．如图，某拟柱体的上底面的面积为，下底面的面积为，高为．该拟柱体共有6个侧面，分别为平面、平面、平面、平面、平面、平面分别是棱的中点，为六边形内一点，且六边形的面积为．则下列说法中正确的有（    ） A．三棱锥的体积是三棱锥体积的3倍 B．四棱锥的体积是三棱锥体积的4倍 C．挖去四棱锥与六棱锥后，该拟柱体剩余部分的体积为 D．该拟柱体的体积为 【答案】BD 【分析】根据相似以及等体积法可知，，因此可知其他侧面也是相同情况，即可结合选项逐一求解. 【详解】由题意可知且，故，故， 又,故三棱锥的体积是三棱锥体积的4倍，A错误， 对于B，由于互相平行，且， 故，其中为的高， 而, 故四棱锥的体积是三棱锥体积的4倍 由于，故四棱锥的体积是三棱锥体积的4倍，B正确， 对于C，由AB可知：，， 因此可知其他侧面也是相同情况，故与各个侧面得到的棱锥体积之和为 ， 由于到平面的距离均为， 故与各个侧面得到的棱锥体积之和为， 因此挖去四棱锥与六棱锥后， 该拟柱体剩余部分的体积为,C错误， 对于D，拟柱体为，D正确， 故选：BD 【点睛】关键点点睛：利用相似以及等体积法可得，. 10．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）（多选）“阿基米德多面体”又称“半正多面体”，与正多面体类似，它们也都是凸多面体，每个面都是正多边形，并且所有棱长也都相等，但不同之处在于阿基米德多面体的每个面的形状不全相同．有几种阿基米德多面体可由正多面体进行“截角”得到，如图，正八面体的棱长为3，取各条棱的三等分点，截去六个角后得到一种阿基米德多面体，则该阿基米德多面体（   ） A．共有18个顶 B．共有36条棱 C．表面积为 D．与正八面体的体积之比为8:9 【答案】BD 【分析】根据正八面体的几何性质，结合题意，利用正方形与正六边形的面积公式以及正四棱锥的体积公式，可得答案. 【详解】由图可知该多面体有24个顶点，36条棱，故A错误，B正确； 该多面体的棱长为1，且表面由6个正方形和8个正六边形组成， 故该多面体的表面积为，故C错误； 正八面体可分为两个全等的正四棱锥，其棱长为3， 过作平面于，连接，如下图： 因为平面，且平面，所以， 正方形中，由边长为3，则对角线长为，则， 在中，，则， 正八面体的体积为， 切割掉6个棱长均为1的正四棱锥，减少的体积为， 所以该阿基米德多面体的体积为， 所以该阿基米德多面体的体积与正八面体的体积之比为，故D正确． 故选：BD. 11．（2026·青海西宁·二模）如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，为圆柱上下底面的圆心，O为球心，EF为底面圆的一条直径，若球的半径则球与圆柱的体积之比为_______；四面体 的体积的取值范围为_______. 【答案】 2:3/ 【分析】根据球、圆柱的体积公式以及建立函数关系求解即可. 【详解】已知球的半径，则球的体积为. 根据题意得，，则圆柱体积，则. 设为点到平面的距离，则，而平面经过线段的中点， 四面体的体积：. 所以四面体 的体积的取值范围为. 12．（25-26高一下·福建南平·期中）如图，正三棱柱的所有棱长都为2，点分别在棱上，其中，则几何体的体积为______． 【答案】 【详解】如图所示，连接. 因为，所以梯形和梯形的面积相等， 所以四棱锥和四棱锥的体积相等； 因为，所以点到平面和平面的距离相等， 因为和的面积相等， 所以三棱锥和三棱锥的体积相等. 所以， 因为， 所以几何体的体积等于. 13．（25-26高一下·福建厦门·期中）如图，正四棱锥底面边长和高均为，分别是其所在棱的中点，则几何体的体积为______.    【答案】 【分析】分别计算和，作差得到答案. 【详解】正四棱锥底面边长和高均为，分别是其所在棱的中点， 则正四棱锥的底面边长和高均为， 则，， 故几何体的体积为. 14．（24-25高一下·贵州安顺·期末）唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯（如图1）所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（如图2），酒杯内壁表面光滑.假设这种酒杯内壁表面积为平方厘米，半球的半径为厘米.若要使得这种酒杯的容积不大于半球体积的倍，则的取值范围为___________.      【答案】 【分析】设圆柱的高为，利用组合体的表面积可得出，由体积关系可得出关于的不等式，再结合可求得的取值范围. 【详解】设圆柱的高为，则这种酒杯内壁表面积为，可得， 可得，由，可得，可得， 因为这种酒杯的容积不大于半球体积的倍，即， 可得，解得，所以，. 故答案为：. 15．（25-26高二下·湖南邵阳·期中）如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点在同一个平面内.如果四边形是边长为的正方形，那么这个八面体的体积是__________. 【答案】 【详解】由题意得，题中八面体由正四棱锥和正四棱锥底面贴合而成，正方形为公共底面，边长为.取正方形的中心，记为.连接和，则，，且,,三点共线，线段为八面体的高，连接. . 则是正方形的一条对角线.因为正方形边长为，由勾股定理得对角线.所以. 八面体的每一个面都是正三角形，因此侧面是正三角形，侧棱. 在中，，，， 由勾股定理：. 由对称性，，所以八面体的高； 底面正方形面积. 八面体体积等于两个正四棱锥体积之和： . 故八面体的体积为. 16．（25-26高一下·河北石家庄·期中）如图，在四棱锥中，，点到平面的距离为3． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理得证； （2）根据棱锥体积之间的关系及体积公式求解. 【详解】（1）连接交于点，连接， 因为，且，所以． 又因为，则，所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）因为DE＝2EP，所以， 所以． 所以． 17．（25-26高一下·吉林长春·阶段检测）在中国传统文化中，灯笼作为节日和庆典的象征，常常蕴含着丰富的美学与数学设计；灯笼不仅要考虑美观，还要具备结构上的合理性和稳定性；现在有一盏独特的国风灯笼，它的外形结构包括多个几何体，具体设计如下： 顶部装饰：灯笼的顶部是一个正四棱台，上底边长为2分米，下底边长为4分米，高为2分米； 核心结构：灯笼的核心部分是一个正四棱柱，底面边长为3分米，高为6分米. (1)求灯笼总体积；（单位：分米） (2)已知灯笼上下底不糊纸，所以正四棱台侧面积与正四棱柱侧面积的和就是灯笼所需纸张的总面积，求灯笼所需纸张的总面积.（单位：分米） 【答案】(1)分米3 (2)分米2 【分析】（1）先分别代入公式计算正四棱台的体积和正四棱柱的体积，将两个几何体的体积相加，即可得到灯笼的总体积； （2）先根据正四棱台的高和上下底边长差求出正四棱台的斜高，再分别计算正四棱台的侧面积与正四棱柱的侧面积，将两个侧面积相加，即可得到灯笼所需纸张的总面积. 【详解】（1）已知正四棱台上底边长，下底边长，高，则，， 所以（分米3）， 已知正四棱柱底面边长，高，则（分米3）， 总体积：（分米3）. （2）正四棱柱侧面为4个矩形，侧面积（分米2）， 正四棱台侧面为4个全等等腰梯形，先求斜高： 正四棱台高为，等腰梯形上下底差的一半为， 由勾股定理得斜高，单个等腰梯形面积为， 因此正四棱台侧面积， 总面积（分米2）. 18．（25-26高一下·吉林四平·期中）如图，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别是边AB，AC上的中点，，垂足分别是D，H，G，将绕AD所在直线旋转． (1)求图中阴影部分旋转形成的几何体的体积V； (2)求图中阴影部分旋转形成的几何体的表面积S． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）本题中所得几何体是一个圆锥挖去一个圆柱的组合体，计算即可； （2）结合特殊几何体的结构特征计算阴影部分不规则几何体的表面积即可. 【详解】（1）阴影部分旋转后的几何体是一个圆锥挖去一个圆柱，且圆锥的底面半径为2，高为，圆柱的底面半径为1，高为． ，， 因此阴影部分形成的几何体的体积为． （2）圆锥侧面积， 圆柱的侧面积， 底面面积， 表面积为． 19．（25-26高一下·天津静海·期中）（1）如图，长方体，，，，过作长方体的截面使它成为正方形. ①求三棱锥的体积；          ②求 . （2）如图所示，已知多面体，两两互相垂直，平面平面，平面平面，，，求该多面体的体积. （3）结合本题，总结求空间几何体的体积有哪些方法？ 【答案】（1）①120；②80；（2）4；（3）分割法；补形法；等体积转换法 【分析】（1）利用等体积转换，将三棱锥顶点转移到底面面积与高容易求的位置，直接计算体积； （2）采用分割法，将多面体拆分为两个直棱柱分别求体积后相加；或采用补形法，补成正方体后取一半； （3） 归纳几何体体积计算的常用方法：分割法、补形法、等体积转换法. 【详解】（1）①由题可得： ②因为， 在长方体中平面， 所以三棱锥的高为， 所以 . （2）法一（分割法）： 因为几何体有两对相对面互相平行，两两互相垂直，所以可推出. 如图所示，过点作于，连接， 即把多面体分割成一个直三棱柱和一个斜三棱柱. 由题知，，. 故所求几何体的体积为. 法二（补形法）： 因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，将多面体补成棱长为2的正方体，显然所求多面体的体积为该正方体体积的一半. 又正方体的体积，故所求几何体的体积为. （3）分割法；补形法；等体积转换法. 20．（25-26高一下·山东济宁·期中）如图，长方体的长、宽、高分别为x，y，2且，. (1)当底面ABCD为正方形时， （i）求长方体的表面积； （ii）求三棱锥体积和外接球体积； (2)取、的中点分别为M、N，求三棱锥的体积的最大值. 【答案】(1)（i）10（ii）； (2) 【分析】（1）（i）易得，再根据长方体的表面积公式求解即可； （ii）根据即可求出三棱锥的体积，易得三棱锥的外接球即长方体的外接球，求出半径，再根据球的体积公式求解即可； （2）由题意可得，从而可得，再结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）（i）因为底面ABCD为正方形，所以， 则长方体的表面积为； （ii）由图和已知， ， 故三棱锥体积为， 由题可知，三棱锥的外接球即长方体的外接球， 设该外接球的半径为R，则， 因此三棱锥外接球体积； （2）因为M、N分别为、的中点， 所以， 则 ， 当且仅当时，等号成立，即三棱锥的体积的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13.9 空间图形的体积重难点题型专训 （1个知识点+9大题型+1大拓展训练+自我检测） 题型一 柱体体积的有关计算 题型二 锥体体积的有关计算 题型三 台体体积的有关计算 题型四 求组合多面体的表面积 题型五 求组合旋转体的表面积 题型六 多面体与球体内切外接问题 题型七 求组合体的体积 题型八 求旋转体的体积 题型九 球的体积的有关计算 拓展训练一 几何图形的体积计算 知识点一： 1、棱锥、棱锥、棱台的高 （1）棱柱的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足(垂线与底面的交点）之间的距离； （2）棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离； （3）棱台的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足之间的距离。 2、棱锥、棱锥、棱台的体积公式 几何体 体积公式 说明 棱柱 为棱柱的底面积，为棱柱的高 棱锥 为棱锥的底面积，为棱锥的高 棱台 ，分别为棱台的上、下底面，为棱台的高 3、对棱柱、棱锥、棱台体积公式的理解 （1）等底、等高的两个棱柱的体积相同； （2）等底、等高的棱锥和棱柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的棱柱的体积是棱锥的体积的3倍.(3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系； （3）柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系 （4）求棱台的体积可转化为求棱锥的体积.根据棱台的定义进行“补形”，还原为棱锥，采用“大棱锥”减去“小棱锥”的方法求棱台的体积. 4、圆柱、圆锥、圆台的体积公式 几何体 体积公式 说明 圆柱 为圆柱的底面积，为圆柱的高 圆锥 为圆锥的底面积，为圆锥的高 圆台 ，分别为圆台的上、下底面，为圆台的高 5、对圆柱、圆锥、圆台体积公式的认识 （1）等底、等高的两个圆柱的体积相同； （2）等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍； （3）圆柱、圆锥、圆台体积公式之间的关系 （4）求圆台的体积转化为求圆锥的体积.根据台体的定义进行“补形”，还原为圆锥，采用“大圆锥”减去“小圆锥”的方法求圆台的体积. 6、球的体积公式： 【即时训练】 1．（25-26高一下·吉林长春·期中）已知圆锥和圆台的高相等，圆锥的底面半径与圆台的上底面半径相等，圆台的下底面半径等于圆台的上底面半径的2倍，则该圆锥与该圆台的体积之比为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·上海·月考）印章是中国传统文化的代表之一，古代的印章一般用贵重的金属或玉石制成，本是官员或私人签署文件时代表身份的信物，后因其独特的文化内涵，也被作为装饰物来使用，如图是某展览馆展示的一个金属印章摆件，可看作是高相等的正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该印章摆件底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为10cm，则该印章摆件的体积约为_________．    【经典例题一 柱体体积的有关计算】 【例1】（25-26高二上·上海浦东新·期中）圆柱底面直径扩大为原来的2倍，高缩小为原来的，则体积变为原来的（   ） A．0.5倍 B．1倍 C．2倍 D．4倍 【例2】（25-26高二上·上海浦东新·期中）一张矩形纸片的规格为：30cm×20cm，把它作为一个圆柱的侧面，求卷成的圆柱的体积.（精确到，为保证精度，在计算器使用过程中不对值进行四舍五入） 1．（25-26高一下·广东·期中）已知一圆柱有内切球，该球为一底面半径为，高为3的圆锥的外接球，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·湖南·月考）（多选）某圆柱的侧面展开图是长为4、宽为2的矩形，则该圆柱的体积可能为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·重庆·模拟预测）已知长方体中，分别是的中点，点分别满足，则几何体的体积为__________. 4．（2025高二下·浙江·学业考试）如图所示，四边形是正方形在平面上的投影（），请回答下列问题： (1)证明：平面平面； (2)若，且，且． （Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）试求的体积． 【经典例题二 锥体体积的有关计算】 【例1】（2026·浙江·三模）已知圆锥的侧面积是底面积的倍，且圆锥的底面半径为，则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高三上·上海嘉定·月考）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，已知平面，且. (1)求四棱锥的体积； (2)求点到平面的距离. 1．（25-26高一下·安徽合肥·期中）如图，直三棱柱中，点分别为和的中点，则三棱锥与四棱锥的体积之比为（    ） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）（多选）（多选）如图，三棱锥中，平面，，则下列条件中可使三棱锥体积唯一确定的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（2026·辽宁锦州·二模）在四棱锥中，分别为侧棱的中点，则四面体的体积与四棱锥的体积之比为________. 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，长方体中，，，，过作长方体的截面使它成为正方形. (1)求三棱锥的体积； (2)求 . 【经典例题三 台体体积的有关计算】 【例1】（25-26高一下·黑龙江佳木斯·期中）已知正四棱台的体积为其上下底面的边长分别为1和2，则这个正四棱台的高为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一·全国·寒假作业）我们生活中常以多少毫米降雨量来描述雨势的大小，例如：降雨量10毫米的实际意义为本次降雨过程平地上每平方米的平均水深为10毫米．这种计量方式源远流长，南宋数学家秦九韶在《数书九章》中有天池测雨一题：今州郡都有天池盆，以测雨水．但知以盆中之水为得雨之数．不知器形不同，则受雨多少亦异，未可以所测，便为平地得雨之数．假令盆口径二尺八寸，底径一尺二寸、深一尺八寸，接雨水深九寸，欲求平地雨降几何？ (1)试说明秦九韶认为不能直接用盆里的水深来代替平地水深的原因； (2)该盆的容积为多少立方寸？（注：径指直径，盆视为一个圆台，一尺等于十寸） (3)题中记载八百年前的这次降雨过程折算到现代为多少毫米的降雨量．（精确到1毫米，宋代一寸约为现代31.2毫米） 1．（25-26高一下·湖南邵阳·期中）正四棱台的上、下底面的边长分别为，侧棱长为2，则其体积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·广东·期中）（多选）在高为3的正三棱台中，，且上底面的面积为，则（    ） A．正三棱台的下底面的面积为 B．正三棱台的下底面的面积为 C．正三棱台的体积为 D．正三棱台的体积为 3．（25-26高一下·重庆·期中）已知正四棱台的体积为14，若，则正四棱台的高为___________． 4．（25-26高二上·四川达州·月考）如图，正四棱台两底面边长分别为2和4． (1)若侧棱长为，求棱台的表面积； (2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的体积． 【经典例题四 求组合多面体的表面积】 【例1】（24-25高二上·北京·期末）一些二次曲面常常用于现代建筑的设计中，常用的二次曲面有球面、椭球面、单叶双曲面和双曲抛物面、比如，中心在原点的椭球面的方程为，中国国家大剧院就用到了椭球面的形状（如图1），若某建筑准备采用半椭球面设计（如图2），半椭球面方程为，该建筑设计图纸的比例（长度比）为1：50（单位：m），则该建筑的占地面积为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一下·重庆·阶段检测）如图，正方体的棱长为a，截面将正方体分成两部分. (1)求几何体的表面积； (2)求点A到平面的距离d. 