专题13.7 平面与平面的位置关系重难点题型讲义（3个知识点+9大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

该高中数学讲义通过表格对比、图形语言等工具系统梳理平面与平面位置关系的知识体系，涵盖位置关系、平行定理、垂直定理三大知识点，清晰呈现判定与性质的内在逻辑，突出面面平行与垂直的重难点联系。 讲义亮点在于9大题型分层设计，从基础判断到综合应用，如求二面角、由二面角求线线角等，培养空间观念与推理能力。拓展训练结合实际问题，自我检测助力分层提升，为教师精准教学和学生自主复习提供系统支持。

专题13.7 平面与平面的位置关系重难点题型专训 （3个知识点+9大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 判断面面平行 题型二 证明面面平行 题型三 面面平行证明线线平行 题型四 面面平行证明线面平行 题型五 证明面面垂直 题型六 面面垂直证线面垂直 题型七 求二面角 题型八 由二面角大小求线段长度或距离 题型九 由二面角大小求线线角或线面角 拓展训练一 面面平行、垂直相关求解 拓展训练二 二面角相关求值 知识点一： 两个平面的位置关系 位置关系 两平面平行 两平面相交 公共点 没有公共点 有无数个公共点(在一条直线上) 符号表示 α∥β α∩β＝l 图形表示 【即时训练】 1．（24-25高二上·吉林通化·期中）平面满足则与的位置关系为（    ） A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．以上都不对 2．（24-25高二上·上海杨浦·期中）若面，面，面，则平面与平面的位置关系_________. 知识点二： 平面与平面平行的定理 1、文字语言：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 (简记为“线面平行⇒面面平行”) 2、符号语言：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，且a∥α，b∥α⇒β∥α. 3、图形语言： 4、判定定理推论：如果一个平面内两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线， 则这两个平面1、文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 5、符号语言：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b. 6、图形语言： 7、平面与平面平行其他常用性质推论 （1）平行于同一个平面的两个平面平行. （2）垂直于同一条直线的两个平面平行. （3）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面. （4）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面. 平行． 【即时训练】 1．（24-25高一下·云南玉溪·期末）已知直线，平面，下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）如图，平面平面，所在的平面与，分别交于和，若，，，则__________. 知识点三： 平面与平面垂直 1、定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． 2、图形语言： 3、符号语言：α⊥β. 平面与平面垂直的判定定理 1、文字语言：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 2、图形语言： 3、符号语言： 平面与平面垂直的性质定理 1、文字语言：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线， 那么这条直线与另一个平面垂直 2、图形语言： 3、符号语言： 4、作用：①面面垂直⇒线面垂直；②作面的垂线 5、平面与平面垂直的其他性质 （1）如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，即 （2）如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面，即； （3）如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内，即； （4）如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面，即； （5）三个凉凉垂直的平面的交线也两两垂直，即 【即时训练】 1．（24-25高一下·全国·随堂练习）已知平面平面，点，则过点且垂直于平面的直线（    ） A．只有一条，不一定在平面内 B．有无数条，不一定在平面内 C．只有一条，一定在平面内 D．有无数条，一定在平面内 2．（25-26高三·全国·一轮复习）如图，在三棱锥中，已知，则平面与平面的位置关系为________． 【经典例题一 判断面面平行】 【例1】（24-25高一下·上海松江·期末）在下列判断两个平面与平行的四个命题中，其中假命题的是（    ） A．，都垂直于直线，那么 B．，都平行于平面，那么 C．，都垂直于平面，那么 D．如果，是两条异面直线，且，，，，那么 【例2】（24-25高三·全国·一轮复习）在如图所示的圆柱中，分别是下底面圆，上底面圆的直径，是圆柱的母线，为圆上一点，为上一点，且平面. 求证：. 1．（24-25高一下·江苏南京·期末）已知两个不重合的平面，，三条不重合的直线a，b，c，则下列四个命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．，，，，则 D．，，，则 2．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）平面内有不共线的三点到平面的距离相等且不为零，则与的位置关系为（    ） A．平行 B．相交 C．垂直 D．重合 3．（25-26高二上·上海·月考）下列命题中的假命题为__________. （1）没有公共点的两平面平行； （2）已知平面､，直线，若，且，则； （3）已知平面､，直线､，若，，且与不平行，，则与异面； （4）若一个平面上有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行. 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，在正方体中，为底面的中心，是的中点，设是上的点，问：当点在什么位置时，平面//平面？并说明理由． 【经典例题二 证明面面平行】 【例1】（25-26高一下·全国·课后作业）如图，已知立方体ABCD－A′B′C′D′，点E，F，G，H分别是棱AD，BB′，B′C′，DD′的中点，从中任取两点确定的直线中，与平面AB′D′平行的条数是（　　） A．0 B．2 C．4 D．6 【例2】（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在三棱锥中，，，分别是棱，，的中点．求证：平面平面． 1．（2025·湖北·模拟预测）在棱长为2的正方体中，点是的中点，点是侧面上的一个动点，满足平面，则线段长度的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江苏徐州·月考）（多选）如图是某正方体的平面展开图．关于这个正方体，以下判断正确的是（    ） A． B．平面ADE C．平面平面AFN D．是异面直线 3．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，分别为正方体对应棱的中点，则平面与平面的位置关系是________. 4．（25-26高三·北京·二轮复习）如图，正三角形和平行四边形在同一个平面内，AB，DE的中点分别为F，G.将沿直线AB翻折到，设CE的中点为H.求证：平面平面. 【经典例题三 面面平行证明线线平行】 【例1】（24-25高一下·山东泰安·月考）已知平面，点是外一点，过点的直线与分别交于点，过点的直线与分别交于点，且，则长（    ） A．6 B．6或30 C． D．6或 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，平面平面，，分别在，内，线段，，共点于，在平面和平面之间，若，，，，求的面积． 1．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·月考）在三棱柱中，点在棱上，且，点为的中点，点在棱上，若平面，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）已知平面平面是外一点，过点的直线与分别交于，过点的直线与分别交于且，，，则的长为（    ） A．16 B． C．24 D．20 3．（24-25高三·全国·一轮复习）已知平面平面平面，两条直线分别与平面相交于点和，若，则__________. 4．（24-25高一下·吉林松原·期中）如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，交于点，点是棱上的一点，且平面． (1)求证：点是的中点； (2)在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，请加以证明，并写出的值；若不存在，请说明理由． 【经典例题四 面面平行证明线面平行】 【例1】（24-25高二上·上海普陀·月考）过平面外一点，可以作这个平面的平行线的条数是（    ） A．1条 B．2条 C．超过2条但有限 D．无数条 【例2】（2025高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，，平面且，、分别是、的中点. 求证：平面. 1．（2025·陕西商洛·模拟预测）如图，正三棱柱的底面边长是2，侧棱长是，为的中点，是侧面内的动点，且平面，则点的轨迹的长度为（    ） A． B．2 C． D．4 2．（24-25高三上·甘肃白银·期中）如图所示，是棱长为的正方体，，分别是下底面的棱，的中点，是上底面的棱上的一点，，过点，，的平面交上底面于，点在上，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·浙江丽水·期中）四棱锥的底面为平行四边形，如图所示，点是棱上一点，，若且满足平面，则________． 4．（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，平面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中，为中点．线段上是否存在点，使得平面？ 【经典例题五 证明面面垂直】 【例1】（2025高一下·全国·专题练习）在空间四边形中，，那么必有（    ） A．平面⊥平面 B．平面⊥平面 C．平面⊥平面 D．平面⊥平面 【例2】（25-26高三·全国·一轮复习）如图，在正四棱锥中，已知侧棱长为4，底面边长等于2，是的中点．求证：平面平面． 1．（24-25高三·全国·一轮复习）如图所示，已知平面，，则图中互相垂直的平面共有（   ）对. A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2026·全国·模拟预测）（多选）如图（1），在矩形中，，是的中点，沿将折起，使点到达点的位置，并满足，如图（2），则（    ）    A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 3．（2025高一下·全国·专题练习）如图所示，在三棱锥中，若是的中点，则平面与平面的关系是________. 4．（2026高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，，，， ． (1)在平面内找一点，使得直线平面，并说明理由； (2)证明：平面平面． 【经典例题六 面面垂直证线面垂直】 【例1】（2025·全国·高考真题）点P在直二面角的棱上，C，D分别在内，且，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高三·全国·一轮复习）如图，已知三棱台，底面是以为直角顶点的等腰直角三角形，平面平面. 证明：平面； 1．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，已知平面平面是平面与平面的交线上的两个定点，，且，，在平面上有一个动点，使得，则的面积的最大值是（　　） A． B． C．12 D．24 2．（24-25高一下·全国·单元测试）（多选）设是直二面角，直线，直线，a，b与l都不垂直，那么下列说法错误的是（   ） A．a与b可能垂直，但不可能平行 B．a与b可能垂直，也可能平行 C．a与b不可能垂直，但可能平行 D．a与b不可能垂直，也不可能平行 3．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，在三棱锥内，侧面底面，且，，，，则______________，______________． 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在四棱锥中，四边形为矩形，，平面平面，且，点分别是棱的中点.求证：平面； 【经典例题七 求二面角】 【例1】（25-26高二上·北京昌平·月考）如图，已知棱长为2的正方体中，二面角的大小是（    ） A． B．45° C．60° D． 【例2】（2025高三·全国·专题练习）如图，在长方体中，，为的中点，求二面角的正切值. 1．（25-26高三上·河北·阶段检测）如图，在三棱锥，平面平面是边长为2的等边三角形，，则二面角的正切值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一·全国·课后作业）（多选）从空间一点P向二面角的两个面分别作垂线、，、为垂足．若，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·重庆九龙坡·二模）将边长为 2 的正方形 沿对角线 折起，使折起后 ，则二面角 的大小为_____. 4．（25-26高二上·海南儋州·月考）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，点为棱的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【经典例题八 由二面角大小求线段长度或距离】 【例1】（25-26高二上·北京·期中）将边长为1的正方形，沿对角线折成的二面角，则此时顶点到的距离是（   ） A．1 B． C． D． 【例2】（2025高三·全国·专题练习）如图所示，点为斜三棱柱的侧棱上一点，交于点，交于点． (1)求证：； (2)写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明． 1．（2025·北京昌平·二模）庑殿顶是中国传统建筑中的一种屋顶形式，其顶盖几何模型如图所示，底面是矩形，侧面由两个全等的等腰梯形和两个全等的等腰三角形组成．若，且四个侧面与底面的夹角的大小均相等，则（    ）． A． B． C． D． 2．（25-26高二·全国·寒假作业）把边长为的正沿高线AD折成60°的二面角，则点A到BC的距离是（    ） A．a B． C． D． 3．（25-26高一下·全国·期末）已知二面角为，动点，分别在平面，内，到的距离为，到的距离为，则，两点之间距离的最小值为____________，此时直线与平面所成的角为____________． 4．（2025高三·全国·专题练习）在三棱锥中，如图，为正三角形，点在平面上的射影是的垂心，又二面角的大小为，求的值． 【经典例题九 由二面角大小求线线角或线面角】 【例1】（24-25高二上·湖南岳阳·开学考试）已知平面与所成锐二面角的平面角为，P为空间内一定点，过点P作与平面所成的角都是的直线l，则这样的直线l有且仅有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【例2】（2025高三·全国·专题练习）如图，已知点分别是正方形中的中点，是的中点，沿对角线将正方形折成直二面角．求与所成的角． 1．（24-25高三上·浙江台州·月考）将正方形ABCD沿对角线AC折成一个直二面角，则异面直线AB和CD所成的角是 A．30° B．45° C．60° D．90° 2．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，二面角的大小是，线段，，与所成的角为，则AB与平面β所成的角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·上海·期中）点在锐二面角的平面上，点到平面的距离为3，点到棱的距离为，则此二面角的大小是_____． 4．（24-25高三上·重庆·月考）如图1，在平行四边形中，，，，将沿折起，使得点到点的位置，如图2，经过直线且与直线平行的平面为，平面平面，平面平面. (1)证明：. (2)若二面角的大小为，求的长. 【拓展训练一 面面平行、垂直相关求解】 【例1】（24-25高一下·浙江·月考）设m，n是不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列说法，其中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【例2】（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，在空间四边形中，，，，，分别是，，的中点．求证：平面平面． 1．（24-25高三下·湖北随州·月考）已知，表示直线，，，表示平面，则下列推理正确的是（    ） A．， B．，且 C．，，， D．，， 2．（25-26高一下·河北衡水·期中）（多选）已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 3．（2025·四川绵阳·模拟预测）在几何学的世界里，阿基米德体以其独特的形状和美丽的对称性吸引了无数数学爱好者和科学家，它是一种半正多面体，其中每个面都是正多边形，且各个面的边数不全相同.如图，棱长为2的半正多面体是将一个棱长为6的正四面体切掉4个顶点所在的小正四面体后所剩余的部分，已知A，B，C，D为该半正多面体的四个顶点，点P为其表面上的动点，且平面，则P点的轨迹长度为______. 4．（25-26高三·全国·一轮复习）如图 1，在平行四边形中，，，. 现将沿着翻折至， 使得点 到达点 的位置且平面平面 （如图 2），点是线段的中点，点在线段上.求证: 平面平面. 【拓展训练二 二面角相关求值】 【例1】（2025高三上·江苏无锡·专题练习）如图，点在二面角的棱上，分别在内引射线，使得,若，，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025·江西新余·模拟预测）如图，在三棱锥中，与均为边长为2的等边三角形. (1)若二面角的大小为，求. (2)设为平面内一点，平面，求证：. 1．（24-25高二上·上海·月考）下列关于二面角的平面角的说法，正确的是（     ）. A．两条边分别在二面角的两个面内的角 B．过二面角棱上一点且两边分别垂直于棱的角 C．二面角的两个面被一个垂直于棱的平面所截得的角 D．任一个平面去截二面角的两个面所得的角 2．（2025·河北沧州·模拟预测）（多选）如图设二面角的大小为，在平面内有一条射线，它和棱的夹角为，和平面所成的角为，射线在面内射影和棱的夹角为，则（   ）    A． B． C． D． 3．（25-26高二上·河南·月考）如图，函数的图象上有两点A，C关于原点O对称，点A的横坐标为，过点A，C分别作两坐标轴的垂线，得到矩形ABCD，矩形ABCD与x轴的交点分别记为．将该图沿x轴折叠，得到一个二面角，若二面角的大小为，则_______．    4．（2026·辽宁抚顺·二模）如图，在正方体中，E，F分别为，的中点. (1)证明：平面. (2)求二面角的正弦值. 1．（25-26高三下·贵州·阶段检测）已知 为三条不同的直线， 为两个不同的平面，则以下选项正确的是（    ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若，则 2．（25-26高一下·全国·课后作业）设a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列选项正确的为（ ）． A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，，则 D．若，，，则 3．（25-26高一下·陕西咸阳·期中）设有两条不同的直线、和两个不同的平面，，下列说法正确的是（   ） A．若，且，则 B．若，且，则 C．若，，则 D．若，，且，，则 4．（2026·江苏·二模）已知二面角的大小为，且为内异于的任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高三下·北京·开学考试）如图是一种帐篷示意图，帐顶采用“五脊四坡式”，四条斜脊的长度相等，一条正脊平行于底面，正脊与斜脊长度的比为，底面为矩形且长与宽之比为2∶1，若各斜坡面与底面所成二面角都相等，则该二面角的正切值为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·河南·二模）（多选）已知是三个不同的平面，是两条不同的直线，则下面说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 7．（25-26高一下·山西晋中·阶段检测）（多选）如图，平面α∥平面β，A，C是平面α内不同的两点，B，D是平面β内不同的两点，E，F分别是线段AB，CD的中点，则下列说法正确的是（  ） A．当AB，CD共面时，AC∥BD B．当AB∥CD时， C．当AB=2CD时，E，F两点不可能重合 D．当，CD是异面直线时，EF∥α 8．（2025·辽宁·模拟预测）（多选）已知直线、和平面、，且，，则下列四个选项中正确的有（　　） A．若，则过可作唯一平面与垂直 B．若与所成角为，则过可作唯一平面与垂直 C．若，则过可作唯一平面与垂直 D．若，则过可作唯一平面与平行 9．（2026·四川绵阳·二模）（多选）已知是两条不同直线，，，是三个不同的平面，则下列说法正确的有（   ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，，则 10．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）（多选）从空间中一点P向二面角的两个面，分别作垂线，，E，F为垂足，若，则二面角的大小可能是（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高一下·广东深圳·期中）已知是一条直线，，，是三个不同的平面，给出下列说法： ①若，且，则； ②若，且，则，且； ③若，，则． 其中正确的序号有______． 12．（25-26高一下·全国·课后作业）在如图所示的几何体中，三个侧面，，都是平行四边形，则平面与平面的位置关系是______________． 13．（25-26高一下·全国·课后作业）给出下列命题：①，，，；②，，；③，；④内的任一直线都平行于.其中正确的命题是________. 14．（24-25高三上·上海杨浦·开学考试）已知，，是不同的平面，l，m，n是不同的直线，下列命题中： （1）若，，，则； （2）若，，，则； （3）若，，，则且； （4）若，，，则， 所有真命题的序号是__________. 15．（24-25高一下·河南信阳·月考）在中，，，，点为中点，连接，将沿折起，使点到达点的位置，且平面平面，则二面角的余弦值为____________ ． 16．（25-26高三·全国·二轮复习）已知梯形中，，为上的一点且，，，将沿翻折使得二面角的平面角为，连接、，为棱的中点.求证：平面. 17．（25-26高三·全国·二轮复习）如图，在六面体中，侧面是直角梯形，，，底面是矩形，且.设，二面角的大小为，六面体的体积为.求证：平面. 18．（2026·安徽宿州·模拟预测）如图，在三棱柱中，侧面为菱形，， (1)求证：平面平面； (2)若，，，求异面直线与所成角的余弦值． 19．（25-26高三·全国·二轮复习）如图，在四棱锥中，底面为正方形，，平面平面．求证：平面； 20．（24-25高一下·山东威海·期末）如图，在三棱锥中，侧面是边长为的等边三角形，，、分别为、的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)若，二面角的大小为，求． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13.7 平面与平面的位置关系重难点题型专训 （3个知识点+9大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 判断面面平行 题型二 证明面面平行 题型三 面面平行证明线线平行 题型四 面面平行证明线面平行 题型五 证明面面垂直 题型六 面面垂直证线面垂直 题型七 求二面角 题型八 由二面角大小求线段长度或距离 题型九 由二面角大小求线线角或线面角 拓展训练一 面面平行、垂直相关求解 拓展训练二 二面角相关求值 知识点一： 两个平面的位置关系 位置关系 两平面平行 两平面相交 公共点 没有公共点 有无数个公共点(在一条直线上) 符号表示 α∥β α∩β＝l 图形表示 【即时训练】 1．（24-25高二上·吉林通化·期中）平面满足则与的位置关系为（    ） A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．以上都不对 【答案】C 【解析】根据平面与平面间的位置关系判断． 【详解】例如正方体的四个侧面都与底面垂直，它们之间有平行有相交． 故选：C． 2．（24-25高二上·上海杨浦·期中）若面，面，面，则平面与平面的位置关系_________. 【答案】相交 【分析】根据给定条件利用平面的基本事实直接判断即可. 【详解】因面，面，面，则面与面有公共点A，且不重合， 所以面与面的位置关系是相交. 故答案为：相交 知识点二： 平面与平面平行的定理 1、文字语言：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 (简记为“线面平行⇒面面平行”) 2、符号语言：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，且a∥α，b∥α⇒β∥α. 3、图形语言： 4、判定定理推论：如果一个平面内两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线， 则这两个平面1、文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 5、符号语言：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b. 6、图形语言： 7、平面与平面平行其他常用性质推论 （1）平行于同一个平面的两个平面平行. （2）垂直于同一条直线的两个平面平行. （3）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面. （4）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面. 平行． 【即时训练】 1．（24-25高一下·云南玉溪·期末）已知直线，平面，下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由面面平行的判定定理逐个判断即可. 【详解】对于A，若，平面可能平行也可能相交，错误； 对于B，，平面可能平行也可能相交，错误； 对于C，，平面可能平行也可能相交，错误； 对于D, ，面面平行的判定定理，正确， 故选：D 2．（2025高三·全国·专题练习）如图，平面平面，所在的平面与，分别交于和，若，，，则__________. 【答案】 【分析】由面面平行的性质定理得到，再利用相似比求AB的长度. 【详解】因为平面平面，由面面平行的性质定理得， 所以，所以，即，解得， 故答案为：. 知识点三： 平面与平面垂直 1、定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． 2、图形语言： 3、符号语言：α⊥β. 平面与平面垂直的判定定理 1、文字语言：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 2、图形语言： 3、符号语言： 平面与平面垂直的性质定理 1、文字语言：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线， 那么这条直线与另一个平面垂直 2、图形语言： 3、符号语言： 4、作用：①面面垂直⇒线面垂直；②作面的垂线 5、平面与平面垂直的其他性质 （1）如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，即 （2）如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面，即； （3）如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内，即； （4）如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面，即； （5）三个凉凉垂直的平面的交线也两两垂直，即 【即时训练】 1．（24-25高一下·全国·随堂练习）已知平面平面，点，则过点且垂直于平面的直线（    ） A．只有一条，不一定在平面内 B．有无数条，不一定在平面内 C．只有一条，一定在平面内 D．有无数条，一定在平面内 【答案】C 【分析】利用面面垂直的性质可得对应的结论. 【详解】根据面面垂线的性质定理可知，当平面垂直平面时， 过平面上一点且垂直于平面的直线，在平面内只有一条. 故选：C. 2．（25-26高三·全国·一轮复习）如图，在三棱锥中，已知，则平面与平面的位置关系为________． 【答案】平面平面 【分析】先根据线面垂直判定定理得出平面，再应用面面垂直判定定理证明面面垂直. 【详解】∵，平面，∴平面，平面， ∴. 又，∴，又平面，∴平面，平面， ∴平面平面 故答案为：平面平面. 【经典例题一 判断面面平行】 【例1】（24-25高一下·上海松江·期末）在下列判断两个平面与平行的四个命题中，其中假命题的是（    ） A．，都垂直于直线，那么 B．，都平行于平面，那么 C．，都垂直于平面，那么 D．如果，是两条异面直线，且，，，，那么 【答案】C 【分析】根据线面垂直的性质判断A；根据面面平行的概念判断B；根据特例判断C；根据线面平行，判断面面平行判断D. 【详解】根据垂直于同一条直线的两个平面互相平行，可知A正确； 根据平行于同一个平面的两个平面互相平行，可知B正确； 根据墙角模型可知，垂直于同一个平面的两个平面未必平行，故C错误； 作，且相交，则可确定平面， 因为，，所以， 同理，故，故D正确. 故选：C 【例2】（24-25高三·全国·一轮复习）在如图所示的圆柱中，分别是下底面圆，上底面圆的直径，是圆柱的母线，为圆上一点，为上一点，且平面. 求证：. 【答案】证明见解析 【分析】连接，，证得平面，进而证得平面平面，结合面面平行的性质，得到，得出是的中点，即可可证. 【详解】如图所示，连接，， 因为为母线，所以， 又因为平面，且平面，所以平面， 因为平面，且，平面， 所以平面平面． 又因为平面平面，平面平面，所以， 因为是的中点，所以是的中点，即． 1．（24-25高一下·江苏南京·期末）已知两个不重合的平面，，三条不重合的直线a，b，c，则下列四个命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．，，，，则 D．，，，则 【答案】D 【分析】根据线面平行的判定定理判断A，根据空间直线的位置关系判断B，根据面面平行的判定定理判断C，根据线面平行的性质定理判断D. 【详解】当，，时，不能推出，故A错误； 当，时，可能相交，也可能异面，不能推出，故B错误； 当，，，，若不相交，则推不出，故C错误； 当，，，由线面平行的性质定理知，故D正确. 故选：D 2．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）平面内有不共线的三点到平面的距离相等且不为零，则与的位置关系为（    ） A．平行 B．相交 C．垂直 D．重合 【答案】AB 【分析】考虑三个点与平面的位置关系结合面与面关系即可求解. 【详解】若三点分布于平面的同侧，则与平行， 若三点分布于平面的两侧，则与相交，不一定垂直， 因为距离不为零，故与不可能重合. 3．（25-26高二上·上海·月考）下列命题中的假命题为__________. （1）没有公共点的两平面平行； （2）已知平面､，直线，若，且，则； （3）已知平面､，直线､，若，，且与不平行，，则与异面； （4）若一个平面上有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行. 【答案】（2）（4） 【分析】由平面平行的概念、判定定理、性质定理逐个判断即可. 【详解】由面面平行概念可知（1）为真命题； 若直线，且，平面､可能相交或平行，即（2）为假命题； 由两平面平行可知，分别在两个平面内的直线没有交点，又与不平行，故与异面，（3）真命题； 若一个平面上有三个点到另一个平面的距离相等，这三个点可以分布在另一个平面的两侧，此时两平面相交，（4）假命题； 故答案为：（2），（4） 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，在正方体中，为底面的中心，是的中点，设是上的点，问：当点在什么位置时，平面//平面？并说明理由． 【答案】当为的中点时，平面//平面．理由见解析 【详解】当为的中点时，平面平面．理由如下： 为的中点，为的中点，连接， 易证四边形是平行四边形，则． 平面，平面． 平面． 分别为的中点， ，同理可得平面，又， ∴平面平面． 反之，当不为的中点时，设为中点，则平面平面， 而平面与平面相交，即平面与平面相交，矛盾. 综上，为的中点时，平面平面. 【经典例题二 证明面面平行】 【例1】（25-26高一下·全国·课后作业）如图，已知立方体ABCD－A′B′C′D′，点E，F，G，H分别是棱AD，BB′，B′C′，DD′的中点，从中任取两点确定的直线中，与平面AB′D′平行的条数是（　　） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【分析】先证明平面EFGH平面AB′D′进而得到从E，F，G，H中任取两点确定的直线中，与平面AB′D′平行的条数. 【详解】连接EG，EH，EF，FG，GH，FH， ∵EHFG且EH＝FG，∴四边形EFGH为平行四边形，∴E，F，G，H四点共面． 由EGAB′，AB′⊂平面AB′D′，平面AB′D′，可得EG平面AB′D′； EHAD′，AD′⊂平面AB′D′，平面AB′D′，可得EH平面AB′D′， 又EG∩EH＝E，可得平面EFGH平面AB′D′. 故平面EFGH内的每条直线都符合条件，从E，F，G，H中任取两点确定的直线中， 与平面AB′D′平行的条数是6． 故选：D． 【例2】（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在三棱锥中，，，分别是棱，，的中点．求证：平面平面． 【答案】证明见解析 【分析】利用面面平行的判定定理可得答案. 【详解】，分别是棱，的中点， 是的中位线，． 平面，平面， 平面． 同理可得平面． 又，平面，平面， ∴平面平面． 1．（2025·湖北·模拟预测）在棱长为2的正方体中，点是的中点，点是侧面上的一个动点，满足平面，则线段长度的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点的中点的中点F，连接和，可证面面，故动点在面内的轨迹为，结合几何关系即可求出线段长度的最大值. 【详解】取的中点的中点的中点F，连接和，    由分别为的中点，知，同理可知：,，有， 又由,面且平面，所以平面， 同理可知，平面. 因为,平面平面，所以平面平面， 而平面，故动点在平面内的轨迹为， 由可知，， 所以，即，所以线段的最大值为. 故选：A. 2．（24-25高一下·江苏徐州·月考）（多选）如图是某正方体的平面展开图．关于这个正方体，以下判断正确的是（    ） A． B．平面ADE C．平面平面AFN D．是异面直线 【答案】BCD 【分析】将展开图还原成正方体，根据线面平行以及面面平行的判定逐一判定即可. 【详解】将给定的平面图形还原成正方体，如图， 对于A，CN与DE是异面直线，而不是平行关系，在正方体中，CN与DE既不相交也不平行，A错误； 对于B，在正方体中，，平面ADE，平面ADE，则平面ADE，B正确； 对于C，在正方体中，，，平面BDM，平面BDM， 则平面BDM，同理平面BDM，而平面，则平面平面AFN，C正确； 对于D，在正方体中，DM与BF既不相交也不平行，满足异面直线的定义，DM，BF是异面直线，D正确． 故选：BCD 3．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，分别为正方体对应棱的中点，则平面与平面的位置关系是________. 【答案】平行 【分析】根据面面平行的判定定理判断即可. 【详解】如图，分别取，，的中点，，，连接. 在正方体中，易知，. 因为，为中点，所以，，同理，， 所以，. 同理，，，，， 则平面与平面为同一平面. 因为，，且与相交，平面，与相交，，平面， 所以平面平面，即平面平面. 4．（25-26高三·北京·二轮复习）如图，正三角形和平行四边形在同一个平面内，AB，DE的中点分别为F，G.将沿直线AB翻折到，设CE的中点为H.求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【详解】因为四边形为平行四边形，F、G分别为的中点， 所以四边形为平行四边形，所以. 因为平面，平面，所以平面， 又H、G分别为的中点，所以. 平面，平面，所以平面， 因为FD、平面，， 所以平面平面. 【经典例题三 面面平行证明线线平行】 【例1】（24-25高一下·山东泰安·月考）已知平面，点是外一点，过点的直线与分别交于点，过点的直线与分别交于点，且，则长（    ） A．6 B．6或30 C． D．6或 【答案】B 【分析】根据面面平行的性质定理得到线线平行，再分点在平面的同侧和点在平面之间两种情况，利用相似三角形的性质求出的长. 【详解】当点位于平面同侧时， 如图（1），则， ∴， ∴； 当点位于平面之间时， 如图（2），， ∴， ∴. 故选：B. 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，平面平面，，分别在，内，线段，，共点于，在平面和平面之间，若，，，，求的面积． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用面面平行的性质证得线线平行，进而证得三角形相似，再利用相似三角形性质求出面积. 【详解】由，则，确定的平面与平面，平面的交线分别为，， 而平面平面，则有，，同理，， 因此，它们的面积之比为，又的面积为， 所以的面积为. 1．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·月考）在三棱柱中，点在棱上，且，点为的中点，点在棱上，若平面，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据已知条件及线面平行的判定定理，利用面面平行的判定定理和性质定理，结合平行四边形的性质即可得结论. 【详解】依题意，作出图形如图所示 设为的中点，因为为的中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 连接，又因为平面，，平面， 所以平面平面， 又平面平面，平面， 所以，又，所以四边形是平行四边形， 所以，所以，又， 所以，所以，所以. 故选：B. 2．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）已知平面平面是外一点，过点的直线与分别交于，过点的直线与分别交于且，，，则的长为（    ） A．16 B． C．24 D．20 【答案】BC 【分析】由点在平面与平面的同侧时和点在平面与平面之间时进行求解． 【详解】连接，，当点在的延长线上，即点在平面与平面的同侧时，如图（1） 由平面平面，平面平面，平面平面， 得，则， 由，，，得，所以； 当点在线段上，即点在平面与平面之间时，如图（2）， 同理得，而，，， 则，解得，因此. 所以的长为或24． 3．（24-25高三·全国·一轮复习）已知平面平面平面，两条直线分别与平面相交于点和，若，则__________. 【答案】15 【分析】根据面面平行的性质可以得到线线平行，从而利用平行线分线段成比例即可求解. 【详解】如图，连接与平面交于点，连接， 因为，且平面平面，平面平面， 所以所以， 同理可得，所以， ，由，得， 又， . 故答案为：. 4．（24-25高一下·吉林松原·期中）如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，交于点，点是棱上的一点，且平面． (1)求证：点是的中点； (2)在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，请加以证明，并写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)点为棱BC的中点时，平面平面， 【分析】（1）根据线面平行的性质定理证得，再根据四边形是平行四边形得点是的中点，从而得结论； （2）若平面平面，根据面面平行的性质定理，得线面平面，再由线面平行的性质定理得，从而可确定点在棱上的位置. 【详解】（1）因为平面，平面平面， 又平面，所以， 因为四边形是平行四边形， 所以点是的中点，则点是的中点； （2）当点为棱BC的中点时，平面平面，理由如下： 若平面平面，由于平面， 所以平面， 又平面平面， 则，又点是的中点，所以点是的中点， 故点为棱BC的中点时，平面平面，则. 【经典例题四 面面平行证明线面平行】 【例1】（24-25高二上·上海普陀·月考）过平面外一点，可以作这个平面的平行线的条数是（    ） A．1条 B．2条 C．超过2条但有限 D．无数条 【答案】D 【分析】结合平面的基本性质，以及线，面平行判定定理和性质定理，即可得到结论. 【详解】如图所示，因为点，在平面作两条相交直线， 由直线与点可以确定一个平面，在平面内过点作， 由直线与点可以确定一个平面，在平面内过点作， 因为且，设直线与确定平面，则平面， 在平面内过点的所有直线都平行与平面， 故过平面外一点能作出无数条直线和这个平面平行. 故选：D.    【例2】（2025高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，，平面且，、分别是、的中点. 求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】取中点，连接，证明出平面平面，再利用面面平行的性质可证得结论成立. 【详解】如图，取中点，连接， 分别为的中点，， 平面，平面，平面， 且，四边形为平行四边形，且， 分别为的中点，且， 四边形为平行四边形，， 面，面，面， ，平面，面面， 平面，平面． 1．（2025·陕西商洛·模拟预测）如图，正三棱柱的底面边长是2，侧棱长是，为的中点，是侧面内的动点，且平面，则点的轨迹的长度为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】取的中点，取的中点，连接，证明平面，再根据面面平行的性质可得的轨迹为线段，即可得解. 【详解】如图， 取的中点，取的中点，连接，则， 又面，面，所以平面， 又为的中点，所以， 又面，面，所以平面， 又，面，面，所以平面平面， 又因为是侧面上一点，且平面， 所以的轨迹为线段， ， 所以点的轨迹的长度为. 故选：B. 2．（24-25高三上·甘肃白银·期中）如图所示，是棱长为的正方体，，分别是下底面的棱，的中点，是上底面的棱上的一点，，过点，，的平面交上底面于，点在上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用已知条件中的平行关系去证明∥，从而根据相似可计算，再计算即可. 【详解】在正方体中， 因为平面∥平面，且平面， 所以∥平面， 因为平面平面，平面， 所以， 又，分别是，的中点，所以∥， 又∥，由平行的传递性可知∥， 因为，所以 所以， 故在直角三角形中，. 故选：C. 3．（25-26高一下·浙江丽水·期中）四棱锥的底面为平行四边形，如图所示，点是棱上一点，，若且满足平面，则________． 【答案】/0.5 【分析】连接BD，交AC于点O，连接OE，利用中位线性质和线面平行的判定证明平面ACE，结合平面ACE，则证明平面平面ACE，再利用面面平行的性质则有，即可得到答案. 【详解】如图，连接BD，交AC于点O，连接OE， 由四边形是平行四边形，得， 在线段PE上取点G，使得，由，得， 连接BG，FG，则，由平面，平面， 得平面，而平面，，平面， 因此平面平面，又平面平面，平面平面， 则，所以. 4．（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，平面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中，为中点．线段上是否存在点，使得平面？ 【答案】存在 【分析】取中点，连接，连接，连接，借助面面平行的判定定理得平面平面，再利用面面平行的性质定理得平面，即得答案. 【详解】存在，为中点，证明如下： 取中点，连接，连接，连接， 因为为中点， 则是的中位线，， 因为平面，平面，所以平面， 因为 所以是直角梯形的高，， 因为平面，平面，所以平平面， 因为，平面， 所以平面平面， 因为平面， 所以平面． 【经典例题五 证明面面垂直】 【例1】（2025高一下·全国·专题练习）在空间四边形中，，那么必有（    ） A．平面⊥平面 B．平面⊥平面 C．平面⊥平面 D．平面⊥平面 【答案】C 【分析】由面面垂直的判定定理判断． 【详解】在空间四边形中，, 又由,且面，平面，平面， 所以平面， 又因为平面, 所以平面⊥平面， 故选：C. 【例2】（25-26高三·全国·一轮复习）如图，在正四棱锥中，已知侧棱长为4，底面边长等于2，是的中点．求证：平面平面． 【答案】证明见解析 【分析】根据线面垂直得出，再应用线面垂直判定定理得出线面垂直，最后面面垂直判定定理证明即可． 【详解】证明：在正四棱锥中，连接，交于点，连接， 因为四棱锥为正四棱锥，所以平面， 因为平面，所以． 又，，平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面． 1．（24-25高三·全国·一轮复习）如图所示，已知平面，，则图中互相垂直的平面共有（   ）对. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用面面垂直的判定定理，找到线面垂直，进而证明出面面垂直，统计对数即可. 【详解】∵平面，且平面和平面， ∴平面平面，平面平面， ∵平面，平面，∴， 又∵，，∴平面， ∵平面，∴平面平面. 故选：C. 2．（2026·全国·模拟预测）（多选）如图（1），在矩形中，，是的中点，沿将折起，使点到达点的位置，并满足，如图（2），则（    ）    A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】ABD 【分析】首先证明平面，即可判断A、B，在平面图形中取的中点，连接，交于点，即可得到，连接，即可得到为二面角的平面角，利用勾股定理逆定理得到，从而得到平面平面，即可判断C、D. 【详解】因为，且，平面，所以平面． 又平面平面，所以平面平面，平面平面，故A，B正确． 如图（1），取的中点，连接，交于点，则和均为等腰直角三角形， 所以，所以，即， 如图（2），连接，因为，，所以为二面角的平面角． 设，则，在中，，为的中点，故． 所以，所以， 所以平面平面，则平面与平面不垂直，故C错误，D正确． 故选：ABD．    3．（2025高一下·全国·专题练习）如图所示，在三棱锥中，若是的中点，则平面与平面的关系是________. 【答案】垂直 【分析】先证明平面，再由面面垂直的判定定理求解. 【详解】因为是的中点， 所以由等腰三角形三线合一可知， 又，平面，平面， ∴平面. 又平面， ∴平面平面. 故答案为：垂直. 4．（2026高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，，，， ． (1)在平面内找一点，使得直线平面，并说明理由； (2)证明：平面平面． 【答案】(1)棱AD的中点，理由见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先证明线线平行，再利用线面平行的判定定理证明线面平行； （2）先由线面垂直得到线线垂直，再利用线面垂直的判定定理得到BD⊥平面PAB，最后利用面面垂直的判定定理证明面面垂直. 【详解】（1）取棱的中点（平面），点即为所求的一个点. 理由如下： 因为，，所以， 且. 所以四边形是平行四边形，从而. 又平面，平面， 所以平面. （2）由已知，，，平面， 因为，，所以直线与相交， 所以平面. 平面，从而. 因为，， 所以，且. 所以四边形是平行四边形. 所以，所以. 又，平面，所以平面. 又平面， 所以平面⊥平面. 【经典例题六 面面垂直证线面垂直】 【例1】（2025·全国·高考真题）点P在直二面角的棱上，C，D分别在内，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，过C作AB的垂线，垂足为Q，结合全等三角形、勾股定理及面面垂直的性质可得，进而得到为等边三角形，即可求解. 【详解】设，过C作AB的垂线，垂足为Q，即， 因为，则，则， 因为，，，所以， 又，所以， 所以，则为等边三角形，则. 故选：C. 【例2】（24-25高三·全国·一轮复习）如图，已知三棱台，底面是以为直角顶点的等腰直角三角形，平面平面. 证明：平面； 【答案】证明见解析 【分析】利用面面垂直的性质推理即得. 【详解】在三棱台中，平面平面，， 而平面平面，平面， 所以平面. 1．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，已知平面平面是平面与平面的交线上的两个定点，，且，，在平面上有一个动点，使得，则的面积的最大值是（　　） A． B． C．12 D．24 【答案】C 【分析】题设条件知两个直角三角形与是相似的直角三角形，根据题设条件可得出，作，垂足为，令，将三角形的面积用t表示出来，再研究面积的最值选出正确选项. 【详解】由题意平面平面，、是平面与平面的交线上的两个定点， ，且， 与是直角三角形， 又，， 又，， 作，垂足为M， 令， 在两个与中，是公共边及 ， 解得， 所以， 即， ， 当且仅当时等号成立，此时点在点的左侧，且的长度为2， 所以三角形面积的最大值为12， 故选：C 2．（24-25高一下·全国·单元测试）（多选）设是直二面角，直线，直线，a，b与l都不垂直，那么下列说法错误的是（   ） A．a与b可能垂直，但不可能平行 B．a与b可能垂直，也可能平行 C．a与b不可能垂直，但可能平行 D．a与b不可能垂直，也不可能平行 【答案】ABD 【分析】由线线平行及面面垂直的性质定理进行判断即可． 【详解】由题意，当，时，，故A，D错误； 若，因为b与l不垂直，在b上取点A，过A作． 由面面垂直的性质定理得， 因为，所以．又，，， 所以，这和a与l不垂直相矛盾，所以不可能有．故B错误． 故选：ABD 3．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，在三棱锥内，侧面底面，且，，，，则______________，______________． 【答案】 【分析】利用面面垂直的性质定理得到线面垂直，利用线面垂直的定义得到线线垂直，利用勾股定理求出长度，从而得解. 【详解】∵侧面底面，交线为，（即），侧面， 平面，又平面， ， ， ． 故答案为：；. 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在四棱锥中，四边形为矩形，，平面平面，且，点分别是棱的中点.求证：平面； 【答案】证明见解析 【分析】利用线面垂直的判定定理进行证明即可. 【详解】在矩形中，，且是的中点， ，故， 又，则，即， 如图，记，连接， 因是矩形，故是的中点，又，所以， 又平面平面，平面平面平面，故平面， 又平面，所以， 又平面，所以平面. 【经典例题七 求二面角】 【例1】（25-26高二上·北京昌平·月考）如图，已知棱长为2的正方体中，二面角的大小是（    ） A． B．45° C．60° D． 【答案】B 【分析】找到二面角的平面角为，即可得到答案； 【详解】由平面，平面，所以， 又，可知为二面角的平面角， 因为为正方形，所以， 所以二面角的大小是. 故选：B 【例2】（2025高三·全国·专题练习）如图，在长方体中，，为的中点，求二面角的正切值. 【答案】 【分析】过作于，过作于，连结，根据三垂线定理或空间中垂直关系的转化可证为二面角的平面角，据此可求二面角的正切值. 【详解】过作于，则，且为中点， ∵是长方体，故平面， ∴平面，过作于，连结，则（三垂线定理） 我们也可以通过空间垂直的转化证明如下： 证明：因为平面，而平面，故， 而，平面，故平面， 而平面，故. 故为二面角的平面角. ∵，故，∴ ， 而，在中，， ∴所求二面角的正切值为. 1．（25-26高三上·河北·阶段检测）如图，在三棱锥，平面平面是边长为2的等边三角形，，则二面角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取中点，连接，作于点，证明是二面角的平面角，然后在直角三角形中计算其正切值. 【详解】取中点，连接，由题意得，作于点，连接， 因为平面平面，平面， 所以平面， 而平面，所以，同理， 又，平面， 所以平面，因为平面，所以， 所以是二面角的平面角， 由已知得，，， 所以， 故选：B. 2．（25-26高一·全国·课后作业）（多选）从空间一点P向二面角的两个面分别作垂线、，、为垂足．若，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】依题意可得就是两个平面和的法向量的夹角，然后利用二面角的平面角和法向量的夹角的关系确定即可． 【详解】解：就是两个平面和的法向量的夹角， 它与二面角的平面角相等或互补， 故二面角的平面角的大小为或． 故选：BD． 3．（2026·重庆九龙坡·二模）将边长为 2 的正方形 沿对角线 折起，使折起后 ，则二面角 的大小为_____. 【答案】 【详解】如图，取中点，连接，则，，所以是所求二面角的平面角， 因为，， 在中，由余弦定理得， 所以，即二面角的大小为. 4．（25-26高二上·海南儋州·月考）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，点为棱的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)0 【分析】（1）连接交于，连接，根据线面平行的判定定理即可证明；（2）由底面可得，进而得到平面，然后得到平面，最后由面面垂直的判定定理即可求解. 【详解】（1）如图，连接交于，连接，则为的中点， 又点为棱的中点，所以，因为平面，平面，所以平面； （2）依题意，底面，底面，所以； 又，，平面，所以平面； 又平面，所以； 因为，点为棱的中点，所以； 又，，平面，所以平面； 又平面，所以平面平面； 所以平面与平面夹角为，即平面与平面夹角的余弦值为0. 【经典例题八 由二面角大小求线段长度或距离】 【例1】（25-26高二上·北京·期中）将边长为1的正方形，沿对角线折成的二面角，则此时顶点到的距离是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二面角的几何定义可得为二面角的平面角，进而根据三角形的边角关系求解. 【详解】取中点，连接, 则有， 则为二面角的平面角， 即，则为等边三角形， 故, 过作， 由于，故, 因此， 故, 故选：B 【例2】（2025高三·全国·专题练习）如图所示，点为斜三棱柱的侧棱上一点，交于点，交于点． (1)求证：； (2)写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）由线面垂直来证明线线的垂直; （2）由余弦定理可得到三个侧面面积与一个二面角的关系，进而即得. 【详解】（1）因为，，平面， 所以平面，又平面， 故，又因为， 所以. （2），，面积分别，，， 二面角，，大小分别为，，， 则； ； ． 证明: 如图，由余弦定理得， 所以有， 即. 同理可证， 1．（2025·北京昌平·二模）庑殿顶是中国传统建筑中的一种屋顶形式，其顶盖几何模型如图所示，底面是矩形，侧面由两个全等的等腰梯形和两个全等的等腰三角形组成．若，且四个侧面与底面的夹角的大小均相等，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】取的中点，连接， 过点作面于点，过点作面于点，作于点，连接， 因为底面是矩形，所以， 又因为面，面，所以面， 又因为面，面面， 所以， 因为面，面都与底面所成的角相等， 所以点在直线上，且，， 因为侧面由两个全等的等腰梯形和两个全等的等腰三角形组成， 所以，， 所以为面与面所成的角， 面，面，所以， 又因为，，平面， 所以平面，又平面， 所以，所以为面与面所成的角， 所以，又为公共边， 所以，所以，同理， 所以. 故选：B. 2．（25-26高二·全国·寒假作业）把边长为的正沿高线AD折成60°的二面角，则点A到BC的距离是（    ） A．a B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件可得，设B翻折后，到处，则，即可求出各个长度，取中点E，连接AE，则AE即为所求，根据勾股定理，即可求得答案. 【详解】因为AD为正的高线， 所以， 设B翻折后，到处，如图所示，    所以即为二面角所成的平面角，即， 因为， 所以为等边三角形，即， 因为，所以为等腰三角形， 取中点E，连接AE，则， 在中，， 所以点A到BC的距离是.    故选：D 3．（25-26高一下·全国·期末）已知二面角为，动点，分别在平面，内，到的距离为，到的距离为，则，两点之间距离的最小值为____________，此时直线与平面所成的角为____________． 【答案】 / 【分析】分别作，，连接PC，，，连接BD，再利用勾股定理得到PQ的值，放缩后并验证最小值成立的条件即可，且根据此时空间的位置关系可直接得到直线与平面所成角的大小． 【详解】如图，分别作，，连接PC，，，连接BD， 则，因为，所以， 当点与点重合时，取最小值，又此时成立， 所以、两点之间距离的最小值是， 由于此时点与点重合，且，也即，所以PQ与平面所成的角为． 故答案为：；． 4．（2025高三·全国·专题练习）在三棱锥中，如图，为正三角形，点在平面上的射影是的垂心，又二面角的大小为，求的值． 【答案】 【分析】设在的射影为，延长交于点E，连结，通过线面关系证明可得三棱锥是正三棱锥，为二面角的平面角，则，在中，利用三角函数得解. 【详解】设在的射影为，延长交于点E， 连结， 由点A在侧面上的射影H是的垂心，即，面， 而面，所以，面， 所以面，面，所以， 又面，而面，所以， 面， 所以面，面，则，， 因为为正三角形，所以为中点，则， 同理可得，所以三棱锥是正三棱锥， 所以，得，则， 所以为二面角的平面角为， 设，则（面）中， ，则， 在中，， 化简可得. 【经典例题九 由二面角大小求线线角或线面角】 【例1】（24-25高二上·湖南岳阳·开学考试）已知平面与所成锐二面角的平面角为，P为空间内一定点，过点P作与平面所成的角都是的直线l，则这样的直线l有且仅有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】根据题意画出平面α与β及其垂直之间的位置关系，再由对称性和角的大小即可求得直线条数. 【详解】如下图所示：    设过点P与平面与垂直的直线为，故直线所成角为， 又因为直线与平面，所成的角都是，故直线与直线所成角为， 又因为，利用对称性可知在直线所成角为一侧有两条直线符合题意； 易知，即在的一侧只有一条直线符合题意； 故这样的直线有3条， 故选：C 【例2】（2025高三·全国·专题练习）如图，已知点分别是正方形中的中点，是的中点，沿对角线将正方形折成直二面角．求与所成的角． 【答案】 【分析】先由异面直线所成的角的定义，找到所求角，根据翻折前后的变化，得到所求角就是一个正三角形的内角. 【详解】如图，因为，所以为二面角的平面角， 因为沿对角线将正方形折成直二面角， 所以， 因为为正方形折前的位置，所以，， 所以，得，所以为正三角形， 所以， 又因为∥，所以或其补角为与所成的角， 因为 所以与所成的角为. 1．（24-25高三上·浙江台州·月考）将正方形ABCD沿对角线AC折成一个直二面角，则异面直线AB和CD所成的角是 A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】C 【详解】 如图，取中点，连接，则有，则就是异面直线和所成角．设正方形边长为1，因为二面角为直二面角且，所以是等腰直角三角形，从而可得．而，所以，则是等边三角形，从而可得，故选C 2．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，二面角的大小是，线段，，与所成的角为，则AB与平面β所成的角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出辅助线，找到二面角的平面角，AB与l所成的角及AB与β所成的角，利用求出答案. 【详解】如图，作AO⊥β于O，AC⊥l于C，连接OB，OC， 因为，所以⊥， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 则为二面角的平面角，即， 为AB与l所成的角，， 设AB与所成的角为θ，则. 由图得. 故选：B 3．（25-26高二上·上海·期中）点在锐二面角的平面上，点到平面的距离为3，点到棱的距离为，则此二面角的大小是_____． 【答案】 【分析】过点作，，垂足分别为，，连接，可证明，可得是锐二面角的平面角，进而求解即可. 【详解】如图，过点作，，垂足分别为，，连接， 因为，所以，而平面， 所以平面，而平面，所以， 所以是锐二面角的平面角， 在直角三角形中，，则. 故答案为：. 4．（24-25高三上·重庆·月考）如图1，在平行四边形中，，，，将沿折起，使得点到点的位置，如图2，经过直线且与直线平行的平面为，平面平面，平面平面. (1)证明：. (2)若二面角的大小为，求的长. 【答案】(1)证明详见解析 (2) 【分析】（1）根据线面平行的性质定理、平行直线等知识来证得. （2）作出二面角的平面角，求得，解直角三角形求得. 【详解】（1）由于，平面，平面平面，所以， 由于，平面，平面平面，所以， 所以. （2）折叠前，四边形是平行四边形，，所以， 折叠后， 过作，则四边形是矩形，所以， 所以是二面角的平面角，所以， 由于，所以三角形是等边三角形，所以， 由于平面，所以平面， 而，所以平面， 由于平面，所以，， 所以. 【拓展训练一 面面平行、垂直相关求解】 【例1】（24-25高一下·浙江·月考）设m，n是不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列说法，其中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】B 【分析】由空间中直线与直线、直线与平面以及平面与平面位置关系的判定定理和性质逐一判断即可． 【详解】对于A，由，，则或，故A错误； 对于B，由，则存在直线使得， 因为，所以，则，故B正确； 对于C，由，，则或相交，故C错误； 对于D，，，，则或异面，故D错误. 故选：B. 【例2】（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，在空间四边形中，，，，，分别是，，的中点．求证：平面平面． 【答案】证明见解析 【分析】连接，．由题意可证四边形为菱形，进而可得，又可得，进而可得平面，可证结论. 【详解】连接，．，，分别是，，的中点，且， ，且， ∴四边形为菱形，， 又，，， 又，．又，，平面， 平面，又平面， ∴平面平面． 1．（24-25高三下·湖北随州·月考）已知，表示直线，，，表示平面，则下列推理正确的是（    ） A．， B．，且 C．，，， D．，， 【答案】D 【分析】由直线与直线的位置关系判断A；由直线与平面的位置关系判断B；平面与平面的位置关系判断C；平面与平面的平行的性质定理判断D. 【详解】选项A中，，，则可能平行也可能相交，故A不正确； 选项B中，，，则可能且，也可能在平面或平面内，故B不正确； 选项C中，，，，，若直线 与直线平行，则平面可能平行也可能相交，故C不正确； 选项D为面面平行性质定理的符号语言，D正确； 故选：D. 2．（25-26高一下·河北衡水·期中）（多选）已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】AB 【分析】A.利用一条直线垂直于平行平面的一个，则垂直于另一个和垂直于同一平面的两直线平行判断；B.先利用线面平行的性质定理，再利用一条直线垂直于平行直线中的一条，则垂直于另一条判断；C.利用直线与平面的位置关系判断；D.利用平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面和垂直同一直线的两平面平行判断. 【详解】因为，，所以，又因为，所以，A正确； 因为，，则， 若，所以，B正确； 因为，，，所以或或n与相交，C错误； 因为，，所以，又，则，D错误. 故选：AB. 3．（2025·四川绵阳·模拟预测）在几何学的世界里，阿基米德体以其独特的形状和美丽的对称性吸引了无数数学爱好者和科学家，它是一种半正多面体，其中每个面都是正多边形，且各个面的边数不全相同.如图，棱长为2的半正多面体是将一个棱长为6的正四面体切掉4个顶点所在的小正四面体后所剩余的部分，已知A，B，C，D为该半正多面体的四个顶点，点P为其表面上的动点，且平面，则P点的轨迹长度为______. 【答案】/ 【分析】根据正四面体的性质可得线线平行，进而得平面平面，故点的轨迹为线段，即可利用三角形边角关系求解长度得解. 【详解】如图：补全正四面体，连接, 取分别为大正四面体棱的中点，连接, 由于均为大四面体的棱的三等分点，故. 平面，平面，平面，平面， 故平面, 平面. 且平面， 故平面平面， 由于平面，因此平面， 故点的轨迹为线段， 由于, 故点的轨迹长度为， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据平面平面，可得点的轨迹为线段. 4．（25-26高三·全国·一轮复习）如图 1，在平行四边形中，，，. 现将沿着翻折至， 使得点 到达点 的位置且平面平面 （如图 2），点是线段的中点，点在线段上.求证: 平面平面. 【答案】证明见解析. 【分析】先证明，结合面面垂直性质定理证明平面，由此可得，再证明，根据线面垂直判定定理证明平面，再由面面垂直判定定理证明结论. 【详解】由题可知，和都是等腰直角三角形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面，， 所以平面，又平面， 所以， 在中，为中点，，所以， 又，平面， 所以平面，又因为平面， 所以平面平面. 【拓展训练二 二面角相关求值】 【例1】（2025高三上·江苏无锡·专题练习）如图，点在二面角的棱上，分别在内引射线，使得,若，，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，证得，得到，得出为二面角的平面角，设，求得，结合勾股定理得到，即可求解. 【详解】如图所示，过点作于点，连接， 因为，，且， 所以，所以，所以， 所以即为二面角的平面角， 设，在等腰直角和中，可得， 又因为，所以为等边三角形，所以， 所以，所以， 所以二面角的大小为. 【例2】（2025·江西新余·模拟预测）如图，在三棱锥中，与均为边长为2的等边三角形. (1)若二面角的大小为，求. (2)设为平面内一点，平面，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）取中点为，连接，则可得为二面角的平面角，得为等边三角形，从而可求出； （2）分别取为中点，连接，过作，则结合已知条件可得平面，平面，所以平面平面，平面平面，再结合平面，可证得结论. 【详解】（1）解：取中点为，连接， 因为与均为边长为2的等边三角形， 所以 ，， 所以为二面角的平面角，故， 所以为等边三角形， 所以； （2）证明：分别取为中点，连接， 过作， 因为与均为边长为2的等边三角形， 所以， 所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面， 由于平面，平面平面， 所以， 因为，，，平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面， 由于平面，平面平面， 所以， 所以， 又因为为两不同边的中垂线， 故成立. 1．（24-25高二上·上海·月考）下列关于二面角的平面角的说法，正确的是（     ）. A．两条边分别在二面角的两个面内的角 B．过二面角棱上一点且两边分别垂直于棱的角 C．二面角的两个面被一个垂直于棱的平面所截得的角 D．任一个平面去截二面角的两个面所得的角 【答案】C 【分析】根据二面角的平面角的定义判断即可. 【详解】二面角的平面角是指过棱上一点在两个半平面内作棱的垂线，两条射线所成的角叫二面角的平面角， 对于A，两条边不一定垂直于两个半平面的交线，故A错误； 对于B，此时两边不一定在两个半平面内，故B错误； 对于C，二面角的两个面被一个垂直于棱的平面所截得的角，此时棱垂直于面与二面角的两个平面的两条交线，并且均在平面内，符合二面角的平面角定义，故C正确； 对于D，由C知，棱不一定垂直于面与二面角的两个平面的两条交线，故D错误， 故选：C. 2．（2025·河北沧州·模拟预测）（多选）如图设二面角的大小为，在平面内有一条射线，它和棱的夹角为，和平面所成的角为，射线在面内射影和棱的夹角为，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】作于，证明线面垂直，确定图中对应的角，再在直角三角形中利用边角关系求解判断. 【详解】依题意，平面，平面，则，作于， 连，因平面，于是平面， 而平面，则，故是二面角的平面角， ，， 因此，， ，， ，， 所以，，AD正确，BC错误.    故选：AD 3．（25-26高二上·河南·月考）如图，函数的图象上有两点A，C关于原点O对称，点A的横坐标为，过点A，C分别作两坐标轴的垂线，得到矩形ABCD，矩形ABCD与x轴的交点分别记为．将该图沿x轴折叠，得到一个二面角，若二面角的大小为，则_______．    【答案】 【分析】根据已知确定相关线段的长度，结合二面角的定义有折叠后，再由均为等边三角形、为直三棱柱，根据结构特征求. 【详解】由题设，则，故， 结合题图，，， 且，，，， 二面角的大小为，所以折叠后，示意图如下，    所以均为等边三角形，故， 且为直三棱柱，故为矩形， 综上，. 故答案为： 4．（2026·辽宁抚顺·二模）如图，在正方体中，E，F分别为，的中点. (1)证明：平面. (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面平行判定定理证明线面平行； （2）利用正方体的性质，结合已知条件，利用几何法或向量法，求出二面角的余弦值，进而求出二面角的正弦值． 【详解】（1）证明：连接，与交于点O，可知O为的中点. 连接.因为E是的中点，所以. 又平面，平面，所以平面. （2）不妨设正方体的棱长为2，则由E，F分别为，的中点，可得. 连接，则，，所以即为二面角的大小. ，则. 连接，，则，. 在中，， 则二面角的正弦值为. 1．（25-26高三下·贵州·阶段检测）已知 为三条不同的直线， 为两个不同的平面，则以下选项正确的是（    ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若，则 【答案】B 【详解】对于 ，面面平行的判定定理要求相交，若 ，则 可能相交，故错误； 对于 ，过作平面交于，则 ，过作平面交于，则，故， 又不在平面内，又平面，所以，而，故，故，故正确； 对于C，若 ，则 或 ，故 错误； 对于，若， 如果或，则不能判断 ，故错误. 2．（25-26高一下·全国·课后作业）设a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列选项正确的为（ ）． A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，，则 D．若，，，则 【答案】B 【分析】根据空间中直线与平面，平面与平面的位置关系进行判定. 【详解】在A选项中，若，，根据位置关系可得或，故A错误， 在B选项中，若，，则或， 又，所以，故B正确， 在C选项中，若，，，， 根据面面平行的判定定理，因为缺少是相交直线的条件， 不能推出，故C错误， 在D选项中，若，，， 两个平行平面内的直线可能异面，不一定平行， 所以或异面，故D错误. 3．（25-26高一下·陕西咸阳·期中）设有两条不同的直线、和两个不同的平面，，下列说法正确的是（   ） A．若，且，则 B．若，且，则 C．若，，则 D．若，，且，，则 【答案】C 【分析】根据线线、线面、面面位置关系逐项判断即可. 【详解】对于A选项，若，且，则与平行、相交或异面，A错； 对于B选项，若，且，则与平行或相交，B错； 对于C选项，若，，由面面平行的性质可知，C对； 对于D选项，若，，且，，则与平行或相交，D错. 4．（2026·江苏·二模）已知二面角的大小为，且为内异于的任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出二面角的平面角，根据最小角定理，利用线面角求最小值即可. 【详解】过作，垂足为，于，连接，如图， 则，平面， 所以平面，平面，所以, 所以为二面角的平面角，故， 由最小角定理知，当为与所成线面角时，最小， 此时，重合，取得最小值， 设，则，又，则， 所以，即的最小值为. 5．（24-25高三下·北京·开学考试）如图是一种帐篷示意图，帐顶采用“五脊四坡式”，四条斜脊的长度相等，一条正脊平行于底面，正脊与斜脊长度的比为，底面为矩形且长与宽之比为2∶1，若各斜坡面与底面所成二面角都相等，则该二面角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】不妨设正脊，斜脊，底面矩形的长为，宽，做辅助线，根据对称性结合二面角可得，进而可得结果. 【详解】根据题意不妨设：正脊，斜脊，底面矩形的长为，宽， 设在底面的投影分别为，的中点分别为， 若各斜坡面与底面所成二面角都相等，则四点共线，， 且，则，可知二面角的平面角为， 过作，垂足为，连接， 因为平面，平面，可得， 且，平面，可得平面， 又因为平面，可得， 则二面角的平面角为， 可知，则， 即，可得， 即，可得， 则，可得， 所以所求二面角的正切值为. 故选：A. 6．（2026·河南·二模）（多选）已知是三个不同的平面，是两条不同的直线，则下面说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BC 【详解】对于A，如图，若，， 则不一定平行，可能相交，故A错误； 对于B，由，，则，故B正确； 对于C，由，则存在直线，使得， 而，则，所以，故C正确； 对于D，由，，则或，故D错误. 7．（25-26高一下·山西晋中·阶段检测）（多选）如图，平面α∥平面β，A，C是平面α内不同的两点，B，D是平面β内不同的两点，E，F分别是线段AB，CD的中点，则下列说法正确的是（  ） A．当AB，CD共面时，AC∥BD B．当AB∥CD时， C．当AB=2CD时，E，F两点不可能重合 D．当，CD是异面直线时，EF∥α 【答案】ABD 【分析】A B由面面平行的性质定理判断；C利用反证法判断；D过点作交平面于点，取线段的中点，求证平面平面即可. 【详解】若AB，CD共面，由平面α∥平面β，平面平面，平面平面，得，故A正确； 若AB∥CD，则共面， 由A选项可知，，故四边形为平行四边形，故，故B正确； 假设E，F两点重合，则共面， 由E，F分别是线段AB，CD的中点，得与全等， 则，显然其值可以为，故假设不成立， 故当AB=2CD时，E，F两点可能重合，故C错误； 过点作交平面于点，取线段的中点，连接， 由B选项可知，在平行四边形中，在中， 因为平面，平面，所以平面， 同理可得，平面， 因为平面，所以平面平面， 因为平面α∥平面β，所以平面平面， 因为平面，所以平面，故D正确. 8．（2025·辽宁·模拟预测）（多选）已知直线、和平面、，且，，则下列四个选项中正确的有（　　） A．若，则过可作唯一平面与垂直 B．若与所成角为，则过可作唯一平面与垂直 C．若，则过可作唯一平面与垂直 D．若，则过可作唯一平面与平行 【答案】BC 【分析】A选项，当时，过可以作无数个平面与垂直，故A错误；B选项，推出与不垂直，所以过可作唯一平面与垂直，故B正确；CD选项，或，所以过可作唯一平面与垂直，故C正确；D选项可举出反例. 【详解】对于A选项，，，当时， 因为，所以，则过可以作无数个平面与垂直，故A错误； 对于B选项，因为与所成角为，，如下图所示： 若，设直线交平面于点， 在直线上取异于点的点，过点作交平面于点，连接， 则，线面角的定义可知，故， 从而可知直线、所成角为，这与矛盾，故与不垂直，所以与不垂直， 故与平面不垂直，而过直线上一点，有且只有一条过点且垂直于平面的直线， 记这条直线为，直线和直线确定的平面， 由面面垂直的判定定理可知平面平面， 若还有另一个平面，且，则平面与平面的交线即也垂直于， 这与与平面不垂直矛盾，故平面即为平面，故存在唯一平面与垂直， 而，故存在唯一平面，使得该平面与垂直，故B正确； 对于CD选项，由，，，得与的关系是或， 所以过可作唯一平面与垂直，故C项正确； 当时，过的平面与相交或重合，故D项错误. 9．（2026·四川绵阳·二模）（多选）已知是两条不同直线，，，是三个不同的平面，则下列说法正确的有（   ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，，则 【答案】ACD 【分析】利用线面平行与垂直的判定与性质定理即可判断出正误． 【详解】对A，根据面面平行的性质定理，可得A正确； 对B：若，，，则或异面，故B错误； 对C：因为垂直于同一条直线的平面互相平行，故C正确； 对D：因为，，，所以，又，所以.故D正确. 故选：ACD 10．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）（多选）从空间中一点P向二面角的两个面，分别作垂线，，E，F为垂足，若，则二面角的大小可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据给定条件，利用点P与二面角的位置关系分析、推理判断作答. 【详解】依题意，点P不在平面和平面内，当点P在二面角内时，如图， 令直线平面，连，因，则， 因此，直线平面，有，则是二面角的平面角， 四边形中，，，则有； 当点P在二面角外时，如图，同理可得是二面角的平面角， 令，在与中，，则， 所以二面角的平面角的大小为或. 故选：AB 11．（25-26高一下·广东深圳·期中）已知是一条直线，，，是三个不同的平面，给出下列说法： ①若，且，则； ②若，且，则，且； ③若，，则． 其中正确的序号有______． 【答案】①② 【分析】利用直线与平面、平面与平面的位置关系判断即可． 【详解】对于①，因为两个平行平面中的一个平面与已知平面垂直，则另一个平面也与这个平面垂直，故①正确； 对于②，如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直，故②正确； 对于③，可能，故③错误． 12．（25-26高一下·全国·课后作业）在如图所示的几何体中，三个侧面，，都是平行四边形，则平面与平面的位置关系是______________． 【答案】平行 【分析】由侧面是平行四边形，得到，证得平面，同理证得平面，结合面面平行的判定定理，即可证得平面平面． 【详解】因为侧面是平行四边形，所以．因为平面，平面，所以平面． 同理可证平面．又因为， 平面，平面， 所以平面平面． 答案：平行 13．（25-26高一下·全国·课后作业）给出下列命题：①，，，；②，，；③，；④内的任一直线都平行于.其中正确的命题是________. 【答案】③④ 【分析】根据面面平行的判定与性质判断即可. 【详解】由如果一个平面内的两条相交直线与 另一个平面平行，那么这两个平面平行可知，若与不相交，得不到，故①错误； 由面面平行的性质定理可知，与可以平行或异面，②错误； 由面面平行的性质定理即线面平行的判定定理可知③正确； 由面面平行的定义可知④正确. 14．（24-25高三上·上海杨浦·开学考试）已知，，是不同的平面，l，m，n是不同的直线，下列命题中： （1）若，，，则； （2）若，，，则； （3）若，，，则且； （4）若，，，则， 所有真命题的序号是__________. 【答案】（3）（4） 【分析】根据直线、平面间的位置关系判断（1）（2），由面面垂直的性质定理与判定定理判断（3）（4）． 【详解】（1）缺少条件直线m需要属于平面，（1）错误； （2）两直线还可以是异面，故（2）错误； （3），，，所以且．（3）正确； （4）设，，过在平面内作直线,在平面内作直线，由面面垂直的性质定理知，又过一点与一个平面垂直的直线有且只有一条，所以重合，而，则重合，所以，（4）正确． 故答案为：（3）（4） 15．（24-25高一下·河南信阳·月考）在中，，，，点为中点，连接，将沿折起，使点到达点的位置，且平面平面，则二面角的余弦值为____________ ． 【答案】/ 【分析】根据翻折后的立体图形，取中点为，过点作交于，连接，，先证平面，再证平面，得到就是二面角的平面角，在中求解即可. 【详解】取中点为，过点作交于，连接，， 在中，，，， 则，所以. 又点为中点，所以，即为等边三角形， 所以，，， 将沿折起，使点到达点的位置， 则为等边三角形，又为中点，所以， 又平面平面，平面平面， 所以平面. 又平面，所以. 又，，，平面， 所以平面. 因为平面，所以. 所以即为二面角的平面角， 在中，，， 所以， 则. 故二面角的余弦值为. 16．（25-26高三·全国·二轮复习）已知梯形中，，为上的一点且，，，将沿翻折使得二面角的平面角为，连接、，为棱的中点.求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】取PE的中点，证明平面平面，再利用面面平行的性质定理证明. 【详解】取的中点，连接、， 因为点为棱的中点，且，所以且， ，平面，平面， 所以平面，同理可得平面. 因为平面，平面，且， 所以平面平面. 因为平面，所以平面. 17．（25-26高三·全国·二轮复习）如图，在六面体中，侧面是直角梯形，，，底面是矩形，且.设，二面角的大小为，六面体的体积为.求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】由面面平行的判定定理可得平面平面，然后由面面平行的性质定理即可证明. 【详解】 因为底面是矩形，所以， 因为平面，平面，故平面， 在直角梯形中，， 因为平面，平面，故平面， 又因为，平面， 故平面平面， 又因为平面，故平面. 18．（2026·安徽宿州·模拟预测）如图，在三棱柱中，侧面为菱形，， (1)求证：平面平面； (2)若，，，求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据菱形的性质，得到，结合题中所给的线线垂直的条件，利用线面垂直的判定定理证得平面，再借助面面垂直的判定定理证得结果； （2）平移到，在中利用余弦定理求解. 【详解】（1）∵四边形为菱形，∴， 又，平面， ∴平面， ∵平面， ∴平面平面； （2）连接， ∵四边形为菱形，∴为、的中点. ∵，∴. 在菱形中，， ∴为等边三角形,， 又，∴，即，即， 又平面平面，平面平面； ∴平面， 平面， ∴，又， ∴，. ∵，∴即为异面直线与所成角（或其补角）. 在中，， ∴异面直线与所成角的余弦值为． 19．（25-26高三·全国·二轮复习）如图，在四棱锥中，底面为正方形，，平面平面．求证：平面； 【答案】证明见解析 【分析】由线面垂直的判定定理及性质可得，由面面垂直的性质及线面垂直的性质可得，再由线面垂直的判定定理即可证明. 【详解】因为底面为正方形，所以， 又，且，平面，所以平面， 又平面，所以， 连接，易知， 因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 又平面，则， 又因为，平面，所以平面． 20．（24-25高一下·山东威海·期末）如图，在三棱锥中，侧面是边长为的等边三角形，，、分别为、的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)若，二面角的大小为，求． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）证明出，利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）证明出平面，再利用面面垂直的判定定理可得出结论； （3）由二面角的定义可知为二面角的平面角，则，利用余弦定理求出的长，结合勾股定理可知，分析出为的中点，即可得出的长. 【详解】（1）因为、分别为、的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面． （2）因为，为的中点，所以， 因为，，所以， 又，、平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面． （3）因为，，所以为二面角的平面角，则， 由题意知，，， 在中，由余弦定理得， 所以，可得， 在直角中，， 又因为，，，所以，所以， 即，因为为的中点，所以． 学科网（北京）股份有限公司 $