第五章 分式与分式方程 单元测评卷 2025-2026学年 北师大版八年级下册数学

**基本信息** 本卷为初中数学“分式与分式方程”单元测评卷，覆盖分式定义、方程求解、实际应用等核心知识，结合人工智能、节能减排等现实情境，注重运算能力与模型意识培养，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|分式定义、方程解、有意义条件|结合几何图形（第5题）考查分式化简，体现几何直观| |填空题|6/18|增根、分式化简、规律探究|第15题以计算程序为载体，培养抽象能力与创新意识| |解答题|5/52|化简求值、实际应用（购物、机器人分拣）|第19题结合2025人工智能展情境，第21题关联节能减排，强化模型意识与应用意识|

第5章 分式与分式方程 单元测评卷 （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列各式-3x，，，-，，，中，分式的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．若关于x的分式方程=5的解为x=4，则a的值为（　　） A．30 B．-30 C． D． 3．记的内角，，的对边分别为a，b，c，已知，则下列判断中一定成立的是（　　） A． B． C． D． 4．要使分式有意义，则x的取值应满足（　　） A． B． C． D． 5．如图，设k=则有（　　） A．k=1 B．k= C．k= D．k= 6．若代数式 和 的值相等，则x的值为（　　） A．7 B．2 C．1 D．无解 7．为创建“绿意蓬勃校园”，学校购买了一批树苗，已知购买银杏树树苗花费元，购买枫树树苗花费元，其中枫树树苗平均每棵的价格是银杏树树苗平均每棵价格的，且购买银杏树树苗的数量比购买枫树树苗的数量少棵，求买了多少棵银杏树树苗？若设买了棵银杏树树苗，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 8．如果把分式 中的a、b都扩大2倍，那么分式的值一定（　　） A．是原来的2倍 B．是原来的4倍 C．是原来的 D．不变 9．若关于x的不等式组无解，且关于的分式方程有整数解，则满足条件的整数的值为（　　） A．2或3 B．2或7 C．3或7 D．2或3或7 10．关于x的一元一次不等式组的解集是，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和是（　　） A．0 B．1 C．5 D．6 二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 11．当m=　 　时，解分式方程 + = 会出现增根. 12．化简：÷=　 　 13．若，则　 　． 14．计算：　 　． 15．有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘以2，再除以它与1的和，多次重复进行这种运算的过程如下： 则第n次运算的结果yn=　 　（用含字母x和n的代数式表示）． 16．甲、乙两个机器人对某条百米跑道进行测试，它们同时同向从起点出发，匀速运动，自动记录仪表明：当甲距离终点1米时，乙距离终点2米：当甲到达终点时，乙距离终点1.01米。经过计算，这条跑道长度不标准，其实际长度为　 　. 三、解答题（17、18、19题每题10分，20、21题每题11分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17． （1）先化简，再求值：，其中，． （2）解方程： 18．“元旦”期间，某电商想购进两种商品出售，已知每件种商品的进价比每件种商品的进价少5元，且用400元购进种商品的数量是用100元购进种商品数量的2倍． （1）求每件种商品和每件种商品的进价分别是多少元？ （2）商店决定购进两种商品共80件，种商品加价5元出售，种商品比进价提高后出售，要使所有商品全部出售后利润不少于200元，求种商品至少购进多少件？ 19． 2025 全球人工智能终端展暨第六届深圳国际人工智能展览会 5 月在深圳会展中心启幕，人工智能的迅速发展为物流运输和配送带来了巨大便利. 某快递公司的仓库主要使用 A， B 两种不同型号的分拣机器人， 已知 A 型机器人比 B 型机器人每小时多分拣快递 200 件， 且 A 型机器人分拣 10000 件快递所用时间与 B 型机器人分拣 9000 件所用时间相等. （1） A， B 型机器人每小时各分拣快递多少件? （2） “618”期间， 快递公司的业务量猛增， 每天有 25000 件快递要分拣， A， B 型机器人一起工作 5 小时后， B 型机器人有其他业务要处理， 剩下的快递由 A 机器人分拣， 请问 A 型机器人还要工作多少个小时才能完成任务? 20．某公司会计欲查询甲、乙商品的进价，发现进货单（下表）已被墨水污染． 