第五章 分式与分式方程 单元练习 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

**基本信息** 北师大版八年级下册分式与分式方程单元复习卷，通过基础题与综合应用题结合，融入生活、物理情境及新定义问题，培养抽象能力、模型意识与创新意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题|分式定义、有意义条件、分式方程识别等|基础概念辨析，物理情境应用（密度问题）| |填空题|5题|分式变形、增根、实际进货价等|结合数轴考查分式值范围，构造分式方程| |解答题|7题|解方程、化简求值、规律探索、利润问题等|综合实践（规律与面积）、新定义“友好分式”、实际采购探究，体现模型意识与推理能力|

2025-2026北师大版数学八年级下册练习 第五章分式与分式方程 一、选择题： 1.下列式子是分式的(    ) A. B. C. D. 2.要使分式有意义，必须满足的条件是  (    ) A. B. C. D. 且 3.有下列方程： 属于分式方程的有   (    ) A. B. C. D. 4.下列代数式中，是分式的是(    ) A. B. C. D. 5.已知甲种糖果每千克售价为元，乙种糖果每千克售价为元，取甲种糖果千克和乙种糖果千克，混合后的糖果每千克售价为  (    ) A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 6.化简的结果为(    ) A. B. C. D. 7.计算的结果是  (    ) A. B. C. D. 8.在物理学中，物质的密度等于物体的质量与它的体积之比，即已知，两个物体的密度之比为，当物体的质量是，物体的质量是时，物体的体积比物体的体积大如果设物体的体积是，那么根据题意可列方程为(    ) A. B. C. D. 9.已知关于的分式方程无解，则的值是(    ) A. B. 或 C. 或 D. 或 10.已知实数，，满足，且，则的值是(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 11.若分式可以变形为，则应满足的条件为          ． 12.如图，若是正整数，则表示分式的值落在线段          处填序号 13.请写出一个根为的分式方程：          ． 14.若分式方程有增根，则的值为          ． 15.某网店用元购进一批新品种草莓进行试销，由于销售状况良好，该网店又用元再次购进该品种草莓，但第二次的进货价比试销时的进货价每千克多了元，第二次购进的草莓质量是试销时质量的倍，则试销时该品种草莓的进货价是          元千克． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.解方程： ； ． 17.先化简，再从，，中选取一个适合的数代入求值． 18.综合与实践． 探索规律：，，，，． 请结合上述等式反映出的规律回答下列问题： 直接写出第五个等式为           猜想第个等式，用含的代数式表示，并证明你猜想的等式是正确的 操作发现：一张大小为个单位面积的纸条，按照如下方法将它剪去：第次剪去纸条面积的，第次剪去纸条剩余面积的，第次剪去纸条剩余面积的，第次剪去纸条剩余面积的，，第次剪去纸条剩余面积的． （3）填写表格中的内容： 剪去的次数 第次 第次 第次 第次 第次 剪去的面积                       剩余的面积                       解决问题：由于面积总量为，可得           结果论证：请说明中的等式成立． 19.某销售商准备采购一批丝绸，经过调查得知，用元采购型丝绸的件数与用元采购型丝绸的件数相等，且一件型丝绸的进价比一件型丝绸的进价多元． 一件型丝绸的进价为多少元 若销售商购进型、型丝绸共件，其中型丝绸的件数不多于型丝绸的件数，且不少于件，设购进型丝绸件． 求的取值范围． 已知型丝绸的售价为元件，型丝绸的售价为元件，求销售这批丝绸的最大利润． 20.定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“友好分式”。如与，因为，，所以是的“友好分式”。 分式          分式的“友好分式”。填“是”或“不是” 已知分式是分式的“友好分式”。 求分式 若整数使得分式的值是正整数，求分式的值。 21.阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的分数叫作“真分数”分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数叫作“假分数”类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”如：，这样的分式就是假分式再如：，这样的分式就是真分式． 假分数可以化成即带分数的形式，类似地，假分式也可以化为带分式的形式如：． 回答下列问题： 分式是          填“真分式”或“假分式” 若分式的值为整数，求满足条件的整数的值 若分式的值为整数，求满足条件的整数的值 若分式的值为，求的取值范围． 22.根据以下素材，完成探究任务． 背景问题 月份是崂山樱珠大量上市的季节，清纯甘甜的唠山泉水、温暖湿润的海洋气候、疏松的沙质土壤，使崂山樱珠颗粒大、皮薄、果肉厚、味道美，比其他地区的同类产品含有更多对人体有益的维生素、矿物质、微量元素和膳食纤维，其中比较受欢迎的两个品种是“水晶”和“红灯”． 素材 某商场用元采购“水晶”，用元采购“红灯”，且“水晶”的数量是“红灯”数量的倍，每千克“红灯”的进价比每千克“水晶”的进价少元． 素材 端午节期间该商场购入千克“水晶”和千克“红灯”均为正整数，进价刚好满元． 素材 端午节期间该商场“水晶”售价为元千克，“红灯”售价为元千克，且购进的“红灯”质量不超过“水晶”的． 问题解决 任务 确定产品进价 请运用所学知识，求出该商场水晶和红灯每千克各自的进价． 任务 探究产品进货 假设购进的樱珠都能卖出，求商场为获得最大利润该如何安排“红灯”和“水晶”的进货质量． 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.  11.且  12.  13.答案不唯一，如：  14.  15.  16.（1） 解：方程两边同乘， 得． 整理得，解得． 经检验，是原方程的解． （2）方程两边同乘，得． 解得，当时，， 是增根，原分式方程无解．   17.解：原式， 且，可以取，  当时，原式．  18.解： 第个等式是． 证明：， 即． （3） （4） （5） ， 所以中的式子可转化为： ．  19.（1）一件型丝绸的进价为元． （2）根据题意，得 解得． 的取值范围为，且为整数． 设销售这批丝绸的总利润为元． 根据题意，得． ，随的增大而增大． ，当时，取得最大值，最大值为． 答：销售这批丝绸的最大利润为元．  20.（1）是 （2）设分式。 ， 。 。 。 ， 。 ，要求为正整数，为整数， 令为正整数，则， 。。。 由条件可知，。 当时，，， 当时，，， 当时，，，。 当时，舍去，非正整数， 的值为或或。  21.（1）真分式 （2）是整数，且为整数，的值为，，的值为，，，． （3）为整数，且为整数，的值为，，的值为，，． （4）． ，，，．   22.任务该商场“水晶”每千克的进价是元，“红灯”每千克的进价是元 任务当购进千克“水晶”，千克“红灯”时，商场获得的利润最大   学科网（北京）股份有限公司 $