专题13.5 空间两条直线的位置关系重难点题型讲义（1个知识点+7大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

专题13.5 空间两条直线的位置关系重难点题型专训 （1个知识点+7大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 异面直线的概念及辨析 题型二 异面直线的判定 题型三 求异面直线的距离 题型四 异面直线所成的角的概念及辨析 题型五 证明异面直线垂直 题型六 求异面直线所成的角 题型七 由异面直线所成的角求其他量 拓展训练一 异面直线的相关求解 拓展训练二 异面直线所成的角相关问题 知识点一： 直线与直线的位置关系 1．直线与直线的位置关系 （1）共面与异面直线 定义：不同在任何一个平面内的两条直线． 异面直线的画法： ① ② （2）空间两条直线的位置关系 位置关系 特点 相交 同一平面内，有且只有一个公共点 平行 同一平面内，没有公共点 异面直线 不同在任何一个平面内，没有公共点 【即时训练】 1．（24-25高一下·全国·课后作业）若直线，，满足，，异面，则与（    ） A．一定是异面直线 B．一定是相交直线 C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线 【答案】C 【分析】在正方体中，，和是异面直线，；，和是异面直线，和是异面直线；直线，，满足，，异面，则由平行公理得与不可能是平行直线． 【详解】解：在正方体中， A．，和是异面直线，， 故直线，，满足，，异面，则与可能相交，不一定是异面直线，故A错误； B．，和是异面直线，和是异面直线， 故直线，，满足，，异面，则与可能是异面直线，故B错误； C．直线，，满足，，异面，则由平行公理得与不可能是平行直线，故C正确； D．，和是异面直线，， 故直线，，满足，，异面，则与可能相交，故D错误． 故选：C． 2．（2025高三下·全国·专题练习）如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱中，，若点P在平面内且不在对角线上，过点P在平面内作一直线m，使与直线的夹角为，且.这样的直线可作_________条. 【答案】2 【分析】 在平面内作m，使m与的夹角为，再利用直线的位置关系即可判断. 【详解】 在平面内作m，使m与的夹角为. ，∴直线m与BD也成角，即m为所求. 且m与BD是异面直线，当时，m只有1条，当时，这样的直线有2条. 故答案为：2. 【经典例题一 异面直线的概念及辨析】 【例1】（25-26高一下·江苏扬州·期中）如果直线分别是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线，那么与的位置关系是（   ） A．相交 B．异面 C．平行 D．相交或异面 【答案】D 【分析】结合图形，分别讨论与是从同一点出发的对角线和与不是从同一点出发的对角线时即可得结论. 【详解】如图：长方体中， 直线，分别是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线， 当与是从同一点出发的对角线时，如图和，此时与相交， 当与不是从同一点出发的对角线时，如图和，此时与异面， 所以与相交或异面. 【例2】（24-25高一下·山西朔州·期中）图，在棱长为1的正方体中，红、黑两只蚂蚁从点A出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”，红蚂蚁的爬行路线是，黑蚂蚁的爬行路线是，它们都依照如下规则：所爬行的第段与第n段所在直线必须是异面直线．设红、黑两只蚂蚁都走完2023段后各停止在正方体的某个顶点处，这时红、黑两只蚂蚁的直线距离是多少？ 【答案】 【分析】根据题意确定红、黑蚂蚁的行走路线，最终确定红、黑两只蚂蚁都走完2023段后各停在的位置，进而确定距离. 【详解】由正方体特点及题意可知：蚂蚁是走完一段，在每个端点只有一条路可走，故红黑蚂蚁的路线唯一确定，由题意及推理得：红蚂蚁的行走路线为： ，回到A点后继续重复之前的路线. 同理黑蚂蚁的路线为：，回到A点后继续重复之前的路线，红、黑蚂蚁走2023段：，故红、黑蚂蚁走完之后分别停在处，即此时红黑蚂蚁的距离为线段的长度，为. 1．（24-25高二上·上海徐汇·阶段检测）已知a，b是异面直线，若直线m上任意一点到a，b的距离都相等，则这样的直线m（    ） A．存在且只有一条 B．存在且只有两条 C．存在无数条 D．不存在 【答案】B 【分析】分别过a，b作与它们都平行的平面，再作一个他们正中间的平面，将两条异面直线投影到中间平面上，投影直线构成的四个角的角平分线即为所求. 【详解】分别过a，做平面，使得，过b作平面，使得，然后在这两个平行平面中间作一个平面，使得平面到平面、平面的距离相等，则直线在平面内的投影分别为，则，则在平面内两条直线构成的四个角的角平分线即为所求直线（共两条）, 故选：. 2．（24-25高一下·贵州毕节·月考）（多选）如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法正确的是（    ）    A．AB与CD是异面直线 B．GH与CD相交 C． D．EF与AB异面 【答案】ABC 【分析】还原几何体，再判断线与线的位置关系. 【详解】展开图还原为几何体后，如图，    由图可知与是异面直线，与相交，，与相交， 所以A,B,C正确，D错误. 故选：ABC 3．（25-26高二上·上海长宁·期末）如图是一个正方体的平面展开图，在该正方体中，线段、所在的直线中，与直线异面的是______． 【答案】 【分析】还原正方体并确定各线所在位置，进而判断直线的位置关系． 【详解】展开图还原后与重合，则与交于点，即与共面， 平面，平面，故与直线异面的是直线． 故答案为：． 4．（2025高三·全国·专题练习）已知直线为异面直线，且与不相交，求证：为异面直线． 【答案】证明见解析 【分析】利用反证法，结合平行的传递性即可得矛盾求解，或者分类讨论直线与平面的关系，结合异面直线的定义求解. 【详解】方法一：证明：如图，假设为共面直线，∵不相交，∴， 但，∴，这与为异面直线矛盾，故假设不成立，∴为异面直线． 方法二：∵，故两直线确定了一个平面． 若，则为异面直线，∴不平行，且不相交，∴为异面直线． 若，则不相交，∴，因此与为异面直线． 综上所述，为异面直线． 【经典例题二 异面直线的判定】 【例1】（24-25高一下·福建泉州·期中）在正四棱台的12条棱所在的直线及直线BD，，中，与直线AC是异面直线的直线共有（    ） A．6条 B．7条 C．8条 D．9条 【答案】B 【分析】根据异面直线的概念判断即可. 【详解】 与直线AC是异面直线的直线有，，，，，，，共7条. 故选：B. 【例2】（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在正方体中，M，分别是棱AD和的中点．求证：四边形为平行四边形． 【答案】证明见解析 【详解】证明：在正方体中，，， 又M，分别是棱AD和的中点，∴，， 则四边形为平行四边形，∴，， 又，， ∴且， 则四边形为平行四边形． 1．（24-25高一下·湖南·期中）如图，点为正方形的中心，点在平面外，是线段的中点，则下列各选项中两条直线不是异面直线的为（    ）    A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】根据空间中点，线，面的位置关系逐一判断即可. 【详解】在正方形中，， 所以在平面内，不在直线上， 又不在平面内，所以与异面； 因为平面，在平面内，不在直线上， 又不在平面内，所以与异面； 因为平面，在平面内，不在直线上， 又不在平面内，所以与异面；    连接，因为点为正方形的中心，又是线段的中点， 所以，所以在平面内，所以与不是异面直线. 故选：. 2．（25-26高一下·江苏无锡·期中）（多选）如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体．那么在这四条线段中，线段所在直线是异面直线的是（    ） A．直线和直线 B．直线和直线 C．直线和直线 D．直线和直线 【答案】BC 【分析】将正方体还原，从而得到线段所在直线是否为异面直线. 【详解】还原为正方体，如下： A选项，直线EF和直线CD平行，不是异面直线，A错误； B选项，直线AB和直线CD是异面直线，B正确； C选项，直线EF和直线GH是异面直线，C正确； D选项，直线AB和直线是相交直线，不是异面直线，D错误. 3．（24-25高二上·上海浦东新·月考）如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有 _____对． 【答案】3 【分析】把展开图还原成正方体，观察几何体由异面直线的定义即可得到答案. 【详解】 如图所示：把展开图再还原成正方体，由经过平面外一点和平面内一点的直线和平面内 不经过该点的直线是异面直线可得，AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有： AB 和 CD，AB 和 HG，EF 和 HC，共三对， 故答案为：3． 4．（2025高一·全国·专题练习）如图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对？分别是哪几对？ 【答案】共有三对，分别为AB与CD，AB与GH，EF与GH 【分析】还原成正方体，根据异面直线的定义确定即可. 【详解】还原的正方体如图所示： 根据异面直线的判定方法知共有三对，分别为AB与CD，AB与GH，EF与GH. 【经典例题三 求异面直线的距离】 【例1】（24-25高二·上海·课堂例题）两条异面直线之间的距离是（    ） A．和两条异面直线都垂直相交的直线； B．和两条异面直线都垂直的直线； C．它们的公垂线的两个垂足之间的线段长； D．两条直线上任意两点间的距离． 【答案】C 【分析】根据异面直线的距离定义即可求解. 【详解】由题意，根据异面直线的性质可得，两条异面直线的距离即为它们的公垂线夹在垂足间的线段的长， 故选：C. 【例2】（2025高三·全国·专题练习）已知长方体底面边长分别为2，1，正四面体的四个顶点分别在长方体的顶点及长度为1的棱所在的直线上，求长方体的高． 【答案】2 【分析】根据题意作出正四面体，利用正四面体中，异面直线距离相等即可求高. 【详解】因为任何一个三棱锥均存在唯一的外接平行六面体，只要分别过三组对棱作三组平行平面， 即能围成所要的平行六面体（如图23）．    反之，任意一个平行六面体也一定内接一个四面体，且长方体对应的四面体一定是对棱相等 的四面体，正方体对应的一定是正四面体． 由于一组对棱（与）距离是2，即，故另一组对棱（与）也为2， 即高． 1．（24-25高二上·福建泉州·期中）三棱锥中，，，，，分别是两条相对棱上的动点，则最小距离为（   ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】由题意三棱锥的对棱相等，可构造长方体使三棱锥的棱长为长方体的面对角线，求出长方体棱长，再当分别为两条棱的中点时，最小，求出即可； 【详解】 由题意可得，三棱锥的对棱相等，可构造长方体，使三棱锥的棱长为长方体的面对角线， 设长方体的长宽高分别为， 则，解得， 由于对棱为异面直线，所以为异面直线间的公垂线时最小， 由长方体的性质可得当分别为两条棱的中点时最小， 此时， 故选：A. 2．（24-25高一上·浙江·期末）在正四棱锥中，面于，，底面的边长为，点分别在线段上移动，则两点的最短的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】若两点间距离最短，则为公垂线段；易证得平面，则可作，可知即为所求公垂线段，利用面积桥的方式可求得，即为所求最短距离. 【详解】在上移动，则当为公垂线段时，两点的距离最小； 四棱锥为正四棱锥，平面，为正方形的中心， ，又，，平面， 过作，垂足为，    平面，，为的公垂线， 又，两点的最短的距离为. 故选：B. 3．（24-25高二上·广东汕头·期中）在四面体ABCD中，，，，M，N分别为棱AB，CD所在直线的点，则线段长度的最小值为______． 【答案】3 【分析】将该四面体放置于长方体中，列方程求出长方体长宽高，再转化为求异面直线距离即可. 【详解】如图，将四面体放入长方体中，分别为矩形的中心， 设，，， 则，，， 得，，． 由图易知直线与异面，则线段长度的最小值即为求两异面直线距离， 即长方体的二平行平面间的距离. 故答案为：3 4．（2025高三·全国·专题练习）单位正方体中，分别是它们所在棱的中点，求与间的距离． 【答案】 【分析】连接，且，设，，作于的中点为，连接，，延长到使，连接，易知GK//EF，且GK=EF，就是与所成的角求解. 【详解】解：如图所示：    连接，且，设，， 作于的中点为，连接， 在中，可求得，在中，可求得， 由此可知， 延长到使，连接，则易知四边形为平行四边形， ∴，且，则就是与所成的角， 连接与交于，则， 在中，由余弦定理可求得，则， 根据公式（2）得，∴与间的距离是． 【经典例题四 异面直线所成的角的概念及辨析】 【例1】（24-25高一下·江苏南京·期末）异面直线所成的角为，过空间一点P作直线l，使l与所成的角均为，这样的直线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】首先将直线平移至点，再根据两条直线的夹角和其补角的角平分线，判断直线的条数. 【详解】如图，过点作直线，与的夹角为，所以直线与的夹角相等的直线的射影落在或的角平分线上， 的角平分线与的夹角为，则其他射影落在角平分线的直线与的夹角都大于， 的角平分线与的夹角为，其他射影落在角平分线的直线与的夹角都大于， 所以只有1条直线l与所成的角均为，也即只有1条直线l与所成的角均为. 故选：A 【例2】（2025高三·全国·专题练习）已知异面直线所成的角为为空间一定点，求经过点且与所成的角都是的直线的条数． 【答案】答案见解析 【分析】过上任一点作的平行线，再分别讨论与的关系，结合的大小关系讨论即可. 【详解】如图（4），过上任一点作的平行线，不妨设不在相交直线所确定的平面内，则过点与所成角都为的直线的条数与过点和所成角都为的直线条数相同，记，则． （1）当时，由于过与所成的相等的角，与所成的相等的角，故这时不存在符合题意的直线，即． （2）当或时，显然有． （3）当时，过点有两条直线分别与及所成角相等，故这时． （4）当时，故． （5）当时，因，从而过点有一条直线与都成，再结合情形（3），可得． （6）当时，仿情形（3）可知这时． 1．（24-25高二上·上海·期中）在正方体中，表面的对角线与成角的有（    ）条 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先确定与共面的面对角线中成角的共有条，再通过平行关系确定异面的面对角线中也有条，共条. 【详解】 以为一边的面对角线构成的等边三角形如上图为：和， 所以，与夹角为的面对角线有：、、、， 又因为，，，， 根据平行关系可知、、、也与成角， 可知满足题意的面对角线共有条， 故选：C. 2．（24-25高一下·山西朔州·期末）设、、是直线，则（    ） A．若，，则 B．若与所成的角等于与所成的角，则 C．若，，则 D．若，则与、与所成的角相等 【答案】D 【分析】根据各选项中的条件判断线线位置关系，即可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，若，，则与平行、异面或相交，A错； 对于B选项，若与所成的角等于与所成的角，则与平行、异面或相交，B错； 对于C选项，若，，则与平行、异面或相交，C错； 对于D选项，若，则与、与所成的角相等，D对. 故选：D. 3．（2025·河南·模拟预测）在正方体中，写出一条过正方体两个顶点且与直线所成角为的异面直线：______. 【答案】或或或 【分析】利用平行直线与同一条直线所成角相等，将异面直线的夹角问题转化为同一平面内直线的夹角问题，画图分析可得到答案. 【详解】如图，连接，，易知是等边三角形，    且，，所以与及所成角均为60°， 同理连接，,可以看出与及所成角也为60°. 故答案为：或或或 4．（2025高三·全国·专题练习）证明正三棱柱中，若时，则与就不可能垂直． 【答案】证明见解析 【分析】利用反证法即可证明. 【详解】如图，如果，根据定差幂线定理知    ， 设三棱柱底面边长为a，高为b，则，于是， 而， 得，即，∴，与条件矛盾，∴与不可能垂直． 【经典例题五 证明异面直线垂直】 【例1】（2025高一下·全国·专题练习）直三棱柱中，，在三棱柱所有的棱中，与AC垂直且异面的有（　　） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【分析】由已知直三棱柱的结构特征，列举与AC垂直且异面的棱即可. 【详解】直三棱柱中，， 则与AC垂直且异面的直线有和. 故选：B. 【例2】（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，正方体，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】利用异面直线所成的角是即可证明异面直线垂直. 【详解】证明:如图,连接,交于,设的中点为,连接,则,所以与所成的角即为与所成的角． 连接,,因为正方体,所以. 又是的中点,所以,所以. 1．（24-25高二上·浙江·期中）如图1，在菱形中，，是其对角线，是上一点，且，将沿直线翻折，形成四棱锥（如图2），则在翻折过程中，下列结论中正确的是（    ）    A．存在某个位置使得 B．存在某个位置使得 C．存在某个位置使得 D．存在某个位置使得 【答案】B 【分析】选项A，在翻折过程中，与夹角始终不变，，故A错误；选项B，，转化为判断和是否会垂直，由图观察翻折过程中和夹角的变化范围可得解；选项C，由图观察翻折过程中和夹角的变化范围可得解；选项D，由于平行于翻折前的，故只需观察翻折过程中与翻折前的的夹角变化范围可得解. 【详解】对于选项A，沿翻折，在翻折过程中，与夹角始终不变，，故A错误；    对于选项B，，转化为判断和是否会垂直，由图观察翻折过程中和夹角变化范围是，故存在某个位置使得，故B正确； 对于选项C，由图观察翻折过程中和夹角的变化范围是，故不存在某个位置使得，故C错误； 对于选项D，由于平行于翻折前的，故只需观察翻折过程中与翻折前的的夹角变化范围，由图观察翻折过程中与的夹角变化范围是，所以不存在某个位置使得，故D错误. 故选：B. 2．（24-25高一下·江苏南京·期末）（多选）平面，直线m和n，从下面的条件中可以推出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据线线垂直的条件对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】对于A选项，若，则，所以A选项正确. 对于B选项，若，则，所以B选项错误. 对于C选项，若，则，所以C选项正确. 对于D选项，若，则可能平行、相交、异面，所以D选项错误. 故选：AC 【点睛】本小题主要考查线线垂直的判断，属于基础题. 3．（25-26高二上·全国·课后作业）已知垂直于所在的平面，，则点到的距离为________． 【答案】 【分析】作出到的垂线，利用勾股定理求得到的距离。 【详解】取的中点，连接， ∵平面， ∴为在平面内的投影， 又，∴， 由三垂线定理得，， 又，∴. 故答案为:    4．（24-25高一下·全国·课后作业）在直三棱柱中，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】找到异面直线的夹角，利用直三棱柱的性质求出夹角度数，再证明线线垂直即可. 【详解】如图，连接，设，，， 由直三棱柱性质得，， 因为，所以由勾股定理得， 因为三棱柱是直三棱柱，所以， 由勾股定理得，， 故，则，即． 由直三棱柱性质得，故就是直线与所成的角， 所以得证． 【经典例题六 求异面直线所成的角】 【例1】（25-26高二上·河北石家庄·月考）如图所示，已知在长方体中，，则和BG所成角的大小是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由∥，得到为和BG所成角求解. 【详解】因为∥，所以为和BG所成角， 所以在中，， 因为为锐角，所以， 所以和BG所成角的大小是， 故选：C 【例2】（2025高一·全国·专题练习）如图，是正所在平面外的一点，分别是和的中点，，且，求异面直线与所成角的余弦值．    【答案】 【分析】取的中点，将与所成的角转化为或其补角，利用余弦定理在中求得. 【详解】如图，连结，设为的中点，连结， 因为线段的中点，则，所以是与所成的角或其补角， 设， 因且， 则，，， 因为等边三角形，且边长为，为线段的中点，则， 则，， 则， 则在中利用余弦定理得， 因空间中两条异面直线所成角的取值范围为， 所以与所成角的余弦值为．    1．（25-26高一下·浙江·期中）在正方体中，异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，不妨设正方体的棱长为1. 因为，，所以四边形为平行四边形， 所以，所以（或其补角）为异面直线与所成的角. 在中，， 所以为等边三角形，则， 因此，异面直线与所成的角为. 2．（24-25高二上·河南周口·月考）（多选）如图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列四个命题： ①；②与成角；③与成异面直线且夹角为.    其中正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．①②③ 【答案】BC 【分析】还原正方体直观图，根据直观图直观可判断①；利用正三角形性质和线线平行可判断②③. 【详解】将正方体纸盒展开图还原成正方体，如图知与不平行，故①错误；连接、，因为为正三角形，且，则与成角，故②正确； 同理成角，由图可知成异面直线，故③正确. 故选：BC 3．（25-26高二上·浙江杭州·期中）如图，在圆锥中，是底面圆O的直径，D，E分别为，的中点，，，则直线与直线所成角的大小为______． 【答案】/ 【分析】取OA的中点F，BO的中点G，根据异面直线所成角的定义作出直线与直线所成角，根据勾股定理，求出各个长度，根据余弦定理，即可得答案. 【详解】取OA的中点F，BO的中点G，连接ED、EF、EG、GC、CF，如下图所示， 因为D，E分别为，的中点， 所以，且 ， 又O为AB的中点，所以，则，且 ， 因为F为OA的中点，所以且， 所以四边形EDAF为平行四边形，所以， 所以（或其补角）即为直线与直线所成角， 在中，，则， 在中，，则， 同理， 因为E，G分别为SB、BO的中点， 所以，且， 在中，， 在中，， 由图象可得为锐角，所以， 则直线与直线所成角的大小为. 4．（2025高三·全国·专题练习）在正方体中，分别为，的中点，求异面直线和所成角的余弦值． 【答案】 【分析】连接，，，由异面直线夹角的定义确定或其补角为异面直线与所成的角．再由余弦定理即可求解. 【详解】设正方体的棱长为a，如图，连接，，， 易知，所以或其补角为异面直线与所成的角． 因为，，， 所以． 【经典例题七 由异面直线所成的角求其他量】 【例1】（24-25高二·上海·暑假作业）如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为，则MN＝（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】平移法找出异面直线所成的角，后用直角三角形知识解决． 【详解】 取AD的中点P，连接PM，PN，则 ∴或其补角即异面直线AC与BD所成的角， ∴，，， ∴. 故选：C. 【例2】（25-26高二·上海·课堂例题）如图，在四面体中，，，、分别为、中点，并且异面直线与所成的角为．求的长． 【答案】 【分析】取中点，连接，，即可得到异面直线与所成的角，再由勾股定理计算可得. 【详解】取中点，连接，， 又因为，，，分别为，的中点， 所以且，且， 又因为异面直线与所成的角为，则为异面直线与所成的角（或补角）， 所以， 所以， 所以． 1．（24-25高二上·安徽·阶段检测）已知两条异面直线a，b所成角为，若过空间内一定点的直线l和a，b所成角均为，则这样的直线l有（    ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】C 【分析】先将异面直线a，b平移到点P，结合图形知，当使直线l在平面BPE的射影为的角平分线时，存在2条直线满足条件，当直线l在平面EPD的射影为的角平分线时，存在2条满足条件，则可判断4条直线满足. 【详解】如图：    通过平移过点P作a∥BD，b∥CE，由题意，,, 而的角平分线与a和b的所成角为， 的角平分线与a和b的所成角为， 因为，所以直线l和a，b所成角均为的直线有4条， 其中直线l在平面BPE的射影为的角平分线时存在2条直线满足条件， 当直线l在平面EPD的射影为的角平分线时存在2条满足条件，故共4条. 故选：C. 2．（24-25高二上·山东德州·月考）（多选）已知，分别是三棱锥的棱，的中点，且，.若异面直线与所成角的大小为，则线段EF的长可能为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】BD 【分析】根据异面直线所成角的定义得到或，然后利用余弦定理求即可. 【详解】    取中点，连接，， 因为，分别为，的中点，，， 所以，，，， 所以异面直线与所成角与直线和所成角相等，即或， 当时，根据余弦定理得，，解得； 当时，根据余弦定理得，，解得. 故答案为：BD. 3．（24-25高二上·四川成都·期中）两条异面直线a，b所成的角为，在直线上取点A，E，在直线上取点B，F，使，且.已知，则线段AB的长为____________. 【答案】12或 【分析】根据题意，画出相应示意图，且，，，则，，分两种情况求对应线段AB的长. 【详解】由题意，有如下两种情况，且，，，则，， 如上图，，又，即， 则， 又，则， 如上图，，又，即， 则， 又，则， 所以线段AB的长为12或. 故答案为：12或 4．（25-26高二·全国·课后作业）设两条电线所在的直线是异面直线，它们的距离是2 m，所成的角是60°．已知这两条电线上各有一点，距离公垂线的垂足都是8 m．求这两点之间的距离． 【答案】或． 【分析】根据题意作出图像，分两点在公垂线同侧和异侧求解即可． 【详解】设两条异面直线a、b之间的距离，在上，，在上，． 过作∥a，过A作于C，连接BC、AB，则AB为要求的距离． ∵EF是a、b公垂线，∴易知平面，则平面，则AC⊥BC． 当、在公垂线EF同侧时， ，∵FB=FC=EA=8 m，∴为正三角形，∴， 在Rt中，，； 当、在公垂线EF异侧时， ，FC=8 m，EF=AC=2 m，BF=8 m， 在中，由余弦定理得：m， 则； 综上所述，要求的两点间的距离为或． 【拓展训练一 异面直线的相关求解】 【例1】（25-26高二·全国·单元测试）是棱长为1的正方体，一个质点从A出发沿正方体的面对角线运动，每走完一条面对角线称“走完一段”，质点的运动规则如下：运动第i段与第所在直线必须是异面直线（其中i是正整数）．问质点走完的第2021段与第1段所在的直线所成的角是（    ） A．0° B．30° C．60° D．90° 【答案】A 【分析】由质点的运动规则，可得质点走过4段后，又回到起点，可以看作以4为周期，由于，则质点走完的第2020段恰好回到起点，即可得解； 【详解】解：依题意可得质点运行路线为， 或， 或， 或， 或， 或， 即走过4段后又回到起点，可以看作以4为周期， 不妨令第1段走且按照，则第5段一定是，若为（），此时与第3段共线，矛盾； ， 则质点走完的第2020段恰好回到起点，则第段只能是， 即第段为，此时与第段重合，此时两直线所成角为； 质点走完的第段与第1段所在的直线所成的角是． 故选：A 【例2】（24-25高二·上海·课堂例题）已知平面，直线，若，，，，．求证：是异面直线． 【答案】证明见解析 【分析】利用反证法结合分类讨论证明即可. 【详解】首先假设不是异面直线，即共面． 如果，因为，所以，这与已知矛盾； 如果直线a与b相交，设，因为，，所以， 同理可得，由公理3得，，得，这与已知矛盾． 综上，假设不成立，即是异面直线 1．（24-25高二上·上海·期中）在正方体的12条棱、12条面对角线中，总共可以组成（   ）对异面直线． A．72 B．96 C．102 D．126 【答案】D 【分析】根据异面直线的定义，分每条棱与其他棱构成异面直线，每条棱与面对角线构成异面直线，每条面对角线每条面对角线与其他面对角线构成异面直线，三种情况讨论即可. 【详解】每条棱与其他棱构成异面直线，共有条； 每条棱与面对角线构成异面直线，共有条； 每条面对角线每条面对角线与其他面对角线构成异面直线，共有条， 所以共有条. 故选：D. 【点睛】思路点睛：根据异面直线的定义结合图形分类讨论求解. 2．（25-26高一下·广东广州·期中）（多选）如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么以下说法正确的是（    ） A．直线和直线是异面直线 B．直线和直线是异面直线 C．直线和直线是异面直线 D．直线和直线是异面直线 【答案】ABC 【分析】首先还原几何体，再判断线与线的位置关系. 【详解】展开图还原为几何体后，如图: 直线和直线是异面直线，直线和直线是异面直线，直线和直线是异面直线，和平行，所以ABC正确，D错误. 3．（2026高三·全国·专题练习）已知直线，若，则与的位置关系为___________. 【答案】平行、相交或异面 【分析】根据空间中直线的位置关系即可判断. 【详解】若在同一个平面内，由题设条件可得； 若在空间中，则直线与的位置关系不确定，平行、相交、异面都有可能． 故答案为：平行、相交或异面 4．（2025高三·全国·专题练习）单位正方体中，求与间的距离． 【答案】． 【分析】 由空间中的两条异面直线间的距离公式计算即可. 【详解】如图: 设，则． ∵，∴， ∵，∴和所成的角为， 则由公式得， 因此与间的距离为． 【拓展训练二 异面直线所成的角相关问题】 【例1】（24-25高二上·上海·月考）为异面直线，且所成角为，过空间一点作直线，直线与均异面，且所成角均为，若这样的共有四条，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设平面上两条直线分别满足，则相交，且夹角为，讨论的取值范围，从而确定c的情况以及条数，即可得答案. 【详解】设平面上两条直线分别满足， 则相交，设交点为，且夹角为， 如图示：过空间中一点作直线，若直线与均异面，且所成角均为， 则直线与直线所成角均为， 当时，不存在这样的直线， 当时，这样的直线只有一条， 当时，这样的直线有两条， 当时，这样的直线有三条， 当时，这样的直线有四条， 当时，这样的直线只有一条. 所以的范围为. 故选：A. 【例2】（2024高二上·全国·专题练习）正四面体中，E、F分别是的中点，求异面直线与所成的角. 【答案】 【分析】以为空间的一个基底，进而通过空间向量的夹角公式求出答案.； 【详解】设正四面体的边长为，，，， 则是空间的一个基底， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， ∴异面直线EF与AB所成的角为. 故答案为： 1．（24-25高二上·上海奉贤·期中）若两异面直线所成的角为，过空间内一点作与直线所成角均为的直线，则所作直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用异面直线所成的角的概念进行分类讨论即可求解. 【详解】在空间取一点，经过点分别作， 设直线确定平面，当直线满足它的射影在所成角的平分线上时， 与所成的角等于与所成的角， 因为直线，所成的角为，得所成锐角等于， 所以当射影在所成锐角的平分线上时， 与所成角的范围是. 这种情况下，过点有两条直线与所成的角都是， 当的射影在所成钝角的平分线上时， 与所成角的范围是. 这种情况下，过点有两条直线与所成的角都是， 综上所述，过空间任意一点可作与，所成的角都是的直线有4条. 故选：D. 2．（24-25高一下·吉林白城·期末）（多选）已知是正方体，则下列结论正确的是（    ） A．直线与是异面直线 B．与所成的角为60° C． D．直线与所成的角为60° 【答案】ACD 【分析】由异面直线的判定判断A；证得线线平行判断B；由异面直线垂直判断C；求出异面直线所成角判断D. 【详解】对于A，平面，点平面，，而平面， 直线，直线与是异面直线，A正确； 对于B，由，得，则，B错误； 对于C，由选项B同理得，而，则，C正确； 对于D，连接，，则或其补角为异面直线与所成的角， 又为正方体的面对角线，即，， 因此异面直线与所成的角为，D正确. 故选：ACD 3．（25-26高一下·河北衡水·期中）如图，在圆柱中，轴截面是正方形，C在圆O的圆周上，，则异面直线与所成角的余弦值为__________. 【答案】/0.7 【详解】如图，设圆O的半径为r，延长BA至点D，使， 连接，CD，AC，则，， 所以四边形是平行四边形， 所以，， 则或其补角为异面直线与所成的角， 因为，， 所以， 即异面直线与所成角的余弦值为. 4．（2025高一下·全国·专题练习）P是平面ABC外一点，，D，E分别为PC，AB的中点，且.求异面直线PA与BC所成的角的大小. 【答案】. 【分析】首先取AC的中点F，连接DF，EF，证明为异面直线PA与BC所成的角，再用勾股定理证明其为直角即可. 【详解】如图，取AC的中点F，连接DF，EF，在中， ∵D是PC的中点，F是AC的中点，. 同理可得. 为异面直线PA与BC所成的角（或其补角）. 在中，， 又，， ， ，即异面直线PA与BC所成的角为. 1．（25-26高二下·上海松江·期中）在正方体中，与直线异面的直线可以是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】D 【分析】对ABC选项可找到平行四边形，使得所要判断的两条直线为平行四边形的对角线，从而可判断为相交直线，对于D则根据异面直线判断方法可得. 【详解】如图，在正方体中， 对于A，因为在正方体中，所以且，所以四边形是平行四边形， 而与是平行四边形的对角线，所以，故A错误； 对于B，因为在正方体中，所以且，所以四边形是平行四边形， 而与是平行四边形的对角线，所以，故B错误； 对于C，因为在正方体中，所以且，所以四边形是平行四边形， 而与是平行四边形的对角线，所以，故C错误； 对于D，因为直线是平面内一条直线，直线经过平面外一点和平面内一点且， 所以直线与直线是异面直线，故D正确. 2．（2025·上海·高考真题）如图，正方体中，P、Q、R、S分别为棱AB、BC、、CD的中点，连接、，空间任意两点M、N，若线段MN上不存在点在线段、上，则称M、N两点可视，下列选项中与点可视的为（   ）．    A．点Q B．点P C．点B D．点R 【答案】A 【分析】根据异面直线的定义判断即可. 【详解】A选项，四边形是平行四边形，，得点平面，得与为异面直线， 四边形是平行四边形，且平面，得点平面，得与为异面直线，根据题意，得两点可视，故A对； B选项：四边形是平行四边形，与相交，故B错； C选项：四边形是平行四边形，与相交，故C错； D选项：四边形是平行四边形，与相交，故D错； 故选：A. 3．（25-26高二上·云南昆明·期末）如图，正三棱柱的所有棱长都相等，则和平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点，连接，可得平面，可得为直线和平面所成的角，求解即可. 【详解】取的中点，连接， 由正三棱柱，可得，所以， 又平面平面，平面平面， 所以平面，所以为直线在平面内的射影， 所以为直线和平面所成的角， 设正三棱柱的棱长为2，则可得， ， 在中，. 故和平面所成角的正弦值为. 故选：A 4．（25-26高一下·北京·期中）如图，在正方体中，E为棱AB的中点，F为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点，连接,可得异面直线与所成角（或其补角）为,结合余弦定理求解即可. 【详解】取的中点，连接 因为分别为的中点， 所以,且,所以四边形为平行四边形， 则,所以异面直线与所成角为（或其补角）, 不妨假设正方体的边长为, 则,,, , 所以在中，由余弦定理可得：, 所以异面直线与所成角的余弦值为 5．（24-25高一下·宁夏固原·期末）在三棱锥中，，且直线与所成的角为，分别为棱的中点，则直线与所成角的大小为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】利用异面直线夹角的定义即可求解. 【详解】如图，取的中点，连接， 易知，，且，， 故，且是异面直线与所成角或其补角， 所以或， 所以异面直线与所成角为或其补角， 当时，；当时，， 所以直线与所成角的大小为或     故选：C    6．（24-25高一下·浙江宁波·期中）（多选）如图，在正方体中，E、F、G、H、M、N分别是棱AB、BC、、、、的中点，则下列结论正确的是（   ）    A．直线GH和MN平行，GH和EF异面 B．直线GH和MN平行，MN和EF相交 C．直线GH和MN相交，MN和EF异面 D．直线GH和EF异面，MN和EF异面 【答案】AB 【分析】连接，可证，从而推得；利用异面直线的定义可判断GH和EF异面；连接，证明四点共面，可推得与相交，即可逐一判断. 【详解】    如图，连接，易得，且，则得，故，则C错误； 因平面，平面，但，平面， 故GH和EF异面； 连接，因，且，则得， 故，又，则，即四点共面， 又与不平行，故与相交，故D错误. 综上可得，A，B两项正确. 故选：AB. 7．（24-25高一下·广东肇庆·月考）（多选）如图，在正四棱柱，E，F分别是AB1，BC1的中点，则下面结论一定成立的是（    ） A．EF与A1C1平行 B．BC1与AB1 所成角大小为 C．EF与BB1垂直 D．EF与BD垂直 【答案】ACD 【分析】连结，利用中位线的性质，即可证明，再利用平行，垂直关系的转化，即可判断选项. 【详解】A.连结，即点是与的交点，点分别是的中点，所以，故A正确； B.连结，因为，所以是异面直线BC1与AB1 所成角，因为四棱柱是正四棱柱，所以不一定是等边三角形，所以BC1与AB1 所成角不一定为，只有正四棱柱是正方体时，BC1与AB1 所成角为，故B错误； C.因为平面，所以，又因为，，故C正确； D.因为，，所以，又因为，所以，故D正确. 故选：ACD 8．（24-25高一下·福建漳州·期末）（多选）正方体中，为底面的中心，则（    ） A．直线与所成的角等于 B．直线与所成的角等于 C．直线与是异面直线 D．直线与所成的角等于 【答案】BD 【分析】根据异面所成角的定义与计算方法，结合正方体的几何结构特征，逐项判定、求解，即可求解. 【详解】对于A中，在正方体中，， 所以异面直线与所成的角，即为直线与所成的角， 在等腰直角，可得， 即异面直线与所成的角为，所以A不正确；， 对于B中，在正方体中，可得， 所以异面直线与所成的角，即为直线与所成的角， 在等边，可得， 即异面直线与所成的角为，所以B正确；， 对于C中，在正方体中，由为底面的中心， 可得平面，且平面， 所以直线与不是异面直线，所以C错误； 对于D中，在正方体中，因为为正方形，可得， 又由平面，平面，所以， 因为且平面，所以平面， 又因为平面，所以，所以D正确. 故选：BD.    9．（24-25高三上·河北秦皇岛·开学考试）（多选）如图为一正方体的展开图、则在原正方体中（    ）    A． B． C．直线与所成的角为 D．直线与所成的角为 【答案】BCD 【分析】画出原正方体，然后根据线线位置关系有关知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】画出原正方体如下图所示，由图可知： 与不平行，A选项错误. 根据正方体的性质可知，所以四边形是平行四边形， 所以，而，所以，所以B选项正确. 根据正方体的性质可知，三角形是等边三角形， 直线与所成的角为，所以直线与所成的角为，C选项正确. 根据正方体的性质可知，三角形是等边三角形， 直线与所成的角为，所以直线与所成的角为，D选项正确. 故选：BCD    10．（2025高一下·全国·专题练习）（多选）在空间四边形中，，且与所成的角为，分别为，的中点，则与所成的角的大小可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】取的中点，连接，由三角形中位线得或其补角为与所成的角，为与所成的角，由得为等腰三角形，结合与所成的角为即可求解． 【详解】如图所示， 取的中点，连接，则且，且， 则或其补角为与所成的角， 因为，所以， 所以为等腰三角形，则为锐角， 所以为与所成的角， 因为与所成的角为， 所以或， 当时，； 当时，， 所以与所成的角的大小为或． 故选：AD． 11．（24-25高一下·北京顺义·期中）从正方体的12条面对角线中选出k条，使得这k条面对角线所在直线两两异面，则k的最大值为______． 【答案】4 【分析】先依次选定第一条、第二条面对角线结合正方体结构特征进行分析即可求解. 【详解】如图，在面中选定一条面对角线， 由正方体结构特征剩余五个面内均只剩一条面对角线与异面， 但当继续选定第二条面对角线时， 面与面中与异面的直线均与面对角线相交，故不符合， 所以最终只剩最后两个面的对角线可以与和两两异面，故k的最大值为4. 故答案为：4. 12．（24-25高二上·北京海淀·月考）如图所示，在正方体中，点为边上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是______. ①②③④ 【答案】② 【分析】根据异面直线的定义一一判定即可. 【详解】由正方体的性质易知当为的中点时，此时， 而，所以共面，则、在平面上，故①不符题意； 因为，即共面，易知平面，而平面， ，， 故与异面，故②符合题意； 当重合时，易知，则四边形是平行四边形， 则此时，故③不符合题意； 当重合时，显然，相交，故④不符合题意. 故答案为：② 13．（24-25高二上·四川成都·期中）已知正四棱锥的所有棱长均为为的中点，则线段上的动点到直线的距离的最小值为______． 【答案】/0.5 【分析】分析证明为异面直线的公垂线段，由此可求动点M到直线BE的距离的最小值即可. 【详解】 因为为等边三角形，为的中点， 所以， 由已知，，， 所以， 所以， 所以为异面直线，的公垂线段， 所以的长为动点M到直线BE的距离最小值， 所以动点M到直线BE的距离最小值为. 故答案为：. 14．（24-25高二上·上海长宁·期末）如图是一个边长为2的正方体的平面展开图，在这个正方体中，则下列说法中正确的序号是___________. ①直线与直线垂直； ②直线与直线相交； ③直线与直线平行； ④直线与直线异面； 【答案】①④ 【分析】画出正方体，，，故，① 正确，根据相交推出矛盾得到② 错误，根据，与相交得到③ 错误，排除共面的情况得到④ 正确，得到答案. 【详解】如图所示的正方体中，，，故，① 正确； 若直线与直线相交，则四点共面，即在平面内，不成立，② 错误； ，与相交，故直线与直线不平行，③ 错误； ，与不平行，故与不平行，若与相交，则四点共面，在平面内，不成立，故直线与直线异面，④ 正确； 故答案为：① ④. 15．（25-26高一下·贵州毕节·期中）如图，圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，点是底面弧的两个三等分点，则异面直线与所成角的正切值为__________． 【答案】 【分析】易证得，由异面直线所成角定义可知所求角为，由长度关系可求得结果. 【详解】设圆锥底面圆心为，连接， 为弧的两个三等分点，， 又，为等边三角形，，， 即为异面直线与所成角， 平面，平面，， ，，， 即与所成角的正切值为. 16．（25-26高一·全国·课堂例题）已知是棱长为a的正方体（如图）．    (1)正方体的哪些棱所在的直线与直线是异面直线？ (2)求证直线与BC垂直． (3)求直线与AC的夹角． 【答案】(1)，，，DA，DC，； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）利用异面直线的定义判断作答. （2）（3）利用异面直线的定义，求出异面直线的夹角即可作答. 【详解】（1）正方体共有12条棱，与相交的棱有6条，与平行的棱不存在， 因此余下的6条棱所在直线分别与直线是异面直线，它们是，，，DA，DC，． （2）在正方体中，由，得与AD的夹角就是与BC的夹角， 因为，则与BC的夹角为， 所以． （3）连接，因为， 于是四边形是平行四边形，即， 从而与AC的夹角就是与的夹角，连接， 而，与都是正方体的面对角线，则有，即是正三角形， 所以与的夹角为，即与AC的夹角为． 17．（24-25高二上·上海·随堂练习）已知四面体的所有棱长均为a，E、F分别是的中点．求： (1)异面直线的公垂线段及公垂线段的长； (2)异面直线和所成的角． 【答案】(1)是的公垂线段， (2)45° 【分析】（1）连接，由全等得，结合等腰三角形三线合一得，同理有，可得公垂线段是，结合勾股定理可求解长度； （2）取的中点G，说明和所成的锐角或直角就是异面直线和所成的角，结合余弦定理即可求解. 【详解】（1）如图，连接， 由已知，得． 所以．因为E是的中点， 所以． 同理可证， 所以是的公垂线段． 在中，，， 所以．    （2）如图，取的中点G，连接，则． 所以和所成的锐角或直角就是异面直线和所成的角． 连接，在中，，，， 由余弦定理，得，所以． 故异面直线和所成的角为45°． 18．（24-25高二上·上海·期中）《九章算术》是中国古代数学专著，书中记载了一种名为“刍甍（méng）”的五面体（如图），其中四边形为矩形，.若，和都是正三角形，且，求异面直线与所成角的大小.    【答案】 【分析】在上取一点，使得，可得为异面直线与所成角或其补角，设出边长可得，即可求解. 【详解】    如图，在上取一点，使得， 因为，，四边形为矩形， 所以，，所以四边形为平行四边形， 所以， 所以为异面直线与所成角或其补角， 设，所以，， 因为和都是正三角形，所以， 由，所以， 所以，所以， 所以异面直线与所成角为. 19．（24-25高一下·江苏·期中）如图所示，在三棱锥A-BCD中，AB＝CD，E、F分别为BC、AD的中点．    (1)若AB⊥CD，求EF与AB所成的角的大小； (2)若AB＝CD＝2，且异面直线AB与CD所成角的大小为60°，求线段EF的长． 【答案】(1)45°； (2)或 【分析】（1）取BD的中点G，连接EG、FG；利用中位线定理得到EG＝GF且EG⊥GF，所以EF与AB所成的角即为∠EFG，进而求解； （2）根据题意可得∠EGF＝60°或120°，然后分情况讨论即可求解. 【详解】（1）取BD的中点G，连接EG、FG；    因为E、F分别为BC、AD的中点，所以EG∥CD，GF∥AB， 且EG＝CD，GF＝AB；又AB＝CD，所以EG＝GF； 因为AB⊥CD，所以EG⊥GF； 在△EGF中，EG＝GF，EG⊥GF，所以△EGF为等腰直角三角形，得∠EFG＝45°； 因为GF∥AB，所以EF与AB所成的角即为∠EFG， 即EF与AB所成的角的大小为45°； （2）因为AB＝CD＝2，所以EG＝GF＝1； 因为AB与CD所成角的大小为60°，所以∠EGF＝60°或120°； 在△EGF中，当∠EGF＝60°时，此三角形为等边三角形，故EF＝1； 在△EGF中，当∠EGF＝120°时，由余弦定理得，EF2＝EG2＋GF2－2EG·GF·cos120°＝3，故EF＝， 综上，或 20．（2026高三·全国·专题练习）已知的二面角的两个面内分别有一点，这两点到棱的距离分别为，求的公垂线的位置. 【答案】答案见解析 【分析】将异面直线通过平移其中一条，由余弦定理求得各线段长度后，再利用垂足公式法即可求得的公垂线的位置. 【详解】如图所示： 由题设知，，作，令，且， 由余弦定理可得，所以； 又， 所以； 设和的公垂线为，则， ∵，故将七等分， 取离开点的第二个等分点即为点. 因此， ∴，∵， 故将七等分， 取离开点的第二个等分点即为点， 则即为公垂线. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13.5 空间两条直线的位置关系重难点题型专训 （1个知识点+7大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 异面直线的概念及辨析 题型二 异面直线的判定 题型三 求异面直线的距离 题型四 异面直线所成的角的概念及辨析 题型五 证明异面直线垂直 题型六 求异面直线所成的角 题型七 由异面直线所成的角求其他量 拓展训练一 异面直线的相关求解 拓展训练二 异面直线所成的角相关问题 知识点一： 直线与直线的位置关系 1．直线与直线的位置关系 （1）共面与异面直线 定义：不同在任何一个平面内的两条直线． 异面直线的画法： ① ② （2）空间两条直线的位置关系 位置关系 特点 相交 同一平面内，有且只有一个公共点 平行 同一平面内，没有公共点 异面直线 不同在任何一个平面内，没有公共点 【即时训练】 1．（24-25高一下·全国·课后作业）若直线，，满足，，异面，则与（    ） A．一定是异面直线 B．一定是相交直线 C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线 2．（2025高三下·全国·专题练习）如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱中，，若点P在平面内且不在对角线上，过点P在平面内作一直线m，使与直线的夹角为，且.这样的直线可作_________条. 【经典例题一 异面直线的概念及辨析】 【例1】（25-26高一下·江苏扬州·期中）如果直线分别是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线，那么与的位置关系是（   ） A．相交 B．异面 C．平行 D．相交或异面 【例2】（24-25高一下·山西朔州·期中）图，在棱长为1的正方体中，红、黑两只蚂蚁从点A出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”，红蚂蚁的爬行路线是，黑蚂蚁的爬行路线是，它们都依照如下规则：所爬行的第段与第n段所在直线必须是异面直线．设红、黑两只蚂蚁都走完2023段后各停止在正方体的某个顶点处，这时红、黑两只蚂蚁的直线距离是多少？ 1．（24-25高二上·上海徐汇·阶段检测）已知a，b是异面直线，若直线m上任意一点到a，b的距离都相等，则这样的直线m（    ） A．存在且只有一条 B．存在且只有两条 C．存在无数条 D．不存在 2．（24-25高一下·贵州毕节·月考）（多选）如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法正确的是（    ）    A．AB与CD是异面直线 B．GH与CD相交 C． D．EF与AB异面 3．（25-26高二上·上海长宁·期末）如图是一个正方体的平面展开图，在该正方体中，线段、所在的直线中，与直线异面的是______． 4．（2025高三·全国·专题练习）已知直线为异面直线，且与不相交，求证：为异面直线． 【经典例题二 异面直线的判定】 【例1】（24-25高一下·福建泉州·期中）在正四棱台的12条棱所在的直线及直线BD，，中，与直线AC是异面直线的直线共有（    ） A．6条 B．7条 C．8条 D．9条 【例2】（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在正方体中，M，分别是棱AD和的中点．求证：四边形为平行四边形． 1．（24-25高一下·湖南·期中）如图，点为正方形的中心，点在平面外，是线段的中点，则下列各选项中两条直线不是异面直线的为（    ）    A．与 B．与 C．与 D．与 2．（25-26高一下·江苏无锡·期中）（多选）如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体．那么在这四条线段中，线段所在直线是异面直线的是（    ） A．直线和直线 B．直线和直线 C．直线和直线 D．直线和直线 3．（24-25高二上·上海浦东新·月考）如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有 _____对． 4．（2025高一·全国·专题练习）如图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对？分别是哪几对？ 【经典例题三 求异面直线的距离】 【例1】（24-25高二·上海·课堂例题）两条异面直线之间的距离是（    ） A．和两条异面直线都垂直相交的直线； B．和两条异面直线都垂直的直线； C．它们的公垂线的两个垂足之间的线段长； D．两条直线上任意两点间的距离． 【例2】（2025高三·全国·专题练习）已知长方体底面边长分别为2，1，正四面体的四个顶点分别在长方体的顶点及长度为1的棱所在的直线上，求长方体的高． 1．（24-25高二上·福建泉州·期中）三棱锥中，，，，，分别是两条相对棱上的动点，则最小距离为（   ） A．1 B．2 C． D．3 2．（24-25高一上·浙江·期末）在正四棱锥中，面于，，底面的边长为，点分别在线段上移动，则两点的最短的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·广东汕头·期中）在四面体ABCD中，，，，M，N分别为棱AB，CD所在直线的点，则线段长度的最小值为______． 4．（2025高三·全国·专题练习）单位正方体中，分别是它们所在棱的中点，求与间的距离． 【经典例题四 异面直线所成的角的概念及辨析】 【例1】（24-25高一下·江苏南京·期末）异面直线所成的角为，过空间一点P作直线l，使l与所成的角均为，这样的直线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】（2025高三·全国·专题练习）已知异面直线所成的角为为空间一定点，求经过点且与所成的角都是的直线的条数． 1．（24-25高二上·上海·期中）在正方体中，表面的对角线与成角的有（    ）条 A． B． C． D． 2．（24-25高一下·山西朔州·期末）设、、是直线，则（    ） A．若，，则 B．若与所成的角等于与所成的角，则 C．若，，则 D．若，则与、与所成的角相等 3．（2025·河南·模拟预测）在正方体中，写出一条过正方体两个顶点且与直线所成角为的异面直线：______. 4．（2025高三·全国·专题练习）证明正三棱柱中，若时，则与就不可能垂直． 【经典例题五 证明异面直线垂直】 【例1】（2025高一下·全国·专题练习）直三棱柱中，，在三棱柱所有的棱中，与AC垂直且异面的有（　　） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【例2】（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，正方体，求证：． 1．（24-25高二上·浙江·期中）如图1，在菱形中，，是其对角线，是上一点，且，将沿直线翻折，形成四棱锥（如图2），则在翻折过程中，下列结论中正确的是（    ）    A．存在某个位置使得 B．存在某个位置使得 C．存在某个位置使得 D．存在某个位置使得 2．（24-25高一下·江苏南京·期末）（多选）平面，直线m和n，从下面的条件中可以推出的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·全国·课后作业）已知垂直于所在的平面，，则点到的距离为________． 4．（24-25高一下·全国·课后作业）在直三棱柱中，，求证：． 【经典例题六 求异面直线所成的角】 【例1】（25-26高二上·河北石家庄·月考）如图所示，已知在长方体中，，则和BG所成角的大小是（ ） A． B． C． D． 【例2】（2025高一·全国·专题练习）如图，是正所在平面外的一点，分别是和的中点，，且，求异面直线与所成角的余弦值．    1．（25-26高一下·浙江·期中）在正方体中，异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·河南周口·月考）（多选）如图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列四个命题： ①；②与成角；③与成异面直线且夹角为.    其中正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．①②③ 3．（25-26高二上·浙江杭州·期中）如图，在圆锥中，是底面圆O的直径，D，E分别为，的中点，，，则直线与直线所成角的大小为______． 4．（2025高三·全国·专题练习）在正方体中，分别为，的中点，求异面直线和所成角的余弦值． 【经典例题七 由异面直线所成的角求其他量】 【例1】（24-25高二·上海·暑假作业）如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为，则MN＝（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例2】（25-26高二·上海·课堂例题）如图，在四面体中，，，、分别为、中点，并且异面直线与所成的角为．求的长． 1．（24-25高二上·安徽·阶段检测）已知两条异面直线a，b所成角为，若过空间内一定点的直线l和a，b所成角均为，则这样的直线l有（    ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 2．（24-25高二上·山东德州·月考）（多选）已知，分别是三棱锥的棱，的中点，且，.若异面直线与所成角的大小为，则线段EF的长可能为（    ） A． B． C．5 D． 3．（24-25高二上·四川成都·期中）两条异面直线a，b所成的角为，在直线上取点A，E，在直线上取点B，F，使，且.已知，则线段AB的长为____________. 4．（25-26高二·全国·课后作业）设两条电线所在的直线是异面直线，它们的距离是2 m，所成的角是60°．已知这两条电线上各有一点，距离公垂线的垂足都是8 m．求这两点之间的距离． 【拓展训练一 异面直线的相关求解】 【例1】（25-26高二·全国·单元测试）是棱长为1的正方体，一个质点从A出发沿正方体的面对角线运动，每走完一条面对角线称“走完一段”，质点的运动规则如下：运动第i段与第所在直线必须是异面直线（其中i是正整数）．问质点走完的第2021段与第1段所在的直线所成的角是（    ） A．0° B．30° C．60° D．90° 【例2】（24-25高二·上海·课堂例题）已知平面，直线，若，，，，．求证：是异面直线． 1．（24-25高二上·上海·期中）在正方体的12条棱、12条面对角线中，总共可以组成（   ）对异面直线． A．72 B．96 C．102 D．126 2．（25-26高一下·广东广州·期中）（多选）如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么以下说法正确的是（    ） A．直线和直线是异面直线 B．直线和直线是异面直线 C．直线和直线是异面直线 D．直线和直线是异面直线 3．（2026高三·全国·专题练习）已知直线，若，则与的位置关系为___________. 4．（2025高三·全国·专题练习）单位正方体中，求与间的距离． 【拓展训练二 异面直线所成的角相关问题】 【例1】（24-25高二上·上海·月考）为异面直线，且所成角为，过空间一点作直线，直线与均异面，且所成角均为，若这样的共有四条，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2024高二上·全国·专题练习）正四面体中，E、F分别是的中点，求异面直线与所成的角. 1．（24-25高二上·上海奉贤·期中）若两异面直线所成的角为，过空间内一点作与直线所成角均为的直线，则所作直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高一下·吉林白城·期末）（多选）已知是正方体，则下列结论正确的是（    ） A．直线与是异面直线 B．与所成的角为60° C． D．直线与所成的角为60° 3．（25-26高一下·河北衡水·期中）如图，在圆柱中，轴截面是正方形，C在圆O的圆周上，，则异面直线与所成角的余弦值为__________. 4．（2025高一下·全国·专题练习）P是平面ABC外一点，，D，E分别为PC，AB的中点，且.求异面直线PA与BC所成的角的大小. 1．（25-26高二下·上海松江·期中）在正方体中，与直线异面的直线可以是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 2．（2025·上海·高考真题）如图，正方体中，P、Q、R、S分别为棱AB、BC、、CD的中点，连接、，空间任意两点M、N，若线段MN上不存在点在线段、上，则称M、N两点可视，下列选项中与点可视的为（   ）．    A．点Q B．点P C．点B D．点R 3．（25-26高二上·云南昆明·期末）如图，正三棱柱的所有棱长都相等，则和平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·北京·期中）如图，在正方体中，E为棱AB的中点，F为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·宁夏固原·期末）在三棱锥中，，且直线与所成的角为，分别为棱的中点，则直线与所成角的大小为（    ） A． B． C．或 D．或 6．（24-25高一下·浙江宁波·期中）（多选）如图，在正方体中，E、F、G、H、M、N分别是棱AB、BC、、、、的中点，则下列结论正确的是（   ）    A．直线GH和MN平行，GH和EF异面 B．直线GH和MN平行，MN和EF相交 C．直线GH和MN相交，MN和EF异面 D．直线GH和EF异面，MN和EF异面 7．（24-25高一下·广东肇庆·月考）（多选）如图，在正四棱柱，E，F分别是AB1，BC1的中点，则下面结论一定成立的是（    ） A．EF与A1C1平行 B．BC1与AB1 所成角大小为 C．EF与BB1垂直 D．EF与BD垂直 8．（24-25高一下·福建漳州·期末）（多选）正方体中，为底面的中心，则（    ） A．直线与所成的角等于 B．直线与所成的角等于 C．直线与是异面直线 D．直线与所成的角等于 9．（24-25高三上·河北秦皇岛·开学考试）（多选）如图为一正方体的展开图、则在原正方体中（    ）    A． B． C．直线与所成的角为 D．直线与所成的角为 10．（2025高一下·全国·专题练习）（多选）在空间四边形中，，且与所成的角为，分别为，的中点，则与所成的角的大小可能为（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高一下·北京顺义·期中）从正方体的12条面对角线中选出k条，使得这k条面对角线所在直线两两异面，则k的最大值为______． 12．（24-25高二上·北京海淀·月考）如图所示，在正方体中，点为边上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是______. ①②③④ 13．（24-25高二上·四川成都·期中）已知正四棱锥的所有棱长均为为的中点，则线段上的动点到直线的距离的最小值为______． 14．（24-25高二上·上海长宁·期末）如图是一个边长为2的正方体的平面展开图，在这个正方体中，则下列说法中正确的序号是___________. ①直线与直线垂直； ②直线与直线相交； ③直线与直线平行； ④直线与直线异面； 15．（25-26高一下·贵州毕节·期中）如图，圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，点是底面弧的两个三等分点，则异面直线与所成角的正切值为__________． 16．（25-26高一·全国·课堂例题）已知是棱长为a的正方体（如图）．    (1)正方体的哪些棱所在的直线与直线是异面直线？ (2)求证直线与BC垂直． (3)求直线与AC的夹角． 17．（24-25高二上·上海·随堂练习）已知四面体的所有棱长均为a，E、F分别是的中点．求： (1)异面直线的公垂线段及公垂线段的长； (2)异面直线和所成的角． 18．（24-25高二上·上海·期中）《九章算术》是中国古代数学专著，书中记载了一种名为“刍甍（méng）”的五面体（如图），其中四边形为矩形，.若，和都是正三角形，且，求异面直线与所成角的大小.    19．（24-25高一下·江苏·期中）如图所示，在三棱锥A-BCD中，AB＝CD，E、F分别为BC、AD的中点．    (1)若AB⊥CD，求EF与AB所成的角的大小； (2)若AB＝CD＝2，且异面直线AB与CD所成角的大小为60°，求线段EF的长． 20．（2026高三·全国·专题练习）已知的二面角的两个面内分别有一点，这两点到棱的距离分别为，求的公垂线的位置. 学科网（北京）股份有限公司 $