进货单 商品 进价（元/件） 数量（件） 总金额（元） 甲 7200 乙 3200 商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下： 李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高； 王师傅：甲商品比乙商品的数量多40件． （1）求甲、乙商品的进价及数量； （2）公司还需购买甲、乙两种商品共100件，总金额不超过4870元，求采购员李阿姨最多可购买甲商品多少件？ 21．“节能减排，绿色出行”，越来越多的人喜欢骑自行车出行某自行车车行经营的型自行车去年销售总额为元，今年该自行车每辆售价比去年降低元若该自行车今年的销售总额与去年相同，那么今年的销售总量需要比去年增加请解答以下问题： （1）型自行车今年每辆售价为多少？ （2）该车行今年计划新进一批型车和新款型车共辆，且型进货数量不超过型车数量的倍型车和型车每辆的进价分别为元和元，型车每辆的售价为元，该自行车行应如何组织进货才能使这批自行车获利最多？获利最多是多少？ 答案 一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列各式-3x，，，-，，，中，分式的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】【解答】解：由题意得，，，为分式， 故答案为：D 【分析】根据分式的定义进行判断即可求解。 2．若关于x的分式方程=5的解为x=4，则a的值为（　　） A．30 B．-30 C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：∵方程 =5的解为x=4 ， ∴ 解得：a=30. 故答案为：A 【分析】根据方程的解的定义，先把x=4代入方程中得到关于a的方程，解方程即可解答. 3．记的内角，，的对边分别为a，b，c，已知，则下列判断中一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∵a，b，c为三角形的三边， ∴， ∴， 整理得，即， ∴或. ①若，则， ∵， ∴， ∴； ②若，则， ∵， ∴， ∴， 综上，一定成立，故选项B正确，符合题意， 故答案为：B． 【分析】通过异分母分式的加法运算和分式的化简得到，则或，再利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行求解即可． 4．要使分式有意义，则x的取值应满足（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：由题意得， 解得． 故答案为：D 【分析】根据分式有意义的条件列出不等式，再求出x的取值范围即可。 5．如图，设k=则有（　　） A．k=1 B．k= C．k= D．k= 【答案】B 【解析】【解答】解：甲图阴影部分的面积为：a2﹣b2， 乙图阴影部分的面积为：a2﹣ab， 则k ． 故答案为：． 【分析】先分别表示出甲、乙两图中的阴影部分的面积，然后代入K中，化简即可解答． 6．若代数式 和 的值相等，则x的值为（　　） A．7 B．2 C．1 D．无解 【答案】A 【解析】【解答】解：根据题意得： ＝ ， 去分母得：2x+1＝3x﹣6， 解得：x＝7， 经检验x＝7是分式方程的解. 故答案为：A. 【分析】由已知：代数式代数式 和 的值相等可以得到方程 ＝ 解这个方程就可以求出x的值. 7．为创建“绿意蓬勃校园”，学校购买了一批树苗，已知购买银杏树树苗花费元，购买枫树树苗花费元，其中枫树树苗平均每棵的价格是银杏树树苗平均每棵价格的，且购买银杏树树苗的数量比购买枫树树苗的数量少棵，求买了多少棵银杏树树苗？若设买了棵银杏树树苗，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：设买了棵银杏树树苗， 根据题意可得：， 故答案为：B. 【分析】 设买了棵银杏树树苗， 根据“ 购买银杏树树苗的数量比购买枫树树苗的数量少棵 ”列出方程即可. 8．如果把分式 中的a、b都扩大2倍，那么分式的值一定（　　） A．是原来的2倍 B．是原来的4倍 C．是原来的 D．不变 【答案】A 【解析】【解答】∵分式 中的a、b都扩大2倍， ∴分式 的分子扩大4倍，分母扩大2倍， ∴分式的值是原来的2倍． 故答案为：A． 【分析】分式中，a，b都扩大2倍，由于分子是a，b相乘，分母是a，b相加，故分子扩大4倍，分母扩大2倍，所以分式的值是原来的2倍． 9．若关于x的不等式组无解，且关于的分式方程有整数解，则满足条件的整数的值为（　　） A．2或3 B．2或7 C．3或7 D．2或3或7 【答案】D 【解析】【解答】解：解不等式组，得， 不等式组无解， ， ， 分式方程， 方程的两边同时乘， 得，， 整理得，， ， 方程有整数解， 或或或， 或或或或或或或， ，， ， 或或， 故答案为：D． 【分析】分别求出不等式组中的每一个不等式的解集，再根据不等式组无解，可得到关于a的不等式，求出a的取值范围；再解分式方程，根据分式方程的解为整数，可确定出a的值. 10．关于x的一元一次不等式组的解集是，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和是（　　） A．0 B．1 C．5 D．6 【答案】B 【解析】【解答】解： ， 由①×2得，2x-a+3≤x+3， 解得，x≤a， 由②×2得，3x+1＜2x+6， 解得，x＜5， ∵此不等式组的解集是x≤a， ∴a＜5， ∵， 方程两边同时乘以y-1得，y-a+2y-4=y-1， 解得， ∵有非负整数解，， ∴或或， 解得，a=-3或a=1或a=3， ∴符合条件的所有整数a的和是-3+1+3=1. 故答案为：B. 【分析】先计算不等式组的解集，根据已知解集x≤a判断a的取值范围，再解分式方程求得，根据分式方程有非负整数解，求出整数a的值，再计算符合条件的所有整数a的和. 二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 11．当m=　 　时，解分式方程 + = 会出现增根. 【答案】6 【解析】【解答】解：去分母得： 原分式方程有增根 故答案为：6. 【分析】由增根的概念知，当未知数的值使最简公分母等于0时，这个根叫分式方程的增根，因此先利用解分式方程的一般步骤先去分母化分式方程为整式方程，此时由于最简公分母等于0，则方程转化为关于所示字母的一元一次方程，解这个方程即可. 12．化简：÷=　 　 【答案】m 【解析】【解答】解：原式=•=m． 故答案为：m． 【分析】原式利用除法法则变形，约分即可得到结果． 13．若，则　 　． 【答案】4 【解析】【解答】解：∵， ∴，即y-x=5xy， ∴x-y=-5xy， ∴原式 =4 故答案为：4. 【分析】先根据题中给出条件可写出x-y=-5xy，然后把x-y=-5xy代入原分式即可得出结果. 14．计算：　 　． 【答案】 【解析】【解答】解： = = = = 故答案为：． 【分析】先通分，化为同分母，再利用同分母减法法则计算即可. 15．有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘以2，再除以它与1的和，多次重复进行这种运算的过程如下： 则第n次运算的结果yn=　 　（用含字母x和n的代数式表示）． 【答案】 【解析】【解答】解：将y1= 代入得：y2= = ； 将y2= 代入得：y3= = ， 依此类推，第n次运算的结果yn= ． 故答案为： ． 【分析】将y1代入y2计算表示出y2，将y2代入y3计算表示出y3，归纳总结得到一般性规律即可得到结果． 16．甲、乙两个机器人对某条百米跑道进行测试，它们同时同向从起点出发，匀速运动，自动记录仪表明：当甲距离终点1米时，乙距离终点2米：当甲到达终点时，乙距离终点1.01米。经过计算，这条跑道长度不标准，其实际长度为　 　. 【答案】101米 【解析】【解答】解：设这条跑道的长度为 x m. 根据两机器人的速度比(即在相等时间内的路程之比)相等，得 解得x=101. 经检验，x=101是原分式方程的解. ∴这条跑道长为101米. 故答案为：101米. 【分析】设这条跑道的长度为 x m，根据两机器人的速度比(即在相等时间内的路程之比)相等列方程解答即可. 三、解答题（17、18、19题每题10分，20、21题每题11分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17． （1）先化简，再求值：，其中，． （2）解方程： 【答案】（1）解： ， 当时，原式 （2）解：方程两边乘，得 ， 解得：． 检验：当时，． 所以原分式方程的解为 【解析】【分析】（1）利用因式分解化简得原式 ，把 代入，计算求解即可； （2）先去分母，把分式方程化为整式方程， 解得：，最后进行检验即可． 18．“元旦”期间，某电商想购进两种商品出售，已知每件种商品的进价比每件种商品的进价少5元，且用400元购进种商品的数量是用100元购进种商品数量的2倍． （1）求每件种商品和每件种商品的进价分别是多少元？ （2）商店决定购进两种商品共80件，种商品加价5元出售，种商品比进价提高后出售，要使所有商品全部出售后利润不少于200元，求种商品至少购进多少件？ 【答案】（1）解：设每件商品的进价为元，则每件商品的进价为元，根据题意，得，解这个分式方程，得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意，则， 答：每件商品的进价为10元，每件商品的进价为5元； （2）解：设购进商品件，由题意得：， 解得：，答：种商品至少购进30件． 【解析】【分析】(1)理解题意设价格利用数量的关系建立等量关系列方程； (2)根据题目中的不等关系列出不等式即可求得结果； 19． 2025 全球人工智能终端展暨第六届深圳国际人工智能展览会 5 月在深圳会展中心启幕，人工智能的迅速发展为物流运输和配送带来了巨大便利. 某快递公司的仓库主要使用 A， B 两种不同型号的分拣机器人， 已知 A 型机器人比 B 型机器人每小时多分拣快递 200 件， 且 A 型机器人分拣 10000 件快递所用时间与 B 型机器人分拣 9000 件所用时间相等. （1） A， B 型机器人每小时各分拣快递多少件? （2） “618”期间， 快递公司的业务量猛增， 每天有 25000 件快递要分拣， A， B 型机器人一起工作 5 小时后， B 型机器人有其他业务要处理， 剩下的快递由 A 机器人分拣， 请问 A 型机器人还要工作多少个小时才能完成任务? 【答案】（1）解：设B型机器人每小时分拣x件，则A型机器人每小时分拣(x+200)件， 根据题意得， 解得 x= 1800， 经检验 x=1800 是原方程的解 x+200=1800+200=2000(件) 答：A型机器人每小时分拣 2000件快递，B型机器人每小时分拣1800件快递. （2）解： 25000-(2000+1800)×5=6000(件) 6000÷2000=3(小时) 答：A型机器人还要工作3小时. 【解析】【分析】（1）设B型机器人每小时分拣x件，则A型机器人每小时分拣(x+200)件，根据“A 型机器人分拣 10000 件快递所用时间与 B 型机器人分拣 9000 件所用时间相等”即可列出分式方程，进而解方程，检验即可求解； （2）根据“每天有 25000 件快递要分拣， A， B 型机器人一起工作 5 小时后， B 型机器人有其他业务要处理， 剩下的快递由 A 机器人分拣”列式求出A型机器人需要分拣的快递数，进而即可求出其分拣时间。 20．某公司会计欲查询甲、乙商品的进价，发现进货单（下表）已被墨水污染． 进货单 商品 进价（元/件） 数量（件） 总金额（元） 甲 7200 乙 3200 商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下： 李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高； 王师傅：甲商品比乙商品的数量多40件． （1）求甲、乙商品的进价及数量； （2）公司还需购买甲、乙两种商品共100件，总金额不超过4870元，求采购员李阿姨最多可购买甲商品多少件？ 【答案】（1）解：设乙商品的进价为x元/件，则甲商品的进价为元/件，根据题意得， 解得∶， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴ (元)， ∴ (件)， (件)． ∴甲商品的进价为60元/件，乙商品的进价为40元/件，购进甲商品120件，乙商品80件。 （2）解：设购买甲商品m件，则购买乙商品件，根据题意得∶， 解得∶， 又∵m是整数， ∴m的最大值为43． ∴采购员李阿姨最多可购买甲商品43件． 【解析】【分析】(1)利用数量=总价÷单价，结合购进甲商品的数量比乙商品多40件，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可求出乙商品的进价，将其代入中，可求出甲商品的进价，再利用数量总价单价，即可求出购进甲、乙两种商品的数量； (2)利用总价单价数量，结合总价不超过4870元，可列出关于m的一元一次不等式，解之可求出m的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论． 21．“节能减排，绿色出行”，越来越多的人喜欢骑自行车出行某自行车车行经营的型自行车去年销售总额为元，今年该自行车每辆售价比去年降低元若该自行车今年的销售总额与去年相同，那么今年的销售总量需要比去年增加请解答以下问题： （1）型自行车今年每辆售价为多少？ （2）该车行今年计划新进一批型车和新款型车共辆，且型进货数量不超过型车数量的倍型车和型车每辆的进价分别为元和元，型车每辆的售价为元，该自行车行应如何组织进货才能使这批自行车获利最多？获利最多是多少？ 【答案】（1）解：设型自行车今年每辆售价为元，则去年每辆售价为元， 根据题意得，， 解得：， 经检验，是原方程的解， 答：型自行车今年每辆售价为元； （2）解：设购进型车辆，则购进型车共辆， 依题意，， 解得：， 根据题意，型车和型车每辆的进价分别为元和元，型自行车今年每辆售价为元；型车每辆的售价为元， 设利润为元，则， 即， ， 当时取得最大值，最大值为元， 购进型车辆，购进型车共辆，才能使这批自行车获利最多，获利最多元． 【解析】【分析】（1）设型自行车今年每辆售价为元，则去年每辆售价为元，根据“ 该自行车今年的销售总额与去年相同，那么今年的销售总量需要比去年增加 ”列出方程，再求解即可； （2）设利润为元，再利用“总利润=每件利润×数量”列出函数解析式，再求解即可. www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $