第5章分式与分式方程精选练习-2025-2026学年数学八年级下册北师大版

**基本信息** 北师大版八年级下册第5章分式与分式方程单元卷，覆盖分式意义、运算、方程及应用，融合榫卯结构、《九章算术》等文化素材与哪吒玩偶、社区健身等现实情境，梯度设计兼顾基础巩固与创新应用。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|分式意义、化简、运算|基础概念辨析，如分式有意义条件| |填空题|6|开放探究、文化应用|《九章算术》约分，自定义分式设计| |解答题|6|方程求解、实际应用、创新定义|社区健身设备采购（模型观念），假分式转化（推理意识）|

第5章分式与分式方程精选练习-2025-2026学年数学八年级下册北师大版（2024） 一、单选题 1．要使分式有意义，则的取值应满足（    ） A． B． C． D． 2．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．代数式：中，属于分式的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．分式与的最简公分母是（　　） A． B． C． D． 6．下列说法正确的是（   ） A．当时，分式有意义 B．分式与的最简公分母是 C．无论x为何值，的值总为正数 D．当分式值为0时， 7．已知其中A，B为常数，则的值为（   ） A．7 B．9 C．13 D．5 8．分式方程的解为（　　） A． B． C． D．无解 9．若关于的方程的解为正数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 10．古代建筑中，榫卯结构至关重要，它使得建筑物连接牢固且难以松动．已知在一组榫卯中，一个榫需要的木材是一个卯需要的木材的倍．若用木材制作榫的数量比用木材制作卯的数量少个．设制作个卯需要木材，符合题意的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．请写出一个分式使它满足：①只含有字母；②最简分式；③取任意实数，分式有意义，这样的分式可以是_______（只写一个）． 12．《九章算术》记载约分算法，化简分式：___． 13．已知，则代数式的值是______． 14．解分式方程，则___． 15．《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是2400元，购进B款哪吒玩偶的金额是1600元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个，款哪吒玩偶单价是款哪吒玩偶的2倍．、两款玩偶的单价分别是多少元？设款哪吒玩偶的单价是元．可列方程___________． 16．若关于的不等式组有解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之积为______． 三、解答题 17．先化简，再求值：，其中． 18．解分式方程： (1)； (2)． 19．2026年是全民体重管理提升行动收官之年，某社区服务中心为推进全民健身，计划采购、两款智能体重管理健身设备，满足居民科学健身需求．已知款设备单价比款设备单价便宜240元，用48000元购买款设备的数量与用54000元购买款设备的数量相同． (1)求、两款健身设备的单价分别为多少元？ (2)该社区计划采购、两款设备共25台，要求款设备采购数量不超过款设备数量的2倍．请问采购款健身设备多少台时，总费用最低？最低总费用是多少元？ 20．已知，． (1)当时，比较与0的大小，并说明理由； (2)设，若m为整数，求正整数y的值． (3)设，若m为整数，求正整数y的值． 21．某社区团购平台推出环保果蔬礼盒，包含有机蔬菜A和时令水果B两种品类． A类礼盒标价120元/箱，B类礼盒标价160元/箱． 平台规定：同一订单中，A、B两种礼盒总数不少于5箱且不超过10箱． (1)某小区物业为业主团购福利，按标价购买了A、B两种礼盒共8箱，合计付款1080元． 求A、B两种礼盒各购买了多少箱？ (2)因市场波动，平台调整优惠政策如下： A类礼盒：每箱直接降价a元出售； B类礼盒：购买不超过3箱时按标价出售；超过3箱时，前3箱按标价出售，超过3箱的部分每箱降价元出售． 该小区另一栋楼组织团购，要求购买的B类礼盒比A类礼盒多2箱，且合计付款恰好为原先按标价购买同等数量礼盒总费用的． 设购买A类礼盒m箱． ①若，求m的值，并判断该团购订单是否满足平台的购买数量规定； ②若该团购订单满足平台购买数量规定，且存在三种不同的购买方案（即不同的m值），若对于每种方案，合计付款恰好为原先总费用的，求a的所有值（说明：a的值可以为分数） 22．定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式（整式与真分式的和的形式）． 如：；再如：． (1)下列各式：；；；，是假分式的有 （填序号）． (2)将假分式化为带分式的形式． (3)已知整数使分式的值为整数，求出满足条件的所有整数的值． (4)一个三位数，个位数字是百位数字的两倍．另一个两位数，十位数字与的百位数字相同，个位数字与的十位数字相同．若这个三位数的平方能被这个两位数整除，求满足条件的两位数． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《第5章分式与分式方程精选练习-2025-2026学年数学八年级下册北师大版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A A C B C C B D A 1．D 【分析】分式有意义时，分母不等于0，据此列不等式计算即可． 【详解】解：根据题意得， 解得． 2．A 【分析】本题为分式化简求值题，先化简分子，再用平方差公式分解分母，约分后整体代入已知条件计算即可． 【详解】解： ∵ ∴原式 3．A 【分析】根据分式定义逐个判断即可，注意是常数，不是字母． 【详解】解：∵ 的分母含有字母，∴ 是分式； ∵ 是单项式，属于整式，不是分式； ∵ 的分母是常数，属于整式，不是分式； ∵ 中是常数，不是字母，分母为常数，属于整式，不是分式； ∴所给代数式中，分式共有个． 4．C 【分析】本题考查代数式的基本运算，根据合并同类项法则，积的乘方法则，单项式除以单项式法则，分式的乘方法则，对各选项分别计算即可判断． 【详解】解：对选项A，∵合并同类项时，系数相加减，字母及指数不变， ，A错误； 对选项B，∵积的乘方等于各因式乘方的积，负数的偶次幂为正数，，B错误； 对选项C，∵单项式除以单项式，系数相除，同底数幂底数不变指数相减，，C正确； 对选项D，∵负数的奇次幂为负数，分式乘方需分子分母分别乘方，，D错误． 5．B 【分析】确定最简公分母的步骤为：1，取各分母系数的最小公倍数；2，单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；3，同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 【详解】解：分式与的最简公分母是． 6．C 【分析】本题考查分式的相关概念，包括分式有意义的条件，最简公分母的确定，分式值为零的条件及分式值的正负判断，解题关键是掌握分式相关的基本性质。 【详解】解：A选项，因为分式有意义的条件是分母不为，即，不是，所以A错误； B选项，因为确定最简公分母需取系数最小公倍数与各字母因式最高次幂的乘积，所以分式与的最简公分母是，不是，所以B错误； C选项，因为对任意都有，所以，分子，所以恒成立，所以C正确； D选项，因为分式值为需满足分子为且分母不为，由得，又即，所以，D错误． 7．C 【分析】先对等式右侧通分，根据分式恒等式的性质，分子对应系数相等得到方程组，求解后计算的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，且， ∴， ∴． 8．B 【详解】解：， 方程两边同乘最简公分母去分母，得， 去括号得， 移项合并同类项得， ， 检验：当时，， 是原分式方程的解． 9．D 【分析】先将分式方程化为整式方程，用含的式子表示方程的解，再根据方程的解为正数且分式方程分母不为0，求出的取值范围． 【详解】方程两边同时乘以，得， 整理得，解得， ∵方程的解为正数， ∴，解得， 又∵分式方程分母不为0，即， ∴，解得， ∴的取值范围是且． 10．A 【详解】解：设制作个卯需要木材，则制作一个榫需要木材， 根据题意可得， 故选：A． 11．（答案不唯一） 【分析】根据最简分式的定义和分式有意义的条件，进行构造即可. 【详解】解：由题意，这样的分式可以为. 12．/ 【详解】解：． 13． 【分析】本题先根据分式的运算法则化简原式，再结合已知等式变形，整体代入化简后的式子计算即可得到结果． 【详解】解： ， ， 移项得：， 将代入， 可得：原式． 14． 【分析】先将分式方程化为整式方程，解得，再验根，即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴ 方程两边同时乘以最简公分母，得， 解得， 检验：当时，， 因此是原分式方程的解． 15． 【分析】先根据题目给出的单价关系表示出A款玩偶的单价，再根据数量等于总金额除以单价的关系，分别表示出两款玩偶的购进数量，最后根据A款数量比B款少50个的等量关系列方程即可； 【详解】解：设B款哪吒玩偶的单价是元，则A款哪吒玩偶单价为元， 根据题意可得购进A款玩偶的数量为个，购进B款玩偶的数量为个， 因为购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个，即B款数量减去A款数量等于50， 因此列方程得：． 16．0 【分析】因为不等式组有解，所以，因为分式方程有非负整数解，所以且为偶数，可得：或或或或，从而可得所有满足条件的整数的值之积． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， ， 解得：， 解分式方程， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 关于的分式方程的解为非负整数， 且为偶数， ， ， 或或或或， 当时， ， 当时， ， ， ， 当时， ， 当时， ， 当时， ， 或或或， ， 满足条件的整数的值之积为． 17．， 【详解】解：原式 当时，原式． 18．(1) (2)无解 【详解】（1）解：， 两边同乘得， 解得， 检验，时，， ∴原分式方程的解为； （2）解： ， 整理得 ， 同乘得， ， 解得， 检验：时，，则是原分式方程的增根， ∴原分式方程无解． 19．(1)款健身设备的单价为1920元，款健身设备的单价为2160元 (2)采购款健身设备16台时费用最低，最低50160元 【分析】（1）设款健身设备的单价为元，则款健身设备的单价为元，根据题意列出分式方程求解； （2）设采购款健身设备台，总费用元，根据题意列出不等式求出且为整数，然后表示出，利用一次函数的性质求解． 【详解】（1）解：设款健身设备的单价为元，则款健身设备的单价为元， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 经检验是原方程解并符合题意． ， 答：款健身设备的单价为1920元，款健身设备的单价为2160元； （2）解：设采购款健身设备台，总费用元． 根据题意得，， 解得：且为整数． ， ， 随增大而减小， 当时，． 答：采购款健身设备16台时费用最低，最低50160元． 20．(1)，理由见解析 (2)4或2或1 (3)4或3或1 【分析】本题主要考查了分式的求值，分式的加减计算： （1）利用作差法得到，，得到，则； （2）先得到，再由y是正整数，得到或或，解之即可； （3）先求出，再由y是正整数，得到或或，解之即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴； （2）解：由题意得，， ∵y是正整数， ∴或或， ∴或或； ∴y的值为4或2或1 （3）解：∵，， ∴， ∵y是正整数， ∴或或 ∴或或． ∴y的值为4或3或1 21．(1)A类礼盒购买了5箱，B类礼盒购买了3箱 (2)①m的值为2，且满足平台的购买数量规定；②或或 【分析】（1）设购买A类礼盒x箱，B类礼盒y箱，根据购买了A、B两种礼盒共8箱，合计付款1080元列方程组求解即可； （2）①当时，A类单价元，B类超3箱部分单价元．根据合计付款恰好为原先按标价购买同等数量礼盒总费用的列方程求解即可； ②先根据A、B两种礼盒总数不少于5箱且不超过10箱求出，然后同①列方程求出，再令，求解即可． 【详解】（1）解：设购买A类礼盒x箱，B类礼盒y箱， 由题意得： ， 解得， 答：A类礼盒购买了5箱，B类礼盒购买了3箱 （2）解：①当时，A类单价元，B类超3箱部分单价元． ∴， 解得， 此时购买A类礼盒2箱，B类礼盒箱，总数为箱，满足总数不少于5箱且不超过10箱， 即m的值为2，且满足平台的购买数量规定． ②∵， ∴， ∵m为正整数， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或或． 经检验或或是原方程的解且符合题意， ∴a的所有值为或或． 22．(1) (2) (3)或或或或或或或 (4)满足条件的两位数为 【分析】（1）根据“假分式”的定义直接进行求解即可； （2）根据分式的性质进行化简即可； （3）由题意可把原分式化简为，然后根据是整数进行求解即可； （4）设的百位数字为，十位数字为，则的个位数字为，的十位数字为，个位数字为，则有，进而根据，，且，均为整数，进行分类求解即可． 【详解】（1）解：根据“假分式”的定义可知：①③④都为假分式； （2）解：； （3）解：， 是整数，分式的值也是整数， 是整数， 或或或或或或或． （4）解：设的百位数字为，十位数字为，则的个位数字为，的十位数字为，个位数字为， ，， = = ． 由题意可得，，，且，均为整数． 这个三位数的平方能被这个两位数整除， 为整数，即为整数， 当时，，没有满足题意的值， 当时，，没有满足题意的值， 当时，，， 当时， ，没有满足题意的值， 综上，满足条件的两位数为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $