精品解析：2026年山东省济南市章丘区二模数学试题

章丘区2026年初中学业水平考试 数学模拟试题（二） 本试题分选择题和非选择题两部分，选择题部分共2页，满分为40分；非选择题部分共6页，满分为110分．本试题共8页，满分为150分．考试时间120分钟．本考试不允许使用计算器． 选择题部分 共40分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列各数中，绝对值最大的数是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据绝对值的性质求出各数的绝对值，再比较绝对值的大小，即可得出结果． 【详解】解：∵，，，， ∴，即． ∴绝对值最大的数是． 2. 在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中，卯的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据俯视图的定义（从上面观察物体所得到的视图是俯视图）即可得． 【详解】解：卯的俯视图是 ， 故选：C． 【点睛】本题考查了俯视图，熟记俯视图的概念是解题关键． 3. 国家纳米中心DNA折纸肿瘤纳米机器人由国家纳米科学中心团队研发，是全球首款医用结构纳米手术机器人．2023年3月该款机器人完成新一代升级，尺寸仅有60~100纳米（1纳米），其中60纳米用科学记数法可表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵ 1纳米 ∴ 纳米 4. 我国民间建筑装饰图案中，蕴含着丰富的数学之美．下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．该图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确； B．该图形不是轴对称图形，但是中心对称图形，故此选项错误； C．该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误； D．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了对称图形的定义和中心对称图形的定义，在平面内，一个图形绕某点旋转180°后能与原来的图形重合，这个图形叫做中心对称图形；一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能重合，这样的图形叫做轴对称图形．理解这两个概念是关键． 5. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方、幂的乘方，平方差公式，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方、幂的乘方，平方差公式，熟练掌握以上运算法则以及乘法公式是解题的关键． 6. 实数在数轴上的位置如图所示，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】观察数轴得：，然后根据不等式的性质，绝对值的意义，逐项判断，即可． 【详解】解：观察数轴得：， A、无法确定的大小，则与的大小关系无法确定，故本选项错误，不符合题意； B、∵， ∴，故本选项正确，符合题意； C、∵， ∴， ∴，故本选项错误，不符合题意； D、根据题意无法确定的符号，则无法确定与的大小关系，故本选项错误，不符合题意； 7. 计算的结果等于（ ）． A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：， ， ， ， ， ． 8. 通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．一次化学课上，老师让学生用酚酞溶液检测四瓶因标签污损无法分辨的无色溶液的酸碱性，已知这四瓶溶液分别是纯水（呈中性）、稀硫酸（呈酸性）、碳酸钠溶液（呈碱性）、氢氧化钠溶液（呈碱性）．小东和淇淇随机各选1瓶，将酚酞溶液分别滴入其中进行检测，选到的2瓶溶液都变成红色的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断出遇酚酞变红的溶液数量，再用列表法或画树状图法确定所有等可能的结果数和符合条件的结果数，然后用概率公式计算概率即可． 【详解】解：设四瓶溶液分别为：A：纯水（中性，不变红），B：稀硫酸（酸性，不变红），C：碳酸钠溶液（碱性，变红），D：氢氧化钠溶液（碱性，变红） 画树状图， ， 所有等可能的结果共 12 种：， 其中，两瓶都变红（即均为碱性溶液 C、D）的结果有 2 种：， ． 故选：B． 9. 如图，在中，．按以下步骤作图： ①以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点； ②分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两条弧交于点，连接交线段于点； ③以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点； ④分别以点，点为圆心，大于长为半径画弧，两条弧交于点，连接并延长，交线段于点．若，则长为（ ） A. B. 3 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据作图可知，平分，先证明，设，由相似三角形的性质列式求解得到，则，，由勾股定理得到，如图所示，过点P作于点，可证，得到，设，则，在中由勾股定理得到，由此即可求解． 【详解】解：根据作图可知，平分， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 整理得，， ∴， 解得，，（舍去）， ∴，，， 在中，， 在中，， 如图所示，过点P作于点， ∵，平分， ∴，且， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C ． 10. 若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且、关于原点成中心对称，则称函数和存在“奇对称点”．此时，奇对称点到原点的距离称为“奇对称值”．下列结论： ①函数与函数存在奇对称点； ②函数与函数的“奇对称值”为2或5； ③若是函数与函数的“奇对称值”，则或； ④若函数与函数存在奇对称点，则． 其中正确的是（ ） A. ①③ B. ①③④ C. ①④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据“奇对称点”定义，若在上，在上，则有解即存在奇对称点，奇对称值为，逐个验证四个结论即可． 【详解】解：设在上，由关于原点对称得在上，因此满足，，即，奇对称值为． ① 对，，代入得： ， 解得，方程有解，存在奇对称点，①正确． ② 对，， 代入得：， 整理得， 解得或． 当时，，奇对称值为； 当时，，奇对称值为， 因此奇对称值为或，②错误． ③ 奇对称值为，因此， ，得， 代入得：， 整理得， 解得或． 由，得 ， 当时，； 当时，， 因此或，③正确． ④ ，， 因此，，得 ， 代入条件得：， 整理得． ， 当时，， 当时，， 因此，④正确． 综上所述，①③④正确． 非选择题部分 共110分 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 若使代数式有意义，则的取值范围是______． 【答案】x≤3且x≠0 【解析】 【分析】由二次根式及分式有意义的条件，即可得到答案． 【详解】解：要使代数式有意义，则有： ，解得且． 故答案为：且． 【点睛】本题考查二次根式和分式有意义的条件，熟练掌握相关知识是解题的关键． 12. 中国纸扇历史悠久，古代工匠凭审美与经验形成了稳定的“东方黄金律”，设计中多处暗合黄金分割．如扇面高度（）与扇柄长度（）之比就符合黄金比，此时重心适中，持握舒适．若，则___________．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义，确定线段与的数量关系，即较短线段与较长线段的比等于黄金比，代入的长度进行计算即可求解． 【详解】解：由题意可知，与之比符合黄金比，且由图形可知为较长线段，为较短线段， 根据黄金分割的定义可得  因为  所以  13. 如图，，，以点为圆心，为半径作弧交于点，点，交于点，若，则阴影部分的面积为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意连接OC，可得阴影部分的面积等于两个阴影部分面积之和，再根据弧AC所对的阴影部分面积等于弧AC所对圆心角的面积减去的面积，而不规则图形BCD的面积等于的面积减去弧DC所对圆心角的面积.进而可得阴影部分的面积. 【详解】解：根据题意连接OC 为等边三角形 阴影部分面积1= 阴影部分面积2= 阴影部分面积=阴影部分面积1+阴影部分面积2= 故答案为． 【点睛】本题只要考查圆弧的面积计算，关键在于阴影部分面积的分割. 14. 如图所示，点A在函数的图象上，连接并延长，交函数的图象于点B，点C为x轴上一点，且，连接，若的面积是6，则k的值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】过点A作轴，过点B作轴，根据相似三角形的判定和性质得出，确定，然后结合图形及面积求解即可． 【详解】解：过点A作轴，过点B作轴，如图所示： ，， ， ∵点A在双曲线的图象上，点B在的图象上， ，， ， ， ， ， ，轴， ， ， ， ， ， ， ． 15. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=4，E是AD的中点，将这张纸片依次折叠两次；第一次折叠纸片，使B点落在E点，折痕为N；第二次折叠纸片，使N点与E点重合，点C在C'处，折痕为FH.则tan∠EHF=______ · 【答案】 【解析】 【分析】利用折叠的性质，将所求的∠EHF转化为求∠EBN，即可求解． 【详解】解：如下图，连接 BE ，过点 E 作 EG⊥BC 于点 G ， 在矩形纸片 ABCD 中， AB =4 ，AD =，点 E 是 AD 的中点， ∴AE = BG = AD = BC =， EG = AB =4， 由折叠性质可得： HF⊥EN ， BE⊥MN ，∠MEN = ∠ABC =90°，∠EHF = ∠NHF ，∠BMN = ∠EMN ， ∴HF ME ， ∴∠NHF = ∠EMN ， ∴∠EHF = ∠BMN ， ∵∠EBN =90°- ∠ABE = ∠BMN ， ∴∠EHF = ∠EBN ， ∴ ， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了图形折叠的性质，矩形的性质，角度的转化，三角函数等知识点，解题的关键在于推出∠EHF=∠EBN ． 三、解答题：（本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】原式分别计算负整数指数幂、特殊角三角函数值、绝对值、零次幂以及算术平方根，再进行加减运算即可． 【详解】解：    ． 17. 解不等式组，并求出它的所有整数解之和． 【答案】不等式组的解集为，所有整数解之和为 【解析】 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为： ， 整数解为：，，，，， ∴整数解之和为： 18. 如图，在中，E为的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接，，若，求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和E为的中点，易得，得到，，结合得到四边形ABFC是平行四边形，再利用，得到 ，最后利用矩形的判定定理判定即可． 【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，，， ∴，． ∵E为的中点， ∴． 在和中 ， ∴， ∴，． ∵，延长交的延长线于点F， ∴， ