专题13.6 直线与平面的位置关系重难点题型讲义（3个知识点+10大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

该高中数学讲义以“直线与平面的位置关系”为核心，通过表格系统梳理直线与平面的三种位置关系及公共点、符号表示等要素，结合图形语言直观呈现线面平行、垂直的判定与性质定理，构建“知识点-即时训练”的基础认知体系，清晰展现重难点分布与内在逻辑联系。 讲义亮点在于“题型分层进阶”设计，从判断线面平行、证明线面垂直等基础题型，到由线面角求值、点面距离计算等综合题型，融入翻折问题、空间动点轨迹等情境，培养学生直观想象与逻辑推理素养。拓展训练结合正四面体、圆锥等模型深化应用，自我检测助力学生自主评估，教师可据此实施分层教学，提升复习效率与针对性。

专题13.6 直线与平面的位置关系重难点题型专训 （3个知识点+10大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 判断线面平行 题型二 证明线面平行 题型三 线面平行的性质 题型四 由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 题型五 证明线面垂直 题型六 线面垂直证明线线平行 题型七 线面垂直证明线线垂直 题型八 求点面距离 题型九 求线面角 题型十 由线面角的大小求值 拓展训练一 线面平行与垂直相关求解 拓展训练二 线面角的相关求解 知识点一： 直线与平面的位置关系 2、直线与平面的位置关系 位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行 公共点 无数个公共点 一个公共点 没有公共点 符号表示 a⊂α a∩α＝A a∥α 图形表示 【即时训练】 1．（2026高一·江苏·专题练习）已知平面α与β互相垂直，α与β交于l，m和n分别是平面α，β上的直线．若m，n均与l既不平行．也不垂直，则m与n的位置关系是（    ） A．可能垂直，但不可能平行 B．可能平行，但不可能垂直 C．可能垂直，也可能平行 D．既不可能垂直，也不可能平行 【答案】D 【分析】假设m⊥n，然后利用已知条件推理，得到m⊥l，这与m与l既不垂直，也不平行矛盾，故假设不成立；假设m∥n，利用线面平行的性质定理进行推导，得到m∥l，这与m和n与l既不垂直，也不平行矛盾，故假设不成立，从而得到答案． 【详解】解：①假设m⊥n，因为n与l既不垂直，也不平行，所以n∩l＝O 过O在β内作直线c⊥l，如图所示 因为α⊥β，所以c⊥α，又因为m⊂α，所以c⊥m 又因为m⊥n，c∩n＝O，所以m⊥β，l⊂β，所以m⊥l 这与m与l既不垂直，也不平行矛盾，故假设不成立 所以m与n不垂直，同理n与m也不垂直； ②假设m∥n，则m∥β，m⊂α，α∩β＝l 所以m∥l，这与m和n与l既不垂直，也不平行矛盾 故假设不成立，所以m与n不平行． 综上所述，m与n的位置关系是既不可能垂直，也不可能平行． 故选：D． 【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于采用反证法，结合直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，得出的位置关系. 2．（25-26高三上·北京·月考）已知直线和两个不同的平面、，且，，则、的位置关系是_____． 【答案】 【分析】由线面垂直的性质定理判断. 【详解】因为， 由线面垂直的性质定理可知. 故答案为：. 知识点二： 直线与平面平行的定理 1、文字语言：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，该直线与此平面平行 2、符号：aα，b⊂α，a∥b⇒a∥α. 3、图形语言： 4、文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行． 5、符号语言：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b. 6、图形语言： 【即时训练】 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知直线直线b，直线c，平面，则（   ） A． B． C．a与相交 D．或 【答案】D 【分析】由平行公理得，再由直线和平面的位置关系即可判断. 【详解】，，， ，或． 故选：D. 2．（24-25高三·全国·一轮复习）如图甲，在梯形中，，分别为的中点，以为折痕把折起，使点D不落在平面内（如图乙），那么在以下3个结论中，正确结论是______. ①平面；②平面；③平面. 【答案】①③ 【分析】利用线面平行的判定定理一一判定选项即可. 【详解】对于①，由题意得， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵平面，平面， ∴平面，故①正确； 对于②，取的中点G，连接， ∵E是的中点，， ∴， ∴四边形为梯形， ∴直线与直线相交， ∴与平面相交，故②错误； 对于③，连接，交于点O，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴O是的中点， ∴， ∵平面，平面， ∴平面，故③正确． 故答案为：①③ 知识点三： 直线与平面垂直 1、文字语言：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直 2、符号语言：l⊥α 3、有关概念：直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．它们唯一的公共点P叫做垂足 4、图形语言： 5、画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直. 6、空间距离 ①点到平面的距离：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离 ②直线到平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离. ③两个平行平面间的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离. 【注意】过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条. 直线与平面垂直的判定定理 1、文字语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 2、符号语言：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α 3、图形语言： 4、作用：证明线面垂直 直线与平面垂直的性质定理 1、文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行. 2、符号语言：⇒a∥b 3、图形语言： 4、作用：①线面垂直⇒线线平行 ②作平行线 5、推论： （1）一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直． （2）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个平面. （3）若一条之心垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另外一个平面/ （4）垂直于同一条直线的两个平行平行. 【即时训练】 1．（24-25高二上·江西抚州·期末）如图，在正方体中，是底面的中心，分别是棱的中点，则直线（    ） A．是和的公垂线 B．垂直于但不垂直于 C．垂直于，但不垂直于 D．与都不垂直 【答案】A 【分析】由立方体性质知，平面，又平面平面，所以平面，所以是和的公垂线． 【详解】设的中点为，易得平面平面， 由立方体性质知，， 又平面，所以平面， 又平面，所以， 同理可证，又平面， 所以平面，又为中点， 所以，即平面 又平面平面，所以平面， 又平面，平面， 所以， 所以是和的公垂线． 故选：A. 2．（24-25高一下·山东菏泽·月考）如图，矩形ABCD，有下列结论：①，②，③BD，④．其中正确的是_____________（填序号）． 【答案】①②④ 【分析】根据空间中线与线、线与面垂直的判定定理和性质定理，分别证明各结论正误. 【详解】 矩形，平面，， 在矩形矩形中，, 所以,且面，面, 所以面,因为面，所以，所以①正确. 同理可证平面，则，所以②正确. 由题意可知， 当时，在中有， 即，化简得,所以③错误. 矩形，平面，，所以④正确. 故答案为：①②④． 【经典例题一 判断线面平行】 【例1】（25-26高二下·四川成都·月考），分别为菱形的边，的中点，将菱形沿对角线折起，使点不在平面内，则在翻折过程中，直线与平面的位置关系为（    ） A．平行 B．相交 C．相交或平行 D．无法判断 【答案】A 【详解】因为，分别为，的中点，所以. 因为平面，平面， 所以平面. 【例2】（25-26高二·上海·课堂例题）如图，在四面体ABCD中，E、F分别是、的重心．该四面体中，哪些面与EF平行？请说明理由． 【答案】平面、平面与EF平行，理由见解析 【分析】根据三角形重心的性质，结合三角形中位线定理、线面平行的判定定理进行判断证明即可. 【详解】设是的中点，因为E、F分别是、的重心． 所以为E、F分别在、上， 由三角形重心的性质可知：， 于是有， 因为平面，平面，平面，平面， 所以平面，平面， 因此在四面体中，平面、平面与EF平行. 1．（25-26高一下·浙江·期中）如图，在正方体中，点是的中点，则下列直线中与平面平行的是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】D 【详解】由，而平面，故A错误； 由，而平面，故B错误； 因为且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，故C错误； 如图所示，连接交于，连接， 所以点是的中点，又点是的中点， 所以，而平面，平面， 所以平面，故D正确. 2．（25-26高一下·广东广州·期中）（多选）下列四个命题中错误的是（    ） A．如果，是两条直线且，那么平行于经过的任何一个平面 B．如果直线和平面满足，那么与平面内的任何一条直线平行 C．如果直线，和平面满足，，，那么 D．如果直线与平面内的无数条直线平行，那么直线必平行于平面 【答案】ABD 【分析】由题设及直线与直线平行，直线与平面平行相关知识可判断选项正误. 【详解】对于A，当//时，有可能平行于所在平面，也有可能在所在平面内，故A错误； 对于B，当//时，内的直线可能与平行，也有可能与异面，故B错误； 对于C，因，则存在，使得，又，则，结合，，则//，故C正确； 对于D，当直线与平面内无数条直线平行时，直线有可能在平面内，则此时直线与平面不平行，故D错误. 3．（24-25高一下·天津·期中）在正方体中，，，分别是，，的中点.给出下列三个推断： ①平面; ②平面; ③平面; 其中推断正确的序号是______________________________. 【答案】①③ 【分析】由已知可得，由线面平行的判定定理可判断①；由，与平面相交可判断②；由，根据线面平行的判定定理可判断③， 【详解】如图，连接， 对于①：因为在正方体中， ，，分别是，，的中点， 所以，因为，所以， 因为平面， 平面， 所以平面，故①正确； 对于②：因为，与平面相交， 所以与平面相交，故②错误； 对于③：因为，，分别是，，的中点， 所以，因为平面，平面， 所以平面，故③正确； 故答案为：①③ 4．（24-25高一下·山东滨州·期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，，AB=2CD，设平面PAD与平面PBC的交线为l，PA，PB的中点分别为E，F，证明：平面DEF．    【答案】证明见解析 【分析】延长AD，BC交于点M，根据线面平行判定定理证明平面DEF，然后根据线面平行性质证明平面DEF． 【详解】证明：延长AD，BC交于点M，因为，AB=2CD，    所以D为AM的中点，因为PA的中点为E，所以， 因为平面DEF，平面DEF，所以平面DEF， 又P，平面PAD，P，平面PBC， 所以平面平面PBC=PM，即直线l为直线PM． 所以平面DEF． 【经典例题二 证明线面平行】 【例1】（25-26高一·全国·课后作业）已知平行六面体，则下面四条直线中与平面平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出平行六面体，结合线面平行的判定定理，即可得出结果. 【详解】对于A，因为平面，故A错误； 对于B，假设平面， 因为在平行六面体中，， 又平面，所以平面，显然不成立，故B错误； 对于C，与选项B同理可证不满足题意，故C错误； 对于D，在平行六面体中，且，    所以四边形是平行四边形，则， 又平面，平面，所以平面，故D正确. 故选：D. 【例2】（2026高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，分别为CD，PA的中点.证明：平面PBC； 【答案】证明见解析 【分析】利用线面平行的判定定理，结合三角形中位线的性质及平行四边形的性质推理得证. 【详解】取PB中点，连接，由分别为的中点， 得且，且， 则，且，因此四边形为平行四边形， 则，而平面平面， 所以平面. 1．（2025·海南·模拟预测）如图，在直三棱柱中，点D，E分别在棱上，，点满足，若平面，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据线面平行的判定定理找到过直线且与直线平行的平面，从而可以确定点位置，进而求解即可. 【详解】在上取一点使得，连接， 与交于一点，即为所求（如图所示）. 证明如下： 根据已知，， 在直三棱柱中，，且， 四边形为平行四边形，， 平面，平面，平面 即平面. 又， ，即的值为. 故选：C. 2．（25-26高一·全国·课后作业）（多选）如图，下列正三棱柱中，若、、分别为其所在棱的中点，则能得出平面的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】ABD 【分析】根据直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的性质对各选项中平面是否成立进行判断. 【详解】在A、B选项中，、分别为、的中点，则， 在正三棱柱中，，， 平面，平面，则平面，故A、B选项正确； 在C选项中，如下图所示： 取的中点，连接、，、分别为、的中点，则，同理可证， 在正三棱柱中，，，同理可证， 则四边形为平行四边形，则与平面相交，C选项错误； 在D选项中，在正三棱柱中，且， 且、分别为、的中点，且，则四边形为平行四边形，， 平面，平面，平面，D选项正确. 故选：ABD. 3．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，已知正方体，，分别为，的中点，点在上底面（含边界）上运动.请补充一个恰当条件，当点满足___________时，有平面. 【答案】在中点与中点连线上 【分析】取，，，的中点分别为，，，，连接，，，，，，，可证明平面，点在平面内，进而可得点在面与面的交线上，即可求解. 【详解】取，，，的中点分别为，，，， 连接，，，，，，， 因为，分别为，的中点，所以， 同理可得， 因为，，所以四边形是平行四边形，可得， 所以，同理可证明，， 所以，，，，，共面， 因为，平面，平面， 所以平面， 若平面，则点在平面内， 又因为点在上底面（含边界）， 所以点在平面与面的交线上， 所以点在线段上，即点在中点与中点连线上， 4．（25-26高一下·陕西铜川·期中）如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面为正三角形，为线段上一点，为的中点． (1)当为的中点时，求证：平面 (2)当平面 ，求的值，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）取中点为，连接 ，利用中位线、平行四边形性质及平行公理有，即为平行四边形，则，最后根据线面平行的判定证结论； （2）连接，相交于，连接，由线面平行的性质得，利用相似比可得，即可判断的位置. 【详解】（1）取中点为，连接 ， 在中，为的中点，为中点， ， 在平行四边形中，为的中点， ， ， 四边形为平行四边形， 面面， 平面； （2）连接 ，相交于，连接， 面，面面 面， ，， 即存在点M，M为PD上靠近P点的三等分点. 【经典例题三 线面平行的性质】 【例1】（24-25高一下·安徽蚌埠·期中）如图，在四棱锥中，，，点E是棱PD的中点，PC与平面ABE交于F点，设，则（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】延长DC，AB交于G，连接，连接交于点，由题意可得出是的重心，可得，即可得出答案. 【详解】延长DC，AB交于G，连接，连接交于点， 则由，，得C是DG中点， 是PD中点，是的重心， ，即. 故选：A. 【例2】（24-25高一下·全国·课前预习）如图，直线平面，直线平面，直线与直线一定平行吗？ 【答案】不一定 【详解】由线面平行的性质定理可知，可以过作一平面交于， 平面，，， ， 若，则； 若与相交，则与异面. 故直线与直线不一定平行. 1．（24-25高一下·河北保定·月考）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的鳖臑中，平面BCD，，E，F分别为BC，AD的中点，过EF的截面与AC交于点G，与BD交于点H，，若截面，且截面，四边形GEHF是正方形，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题首先把线面平行转化为线线平行，再利用空间平行的传递性，三角形中位线定理即可求解. 【详解】如图所示： 过EF的截面α与AC交于点G，与BD交于点H，则截面α即为四边形GEHF， 又因为AB//截面α，平面，平面平面， 平面，平面平面，所以， 又CD//截面α，同理可得，， 因为在中，E为线段BC的中点，所以线段GE是的中位线， 因为在中，F为线段AD的中点，所以线段HF是的中位线， 所以点E，H分别是线段BC，BD的中点，所以线段EH是的中位线， 所以，又四边形GEHF是正方形，所以. 故选：B. 2．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）如图，在三棱锥中，E，F分别为AB，AD的中点，过EF的平面截三棱锥得到的截面为，则下列结论中一定成立的是（    ）    A． B． C．平面 D．平面 【答案】ABC 【分析】根据中位线得到，证得平面，再结合线面平行的性质定理，可判定A，B一定成立；由，结合线面平行的判定定理，证得平面，可判定C一定成立；根据位置不确定，可判定D不一定成立. 【详解】对于A、B中，因为分别为的中点，所以是的中位线， 所以，又因为平面，平面，所以平面， 因为过的平面截三棱锥得到的截面为，平面平面， 所以，所以，故A，B一定成立； 对于C中，因为，平面ABD，平面， 所以平面，故C一定成立； 对于D中，因为的位置不确定，所以与平面有可能相交，所以D不一定成立. 故选：ABC. 3．（24-25高二上·上海浦东新·月考）如图，已知点在平行四边形所在平面外，E为线段上靠近A的三等分点，F为线段上一点，当平面时，__________.    【答案】 【分析】根据线面平行的性质定理构造线线平行，再根据平行线段比例关系，可得结论. 【详解】如图，连结，交于点，连结， 因为平面，且平面，平面平面， 所以， 因为，且，所以，即， 所以， 所以.    故答案为：. 4．（24-25高三·全国·一轮复习）如图1所示，在四边形中，，为上一点，，，将四边形沿折起，使得，得到如图2所示的四棱锥．若平面平面，证明：. 【答案】证明见解析 【分析】先根据图1中几何关系，得到，进而得平面，可证. 【详解】在图1中，因为，，， 所以，，又， 所以， 因为，， 所以，故， 在图2中，因为，平面，平面， 所以平面， 因为平面，平面平面，所以； 【经典例题四 由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置】 【例1】（24-25高一下·广东·期中）如图，在平行六面体中，点是上靠近的三等分点，直线DM交平面于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过线线平行得到线面平行，再利用线面平行的性质得到线线平行，进而得到线段成比例，结合是上靠近的三等分点即可求得结果. 【详解】设平面与交于点，连接交于点，连接， 平行六面体中， ∵∥，平面，平面， ∴∥平面， 又平面，平面平面， ∴∥， 又是上靠近的三等分点，∴ ∵平面，平面， ∴∥平面， 又平面，平面平面， ∴∥，∴ 所以. 故选：C. 【例2】（24-25高三·全国·一轮复习）如图，在直三棱柱中，，且，点在线段（含端点）上运动，设．当平面时，求实数的值. 【答案】 【分析】连接，交于点，连接，根据线面平行的性质得到，即可得到为的中点，从而得解. 【详解】如图，连接，交于点，连接， 为的中点，且平面平面， 平面，平面， ， 为的中点，即实数的值为． 1．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，在三棱锥中，点D，E分别为棱PB，BC的中点.若点F在线段AC上，且满足平面PEF，则的值为（   ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】连接CD，交PE于点G，连接FG，由线面平行性质证明，再利用重心性质求解即可. 【详解】如图，连接CD，交PE于点G，连接FG，    因为平面PEF，平面ADC，平面平面，所以， 因为点D，E分别为棱PB，BC的中点，所以G是的重心，所以. 故选：C. 2．（2025·山东·模拟预测）（多选）设为平面内的个点，平面内到点的距离之和最小的点，称为点的“优点”.例如，线段上的任意点都是端点的优点.则有下列命题为真命题的有：（    ） A．若三个点共线，在线段上，则是的优点 B．若四个点共线，则它们的优点存在且唯一 C．若四个点能构成四边形，则它们的优点存在且唯一 D．直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的优点 【答案】AC 【分析】根据优点的定义以及空间中的点与线的位置关系等逐个证明或举反例即可. 【详解】对于A，若三个点共线，C在线段上，根据两点之间线段最短，则C是的优点，故A正确； 对于B，若四个点共线，则它们的优点是中间两点连线段上的任意一个点，故它们的优点存在但不唯一，如B，C三等分AD，设，则，故B错误；    对于C，如图，设在梯形中，对角线的交点O，M是任意一点，则根据三角形两边之和大于第三边得， ∴梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一优点．故C正确．    对于D，举一个反例，如边长为的直角三角形，点P是斜边AB的中点，此直角三角形的斜边的中点P到三个顶点的距离之和为，而直角顶点到三个顶点的距离之和为7，∴直角三角形斜边的中点不是该直角三角形三个顶点的优点；故D错误；    故选：AC. 3．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）如图，在三棱柱中，E是棱上的一点，且，D是棱BC上一点.若平面ADE，则的值为________. 【答案】 【分析】连接相交于，根据线面平行的性质及可得答案. 【详解】连接相交于点，连接， 因为平面，平面平面，平面， 所以，所以， 因为，所以， 所以，即， 可得. 故答案为：. 4．（25-26高三·全国·二轮复习）如图，四棱锥中，底面是菱形，，分别是棱，上的点，平面，且.求证：. 【答案】证明见解析 【分析】设，连接交于点，连接，过点作，交于点，根据线面平行的性质证明，再利用相似比即可得出结论. 【详解】如图，设，连接交于点，连接， 平面，平面，平面平面， ， 为的中点，， 过点作，交于点，则， ，，，即. 【经典例题五 证明线面垂直】 【例1】（24-25高一下·北京东城·期末）在正方体中，，为侧面上一动点．若，则的长的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，确定出点的运动轨迹为线段即可求解． 【详解】在正方体中，，连接，设，连接，如下图： 为侧面上一动点，要使得， ∵为的中点，∴， 又∵，，平面， ∴平面，∵平面，∴， 又∵平面，平面， ∴， 又∵平面， ∴平面， 又∵平面， ∴， 反之，当时，， ∴点的运动轨迹为线段. 当点与重合时，的长取得最大值为：， 故选：C． 【例2】（2025高二上·山东枣庄·学业考试）如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形. (1)求证：平面； (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证得平面. （2）根据线面垂直的判定定理证得平面. 【详解】（1）因为四边形是正方形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2）因为四边形是正方形， 所以， 因为平面，平面， 所以， 由于平面，， 所以平面. 1．（24-25高一下·四川自贡·期末）已知棱长为2的正四面体，E、F分别BD和BC的中点，M是线段AE上的动点，N为平面ADF上的动点，则的最小值为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当平面时，取得最小值，在直角三角形中求解即可. 【详解】因为为正四面体， 所以， F为BC的中点， 所以， 因为，平面， 所以平面， 因为是的中点， 所以点关于平面对称， 因为点在平面，故， 所以， 故当平面时，取最小值， 因为是边长为2的正四面体， 所以在中， 当平面时，为等边三角形的重心， 此时 在中，， 故的最小值为， 故答案为： 2．（2025高三上·广西·学业考试）（多选）如图，在矩形纸片中，A，B分别是边，的中点．将纸片沿翻折后竖起放在桌面上，，与桌面接触，桌面所在平面记为，那么下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据图形可判断ACD，利用线面垂直的判断即可判断B. 【详解】由图可知，故AC错误，D正确； 因为矩形纸片中，A，B分别是边，的中点，且矩形纸片竖直放在桌面上， 所以，又因为，平面， 所以，故B正确. 故选：BD. 3．（24-25高二上·江西九江·期末）在直四棱柱中，底面是平行四边形，，，，点是的中点，是平面内一动点，则周长的最小值为______． 【答案】/ 【分析】首先根据题意做出图形，找出关于平面的对称点，再利用等量代换与两点之间距离最短，即可求得结果. 【详解】如图，，，， 由余弦定理得，， 即．延长至，使得，连接，则四边形为正方形，，由直四棱柱知，平面， 即为关于平面的对称点，． 故的周长． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：做出图形，找出关于平面的对称点，利用等量代换与两点之间距离最短即可. 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，平面，. 求证：平面 【答案】证明见解析 【详解】取的中点F，连接，如图所示， 由底面是直角梯形，，，， 结合勾股定理计算可得：， ，，，∴四边形是正方形， 则，再由勾股定理可得：，又因为， 则由，所以， 又因为平面，平面，所以， 又因为，且平面， 所以平面. 【经典例题六 线面垂直证明线线平行】 【例1】（2025高二·北京·学业考试）已知两条直线，和平面，那么下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】A 【解析】根据线面、线线间的位置关系判断各选项． 【详解】若，，由线面垂直的性质定理得，A正确； 若，，可能相交，可能平行，也可能异面，B错； 若，，则或，C错； 若，，则或，D错． 故选：A． 【例2】（24-25高一下·全国·课前预习） （1）如图，已知直线a，b和平面，如果，，那么直线a，b一定平行吗？ （2）你能证明吗？ 【答案】（1）a与b平行（2）证明见解析 【详解】如图，假设b与a不平行，设，显然点O不在直线a上， 所以点O与直线a确定一个平面，在该平面内过点作直线， 则直线与是相交于点的两条不同直线，所以直线与可确定平面， 设，则． 因为，，所以，． 又，所以． 这样在平面内，经过直线上同一点就有两条直线，与垂直，显然不可能． 因此． 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）在空间中，下列命题正确的是（    ） A．垂直于同一条直线的两直线平行 B．平行于同一条直线的两个平面平行 C．垂直于同一平面的两个平面平行 D．垂直于同一平面的两条直线平行 【答案】D 【分析】利用线线、线面平行、垂直关系逐一判断各个命题. 【详解】对于A，垂直于同一条直线的两直线可能平行、异面或相交，A错误； 对于B，平行于同一条直线的两个平面可能平行或相交，B错误； 对于C，垂直于同一平面的两个平面可能平行或相交，C错误； 对于D，垂直于同一平面的两条直线平行，D正确. 故选：D 2．（2026高一下·全国·专题练习）（多选）直线a和b在正方体的两个不同平面内，使成立的条件是（   ） A．a和b垂直于正方体的同一个面 B．a和b在正方体两个相对的面内，且共面 C．a和b平行于同一条棱 D．a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直 【答案】ABC 【分析】根据线面垂直的性质定理可判断A；根据面面平行的性质可判断B；根据平行公理，可判断C；根据线面垂直及正方体的几何特征可判断D． 【详解】根据线面垂直的性质定理可得：a和b垂直于正方体的同一面，则，故A满足条件； a和b在正方体两个相对的面内且共面，根据面面平行性质定理可得，故B满足条件； a和b平行于同一条棱，则，故C满足条件； a和b与正方体的同一条棱垂直，a和b可能平行，可能异面，也可能相交，故D不满足条件； 故选：ABC 3．（2025高一下·全国·专题练习）已知，若直线，直线，且l，m为两条不同的直线，则l，m的位置关系是______. 【答案】平行 【分析】根据线面垂直的判定定理可得到平面，平面，由此可得答案. 【详解】依题意知，平面， 故平面， 又，平面， 故平面，∴. 故答案为：平行 4．（24-25高一下·江苏·期中）如图所示，在正方体中，与，都垂直相交，垂足分别是点、点. (1)求证：平面； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）首先证明，即可得到，再由，即可得证； （2）首先证明平面，即可得到，同理可证，即可得到平面，结合（1）的结论，即可得证． 【详解】（1）在正方体中，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为，所以， 因为，，平面，平面． 所以平面． （2）因为平面，平面， 所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 同理可证， 又，平面，平面． 所以平面． 又平面，所以． 【经典例题七 线面垂直证明线线垂直】 【例1】（24-25高一下·福建莆田·月考）在三棱锥中，若，则顶点P在平面ABC内的射影是的（   ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【分析】由已知可得顶点在底面上的射影到底面三角形三个顶点的距离相等，即为底面三角形的外心. 【详解】如图，设顶点在底面内的射影为，则平面，连接，    因为在平面内，所以， 所以都是直角三角形， 又因为，和三个三角形全等， 从而有，所以为的外心. 故选：B. 【例2】（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，三棱锥中，平面平面ABC，，M为AC的中点，， 求证： 【答案】证明见解析 【详解】取AB中点N，连接PN，MN，如图所示， 则，而，故， 因为，所以， 又，MN，平面PMN， 所以平面， 因为平面PMN，所以. 1．（2025高三上·江苏·学业考试）在《九章算术》中，将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”，在如图所示的“羡除”中，；四边形为等腰梯形.若平面，四边形为正方形，，，，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别过点、在平面内作，，垂足分别为、，推导出，求出的长，再利用梯形的面积公式可求得四边形的面积. 【详解】分别过点、在平面内作，，垂足分别为、， 在等腰梯形中，，，， 所以四边形为矩形，故，，， 因为，，，所以， 所以， 因为，由勾股定理可得， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为平面，平面，所以， 所以， 因为，故四边形的面积为. 故选：B. 2．（24-25高二上·云南昆明·期中）（多选）设、为两条直线，、为两个平面，，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据线线，线面的平行和垂直关系，即可判断选项. 【详解】A.根据线面平行的判断定理可知，A正确； B.若，则直线只与平面的一条直线垂直，不满足线面垂直的判断定理，故B错误； C.根据线面平行的性质定理，可知C正确； D.若若，，则，故D正确. 故选：ACD 3．（25-26高二上·上海浦东新·月考）在四面体中，若两两互相垂直，则点在平面上的投影是的___________心． 【答案】垂 【分析】证明平面，得，根据平面，得，可证得平面，得，同理可证，得，即可得出结论. 【详解】在四面体中，若两两互相垂直， 平面，平面，平面， 又平面，所以， 设点在平面上的投影为点， 则平面，又平面，所以， 又因，所以平面， 又平面，所以， 同理，， 所以点是的垂心. 故答案为：垂. 4．（25-26高一·全国·假期作业）如图，在圆锥PO中，AB为底面圆O的直径，C，D为圆O上不与A，B重合的点，且，，.求证：平面POC； 【答案】证明见解析 【分析】利用线面垂直的性质判定推理得证. 【详解】连接，延长交于点，由为底面圆的直径，得， 由，得，， 又，则平分，， 又，则为正三角形，是其中心， 于是是中点，， 而平面，平面，则， 又,且,平面，所以平面. 【经典例题八 求点面距离】 【例1】（25-26高二上·河北石家庄·月考）在空间直角坐标系中，点的坐标为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间直角坐标系的定义和点的坐标求解. 【详解】在空间直角坐标系中，点到平面的距离等于该点竖坐标的绝对值，因为，所以所求距离为. 故选： 【例2】（24-25高二上·上海·月考）已知正方体的棱长为，求点到平面的距离.    【答案】 【分析】利用等体积法求得点到平面的距离. 【详解】连接，设到平面的距离为， ，， ，， 解得，即点到平面的距离为.    1．（24-25高一下·全国·随堂练习）线段AB的端点A，B到平面的距离分别是30cm和50cm，则线段AB的中点P到平面的距离为（    ） A．40cm B．10cm C．80cm D．40cm或10cm 【答案】D 【分析】根据A，B是否在平面的同一侧分类讨论进行求解即可. 【详解】当A，B在平面同侧时，如图所示：设，， 显然，由梯形中位线定理可知：，    当A，B在平面异侧时，如图所示：设，，    则有，且， 由平行线成比例定理可知中： ， ，得， 故选：D. 2．（24-25高一下·云南昭通·期末）（多选）如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别是，的中点，则下列说法正确的是（    ）    A．MN与AD所成夹角为 B． C． D．点C到平面ABM的距离为 【答案】ABC 【分析】对于A，由M，N都为中点，得出，将“MN与AD所成夹角”转化为“BD与AD所成夹角”，从而得解；对于B，利用线面垂直证明线线垂直，即可得证；对于C，利用平行证明线线垂直即可得证；对于D，等体积法即可求得点到平面的距离. 【详解】    对于A，如图，由于N是的中点，所以，N，D三点共线，则N是的中点， 由于M是的中点，所以，故异面直线MN与AD所成夹角为， ∵，，∴，即异面直线MN与AD所成夹角为，A选项正确； 对于B，由于平面ABCD，所以，又由A选项知，，所以，B选项正确； 对于C，由于，又由A选项知，，所以，C选项正确； 对于D，∵，M是的中点，， 根据正方体性质有：∵平面，平面，∴. 设点C到平面ABM的距离为h， ∴， 解得，故D错误， 故选：ABC. 3．（25-26高二上·天津·期末）如图，直三棱柱中，，，，点D是中点，则点到直线的距离是_______.    【答案】/ 【分析】连接,易得是边长为的等边三角形，取的中点，连接,则的长即为点到直线的距离，在等边三角形中，求解即可. 【详解】连接,    因为，，点D是中点，， 所以，, 又因为,, 所以是边长为的等边三角形， 取的中点，连接, 则, 所以的长即为点到直线的距离， 又因为是边长为的等边三角形， 所以. 故答案为： 4．（2025高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，，，，，求点到平面的距离. 【答案】 【分析】变换图形位置，使在水平位置，作平面，以点为一顶点，三条棱在上，且以为体对角线补成长方体，求出，即得与平面所成的角，从而可求点面距离. 【详解】变换图形位置，使在水平位置，因，过点作平面的垂线， 以点为一顶点，三条棱分别在上，且以为体对角线补成长方体 设，在长方体中易得，则， 故，即得，故， 易得平面，则即与平面的所成角， 故点到平面的距离为. 【经典例题九 求线面角】 【例1】（24-25高一下·湖南永州·期末）如图1，已知四边形PABC是直角梯形，，，，D是线段PC中点.将沿AD翻折，使，连接PB，PC，如图2所示，则PB与平面ABCD所成角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据定义找出直线与平面所成的角，然后在直角三角形中计算. 【详解】由已知，，又平面， 所以平面，所以是PB与平面ABCD所成角， 平面ABCD，则， 由题意，，所以， 所以， 故选：D. 【例2】（24-25高一下·山东青岛·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为线段的中点． (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）只需证明，，再结合线面垂直的判定定理即可得证； （2）说明为直线与平面所成的角，再结合解直角三角形知识即可求解. 【详解】（1）因为，E为线段的中点，所以， 又底面，底面为正方形， 所以，，， 又，平面，所以平面， 又平面，所以，，平面， 所以平面； （2）由（1）知，平面， 所以为直线与平面所成的角， 设，则，， 在直角三角形中，， 所以直线与平面所成角为. 1．（25-26高三下·辽宁葫芦岛·期中）在长方体中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】找出直线在平面上的射影，从而确定线面角，再通过计算相关线段的长度来求线面角的正弦值. 【详解】在长方体中，平面，则直线与平面所成的角为，且， 因为，，所以，则． 2．（2025·江苏苏州·模拟预测）正方体，直线与平面所成的角的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，交于点，再连接，根据几何体的结构特征可证：平面，则是直线与平面所成的角，再利用解三角形的有关知识求出答案即可． 【详解】连接，交于点，再连接， ∵是正方形，∴， ∵在正方体中，平面，平面， ∴， 又∵，平面， ∴平面， ∴是直线与平面所成的角． 设正方体的边长为1， ∴在中，， ∴， ∴直线与平面所成的角的大小等于． 故选：A． 3．（25-26高二上·北京·月考）正四棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则侧面与底面所成二面角的余弦值为______． 【答案】 【分析】在正四棱锥中，为正方形的中心，， 则为的中点，连接，，，可得为侧面与底面所成二面角的平面角，求出其余弦值即可求解. 【详解】如图，在正四棱锥中，为正方形的中心，， 则为的中点，连接，，， 则平面，， 则为侧面与底面所成二面角的平面角，则, 由于正四棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则． 所以 故答案为： 4．（2025高三·全国·专题练习） 如图，已知三棱锥的侧棱、、两两垂直，长度分别为，，，设侧棱、、与底面的所成角分别、、，证明：．    【答案】证明见解析 【分析】设点在底面的射影点为，延长交于点，连接，求出、的长，可得出，同理得出、的表达式，即可证得结论成立. 【详解】设点在底面的射影点为，延长交于点，连接，如下图所示：    因为平面，则，，， 因为，，，、平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，故， 因为，，，则， 由等面积法可得， 因为平面，平面，则， 故， 所以， 同理可得，， 因此，证毕. 【经典例题十 由线面角的大小求值】 【例1】（24-25高二上·北京·期中）正方体中，为正方形中心，（），直线与平面所成角为，则取最大时的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在平面中过点作交于点，连接，即可得到即为线与平面所成角，且，设正方体的棱长为，则，从而求出，即可得解. 【详解】在平面中过点作交于点，连接， 由正方体的性质可知平面，则即为直线与平面所成角， 则，设正方体的棱长为，则， 所以当时，此时取最大值，为的中点， 又，所以当时取最大值. 故选：A 【例2】（24-25高二·上海·课堂例题）如图，SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆的圆心，底面圆半径为10，C是SB的中点，，AC与底面所成角的大小为45°，求的面积． 【答案】 【分析】根据平面垂线的性质，可以判断点在底面的射影K是OB的中点，再根据结合线面角定义，可以判断出，在中，利用余弦定理求出、再根据勾股定理求出圆锥母线的长和边上的高长，最后利用三角形面积公式进行求解可. 【详解】因为SO垂直于底面，C是SB的中点， 所以C在底面的射影K是OB的中点， 因为CK垂直于底面， 所以∠CAK为AC与底面所成角，即， 于是在中，， 又在中，，，． 由余弦定理，得． ∴，因此， 由勾股定理可知：． 在中，边上的高长为， ∴的面积为 1．（24-25高一下·陕西西安·月考）设PA垂直于△ABC所在的平面α，，PB、PC分别与α成和角，，点P到BC的距离是（　　） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据线面垂直确定线面夹角，结合直角三角形的边角关系可得长，在中利用余弦定理求解，从而可求得点P到BC的距离. 【详解】如图，过作于    因为平面，即，因为分别与成和角，所以，且 又，所以，则 在中，由余弦定理得 又，所以 所以，即点P到BC的距离是. 故选：B. 2．（25-26高一下·河北邢台·阶段检测）（多选）在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则下列说法错误的是（    ） A． B．与平面所成的角为 C． D．与平面所成的角为 【答案】AB 【分析】根据长方体性质可知和是直线与平面和平面所成的角，设经计算可得可知A错误；易知即为与平面所成的角，而可知B错误；经计算可得，易知是直线与平面所成的角，且，即CD正确. 【详解】如下图所示:    连接，因为平面，所以是直线与平面所成的角， 所以在中，，不妨设，则， 则； 同理易知是直线与平面所成的角， 所以在中，，因为，所以； 所以， 因此在中，； 对于选项A，易得，，即可得，所以A错误； 对于B，作于，如下图所示：    显然平面，平面，所以， 又平面，所以平面； 因此也即为与平面所成的角， 所以，即，即B错误； 对于C，由，可得，所以C正确； 对于D，由长方体性质易知平面，所以是直线与平面所成的角， 在中，，所以，即，所以D正确. 故选：AB 3．（24-25高二上·上海·期中）设点到平面的距离为，点在平面上，使得直线与所成的角不小于且不大于，则满足条件的点构成的区域的面积为__________. 【答案】 【分析】由题意画出图形，分别求出两个圆锥的半径，结合圆的面积公式作差即可． 【详解】如图， 过作，则， 当时，，当时，． 所以，满足条件的点构成的区域的面积为. 故答案为：. 4．（2025高三·全国·专题练习）如图，圆锥顶点为，底面圆圆心为，其母线与底面所成的角为．和是底面圆圆上的两条平行的弦，轴与平面所成的角为．    (1)求证：平面与平面的交线平行于底面； (2)求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面平行的判定定理与性质定理，即可证明． （2）先判定三面角为“直三面角”，设，则．①由线面角的定义知即为与平面所成的角，由模型公式知，结合①求解即可． 【详解】（1）设平面与平面的交线为，则，平面，平面，所以平面，又平面，平面与平面的交线为， 所以，又在底面上，在底面外，所以与底面平行， 即平面与平面的交线平行于底面； （2）由题意知，取中点，则平面平面，如图8， 故三面角为“直三面角”． 设，则．① 因为在中，，所以， 所以即为与平面所成的角，即．    如图9，由模型公式知，所以， 由①，，所以． ，所以， 所以，即． 【拓展训练一 线面平行与垂直相关求解】 【例1】（25-26高二上·广东潮州·期末）已知四面体中，点满足，点满足，则（   ） A． B． C．平面 D．平面 【答案】D 【分析】利用空间向量共线、平行线分线段成比例定理可以判断A、B；结合线面平行的判定定理可以判断C、D. 【详解】如图所示，点在上满足，得，即； 点在上满足，得，即. 在中，根据平行线分线段成比例定理，可得， 对于A：，不平行，错误； 对于B：，不平行，错误； 对于C：平面，，因此不可能垂直平面，错误； 对于D：，平面，且平面， 由线面平行判定定理得平面，正确. 【例2】（25-26高一下·四川成都·期中）(本题若使用空间向量，相关步骤不得分)如图，已知正四面体的棱长为，为底面的外心，为中点. (1)连接，证明：平面. (2)设的中点为，求与平面夹角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理求解证明即可；（2）运用几何法求解线面夹角的正弦值. 【详解】（1）证明：如图，连接，由于为的外心，故有. 因为为中点，，所以，， ∵，平面∴平面， ∴.同理，. ∵，平面， ∴平面. （2）正四面体棱长​，等边中，中线， 为重心（等边三角形重心与外心重合），故. 由平面，​. 是中点，在中，，， 由中线长公式. 由体积法，​​， 故， 又​， 设到平面距离为，则，​ 设线面夹角为，由线面角定义，代入得. 即直线与平面夹角的正弦值为. 1．（25-26高二上·贵州遵义·期末）对于空间中不同的平面，不同的直线，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据直线与直线,平面等的位置关系判断或举出反例即可. 【详解】若，则或相交，如墙角处的三个平面，两两互相垂直，此时和相交，故A错误. 若，则和可能平行、相交或异面，故B错误. 若，则和可能平行、相交或异面，故C错误. 若，根据直线与平面垂直的性质定理可知，故D正确. 故选：D. 2．（2026·广东深圳·一模）（多选）在正三棱台中，为的中点，则（   ） A． B．平面 C． D．平面 【答案】BD 【详解】如图，将三棱台补足为三棱锥， 对于A，由于，而与相交，则与相交，故A错误； 对于B，由于平面平面，且平面，则平面，故B正确； 对于C，由于，且，则，又因为在平面内，所以与不垂直，故C错误； 对于D，由于，，且，，平面，则平面，故D正确. 3．（2026高一·全国·专题练习）如图所示，在棱长为1的正方体中，点是棱的中点，点是棱上的动点，则点为______时平面. 【答案】的中点 【分析】连接，证明当点是的中点时，平面. 【详解】如图，连接，则， 因为平面，又平面，所以. 又，平面. 所以平面，又平面，所以. 于是若平面，平面，则， 平面，又平面，所以. 又，平面，所以平面， 平面，所以，所以，， 所以， 因为是正方形，是的中点， 所以当且仅当是的中点时，， 即当点是的中点时，平面. 4．（24-25高一下·广东汕头·期中）如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，，为中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)设平面平面，求证：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用中位线性质可得，再由线面平行判定定理可证明所以平面； （2）根据线面垂直性质由平面可得，结合正方形中可证明平面，再由线面垂直判定定理证明平面； （3）易证平面，由平面平面，根据线面平行性质定理证明，即可得平面． 【详解】（1）连接，交于，如下图所示： 因为底面是正方形，故为的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面； （2）∵平面，平面∴， 又∵在正方形中，， ，，平面， ∴平面， 又∵平面，∴， ∵，为中点，故， 又，且平面PCB，平面， ∴平面 （3）在正方形中，有， 因为平面，平面， 所以平面， 又因为面，平面平面，所以， 又因为平面，平面， 所以平面． 【拓展训练二 线面角的相关求解】 【例1】（2025·湖南·模拟预测）已知正方体，，点E为平面内的动点，设直线与平面所成的角为，若则点的轨迹所围成的图形面积的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定平面，，计算，，，E在平面内的轨迹是以O为圆心，半径为OE的圆，计算得到答案. 【详解】如图所示，连接交平面于O，连接EO， 平面，平面，故， ，，平面，故平面， 平面，故， 同理可得，，平面，故平面， 所以∠AEO是AE与平面所成的角，，所以， 在四面体中，，， 所以四面体为正三棱锥，O为的重心，如下图所示， 所以，， 因为，所以， 又E在平面内的轨迹是以O为圆心，半径为OE的圆， 所以E在平面内的轨迹围成的图形面积． 故选：D 【例2】（25-26高一下·广东东莞·期中）如图，正三棱柱中，，是的中点， (1)求证：∥平面； (2)求直线和平面所成的角. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证得，再由线面平行的判定定理证明即可； （2）由线面垂直的判定定理证得侧面，可知即为直线和平面所成的角，求解即可. 【详解】（1）连接交于点，连接， 因为分别为和的中点，所以， 因为平面，平面， 所以∥平面； （2）因为三棱柱是正三棱柱，所以侧面， 侧面，所以， 为正三角形，因为是的中点，所以， 又，侧面，从而侧面， 所以即为直线和平面所成的角， 设，在直角三角形中，， ， 在中，，所以， 所以. 所以直线和平面所成的角为. 1．（25-26高三上·安徽·月考）在棱长均为 2 的正三棱柱 中， 是棱 的中点， 是侧面 内任意一点 (包含边界)，则直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用几何法取直线 与平面 所成角的正弦值的临界状态可得答案. 【详解】如图，正三棱柱 棱长均为 2，取 的中点为 ， 则 平面 ， 当点 是靠近点 的四等分点时， ，则 平面 ， 此时直线 与平面 所成角的正弦值最大为 1； 当点 与 重合时，此时 最长， 即 ， 因为正三棱柱 中， 是棱 的中点， 所以点 到平面 的距离为 ，    此时直线 (即 ) 与平面 所成角的正弦值最小，为 ， 所以直线 与平面 所成角的正弦值取值范围是 . 故选：  D. 2．（2025·全国·模拟预测）（多选）已知正四面体的棱长为1，点为棱的中点，点为内部（含边界）一动点，则（    ） A．当时，点的轨迹为圆弧 B．当时，点的轨迹长度为 C．若与平面所成角的正切值为，则点的轨迹长度为 D．直线与平面所成角的正弦值最大为 【答案】BCD 【分析】利用正四面体性质，通过计算分别判断相应选项. 【详解】对于A．当时，点的轨迹为线段的垂直平分面（过线段的中点，且与垂直的平面）与内部（含边界）的交线段，即点的轨迹为线段，所以A错误． 对于B．如图1，连接，因为和均为等边三角形，为的中点，所以，，又，所以平面，所以．连接，则平面，若，则有平面，所以，故点的轨迹为中边上的高．因为等边三角形的边长为1，所以点的轨迹长度为，B正确． 对于C．在正四面体中，设点为等边三角形的中心，连接， 如图2，易知平面，则即为直线与底面所成的角， 即，易知． 在Rt中，， 所以，即．因为到各边的距离，且，（提醒：注意判断与的大小，只有时，点的轨迹才是圆）所以点的轨迹是内以为圆心，为半径的圆，所以点的轨迹长度是，故C正确． 对于D．解法一  由选项知，平面，故为平面的一个法向量． 设直线与平面所成的角为，则当最大时，最大， 因为，所以要想最大，只要与的夹角最小即可． 设为的中点，连接，由对称性可知，当点在线段上运动时，与的夹角最小，此时．连接，在Rt中，，，，故直线与平面所成角的正弦值最大为，D正确． 解法二  如图3，设直线交线段于点（若在线段上，则与重合），连接，由选项知，平面，即平面，所以即为直线与平面所成的角，且，又，若想最大，则最小即可，显然当，即为中点时，最小，最小值为，此时，D正确． 故选：BCD 3．（2026高一·全国·专题练习）在四棱锥中，底面为正方形，且，记直线与底面所成的角为，则的最大值为_____. 【答案】 【分析】分别取、中点、，过点在平面内作，垂足为点，连接，推导出平面，可知，设，，利用线面角的定义结合基本不等式可求得的最大值. 【详解】分别取、中点、，因为，则， 在正方形中，且， 因为、分别为、的中点，所以且， 故四边形为平行四边形，故， 因为，所以， 因为，、平面，所以平面， 过点在平面内作，垂足为点，连接， 因为平面，平面，所以， 又因为，，、平面，所以平面， 所以直线与平面所成角为， 设，， 因为，所以，故， 又因为为的中点，所以， 则，， ， 所以， 令，所以， 当且仅当，即时，的最大值为. 4．（24-25高二上·上海黄浦·期末）如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面ABCD，为的中点． (1)设平面与直线相交于点，求证：为的中点； (2)若，，直线与平面所成角的大小为，求PD的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线线平行，结合中点即可求证， （2）根据线面角的几何法求解即为直线BE与平面PAD所成角，故，即可理由三角形的边角关系求解. 【详解】（1）过作交于，连接, 由于,所以, 因此平面即为平面， 由于为的中点，所以为中点，    （2）由于四边形为菱形，且，， 所以, 取中点，连接, 由于平面，平面，所以, 又平面, 所以平面, 故即为直线与平面所成角，故， 故，因此    1．（24-25高二上·上海·期中）如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且，正方体的六个面所在的平面与直线相交的平面个数分别记为m，n，则的值为（    ）    A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】根据直线与平面的位置关系判断． 【详解】由正四面体性质知与正方体的六个面都是不平行，因此， 而正四面体中与垂直（证明如下），此， 因此与正方体的左右两个面平行，不相交，但与另外四个面都相交，， 所以， 故选：D． 下面证明： 取中点，连接，因为， 所以， 又，平面，所以平面， 又因为平面，所以．    2．（25-26高三下·甘肃白银·期中）已知均为四边形所在平面外一点，且平面平面，则下列直线与一定不垂直的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于A，当时，可得平面，进而得到即可判断；对于B，同理当时，即可判断，对于C，由，若，则重合，与题意矛盾；对于D，当，时，通过证明平面即可判断． 【详解】解：如图， 设, 对于A，平面，， 当时，又平面， 平面，又平面， ，故A不符合题意； 对于B，同理当时，，故B不符合题意； 对于C，若，又，则重合，与题意矛盾，故C符合题意； 对于D，当，时， 平面平面， ，即共面，， 又平面， 平面，又平面， ，又，平面， 平面，又平面， ，故D不符合题意． 3．（25-26高一下·广东深圳·期中）在三棱柱中，E是棱的中点，D是棱BC上一点，，若平面ADE，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】连接，利用线面平行的性质及平行线分线段成比例定理列式求解. 【详解】在三棱柱中，E是棱的中点，连接，连接， 由平面，平面平面，平面， 得，所以. 4．（24-25高一下·浙江台州·期末）已知空间中四条直线，，，满足：，，，，，则直线与位置关系为（   ） A．垂直 B．平行 C．相交 D．异面 【答案】B 【分析】分为相交垂直和异面垂直两种情况，结合平面的基本性质，线面垂直的判定和线面垂直的性质得. 【详解】若直线为相交垂直，故这两条直线确定一个平面，设为， 又因为直线满足，，，， 由线面垂直的判定定理得，，由线面垂直的性质定理得， 若直线为异面垂直，将两条直线平移到， 一定能让两条直线相交垂直，从而确定一个平面， 同上，可以得到， 综上，直线与位置关系为平行. 故选：B 5．（25-26高二下·四川泸州·期中）在棱长为2的正方体中，直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据线面角的定义得到直线在平面的夹角，再利用直角三角形即可求出该角的正弦值. 【详解】如图所示，连接，交于点，连接. 因为正方体底面是正方形，所以； 又平面，平面，故， 又因平面,故平面. 就是直线与平面所成的角. 正方体棱长为，则，. 在中：. 因此直线与平面所成角的正弦值为. 6．（2026·河北·模拟预测）（多选）如图，已知直四棱柱的侧面为正方形，底面为长方形，，，分别为，，的中点，则下列结论错误的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】ABC 【分析】根据线面平行、线面垂直的判定定理及直四棱柱的性质逐项分析判断即可. 【详解】选项A：平面与平面为同一平面，故平面，故A错误； 选项B：易知，与不垂直，故与不垂直，故与平面不垂直，故B错误. 选项C：如图，连接，平面与平面为同一平面，因为与平面相交，所以与平面相交，故C错误. 选项D：因为直四棱柱的底面为长方形，所以，，，所以平面， 因为平面，所以， 又，所以， 如图，连接，，易知，，故， 因为四边形为正方形，所以，则， 又平面，所以平面，故D正确. 7．（25-26高三上·河北秦皇岛·阶段检测）（多选）如图，三棱柱中，为正三角形，侧棱垂直于底面，为中点，则下列说法正确的是（   ） A．与不垂直 B．平面 C．平面 D． 【答案】ABC 【分析】假设，则有，与矛盾判断A；根据，，结合线面垂直判定定理判断B；根据，结合线面平行判定定理判断C；假设，则有，显然矛盾判断D. 【详解】对于A，为正三角形，为中点，所以， 假设，又，平面， 所以平面，又平面，所以 因为三棱柱中，侧棱垂直于底面，即平面， 又平面，所以， 因为在中，不能同时成立，故矛盾，假设不成立， 所以与不垂直，A选项正确； 对于B选项，因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面，B选项正确； 对于C，由,平面,平面,所以平面，C选项正确； 对于D，在直三棱柱中，，若，则，显然不成立， 故假设错误，即与不平行，D选项错误. 故选：ABC 8．（24-25高一下·海南海口·期末）（多选）已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】根据线面垂直、线面平行、面面平行、面面垂直的判定定理和性质对选项逐一判断即可. 【详解】对于选项A： 若，那么垂直于同一平面的两条直线平行，所以，所以A正确； 对于选项B： 若，那么可能平行，也可能相交，只有当相交时，，所以B错误； 对于选项C： 若，那么可能垂直，可能平行，也可能相交，所以C错误； 对于选项D： 若，那么平面外的一条直线平行于该平面，所以，所以D正确. 故选：AD. 9．（24-25高二下·江苏南京·月考）（多选）如图，在多面体中，侧面为矩形，平面，平面ABC，且，，，则（    ） A．； B．； C．直线与平面所成角的正弦值； D．直线到平面的距离为. 【答案】ACD 【分析】对于A，由线面垂直的性质可得线线垂直，利用勾股定理，可得其正误；对于B，根据线面垂直的判定，结合线面位置关系，可得其正误；对于C，根据线面垂直的性质与判定，结合线面角的定义，利用三角形面积公式以及锐角三角函数，可得其正误；对于D，根据线面平行的判定，结合C可得点面距，可得其正误. 【详解】对于A，因为平面，且平面，所以， 同理可得，故，故A正确； 对于B，在矩形中易知， 因为平面，且平面，所以， 因为，平面，所以平面， 由图可知平面，故B错误； 对于C，在平面内，过作，垂足为，如下图： 因为，，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 故为直线与平面的夹角， 易知的面积，， 则，在中，，故C正确； 对于D，在矩形中，因为平面，平面，所以平面， 由选项C可知点到平面的距离为，即到平面的距离为，故D正确. 故选：ACD. 10．（25-26高二上·河北石家庄·期末）（多选）如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，且，，平面，，分别是，的中点，是线段上的动点，则（    ） A． B． C．直线与底面所成角的正弦值为 D．面积的取值范围是 【答案】AD 【分析】对A用线面垂直判断可得，对C直接由线面角的定义计算可得，对B分别计算两个线段的长度可判断，对D关键求的长度范围，转化为平面几何问题解决. 【详解】因为四棱锥的底面是边长为2的菱形，所以. 又因为平面，平面，所以. 因为，，平面，， 所以平面，又因，所以平面， 所以，故A正确； 因为平面，所以就是直线与底面所成角， 所以在直角三角形中，，所以. 可得，故C错误； 如图，在直角三角形中，，O是的中点，E是线段上的动点， 所以，，即， 由对A选项的分析知，又因为三角形中，，， 所以，所以， 所以，即，故D正确； 又由平面，，所以， 所以在等腰三角形中，，是的中点，如图： 所以， 由余弦定理得， 即，而，故B错误. 故选：AD 11．（25-26高二上·上海浦东新·月考）如图，已知点在平行四边形所在平面外，为线段上靠近的三等分点，为线段上一点，当平面时，___________． 【答案】 【分析】连接，连接，利用平行线分线段成比例定理及线面平行的性质列式求解. 【详解】连接，连接，由，为线段上靠近的三等分点， 得，，由平面，平面平面， 平面，得，所以. 故答案为： 12．（25-26高一下·全国·课堂例题）设，，为三条不同的直线，为一个平面，给出下列说法： ①若，则与相交； ②若，，，，则． 其中正确的说法的序号为____________． 【答案】① 【分析】根据线面垂直的定义即可判断命题①；根据线面垂直的判定定理即可判断命题②. 【详解】①因为，所以直线垂直于平面内的所有直线，且直线与平面有且仅有1个交点（垂足），所以与相交，故①正确. ②由线面垂直的判定定理可知，如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. 题目中未说明和是相交直线，故直线不一定垂直于平面. 故②错误. 故答案为：① 13．（2026·上海·一模）已知平面ABC，，若与以A，B，C为顶点的三角形全等，则的形状为_______. 【答案】等边三角形或直角三角形 【分析】由平面ABC可得，，，再结合可得，为等腰直角三角形，进而分为直角顶点、为直角顶点，两种情况讨论求解即可. 【详解】由平面ABC，平面ABC，可得，，， 又，则为等腰直角三角形，且， 由于与以A，B，C为顶点的三角形全等， 则为等腰直角三角形， 当为直角顶点时，， 结合勾股定理可知，则为等边三角形； 当为直角顶点时，， 因为，，平面， 所以平面，又平面，所以， 又，所以为直角三角形. 综上所述，为等边三角形或直角三角形. 14．（25-26高一下·北京朝阳·期中）如图，棱长为4的正方体中，点C到平面的距离为________． 【答案】/ 【分析】利用等积法求解即可. 【详解】设点C到平面的距离为， 因为， 所以， 因为正方体棱长为， 所以， 所以是等边三角形， 所以， 又因为， 代入体积公式得. 15．（25-26高二上·上海浦东新·阶段检测）如图，在直角三角形中，，现将其放置在平面的上面，其中点、在平面的同一侧，点平面，与平面所成的角为，则点到平面的最大距离是___________． 【答案】9 【分析】作辅助线，判断当四点共面时，点到的距离最大，算出，进而得到答案. 【详解】如图， 过作，交于，过作，交于， 因为在中，，则， 当四点共面时，点到的距离最大. 因为，所以是BC与平面所成的角，则，则， 于是，，即到的最大距离为. 故答案为： 16．（25-26高一下·山东济宁·期中）如图，在四棱锥中，底面为梯形，且，且为的中点． (1)求证：平面； (2)设平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)平面，证明见解析 【分析】（1）取线段中点，利用中位线及已知平行关系构造平行四边形，从而证得，进而推出线面平行； （2）由已证的线面平行及线在另一平面内，得两平面交线与该线平行，从而该交线平行于目标平面. 【详解】（1）证明：设为的中点，连接，． 又因为为的中点，所以，， 又因为，，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面 （2）直线与平面平行，证明如下： 因为平面，平面，平面平面，所以， 又因为平面，平面，所以平面. 17．（25-26高一下·江苏无锡·期中）如图，在正方体中，M，N分别是，的中点. (1)求证：平面； (2)若在棱上有一点P，满足平面，请你求出的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）要证明线面平行，则需要证明线线平行即可得到线面平行. （2）在线段上取一点，使得为靠近的四分之一处的点，根据线面平行的判定证明即可. 【详解】（1）因为分别是，的中点，所以. 因为平面，而不在平面内， 所以平面. （2）设交于点，在线段上取一点，使得为靠近的四分之一处的点. 连接，在中，因为， 所以，又平面，而不在平面内， 所以平面，符合题意，此时. 18．（25-26高一下·北京朝阳·期中）如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，；点E在线段上，且． (1)设平面平面，证明：； (2)证明：； (3)线段上是否存在点M，使得平面?若存在，请证明，并求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)点M为线段上靠近C的四等分点， 【分析】（1）根据线面平行的性质定理证明线线平行. （2）通过证明线面垂直得平面，进而利用线面垂直的性质定理可证线线垂直. （3）根据面面平行的判定定理作出平面平面.，再结合平行线分线段成比例定理求的长. 【详解】（1）因为四边形为矩形，所以， 因为平面，平面，所以平面. 又平面，平面平面，所以. （2）因为平面，又平面，所以. 又底面为矩形，所以. 平面，，所以平面. 平面，所以. 在中，，，， 所以，所以. 平面，，所以平面. 又平面，所以. （3）如图： 过作，交于点，过作交于点. 因为，平面，平面，所以平面. 同理平面. 又平面，，所以平面平面. 由（1）知，，又，则， 则， 因为，. 所以， 所以点M为线段上靠近C的四等分点，. 19．（25-26高一下·天津蓟州·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，为中点，平面，，为中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）作出辅助线，由中位线得到线线平行，进而证明出线面平行； （2）由余弦定理求出，从而由勾股定理逆定理得到，由线面垂直得到，从而证明出结论； （3）作出辅助线，得到直线与平面所成角，求出各边长，求出余弦值. 【详解】（1）连接，因为底面为平行四边形， 为中点，故与相交于， 因为为的中点，则， 因为平面，平面， 所以平面. （2）因为，， 由余弦定理得， 即，解得， 因为，所以， 因为平面，平面，所以， 因为平面，且交于， 所以平面. （3）取的中点，连接，则， 因为平面，所以平面， 则为直线与平面所成角， 其中，故， 因为，， 由勾股定理得，故， 由勾股定理得，所以， 即直线与平面所成角的余弦值为． 20．（24-25高一下·浙江台州·期中）如图，在四棱台中，底面是正方形，平面，，，． (1)求证：平面； (2)求直线到平面的距离； (3)若点P是平面内的动点，且满足，设直线与平面所成角为，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接交于，则可得，由线面平行的判定定理可得平面； （2）利用等积法可求线面距离； （3）由空间中垂直关系的转化可得的轨迹为，由线面角的定义可得即为线面角，故可得其最大值，故可得其正切的最大值. 【详解】（1）连接AC交BD于，连接，则， 因为，由四棱台的性质可得，且， 故四边形为平行四边形，故， 不包含于面面，故面. （2）面，直线到平面的距离等价于点到平面的距离， ， ，，，， 取DC中点，连，，可得，而平面， 故平面，由平面，故， ，得， ，，故， 故，故． （3） 连接，因为，由四棱台的性质可得， 故四边形为平行四边形，故，故平面， 而平面，故，又，， 平面，故平面， ，点在面内的动点，点面面， 面，为与面所成的平面角， ，DO最小为，则最大为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13.6 直线与平面的位置关系重难点题型专训 （3个知识点+10大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 判断线面平行 题型二 证明线面平行 题型三 线面平行的性质 题型四 由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 题型五 证明线面垂直 题型六 线面垂直证明线线平行 题型七 线面垂直证明线线垂直 题型八 求点面距离 题型九 求线面角 题型十 由线面角的大小求值 拓展训练一 线面平行与垂直相关求解 拓展训练二 线面角的相关求解 知识点一： 直线与平面的位置关系 2、直线与平面的位置关系 位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行 公共点 无数个公共点 一个公共点 没有公共点 符号表示 a⊂α a∩α＝A a∥α 图形表示 【即时训练】 1．（2026高一·江苏·专题练习）已知平面α与β互相垂直，α与β交于l，m和n分别是平面α，β上的直线．若m，n均与l既不平行．也不垂直，则m与n的位置关系是（    ） A．可能垂直，但不可能平行 B．可能平行，但不可能垂直 C．可能垂直，也可能平行 D．既不可能垂直，也不可能平行 2．（25-26高三上·北京·月考）已知直线和两个不同的平面、，且，，则、的位置关系是_____． 知识点二： 直线与平面平行的定理 1、文字语言：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，该直线与此平面平行 2、符号：aα，b⊂α，a∥b⇒a∥α. 3、图形语言： 4、文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行． 5、符号语言：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b. 6、图形语言： 【即时训练】 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知直线直线b，直线c，平面，则（   ） A． B． C．a与相交 D．或 2．（24-25高三·全国·一轮复习）如图甲，在梯形中，，分别为的中点，以为折痕把折起，使点D不落在平面内（如图乙），那么在以下3个结论中，正确结论是______. ①平面；②平面；③平面. 知识点三： 直线与平面垂直 1、文字语言：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直 2、符号语言：l⊥α 3、有关概念：直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．它们唯一的公共点P叫做垂足 4、图形语言： 5、画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直. 6、空间距离 ①点到平面的距离：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离 ②直线到平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离. ③两个平行平面间的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离. 【注意】过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条. 直线与平面垂直的判定定理 1、文字语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 2、符号语言：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α 3、图形语言： 4、作用：证明线面垂直 直线与平面垂直的性质定理 1、文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行. 2、符号语言：⇒a∥b 3、图形语言： 4、作用：①线面垂直⇒线线平行 ②作平行线 5、推论： （1）一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直． （2）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个平面. （3）若一条之心垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另外一个平面/ （4）垂直于同一条直线的两个平行平行. 【即时训练】 1．（24-25高二上·江西抚州·期末）如图，在正方体中，是底面的中心，分别是棱的中点，则直线（    ） A．是和的公垂线 B．垂直于但不垂直于 C．垂直于，但不垂直于 D．与都不垂直 2．（24-25高一下·山东菏泽·月考）如图，矩形ABCD，有下列结论：①，②，③BD，④．其中正确的是_____________（填序号）． 【经典例题一 判断线面平行】 【例1】（25-26高二下·四川成都·月考），分别为菱形的边，的中点，将菱形沿对角线折起，使点不在平面内，则在翻折过程中，直线与平面的位置关系为（    ） A．平行 B．相交 C．相交或平行 D．无法判断 【例2】（25-26高二·上海·课堂例题）如图，在四面体ABCD中，E、F分别是、的重心．该四面体中，哪些面与EF平行？请说明理由． 1．（25-26高一下·浙江·期中）如图，在正方体中，点是的中点，则下列直线中与平面平行的是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 2．（25-26高一下·广东广州·期中）（多选）下列四个命题中错误的是（    ） A．如果，是两条直线且，那么平行于经过的任何一个平面 B．如果直线和平面满足，那么与平面内的任何一条直线平行 C．如果直线，和平面满足，，，那么 D．如果直线与平面内的无数条直线平行，那么直线必平行于平面 3．（24-25高一下·天津·期中）在正方体中，，，分别是，，的中点.给出下列三个推断： ①平面; ②平面; ③平面; 其中推断正确的序号是______________________________. 4．（24-25高一下·山东滨州·期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，，AB=2CD，设平面PAD与平面PBC的交线为l，PA，PB的中点分别为E，F，证明：平面DEF．    【经典例题二 证明线面平行】 【例1】（25-26高一·全国·课后作业）已知平行六面体，则下面四条直线中与平面平行的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2026高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，分别为CD，PA的中点.证明：平面PBC； 1．（2025·海南·模拟预测）如图，在直三棱柱中，点D，E分别在棱上，，点满足，若平面，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一·全国·课后作业）（多选）如图，下列正三棱柱中，若、、分别为其所在棱的中点，则能得出平面的是（    ） A．   B．   C．   D．   3．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，已知正方体，，分别为，的中点，点在上底面（含边界）上运动.请补充一个恰当条件，当点满足___________时，有平面. 4．（25-26高一下·陕西铜川·期中）如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面为正三角形，为线段上一点，为的中点． (1)当为的中点时，求证：平面 (2)当平面 ，求的值，并说明理由． 【经典例题三 线面平行的性质】 【例1】（24-25高一下·安徽蚌埠·期中）如图，在四棱锥中，，，点E是棱PD的中点，PC与平面ABE交于F点，设，则（   ） A．3 B．2 C． D． 【例2】（24-25高一下·全国·课前预习）如图，直线平面，直线平面，直线与直线一定平行吗？ 1．（24-25高一下·河北保定·月考）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的鳖臑中，平面BCD，，E，F分别为BC，AD的中点，过EF的截面与AC交于点G，与BD交于点H，，若截面，且截面，四边形GEHF是正方形，则（    ） A． B．1 C． D．2 2．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）如图，在三棱锥中，E，F分别为AB，AD的中点，过EF的平面截三棱锥得到的截面为，则下列结论中一定成立的是（    ）    A． B． C．平面 D．平面 3．（24-25高二上·上海浦东新·月考）如图，已知点在平行四边形所在平面外，E为线段上靠近A的三等分点，F为线段上一点，当平面时，__________.    4．（24-25高三·全国·一轮复习）如图1所示，在四边形中，，为上一点，，，将四边形沿折起，使得，得到如图2所示的四棱锥．若平面平面，证明：. 【经典例题四 由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置】 【例1】（24-25高一下·广东·期中）如图，在平行六面体中，点是上靠近的三等分点，直线DM交平面于点，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高三·全国·一轮复习）如图，在直三棱柱中，，且，点在线段（含端点）上运动，设．当平面时，求实数的值. 1．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，在三棱锥中，点D，E分别为棱PB，BC的中点.若点F在线段AC上，且满足平面PEF，则的值为（   ）    A．1 B．2 C． D． 2．（2025·山东·模拟预测）（多选）设为平面内的个点，平面内到点的距离之和最小的点，称为点的“优点”.例如，线段上的任意点都是端点的优点.则有下列命题为真命题的有：（    ） A．若三个点共线，在线段上，则是的优点 B．若四个点共线，则它们的优点存在且唯一 C．若四个点能构成四边形，则它们的优点存在且唯一 D．直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的优点 3．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）如图，在三棱柱中，E是棱上的一点，且，D是棱BC上一点.若平面ADE，则的值为________. 4．（25-26高三·全国·二轮复习）如图，四棱锥中，底面是菱形，，分别是棱，上的点，平面，且.求证：. 【经典例题五 证明线面垂直】 【例1】（24-25高一下·北京东城·期末）在正方体中，，为侧面上一动点．若，则的长的最大值为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025高二上·山东枣庄·学业考试）如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形. (1)求证：平面； (2)求证：平面. 1．（24-25高一下·四川自贡·期末）已知棱长为2的正四面体，E、F分别BD和BC的中点，M是线段AE上的动点，N为平面ADF上的动点，则的最小值为（） A． B． C． D． 2．（2025高三上·广西·学业考试）（多选）如图，在矩形纸片中，A，B分别是边，的中点．将纸片沿翻折后竖起放在桌面上，，与桌面接触，桌面所在平面记为，那么下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江西九江·期末）在直四棱柱中，底面是平行四边形，，，，点是的中点，是平面内一动点，则周长的最小值为______． 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，平面，. 求证：平面 【经典例题六 线面垂直证明线线平行】 【例1】（2025高二·北京·学业考试）已知两条直线，和平面，那么下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【例2】（24-25高一下·全国·课前预习） （1）如图，已知直线a，b和平面，如果，，那么直线a，b一定平行吗？ （2）你能证明吗？ 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）在空间中，下列命题正确的是（    ） A．垂直于同一条直线的两直线平行 B．平行于同一条直线的两个平面平行 C．垂直于同一平面的两个平面平行 D．垂直于同一平面的两条直线平行 2．（2026高一下·全国·专题练习）（多选）直线a和b在正方体的两个不同平面内，使成立的条件是（   ） A．a和b垂直于正方体的同一个面 B．a和b在正方体两个相对的面内，且共面 C．a和b平行于同一条棱 D．a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直 3．（2025高一下·全国·专题练习）已知，若直线，直线，且l，m为两条不同的直线，则l，m的位置关系是______. 4．（24-25高一下·江苏·期中）如图所示，在正方体中，与，都垂直相交，垂足分别是点、点. (1)求证：平面； (2)求证：. 【经典例题七 线面垂直证明线线垂直】 【例1】（24-25高一下·福建莆田·月考）在三棱锥中，若，则顶点P在平面ABC内的射影是的（   ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【例2】（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，三棱锥中，平面平面ABC，，M为AC的中点，， 求证： 1．（2025高三上·江苏·学业考试）在《九章算术》中，将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”，在如图所示的“羡除”中，；四边形为等腰梯形.若平面，四边形为正方形，，，，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·云南昆明·期中）（多选）设、为两条直线，、为两个平面，，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（25-26高二上·上海浦东新·月考）在四面体中，若两两互相垂直，则点在平面上的投影是的___________心． 4．（25-26高一·全国·假期作业）如图，在圆锥PO中，AB为底面圆O的直径，C，D为圆O上不与A，B重合的点，且，，.求证：平面POC； 【经典例题八 求点面距离】 【例1】（25-26高二上·河北石家庄·月考）在空间直角坐标系中，点的坐标为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·上海·月考）已知正方体的棱长为，求点到平面的距离.    1．（24-25高一下·全国·随堂练习）线段AB的端点A，B到平面的距离分别是30cm和50cm，则线段AB的中点P到平面的距离为（    ） A．40cm B．10cm C．80cm D．40cm或10cm 2．（24-25高一下·云南昭通·期末）（多选）如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别是，的中点，则下列说法正确的是（    ）    A．MN与AD所成夹角为 B． C． D．点C到平面ABM的距离为 3．（25-26高二上·天津·期末）如图，直三棱柱中，，，，点D是中点，则点到直线的距离是_______.    4．（2025高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，，，，，求点到平面的距离. 【经典例题九 求线面角】 【例1】（24-25高一下·湖南永州·期末）如图1，已知四边形PABC是直角梯形，，，，D是线段PC中点.将沿AD翻折，使，连接PB，PC，如图2所示，则PB与平面ABCD所成角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一下·山东青岛·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为线段的中点． (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的大小． 1．（25-26高三下·辽宁葫芦岛·期中）在长方体中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏苏州·模拟预测）正方体，直线与平面所成的角的大小是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·北京·月考）正四棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则侧面与底面所成二面角的余弦值为______． 4．（2025高三·全国·专题练习） 如图，已知三棱锥的侧棱、、两两垂直，长度分别为，，，设侧棱、、与底面的所成角分别、、，证明：．    【经典例题十 由线面角的大小求值】 【例1】（24-25高二上·北京·期中）正方体中，为正方形中心，（），直线与平面所成角为，则取最大时的值为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二·上海·课堂例题）如图，SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆的圆心，底面圆半径为10，C是SB的中点，，AC与底面所成角的大小为45°，求的面积． 1．（24-25高一下·陕西西安·月考）设PA垂直于△ABC所在的平面α，，PB、PC分别与α成和角，，点P到BC的距离是（　　） A． B． C．2 D．4 2．（25-26高一下·河北邢台·阶段检测）（多选）在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则下列说法错误的是（    ） A． B．与平面所成的角为 C． D．与平面所成的角为 3．（24-25高二上·上海·期中）设点到平面的距离为，点在平面上，使得直线与所成的角不小于且不大于，则满足条件的点构成的区域的面积为__________. 4．（2025高三·全国·专题练习）如图，圆锥顶点为，底面圆圆心为，其母线与底面所成的角为．和是底面圆圆上的两条平行的弦，轴与平面所成的角为．    (1)求证：平面与平面的交线平行于底面； (2)求． 【拓展训练一 线面平行与垂直相关求解】 【例1】（25-26高二上·广东潮州·期末）已知四面体中，点满足，点满足，则（   ） A． B． C．平面 D．平面 【例2】（25-26高一下·四川成都·期中）(本题若使用空间向量，相关步骤不得分)如图，已知正四面体的棱长为，为底面的外心，为中点. (1)连接，证明：平面. (2)设的中点为，求与平面夹角的正弦值. 1．（25-26高二上·贵州遵义·期末）对于空间中不同的平面，不同的直线，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（2026·广东深圳·一模）（多选）在正三棱台中，为的中点，则（   ） A． B．平面 C． D．平面 3．（2026高一·全国·专题练习）如图所示，在棱长为1的正方体中，点是棱的中点，点是棱上的动点，则点为______时平面. 4．（24-25高一下·广东汕头·期中）如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，，为中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)设平面平面，求证：平面． 【拓展训练二 线面角的相关求解】 【例1】（2025·湖南·模拟预测）已知正方体，，点E为平面内的动点，设直线与平面所成的角为，若则点的轨迹所围成的图形面积的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高一下·广东东莞·期中）如图，正三棱柱中，，是的中点， (1)求证：∥平面； (2)求直线和平面所成的角. 1．（25-26高三上·安徽·月考）在棱长均为 2 的正三棱柱 中， 是棱 的中点， 是侧面 内任意一点 (包含边界)，则直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．（2025·全国·模拟预测）（多选）已知正四面体的棱长为1，点为棱的中点，点为内部（含边界）一动点，则（    ） A．当时，点的轨迹为圆弧 B．当时，点的轨迹长度为 C．若与平面所成角的正切值为，则点的轨迹长度为 D．直线与平面所成角的正弦值最大为 3．（2026高一·全国·专题练习）在四棱锥中，底面为正方形，且，记直线与底面所成的角为，则的最大值为_____. 4．（24-25高二上·上海黄浦·期末）如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面ABCD，为的中点． (1)设平面与直线相交于点，求证：为的中点； (2)若，，直线与平面所成角的大小为，求PD的长． 1．（24-25高二上·上海·期中）如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且，正方体的六个面所在的平面与直线相交的平面个数分别记为m，n，则的值为（    ）    A．7 B．8 C．9 D．10 2．（25-26高三下·甘肃白银·期中）已知均为四边形所在平面外一点，且平面平面，则下列直线与一定不垂直的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·广东深圳·期中）在三棱柱中，E是棱的中点，D是棱BC上一点，，若平面ADE，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（24-25高一下·浙江台州·期末）已知空间中四条直线，，，满足：，，，，，则直线与位置关系为（   ） A．垂直 B．平行 C．相交 D．异面 5．（25-26高二下·四川泸州·期中）在棱长为2的正方体中，直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·河北·模拟预测）（多选）如图，已知直四棱柱的侧面为正方形，底面为长方形，，，分别为，，的中点，则下列结论错误的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 7．（25-26高三上·河北秦皇岛·阶段检测）（多选）如图，三棱柱中，为正三角形，侧棱垂直于底面，为中点，则下列说法正确的是（   ） A．与不垂直 B．平面 C．平面 D． 8．（24-25高一下·海南海口·期末）（多选）已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．（24-25高二下·江苏南京·月考）（多选）如图，在多面体中，侧面为矩形，平面，平面ABC，且，，，则（    ） A．； B．； C．直线与平面所成角的正弦值； D．直线到平面的距离为. 10．（25-26高二上·河北石家庄·期末）（多选）如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，且，，平面，，分别是，的中点，是线段上的动点，则（    ） A． B． C．直线与底面所成角的正弦值为 D．面积的取值范围是 11．（25-26高二上·上海浦东新·月考）如图，已知点在平行四边形所在平面外，为线段上靠近的三等分点，为线段上一点，当平面时，___________． 12．（25-26高一下·全国·课堂例题）设，，为三条不同的直线，为一个平面，给出下列说法： ①若，则与相交； ②若，，，，则． 其中正确的说法的序号为____________． 13．（2026·上海·一模）已知平面ABC，，若与以A，B，C为顶点的三角形全等，则的形状为_______. 14．（25-26高一下·北京朝阳·期中）如图，棱长为4的正方体中，点C到平面的距离为________． 15．（25-26高二上·上海浦东新·阶段检测）如图，在直角三角形中，，现将其放置在平面的上面，其中点、在平面的同一侧，点平面，与平面所成的角为，则点到平面的最大距离是___________． 16．（25-26高一下·山东济宁·期中）如图，在四棱锥中，底面为梯形，且，且为的中点． (1)求证：平面； (2)设平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并证明． 17．（25-26高一下·江苏无锡·期中）如图，在正方体中，M，N分别是，的中点. (1)求证：平面； (2)若在棱上有一点P，满足平面，请你求出的值. 18．（25-26高一下·北京朝阳·期中）如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，；点E在线段上，且． (1)设平面平面，证明：； (2)证明：； (3)线段上是否存在点M，使得平面?若存在，请证明，并求出的长；若不存在，请说明理由． 19．（25-26高一下·天津蓟州·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，为中点，平面，，为中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)求直线与平面所成角的余弦值． 20．（24-25高一下·浙江台州·期中）如图，在四棱台中，底面是正方形，平面，，，． (1)求证：平面； (2)求直线到平面的距离； (3)若点P是平面内的动点，且满足，设直线与平面所成角为，求的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $