专题11.2 余弦定理、正弦定理的应用重难点题型讲义（3个知识点+2大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高一下学期数学重难点专题提升精讲精练（苏教版必修第二册）

专题11.2 余弦定理、正弦定理的应用重难点题型专训 （3个知识点+2大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 正、余弦定理判定三角形形状 题型二 求三角形中的边长或周长的最值或范围 题型三 几何图形中的计算 题型四 距离测量问题 题型五 高度测量问题 题型六 角度测量问题 题型七 正、余弦定理的其他应用 拓展训练一 正、余弦定理的相关应用 拓展训练二 测量问题的方式 知识点一： 测量距离问题 1、常见题型与解决方法 （1）两点间不可通又不可视(如图①)：可取某点C，使得A，B与C之间的距离可直接测量，测出AC＝b，BC＝a以及∠ACB＝γ，利用余弦定理得：AB＝. （2）两点间可视但不可到达(如图②)：可选取与B同侧的点C，测出BC＝a以及∠ABC和∠ACB，先使用内角和定理求出∠BAC，再利用正弦定理求出AB. （3）两点都不可到达(如图③)：在河边测量对岸两个建筑物之间的距离，可先在一侧选取两点C，D，测出CD＝m，∠ACB，∠BCD，∠ADC，∠ADB，再在△BCD中求出BC，在△ADC中求出AC，最后在△ABC中，由余弦定理求出AB. 2、求距离问题的注意事项 （1）选角或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知，则直接求解；若其他量位置，则把未知量放在另一确定的三角形中求解； （2）确定正弦定理还是余弦定理，如都可以，就选便于计算的定理。 【即时训练】 1．（24-25高一下·江苏南京·期中）如图，，，为某山脚两侧共线的三点，在山顶处测得三点的俯角分别为，，，现需要沿直线开通穿山隧道，已知，，，则隧道的长度为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·湖南·期中）某日中午甲船以的速度沿北偏东的方向驶离码头，下午乙船沿东偏南的方向匀速驶离码头，下午甲船到达地，乙船到达地，且在的西偏南的方向上，则乙船的航行速度是________.（取，） 知识点二： 测量高度问题 1、在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键． 2、在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错． 3、注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题． 【即时训练】 1．（24-25高一下·湖北武汉·期末）如图，某同学为了测量长江对岸的武汉龟山电视塔塔高时，选取与龟山电视塔塔底B在同一水平面内蛇山上两个测量基点C与D．现测得，，，在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·云南大理·月考）小华为测量旗杆的高度OP，在与旗杆底部同一水平面上选取相距20米的A，B（在线段OB上）两处作为测量点，在A处测得旗杆顶部的仰角为，在处测得旗杆顶部的仰角为，则旗杆的高度____________米． 知识点三： 测量角度问题 1、测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义； 2、求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值； 3、在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题过程中也要注意体会正、余弦定理综合使用的优点。 【即时训练】 1．（2025·北京通州·一模）太阳高度角是太阳光线与地面所成的角（即太阳在当地的仰角）．设地球表面某地正午太阳高度角为，为此时太阳直射点纬度，为当地纬度值，那么这三个量满足．通州区某校学生科技社团尝试估测通州区当地纬度值（取正值），选择春分当日（）测算正午太阳高度角．他们将长度为1米的木杆垂直立于地面，测量木杆的影长．分为甲、乙、丙、丁四个小组在同一场地进行，测量结果如下： 组别 甲组 乙组 丙组 丁组 木杆影长度（米） 0.82 0.80 0.83 0.85 则四组中对通州区当地纬度估测值最大的一组是（     ） A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．丁组 2．（25-26高一·全国·课后作业）如图所示为一角槽，已知AB⊥AD，AB⊥BE，并测量得AC＝3mm，BC＝2mm，AB＝mm，则∠ACB＝________． 【经典例题一 正、余弦定理判定三角形形状】 【例1】（24-25高一下·湖北·期中）设的面积为，角所对的边分别为，且，若，则此三角形的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【例2】（24-25高一上·上海·课堂例题）在中，若，，判断的形状； 1．（24-25高一上·湖北十堰·自主招生）如图，在的方格纸上，记，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高二下·福建泉州·期末）记的内角的对边分别为，，，为边的中点，则下列说法正确的是（ ） A．若，则是等边三角形 B．若，则是直角三角形 C．若，则是锐角三角形 D．若，则是钝角三角形 3．（24-25高一下·河南三门峡·期中）已知中，内角，，的对边分别为，，，，则的形状是__________. 4．（24-25高一下·陕西安康·期末）已知的三个内角、、所对的边分别为、、，. (1)求的大小； (2)若，试判断的形状. 【经典例题二 求三角形中的边长或周长的最值或范围】 【例1】（25-26高一·全国·课后作业）在钝角三角形中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则边c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高三上·陕西渭南·期末）在中，，求的最大值． 1．（24-25高一上·河北保定·期末）如图，在中，，将绕顶点C逆时针旋转得到，M是BC的中点，P是的中点，连接PM．若，则线段PM的最大值为（    ） A．2.5 B． C．3 D．4 2．（多选）（24-25高一下·江苏泰州·期中）在锐角中，边长，，则边长c可能的取值是（    ） A． B．2 C． D． 3．（2026高一下·全国·专题练习）为改善居民生活环境，政府拟将一公园进行改造扩建，已知原公园是直径为200米的半圆形，出入口在圆心处，为居民小区，的距离为米，按照设计要求，以居民小区和圆弧上点作线段向半圆外作等腰直角三角形为直角顶点），使改造后的公园成四边形，如图所示，当取得最大值时，________． 4．（25-26高三上·湖北·月考）在中，内角的对边分别为，且． (1)求的大小； (2)为边的中点，且，求的长． 【经典例题三 几何图形中的计算】 【例1】（24-25高二上·河南郑州·月考）如图所示，点是等边外一点，且，，，则的周长为（ ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一下·山西长治·月考）（1）在中，已知，，，求； （2）在中，,,，求边AC上的高． 1．（24-25高一下·重庆·期末）某工业园区有A、B、C共3个厂区，其中，，，现计划在工业园区外选择P处建一仓库，若，则CP的最大值为（    ）    A．6km B． C． D． 2．（多选）（24-25高一下·重庆·期中）在中，是边上一点，，下列正确的是（    ） A． B． C．为锐角三角形 D．可能为钝角 3．（2024·广东茂名·二模）在中，，点在线段上，且，则______________. 4．（2024高三·全国·专题练习）已知的内角对应的边分别为，的面积为，点在边上，若，求． 【经典例题四 距离测量问题】 【例1】（24-25高一下·河南·期末）某数学建模活动小组在开展主题为“空中不可到达两点的测距问题”的探究活动中，构建了如图所示的几何模型，该模型中均与平面垂直．现已测得可直接到达的两点间距离，用测角仪测得，且在点C处测得点M，N的仰角分别为，，则M，N两点之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025高三上·全国·专题练习）如图，A、B两点都在河的对岸(不可到达)，若在河岸选取相距20米的C、D两点，测得∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠CDB＝45°，∠BDA＝60°，那么此时A，B两点间的距离是多少？ 1．（24-25高二下·浙江丽水·期末）如图两点在河的同侧，且、两点均不可到达．现需测、两点间的距离，测量者在河对岸选定两点、，测得，同时在、两点分别测得，，，则、两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高一下·广东佛山·期中）如图，要测量河对岸C，D两点间的距离，在河边一侧选定两点A，B，测出AB间的距离为20m，∠DAB=75，∠CAB=30，AB⊥BC，∠ABD= 60则（    ） A．BD=10(3 +)m B．DC = 10m C．DC = 10m D．BC = 10m 3．（24-25高一下·浙江杭州·期中）一艘轮船按照北偏东方向，以18海里/小时的速度直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东方向上，经过10分钟的航行，轮船与灯塔的距离为海里，则灯塔与轮船原来的距离为_____海里. 4．（24-25高一下·河南·月考）如图，为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅锤平面内，在点A 测得，，在点 B 测得，，测得. (1)求点A 和点 N 之间的距离； (2)求两山顶M，N间的距离. 【经典例题五 高度测量问题】 【例1】（24-25高一下·河南郑州·期末）如图，为了测量某塔楼的高度，将一无人机（视为质点）飞升至离地面高为h 米的点A 处时，测得塔尖C 的俯角为α，无人机沿水平方向飞行b 米后至点B 处时，测得塔尖C的俯角为β，则塔尖C距离地面（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影．如图，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座5G基站，已知基站高，该同学眼高（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置处（眼睛所在位置）测得基站底部的仰角为，测得基站顶端的仰角为，求出山高（结果保留整数）．（参考数据：，，，，） 1．（25-26高二上·云南曲靖·月考）如图，公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一平面上．一人在公路上向东行走，在点A处测得楼顶的仰角为45°，行走80米到点B处，测得仰角为30°，再行走80米到点C处，测得仰角为，则（   ）    A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高一下·安徽阜阳·月考）如图，在离地面高400m的热气球上，观测到山顶C处的仰角为，山脚A处的俯角为，已知，则下列选项中山的高度BC错误的是（    ）    A．700m B．640m C．600m D．560m 3．（24-25高一下·重庆·期中）“大美中国古建筑名塔”文峰塔以石为基，用青砖白砂灰砌筑建成．如图，测量河对岸的文峰塔高时，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量点C与D．现测得，，，在点C处测得塔顶A的仰角，则塔高为____m． 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而名传千古，流芳后世.如图，在滕王阁旁地面上共线的三点A、B、C处测得阁顶端点P的仰角分别为30°、60°、45°，且米，求滕王阁的高度. 【经典例题六 角度测量问题】 【例1】（24-25高一下·湖北武汉·月考）已知甲船在海岛的正南A处，海里，甲船以每小时4海里的速度向正北航行，同时乙船自海岛出发以每小时6海里的速度向北偏东60°的方向驶去，当航行一小时后，甲船在乙船的（    ） A．北偏东30°方向 B．北偏东15°方向 C．南偏西30°方向 D．南偏西15°方向 【例2】（24-25高三上·上海杨浦·期中）如图，一辆汽车在水平的公路上向正西直线行驶，到处时测得公路北侧远处一山顶（在水平面上的射影为点）在西偏北的方向上，仰角为，行驶后到达处，测得山顶在西偏北的方向上． (1)求此山的高度（单位，精确到）： (2)求汽车行驶过程中仰望山顶的仰角的最大值（精确到） 1．（2026高二·全国·课后作业）如图所示，长为的木棒斜靠在石堤旁，木棒的一端在离堤足处的地面上，另一端在离堤足处的石堤上，石堤的倾斜角为，则坡度值等于（   ）. A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高一下·安徽安庆·月考）如图，在海岸上有两个观测点C，D，C在D的正西方向，距离为2 km，在某天10:00观察到某航船在A处，此时测得∠ADC=30°，5分钟后该船行驶至B处，此时测得∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，则（    ） A．当天10:00时，该船位于观测点C的北偏西15°方向 B．当天10:00时，该船距离观测点Ckm C．当船行驶至B处时，该船距观测点Ckm D．该船在由A行驶至B的这5 min内行驶了km 3．（24-25高一下·安徽铜陵·月考）如图，为测塔高，在塔底所在的水平面内取一点C，测得塔顶的仰角为θ，由C向塔前进30米后到点D，测得塔顶的仰角为2θ，再由D向塔前进米后到点E，测得塔顶的仰角为4θ，则θ＝_____，塔高为_____________米． 4．（24-25高一下·贵州黔东南·期中）如图，某运动员从市出发沿海岸一条笔直的公路以每小时的速度向东进行长跑训练，长跑开始时，在市南偏东方向距市的处有一艘小艇，小艇与海岸距离为，若小艇与运动员同时出发，要追上这位运动员.    (1)小艇至少以多大的速度行驶才能追上这位运动员？ (2)求小艇以最小速度行驶时的行驶方向与的夹角. 【经典例题七 正、余弦定理的其他应用】 【例1】（2025·陕西榆林·二模）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜．其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步．欲知为田几何．”题意是有一个三角形的沙田，其三边长分别为13里、14里、15里、1里为300步，设6尺为1步，1尺＝0.231米，则该沙田的面积约为（    ）（结果精确到0.1，参考数据：） A．15.6平方千米 B．15．2平方千米 C．14.8平方千米 D．14.5平方千米 【例2】（24-25高三上·上海杨浦·月考）如图，一艘湖面清运船在处发现位于它正西方向的处和北偏东方向上的处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到的距离比到的距离少40米，于是选择沿路线清扫．已知清运船的直线行走速度为2米/秒，总共用了100秒钟完成了清扫任务（忽略清运船打捞垃圾及在处转向所用时间）． （1）、两处垃圾的距离是多少？ （2）清运船此次清扫行走路线的夹角是多少？（用反三角函数表示） 1．（2025高三·全国·专题练习）甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，相距a海里的B处，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的倍，甲船为了尽快追上乙船，朝北偏东θ方向前进，则θ＝（    ） A．15° B．30° C．45° D．60° 2．（24-25高二上·河北·期中）台风中心从地以的速度向西北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市在地正西方向的处，则城市处于危险地区内的时长为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三·全国·月考）如图，某校园内有一块圆形草坪，其内接区域内种植花卉（阴影部分），已知，，，现为了扩大花卉的种植面积，欲在弧上找一点，使得新的种植区域的面积（单位：）最大，则的值为________． 4．（24-25高一下·黑龙江牡丹江·期中）在某海滨城市附近海面上有一台风，据监测，当前台风中心位于城市的东偏南方向300km的海面处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几时后该城市开始受到台风的侵袭?    【拓展训练一 正、余弦定理的相关应用】 【例1】（25-26高三上·陕西咸阳·期末）若，，是的内角，，的对边，，且，则是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．三边互不相等的直角三角形 D．等腰直角三角形 【例2】（24-25高一下·湖南永州·期末）在锐角中，角A，B，C所对应边分别为a，b，c，. (1)求A； (2)若，求的取值范围. 1．（24-25高一下·广东深圳·期中）海上某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为海里处；在处看灯塔，在货轮的北偏西，距离为海里处；货轮由处向正北航行到处时看灯塔在北偏东，则灯塔与处之间的距离为（    ） A． B． C． D．12 2．（多选）（24-25高三上·福建福州·月考）在中，角，，的对边分别是，，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，，，则有两解 C．若，则为锐角三角形 D．若，则为等腰三角形或直角三角形 3．（24-25高一下·浙江·月考）如图，城气象台测得台风中心从城正西方向300千米处以每小时千米的速度向北偏东的方向移动，距台风中心200千米的范围内为受台风影响的区域，若城受到这次台风的影响，那么城遭受这次影响的时长为________小时． 4．（2025·湖南益阳·模拟预测）已知的内角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，求的取值范围. 【拓展训练二 测量问题的方式】 【例1】（2025·湖北荆州·模拟预测）如图，为山脚两侧共线的三点，这三点处依次测得对山顶的仰角分别为，计划沿直线开通隧道，设的长度分别为.为了测出隧道的长度，还需直接测出（    ）的值. A．和 B．和 C．和 D．三者 【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）为了测量上海东方明珠塔的高度，某人站在A处测得塔尖的仰角为75.5°，前进38.5m后，到达B处测得塔尖的仰角为80.0°，试计算东方明珠塔的高度．（精确到1m） 1．（24-25高一下·重庆荣昌·月考）重庆市酉阳山正阳楼现已竣工，它的建筑风格独特，融合了传统与现代的元素，现已成为新的网红打卡地．黔江中学高一21班某同学周末参加户外实践活动，为了测量楼高，在处测得楼顶仰角为，向右前行25米到达点，此时测得楼顶的仰角为，梯步DF长为2.7米，坡度（即坡面的垂直高度和水平宽度的比）为，则楼高为           （    ） A．24米 B．23.5米 C．23.65米 D．22.65米 2．（多选）（24-25高一下·福建福州·月考）如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出AB的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，若测得，则下列计算结果正确的有（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·浙江宁波·期末）如图，小明为了测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测得，则塔高_______． 4．（24-25高一上·上海·课后作业）如图，一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和北偏东30°方向上的C处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4m，于是选择沿A→B→C路线清扫.已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2，忽略机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间，10s完成了清扫任务. (1)求B、C两处垃圾之间的距离；（精确到0.1m） (2)求智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角B的余弦值. 1．（2025高三下·全国·专题练习）在中，内角，所对的分别为，下列结论错误的是（   ） A．若，则为钝角三角形 B．若，则是等腰三角形 C．若，则中最小的内角为，且 D．若，则 2．（25-26高三下·辽宁抚顺·月考）已知 的内角 的对边分别为，，点 D 满足 若 则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·河南南阳·期末）如图，某观察站B在城A的南偏西的方向，由城A出发的一条公路走向是南偏东，在B处测得公路上距B处的C处有一人正沿公路向A城走去，走了之后到达D处，此时B，D间的距离为．要达到A城，这个人还要走（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·山东·月考）某公司工程师需要在河岸边测量对岸一座垂直于地面的信号塔的高度，由于河流无法直接跨越，工程师在岸边选取了相距80米的（与该信号塔的塔底在同一水平面上）两个测量点：从点观测该信号塔塔顶的仰角为，从点观测该信号塔塔顶的仰角为，且，则这座信号塔的高度（    ） A．米 B．米 C．40米 D．80米 5．（25-26高一·江苏·课后作业）如图所示，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进100m到达处，又测得对于山坡的斜度为，若，，且山坡对于地平面的坡度为，则等于（    ）    A． B． C． D． 6．（多选）（24-25高二下·安徽合肥·期末）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则一定是等腰三角形 D．若，则有两解 7．（多选）（24-25高一下·江苏南京·月考）如图，在平面四边形中，已知，，，，，下列四个结论中正确的是（    ） A． B．四边形的面积为 C． D．四边形的周长为 8．（多选）（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，为了测量某湖泊两侧间的距离，李宁同学首先选定了与不共线的一点，然后给出了四种测量方案（的角所对的边分别记为，，），则一定能确定间距离的所有方案为（    ）    A．测量，， B．测量，， C．测量，， D．测量，， 9．（多选）（24-25高一下·湖北荆州·期中）如图所示，在坡地一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若 m，山坡对于地平面的坡度为，则下列说法正确的是(    ) A． B． C．山坡A处与建筑物CD的顶端C的距离为米 D．山坡A处与建筑物CD的顶端C的距离为100米 10．（多选）（25-26高一·全国·单元测试）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则有两解 C．若为钝角三角形，则 D．若，则面积的最大值为 11．（24-25高一下·浙江·期中）已知分别是三内角的对边，且满足，则的是__________三角形．（填三角形的形状特征） 12．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知分别为内角的对边.若，则的最小值为__________. 13．（25-26高三上·河北保定·月考）甲沿一条东西走向的公路由东向西骑行（公路可看成一条线），当甲骑行到点时测得某地标建筑物在其北偏西45°的方向上，再骑行100米到达点时测得在其北偏西15°方向上，则此时甲与的距离______________米. 14．（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图，一座垂直建于地面的信号发射塔CD的高度为，地面上一人在A点观察该信号塔顶部，仰角为，沿直线步行后在点观察塔顶，仰角为，若，此人的身高忽略不计，则他的步行速度为__________. 15．（2026高一下·全国·专题练习）中，，，的面积等于，则角平分线的长等于________． 16．（24-25高三上·甘肃白银·月考）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求的值； (2)若，求，并判断的形状． 17．（25-26高三上·重庆·月考）在中，内角所对的边分别为，已知 (1)求角； (2)若为边上一点(不包含端点)，且满足， (i) 若，求的长； (ii) 求的取值范围. 18．（25-26高三上·陕西榆林·月考）在中，内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长； (3)若为锐角三角形，求的取值范围. 19．（24-25高一下·陕西西安·期中）如图，为了测量两山顶间的距离，四点在同一铅锤平面内，飞机沿水平方向在两点进行测量，途中在点测得，在点测得，测得． (1)求点和点之间的距离； (2)求两山顶间的距离． 20．（2025·上海·一模）如图，我海监船在D岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A处，此时测得其北偏东30°方向与它相距20海里的B处有一外国船只，且D岛位于海监船正东18海里处. (1)求此时该外国船只与D岛的距离； (2)观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方航行.为了将该船拦截在离D岛12海里的E处（E在B的正南方向），不让其进入D岛12海里内的海域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值.（角度精确到0.1°，速度精确到0.1海里/小时） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11.2 余弦定理、正弦定理的应用重难点题型专训 （3个知识点+2大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 正、余弦定理判定三角形形状 题型二 求三角形中的边长或周长的最值或范围 题型三 几何图形中的计算 题型四 距离测量问题 题型五 高度测量问题 题型六 角度测量问题 题型七 正、余弦定理的其他应用 拓展训练一 正、余弦定理的相关应用 拓展训练二 测量问题的方式 知识点一： 测量距离问题 1、常见题型与解决方法 （1）两点间不可通又不可视(如图①)：可取某点C，使得A，B与C之间的距离可直接测量，测出AC＝b，BC＝a以及∠ACB＝γ，利用余弦定理得：AB＝. （2）两点间可视但不可到达(如图②)：可选取与B同侧的点C，测出BC＝a以及∠ABC和∠ACB，先使用内角和定理求出∠BAC，再利用正弦定理求出AB. （3）两点都不可到达(如图③)：在河边测量对岸两个建筑物之间的距离，可先在一侧选取两点C，D，测出CD＝m，∠ACB，∠BCD，∠ADC，∠ADB，再在△BCD中求出BC，在△ADC中求出AC，最后在△ABC中，由余弦定理求出AB. 2、求距离问题的注意事项 （1）选角或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知，则直接求解；若其他量位置，则把未知量放在另一确定的三角形中求解； （2）确定正弦定理还是余弦定理，如都可以，就选便于计算的定理。 【即时训练】 1．（24-25高一下·江苏南京·期中）如图，，，为某山脚两侧共线的三点，在山顶处测得三点的俯角分别为，，，现需要沿直线开通穿山隧道，已知，，，则隧道的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过向作垂线，垂足为，设，分别在直角三角形、、中依次求出，，，再由求出即可求解. 【详解】过向作垂线，垂足为，设， 则在直角三角形中可知，在直角三角形中可知， 在直角三角形中可知， 因为，所以，即， 因此可得． 故选：A 2．（24-25高一下·湖南·期中）某日中午甲船以的速度沿北偏东的方向驶离码头，下午乙船沿东偏南的方向匀速驶离码头，下午甲船到达地，乙船到达地，且在的西偏南的方向上，则乙船的航行速度是________.（取，） 【答案】20 【分析】根据正弦定理计算求解. 【详解】如图； 由题意得：，，，则． 由正弦定理， 得，所以乙船的航行速度是． 故答案为：20. 知识点二： 测量高度问题 1、在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键． 2、在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错． 3、注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题． 【即时训练】 1．（24-25高一下·湖北武汉·期末）如图，某同学为了测量长江对岸的武汉龟山电视塔塔高时，选取与龟山电视塔塔底B在同一水平面内蛇山上两个测量基点C与D．现测得，，，在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在中，利用正弦定理求，再在直角中，求即可. 【详解】如图： 在中，因为，，所以， 又，由正弦定理可得：（）. 因为平面，平面，所以， 又，所以为等腰直角三角形，且. 所以. 故选：C 2．（24-25高一下·云南大理·月考）小华为测量旗杆的高度OP，在与旗杆底部同一水平面上选取相距20米的A，B（在线段OB上）两处作为测量点，在A处测得旗杆顶部的仰角为，在处测得旗杆顶部的仰角为，则旗杆的高度____________米． 【答案】 【分析】设米，分别在，中，，用表示出来，从而得到方程，可得答案. 【详解】在A处测得旗杆顶部的仰角为，即， 在处测得旗杆顶部的仰角为，即， 设米，则米，米， 从而，解得． 故答案为： 知识点三： 测量角度问题 1、测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义； 2、求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值； 3、在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题过程中也要注意体会正、余弦定理综合使用的优点。 【即时训练】 1．（2025·北京通州·一模）太阳高度角是太阳光线与地面所成的角（即太阳在当地的仰角）．设地球表面某地正午太阳高度角为，为此时太阳直射点纬度，为当地纬度值，那么这三个量满足．通州区某校学生科技社团尝试估测通州区当地纬度值（取正值），选择春分当日（）测算正午太阳高度角．他们将长度为1米的木杆垂直立于地面，测量木杆的影长．分为甲、乙、丙、丁四个小组在同一场地进行，测量结果如下： 组别 甲组 乙组 丙组 丁组 木杆影长度（米） 0.82 0.80 0.83 0.85 则四组中对通州区当地纬度估测值最大的一组是（     ） A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．丁组 【答案】D 【分析】根据题意得到，设木杆的影长为，得到，根据表格中的数据得到当时，取得最小值，此时求得最大值，即可求解. 【详解】如图所示，地球表面某地正午太阳高度角为，为此时太阳直射点纬度，为当地纬度值，那么这三个量满足， 当且为正值，可得，即， 设木杆的影长为，可得， 因为甲、乙、丙、丁四个小组在同一场地进行，得到影长分别为， 所以当时，取得最小值，此时求得最大值， 所以四组中对通州区当地纬度估测值最大的一组是丁组. 故选：D. 2．（25-26高一·全国·课后作业）如图所示为一角槽，已知AB⊥AD，AB⊥BE，并测量得AC＝3mm，BC＝2mm，AB＝mm，则∠ACB＝________． 【答案】 【分析】在△ABC中利用余弦定理解三角形可求出∠ACB. 【详解】在△ABC中，由余弦定理得cos∠ACB＝＝－. 因为∠ACB∈(0，π)，所以∠ACB＝. 故答案为： 【经典例题一 正、余弦定理判定三角形形状】 【例1】（24-25高一下·湖北·期中）设的面积为，角所对的边分别为，且，若，则此三角形的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】根据计算得出角，因为利用正弦定理和余弦定理得到，从而判断三角形形状. 【详解】因为，所以， 则，因为，所以， 又，所以， 由，所以，， 所以为等腰直角三角形. 故选：D. 【例2】（24-25高一上·上海·课堂例题）在中，若，，判断的形状； 【答案】等边三角形 【分析】利用余弦定理计算两边的数量关系即可. 【详解】由余弦定理得 ∵，∴， 即，∴， ∴是等腰三角形． 又∵，∴是等边三角形． 1．（24-25高一上·湖北十堰·自主招生）如图，在的方格纸上，记，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图中方格，结合余弦定理将各角和比较即可得出答案． 【详解】设图中小正方形的边长为1，则中，，， 所以，故， 中，，，， 所以，故， 中，，，， 所以，故， 所以． 故选：C． 2．（多选）（24-25高二下·福建泉州·期末）记的内角的对边分别为，，，为边的中点，则下列说法正确的是（ ） A．若，则是等边三角形 B．若，则是直角三角形 C．若，则是锐角三角形 D．若，则是钝角三角形 【答案】BD 【分析】利用正弦定理可得，结合条件可判断A；根据正弦定理可得进而判断B；利用特值法可判断C；根据及余弦定理结合条件可判断D. 【详解】对于A，由正弦定理可得，故， 而为三角形内角，故为直角，故是等腰三角形，不足以推出等边三角形，故A错误；    对于B，因为，由正弦定理得，所以中线等于斜边的一半，故是直角三角形，故B正确； 对于C，取，则，，因为，故存在，故存在， 此时由余弦定理得，故三角形内角为钝角，故是钝角三角形，故C错误； 对于C，因为，故，故， 由余弦定理可得， 故，故三角形内角为钝角，故是钝角三角形，故D正确； 故选：BD 3．（24-25高一下·河南三门峡·期中）已知中，内角，，的对边分别为，，，，则的形状是__________. 【答案】直角三角形 【分析】由正弦定理以及两角和的正弦公式整理可得，进一步有，即可求解. 【详解】由正弦定理以及，可得， 所以 ， 化简可得：， 因为，，所以，，则， 因为，所以，则的形状是直角三角形； 故答案为：直角三角形 4．（24-25高一下·陕西安康·期末）已知的三个内角、、所对的边分别为、、，. (1)求的大小； (2)若，试判断的形状. 【答案】(1) (2)等边三角形 【分析】（1）利用余弦定理求出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）利用余弦定理结合已知条件可得出，进而求得，从而判断出的形状. 【详解】（1）因为，则，整理可得， 由余弦定理可得， 又因为，故. （2）因为，则， 由余弦定可得， 即，则， 所以，解得，故为等边三角形. 【经典例题二 求三角形中的边长或周长的最值或范围】 【例1】（25-26高一·全国·课后作业）在钝角三角形中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则边c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】讨论C是钝角和B是钝角两种情况，结合三角形的性质以及余弦定理即可求解. 【详解】①当C是钝角时，，则. 又，则， 所以c的取值范围是； ②当B是钝角时，，则由余弦定理可得：， 则，即，解得. 又，因此. 综上，c的取值范围是. 故选：C. 【例2】（24-25高三上·陕西渭南·期末）在中，，求的最大值． 【答案】 【分析】根据正弦定理可得，进而利用三角函数的性质即可求解. 【详解】因为， 所以， 因此，因为，且，， 故当时，取到最大值为． 1．（24-25高一上·河北保定·期末）如图，在中，，将绕顶点C逆时针旋转得到，M是BC的中点，P是的中点，连接PM．若，则线段PM的最大值为（    ） A．2.5 B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】由题意，借助余弦定理得，进而可得到线段PM的最大值. 【详解】由题意， 绕顶点C逆时针旋转得到，P是的中点，则 设, 则， ， ， 故选：C. 2．（多选）（24-25高一下·江苏泰州·期中）在锐角中，边长，，则边长c可能的取值是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】BD 【分析】根据c边最大边或最大边，利用余弦定理的变形形式即可求解. 【详解】若c边为最大边，则， ，， 若边为最大边，则， ，， 所以， 所以边长c可能的取值是2、. 故选：BD 【点睛】本题考查了余弦定理的应用，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 3．（2026高一下·全国·专题练习）为改善居民生活环境，政府拟将一公园进行改造扩建，已知原公园是直径为200米的半圆形，出入口在圆心处，为居民小区，的距离为米，按照设计要求，以居民小区和圆弧上点作线段向半圆外作等腰直角三角形为直角顶点），使改造后的公园成四边形，如图所示，当取得最大值时，________． 【答案】 【分析】不妨设，利用Ptolemy不等式，进而得到，即时取等． 【详解】不妨设，则有， 由Ptolemy不等式知， 即有， 当且仅当四点共圆即时取等． 故答案为：． 4．（25-26高三上·湖北·月考）在中，内角的对边分别为，且． (1)求的大小； (2)为边的中点，且，求的长． 【答案】(1); (2). 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再结合两角和正弦公式即可求解； （2）利用中线向量公式，结合向量的数量积运算即可求解. 【详解】（1）由正弦定理边化角可得：， 再利用三角形内角和可知：， 所以有， 整理得：，在三角形中， 所以有， 又因为，所以； （2） 由中线向量可得：， 则， 所以. 【经典例题三 几何图形中的计算】 【例1】（24-25高二上·河南郑州·月考）如图所示，点是等边外一点，且，，，则的周长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在中利用余弦定理可求得，进而确定，利用勾股定理可求得，由此可得周长. 【详解】在中，由余弦定理得：， 整理可得：，解得：，即，， 又是等边三角形，，又， 由勾股定理可得：，的周长为：. 故选：C. 【例2】（24-25高一下·山西长治·月考）（1）在中，已知，，，求； （2）在中，,,，求边AC上的高． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）先求出C，进而利用正弦定理求出b； （2）利用余弦定理求出，进而求出角A的正弦及AC边上的高. 【详解】（1） 由三角形内角和定理，得， 由正弦定理，得 （2）由余弦定理得： ，边AC上的高 1．（24-25高一下·重庆·期末）某工业园区有A、B、C共3个厂区，其中，，，现计划在工业园区外选择P处建一仓库，若，则CP的最大值为（    ）    A．6km B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据锐角三角函数可得，再在中利用余弦定理得到，再由三角恒等变换公式及三角函数的性质求出，即可得解． 【详解】设，， 则， 在中，， 在中， 所以当时，，， 所以最大值为． 故选：C． 2．（多选）（24-25高一下·重庆·期中）在中，是边上一点，，下列正确的是（    ） A． B． C．为锐角三角形 D．可能为钝角 【答案】AB 【分析】利用余弦定理判断，利用正弦定理判断，利用三角形中判断． 【详解】解：：在中，由余弦定理得，，正确， ，，，在中，由正弦定理得，，正确， ：在中，由余弦定理得，为锐角， 又，为锐角，错误， ，错误． 故选：． 3．（2024·广东茂名·二模）在中，，点在线段上，且，则______________. 【答案】 【分析】余弦定理求，勾股定理证得为直角三角形，，勾股定理求的值. 【详解】由余弦定理，， 则有，即为直角三角形，，， 由，得，所以. 故答案为：. 4．（2024高三·全国·专题练习）已知的内角对应的边分别为，的面积为，点在边上，若，求． 【答案】 【分析】根据三角形面积可推出，从而得，从而，在中，由余弦定理可得，继而在中，由余弦定理求出答案. 【详解】由题意的面积为， 则，由于，即得， 即，而，所以，即； 由，由于，则， 可得为等边三角形， 则，从而， 在中，由余弦定理可得， 又，所以， 所以在中，， 故. 【经典例题四 距离测量问题】 【例1】（24-25高一下·河南·期末）某数学建模活动小组在开展主题为“空中不可到达两点的测距问题”的探究活动中，构建了如图所示的几何模型，该模型中均与平面垂直．现已测得可直接到达的两点间距离，用测角仪测得，且在点C处测得点M，N的仰角分别为，，则M，N两点之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦定理和勾股定理，解三角形，求出两点之间的距离. 【详解】由题意知，所以． 因为，在中，， 在直角梯形中，由勾股定理得． 故选：B. 【例2】（2025高三上·全国·专题练习）如图，A、B两点都在河的对岸(不可到达)，若在河岸选取相距20米的C、D两点，测得∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠CDB＝45°，∠BDA＝60°，那么此时A，B两点间的距离是多少？ 【答案】米 【分析】根据正弦定理，分别在和中求出AC，BC，然后在中，由余弦定理求得AB. 【详解】根据正弦定理， 在中，有(米)， 在中，有(米)． 在中，由余弦定理得AB＝＝(米)． 所以A，B两点间的距离为米． 1．（24-25高二下·浙江丽水·期末）如图两点在河的同侧，且、两点均不可到达．现需测、两点间的距离，测量者在河对岸选定两点、，测得，同时在、两点分别测得，，，则、两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求，在利用正弦定理得，在中，利用余弦定理即可求解. 【详解】由题意有， 在中由正弦定理有， 又，所以为等边三角形，所以， 又因为，在中，由余弦定理有： ， 所以， 故选：B. 2．（多选）（24-25高一下·广东佛山·期中）如图，要测量河对岸C，D两点间的距离，在河边一侧选定两点A，B，测出AB间的距离为20m，∠DAB=75，∠CAB=30，AB⊥BC，∠ABD= 60则（    ） A．BD=10(3 +)m B．DC = 10m C．DC = 10m D．BC = 10m 【答案】AC 【分析】在中，根据给的边角可求出，；在中，根据正弦定理可求出；在中，根据余弦定理可求出；在中，根据正弦定理可求出的长度，从而可得出正确的选项． 【详解】解：，， 在中，，，， ，， 在中，，，，， 根据正弦定理得：，解得， ，， ， 在中，，根据余弦定理得：，， 在中，，，，且， 根据正弦定理得：，解得． 故选：． 3．（24-25高一下·浙江杭州·期中）一艘轮船按照北偏东方向，以18海里/小时的速度直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东方向上，经过10分钟的航行，轮船与灯塔的距离为海里，则灯塔与轮船原来的距离为_____海里. 【答案】2 【分析】作出示意图，利用余弦定理，即可得解． 【详解】设轮船从点出发到达点，灯塔在点，如图所示，    由题意结合图可知，，海里， 在中，由余弦定理知，， 所以，即， 解得或（舍负）， 所以灯塔与轮船原来的距离为2海里． 故答案为：2 4．（24-25高一下·河南·月考）如图，为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅锤平面内，在点A 测得，，在点 B 测得，，测得. (1)求点A 和点 N 之间的距离； (2)求两山顶M，N间的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在里，已知两角一边，先由三角形内角和求出，再用正弦定理算出 （2）在中，根据已知两角求出，再用正弦定理算出在中，已知，用余弦定理算出，再开方得 【详解】（1）由题意可得，，所以 在中，根据正弦定理可知 所以 则 （2）在中，，所以， 由正弦定理可得 则. 在中，， 由余弦定理得 ， 所以 故两山顶M，N间的距离为 【经典例题五 高度测量问题】 【例1】（24-25高一下·河南郑州·期末）如图，为了测量某塔楼的高度，将一无人机（视为质点）飞升至离地面高为h 米的点A 处时，测得塔尖C 的俯角为α，无人机沿水平方向飞行b 米后至点B 处时，测得塔尖C的俯角为β，则塔尖C距离地面（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出塔尖C到飞行线路的距离即可. 【详解】作于，如图： 则，而，即， 解得，所以塔尖C距离地面. 故选：B 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影．如图，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座5G基站，已知基站高，该同学眼高（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置处（眼睛所在位置）测得基站底部的仰角为，测得基站顶端的仰角为，求出山高（结果保留整数）．（参考数据：，，，，） 【答案】 【分析】在中利用正弦定理求出，再在中利用锐角三角函数求出，即可得解. 【详解】依题意可得，， 在中，由正弦定理得，即， 所以， 在中，，即， 所以， 所以山高． 1．（25-26高二上·云南曲靖·月考）如图，公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一平面上．一人在公路上向东行走，在点A处测得楼顶的仰角为45°，行走80米到点B处，测得仰角为30°，再行走80米到点C处，测得仰角为，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题图，应用余弦定理及得到，进而求出，最后由即可得. 【详解】由为楼脚，长为楼高，则，易得． 由，， 又，两式相加得， 所以30800，则，故. 故选：C 2．（多选）（24-25高一下·安徽阜阳·月考）如图，在离地面高400m的热气球上，观测到山顶C处的仰角为，山脚A处的俯角为，已知，则下列选项中山的高度BC错误的是（    ）    A．700m B．640m C．600m D．560m 【答案】ABD 【分析】利用正弦定理解三角形即可得解. 【详解】根据题意，可得在中，，， 所以； 因为在中，，， 所以， 由正弦定理得， 在中，． 故选：ABD. 3．（24-25高一下·重庆·期中）“大美中国古建筑名塔”文峰塔以石为基，用青砖白砂灰砌筑建成．如图，测量河对岸的文峰塔高时，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量点C与D．现测得，，，在点C处测得塔顶A的仰角，则塔高为____m． 【答案】 【分析】利用三角形内角和及正弦定理可求得，再由正切函数即可求解. 【详解】在中，由三角形内角和定理可得， 再由正弦定理得：， 再解直角三角形可得：， 故答案为： 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而名传千古，流芳后世.如图，在滕王阁旁地面上共线的三点A、B、C处测得阁顶端点P的仰角分别为30°、60°、45°，且米，求滕王阁的高度. 【答案】米. 【分析】设，结合直角三角形可得，，，在和中，利用余弦定理列方程，结合可解，进而得解. 【详解】设，因为，，， 所以，，. 在中，， 即.① 在中，， 即.② 因为， 所以①②两式相加可得， 解得，则. 所以滕王阁的高度为米. 【经典例题六 角度测量问题】 【例1】（24-25高一下·湖北武汉·月考）已知甲船在海岛的正南A处，海里，甲船以每小时4海里的速度向正北航行，同时乙船自海岛出发以每小时6海里的速度向北偏东60°的方向驶去，当航行一小时后，甲船在乙船的（    ） A．北偏东30°方向 B．北偏东15°方向 C．南偏西30°方向 D．南偏西15°方向 【答案】C 【分析】结合题意画出相应图形，即可得答案. 【详解】由题，1小时后，甲船来到C处，则，则.又由题可知，此时，乙船来到D处，，结合BD是北偏东60°方向，则.又，则，即此时乙在甲的北偏东30°方向，甲在乙的南偏西30°方向. 故选：C    【例2】（24-25高三上·上海杨浦·期中）如图，一辆汽车在水平的公路上向正西直线行驶，到处时测得公路北侧远处一山顶（在水平面上的射影为点）在西偏北的方向上，仰角为，行驶后到达处，测得山顶在西偏北的方向上． (1)求此山的高度（单位，精确到）： (2)求汽车行驶过程中仰望山顶的仰角的最大值（精确到） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在直角三角形中求得山高，再由三角形中已知两角一边用正弦定理即可解决； （2）当点到公路距离最小时，仰望山顶的仰角达到最大，根据直角三角形边角关系，即可求解. 【详解】（1）设此山高，则， 在中，， 根据正弦定理得， 即， 解得． 答：山的高度为． （2）由题意可知，当点到公路距离最小时，仰望山顶的仰角达到最大． 过作，垂足为，连接． 则 所以 答：仰角的最大值为 1．（2026高二·全国·课后作业）如图所示，长为的木棒斜靠在石堤旁，木棒的一端在离堤足处的地面上，另一端在离堤足处的石堤上，石堤的倾斜角为，则坡度值等于（   ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由余弦定理和同角三角函数关系即可求解. 【详解】由题意可得，在中，m，m，m， 且 由余弦定理可得，， 即， 解得，所以， 所以． 故答案为：C 2．（多选）（24-25高一下·安徽安庆·月考）如图，在海岸上有两个观测点C，D，C在D的正西方向，距离为2 km，在某天10:00观察到某航船在A处，此时测得∠ADC=30°，5分钟后该船行驶至B处，此时测得∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，则（    ） A．当天10:00时，该船位于观测点C的北偏西15°方向 B．当天10:00时，该船距离观测点Ckm C．当船行驶至B处时，该船距观测点Ckm D．该船在由A行驶至B的这5 min内行驶了km 【答案】ABD 【分析】利用方位角的概念判断A，利用正弦定理、余弦定理求解后判断BCD． 【详解】A选项中，∠ACD=∠ACB+∠BCD=60°+45°=105°，因为C在D的正西方向，所以A在C的北偏西15°方向，故A正确. B选项中，在△ACD中，∠ACD=105°，∠ADC=30°，则∠CAD=45°. 由正弦定理，得AC=， 故B正确. C选项中，在△BCD中，∠BCD=45°，∠CDB=∠ADC+∠ADB=30°+60°=90°，即∠CBD=45°， 则BD=CD=2，于是BC=2，故C不正确. D选项中，在△ABC中，由余弦定理，得AB2=AC2+BC2－2AC·BCcos∠ACB=2+8－22=6， 即AB=km，故D正确. 故选：ABD． 3．（24-25高一下·安徽铜陵·月考）如图，为测塔高，在塔底所在的水平面内取一点C，测得塔顶的仰角为θ，由C向塔前进30米后到点D，测得塔顶的仰角为2θ，再由D向塔前进米后到点E，测得塔顶的仰角为4θ，则θ＝_____，塔高为_____________米． 【答案】 / 15 【分析】利用图形中的角度关系结合余弦定理即可. 【详解】解析由题意，得 又 在中，由余弦定理的推论得， ， ∴， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：；15. 4．（24-25高一下·贵州黔东南·期中）如图，某运动员从市出发沿海岸一条笔直的公路以每小时的速度向东进行长跑训练，长跑开始时，在市南偏东方向距市的处有一艘小艇，小艇与海岸距离为，若小艇与运动员同时出发，要追上这位运动员.    (1)小艇至少以多大的速度行驶才能追上这位运动员？ (2)求小艇以最小速度行驶时的行驶方向与的夹角. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设小艇以每小时的速度从处出发，沿方向行驶，小时后与运动员在处相遇，利用余弦定理求出关于的函数，根据二次函数知识可求出的最小值； （2）由正弦定理可求出结果. 【详解】（1）如图，设小艇以每小时的速度从处出发，沿方向行驶，小时后与运动员在处相遇，    在中，，故 由余弦定理求得， 则， 整理得， 当时，即时，，故. 即小艇至少以每小时的速度从处出发才能追上运动员. （2）当小艇以每小时的速度从处出发， 经过时间小时追上运动员， 故， 又，由正弦定理得，解得， 故. 即小艇以最小速度行驶时的行驶方向与的夹角为. 【经典例题七 正、余弦定理的其他应用】 【例1】（2025·陕西榆林·二模）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜．其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步．欲知为田几何．”题意是有一个三角形的沙田，其三边长分别为13里、14里、15里、1里为300步，设6尺为1步，1尺＝0.231米，则该沙田的面积约为（    ）（结果精确到0.1，参考数据：） A．15.6平方千米 B．15．2平方千米 C．14.8平方千米 D．14.5平方千米 【答案】D 【分析】根据由海伦公式即可得到沙田面积. 【详解】由海伦公式其中，分别为三角形三边长， 可得：该沙田的面积 平方米≈14.5平方千米， 故选：D 【例2】（24-25高三上·上海杨浦·月考）如图，一艘湖面清运船在处发现位于它正西方向的处和北偏东方向上的处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到的距离比到的距离少40米，于是选择沿路线清扫．已知清运船的直线行走速度为2米/秒，总共用了100秒钟完成了清扫任务（忽略清运船打捞垃圾及在处转向所用时间）． （1）、两处垃圾的距离是多少？ （2）清运船此次清扫行走路线的夹角是多少？（用反三角函数表示） 【答案】（1）140米；（2）． 【解析】（1）由题意C在A处北偏东30°方向上，可得∠CAB＝90°+30°＝120°，及|AB|，|AC|与|BC|的关系，在三角形ABC中由余弦定理可得|BC|的值； （2）由（1）可得|BC|，|AC|，∠BAC＝120°，由正弦定理可得sinB的值，进而求得． 【详解】（1）由题意可得|AB|+|BC|＝2×100＝200，|AC|﹣|AB|＝40，所以|AC|+|BC|＝240，|AB|＝200﹣|BC|，|AC|＝240﹣|BC|， 因为C在A处北偏东30°方向上，所以∠CAB＝90°+30°＝120°， 在三角形ABC中，由余弦定理可得|BC|2＝|AB|2+|AC|2﹣2|AB||AC|cos120°＝（200﹣|BC|）2+（240﹣|BC|）2+（200﹣|BC|）（240﹣|BC|）， 整理可得|BC|2﹣660|BC|+72800＝0，解得|BC|＝140或|BC|＝520（舍），所以B、C两处垃圾的距离是140米； （2）由（1）可得|BC|＝140，|AC|＝240﹣140＝100，∠CAB＝120°，由正弦定理可得， 所以，，. 1．（2025高三·全国·专题练习）甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，相距a海里的B处，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的倍，甲船为了尽快追上乙船，朝北偏东θ方向前进，则θ＝（    ） A．15° B．30° C．45° D．60° 【答案】B 【分析】如图，设两船在C处相遇，利用正弦定理求出∠BAC＝30°即得解. 【详解】如图，设两船在C处相遇，则由题意得∠ABC＝180°－60°＝120°，且＝， 由正弦定理得＝＝， 所以sin∠BAC＝. 又因为0°<∠BAC<60°，所以∠BAC＝30°. 所以. 所以甲船应沿北偏东30°方向前进． 故选：B    2．（24-25高二上·河北·期中）台风中心从地以的速度向西北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市在地正西方向的处，则城市处于危险地区内的时长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出平面图形后，可求得到的距离，结合勾股定理可求得的长度，由此可得所求时长. 【详解】以为圆心，为半径作圆，与运动方向交于两点， 由题意知：，，， 作，垂足为，则为中点， ，，， 城市处于危险地区内的时长为. 故选：D. 3．（24-25高三·全国·月考）如图，某校园内有一块圆形草坪，其内接区域内种植花卉（阴影部分），已知，，，现为了扩大花卉的种植面积，欲在弧上找一点，使得新的种植区域的面积（单位：）最大，则的值为________． 【答案】 【解析】由正弦定理求得，设，，由正弦面积公式、余弦定理和不等式放缩即可求解 【详解】在中，由正弦定理得，，即，解得， 由“同弧所对圆周角相等”知，设，， 则，在中，由余弦定理得， ，故，当且仅当时等号成立，所以新的种植区域的面积最大为． 故答案为：． 4．（24-25高一下·黑龙江牡丹江·期中）在某海滨城市附近海面上有一台风，据监测，当前台风中心位于城市的东偏南方向300km的海面处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几时后该城市开始受到台风的侵袭?    【答案】12小时后该城市开始受到台风的侵袭. 【分析】设在时刻台风中心位于点，城市受到干扰时，，结合图中的角度，运用余弦定理算出，解不等式即可. 【详解】设在时刻台风中心位于点，则， 如图显然是锐角，由可得， 又， 故. 因此，即，解得. 故小时后该城市开始受到台风的侵袭.    【拓展训练一 正、余弦定理的相关应用】 【例1】（25-26高三上·陕西咸阳·期末）若，，是的内角，，的对边，，且，则是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．三边互不相等的直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】先应用余弦定理得出，或，再代入求解得出结论. 【详解】由得，， 由余弦定理得. 因为，所以，或， ，代入，得， 因为，所以，所以. 故选：D. 【例2】（24-25高一下·湖南永州·期末）在锐角中，角A，B，C所对应边分别为a，b，c，. (1)求A； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】利用正弦定理将边转化为角可得，然后计算即可； 利用余弦定理可得，然后将边转化为角可得，然后确定角度范围，使用正弦函数的性质求解. 【详解】（1）依题意，由正弦定理 得 即 又在锐角中，有，所以， 所以，所以； （2）结合（1）可得， 由，则根据正弦定理有， 得， 根据余弦定理有，得， 又为锐角三角形，则有，得， ，. 故 1．（24-25高一下·广东深圳·期中）海上某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为海里处；在处看灯塔，在货轮的北偏西，距离为海里处；货轮由处向正北航行到处时看灯塔在北偏东，则灯塔与处之间的距离为（    ） A． B． C． D．12 【答案】C 【分析】根据给定信息作出图形，在中用正弦定理求AD，用余弦定理计算作答. 【详解】如图所示，，，    在中，，由正弦定理得：， 在中，由余弦定理得：， 灯塔与处之间的距离为海里. 故选：C 2．（多选）（24-25高三上·福建福州·月考）在中，角，，的对边分别是，，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，，，则有两解 C．若，则为锐角三角形 D．若，则为等腰三角形或直角三角形 【答案】ACD 【分析】利用正、余弦定理对每项逐一判断即可得解． 【详解】对于A，，则，由正弦定理可得， ，故A正确； 对于B，由正弦定理， ，此时无解，故B错误； 对于C，，又且， ，可知，，均为锐角，故为锐角三角形，故C正确； 对于D：，， ，， ，或，若，，则， 所以为等腰三角形或直角三角形，故D正确． 故选：ACD． 3．（24-25高一下·浙江·月考）如图，城气象台测得台风中心从城正西方向300千米处以每小时千米的速度向北偏东的方向移动，距台风中心200千米的范围内为受台风影响的区域，若城受到这次台风的影响，那么城遭受这次影响的时长为________小时． 【答案】 【分析】利用余弦定理求出台风中心从处开始移动小时的时候与城的距离，再解不等式可得结果. 【详解】台风中心从处开始移动小时移动的距离为千米， 则台风中心移动小时时离城的距离为， 若城受到这次台风的影响，则， 化简得，解得， 所以城遭受这次影响的时长为小时. 故答案为：. 4．（2025·湖南益阳·模拟预测）已知的内角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意利用正弦定理结合三角恒等变换可得，即可得角C； （2）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，再根据正弦函数有界性运算求解. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 化简得， 又因为，则，可得，即， 且，所以. （2）因为，，由正弦定理得， 则，， 可得， 因为，则， 可得，所以. 【拓展训练二 测量问题的方式】 【例1】（2025·湖北荆州·模拟预测）如图，为山脚两侧共线的三点，这三点处依次测得对山顶的仰角分别为，计划沿直线开通隧道，设的长度分别为.为了测出隧道的长度，还需直接测出（    ）的值. A．和 B．和 C．和 D．三者 【答案】D 【分析】在中用已知条件和正弦定理表示的长，再在中用正弦定理表示的长最后即可表示的长，即可知道为了测出隧道的长度，还需直接测出哪些值. 【详解】在中， 由正弦定理有：，所以， 在中， 由正弦定理有：， 所以， 因为， 所以为了测出隧道的长度，还需直接测出三者的值. 故选：D 【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）为了测量上海东方明珠塔的高度，某人站在A处测得塔尖的仰角为75.5°，前进38.5m后，到达B处测得塔尖的仰角为80.0°，试计算东方明珠塔的高度．（精确到1m） 【答案】 【分析】如图，塔高为，首先由正弦定理计算出，进而求得即可. 【详解】 如图：由于，，所以， 在中，由正弦定理得， 所以， 所以. 答：东方明珠塔的高度约为. 1．（24-25高一下·重庆荣昌·月考）重庆市酉阳山正阳楼现已竣工，它的建筑风格独特，融合了传统与现代的元素，现已成为新的网红打卡地．黔江中学高一21班某同学周末参加户外实践活动，为了测量楼高，在处测得楼顶仰角为，向右前行25米到达点，此时测得楼顶的仰角为，梯步DF长为2.7米，坡度（即坡面的垂直高度和水平宽度的比）为，则楼高为           （    ） A．24米 B．23.5米 C．23.65米 D．22.65米 【答案】D 【分析】在中，米，由余弦定理可得米，在中可求的米，由坡度（即坡面的垂直高度和水平宽度的比）为得米，即可求解. 【详解】由，，得， 故米，由得， 在中由余弦定理可得， 解得米， 故米， 由坡度（即坡面的垂直高度和水平宽度的比）为得， 故米， 故楼高米. 故选：. 2．（多选）（24-25高一下·福建福州·月考）如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出AB的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，若测得，则下列计算结果正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】由已知利用三角形的内角和定理可求的值，由正弦定理可求得的值． 在中可求，可得，在中，由余弦定理即可计算得解的值． 【详解】解：在中，， 由正弦定理得． 在中， ， ， ， 在中，由余弦定理得： ． ． 故选：CD 3．（24-25高一下·浙江宁波·期末）如图，小明为了测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测得，则塔高_______． 【答案】 【分析】设塔高，由题设可得，，再结合余弦定理求解即可. 【详解】设塔高，由， 则，， 在中，由余弦定理得， 则，解得或（舍去）. 故答案为：. 4．（24-25高一上·上海·课后作业）如图，一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和北偏东30°方向上的C处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4m，于是选择沿A→B→C路线清扫.已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2，忽略机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间，10s完成了清扫任务. (1)求B、C两处垃圾之间的距离；（精确到0.1m） (2)求智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角B的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则，，，由余弦定理得到，得到答案； （2）由余弦定理求出B的余弦值. 【详解】（1）由题意得， 设，，则，， 由题意得. 在中，由余弦定理得 ， 解得或（舍去）， ∴ （2）由（1）知，，. ∴. 1．（2025高三下·全国·专题练习）在中，内角，所对的分别为，下列结论错误的是（   ） A．若，则为钝角三角形 B．若，则是等腰三角形 C．若，则中最小的内角为，且 D．若，则 【答案】B 【分析】由余弦定理可判断A，由，得到或可判断B，由余弦定理可判断C，由正弦定理可判断D； 【详解】在中，最大的内角为，，故为钝角三角形，A正确． 因为，所以或，即或，故是等腰三角形或直角三角形，B错误． 设中最小的内角为，由余弦定理知． 因为，所以，故中最小的内角为，且，C正确． ．因为，所以或． 又因为，所以．则不符合题意，舍去， 故，D正确． 故选：B 2．（25-26高三下·辽宁抚顺·月考）已知 的内角 的对边分别为，，点 D 满足 若 则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设由余弦定理得 ，利用换元法结合三角函数的性质求解即可. 【详解】如图，由题可得,设 在中由余弦定理得 ， 在中由余弦定理可得 故 ，设 则 当且仅当 时取等号，此时 3．（24-25高一下·河南南阳·期末）如图，某观察站B在城A的南偏西的方向，由城A出发的一条公路走向是南偏东，在B处测得公路上距B处的C处有一人正沿公路向A城走去，走了之后到达D处，此时B，D间的距离为．要达到A城，这个人还要走（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在中，利用余弦定理得，进而得，即可得，利用两角和的正弦公式得，最后由正弦定理即可求解. 【详解】由题意有：，在中，由余弦定理有：， 又，所以， 所以， 所以， 又， 在中，由正弦定理有：，所以. 故选：A. 4．（25-26高三上·山东·月考）某公司工程师需要在河岸边测量对岸一座垂直于地面的信号塔的高度，由于河流无法直接跨越，工程师在岸边选取了相距80米的（与该信号塔的塔底在同一水平面上）两个测量点：从点观测该信号塔塔顶的仰角为，从点观测该信号塔塔顶的仰角为，且，则这座信号塔的高度（    ） A．米 B．米 C．40米 D．80米 【答案】C 【分析】根据题意画出图形，进而利用余弦定理求解即可. 【详解】根据题意画出图形，如下图所示：    设米，则米，米，米， 在中，由余弦定理可得， 即，即， 解得或（舍去），则米. 故选：C 5．（25-26高一·江苏·课后作业）如图所示，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进100m到达处，又测得对于山坡的斜度为，若，，且山坡对于地平面的坡度为，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，在中由正弦定理求出，在中由正弦定理求出，再由求得的值. 【详解】因为，所以， 在中，由正弦定理可得：，解得：， 在中，由正弦定理可得，解得：， 即，所以； 故选：C 6．（多选）（24-25高二下·安徽合肥·期末）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则一定是等腰三角形 D．若，则有两解 【答案】ABD 【分析】根据正弦定理，可得判定A、B正确；由，可得或，可判定C错误；根据，可得判定D正确. 【详解】对于A中，因为，由正弦定理可得，所以，所以A正确； 对于B中，因为，由正弦定理可得，所以，所以B正确； 对于C中，因为，可得或，即或， 所以该三角形为等腰三角形或直角三角形，所以C不正确； 对于D中，因为，满足, 所以该三角形有两个解，所以D正确． 故选：ABD. 7．（多选）（24-25高一下·江苏南京·月考）如图，在平面四边形中，已知，，，，，下列四个结论中正确的是（    ） A． B．四边形的面积为 C． D．四边形的周长为 【答案】ACD 【分析】在和中，分别利用余弦定理，得到，结合，求得，得到，可判定A正确；利用直角三角形的面积公式，可判定B不正确；在直角中，利用勾股定理，可判定C正确；求得四边形的周长，可判定D正确. 【详解】在中，可得， 在中，可得， 可得，即 因为，可得，可得， 又因为为三角形的内角，所以，所以，所以A正确； 由 ，所以B不正确； 在直角中，可得，所以C正确； 四边形的周长为， 所以D正确. 故选：ACD 8．（多选）（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，为了测量某湖泊两侧间的距离，李宁同学首先选定了与不共线的一点，然后给出了四种测量方案（的角所对的边分别记为，，），则一定能确定间距离的所有方案为（    ）    A．测量，， B．测量，， C．测量，， D．测量，， 【答案】ABC 【分析】根据题意结合正、余弦定理依次判断求解. 【详解】对于A，先利用三角形内角和定理求出，再利用正弦定理解出c； 对于B，直接利用余弦定理即可解出c； 对于C，先利用三角形内角和定理求出，再利用正弦定理解出c； 对于D，不知道边的长度，显然不能求c. 故选：ABC. 9．（多选）（24-25高一下·湖北荆州·期中）如图所示，在坡地一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若 m，山坡对于地平面的坡度为，则下列说法正确的是(    ) A． B． C．山坡A处与建筑物CD的顶端C的距离为米 D．山坡A处与建筑物CD的顶端C的距离为100米 【答案】AC 【分析】在中，由正弦定理可求AC、BC，在中，由正弦定理可求，由此可求cosθ． 【详解】，∠BAC=15°，， 在中，由正弦定理得 在中，由正弦定理得， ，即，故A正确，B错误； 在△ABC中，∠ABC=135°，由正弦定理得： ，故C正确，D错误． 故选：AC． 10．（多选）（25-26高一·全国·单元测试）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则有两解 C．若为钝角三角形，则 D．若，则面积的最大值为 【答案】ABD 【分析】由正弦定理可判断A；由可判断B；由大边对大角结合余弦定理可判断C；由余弦定理与基本不等式可判断D. 【详解】对于A选项，若，则，由正弦定理可得， 所以，故A正确； 对于B选项，，则， 所以有两解，故B正确； 对于C选项，当为钝角三角形，且C为钝角时，， 可得，若C不为钝角，则得不到，故C错误； 对于D选项，由余弦定理与基本不等式可得， 即，当且仅当时，等号成立， 所以，故D正确． 故选：ABD. 11．（24-25高一下·浙江·期中）已知分别是三内角的对边，且满足，则的是__________三角形．（填三角形的形状特征） 【答案】直角 【分析】边化角，结合降幂公式化简整理可得. 【详解】解析：由正弦定理和降幂公式可得， 即 又， 所以 即 因为， 所以， 即 因为，所以，得，故为直角三角形． 故答案为：直角 12．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知分别为内角的对边.若，则的最小值为__________. 【答案】/0.6 【分析】根据余弦定理可得，即可由不等式求解. 【详解】因为，所以， 所以由余弦定理得， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为. 故答案为：. 13．（25-26高三上·河北保定·月考）甲沿一条东西走向的公路由东向西骑行（公路可看成一条线），当甲骑行到点时测得某地标建筑物在其北偏西45°的方向上，再骑行100米到达点时测得在其北偏西15°方向上，则此时甲与的距离______________米. 【答案】 【分析】利用三角形内角和与正弦定理来求解甲与的距离. 【详解】如图所示，在中，，，，米. 由正弦定理可得，解得米.   . 故答案为：. 14．（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图，一座垂直建于地面的信号发射塔CD的高度为，地面上一人在A点观察该信号塔顶部，仰角为，沿直线步行后在点观察塔顶，仰角为，若，此人的身高忽略不计，则他的步行速度为__________. 【答案】 【分析】根据题意可得，，在中，利用余弦定理求，即可得结果. 【详解】在Rt中，，则； 在Rt中，，则； 在中，由余弦定理， 可得， 所以步行速度为为. 故答案为：. 15．（2026高一下·全国·专题练习）中，，，的面积等于，则角平分线的长等于________． 【答案】/ 【分析】先利用三角形面积公式求得，再由余弦定理求出，根据题设条件和等面积列式求解即得的长. 【详解】设中角所对的边分别为， 依题知，则有， 由余弦定理， ， 即解得． 设，则由可得 ， 化简得，解得. 即角平分线的长为． 故答案为：. 16．（24-25高三上·甘肃白银·月考）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求的值； (2)若，求，并判断的形状． 【答案】(1) (2)，是钝角三角形 【分析】（1）由正弦定理边角互化结合题意可得，然后利用余弦定理可得答案； （2）由（1）及结合，可得，，然后由角度正弦值比例可判断B最大，最后由余弦定理可判断B为钝角. 【详解】（1）（1）由正弦定理得，得， 由余弦定理得，而， 所以． （2）由（1）知，，在中，， 所以， 因此，即． 又因为，所以，而， 所以，故． 由正弦定理得，可知角B最大， 因为， 所以，所以，故是钝角三角形． 17．（25-26高三上·重庆·月考）在中，内角所对的边分别为，已知 (1)求角； (2)若为边上一点(不包含端点)，且满足， (i) 若，求的长； (ii) 求的取值范围. 【答案】(1) (2)(i)     (ii) 【分析】（1）由正弦定理化简等式，即可解得. （2）(i)由得，结合题意得，即可得到，由边角关系求得，即求得. (ii)由条件得到边的关系，以及角的取值范围.然后由正弦定理求得，然后由角的取值范围求得结果. 【详解】（1）∵， 由正弦定理可得， ∵，∴，∴， ∴，即，即， ∵，∴. （2）(i)∵，∴， ∴，∴，∴. ∴， ∴ ∴. (ii) ∵，∴，∴， ∵，∴， 由∵点在边上且不包含端点， ∴， 在中，， 在中由正弦定理可得，又∵， ∴， ∵，则，∴， ∴的取值范围是. 18．（25-26高三上·陕西榆林·月考）在中，内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长； (3)若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先利用正弦定理得到，再利用余弦定理求角. （2）利用余弦定理和三角形的面积公式，可求，进而得到三角形的周长. （3）先根据为锐角三角形，确定角的取值范围，再将化成的形式求值域. 【详解】（1）由正弦定理，， 所以. 由余弦定理，，且为三角形内角，所以. （2）由余弦定理，. 又. 所以， . 所以的周长为. （3）因为为锐角三角形，且，所以，且， 所以 . 因为，所以，所以， 所以. 19．（24-25高一下·陕西西安·期中）如图，为了测量两山顶间的距离，四点在同一铅锤平面内，飞机沿水平方向在两点进行测量，途中在点测得，在点测得，测得． (1)求点和点之间的距离； (2)求两山顶间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题中在两点观测到的俯角，得出相关角，利用正弦定理，可得长度； （2）先在中利用正弦定理得到，再在中利用余弦定理得到. 【详解】（1）由题意可得，，，， 在中，根据正弦定理，， 所以，则. （2）在中，， 由正弦定理可得：，， 中，， 由余弦定理得： ， . 所以两山顶间的距离为. 20．（2025·上海·一模）如图，我海监船在D岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A处，此时测得其北偏东30°方向与它相距20海里的B处有一外国船只，且D岛位于海监船正东18海里处. (1)求此时该外国船只与D岛的距离； (2)观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方航行.为了将该船拦截在离D岛12海里的E处（E在B的正南方向），不让其进入D岛12海里内的海域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值.（角度精确到0.1°，速度精确到0.1海里/小时） 【答案】(1)海里； (2)海监船的航向为北偏东48.2°，速度的最小值为6.4海里/小时. 【分析】（1）依题意，在中，，由余弦定理求得； （2）建立以点为坐标原点，为轴，过点往正北作垂直的轴．可得的坐标，设经过小时外国船到达点，结合，得，列等式求得，则，，再由求得速度的最小值． 【详解】（1）依题意，在中，， 由余弦定理得 ， ∴， 即此时该外国船只与D岛的距离为海里. （2）建立以点A为坐标原点，为x轴，过点A往正北方向为y轴的坐标系，如图， 则，，， 设经过t小时外国船只到达点. 又，所以. 由,解得或（舍去）, 故（小时）， 则， ∴， ∴海监船的航向为东偏北41.8°， ∴海监船的速度（海里/小时）. 又， 故海监船的航向为北偏东48.2°，速度的最小值为6.4海里/小时. 学科网（北京）股份有限公司 $