专题13.8 空间图形的表面积重难点题型讲义（1个知识点+9大题型+1大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

该高中数学讲义通过表格对比和展开图示例系统梳理空间图形表面积知识，覆盖棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球7类几何体，按“定义-展开图-公式”递进呈现，清晰展现侧面积与表面积的内在联系及重难点分布。 讲义亮点在于“基础题型-组合拓展-实际应用”的分层练习设计，如组合多面体表面积计算（奖杯模型）、旋转体表面积求解（牛皮鼓制作）等题型，培养空间观念与应用意识。经典例题与即时训练结合，帮助不同层次学生掌握方法，为教师实施精准复习提供系统支持。

专题13.8 空间图形的表面积重难点题型专训 （1个知识点+9大题型+1大拓展训练+自我检测） 题型一 棱柱表面积的有关计算 题型二 圆柱表面积的有关计算 题型三 棱锥表面积的有关计算 题型四 圆锥表面积的有关计算 题型五 棱台表面积的有关计算 题型六 圆台表面积的有关计算 题型七 球的表面积的有关计算 题型八 求组合多面体的表面积 题型九 求组合旋转体的表面积 拓展训练一 几何图形的表面积计算 知识点一： 空间图形的表面积 因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和， 表面积是侧面积与底面面积之和． 1、棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图 （1）棱柱的侧面展开图是平行四边形，一边为棱柱的侧棱，另一边等于棱柱的底面周长； （2）棱锥的侧面展开图由若干个三角形组成； （3）棱台的侧面张开图由若干个梯形组成。 2、棱柱、棱锥、棱台的表面积 （1）棱柱的表面积：； （2）棱锥的表面积：； （3）棱台的表面积： 3、侧面展开图及侧面积公式 几何体 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l 4、圆柱、圆锥、圆台的表面积的求解步骤; 解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可，基本步骤如下： （1）得到空间几何体的平面展开图． （2）依次求出各个平面图形的面积． （3）将各平面图形的面积相加． 5、球的表面积公式： 【即时训练】 1．（2025·河南郑州·模拟预测）在一个正六棱柱中挖去一个圆柱后，剩余部分几何体如图所示．已知正六棱柱的底面正六边形边长为3cm，高为4cm，内孔半径为1cm，则此几何体的表面积是（    ）．    A． B． C． D． 2．（2025高二·全国·专题练习）在圆台中，圆的半径是圆半径的2倍，且恰为该圆台外接球的球心，则圆台的侧面积与球的表面积之比为________． 【经典例题一 棱柱表面积的有关计算】 【例1】（24-25高一下·辽宁·期末）已知正四棱柱中，截面是边长为的正方形，则正四棱柱的表面积为（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高一·全国·课后作业）如图，在正三棱柱中，D为棱的中点．若截面是面积为6的直角三角形，求此三棱柱的表面积． 1．（25-26高二·全国·课后作业）如图1所示，已知正方体面对角线长为a，沿阴影面将它切割成两块，拼成如图2所示的几何体，那么此几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·浙江台州·期中）如图，已知一个直四棱柱的侧棱长为6，底面是对角线长分别是9和13的菱形，则这个四棱柱的侧面积是（    ）．    A． B． C． D． 3．（25-26高二上·安徽·月考）在一个底面为矩形的直四棱柱中，从同一顶点出发的三条棱长分别为1，2，，则该四棱柱的表面积为______. 4．（2025高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，，．求三棱柱的表面积． 【经典例题二 圆柱表面积的有关计算】 【例1】（25-26高二上·北京·期中）面积为4的正方形，绕其一边旋转一周，则所得几何体的侧面积为（    ）． A． B． C． D． 【例2】（2025高二下·湖南郴州·学业考试）如图，直四棱锥内接于圆柱，PA为圆柱的母线，四边形ABCD是底面的内接平行四边形，E，F分别是PA，PB的中点． (1)证明：平面PCD； (2)若四边形ABCD为长方形，且，求圆柱的表面积． 1．（24-25高一下·广东东莞·阶段检测）如图，圆锥的底面直径为2，高为4，过线段上的一点作平行于底面的截面，以截面为底面挖出一个圆柱，则该圆柱表面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·湖南常德·期中）（多选）以长为8 cm，宽为6 cm的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的表面积为（    ） A．64π cm2 B．96π cm2 C．168π cm2 D．224π cm2 3．（25-26高一下·广东广州·期中）四等分切割如下图所示的圆柱，再将其重新组合成一个新的几何体，若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了10，则圆柱的侧面积是________. 4．（24-25高二下·甘肃武威·期末）如图，直三棱柱内接于高为的圆柱中，已知，，，为的中点，求： (1)直三棱柱的侧面积和圆柱的全面积； (2)求直线与平面所成的角的正弦值． 【经典例题三 棱锥表面积的有关计算】 【例1】（25-26高一下·福建漳州·期中）若正三棱锥的所有棱长均为，则该三棱锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高一·全国·课堂例题）设计一个正四棱锥形冰水塔塔顶，高是1.0m，底面的边长是1.5m，制造这种塔顶需要多少平方米铁板（精确到）？ 1．（2025高三·全国·专题练习）已知三棱锥P−ABC中各侧面与底面所成的二面角都是，且△ABC三边长分别为7、8、9，则三棱锥的侧面积为（ ） A．​ B．​ C．​ D． 2．（24-25高一下·福建三明·期末）福建省清流县书法家刘建煌老先生曾为三明绿道“怡亭”题字：四面风光长入画，一亭绿意最怡人. “怡亭”的顶部可近似看作一个正四棱锥，已知过侧棱且垂直于底面的截面是边长为 的等腰直角三角形，则该正四棱锥的侧面积约为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江西吉安·期末）“阿基米德多面体”又称“半正多面体”，与正多面体类似，它们都是凸多面体，每个面都是正多边形，并且所有棱长也都相等，但不同之处在于阿基米德多面体的每个面的形状不全相同．某些阿基米德多面体可由正多面体进行“截角”得到．如图，正四面体的棱长为6，取各条棱的三等分点，从各棱的三等分点处截去四个角后可得到一个阿基米德多面体，则该多面体的表面积为_________．      4．（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图，在正方体1中，，E、F、G分别为、、中点. (1)求三棱锥的表面积； (2)求证：平面. 【经典例题四 圆锥表面积的有关计算】 【例1】（2026·河南濮阳·模拟预测）若圆锥的高为5，母线长为7，则该圆锥的侧面积是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高二·上海·课堂例题）过圆锥高的三等分点分别作平行于底面的截面，求它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比（从小到大）． 1．（25-26高二下·云南昭通·期中）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为为底面直径，，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得小圆锥的侧面积与原来大圆锥的侧面积的比是，则这个截面把圆锥的高分成的两段的比是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三下·上海金山·阶段检测）已知圆锥的母线与底面所成角为，高为，则该圆锥的侧面积为__________. 4．（24-25高一下·河南南阳·期末）如图，圆锥PO的体积，点A，B，C，D都在底面圆周上，且，，AB＝4，E为PB的中点．    (1)求圆锥PO的侧面积； (2)求直线CE与平面PCD所成角的余弦值． 【经典例题五 棱台表面积的有关计算】 【例1】（24-25高三上·北京通州·期末）如图某实心零部件的形状是正四棱台，已知，，棱台的高为，现需要对该零部件的表面进行防腐处理，若每平方厘米的防腐处理费用为元，则该零部件的防腐处理费用是（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【例2】（2026高三·全国·专题练习）正四棱台两底面边长分别为和. （1）若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为，求棱台的侧面积； （2）若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高. 1．（2026·福建泉州·二模）已知正三棱台的高为，则该棱台的侧面积为（   ） A． B． C．18 D． 2．（24-25高三上·内蒙古锡林郭勒·期中）正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，高为，则其侧面积为（    ） A．20 B．24 C． D． 3．（25-26高一下·陕西西安·期中）已知正四棱台的上、下底的边长分别是2、4，高为1，则该四棱台的表面积为________． 4．（25-26高一·全国·课后作业）已知正三棱台上底面边长为1，下底面边长为2，高为1．求该三棱台表面积． 【经典例题六 圆台表面积的有关计算】 【例1】（2026·湖北武汉·二模）某科技馆“人造太阳”模型外观为圆台形，上底面半径为，下底面半径为，圆台母线长为，模型外侧面需要喷漆，则喷漆面积为（   ） A． B． C． D． 【例2】（2024高一下·全国·专题练习）圆台的上、下底面半径和高的比为，若母线长为，求圆台的表面积. 1．（25-26高一下·福建厦门·期中）如图，和分别为圆台上下底面中心，且，在轴截面中，为正三角形.若，则圆台的表面积为（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·河南许昌·期中）福善牛皮鼓是四川省自贡市富顺县福善镇的传统手工技艺，属于自贡市级非物质文化遗产传统技艺类项目，该技艺以本地水牛前肋皮为原料，完整保留选材、撑皮、晒皮、下料、削皮、浸泡、鼓皮定型、箍桶、上索、上楔等十道核心工序，成品具有音质纯正、粗犷深沉的声学特质．如图所示的牛皮鼓的鼓面直径为20cm，其表面积为，用平行于鼓面的平面截牛皮鼓，所得截面圆的最大直径为30cm．若将该牛皮鼓看成由两个相同的圆台拼接而成，忽略鼓面与鼓身的厚度，则该牛皮鼓的高度为（   ） A．36cm B．32cm C．24cm D．20cm 3．（25-26高一下·山东临沂·期中）已知直角梯形，，，，，绕直角边旋转一周，则所得几何体的侧面积为___________． 4．（24-25高二·安徽池州·月考）一个直角梯形上底、下底和高之比为，将此直角梯形以垂直于底的腰为轴旋转一周形成一个圆台，求这个圆台上底面积、下底面积和侧面积之比. 【经典例题七 球的表面积的有关计算】 【例1】（25-26高一下·全国·单元测试）现在国际乒乓球赛的用球已由“小球”改为“大球”．“小球”的直径为38mm，“大球”的直径为40mm，则“小球”的表面积与“大球”的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高一·全国·课后作业）如图，某人打算用A型材料制作一个近似于球形的热气球，半径为10m. (1)制作这样一个热气球，大约需要多少材料？ (2)如果A型材料的价格为280元，试估计用料的总费用.如果直径增加4m，那么需增加多少费用？ 1．（25-26高三下·湖北武汉·月考）已知母线长为2的圆锥的表面积与直径为2的球的表面积相等，则该圆锥的底面半径为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·湖北恩施·期中）（多选）如图，由外及内是两层表面积分别为100π和36π的同心球（球壁的厚度忽略不计），在外球表面上有一点A，在内球表面上有一点B，连接AB.若线段AB不穿过小球内部，则线段AB的长度可以是（    ） A．7cm B．4cm C．3cm D．1cm. 3．（24-25高一下·天津·期末）已知是边长为的等边三角形，且其顶点都在球的球面上．若球心到平面的距离为，则球的表面积为_________． 4．（25-26高二上·上海·单元测试）球面上三点A、B、C组成这个球的一个截面的内接三角形，，，，且球心到该截面的距离为球半径的一半.求此球的表面积． 【经典例题八 求组合多面体的表面积】 【例1】（25-26高三·全国·一轮复习）如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一个平面内，如果四边形ABCD是边长为30 cm的正方形，那么这个八面体的表面积是（　　） A．225 cm2 B．1000 cm2 C．1800 cm2 D．900＋2000 cm2 【例2】（24-25高一下·辽宁·期末）如图，这是某种型号的奖杯，它是用一个正四棱台、一个正四棱柱和一个球焊接而成的球的半径为.正四棱柱的底面边长为，高为.正四棱台的上、下底面边长分别为和，斜高（即侧面梯形的高）为.    (1)求这种型号的奖杯的表面积（用表示，焊接处对面积的影响忽略不计）； (2)已知，若为奖杯表面镀金所用的材料每可以涂，且该种型号的奖杯底面（图中正四棱台的下底面作为该种型号的奖杯的底面，一般底面采用其他村质）不需要镀金，则为100个这种型号的奖杯镀金约需要多少材料？（取3.14，精确到） 1．（25-26高一下·北京·阶段检测）水晶是一种石英结晶体矿物，因其硬度、色泽、光学性质、稀缺性等，常被人们制作成饰品．如图所示，现有棱长为的正方体水晶一块，将其裁去八个相同的四面体，打磨成饰品，则该饰品的表面积为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江苏苏州·月考）（多选）某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如果被截正方体的棱长为，则（   ） A．石凳是十四面体 B．石凳有24条棱 C．石凳的表面积为 D．石凳有24个顶点 3．（24-25高二上·上海静安·期中）如图所示，一种机器零件由两部分组成，下部分是实心的正六棱柱，上部分是实心的圆柱（尺寸单位：）电镀这种零件需要用锌，已知每平方米用锌0.11千克，则电镀10000个这种零件需要锌____千克.（结果精确到0.01）      4．（24-25高二上·上海·课堂例题）在正方体中，E、F、M分别为棱AD、AB、的中点，现从顶点A处截去三棱锥，仿此同样方式，在顶点B、C、D、、、、处各截去一个三棱锥，设剩下的几何体为， (1)几何体是几面体？共有多少条棱？（直接写出结论，不需要说明理由） (2)若正方体的棱长为2，求几何体的表面积． 【经典例题九 求组合旋转体的表面积】 【例1】（24-25高一下·河北邯郸·期中）素面高足银杯（如图1）是唐代时期的一件文物．银杯主体可以近似看作半个球与圆柱的组合体（假设内壁光滑，杯壁厚度可忽略），如图2所示，已知球的半径为r，银杯内壁的表面积为，则球的半径与圆柱的高之比为（   ）    A． B． C． D． 【例2】（25-26高一·江苏·课后作业）如图所示，△ABC的三边长分别是AC＝3，BC＝4，AB＝5，作CD⊥AB，垂足为点D.以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积. 1．（2026·湖北襄阳·模拟预测）如图，圆锥的底面直径和高均是，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下的几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·四川宜宾·二模）已知一个直角三角形的两条直角边分别为和，以它的斜边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周所围成的旋转体的表面积为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·上海松江·开学考试）正方体的棱长为2，为棱的中点，以为轴旋转一周，则得到的旋转体的表面积是______． 4．（24-25高二上·广东佛山·期中）已知梯形中，，，，，，在平面内，过点作，以为轴将梯形旋转一周，求旋转体的表面积. 【拓展训练一 几何图形的表面积计算】 【例1】（24-25高二·上海·课堂例题）侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a，则此棱锥的表面积是（    ） A．； B．； C．； D．都不对． 【例2】（24-25高一下·河南三门峡·期末）如图，S为圆锥顶点，O是圆锥底面圆的圆心，、为底面圆的两条直径，且，，P为的中点． (1)求证：平面； (2)求圆锥的表面积． 1．（25-26高三上·河北沧州·月考）如图，在正六棱台中，，，四边形的面积为，则该正六棱台的表面积为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江西赣州·期中）（多选）在圆锥中，是底面圆的直径，，且圆锥外接球的表面积为，则该圆锥的侧面积可能为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·北京海淀·期中）已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的表面积为________． 4．（2025·全国·模拟预测）如图，在体积为的四棱柱中，底面是正方形，是边长为2的正三角形，与交于点．    (1)求证：平面平面． (2)求三棱柱的侧面积． 1．（24-25高一下·全国·课后作业）若正方体八个顶点中有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·安徽合肥·三模）如图，半球O的半径为，从中挖去一内接圆柱，圆柱一个底面在半球面上，且轴截面为正方形，则剩余的几何体的表面积为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·广西柳州·期末）现有一块棱长为4的正四面体实心木料，用平行于该木料底面的一个平面将木料截成两部分，若这两部分的表面积相等，则该平面在木料上的截面面积为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三·北京·二轮复习）已知圆台的上、下底面半径分别为2和4，且母线与下底面所成的角的正切值为2，则该圆台的表面积为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·河北张家口·开学考试）如图，在直角坐标平面内，已知，以轴为旋转轴，将旋转一周，得一个旋转体，则此旋转体的表面积为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）（多选题）一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为的正方形和正三角形，则它们的表面积可能为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·广东·期中）（多选）已知圆锥的底面半径，母线长，设该圆锥的侧面展开图为扇形AOB，O为扇形圆心，则（   ） A．扇形AOB的圆心角为 B．圆锥的高h为 C．圆锥的表面积为 D．从点绕圆锥侧面一周回到点的最短距离为 8．（24-25高二下·浙江宁波·期末）（多选）棱长为1的正方体中，点是线段上的动点（包括端点），则（   ） A．三棱锥的体积为定值 B．点到平面的距离与点到点的距离之和的最小值为 C．当点与点重合时，四面体的外接球的表面积为 D．的正切值的取值范围是 9．（2025·河北雄安·三模）（多选）如图，多面体由正四棱锥和正四面体组合而成，其中，则（    ）    A．该几何体的表面积为 B．该几何体为七面体 C．二面角的余弦值为 D．存在球，使得该多面体的各个顶点都在球面上 10．（24-25高一下·新疆乌鲁木齐·期末）（多选）如图，圆锥的底面半径为3，高为，过靠近的三等分点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则下列说法正确的是（    ） A．圆锥母线与底面所成的角为 B．圆锥的侧面积为 C．挖去圆柱的体积为 D．剩下几何体的表面积为 11．（2026高一·全国·专题练习）正四棱柱的体对角线长是，全面积是，则满足这些条件的正四棱柱有_____个. 12．（25-26高一下·全国·课堂例题）若圆柱的侧面展开图是长、宽的矩形，则这个圆柱的体积为____________． 13．（25-26高一下·全国·课后作业）四棱台的上、下底面均为正方形，它们的边长分别为1，2，侧棱长为，则该四棱台的高为______，侧面积为______． 14．（25-26高一下·重庆渝北·期中）已知，，三点在球的球面上，，，，球心到平面的距离等于球半径的一半，则该球的表面积是______． 15．（24-25高一下·山西太原·期中）“阿基米德多面体”又称“半正多面体”，与正多面体类似，它们都是凸多面体，每个面都是正多边形，并且所有棱长也都相等，但不同之处在于阿基米德多面体的每个面的形状不全相同．某些阿基米德多面体可由正多面体进行“截角”得到．如图，正八面体（每个面都是棱长相等的正三角形）的棱长为6，取各条棱的三等分点，从各棱的三等分点处截去六个角后可得到一个阿基米德多面体，则该多面体的表面积为__________．    16．（24-25高三下·河南安阳·开学考试）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，，点E为AS的中点. (1)证明：平面SCD； (2)求四棱锥的表面积. 17．（25-26高一下·山东淄博·阶段检测）一个圆锥的底面半径为2，高为6，在圆锥内部有一个高为的内接圆柱. (1)求该圆锥的表面积； (2)用表示圆柱的轴截面面积；当为何值时，求最大值. 18．（25-26高一·全国·课后作业）如图所示的圆锥，顶点为O，底面半径是5cm，用一个与底面平行的平面截得一圆台，圆台的上底面半径为2.5cm，这个平面与母线OA交于点B，线段AB的长为10cm． (1)求圆台的侧面积； (2)把一根绳从线段AB的中点M开始沿着侧面绕到点A，求这根绳的最短长度； (3)在（2）的条件下，这根绳上的点和圆台上底面上的点的距离中，最短的距离是多少？ 19．（24-25高一下·河南洛阳·期中）已知圆锥的底面半径，高. (1)求此圆锥的表面积； (2)若圆锥在球内，求球的表面积的最小值； (3)若一个棱长为的正方体木块可以在这个圆锥内任意转动，求的最大值. 20．（24-25高三上·河南·期中）如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，为棱上一点，且.    (1)求证：平面； (2)若，求绕直线旋转一周所得几何体的表面积. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13.8 空间图形的表面积重难点题型专训 （1个知识点+9大题型+1大拓展训练+自我检测） 题型一 棱柱表面积的有关计算 题型二 圆柱表面积的有关计算 题型三 棱锥表面积的有关计算 题型四 圆锥表面积的有关计算 题型五 棱台表面积的有关计算 题型六 圆台表面积的有关计算 题型七 球的表面积的有关计算 题型八 求组合多面体的表面积 题型九 求组合旋转体的表面积 拓展训练一 几何图形的表面积计算 知识点一： 空间图形的表面积 因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和， 表面积是侧面积与底面面积之和． 1、棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图 （1）棱柱的侧面展开图是平行四边形，一边为棱柱的侧棱，另一边等于棱柱的底面周长； （2）棱锥的侧面展开图由若干个三角形组成； （3）棱台的侧面张开图由若干个梯形组成。 2、棱柱、棱锥、棱台的表面积 （1）棱柱的表面积：； （2）棱锥的表面积：； （3）棱台的表面积： 3、侧面展开图及侧面积公式 几何体 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l 4、圆柱、圆锥、圆台的表面积的求解步骤; 解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可，基本步骤如下： （1）得到空间几何体的平面展开图． （2）依次求出各个平面图形的面积． （3）将各平面图形的面积相加． 5、球的表面积公式： 【即时训练】 1．（2025·河南郑州·模拟预测）在一个正六棱柱中挖去一个圆柱后，剩余部分几何体如图所示．已知正六棱柱的底面正六边形边长为3cm，高为4cm，内孔半径为1cm，则此几何体的表面积是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据棱柱与圆柱的侧面积公式求解. 【详解】所求几何体的侧面积为， 上下底面面积为， 挖去圆柱的侧面积为， 则所求几何体的表面积为． 故选：C． 2．（2025高二·全国·专题练习）在圆台中，圆的半径是圆半径的2倍，且恰为该圆台外接球的球心，则圆台的侧面积与球的表面积之比为________． 【答案】 【分析】画出图形，设外接球的半径为，则，然后结合圆台的性质求出母线长，从而可求出圆台的侧面积，进而可求出圆台的侧面积与球的表面积之比. 【详解】如图，设圆台的外接球半径为，则由题意可得， 过点作于点，则， 所以， 因为， 所以， 所以圆台的侧面积, 因为球的表面积为， 所以圆台的侧面积与球的表面积之比为 . 故答案为：    【经典例题一 棱柱表面积的有关计算】 【例1】（24-25高一下·辽宁·期末）已知正四棱柱中，截面是边长为的正方形，则正四棱柱的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正四棱柱的性质及截面的特征求出底面边长与高，再由表面积公式计算可得. 【详解】正四棱柱是底面为正方形的直棱柱， 设底面边长为， 因为截面是边长为的正方形，所以，， 则，解得（负值已舍去）， 所以正四棱柱的表面积. 故选：D 【例2】（25-26高一·全国·课后作业）如图，在正三棱柱中，D为棱的中点．若截面是面积为6的直角三角形，求此三棱柱的表面积． 【答案】 【分析】设，根据是面积为6的直角三角形，由求解. 【详解】解：设， 则，． 由题意得 即 解得 从而． 1．（25-26高二·全国·课后作业）如图1所示，已知正方体面对角线长为a，沿阴影面将它切割成两块，拼成如图2所示的几何体，那么此几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据柱体表面积公式去求解即可解决. 【详解】正方体面对角线长为a，则正方体棱长为 拼接后几何体的表面积为 故选：B 2．（24-25高一下·浙江台州·期中）如图，已知一个直四棱柱的侧棱长为6，底面是对角线长分别是9和13的菱形，则这个四棱柱的侧面积是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用直四棱柱的结构特征及已知条件求相关棱长，进而求棱柱的侧面积. 【详解】如图，连接交点为O，    则对角线，，所以， 因为直四棱柱的底面是菱形，所以， 所以， ∴直四棱柱的侧面积. 故选：D. 3．（25-26高二上·安徽·月考）在一个底面为矩形的直四棱柱中，从同一顶点出发的三条棱长分别为1，2，，则该四棱柱的表面积为______. 【答案】 【分析】先判断该四棱柱的各个面均为矩形，再结合矩形的面积公式求解表面积即可. 【详解】由已知得直四棱柱的底面为矩形， 则该四棱柱的各个面均为矩形，可得表面积为. 故答案为： 4．（2025高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，，．求三棱柱的表面积． 【答案】 【分析】分别求三棱柱每个面的面积相加即可. 【详解】因为侧棱底面， 所以三棱柱为直三棱柱， 所以侧面，，均为矩形． 因为， 所以底面，均为直角三角形． 因为，， 所以． 所以三棱柱的表面积为 ． 【经典例题二 圆柱表面积的有关计算】 【例1】（25-26高二上·北京·期中）面积为4的正方形，绕其一边旋转一周，则所得几何体的侧面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用圆柱侧面积公式求解即得. 【详解】面积为4的正方形边长为2， 绕该正方形任意一边所在直线旋转一周，所得的几何体都是底面半径为2，母线长为2的圆柱， 所以所得几何体的侧面积为. 故选：B 【例2】（2025高二下·湖南郴州·学业考试）如图，直四棱锥内接于圆柱，PA为圆柱的母线，四边形ABCD是底面的内接平行四边形，E，F分别是PA，PB的中点． (1)证明：平面PCD； (2)若四边形ABCD为长方形，且，求圆柱的表面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据中位数可知，进而可得，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）由题意可得，结合圆柱的侧面积公式可得圆柱的表面积. 【详解】（1）因为，F分别是PA，PB的中点，可知是的中位线，则， 又因为，则， 且平面PCD，平面PCD， 所以∥平面PCD. （2）因为四边形ABCD为长方形则为底面圆的直径，且， 设r为圆柱的底面圆半径，l为圆柱的高，则， 所以圆柱的表面积. 1．（24-25高一下·广东东莞·阶段检测）如图，圆锥的底面直径为2，高为4，过线段上的一点作平行于底面的截面，以截面为底面挖出一个圆柱，则该圆柱表面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据相似三角形的性质求出圆柱的高与圆柱半径之间的关系，然后列出圆柱表面积的表达式，根据一元二次函数的性质即可求出最大值. 【详解】根据相似三角形的性质可得：，得到，. 则圆柱的表面积为：. 所以当时，圆柱取最大值. 故选：B. 2．（24-25高一下·湖南常德·期中）（多选）以长为8 cm，宽为6 cm的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的表面积为（    ） A．64π cm2 B．96π cm2 C．168π cm2 D．224π cm2 【答案】CD 【分析】分以长所在的直线为旋转轴和以宽所在的直线为旋转轴两种情况求解即可. 【详解】当以长所在的直线为旋转轴时，则得到的圆柱的表面积为 cm2， 当以宽所在的直线为旋转轴时，则得到的圆柱的表面积为 cm2， 故选：CD 3．（25-26高一下·广东广州·期中）四等分切割如下图所示的圆柱，再将其重新组合成一个新的几何体，若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了10，则圆柱的侧面积是________. 【答案】 【详解】设圆柱的底面半径为，高为， 根据题意，将圆柱重新组合成的几何体，表面积多了两个矩形，对应的边长分别为， 所以表面积增加了，即， 所以圆柱的侧面积为 4．（24-25高二下·甘肃武威·期末）如图，直三棱柱内接于高为的圆柱中，已知，，，为的中点，求： (1)直三棱柱的侧面积和圆柱的全面积； (2)求直线与平面所成的角的正弦值． 【答案】(1)，; (2) 【分析】（1）利用圆柱的表面积公式和棱柱的侧面积公式计算即可； （2）利用线面垂直，证明线面角，然后计算正弦值即可. 【详解】（1）由，，可得， 所以， 再由三角形的外接圆半径为， 所以 （2） 由为的中点，，可得， 又因为平面，平面，所以， 又因为平面，所以平面， 即就是直线与平面所成角， 又因为，所以， 故直线与平面所成角的正弦值为. 【经典例题三 棱锥表面积的有关计算】 【例1】（25-26高一下·福建漳州·期中）若正三棱锥的所有棱长均为，则该三棱锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得该三棱锥的表面积由四个全等的等边三角形构成，求其面积之和即可. 【详解】因为正三棱锥的所有棱长均为，所以每个面均为等边三角形，其面积为， 所以三棱锥的表面积为. 【例2】（25-26高一·全国·课堂例题）设计一个正四棱锥形冰水塔塔顶，高是1.0m，底面的边长是1.5m，制造这种塔顶需要多少平方米铁板（精确到）？ 【答案】 【分析】根据公式，只需计算斜高.为此，在正四棱锥中作出相应的直角三角形，再解三角形即可. 【详解】如图，S表示塔的顶点，O表示底面的中心，则SO是高.设SE是斜高.    在中，根据勾股定理，得 ， 所以正四棱锥的侧面积为. 制造这种塔顶需要铁板约. 1．（2025高三·全国·专题练习）已知三棱锥P−ABC中各侧面与底面所成的二面角都是，且△ABC三边长分别为7、8、9，则三棱锥的侧面积为（ ） A．​ B．​ C．​ D． 【答案】A 【分析】根据题意，由积射影定理得，由海伦公式可得，即可得到结果. 【详解】如图， 由积射影定理得， ∵的三边长为7， 8， 9， 由海伦公式， ∴， 故选：A. 2．（24-25高一下·福建三明·期末）福建省清流县书法家刘建煌老先生曾为三明绿道“怡亭”题字：四面风光长入画，一亭绿意最怡人. “怡亭”的顶部可近似看作一个正四棱锥，已知过侧棱且垂直于底面的截面是边长为 的等腰直角三角形，则该正四棱锥的侧面积约为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意画出示意图，求出底边正方形的边长，得出正四棱锥的侧面是四个全等的等边三角形，再根据等边三角形的面积即可求解. 【详解】如图，正四棱锥，截面为等腰直角三角形， 因为， 所以， 又因为四边形为正方形，设边长为， 由勾股定理得，， 解得，， 所以正四棱锥的侧面是四个全等的等边三角形， 所以. 故选：D.    3．（24-25高一下·江西吉安·期末）“阿基米德多面体”又称“半正多面体”，与正多面体类似，它们都是凸多面体，每个面都是正多边形，并且所有棱长也都相等，但不同之处在于阿基米德多面体的每个面的形状不全相同．某些阿基米德多面体可由正多面体进行“截角”得到．如图，正四面体的棱长为6，取各条棱的三等分点，从各棱的三等分点处截去四个角后可得到一个阿基米德多面体，则该多面体的表面积为_________．      【答案】 【分析】该多面体的棱长为2，且表面由四个正三角形和四个正六边形组成，结合表面积公式进行计算即可求解. 【详解】正四面体的棱长为6，从各棱的三等分点处截得多面体， 则该多面体的棱长为2，且表面由四个正三角形和四个正六边形组成， 故该多面体的表面积为， 故答案为：． 4．（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图，在正方体1中，，E、F、G分别为、、中点. (1)求三棱锥的表面积； (2)求证：平面. 【答案】(1)16； (2)证明见解析. 【分析】（1）借助正方体的结构特征求出三棱锥的表面积. （2），连接，利用线面平行的判定推理得证. 【详解】（1）在正方体中，，两两垂直， 由分别为的中点，得，， 等腰底边上的高， 所以三棱锥的表面积 . （2）连接，，连接， 由是正方形对边中点，得四边形是矩形，则是的中点， 而是的中点，因此，而平面，平面， 所以平面. 【经典例题四 圆锥表面积的有关计算】 【例1】（2026·河南濮阳·模拟预测）若圆锥的高为5，母线长为7，则该圆锥的侧面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出底面圆的半径，再由侧面积公式得解. 【详解】设圆锥底面半径，高为，母线为， 则， 所以圆锥的侧面积. 【例2】（25-26高二·上海·课堂例题）过圆锥高的三等分点分别作平行于底面的截面，求它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比（从小到大）． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用圆锥的侧面积公式，结合割补法思想求解即得. 【详解】令圆锥的底面圆半径为，母线长，点是圆锥的高的三等分点，如图， 依题意，圆锥、圆锥的底面与圆锥的底面平行，因此它们的轴截面等腰三角形都相似， 则圆锥、圆锥的底面圆半径分别为，母线长分别为， 于是圆锥、圆锥、圆锥的侧面积分别为， 所以两个截面把圆锥侧面分成的三部分的面积之比为. 1．（25-26高二下·云南昭通·期中）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为为底面直径，，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意求出底面半径，再根据圆锥侧面积公式求解． 【详解】解：依题意，，所以，， 圆锥的侧面积为． 2．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得小圆锥的侧面积与原来大圆锥的侧面积的比是，则这个截面把圆锥的高分成的两段的比是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用相似圆锥侧面积比等于相似比的平方求出高的相似比，再通过总高减去小圆锥高得到圆台高，从而得到两段高的两种顺序的比例. 【详解】 设大圆锥的高为，底面半径为，母线长为；小圆锥的高为，底面半径为，母线长为，圆锥侧面积公式为 ； 由题意，侧面积比为：，因为，所以相似比满足：， 代入侧面积比，可得：，解得，即：， 截面将大圆锥的高分为两段：小圆锥的高和圆台的高， 两段的比为：，若将两段顺序颠倒，则比为：， 因此，这个截面把圆锥的高分成的两段的比是或. 3．（25-26高三下·上海金山·阶段检测）已知圆锥的母线与底面所成角为，高为，则该圆锥的侧面积为__________. 【答案】 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为， 由圆锥的母线与底面所成角为， 故该圆锥的侧面积为：. 4．（24-25高一下·河南南阳·期末）如图，圆锥PO的体积，点A，B，C，D都在底面圆周上，且，，AB＝4，E为PB的中点．    (1)求圆锥PO的侧面积； (2)求直线CE与平面PCD所成角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用圆锥的体积公式求出PO的长，从而求出圆锥的母线长，即可求出圆锥的侧面积； （2）易得平面,从而过E作的平行线，即面的垂线，从而得到即线面角，然后利用勾股定理求出各边长度即可. 【详解】（1）AB＝4，且， 所以底面圆的半径, 圆锥PO的体积 圆锥母线长 所以圆锥PO的侧面积； （2）    取PO中点为F，且E为PB的中点． 所以, 圆锥PO可知，平面, ，且，, 所以平面, 所以平面， 所以即直线CE与平面PCD所成角. ，， 故. 故答案为. 【经典例题五 棱台表面积的有关计算】 【例1】（24-25高三上·北京通州·期末）如图某实心零部件的形状是正四棱台，已知，，棱台的高为，现需要对该零部件的表面进行防腐处理，若每平方厘米的防腐处理费用为元，则该零部件的防腐处理费用是（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【分析】根据棱台的高求出侧面等腰梯形的高，再计算出棱台的表面积，即可求得该零部件的防腐处理费用. 【详解】 如图所示，，，连接，分别是的中点，连接，取的中点，连接. 由题意，在正四棱台中，平面，则， 因为分别是的中点，所以，且， 又分别是的中点，所以，且， 故，则四点共面； 因为平面，平面，所以， 所以四边形为直角梯形， 在直角梯形中，，又点是的中点， 所以四边形为矩形，则，且，又， 因此，在直角中，， 所以在正四棱台中， 侧面积， 底面积， 表面积（平方厘米）， 又每平方厘米的防腐处理费用为元， 所以该零部件的防腐处理费用是（元）. 故选：A 【例2】（2026高三·全国·专题练习）正四棱台两底面边长分别为和. （1）若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为，求棱台的侧面积； （2）若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）设、分别为上、下底面的中心，过作于，过作于，连接，则为正四棱台的斜高，求出斜高即可求出侧面积； （2）求出侧面积，即可求出斜高，即可由勾股定理求出高. 【详解】（1）如图，设、分别为上、下底面的中心，过作于，过作于，连接，则为正四棱台的斜高，      由题意知，， 又， ∴斜高，    ∴；     （2）由题意知，，∴，    ∴，又，. 1．（2026·福建泉州·二模）已知正三棱台的高为，则该棱台的侧面积为（   ） A． B． C．18 D． 【答案】B 【分析】构造直角三角形结合棱台的高求出侧面梯形的高，求出侧面积. 【详解】由题意，设上下底面中心分别为，则， 分别取中点，则为梯形的高， 由可得，， 作，垂足为， 则，， 则， 则. 故选：B. 2．（24-25高三上·内蒙古锡林郭勒·期中）正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，高为，则其侧面积为（    ） A．20 B．24 C． D． 【答案】B 【分析】作出辅助线，求出侧高，得到侧面积. 【详解】如图，过点分别作⊥，⊥，垂足分别为， 其中，故， 所以， 又，由勾股定理得， 其中，由勾股定理得， 故梯形的面积为， 其侧面积为. 故选：B 3．（25-26高一下·陕西西安·期中）已知正四棱台的上、下底的边长分别是2、4，高为1，则该四棱台的表面积为________． 【答案】 【详解】因为正四棱台的侧面是等腰梯形， 又正四棱台的上、下底面的边长分别是2、4，高为1， 所以侧面梯形的斜高为， 则四个梯形的面积为， 上下底的底面面积分别为，， 所以该四棱台的表面积为． 4．（25-26高一·全国·课后作业）已知正三棱台上底面边长为1，下底面边长为2，高为1．求该三棱台表面积． 【答案】 【分析】由题意画出图形，求出三棱台的斜高，再代入表面积公式求解即可． 【详解】如图，正三棱台，分别为上下底面的中心， 连接并延长交于，连接CO并延长交AB于D，连接。 ∵等边三角形的边长为1，∴, ∵等边三角形ABC的边长为2，∴ ， 所以该三棱台表面积为： 【经典例题六 圆台表面积的有关计算】 【例1】（2026·湖北武汉·二模）某科技馆“人造太阳”模型外观为圆台形，上底面半径为，下底面半径为，圆台母线长为，模型外侧面需要喷漆，则喷漆面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助圆台侧面积公式计算即可得. 【详解】. 【例2】（2024高一下·全国·专题练习）圆台的上、下底面半径和高的比为，若母线长为，求圆台的表面积. 【答案】 【分析】作出圆台的轴截面图，再设上底面半径为，下底面半径为，高为，结合勾股定理列式可得，进而求得表面积. 【详解】圆台的轴截面如图所示，    设上底面半径为，下底面半径为，高为， 由题意，， 则它的母线长为，所以. 故， . 故答案为： 1．（25-26高一下·福建厦门·期中）如图，和分别为圆台上下底面中心，且，在轴截面中，为正三角形.若，则圆台的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为为正三角形，，所以， 又因为，所以， 即圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，圆台的高为，可得圆台的母线长为， 所以圆台的表面积为. 2．（25-26高一下·河南许昌·期中）福善牛皮鼓是四川省自贡市富顺县福善镇的传统手工技艺，属于自贡市级非物质文化遗产传统技艺类项目，该技艺以本地水牛前肋皮为原料，完整保留选材、撑皮、晒皮、下料、削皮、浸泡、鼓皮定型、箍桶、上索、上楔等十道核心工序，成品具有音质纯正、粗犷深沉的声学特质．如图所示的牛皮鼓的鼓面直径为20cm，其表面积为，用平行于鼓面的平面截牛皮鼓，所得截面圆的最大直径为30cm．若将该牛皮鼓看成由两个相同的圆台拼接而成，忽略鼓面与鼓身的厚度，则该牛皮鼓的高度为（   ） A．36cm B．32cm C．24cm D．20cm 【答案】C 【分析】根据圆台表面积公式得到圆台母线长，进而求出高即可． 【详解】解：依题意可得，圆台上底面半径为10cm，圆台下底面半径为15cm， 该牛皮鼓的表面积＝两个圆台的侧面积＋两个圆台的上底面面积， 则，即，解得． 又，所以，解得． 由，得，即，则该牛皮鼓的高度为24cm． 3．（25-26高一下·山东临沂·期中）已知直角梯形，，，，，绕直角边旋转一周，则所得几何体的侧面积为___________． 【答案】/ 【详解】因为，，， 所以， 绕直角边旋转一周，所得几何体为圆台， 圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线为， 所以圆台的侧面积. 4．（24-25高二·安徽池州·月考）一个直角梯形上底、下底和高之比为，将此直角梯形以垂直于底的腰为轴旋转一周形成一个圆台，求这个圆台上底面积、下底面积和侧面积之比. 【答案】. 【详解】试题分析：由题意可设直角梯形上底、下底和高为它们分别为圆台的上、下底半径和高. 试题解析：由题意可设直角梯形上底、下底和高为，它们分别为圆台的上、下底半径和高.如图示，过点作于，则中，， ，∴. ∴. 考点：圆台的侧面积. 【经典例题七 球的表面积的有关计算】 【例1】（25-26高一下·全国·单元测试）现在国际乒乓球赛的用球已由“小球”改为“大球”．“小球”的直径为38mm，“大球”的直径为40mm，则“小球”的表面积与“大球”的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据球的表面积公式和改革前后球的外径，分别算出“小球”的表面积和“大球”的表面积，计算出它们表面积之比，即可得到本题的答案． 【详解】因为，， 所以． 故选：C 【例2】（25-26高一·全国·课后作业）如图，某人打算用A型材料制作一个近似于球形的热气球，半径为10m. (1)制作这样一个热气球，大约需要多少材料？ (2)如果A型材料的价格为280元，试估计用料的总费用.如果直径增加4m，那么需增加多少费用？ 【答案】(1)m2 (2)用料的总费用是元，当直径增加4m，需增加的费用是元. 【分析】(1)直接利用球的表面积公式计算即可作答. (2)利用(1)的结论求出总费用，再算出增加的面积，即可得增加的费用. 【详解】（1）依题意，半径r=10m的球的表面积是：(m2)， 所以制作这样一个热气球，大约需要m2的材料. （2）当A型材料的价格为280元，由(1)知，总费用(元)， 当直径增加4m时，半径( m)，则增加的面积为( m2)， 因此，增加的费用为(元)， 所以用料的总费用是元，当直径增加4m，需增加的费用是元. 1．（25-26高三下·湖北武汉·月考）已知母线长为2的圆锥的表面积与直径为2的球的表面积相等，则该圆锥的底面半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设该圆锥的底面半径为，所以圆锥的表面积为， 球的表面积为，所以，即， 解得或（舍）． 2．（24-25高二下·湖北恩施·期中）（多选）如图，由外及内是两层表面积分别为100π和36π的同心球（球壁的厚度忽略不计），在外球表面上有一点A，在内球表面上有一点B，连接AB.若线段AB不穿过小球内部，则线段AB的长度可以是（    ） A．7cm B．4cm C．3cm D．1cm 【答案】BC 【分析】由勾股定理求解． 【详解】依题意可得，外球的半径为5cm，内球的半径为3cm，则线段AB长度的最大值为，最小值为， 故选BC. 3．（24-25高一下·天津·期末）已知是边长为的等边三角形，且其顶点都在球的球面上．若球心到平面的距离为，则球的表面积为_________． 【答案】 【分析】根据题意，利用已知条件求出外接圆的半径，再根据几何关系进一步解出外接球半径，代入表面积公式求解即可. 【详解】设外接圆的圆心为，外接圆半径为，球半径为， 根据已知条件有，， 由正弦定理可得，所以， 所以， 所以球的表面积为：. 故答案为： 4．（25-26高二上·上海·单元测试）球面上三点A、B、C组成这个球的一个截面的内接三角形，，，，且球心到该截面的距离为球半径的一半.求此球的表面积． 【答案】 【分析】设截面圆半径为r，球半径为R，利用勾股定理逆定理可判断为直角三角形，从而可求出，再结合球心到该截面的距离为球半径的一半，利用勾股定理列方程可求出，从而可求出球的表面积. 【详解】设截面圆半径为r，球半径为R，在中，，，， ， ∴是直角三角形，∴，∴， ∵球心到该截面的距离为球半径的一半， ∴， ∴， ∴ 【经典例题八 求组合多面体的表面积】 【例1】（25-26高三·全国·一轮复习）如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一个平面内，如果四边形ABCD是边长为30 cm的正方形，那么这个八面体的表面积是（　　） A．225 cm2 B．1000 cm2 C．1800 cm2 D．900＋2000 cm2 【答案】C 【分析】利用八面体的结构特征，求出每个面的面积即可求得表面积. 【详解】由八面体的每一个面都是正三角形，且四边形ABCD是边长为的正方形， 因此每个面的面积为（）， 所以这个八面体的表面积（）. 故选：C 【例2】（24-25高一下·辽宁·期末）如图，这是某种型号的奖杯，它是用一个正四棱台、一个正四棱柱和一个球焊接而成的球的半径为.正四棱柱的底面边长为，高为.正四棱台的上、下底面边长分别为和，斜高（即侧面梯形的高）为.    (1)求这种型号的奖杯的表面积（用表示，焊接处对面积的影响忽略不计）； (2)已知，若为奖杯表面镀金所用的材料每可以涂，且该种型号的奖杯底面（图中正四棱台的下底面作为该种型号的奖杯的底面，一般底面采用其他村质）不需要镀金，则为100个这种型号的奖杯镀金约需要多少材料？（取3.14，精确到） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别求得棱台、棱柱、球的表面积后相加即可得出该奖杯的表面积； （2）求出奖杯需要镀金的表面积，再根据镀金材料的每平方米的重量可求得为100个这种型号的奖杯镀金所需要的材料. 【详解】（1）球的表面积为. 正四棱柱的表面积为. 正四棱台的表面积为. 故这种型号的奖杯的表面积为. （2）因为1个这种型号的奖杯需要镀金的面积为 ， 所以100个这种型号的奖杯需要镀金的面积为. 因为为奖杯表面镀金所用的材料每可以涂， 所以为100个这种型号的奖杯镀金约需要材料. 1．（25-26高一下·北京·阶段检测）水晶是一种石英结晶体矿物，因其硬度、色泽、光学性质、稀缺性等，常被人们制作成饰品．如图所示，现有棱长为的正方体水晶一块，将其裁去八个相同的四面体，打磨成饰品，则该饰品的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】原正方体棱长为，裁去八个相同的四面体时，切割点应该为正方体各棱的中点， 每个面切掉四个角后，剩余一个边长为的小正方形， 则六个小正方形面的面积和为： 而切掉正方体的个顶点后，每个切口新增一个边长为的正三角形， 则八个正三角形面的面积和为， 所以该饰品的表面积为. 2．（24-25高一下·江苏苏州·月考）（多选）某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如果被截正方体的棱长为，则（   ） A．石凳是十四面体 B．石凳有24条棱 C．石凳的表面积为 D．石凳有24个顶点 【答案】AB 【分析】根据多面体的产生过程可得多面体的面数、棱数、顶点数判断ABD，再由三角形及正方形的面积计算多面体表面积判断C. 【详解】对于A，由题意知，截去的八个四面体是全等的正三棱锥，8个底面三角形，再加上6个小正方形，所以该几何体共有14个面，故A正确； 对于B，由题意知，该几何体有6个面为正方形，故该几何体的棱数为，故B正确； 对于C，被截正方体的棱长为，则多面体中正三角形边长为，正方形边长为，所以表面积，故C错误； 对于D，该几何体的顶点是正方体各棱的中点，正方体有12条棱，所以该几何体的顶点数为12，故D错误. 故选：AB. 3．（24-25高二上·上海静安·期中）如图所示，一种机器零件由两部分组成，下部分是实心的正六棱柱，上部分是实心的圆柱（尺寸单位：）电镀这种零件需要用锌，已知每平方米用锌0.11千克，则电镀10000个这种零件需要锌____千克.（结果精确到0.01）      【答案】 【分析】分别求出一个底面六棱柱的表面积以及上面圆柱的表面积，然后求出一个零件的表面积，利用每平方米用锌千克，求出所用锌的总数． 【详解】把六棱柱的底面分为六个全等的等边三角形， 每个等边三角形的面积为， 六棱柱的底面积为， 六棱柱的侧面积为， 六棱柱的表面积为， 圆柱的侧面积为， 圆柱的底面积和六棱柱的部分底面积重合 零件的表面积 电镀10000个零件需锌（千克）． 故答案为：. 4．（24-25高二上·上海·课堂例题）在正方体中，E、F、M分别为棱AD、AB、的中点，现从顶点A处截去三棱锥，仿此同样方式，在顶点B、C、D、、、、处各截去一个三棱锥，设剩下的几何体为， (1)几何体是几面体？共有多少条棱？（直接写出结论，不需要说明理由） (2)若正方体的棱长为2，求几何体的表面积． 【答案】(1)几何体是十四面体，几何体共有24条棱 (2) 【分析】（1）根据题意可知：几何体是由6个全等的正方形面和8个全等的三角形面构成，即可得结果； （2）根据题意结合（1）中结论分析求解. 【详解】（1）几何体是由6个全等的正方形面和8个全等的三角形面构成， 所以几何体是十四面体，几何体共有24条棱． （2）图形可知几何体的各条棱长均为，    6个全等的正方形面的总面积为； 8个全等的三角形面的总面积为． 所以几何体的表面积． 【经典例题九 求组合旋转体的表面积】 【例1】（24-25高一下·河北邯郸·期中）素面高足银杯（如图1）是唐代时期的一件文物．银杯主体可以近似看作半个球与圆柱的组合体（假设内壁光滑，杯壁厚度可忽略），如图2所示，已知球的半径为r，银杯内壁的表面积为，则球的半径与圆柱的高之比为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据球和圆柱的表面积公式，即可求解. 【详解】设圆柱的高为，则银杯内壁的表面积， 得. 故选：A 【例2】（25-26高一·江苏·课后作业）如图所示，△ABC的三边长分别是AC＝3，BC＝4，AB＝5，作CD⊥AB，垂足为点D.以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积. 【答案】. 【分析】通过计算可知AC⊥BC，根据旋转体的定义可知所得的旋转体是两个同底的圆锥，利用圆锥的侧面积公式计算可得结果. 【详解】在△ABC中，由AC＝3，BC＝4，AB＝5知，AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC. 所以CD＝，记为r＝， 那么△ABC以AB所在直线为轴旋转所得的旋转体是两个同底的圆锥，且底面半径r＝， 母线长分别是AC＝3，BC＝4， 所以所得旋转体的表面积为πr·(AC＋BC)＝π××(3＋4)＝π. 所以旋转体的表面积是π. 1．（2026·湖北襄阳·模拟预测）如图，圆锥的底面直径和高均是，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下的几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过圆锥的底面半径和高，可求出圆柱的高和底面半径，再结合圆锥的表面积与圆柱的侧面积可求得剩下几何体的表面积. 【详解】设圆柱的底面半径为，高为，则，， 圆锥的母线长为， 过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱， 则剩下的几何体的表面积为. 故选：B. 2．（2025·四川宜宾·二模）已知一个直角三角形的两条直角边分别为和，以它的斜边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周所围成的旋转体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断出旋转体为两个圆锥拼接在一起的几何体，再按照圆锥侧面积计算旋转体表面积即可. 【详解】 如图所示旋转体为两个圆锥拼接在一起的几何体，设直角三角形为，斜边为，过B作， 由题意知，三角形的斜边，斜边上的高，圆锥底面圆的半径为， 两个圆锥的母线长分别为和，故旋转体表面积为 . 故选：B. 3．（24-25高三上·上海松江·开学考试）正方体的棱长为2，为棱的中点，以为轴旋转一周，则得到的旋转体的表面积是______． 【答案】 【分析】先确定旋转体是母线且同底的两个圆锥构成的几何体，进而可得. 【详解】由题意知，为等腰三角形，且， 所以以为轴旋转一周，得到的旋转体是以为中心轴， 和分别为母线且同底的两个圆锥构成的几何体， 可得圆锥的底面半径为，所以旋转体的表面积． 故答案为：. 4．（24-25高二上·广东佛山·期中）已知梯形中，，，，，，在平面内，过点作，以为轴将梯形旋转一周，求旋转体的表面积. 【答案】 【分析】画出图形后，由，逐个计算求和即可得. 【详解】如题图所示，所得几何体为一个圆柱除去一个圆锥； 在直角梯形中，，， ，， 又， 故 . 【拓展训练一 几何图形的表面积计算】 【例1】（24-25高二·上海·课堂例题）侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a，则此棱锥的表面积是（    ） A．； B．； C．； D．都不对． 【答案】A 【分析】由已知，利用勾股定理先求出侧棱长，再利用三角形的面积公式，即可求出表面积. 【详解】 如图，由已知，两两垂直，且， 为等边三角形，， 在中， 所以， 所以此棱锥的表面积是 . 故选：A. 【例2】（24-25高一下·河南三门峡·期末）如图，S为圆锥顶点，O是圆锥底面圆的圆心，、为底面圆的两条直径，且，，P为的中点． (1)求证：平面； (2)求圆锥的表面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连结，先根据三角形中位线的性质得出；再根据线面平行的判定定理即可证明. （2）先根据题意得出圆锥的母线；再根据圆锥的性质得出底面圆的半径；最后根据圆锥的表面积公式即可求解. 【详解】（1）证明：连结.如下图示： 根据题意可知：、O分别为、的中点， . 又平面，平面， 平面． （2），P为的中点， ． 又S为圆锥顶点，O是圆锥底面圆的圆心， 根据圆锥的性质可得：平面，又平面， 所以， ， 圆锥的表面积． 1．（25-26高三上·河北沧州·月考）如图，在正六棱台中，，，四边形的面积为，则该正六棱台的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合图形先求出正六棱台的上底面边长，进而得到对角线长，利用四边形的面积求得棱台的高，再求出侧棱长，最后分别求出正棱台的侧面积和两底面面积，即得其表面积. 【详解】如图，在正六边形中，, 因 ，由，可得，故,又，则. 不妨记该棱台的高为，易知为梯形的高， 故，解得. 记点A在下底面的射影为M，则点在上， . 易知，则. 过A作，垂足为N，则， 于是， 故梯形的面积为， 于是该棱台的表面积为. 故选:D. 2．（24-25高二上·江西赣州·期中）（多选）在圆锥中，是底面圆的直径，，且圆锥外接球的表面积为，则该圆锥的侧面积可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据球的表面积求出球的半径，据此求出，再求出圆锥母线即可得解. 【详解】设球心为，球半径为，连接，，若在线段上，如图，    因为圆锥外接球的表面积为，则， 解得， 则，解得， 所以， 由可得， 即， 所以圆锥的侧面积， 若在线段的延长线上，如图，    同理，， 在中，, 即，解得， 所以， 所以， 所以圆锥的侧面积. 故选：AB 3．（25-26高二上·北京海淀·期中）已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的表面积为________． 【答案】 【分析】画出对应图形，利用棱锥结构特点可得圆柱的底面半径，利用勾股定理求出棱锥的高，再利用表面积公式求解即可得. 【详解】如图，四棱锥底面是边长为的正方形， 则四条侧棱的中点构成边长为的正方形， 圆柱的上底面是该正方形的外接圆，则圆柱底面的半径为， 又四棱锥的侧棱长为，则高为， 则圆柱的高为，故该圆柱的表面积为.    故答案为：. 4．（2025·全国·模拟预测）如图，在体积为的四棱柱中，底面是正方形，是边长为2的正三角形，与交于点．    (1)求证：平面平面． (2)求三棱柱的侧面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据体积求出四棱柱的高，易得平面，再由面面垂直的判定定理即可证明； （2）由（1）易得四边形是矩形且面积为4，过点作的垂线，垂足为，连接，则易知（三垂线定理），由勾股定理可得，代入平行四边形的面积公式即可求解. 【详解】（1）依题意， 设四棱柱的高为． 因为四棱柱的底面是正方形，且， 所以正方形的面积为2． 因为四棱柱的体积为，所以， 所以，即点到平面的距离为． 如图，连接．因为是边长为2的正三角形， 所以，即为点到平面的距离， 所以平面． 因为平面，所以． 在正方形中，． 因为，面，所以平面． 因为平面，所以平面平面．    （2）由（1）知平面． 因为平面，所以． 因为，所以．所以四边形是矩形． 又因为，，所以矩形的面积为4． 如图，过点作的垂线，垂足为，连接，则易知． 因为，，所以． 又因为，所以的面积为． 同理可得的面积为．所以三棱柱的侧面积为． 1．（24-25高一下·全国·课后作业）若正方体八个顶点中有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设正方体的棱长为，可求出正四面体的棱长，继而求得两种几何体的表面积即可. 【详解】正方体的棱长为，此时正四面体的棱长为， 则正方体的表面积为， 正四面体的表面积为， 两者之比为， 故选：A. 2．（2026·安徽合肥·三模）如图，半球O的半径为，从中挖去一内接圆柱，圆柱一个底面在半球面上，且轴截面为正方形，则剩余的几何体的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合球和圆柱的表面积公式求解. 【详解】如图，作半球O的轴截面，记半球半径为R，圆柱半径为r 由题意，圆柱的轴截面为正方形，所以圆柱的高为2r，则有，故 所以剩余几何体的表面积为. 3．（24-25高一下·广西柳州·期末）现有一块棱长为4的正四面体实心木料，用平行于该木料底面的一个平面将木料截成两部分，若这两部分的表面积相等，则该平面在木料上的截面面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出图形，设，分别求出四面体的表面积和三棱台的表面积，由这两部分的表面积相等，求出，即可求出截面面积. 【详解】如图正四面体，， ，令，截面， 由，得，即，则， ，四面体为正四面体， 四面体的表面积为：， 梯形的面积为，则三棱台的表面积为： ， 由，得，解得， 所以截面. 故选：D 4．（25-26高三·北京·二轮复习）已知圆台的上、下底面半径分别为2和4，且母线与下底面所成的角的正切值为2，则该圆台的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据圆台的轴截面得出圆台的高及母线，最后应用圆台的表面积公式计算求解. 【详解】依题意，圆台的上、下底面半径分别为2和4，则， 因为底角的正切值为2， 设圆台的高为，即该等腰梯形的高， 则母线， 所以圆台的表面积. 故选：D. 5．（24-25高二上·河北张家口·开学考试）如图，在直角坐标平面内，已知，以轴为旋转轴，将旋转一周，得一个旋转体，则此旋转体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用圆柱、圆锥的表面积公式计算即可. 【详解】依题意，，，， 该旋转体是底面圆半径为3，高为4的圆柱挖去底面半径为3，高为4的圆锥， 其表面积. 故选：D 6．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）（多选题）一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为的正方形和正三角形，则它们的表面积可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】，. 7．（24-25高一下·广东·期中）（多选）已知圆锥的底面半径，母线长，设该圆锥的侧面展开图为扇形AOB，O为扇形圆心，则（   ） A．扇形AOB的圆心角为 B．圆锥的高h为 C．圆锥的表面积为 D．从点绕圆锥侧面一周回到点的最短距离为 【答案】BCD 【分析】根据圆锥的几何结构特征，结合圆锥的侧面积公式，以及侧面展开图的应用，逐项求解，即可得到答案. 【详解】对于A中，设圆锥的侧面展开图所得扇形的圆心角为，可得， 即，解得，所以A错误； 对于B中，圆锥的高为，所以B正确； 对于C中，由圆锥的侧面积为，底面积为， 所以圆锥的表面积为，所以C正确； 对于D中，如图所示，圆锥的侧面展开图中，可得， 即从点绕圆锥侧面一周回到点的最短距离为，所以D正确. 故选：BCD. 8．（24-25高二下·浙江宁波·期末）（多选）棱长为1的正方体中，点是线段上的动点（包括端点），则（   ） A．三棱锥的体积为定值 B．点到平面的距离与点到点的距离之和的最小值为 C．当点与点重合时，四面体的外接球的表面积为 D．的正切值的取值范围是 【答案】ABD 【分析】对于A，证得平面即可判断；对于B，对立体图形进行展开形成平面图形即可求最小值；对于C，点与点重合时，四面体的外接球即为正方体的外接球，然后直接可求表面积；对于D，由题可得平面，得到 ，所以，然后可求范围. 【详解】过作交与，      对于A，在正方体中，， 又平面，平面， 所以平面，即点到平面的距离为定值， 故三棱锥的体积为定值，故A正确； 对于B，过作交与，则平面， 平面，平面， 把平面沿展开， 所以当时，距离之和取得最小值，    又， ， ， ，故B正确； 对于C，点与点重合时，四面体的外接球即为正方体的外接球， 所以此时外接球直角为体对角线，则表面积为； 对于D，在正方体中， 平面，又平面，所以， 所以， 又当时，取得最小值， 当与点或点重合时，取得最大值， ，故D正确； 故选：ABD. 9．（2025·河北雄安·三模）（多选）如图，多面体由正四棱锥和正四面体组合而成，其中，则（    ）    A．该几何体的表面积为 B．该几何体为七面体 C．二面角的余弦值为 D．存在球，使得该多面体的各个顶点都在球面上 【答案】AC 【分析】求出几何体的表面积判断A；利用二面角的平面角的余弦计算判断BC；利用正四棱锥、正四面体的外接球球心位置判断D. 【详解】依题意，正四棱锥和正四面体的所有棱长均为1， 对于A，该几何体的表面积为，A正确； 对于B，取中点，连接，由均为正三角形， 得，则分别是二面角和二面角的平面角， 且平面，平面，而平面与平面有公共点，因此四点共面， 又，， 而，于是， 则平面与为同一平面，同理，平面和平面也为同一平面， 所以该几何体为五面体，B错误；    对于C，由选项B知，二面角的余弦值为，C正确； 对于D，正四棱锥的外接球球心在过点垂直于平面的直线上， 正四面体的外接球球心在过点垂直于平面的直线上，而平面平面， 因此直线与直线不重合，显然，即点在球外，点在球外， 所以不存在球，使得该多面体的各个顶点都在球面上，D错误. 故选：AC 10．（24-25高一下·新疆乌鲁木齐·期末）（多选）如图，圆锥的底面半径为3，高为，过靠近的三等分点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则下列说法正确的是（    ） A．圆锥母线与底面所成的角为 B．圆锥的侧面积为 C．挖去圆柱的体积为 D．剩下几何体的表面积为 【答案】ACD 【分析】根据题意，利用勾股定理可求圆锥的母线长，挖去圆柱的半径和高，然后即可逐项求解. 【详解】 因为圆锥的底面半径为3，高为，所以母线长， 则，即圆锥母线与底面所成的角为，故A正确； 圆锥的侧面积，故B错误； 因为为的三等分点，所以， 则圆柱的体积为，故C正确； 圆柱的侧面积， 剩下几何体的表面积，故D正确； 故选：ACD. 11．（2026高一·全国·专题练习）正四棱柱的体对角线长是，全面积是，则满足这些条件的正四棱柱有_____个. 【答案】2 【分析】先设出棱长再根据题目所给条件列方程求解 【详解】设出正四棱柱的各个边长，根据题意列方程求解. 根据正四棱柱的定义，正四棱柱有两个正方形作为底面，侧棱和底面垂直的几何体， 如图所示. 设正方形边长为，侧棱长为，依题意得：， 两式相除并整理可得：，即， 当时，联立，解得； 当时，联立，解得. 于是共有个正四棱柱符合题意. 12．（25-26高一下·全国·课堂例题）若圆柱的侧面展开图是长、宽的矩形，则这个圆柱的体积为____________． 【答案】或 【分析】由题意知圆柱侧面展开图的矩形一边长为圆柱的底面圆的周长，另一边长为圆柱的高，分两种情况讨论即可. 【详解】设圆柱的底面半径为，高为， 则或， 解得或 当时，； 当时，． 故答案为：或 13．（25-26高一下·全国·课后作业）四棱台的上、下底面均为正方形，它们的边长分别为1，2，侧棱长为，则该四棱台的高为______，侧面积为______． 【答案】 【详解】设四棱台的上、下底面中心分别为，连接，，， 则四边形为直角梯形，为四棱台的高． ，，，， 又，． 在侧面中，，，， ∴斜高为，． 14．（25-26高一下·重庆渝北·期中）已知，，三点在球的球面上，，，，球心到平面的距离等于球半径的一半，则该球的表面积是______． 【答案】 【分析】设出球的半径，小圆半径，通过已知条件求出球的半径，再求球的表面积． 【详解】因为，则，可知的外接圆半径， 设该球的半径为，则，即，解得， 所以该球的表面积是. 15．（24-25高一下·山西太原·期中）“阿基米德多面体”又称“半正多面体”，与正多面体类似，它们都是凸多面体，每个面都是正多边形，并且所有棱长也都相等，但不同之处在于阿基米德多面体的每个面的形状不全相同．某些阿基米德多面体可由正多面体进行“截角”得到．如图，正八面体（每个面都是棱长相等的正三角形）的棱长为6，取各条棱的三等分点，从各棱的三等分点处截去六个角后可得到一个阿基米德多面体，则该多面体的表面积为__________．    【答案】 【分析】根据正八面体的几何性质，结合题意，利用正方形与正六边形的面积公式可得答案. 【详解】由图可知该多面体有24个顶点，36条棱， 正八面体的棱长为6，从各棱的三等分点处截得多面体， 则该多面体的棱长为2，且表面由6个正方形和8个正六边形组成， 故该多面体的表面积为， 故答案为：. 16．（24-25高三下·河南安阳·开学考试）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，，点E为AS的中点. (1)证明：平面SCD； (2)求四棱锥的表面积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取DS的中点P，连接EP，PC.可以通过证明EBCP为平行四边形证得线面平行；（2）由平面平面ABCD，可得平面ABCD，分别求得四棱锥的四个面的面积即可求出四棱锥的表面积. 【详解】（1）如图，取DS的中点P，连接EP，PC. 因为E，P分别为AS，DS的中点，所以，. 因为，，所以，， 所以四边形EBCP为平行四边形，所以， 因为平面SCD，平面SCD， 所以平面SCD. （2）如图，取AD的中点F，连接SF，CF，取CD的中点G，连接SG. 因为为等腰三角形， 所以. 因为平面平面ABCD，平面平面， 所以平面ABCD，. 由勾股定理得：，， ，， ，所以，所以， ，，， ，， 所以. 17．（25-26高一下·山东淄博·阶段检测）一个圆锥的底面半径为2，高为6，在圆锥内部有一个高为的内接圆柱. (1)求该圆锥的表面积； (2)用表示圆柱的轴截面面积；当为何值时，求最大值. 【答案】(1) (2)；当时， 【分析】（1）利用圆锥的侧面积公式，圆锥的底面积公式，圆锥的表面积公式求解； （2）设圆柱的底面半径为，利用三角形相似得到，解得，求出圆柱的轴截面面积，得到是的二次函数，利用二次函数的图象和性质求解. 【详解】（1）设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，则，， ， 则圆锥的侧面积为， 圆锥的底面积为， 则圆锥的表面积； （2）设圆柱的底面半径为，则由三角形相似得到，解得， 则圆柱的轴截面面积为， 对称轴为，当时，. 18．（25-26高一·全国·课后作业）如图所示的圆锥，顶点为O，底面半径是5cm，用一个与底面平行的平面截得一圆台，圆台的上底面半径为2.5cm，这个平面与母线OA交于点B，线段AB的长为10cm． (1)求圆台的侧面积； (2)把一根绳从线段AB的中点M开始沿着侧面绕到点A，求这根绳的最短长度； (3)在（2）的条件下，这根绳上的点和圆台上底面上的点的距离中，最短的距离是多少？ 【答案】(1)； (2)25cm； (3)2cm 【分析】（1）作出圆锥的轴截面和沿OA剪开的侧面展开图，求出大圆锥和小圆锥的母线长，用大圆锥侧面积减去小圆锥侧面积得圆台侧面积； （2）将绳长的最小值转化为求的长，只要求得侧面展开图的圆心角即可得到结果； （3）由侧面展开图可知，距离最短时，就是点O到直线的距离减OB的长 【详解】（1）作出圆锥的轴截面和沿OA剪开的侧面展开图，如图所示： 由圆台的下底面半径是5cm，上底面半径是2.5cm，AB的长是10cm，可得， ∴，所以圆台的侧面积； （2）由圆锥的底面周长可得侧面展开图的弧长为， 以为半径的圆周长为，所以刚好占了， 所以侧面展开图的圆心角为90°， 在直角三角形中，， 所以， 所以这根绳的最短长度为25cm； （3）由侧面展开图可知，当距离最短时，就是点O到直线的距离减OB的长，即，故最短的距离是2cm 19．（24-25高一下·河南洛阳·期中）已知圆锥的底面半径，高. (1)求此圆锥的表面积； (2)若圆锥在球内，求球的表面积的最小值； (3)若一个棱长为的正方体木块可以在这个圆锥内任意转动，求的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出母线长，再根据圆锥的表面积公式求解即可； （2）当球的表面积最小时，作出其轴截面，利用勾股定理求出球的半径，再根据球的表面积公式即可得解； （3）正方体的外接球在圆锥内，且与圆锥相切时最大，利用相似三角形求出正方体外接球的半径，即可得解. 【详解】（1）因为，所以母线长， 圆锥的底面圆面积为， 圆锥的侧面面积为， 则圆锥的表面积为； （2）当球的表面积最小时，其轴截面如图：    设球的半径为，在中，由勾股定理得，解得， 所以球表面积的最小值为； （3）正方体的外接球在圆锥内，且与圆锥相切时最大，      设球心为，球心在上，作于， 设球半径为，， 由得，，解得， 又，解得，即的最大值为. 20．（24-25高三上·河南·期中）如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，为棱上一点，且.    (1)求证：平面； (2)若，求绕直线旋转一周所得几何体的表面积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据线段的比例关系可得，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）作，垂足分别为，分析可知绕直线旋转一周所得几何体的表面积是两个底面半径均为，高均为2的圆锥的侧面积之和，运算求解即可. 【详解】（1）因为，则， 连接，因为， 则， 可得， 且平面平面， 所以平面. （2）因为四边形是等腰梯形，， 所以， 又因为，可知， 所以， 且，即， 在平面中，作，垂足分别为，    则，， 又因为，则，可得， 所以绕直线旋转一周所得几何体的表面积是两个底面半径均为，高均为的圆锥的侧面积之和， 故所得几何体的表面积为. 学科网（北京）股份有限公司 $