1．（2025·江苏·模拟预测）在2023年3月12日马来西亚吉隆坡举行的Yong Jun KL Speedcubing比赛半决赛中，来自中国的9岁魔方天才王艺衡以4.69秒的成绩打破了“解三阶魔方平均用时最短”吉尼斯世界纪录称号.如图，一个三阶魔方由27个单位正方体组成，把魔方的中间一层转动了之后，表面积增加了（    ）    A．54 B． C． D． 2．（25-26高一下·河北邢台·阶段检测）（多选）“阿基米德多面体”也称为半正多面体（semi-regularsolid），是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体，已知，则关于如图半正多面体的下列说法中，正确的有（    ） A．该半正多面体的体积为 B．该半正多面体过A，B，C三点的截面面积为 C．该半正多面体外接球的表面积为 D．该半正多面体的顶点数V、面数F、棱数E满足关系式 3．（24-25高一下·北京西城·期末）有一个木制工艺品，其形状是一个圆柱被挖去一个与其共底面的圆锥．已知圆柱的底面半径为3，高为5，圆锥的高为4，则这个木质工艺品的体积为______；表面积为______． 4．（25-26高一下·河南许昌·期中）已知长方体中，，，用平面截去长方体的一个角后得到如图所示的几何体． (1)求被截去的几何体的体积； (2)求几何体的表面积． 【经典例题五 求组合旋转体的表面积】 【例1】（24-25高三上·湖南怀化·期末）如图所示，在四边形中，，，，，，则四边形绕旋转一周所成几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一下·山西太原·月考）如图所示，在四边形中，，， (1)求四边形绕旋转一周所成几何体的表面积； (2)求四边形绕旋转一周所成几何体的体积. 1．（2025·广东佛山·一模）陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县新石器时代遗址中发现的.如图所示是一个陀螺立体结构图，已知底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，则这个陀螺的表面积（单位：）是（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25高一下·重庆·期中）（多选）在等腰梯形中，，，，以所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则下列说法正确的是（    ） A．等腰梯形的高为2 B．该几何体为圆柱 C．该几何体的表面积为 D．该几何体的体积为 3．（2025·全国·模拟预测）自习近平到湖南湘西考察时首次作出了“实事求是、因地制宜、分类指导、精准扶贫”的重要指示后，各地根据“因地制宜、整合资源、精准施策、统筹推进”的工作思路，使得脱贫攻坚取得了历史性成效.如今脱贫攻坚工作已进入“啃硬骨头、攻坚拔寨”的冲刺期，大学生村干部这一支年轻的队伍，在精准扶贫过程中，充分发挥自己的聪明才智，带领村民走出一条致富之路.大学生王某带领团队研发一款绿色饮料，包装容器如图所示，容量为，容器由瓶盖及瓶身下部2个圆柱体，和瓶身上部一个圆台组成，但瓶盖部分不计入容积.则该容器的表面积为______.（圆台体积公式，圆台侧面积公式，，，） 4．（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，在边长为8的正三角形ABC中，E、F分别是AB、AC的中点，，，，垂足分别为D，H，G，若将绕AD所在直线旋转，求阴影部分旋转形成的几何体的表面积.    【经典例题六 多面体与球体内切外接问题】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）在四面体中，已知，，，则四面体的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·辽宁抚顺·开学考试）如图，在棱长为的正方体 中，E为的中点.    (1)求点D到平面AEC的距离； (2)已知球O与该正方体的12条棱相切，求该球的表面积. 1．（2026·天津红桥·一模）在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的半径为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山西·三模）（多选）将一个直径为的铁球磨制成一个零件，能够磨制成的零件可以是（    ） A．底面直径为，高为的圆柱体 B．底面直径为，高为的圆锥体 C．底面直径为，高为的圆锥体 D．各棱长均为的四面体 3．（25-26高一下·云南昭通·期中）已知在棱长为4的正方体中，为的中点，若球的球面与该正方体的表面有公共点，则球的半径的取值范围是______. 4．（2025高三·全国·专题练习）三个直径相等的圆柱体，半径为R，它们两两垂直且两两相切，求同时与三圆柱体相切的小球的半径r． 【经典例题七 求组合体的体积】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）如图，某种浮标由两个相同的空心圆台黏合而成，其中圆台高为0.5m，上底面直径为0.4m，下底面直径为0.6m，则此浮标完全浸入水中后排开的水的质量为（水的密度：，忽略浮标的厚度）（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）在中，，，，把绕其斜边所在的直线旋转一周后，所形成的几何体的体积是多少？ 1．（25-26高三上·北京西城·期末）记以长方体的四个顶点为顶点的三棱锥的体积为．若，，则的取值集合为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·安徽宿州·期中）（多选）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一，印信的形状多为长方体，正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是半正多面体.半正多面体亦称“阿基米德多面体”，它是由边数不全相同的正多边形为面所围成的多面体，这体现了数学的对称美.如图，将棱长为1的正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此一共可截去八个三棱锥，得到一个半正多面体，它们的棱长都相等，则下列说法正确的有（   ） A．该半正多面体有12个顶点 B．该半正多面体有12个面 C．该半正多面体表面积为3 D．该半正多面体体积为 3．（2026·北京顺义·二模）现有两个完全相同的四棱柱材料（如图一所示）.某课外手工小组的同学将其中一个切掉一个三棱柱后拼接成如图二所示的“型”几何体（正方形与正方形在同一平面内，四点在一条直线上），，则图一所示的四棱柱的侧面的面积为__________，图二所示的几何体的体积为__________. 4．（25-26高一下·河北·期中）如图所示的几何体，由上、下两层组成，上层是正四棱锥，下层是长方体，，，．    (1)求这个几何体的表面积； (2)求这个几何体的体积． 【经典例题八 求旋转体的体积】 【例1】（2025·湖南永州·模拟预测）将上下底分别为、，高为的直角梯形绕其最短的底边旋转一周得到的几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一下·黑龙江大庆·月考）已知的三边长分别是，，，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积． 1．（2025·河北·模拟预测）祖暅原理也称祖氏原理，一个涉及几何求积的著名命题.公元656年，唐代李淳风注《九章算术》时提到祖暅的开立圆术.祖暅在求球体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积相等，则体积相等.更详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.如图圆弧：与，，围成的阴影部分绕轴旋转，所得旋转体的体积为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·云南楚雄·期末）（多选）在直角梯形ABCD中，，，，，，以AD所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则（   ） A．该几何体为圆台 B．该几何体的母线长为5 C．该几何体的体积为93π D．该几何体的表面积为56π 3．（25-26高一下·浙江宁波·期中）如图，在直角梯形中，，则绕直线旋转一周形成的几何体的体积为___________． 4．（2025·上海·高考真题）如图为正四棱锥为底面的中心． (1)若，求绕旋转一周形成的几何体的体积； (2)若为的中点，求直线与平面所成角的大小． 【经典例题九 球的体积的有关计算】 【例1】（25-26高一下·山西晋中·期中）如图圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高一下·全国·课后作业）如图，圆锥型容器内盛有水，水深，水面直径，放入一个铁球后，水恰好把铁球淹没，求该铁球的体积． 1．（2026·福建泉州·模拟预测）某超市在售的西瓜均可视为实心球体，且瓜皮厚度均匀相等.已知大、小两种西瓜的售价分别为80元/个、10元/个，且半径之比为2：1.若以西瓜瓜瓤的体积与其售价的比值作为西瓜的性价比，则（    ） A．大西瓜的性价比高 B．小西瓜的性价比高 C．大、小西瓜的性价比一样 D．大、小西瓜的性价比的高低不确定 2．（2025高三·全国·专题练习）（多选）已知圆柱形容器底面半径为2，高为2（容器壁厚忽略不计），则下列物体能放入该容器内的有（    ） A．表面积为的球 B．体积为125的正方体 C．棱长为5的正四面体 D．底面半径为2，体积为的圆锥 3．（2025·广东广州·模拟预测）已知圆台上、下底面圆周都在球面上，且下底面过球心，若圆台上、下底面面积之比为1：4，则圆台的体积与球体积之比为___________. 4．（24-25高二上·广西柳州·开学考试）如图，圆台的上底面直径，下底面直径，母线. (1)求圆台的表面积与体积； (2)若圆台内放入一个圆锥和一个球，其中在圆台下底面内，当圆锥的体积最大时，求球体积的最大值. 【拓展训练一 几何图形的体积计算】 【例1】（2026·安徽·模拟预测）“方斗”是中国古代盛米的一种重要容器，其形状是一个上大下小的正四棱台．如图，在一个盛满米的“方斗”容器中，，，若从中取出18.2kg米后，米的高度下降一半，则剩余米的质量为（   ）    A．6.1kg B．9.1kg C．12.2kg D．13.65kg 【例2】（25-26高一下·北京大兴·期中）如图1，正三棱柱形容器中盛有水，侧棱，底面边长，若侧面水平放置时，水面恰好经过的中点 . (1)当底面水平放置时（如图1所示），求水面的高度； (2)已知某三棱锥的底面与该三棱柱底面全等，若将这些水全部倒入此三棱锥形的容器中，则水恰好装满此三棱锥，求此三棱锥的高； (3)当底面水平放置时（如图1所示），打开上底面的盖子，从上底面 放入半径为的小铁球，且沉入水中，当水从上底面溢出时，求放入的小铁球个数的最小值．（结论不要求证明） 1．（25-26高一下·福建莆田·期中）已知直三棱柱的各顶点都在以为球心的球面上，且，，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·湖北鄂州·模拟预测）（多选）在四面体中，是边长为2的等边三角形，，均为等腰直角三角形，则该四面体的体积可能是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·湖南长沙·期中）如图，已知三棱台的体积为，上、下底面边长之比为，若截去三棱锥，则剩余部分的体积为__________．（用表示） 4．（2025高三·全国·专题练习）设球的半径为，试根据祖暅原理设计一个与球体积相等的四棱锥． 1．（2026·云南·模拟预测）太空舱储液罐从早期的金属贮箱逐渐发展成不锈钢复用贮箱，从铝合金到碳纤维复合材料，实现减重30%～50%．太空舱储液罐由一个圆柱和两个半球构成（如图所示），已知圆柱的高是底面外圈半径的8倍，若球外圈半径为4m，内部容积为，则它使用材料的体积（近似为3）为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·贵州安顺·阶段检测）如图，在正方体的八个顶点中，，，，四个顶点恰好是正三棱锥的顶点，则正三棱锥的体积与正方体的体积之比为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·河南·三模）一个高为，上、下底面半径分别是1cm和4cm的封闭圆台容器（容器壁厚度忽略不计）内有一个铁球，则当该铁球体积最大时，该铁球的体积与圆台的体积的比值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图，圆内接四边形中，，现将该四边形沿旋转一周，则旋转形成的几何体的体积为（    ）    A． B． C． D． 5．（25-26高一下·广东梅州·期中）设某正四面体的内切球的体积为，则该正四面体的棱长为（    ） A．2 B． C．3 D． 6．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）（多选题）下列命题正确的有（   ） A．台体的体积公式中令，则得到柱体的体积公式 B．球的体积与球的半径成正比，球的体积越大，半径越大 C．在台体的体积公式中令，即可得锥体的体积公式 D．若圆台的上、下底面半径分别为，高为，则 7．（25-26高三上·辽宁·期末）（多选）如图，在圆台 中，上、下底面的半径分别为1和2 是圆台 的两条母线，且 为 的中点，则下列说法正确的是（    ）    A． B．圆台 的体积为 C．直线 与平面 所成角的正弦值为 D．三棱锥 外接球的表面积为 8．（24-25高一下·安徽宿州·期中）（多选）在等腰梯形中，，以CD所在的直线为轴，其余三边绕CD旋转一周形成的面围成一个几何体，则下列说法正确的有（    ） A．等腰梯形ABCD的高为1 B．该几何体为圆柱 C．该几何体的表面积为 D．该几何体的体积为 9．（24-25高三上·江苏扬州·期末）（多选）已知所有顶点在两个平行平面内的多面体叫作拟柱体，在这两个平面内的面叫作拟柱体的底面，其余各面叫作拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫作拟柱体的高．如图，某拟柱体的上底面的面积为，下底面的面积为，高为．该拟柱体共有6个侧面，分别为平面、平面、平面、平面、平面、平面分别是棱的中点，为六边形内一点，且六边形的面积为．则下列说法中正确的有（    ） A．三棱锥的体积是三棱锥体积的3倍 B．四棱锥的体积是三棱锥体积的4倍 C．挖去四棱锥与六棱锥后，该拟柱体剩余部分的体积为 D．该拟柱体的体积为 10．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）（多选）“阿基米德多面体”又称“半正多面体”，与正多面体类似，它们也都是凸多面体，每个面都是正多边形，并且所有棱长也都相等，但不同之处在于阿基米德多面体的每个面的形状不全相同．有几种阿基米德多面体可由正多面体进行“截角”得到，如图，正八面体的棱长为3，取各条棱的三等分点，截去六个角后得到一种阿基米德多面体，则该阿基米德多面体（   ） A．共有18个顶 B．共有36条棱 C．表面积为 D．与正八面体的体积之比为8:9 11．（2026·青海西宁·二模）如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，为圆柱上下底面的圆心，O为球心，EF为底面圆的一条直径，若球的半径则球与圆柱的体积之比为_______；四面体 的体积的取值范围为_______. 12．（25-26高一下·福建南平·期中）如图，正三棱柱的所有棱长都为2，点分别在棱上，其中，则几何体的体积为______． 13．（25-26高一下·福建厦门·期中）如图，正四棱锥底面边长和高均为，分别是其所在棱的中点，则几何体的体积为______.    14．（24-25高一下·贵州安顺·期末）唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯（如图1）所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（如图2），酒杯内壁表面光滑.假设这种酒杯内壁表面积为平方厘米，半球的半径为厘米.若要使得这种酒杯的容积不大于半球体积的倍，则的取值范围为___________.      15．（25-26高二下·湖南邵阳·期中）如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点在同一个平面内.如果四边形是边长为的正方形，那么这个八面体的体积是__________. 16．（25-26高一下·河北石家庄·期中）如图，在四棱锥中，，点到平面的距离为3． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积． 17．（25-26高一下·吉林长春·阶段检测）在中国传统文化中，灯笼作为节日和庆典的象征，常常蕴含着丰富的美学与数学设计；灯笼不仅要考虑美观，还要具备结构上的合理性和稳定性；现在有一盏独特的国风灯笼，它的外形结构包括多个几何体，具体设计如下： 顶部装饰：灯笼的顶部是一个正四棱台，上底边长为2分米，下底边长为4分米，高为2分米； 核心结构：灯笼的核心部分是一个正四棱柱，底面边长为3分米，高为6分米. (1)求灯笼总体积；（单位：分米） (2)已知灯笼上下底不糊纸，所以正四棱台侧面积与正四棱柱侧面积的和就是灯笼所需纸张的总面积，求灯笼所需纸张的总面积.（单位：分米） 18．（25-26高一下·吉林四平·期中）如图，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别是边AB，AC上的中点，，垂足分别是D，H，G，将绕AD所在直线旋转． (1)求图中阴影部分旋转形成的几何体的体积V； (2)求图中阴影部分旋转形成的几何体的表面积S． 19．（25-26高一下·天津静海·期中）（1）如图，长方体，，，，过作长方体的截面使它成为正方形. ①求三棱锥的体积；          ②求 . （2）如图所示，已知多面体，两两互相垂直，平面平面，平面平面，，，求该多面体的体积. （3）结合本题，总结求空间几何体的体积有哪些方法？ 20．（25-26高一下·山东济宁·期中）如图，长方体的长、宽、高分别为x，y，2且，. (1)当底面ABCD为正方形时， （i）求长方体的表面积； （ii）求三棱锥体积和外接球体积； (2)取、的中点分别为M、N，求三棱锥的体积的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $