专题13.4 平面的基本性质重难点题型讲义（2个知识点+7大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高一下学期数学重难点专题提升精讲精练（苏教版必修第二册）

专题13.4 平面的基本性质重难点题型专训 （2个知识点+7大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 平面分空间的区域数量 题型二 平面的基本性质及辨析 题型三 空间中的点(线)共面问题 题型四 空间中的点共线问题 题型五 空间中的线共点问题 题型六 由平面的基本性质作截面图形 题型七 平面的基本性质的有关计算 拓展训练一 空间中点、线相关问题 拓展训练二 平面的基本性质相关求解 知识点一： 平面的概念及表示方法 1、平面的概念：几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体中抽象出来的，是无限延展的 2、平面的特点：（1）平面是平的；（2）平面是没有厚度的；（3）平面是无限延展而没有边界的；（4）平面是由空间点、线组成的无限集合；（5）平面图形是空间图形的重要组成部分。 3、平面的画法： （1）当平面水平放置时，平行四边形的锐角一般画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍； （2）当平面竖直放置时，平行四边形的一组对边通常画成铅垂线。 4、平面的表示方法： （1）一个希腊字母：如，，等； （2）两个大写英文字母：表示平面的平行四边形的相对的两个顶点； （3）四个大写英文字母：表示平面的平行四边形的四个顶点。 5、点与直线（平面）、直线与平面的位置关系 （1）点与直线（平面）的位置关系只能用“∈”或“∉”， （2）直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”． 【即时训练】 1．（24-25高一下·河北石家庄·期中）有下列四个判断：①两条相交直线确定一个平面；②两条平行直线确定一个平面；③三个点确定一个平面；④一条直线和一点确定一个平面.正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2026高三·上海·专题练习）空间有四个点，若将此四点两两相连，再以所得线段中点为顶点构成一个几何体，则这个几何体最多可有________个面． 知识点二： 平面的基本事实 1、基本事实1 （1）内容：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 （2）图形： （3）符号表示：A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α （4）作用：确定一个平面或判断“直线共面”的方法 2、基本事实： （1）内容：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 （2）图形： （3）符号表示：A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α （4）作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内 3、基本事实： （1）内容：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 （2）图形： （3）符号表示：P∈α，P∈β⇒α∩β＝l且P∈l （4）作用：①判定两平面相交；②作两平面相交的交线；③证明点共线或线共点 4、三个推论： 推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 【即时训练】 1．（2025高一下·全国·专题练习）下列命题是真命题的是（    ） A．空间任意三个点确定一个平面 B．一个点和一条直线确定一个平面 C．两两相交的三条直线确定一个平面 D．两两平行的三条直线确定一个或三个平面 2．（24-25高二·上海·课堂例题）从同一点出发的四条射线能确定个平面，则所有可能的取值是________． 【经典例题一 平面分空间的区域数量】 【例1】（24-25高一下·广东广州·期末）空间的1个，2个，3个，4个平面最多可将空间分别分成2个，4个，8个，15个区域，则空间的5个平面最多可将空间分成的区域个数是（    ）． A．25 B．26 C．28 D．30 【例2】（25-26高一下·全国·课后作业）（1）将一个三棱柱的各面延展成平面后，这些平面可将空间分成几部分？ （2）将一个三棱锥的各面延展成平面后，这些平面可将空间分成几部分？ 1．（25-26高三下·江西·月考）直三棱柱的三个侧面与一个底面所在的四个平面将空间分成（   ） A．7个部分 B．14个部分 C．6个部分 D．12个部分 2．（24-25高一下·浙江·期末）（多选）三个平面可以把空间分成n个部分，在下列选项中，n的值正确的有（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 3．（24-25高二·上海·课堂例题）三个平面把空间分成7部分时，它们的交线有________条． 4．（25-26高一·全国·课后作业）正方体各面所在平面将空间分成几部分？ 【经典例题二 平面的基本性质及辨析】 【例1】（25-26高一下·广东湛江·期中）给出下面四个命题，其中错误的命题个数是（    ） ①三个不同的点确定一个平面；       ②一条直线和一个点确定一个平面； ③两条相交直线确定一个平面；              ④两条平行直线确定一个平面. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】（25-26高一·全国·课后作业）如图，在长方体中，P为棱的中点． (1)画出平面PAC与平面ABCD的交线； (2)画出平面与平面ABCD的交线． 1．（25-26高一下·全国·课后作业）在空间中，下列说法正确的是（    ） A．一个点运动一定形成直线 B．直线平行移动形成平面或曲面 C．直线绕定点运动形成锥面 D．矩形上各点沿同一方向移动形成长方体 2．（25-26高一·全国·课后作业）（多选）下列图形中一定是平面图形的有（    ） A．三角形 B．平行四边形 C．梯形 D．四条边相等的四边形 3．（25-26高二上·上海松江·月考）如图，在正方体中，平面平面______．    4．（25-26高一·全国·课后作业）如图，梯形中，，，是直角梯形所在平面外一点，画出平面和平面的交线. 【经典例题三 空间中的点(线)共面问题】 【例1】（25-26高二下·辽宁沈阳·开学考试）在空间直角坐标系中，已知点，，．以下四个点中，与点，，共面的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高三·全国·二轮复习）如图所示，在平行六面体中，底面是边长为3的菱形，分别在线段和上，且，. 证明：四点共面. 1．（24-25高二下·上海普陀·月考）下列图形中，一定可以确定一个平面的是（    ） A．四边形 B．空间三点 C．两两相交且交点均不相同的四条直线 D．交于同一点的三条直线 2．（24-25高一下·安徽·期中）（多选）在三棱锥中，分别是的重心.则下列命题中正确的有（    ） A．直线共面 B．直线相交 C． D． 3．（24-25高二上·上海·课后作业）已知空间A、B、C、D四点共面，且其中任意三点均不共线，设P为空间中任意一点，若，则______． 4．（2025高三·全国·专题练习）如图，在正三棱柱中，侧棱与底面边长均为2，点分别为的中点，点满足．求证：四点共面. 【经典例题四 空间中的点共线问题】 【例1】（2025·宁夏固原·一模）在正方体中，是的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（    ） ①､､三点共线； ②､､､四点共面； ③､､､四点共面； ④､､､四点共面. A．①② B．①②③④ C．①②③ D．①③④ 【例2】（25-26高三·上海·一轮复习）如图，在正方体中，对角线与平面交于点O，AC与BD交于点M，E为AB的中点，F为的中点，求证：，O，M三点共线． 1．（24-25高二上·四川成都·开学考试）已知正方体的边长为2，点，分别是为棱，的中点，点为四边形内（包括边界）的一动点，且满足平面，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 2．（25-26高一·江苏·课后作业）（多选）如图所示，在正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（    ） A．，，三点共线 B．，，，四点共面 C．，，，四点共面 D．，，，四点共面 3．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，在正方体中，设线段与平面交于点，则三点的位置关系是_____________． 4．（24-25高一·全国·课后作业）如图，在四面体中作截面，若与的延长线交于点，与的延长线交于点，与的延长线交于点. （1）求证:直线平面； （2）求证:点在直线上. 【经典例题五 空间中的线共点问题】 【例1】（24-25高一下·山东威海·期末）在空间四边形中，若，分别为，的中点，，，且，，则（    ） A．直线与平行 B．直线，，相交于一点 C．直线与异面 D．直线，，相交于一点 【例2】（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，已知分别是正方体的棱的中点，.证明：直线交于同一点； 1．（24-25高二上·广西桂林·开学考试）平面内条直线没有四条直线共点，最多三条直线平行，至少有几个交点（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（24-25高一下·四川广安·期中）（多选）如图所示，在空间四边形中，点分别是边的中点，点分别是边上的三等分点，且，则下列说法正确的是（    ） A．四点共面 B．与异面 C．与的交点可能在直线上，也可能不在直线上 D．与的交点一定在直线上 3．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，正方体中，对角线与过、D、的平面交于点，则_________．    4．（24-25高一下·陕西西安·期中）（1）已知直线，直线与，都相交，求证：过，，有且只有一个平面； （2）如图，在空间四边形中，，分别是，的中点，，分别是边，上的点，且.求证：直线，，相交于一点.    【经典例题六 由平面的基本性质作截面图形】 【例1】（24-25高一下·海南·月考）在正四棱柱中，，分别是的中点，则平面截该四棱柱所得截面的周长为（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025高三·全国·专题练习）如图，已知在正三棱柱中，，且点分别为棱的中点. 过点作三棱柱截面交于点，求线段长度； 1．（2025·河南周口·模拟预测）在棱长为的正方体中，点分别为线段的中点，点在线段上，且，则过三点的平面截正方体得到的截面多边形的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·贵州黔东南·月考）（多选）如图，正方体棱上一动点F，点E为棱BC的中点，则平面AEF截得正方体的几何图形可以是（    ）    A．等腰梯形 B．矩形 C．菱形 D．六边形 3．（2025·山东济南·三模）在正四棱柱中，，，M，N分别是，的中点，则平面截该四棱柱所得截面的周长为______． 4．（24-25高二下·上海黄浦·月考）画出过三点的截面与多面体在各个平面上的交线,其中与所在平面的边不平行，要求保留作图痕迹. 【经典例题七 平面的基本性质的有关计算】 【例1】（2025·江西·一模）如图，正方体的棱长为1，，分别为，的中点，在上，且，平面与棱所在直线交于点，则（   ）    A． B． C． D． 【例2】（25-26高一下·全国·课后作业）在长方体中，底面是边长为的正方形，高为，分别是边与的中点. （1）求证：四边形是等腰梯形； （2）求梯形的面积. 1．（2025·内蒙古乌兰察布·一模）四棱锥P﹣ABCD中，AB=CD，，M为PC中点，平面ADM交PB于Q，则=（    ） A．1 B． C．2 D． 2．（24-25高一下·福建·期末）如图，在棱长为4的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，设直线与平面交于点，则（  ） A．2 B． C．1 D． 3．（24-25高一下·湖北·月考）如图，在直三棱柱ABC-中，E，F分别是，的中点，平面AEF与线段交于点G，则=_____________. 4．（24-25高一下·河南洛阳·月考）如下图，在正方体中，棱长为分别是的中点． (1)画出过三点的平面与平面、平面的交线； (2)设过三点的平面与交于点，求的长． 【拓展训练一 空间中点、线相关问题】 【例1】（24-25高二上·山东东营·开学考试）不共面的四点最多可确定（    ）个平面 A．3 B．4 C．5 D．6 【例2】（25-26高三·全国·一轮复习）已知一条直线与两条平行直线都相交，证明这三条直线共面． 1．（2025·湖南·二模）如图，在三棱柱中，分别为的中点，则下列说法错误的是（    ） A．四点共面 B． C．三线共点 D． 2．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）以下四个命题中，不正确的命题是（    ） A．不共面的四点中，其中任意三点不共线 B．若点共面，点共面，则共面 C．若直线共面，直线共面，则直线共面 D．依次首尾相接的四条线段必共面 3．（24-25高二·上海·课堂例题）已知平面α与平面β相交于直线l，若，，则M与a的位置关系是________． 4．（24-25高一下·安徽·月考）空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别在AB，BC，CD，AD上，且满足，. (1)求证：E，F，G，H四点共面； (2)求证：EH，FG，BD三线共点. 【拓展训练二 平面的基本性质相关求解】 【例1】（24-25高二上·上海·期中）如图，在三棱锥中，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，经过、、的截面一定是（   ） A．三角形 B．矩形 C．梯形 D．平行四边形 【例2】（25-26高一下·全国·课后作业）四边形中，，沿折叠成为四面体时，的取值范围是多少？ 1．（2025·陕西铜川·三模）在正方体中，分别为的中点，若，则平面截正方体所得截面的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二·全国·课后作业）（多选）（多选）已知正方体，若平面，则关于平面截此正方体所得截面的判断正确的是（    ） A．截面形状可能为正三角形 B．截面形状可能为正方形 C．截面形状可能为正六边形 D．截面形状可能为五边形 3．（2025·陕西西安·模拟预测）在直四棱柱中，，，M，N在棱，上，且，，过的平面交于G，则截面的面积为______． 4．（24-25高二上·上海·月考）（1）用符号语言表示下列语句，并画出图形：直线AB，AC分别在平面α，β内，且点A在平面α与平面β的交线l上． （2）在正方体中，M，N，P分别是A1B1，AD，BB1的中点，平面α过M，N，P三点，则平面α截此正方体的截面为一个多边形， （ⅰ）仅用铅笔和无刻度直尺，在正方体中画出此截面多边形（保留作图痕迹，不需要写作图步骤）； （ⅱ）若正方体的棱长为6，直接写出此截面多边形的周长． 1．（25-26高二上·四川内江·月考）三个平面把空间分成m部分，m的所有可能取值组成集合Q，则Q中所有元素之和为（   ） A．18 B．19 C．25 D．30 2．（24-25高三上·河北唐山·期中）如图所示，是长方体，是的中点，直线交平面于点，给出下列结论： ①，，三点共线； ②，，，不共面； ③，，，共面； ④，，，共面.其中正确结论的序号为（    ） A．①④ B．③④ C．①③ D．②④ 3．（25-26高一下·福建莆田·期中）如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且，则（   ） A．EF与GH平行 B．EF与GH异面 C．EF与GH的交点一定在直线AC上 D．EF与GH的交点可能在直线AC上，也可能不在直线AC上 4．（2025·浙江·模拟预测）如图，在正四面体（所有棱长均相等）中，平面分别交于点，其中分别为棱的中点，不是棱的中点，则 A． B． C． D．以上都有可能 5．（2025高三·全国·专题练习）如图，已知四面体为正四面体，分别是中点，若用一个与直线垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．（2025高一下·全国·专题练习）（多选）下列说法不正确的是（    ） A．三点可以确定一个平面 B．空间中两条直线能确定一个平面 C．共点的三条直线确定一个平面 D．三角形和梯形都可以表示一个平面 7．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）下列命题正确的是（    ） A．三点确定一个平面 B．一条直线和直线外一点确定一个平面 C．圆心和圆上两点可确定一个平面 D．梯形可确定一个平面 8．（24-25高一下·陕西咸阳·月考）（多选）下列说法，不正确的有（    ） A．如果一条直线与另两条直线都相交，那么这三条直线必共面 B．如果三条直线两两都相交，那么它们能确定一个平面 C．如果三条直线相互平行，那么这三条直线在同一个平面上 D．如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线确定一个平面 9．（25-26高一·全国·课后作业）（多选）如图，在正方体中，P，Q分别是棱的中点，平面平面，则下列结论中不正确的有（    ） A．l过点 B．l不一定过点 C．的延长线与的延长线的交点不在l上 D．的延长线与的延长线的交点在l上 10．（2025·福建莆田·二模）（多选）已知正四面体的棱长为，S是及其内部的点构成的集合．若，集合，则T表示的区域可以是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高二上·上海宝山·期中）有下列四个说法： ①不在同一直线上的三点确定一个平面； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③三条直线两两相交则确定一个平面； ④两个相交平面把空间分成四个区域． 其中错误说法的序号是_____． 12．（25-26高二上·上海·月考）空间中有4个不同的平面两两相交，则它们交线的条数最多是______条. 13．（24-25高二上·上海浦东新·月考）在空间中，三条直线最多可确定________个平面. 14．（25-26高二上·上海·月考）如图，已知空间四边形ABCD，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且，．则直线FH与EG的交点一定在直线________上（注：不能填“FH”“EG”）    15．（25-26高二上·全国·期中）E、F分别为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1、C1D1的中点，则过A、E、F三点的截面的图形是______________.    16．（25-26高一下·全国·课后作业）在正方体中，E，F分别为，的中点，，，如图． (1)求证：D，B，E，F四点共面； (2)作出直线与平面的交点R的位置． 17．（24-25高二上·上海虹口·月考）如图，在长方体中，、分别是和的中点． (1)证明：、、、四点共面； (2)对角线与平面交于点，交于点，求证：点共线； (3)证明：、、三线共点． 18．（24-25高三·全国·一轮复习）如图所示，在正方体中，E，F分别是的中点． (1)求证：三线交于点P； (2)在（1）的结论中，G是上一点，若FG交平面ABCD于点H，求证：P，E，H三点共线． 19．（25-26高一·全国·课后作业）在正方体中，点P，Q，R分别在棱，，上． （1）画出直线CP与平面的交点． （2）画出经过C，Q，R三点的截面． 20．（25-26高一下·河南许昌·期中）如图1，在正方体中，，E，F，G，H分别是棱，，的中点，且与相交于点Q． (1)求证：直线为平面与平面的交线； (2)在图2中作出过，三点的截面，并求出该截面的周长和面积．（写出作图过程并保留作图痕迹） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13.4 平面的基本性质重难点题型专训 （2个知识点+7大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 平面分空间的区域数量 题型二 平面的基本性质及辨析 题型三 空间中的点(线)共面问题 题型四 空间中的点共线问题 题型五 空间中的线共点问题 题型六 由平面的基本性质作截面图形 题型七 平面的基本性质的有关计算 拓展训练一 空间中点、线相关问题 拓展训练二 平面的基本性质相关求解 知识点一： 平面的概念及表示方法 1、平面的概念：几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体中抽象出来的，是无限延展的 2、平面的特点：（1）平面是平的；（2）平面是没有厚度的；（3）平面是无限延展而没有边界的；（4）平面是由空间点、线组成的无限集合；（5）平面图形是空间图形的重要组成部分。 3、平面的画法： （1）当平面水平放置时，平行四边形的锐角一般画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍； （2）当平面竖直放置时，平行四边形的一组对边通常画成铅垂线。 4、平面的表示方法： （1）一个希腊字母：如，，等； （2）两个大写英文字母：表示平面的平行四边形的相对的两个顶点； （3）四个大写英文字母：表示平面的平行四边形的四个顶点。 5、点与直线（平面）、直线与平面的位置关系 （1）点与直线（平面）的位置关系只能用“∈”或“∉”， （2）直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”． 【即时训练】 1．（24-25高一下·河北石家庄·期中）有下列四个判断：①两条相交直线确定一个平面；②两条平行直线确定一个平面；③三个点确定一个平面；④一条直线和一点确定一个平面.正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据平面的有关概念进行分析，从而确定正确答案. 【详解】两条相交直线确定一个平面，两条平行直线确定一个平面，①②正确. 在同一直线上的三个点不能确定一个平面，③错误. 直线和直线上一点不能确定一个平面，④错误. 所以正确的个数为个. 故选：B 2．（2026高三·上海·专题练习）空间有四个点，若将此四点两两相连，再以所得线段中点为顶点构成一个几何体，则这个几何体最多可有________个面． 【答案】8 【分析】首先根据题意得到：当四点有三个点共面时，此时几何体面最多，再画出图形即可得到答案. 【详解】当四点有三个点共面时，此时几何体面最多，如图所示： 三点共面，分别为的中点. 此时有平面，平面，平面，平面， 平面，平面，平面，平面，共个平面. 故答案为： 知识点二： 平面的基本事实 1、基本事实1 （1）内容：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 （2）图形： （3）符号表示：A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α （4）作用：确定一个平面或判断“直线共面”的方法 2、基本事实： （1）内容：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 （2）图形： （3）符号表示：A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α （4）作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内 3、基本事实： （1）内容：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 （2）图形： （3）符号表示：P∈α，P∈β⇒α∩β＝l且P∈l （4）作用：①判定两平面相交；②作两平面相交的交线；③证明点共线或线共点 4、三个推论： 推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 【即时训练】 1．（2025高一下·全国·专题练习）下列命题是真命题的是（    ） A．空间任意三个点确定一个平面 B．一个点和一条直线确定一个平面 C．两两相交的三条直线确定一个平面 D．两两平行的三条直线确定一个或三个平面 【答案】D 【分析】根据题意，结合确定平面的依据，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，当三个点共线时，可作无数个平面，所以A是假命题； 对于B中，如果这个点在这条直线上，这时有无数个平面， 如果这个点不在这条直线上，由推论1知，有且只有一个平面，所以B是假命题． 对于C中，当三条直线可能交于同一点，可能确定三个平面；当三条直线有三个不同的交点，可以确定一个平面，所以C是假命题； 对于D中，两两平行的三条直线，根据推理（3）可以确定一个或三个平面，所以D正确； 故选：D. 2．（24-25高二·上海·课堂例题）从同一点出发的四条射线能确定个平面，则所有可能的取值是________． 【答案】1，3，4，6 【分析】按共点的4条射线共面情况，分类讨论即可得解. 【详解】4条射线在空间的位置关系有：任何3条都不共面，仅有3条共面，有2条射线反向共线，4条共面，共三种情况， 当4条射线中任何3条都不共面时，如四棱锥的四条侧棱，可以确定6个平面； 当4条射线中仅只3条共面时，可以确定4个平面； 当4条射线中有2条射线反向共线时，可以确定3个平面； 当4条射线共面时，可以确定1个平面， 所以所有可能的取值是1，3，4，6. 故答案为：1，3，4，6 【经典例题一 平面分空间的区域数量】 【例1】（24-25高一下·广东广州·期末）空间的1个，2个，3个，4个平面最多可将空间分别分成2个，4个，8个，15个区域，则空间的5个平面最多可将空间分成的区域个数是（    ）． A．25 B．26 C．28 D．30 【答案】B 【分析】利用特殊到特殊，通过简单情况的理解，逐步到复杂情况的分析，即可得解. 【详解】      先研究直线分一个平面： 1条直线分一个平面为2部分，2条直线分一个平面为4部分， 3条直线分一个平面为7部分，这个， 4条直线分一个平面为11部分，这个， 5条直线分一个平面为16部分，这个， 由于空间的1个，2个，3个平面最多可将空间分别分成2个，4个，8个区域， 当第4平面与前面3个平面最多有3条交线，这3条交线把第4个平面分成7个区域， 所以4个平面最多可将空间分成个区域， 当第5平面与前面4个平面最多有4条交线，这4条交线把第5个平面分成11个区域， 所以5个平面最多可将空间分成个区域， 故选：B 【例2】（25-26高一下·全国·课后作业）（1）将一个三棱柱的各面延展成平面后，这些平面可将空间分成几部分？ （2）将一个三棱锥的各面延展成平面后，这些平面可将空间分成几部分？ 【答案】（1）21；（2）15 【解析】（1）三棱柱三个侧面两两相交的三条交线平行，把平面延展可以看出结论． （2）三棱锥的三个侧棱交于同一点，这就是三个平面两两相交有三条交线，且三条直线交于同一点的情形． 【详解】解：（1）如图，将三棱柱的三个侧面延展成平面后，可将空间分成7部分，然后将三棱柱的两底面延展成平面，那么这两个底面将这7部分分为上、中、下三层，故共分成部分.    （2）如图，将三棱锥的各面延展成平面后，三棱锥的内部是一个空间； 将平面，平面，平面延展后，在平面的下方会分割出一个空间，也说是平面对应一个空间，同理，平面，平面，平面也各对应一个空间，这样的空间共有4个； 将上述三个平面延展后，在顶点A的上方，也分割出一个空间，也就是顶点A对应一个空间，同理，顶点也各对应一个空间，这样的空间共有4个； 将三棱锥的各面延展后，棱对应几何体外部的一个空间，同理，其余的5条棱也各对应一个空间，这样的空间共有6个. 因此三棱锥的各面延展成平面后，可将空间分成部分. 1．（25-26高三下·江西·月考）直三棱柱的三个侧面与一个底面所在的四个平面将空间分成（   ） A．7个部分 B．14个部分 C．6个部分 D．12个部分 【答案】B 【分析】首先由三角形三条边所在直线将平面所分成的部分，再想象空间的部分. 【详解】如图，将一个三角形各边延伸可将平面分为7个部分，则直三棱柱的三个侧面与一个底面所在的四个平面将空间分成个部分. 2．（24-25高一下·浙江·期末）（多选）三个平面可以把空间分成n个部分，在下列选项中，n的值正确的有（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】BCD 【分析】三个平面可以把空间分成个部分，即可选出答案. 【详解】三个平面两两平行，分成4个部分，如图1 三个平面中有2个平行，另一个与它们相交，分成6个部分，如图2 三个平面两两相交于同一直线，分成6个部分，如图3 三个平面两两相交，三条交线两两平行，这时把空间分成7个部分，如图4 三个平面两两相交，三条交线共点，这时把空间分成8个部分，如图5 故选：BCD 3．（24-25高二·上海·课堂例题）三个平面把空间分成7部分时，它们的交线有________条． 【答案】3 【分析】画出把空间分成7部分时的三个平面，可知它们的交线情况，从而解决问题． 【详解】解：根据题意，三个平面把空间分成7部分， 此时三个平面两两相交， 且有三条平行的交线． 故答案为：3． 4．（25-26高一·全国·课后作业）正方体各面所在平面将空间分成几部分？ 【答案】27个部分 【分析】根据题意画出图形即可得出答案. 【详解】   如图，图中画出了正方体最上层把空间分成9个部分， 同理中层、下层也分别把空间分成9个部分， 因此共将空间分成27个部分. 【经典例题二 平面的基本性质及辨析】 【例1】（25-26高一下·广东湛江·期中）给出下面四个命题，其中错误的命题个数是（    ） ①三个不同的点确定一个平面；       ②一条直线和一个点确定一个平面； ③两条相交直线确定一个平面；              ④两条平行直线确定一个平面. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】利用平面公理及推论即可判断. 【详解】由三个不在同一直线上的不同的点确定一个平面，故①错误； 一条直线和直线外一个点确定一个平面，故②错误； 两条相交直线确定一个平面，故③正确； 两条平行直线确定一个平面，故④正确. 【例2】（25-26高一·全国·课后作业）如图，在长方体中，P为棱的中点． (1)画出平面PAC与平面ABCD的交线； (2)画出平面与平面ABCD的交线． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）平面PAC与平面ABCD的交线为AC； （2）延长交于点E，连接CE，则CE为平面与平面ABCD的交线. 【详解】（1）平面PAC与平面ABCD的交线为AC，如图（1）. （2）延长交于点E，连接CE， 则CE为平面与平面ABCD的交线，如图（2）. 1．（25-26高一下·全国·课后作业）在空间中，下列说法正确的是（    ） A．一个点运动一定形成直线 B．直线平行移动形成平面或曲面 C．直线绕定点运动形成锥面 D．矩形上各点沿同一方向移动形成长方体 【答案】B 【分析】A选项，考虑点可以随意运动；B选项，考虑直线沿一个固定方向平移或非固定方向平移；C选项，可形成平面或锥面；D选项，考虑移动方向垂直矩形所在平面和不垂直于矩形所在平面两种情况. 【详解】A选项，点运动可形成曲线，故A错误； B选项，直线沿固定方向平移形成平面，非固定方向平移形成曲面，故B正确； C选项，直线绕定点运动形成锥面或平面，故C错误； D选项，矩形上各点沿同一方向移动，若移动方向与矩形所在平面垂直形成长方体，若移动方向不与矩形所在平面垂直形成非长方体的四棱柱，故D错误. 故选：B 2．（25-26高一·全国·课后作业）（多选）下列图形中一定是平面图形的有（    ） A．三角形 B．平行四边形 C．梯形 D．四条边相等的四边形 【答案】ABC 【分析】由平面及基本性质对选项依次判断即可. 【详解】由平面及基本性质知： 对于A，三角形的三个顶点不共线，故三角形一定是平面图形，故A正确； 对于B，平行四边形的两组对边分别平行，故平行四边形一定是平面图形，故B正确； 对于C，梯形有一组对边平行，故梯形一定是平面图形，故C正确； 对于D，四边相等的四边形可能是空间四边形，故D不正确. 故选：ABC 3．（25-26高二上·上海松江·月考）如图，在正方体中，平面平面______．    【答案】 【分析】利用平面基本事实推理即得. 【详解】因为平面，平面，所以平面平面； 同理平面，平面，所以平面平面. 所以平面平面. 故答案为： 4．（25-26高一·全国·课后作业）如图，梯形中，，，是直角梯形所在平面外一点，画出平面和平面的交线. 【答案】图象见解析 【解析】根据公理1得出平面，平面，结合公理3，即可画出平面和平面的交线. 【详解】易知，点是平面和平面的一个公共点，即点在交线上. 由于，分别延长和交于点，如图所示. 平面，平面. 同理，可证平面. ∴点在平面和平面的交线上，连接，则直线就是平面和平面的交线. 【经典例题三 空间中的点(线)共面问题】 【例1】（25-26高二下·辽宁沈阳·开学考试）在空间直角坐标系中，已知点，，．以下四个点中，与点，，共面的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 因为不成立， 所以向量不是共线向量. A：. 设， 则有，该方程组无实数解， 假设不成立，因此点不与，，共面； B：. 设， 则有，该方程组无实数解， 假设不成立，因此点不与，，共面； C：. 设， 则有，该方程组无实数解， 假设不成立，因此点不与，，共面； D：. 设， 则有， 假设成立，因此点与，，共面. 【例2】（25-26高三·全国·二轮复习）如图所示，在平行六面体中，底面是边长为3的菱形，分别在线段和上，且，. 证明：四点共面. 【答案】证明见解析 【分析】利用向量的方式，在平行六面体中，用基底的方式分解，根据长度关系，，最终证明，即可证明四点共面； 【详解】在中，， 在平行六面体中：且 又因为，，所以， 则有，即四点共面. 1．（24-25高二下·上海普陀·月考）下列图形中，一定可以确定一个平面的是（    ） A．四边形 B．空间三点 C．两两相交且交点均不相同的四条直线 D．交于同一点的三条直线 【答案】C 【分析】利用平面的基本性质，对四个选项逐一判断即可得解. 【详解】对于选项A，四边形如果是空间四边形，则不能确定一个平面，所以选项A不正确； 对于选项B，空间三点如果在一条直线上，所以不能确定一个平面，所以选项B不正确； 对于选项C，设这四条直线分别为、、、，取其中两条相交直线和，则它们可确定一个平面，取，设其与、的交点分别为A、B，则由题意知这两点不同，且，，所以有A、，从而；同理可证明，所以每两条都相交且交点各不相同的四条直线一定共面，所以选项C正确； 对于选项D，交于同一点的三条直线，例如长方体的顶点处的条棱，不能确定一个平面，所以选项D不正确. 故选：C． 2．（24-25高一下·安徽·期中）（多选）在三棱锥中，分别是的重心.则下列命题中正确的有（    ） A．直线共面 B．直线相交 C． D． 【答案】ABD 【分析】根据题意，由条件结合三角形重心的性质，对选项逐一判断即可得到结果. 【详解】 由于分别是的重心，所以分别延长交 于中点.因此正确. 因为，所以，因此. 直线相交，B正确. 因为是的重心，所以，因此，C不正确. 因为，所以.因此，D正确. 故选：ABD. 3．（24-25高二上·上海·课后作业）已知空间A、B、C、D四点共面，且其中任意三点均不共线，设P为空间中任意一点，若，则______． 【答案】 【分析】根据空间四点共面的充要条件代入即可解决． 【详解】解：， 即， 整理得， 由、、、四点共面，且其中任意三点均不共线， 可得， 解得， 故答案为：． 4．（2025高三·全国·专题练习）如图，在正三棱柱中，侧棱与底面边长均为2，点分别为的中点，点满足．求证：四点共面. 【答案】证明见解析 【分析】取中点，过作于，连接，，依次证明，，即可证明，，，四点共面，最后由即可得证； 【详解】取中点，过作于，连接，， 则，，， 所以四边形是平行四边形，， 由得，， 又，，，所以，，，四点共面， 又，所以，，，四点共面. 【经典例题四 空间中的点共线问题】 【例1】（2025·宁夏固原·一模）在正方体中，是的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（    ） ①､､三点共线； ②､､､四点共面； ③､､､四点共面； ④､､､四点共面. A．①② B．①②③④ C．①②③ D．①③④ 【答案】A 【分析】根据图示可得三点，，在平面与平面的交线上，可判断①； 根据公理可得，确定一个平面，可判断②； 根据异面直线的判定定理可得与为异面直线，故､､､四点不共面，可判断③； 根据异面直线的判定定理可得与异面直线，故､､､四点不共面，可判断④. 【详解】解：∵，平面，∴平面. ∵，平面，∴平面， ∴是平面和平面的公共点； 同理可得，点和都是平面和平面的公共点， ∴三点，，在平面与平面的交线上， 即，，三点共线.故①正确. ∵，，∴，，确定一个平面， 又，平面，∴平面，故②正确. 根据异面直线的判定定理可得与为异面直线，故､､､四点不共面，故③不正确. 根据异面直线的判定定理可得与异面直线，故､､､四点不共面，故④不正确. 故选：A. 【例2】（25-26高三·上海·一轮复习）如图，在正方体中，对角线与平面交于点O，AC与BD交于点M，E为AB的中点，F为的中点，求证：，O，M三点共线． 【答案】证明见解析 【分析】由题意得平面，又可证平面，根据基本事实，即可得证． 【详解】由题意得平面， 又，平面， 所以平面， 由基本事实3可得，点在平面和平面的交线上， 所以三点共线． 1．（24-25高二上·四川成都·开学考试）已知正方体的边长为2，点，分别是为棱，的中点，点为四边形内（包括边界）的一动点，且满足平面，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】分别作，的中点，，连接，，，易证平面平面，再由平面，又点为四边形内（包括边界）的一动点，得到线段求解. 【详解】 解： 如图，分别作，的中点，，连接，，，易知，又平面，平面，∴平面；又易证，又平面，平面，∴平面，又，，平面，∴平面平面，由题意知平面，又点为四边形内（包括边界）的一动点，∴线段，当点为的中点时，，此时， 故选：A． 2．（25-26高一·江苏·课后作业）（多选）如图所示，在正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（    ） A．，，三点共线 B．，，，四点共面 C．，，，四点共面 D．，，，四点共面 【答案】ABC 【分析】根据点与线、点与面、线与面的位置关系判断即可； 【详解】解：在正方体中，为的中点，直线交平面于点， 在选项中，直线交平面于点， 平面，直线，又平面，平面， 为的中点，平面，底面为正方形，所以为的中点， 平面，且平面， 又平面，且平面， ，，三点共线，故选项正确； 在选项中，，，三点共线，，，，四点共面，故正确； 在选项中，，，三点共线，，，，四点共面，故正确； 在选项中，直线，， ，，，四点不共面，故错误． 故选：． 3．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，在正方体中，设线段与平面交于点，则三点的位置关系是_____________． 【答案】共线 【分析】连接，根据基本事实2、基本事实3可得答案． 【详解】如图，连接，， 显然平面，平面， 平面． 同理，平面， ∴平面平面． 平面， 平面． 又平面，平面． 在平面与平面的交线上，即， ，，三点共线． 故答案为：共线. 4．（24-25高一·全国·课后作业）如图，在四面体中作截面，若与的延长线交于点，与的延长线交于点，与的延长线交于点. （1）求证:直线平面； （2）求证:点在直线上. 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【解析】利用公理1证得：点平面,点平面即可; 利用公理3证得：点、、都在平面与平面的交线上即可; 【详解】证明：∵平面，直线,平面 ∵平面，直线， ∴平面∴直线平面. 证明：∵直线，平面，∴平面. 由（1）知，平面，∴在平面与平面的交线上， 同理可知，也在平面与平面的交线上， ∴由公理3知,，，三点共线， ∴点在直线上. 【经典例题五 空间中的线共点问题】 【例1】（24-25高一下·山东威海·期末）在空间四边形中，若，分别为，的中点，，，且，，则（    ） A．直线与平行 B．直线，，相交于一点 C．直线与异面 D．直线，，相交于一点 【答案】B 【分析】首先利用相似三角形证明且，再利用中位线定理证明且，从而得到四边形为梯形，且，是梯形的两腰，设，交于一点，利用平面的性质证明是直线，，的公共点即可． 【详解】因为，，且， 所以，所以且， 因为，分别为，的中点，所以且， 所以且，故四边形为梯形，且，是梯形的两腰， 所以，交于一点，设交点为，则，， 又因为平面，且平面， 所以平面，且平面， 又平面平面， 所以， 所以点是直线，，的公共点， 故直线、、相交于一点．    故选：B 【例2】（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，已知分别是正方体的棱的中点，.证明：直线交于同一点； 【答案】证明见解析 【分析】先证明，可推得相交于点，再证明即可. 【详解】在正方体中，连接， 由，得四边形是平行四边形，则， 由分别是的中点，得，则，即四点共面， 而，则相交，设交点为，则，而平面，则平面， 同理平面，而平面平面 则，即点在直线上，所以直线交于同一点. 1．（24-25高二上·广西桂林·开学考试）平面内条直线没有四条直线共点，最多三条直线平行，至少有几个交点（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据已知条件，可以有二组三条直线平行，再分析如何增加两条直线使交点最少，作图即可求解. 【详解】因为最多三条直线平行，可以有二组三条直线平行， 如图，，这条线共有个交点， 如图交点分别为， 若要使交点最少可以使过两组平行线的三个交点，此时没有增加新的交点， 因为平面内条直线没有四条直线共点，不能过三条线的公共点， 比如不能过图中的， 由于不能过点为了保证交点最少，可以过两条直线的交点， 最少增加个新的交点，如图点， 所以至少有个交点， 故选：C. 2．（24-25高一下·四川广安·期中）（多选）如图所示，在空间四边形中，点分别是边的中点，点分别是边上的三等分点，且，则下列说法正确的是（    ） A．四点共面 B．与异面 C．与的交点可能在直线上，也可能不在直线上 D．与的交点一定在直线上 【答案】AD 【分析】利用三角形中位线性质、平行线分线段成比例的性质可得，即可判断A，B；由平面基本事实推理可判断C，D. 【详解】在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，则，且， 点F，G分别是边BC，CD上的点，且，则，且， 因此，点E，F，G，H四点共面，故A正确，B错误； ，，即四边形是梯形，则EF与GH必相交，交点为M， 点M在EF上，而EF在平面ACB上，则点M在平面ACB上，同理点M在平面ACD上， 则点M是平面ACB与平面ACD的公共点，而AC是平面ACB与平面ACD的交线， 所以点M一定在直线AC上，故C错误，D正确. 故选：AD. 3．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，正方体中，对角线与过、D、的平面交于点，则_________．    【答案】 【分析】由平面的基本性质确定是与的交点，进而利用平行线分线段成比例即可得解. 【详解】连接交于，连接、，    由，面，则面， 又面，而面面，故， 所以是与的交点，又， 所以， 所以. 故答案为：. 4．（24-25高一下·陕西西安·期中）（1）已知直线，直线与，都相交，求证：过，，有且只有一个平面； （2）如图，在空间四边形中，，分别是，的中点，，分别是边，上的点，且.求证：直线，，相交于一点.    【答案】证明过程见解析 【分析】（1）设两平行直线确定的平面为，从而得到，，直线，即平面，证明出结论； （2）作出辅助线，得到，且，得到四边形为梯形，与交于一点，再证明点在直线上，证明出结论. 【详解】（1）证明：设直线与，分别交于点， 如图1，    因为，所以确定一个平面，记为平面， 因为点直线，点直线，所以，， 所以直线，即平面，所以过，，有且只有一个平面； （2）在空间四边形中，连接， 因为分别为的中点，则，且， 又由，则，且， 故，且，故四边形为梯形，与交于一点， 设与交于点，如图2，    由于平面，点在平面内，同理点在平面内， 又因为平面平面， 所以点在直线上， 故直线相交于一点. 【经典例题六 由平面的基本性质作截面图形】 【例1】（24-25高一下·海南·月考）在正四棱柱中，，分别是的中点，则平面截该四棱柱所得截面的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出辅助线，得到五边形即为平面截该四棱柱所得截面，由勾股定理和三角形相似得到各边长，相加得到截面周长． 【详解】直线分别与相交于点，连接，分别与交于点， 连接，故五边形即为平面截该四棱柱所得截面， 其中分别是的中点，故． ，故， 由勾股定理得，， 同理可得， 又，故， 故平面截四棱柱所得截面的周长为． 故选：A． 【例2】（2025高三·全国·专题练习）如图，已知在正三棱柱中，，且点分别为棱的中点. 过点作三棱柱截面交于点，求线段长度； 【答案】 【分析】延长交的延长线于点，连接交于点，再利用相似三角形求解即可. 【详解】由正三棱柱中，， 又因为点分别为棱的中点，可得， 如图所示，延长交的延长线于点， 连接交于点，则四边形为所求截面， 过点作的平行线交于， 因为，所以， 又 所以，所以，则. 1．（2025·河南周口·模拟预测）在棱长为的正方体中，点分别为线段的中点，点在线段上，且，则过三点的平面截正方体得到的截面多边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行关系可作出过三点的截面，结合垂直关系和长度关系可求得结果. 【详解】连接，取中点，则三点共线，在上取点，满足；在上取点，满足；在上取点，满足；连接； ，，，又， ，五点共面； 同理可得：五点共面， 四边形即为过三点的平面截正方体得到的截面多边形； ，平面，平面， 又平面，，四边形为矩形； ，，， 又，. 故选：B. 2．（24-25高三上·贵州黔东南·月考）（多选）如图，正方体棱上一动点F，点E为棱BC的中点，则平面AEF截得正方体的几何图形可以是（    ）    A．等腰梯形 B．矩形 C．菱形 D．六边形 【答案】AC 【分析】首先求点为棱的中点，以及点在点处时，截面的形状，再讨论点在其他位置时，截面的形状. 【详解】如图，当点为棱的中点时，截面为等腰梯形； 当点在点处时，截面为菱形； 当时，截面为五边形； 当时，截面为四边形； 综上所述，AC正确，BD错误.    故选：AC. 3．（2025·山东济南·三模）在正四棱柱中，，，M，N分别是，的中点，则平面截该四棱柱所得截面的周长为______． 【答案】 【分析】作出辅助线，得到平面截该四棱柱所得截面为五边形，求出各边边长，相加得到答案. 【详解】延长相交于点，连接交于点，连接， 因为正四棱柱中，，，M，N分别是，的中点， 所以，，， 因为∽，，故，， 在上取点，连接，则， 同理可知，所以四边形为平行四边形， 故四点共面， 则平面截该四棱柱所得的截面为五边形， ，， 同理， 故截面周长为. 故答案为： 4．（24-25高二下·上海黄浦·月考）画出过三点的截面与多面体在各个平面上的交线,其中与所在平面的边不平行，要求保留作图痕迹. 【答案】答案见解析 【分析】线的交点就是线所在面的交点，所以找到线线的交点，连起来即为面面的交线． 【详解】              （1）延长，交的延长线于点; （2）连结，交于点，延长，交的延长线于点； （3）连结，交于点； （4）连结，； 则五边形即为所求． 【经典例题七 平面的基本性质的有关计算】 【例1】（2025·江西·一模）如图，正方体的棱长为1，，分别为，的中点，在上，且，平面与棱所在直线交于点，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方体的性质可得平面与平面平行，利用面面平行的性质定理可得平面与它们的交线平行， 然后作平行线找到点的位置，利用三角形相似即可求出的值. 【详解】    在正方体中，根据正方体的性质可得平面与平面平行， 利用面面平行的性质定理可得平面与它们的交线平行， 所以过点作直线的平行线与延长线交于一点， 此交点即为平面与棱所在直线交点，连接，如图所示. 所以四边形是平行四边形，所以， 又，分别为，的中点，所以， 因为，所以，所以， 又因为，所以， 所以. 故选：. 【例2】（25-26高一下·全国·课后作业）在长方体中，底面是边长为的正方形，高为，分别是边与的中点. （1）求证：四边形是等腰梯形； （2）求梯形的面积. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）连接，由三角形中位线性质可证得，证得四边形为梯形；利用三角形全等可证得，由此得到结论； （2）利用勾股定理可求得等腰梯形的上下底和高，由梯形面积公式可求得结果. 【详解】（1）证明：连接，则是的中位线，则有. 又，，四点共面，且四边形为梯形； ，，梯形等腰梯形. （2）由题意得：，，， 等腰梯形的高， 梯形的面积. 1．（2025·内蒙古乌兰察布·一模）四棱锥P﹣ABCD中，AB=CD，，M为PC中点，平面ADM交PB于Q，则=（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】延长CB，DA交于E，连接EM与PB交点为Q，根据三角形的中位线的性质和已知条件可得出点Q为的重心，由此可得选项. 【详解】延长CB，DA交于E，连接EM与PB交点为Q，因为，所以， 又B为SC中点，又M为PC的中点，所以点Q为的重心，所以， 故选：C. 2．（24-25高一下·福建·期末）如图，在棱长为4的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，设直线与平面交于点，则（  ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】先作出直线与平面的交点，进而求得的长度. 【详解】在平面中，延长交于P，连接，交于Q， 在中，则 又在中， 则. 故选：C 3．（24-25高一下·湖北·月考）如图，在直三棱柱ABC-中，E，F分别是，的中点，平面AEF与线段交于点G，则=_____________. 【答案】/ 【分析】根据面面相交的性质，结合平行线的性质进行求解即可. 【详解】延长交于点，连接交一点，该点为点G， 因为F是的中点，，所以是的中点， 因为E是的中点，所以， 因此有， 于是有， 故答案为： 4．（24-25高一下·河南洛阳·月考）如下图，在正方体中，棱长为分别是的中点． (1)画出过三点的平面与平面、平面的交线； (2)设过三点的平面与交于点，求的长． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）利用平面的基本性质画出交线，进而确定比例和长度； （2）利用（1）直接求解. 【详解】（1）如图所示：平面， 与底面的交点必在侧面与底面的交线上， 过点的平面与平面的交线是，（在线段的延长线上）， 与平面的交线是（在线段上）． （2）由（1）可知：， 在Rt中，由勾股定理得． 【拓展训练一 空间中点、线相关问题】 【例1】（24-25高二上·山东东营·开学考试）不共面的四点最多可确定（    ）个平面 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据平面的基本定理求解． 【详解】四点中任意三个点都不共线时，确定的平面的个数最多， 结合三棱锥的结构特征可知，确定个平面. 故选：B． 【例2】（25-26高三·全国·一轮复习）已知一条直线与两条平行直线都相交，证明这三条直线共面． 【答案】证明见解析 【分析】两条平行直线确定一个平面，根据两点在平面上可知直线也在平面上，从而得到结果. 【详解】设有三条直线a，b，c，其中， 因为，所以a，b确定一个平面， 因为，所以， 又，所以. 所以三条直线a，b，c在同一个平面内． 1．（2025·湖南·二模）如图，在三棱柱中，分别为的中点，则下列说法错误的是（    ） A．四点共面 B． C．三线共点 D． 【答案】D 【分析】对于AB，利用线线平行的传递性与平面公理的推论即可判断；对于C，利用平面公理判断得，的交点在，从而可判断；对于D，举反例即可判断. 【详解】对于AB，如图，连接，， 因为是的中位线，所以， 因为，且，所以四边形是平行四边形， 所以，所以，所以四点共面，故AB正确； 对于C，如图，延长，相交于点， 因为，平面，所以平面， 因为，平面，所以平面， 因为平面平面， 所以，所以三线共点，故C正确； 对于D，因为，当时，， 又，则，故D错误. 故选：D. 2．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）以下四个命题中，不正确的命题是（    ） A．不共面的四点中，其中任意三点不共线 B．若点共面，点共面，则共面 C．若直线共面，直线共面，则直线共面 D．依次首尾相接的四条线段必共面 【答案】BCD 【分析】利用反证法可知正确；直线与直线异面时，不共面，判断；中可为异面直线，判断；中四条线段可构成空间四边形，判断. 【详解】选项：若任意三点共线，则由该直线与第四个点可构成一个平面，则与四点不共面矛盾，则任意三点不共线，正确； 选项：若三点共线，直线与直线异面，此时不共面，错误； 选项：共面，共面，此时可为异面直线，错误； 选项：依次首尾相接的四条线段可构成空间四边形，错误. 故选：BCD 3．（24-25高二·上海·课堂例题）已知平面α与平面β相交于直线l，若，，则M与a的位置关系是________． 【答案】或 【分析】分别讨论点在上，和外两种情况，即可判断. 【详解】若点是和直线的交点，则，若点在外且，则 故答案为：或 4．（24-25高一下·安徽·月考）空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别在AB，BC，CD，AD上，且满足，. (1)求证：E，F，G，H四点共面； (2)求证：EH，FG，BD三线共点. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由线段成比例证∥，∥即可； （2）先证四边形EFGH为梯形其腰交于一点，再证该点同属于面BDC和面ABD即可. 【详解】（1）， ∥ ∥ ∥，所以四点共面； （2）∥，且，， ， 四边形EFGH为梯形， 设，则，而平面ABD，所以平面ABD , 又，平面BCD，所以平面BCD， 而平面平面， ， EH，FG，BD三线共点. 【拓展训练二 平面的基本性质相关求解】 【例1】（24-25高二上·上海·期中）如图，在三棱锥中，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，经过、、的截面一定是（   ） A．三角形 B．矩形 C．梯形 D．平行四边形 【答案】D 【分析】作出辅助线，得到，所以四边形为平行四边形，求出经过、、的截面为平行四边形. 【详解】取的中点，连接， 因为棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为， 所以，， 故， 所以四边形为平行四边形， 故经过、、的截面为平行四边形. 故选：D 【例2】（25-26高一下·全国·课后作业）四边形中，，沿折叠成为四面体时，的取值范围是多少？ 【答案】 【解析】把沿折叠，与和分别接近时，0和是的长度的极限值，由此可得其范围． 【详解】如图，四边形折叠成为四面体. 当点与点接近于重合时，的距离接近于0； 当四边形接近平面图形时，的距离接近于，所以. 1．（2025·陕西铜川·三模）在正方体中，分别为的中点，若，则平面截正方体所得截面的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助正方体截面的性质可得该截面是边长为的正六边形，计算其面积即可得. 【详解】如图，过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点， 过点作的平行线交于点，易知点都在截面内， 且都是其所在棱的中点，从而所得截面是边长为的正六边形， 所求面积. 故选：D. 2．（25-26高二·全国·课后作业）（多选）（多选）已知正方体，若平面，则关于平面截此正方体所得截面的判断正确的是（    ） A．截面形状可能为正三角形 B．截面形状可能为正方形 C．截面形状可能为正六边形 D．截面形状可能为五边形 【答案】AC 【分析】根据平面得到平面与平面平行或重合，然后结合图形即可判断出答案. 【详解】如图，在正方体中，连接，，，则平面， 所以平面与平面平行或重合， 所以平面与正方体的截面形状可以是正三角形，正六边形，但不可能是五边形和四边形，故A，C正确，B，D错误． 故选：AC. 3．（2025·陕西西安·模拟预测）在直四棱柱中，，，M，N在棱，上，且，，过的平面交于G，则截面的面积为______． 【答案】 【分析】作出图形，根据线线平行得平行四边形，进而确定出截面为平行四边形，进而求出面积， 【详解】取上靠近点的一个四等分点，连接，， 因为，所以且，则四边形为平行四边形， 所以且，过点作，因为，所以四边形为平行四边形， 则且，所以且，则截面为平行四边形， 由直四棱柱的性质可得， ， ，， 在△中，由余弦定理得，， 所以， 则截面的面积为； 故答案为：6    4．（24-25高二上·上海·月考）（1）用符号语言表示下列语句，并画出图形：直线AB，AC分别在平面α，β内，且点A在平面α与平面β的交线l上． （2）在正方体中，M，N，P分别是A1B1，AD，BB1的中点，平面α过M，N，P三点，则平面α截此正方体的截面为一个多边形， （ⅰ）仅用铅笔和无刻度直尺，在正方体中画出此截面多边形（保留作图痕迹，不需要写作图步骤）； （ⅱ）若正方体的棱长为6，直接写出此截面多边形的周长． 【答案】（1）答案见解析，作图见解析；（2）（ⅰ）作图见解析；（ⅱ） 【分析】（1）根据题意画图，并符号表示； （2）（ⅰ）利用三线共点，点一定在两个平面的交线上，画出图形，（ⅱ）根据图形的特征，利用勾股定理求解各边即可. 【详解】（1）用符号表示：， 如图： （2）（ⅰ）在正方体中画出此截面多边形如图所示： 作直线分别与延长线于， 连接交于，连接交于， 最后连接，即得截面. （ⅱ）由题设，易知，进而易得， 截面多边形的周长等于， ， ， 所以， ， 所以截面多边形的周长等于． 1．（25-26高二上·四川内江·月考）三个平面把空间分成m部分，m的所有可能取值组成集合Q，则Q中所有元素之和为（   ） A．18 B．19 C．25 D．30 【答案】C 【分析】分情况讨论三个平面的位置关系，从而确定空间被分成的部分数，进而得到集合，继而即可求解. 【详解】当3个平面互相平行时：空间被分成4部分，即， 当2个平面互相平行时：第3个平面与这2个平面相交， 此时空间被分成6部分，即， 当3个平面相交于同一条直线时：空间被分成6部分，即， 当3个平面相交于3条直线时：这3条交线互相平行， 此时空间被分成7部分，即， 当3个平面相交于1点时：此时空间被分成8部分，即， 所以， 所以Q中所有元素之和为. 故选：. 2．（24-25高三上·河北唐山·期中）如图所示，是长方体，是的中点，直线交平面于点，给出下列结论： ①，，三点共线； ②，，，不共面； ③，，，共面； ④，，，共面.其中正确结论的序号为（    ） A．①④ B．③④ C．①③ D．②④ 【答案】C 【分析】根据公理确定点共面与点共线，再根据异面直线判定定理判定共面问题，即得结果. 【详解】因为是的中点，所以是的中点，从而在平面上，也在平面上；又在平面上，也在平面上； 因为直线交平面于点，所以在上，即在平面上，也在平面上； 因此，，在平面与平面的交线上，即，，三点共线，①正确； ，，，，都在平面上，所以②错误，③正确； 根据异面直线判定定理可得与异面，从而④错误； 故选C 3．（25-26高一下·福建莆田·期中）如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且，则（   ） A．EF与GH平行 B．EF与GH异面 C．EF与GH的交点一定在直线AC上 D．EF与GH的交点可能在直线AC上，也可能不在直线AC上 【答案】C 【分析】连接，根据题意，证得且，设和相交于点，得到平面且平面，进而得到答案. 【详解】如图所示，连接，因为分别是上的点，且， 所以，且， 又因为点分别是边的中点，所以，且， 所以且，所以和相交， 设和相交于点，则平面且平面， 因为平面平面，所以点在直线上. 4．（2025·浙江·模拟预测）如图，在正四面体（所有棱长均相等）中，平面分别交于点，其中分别为棱的中点，不是棱的中点，则 A． B． C． D．以上都有可能 【答案】A 【分析】延长相交于点，则点必在的延长线上，过点分别作的平行线，分别与相交于点，由可得，由可得，然后可得，从而得到. 【详解】 如图，延长相交于点，则点必在的延长线上． 过点分别作的平行线，分别与相交于点， 则由，得， 两式相乘得． 同理，由，可得，所以， 所以，所以，即，所以， 故选：A 【点睛】本题主要考查立体几何问题，考查三角形相似，考查化归与转化思想及空间想象能力． 5．（2025高三·全国·专题练习）如图，已知四面体为正四面体，分别是中点，若用一个与直线垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将四面体补成正方体，在正方体内利用截面为平行四边形可得，进而利用基本不等式即可得解. 【详解】把正四面体补为正方体，如图， 根据题意可得截面为平行四边形， 所以，，，， 所以，， ， 又因为，所以， 所以所求截面面积，当且仅当时成立， 故选：B 6．（2025高一下·全国·专题练习）（多选）下列说法不正确的是（    ） A．三点可以确定一个平面 B．空间中两条直线能确定一个平面 C．共点的三条直线确定一个平面 D．三角形和梯形都可以表示一个平面 【答案】ABC 【分析】ABC可举出反例；D选项，根据三角形和梯形是平面图形得到D正确. 【详解】A选项，不共线的三点可以确定一个平面，若三点共线，则不能确定一个平面，故A错误； B选项，只有平行或相交的两条直线才能确定一个平面，当两直线异面时，不能确定一个平面，故B错误； C选项，当三条直线相交于一点时，可以确定三个平面，例如三棱锥的三条侧棱，故C错误； D选项，三角形和梯形是平面图形，可以用来表示平面，故D正确． 故选：ABC 7．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）下列命题正确的是（    ） A．三点确定一个平面 B．一条直线和直线外一点确定一个平面 C．圆心和圆上两点可确定一个平面 D．梯形可确定一个平面 【答案】BD 【分析】根据已知条件，利用平面的基本性质，以及推论，逐一判断即可： 【详解】平面上不共线的三点确定一个平面，故A错误； 一条直线和直线外一点确定一个平面，故B正确； 如果圆上两点和圆心共线，不能确定一个平面，故C错误； 梯形上下底是两平行直线，可以确定一个平面，故D正确； 故选：BD. 8．（24-25高一下·陕西咸阳·月考）（多选）下列说法，不正确的有（    ） A．如果一条直线与另两条直线都相交，那么这三条直线必共面 B．如果三条直线两两都相交，那么它们能确定一个平面 C．如果三条直线相互平行，那么这三条直线在同一个平面上 D．如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线确定一个平面 【答案】ABC 【分析】由空间中直线与直线的位置关系对选项逐一判断即可. 【详解】对于AB，当三条直线交于同一点时，三条直线可能不共面，故AB错误， 对于C，当三条直线相互平行时，三条直线可能不共面，故C错误， 对于D，一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线确定一个平面，故D正确， 故选：ABC 9．（25-26高一·全国·课后作业）（多选）如图，在正方体中，P，Q分别是棱的中点，平面平面，则下列结论中不正确的有（    ） A．l过点 B．l不一定过点 C．的延长线与的延长线的交点不在l上 D．的延长线与的延长线的交点在l上 【答案】BC 【分析】连接，在正方体中可得四边形是平行四边形，由点共面得点共线可判断A B；的延长线与的延长线的交点，的延长线与的延长线交点， 由点共面得点共线可判断CD. 【详解】连接，在正方体中，取的中点， 连接，则， 所以四边形是平行四边形，平面，平面， 所以，故A正确，B错误； 如图的延长线与的延长线的交点，的延长线与的延长线交点， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面，所以， 故C错误，D正确. 故选：BC. 10．（2025·福建莆田·二模）（多选）已知正四面体的棱长为，S是及其内部的点构成的集合．若，集合，则T表示的区域可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】先作出辅助线，得到正四面体的高，及侧面三角形的高，分，及三种情况，得到T表示的区域. 【详解】取的中点，连接，， 过点作平面，则在线段上，且， 因为正四面体的棱长为，所以，， 所以，由勾股定理得：， 因为，几何意义为以为球心，以为半径的球面及其内部与及其内部重合的部分， 当时，此时由于， 此时T表示的区域为以为圆心，以为半径的圆，A正确； 当时，此时，比大，比小， T表示的区域为以为圆心，以为半径的圆，除去圆外部分，故为B选项； 当时，此时， T表示的为以为圆心，以为半径的圆内且在三角形内的部分，即为三角形，D正确， C选项不可能. 故选：ABD 11．（24-25高二上·上海宝山·期中）有下列四个说法： ①不在同一直线上的三点确定一个平面； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③三条直线两两相交则确定一个平面； ④两个相交平面把空间分成四个区域． 其中错误说法的序号是_____． 【答案】②③ 【分析】根据平面的基本性质和推论分析各个说法即可. 【详解】①：由基本事实可知说法正确； ②：四边形可能是空间四边形，所以说法错误； ③：三条直线两两相交可能确定一个平面也可能确定三个平面， 若三条直线在同一平面内两两相交，则确定一个平面； 若三条直线不在同一平面内，例如在三棱锥中，可确定出平面，平面，平面， 所以说法错误； ④：平面可以无限延展，如图所示，两个相交平面可将空间分为四个区域，所以说法正确； 故答案为：②③. 12．（25-26高二上·上海·月考）空间中有4个不同的平面两两相交，则它们交线的条数最多是______条. 【答案】6 【分析】分4个平面交于同一条直线，3个平面交于同一条直线时，第4个平面与这3个平面相交，任意3个平面都不交于同一条直线求解. 【详解】当4个平面交于同一条直线时，只有一条交线； 当3个平面交于同一条直线时，第4个平面与这3个平面相交，得到3条交线，一共得到4条交线； 当任意3个平面都不交于同一条直线时，共得到6条交线. 综上：它们交线的条数最多是6条. 故答案为：6 13．（24-25高二上·上海浦东新·月考）在空间中，三条直线最多可确定________个平面. 【答案】3 【分析】根据平面的基本性质及推论即可得解. 【详解】由平面的基本性质，当三条直线相交于一点且不共面时，可确定3个平面； 当三条直线两两平行且不共面时，也可以确定3个平面， 所以在空间中，三条直线最多可确定3个平面. 故答案为：3 14．（25-26高二上·上海·月考）如图，已知空间四边形ABCD，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且，．则直线FH与EG的交点一定在直线________上（注：不能填“FH”“EG”）    【答案】 【分析】先证明直线与直线交于，再证明过点即可. 【详解】由题意与直线不平行，但共面，∴设，则平面，平面. ∵平面平面，，∴直线共点. 故答案为：. 15．（25-26高二上·全国·期中）E、F分别为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1、C1D1的中点，则过A、E、F三点的截面的图形是______________.    【答案】五边形 【分析】由平面的基本性质作出截面图形即可判断. 【详解】作直线EF分别与直线DC、DD1相交于P、Q，    连接AP交BC于M，连接AQ交A1D1于N，连接NF、ME， 则五边形AMEFN即为过A、E、F三点的截面； 故答案为：五边形. 16．（25-26高一下·全国·课后作业）在正方体中，E，F分别为，的中点，，，如图． (1)求证：D，B，E，F四点共面； (2)作出直线与平面的交点R的位置． 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）说明，再由两条相交直线可以确定平面即可求证； （2）利用公理2说明三点在两个平面的交线上即可. 【详解】（1）由于和在同一个平面内且不平行，故必相交． 如图，设交点为O，因为F为的中点，所以且，即是的中位线，则． 同理直线与也相交，设交点为，则，故与O重合． 由此可证得，故D，B，F，E四点共面． （2）设平面为．由于， 所以，A，C，四点共面（设为）． 因为，，所以． 又，，所以， 所以． 同理可证得，从而有． 连接，交于点R，因为， 所以与平面的交点就是与的交点． 所以与的交点R就是所求的交点． 17．（24-25高二上·上海虹口·月考）如图，在长方体中，、分别是和的中点． (1)证明：、、、四点共面； (2)对角线与平面交于点，交于点，求证：点共线； (3)证明：、、三线共点． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）证明，即可说明、、、四点共面. （2）先证明点面和面，即点在面与面的交线上在证明面 面 ，即点，即可得到答案. （3）延长交于,由于面 面，则在交线上. 【详解】（1）连接 在长方体中 、分别是和的中点 、、、四点共面 （2） 确定一个平面 面 面 对角线与平面交于点 面 在面与面的交线上 面且面 面 面 即点共线. （3）延长交于 面 面 面 面 面 面 、、三线共点. 18．（24-25高三·全国·一轮复习）如图所示，在正方体中，E，F分别是的中点． (1)求证：三线交于点P； (2)在（1）的结论中，G是上一点，若FG交平面ABCD于点H，求证：P，E，H三点共线． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析 【分析】（1）连接，，可得到且，则EC与相交，设交点为P，则能得到P平面ABCD，平面，结合平面平面，即可得证； （2）可证明P，E，H都在平面与平面ABCD的交线上，即可得证 【详解】（1）证明：连接，， 正方体中，E，F分别是的中点， ∴且， ∵且， ∴且， ∴EC与相交，设交点为P， ∵PEC，EC平面ABCD，∴P平面ABCD； 又∵，平面，∴平面， ∴P为两平面的公共点， ∵平面平面，∴， ∴三线交于点P； （2） 在（1）的结论中，G是上一点，FG交平面ABCD于点H， 则FH平面，∴平面，又平面ABCD， ∴平面平面ABCD， 同理，平面平面ABCD， 平面平面ABCD， ∴P，E，H都在平面与平面ABCD的交线上， ∴P，E，H三点共线． 19．（25-26高一·全国·课后作业）在正方体中，点P，Q，R分别在棱，，上． （1）画出直线CP与平面的交点． （2）画出经过C，Q，R三点的截面． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）先说明四点共面，即可由平面知识画出直线CP与平面的交点；（2）先根据公理2知，点C，Q，R可以确定平面为，然后利用公理3依次画出平面与各表面的交线以及公共点，依次连接各交点即是经过C，Q，R三点的截面． 【详解】画法：（1），平面，平面． 直线PC，平面． 延长CP，与直线相交于点M，如图． ，平面， 平面，即点M就是直线CP与平面的交点． （2）记过点C，Q，R的平面为． ，平面， 平面，，平面． 延长CQ，与直线相交于点E，如图． ，，且平面，平面， 是平面与平面的公共点． 同理，延长CR，与直线相交于点F，F为平面与平面的公共点． 由公理3知，直线EF为平面与平面的交线在平面内， 直线EF与，交于点S，T．S，T分别为平面与直线与的交点， 连接QS，ST，TR，则过C，Q，R三点的截面即为五边形CQSTR． 【点睛】本题主要考查平面基本性质公理2和公理3的应用． 20．（25-26高一下·河南许昌·期中）如图1，在正方体中，，E，F，G，H分别是棱，，的中点，且与相交于点Q． (1)求证：直线为平面与平面的交线； (2)在图2中作出过，三点的截面，并求出该截面的周长和面积．（写出作图过程并保留作图痕迹） 【答案】(1)证明见解析 (2)面积为，周长为． 【分析】（1）通过证明在平面与平面的交线上即可； （2）连接并延长与的延长线交于点M，连接交于点P，连接，，得到四边形即为所求截面，再求面积即可． 【详解】（1）证明：平面平面， 由于，平面， 所以平面， 又，平面， 所以平面， 所以，即点Q在直线上； （2）解：如图1，连接并延长与的延长线交于点M，连接交于点P，连接，． 抹去，得四边形，即为所求截面，如图2． 易知四边形为等腰梯形，在正方体中， ，，， 所以等腰梯形的高为， 所以梯形的面积为， 梯形的周长为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $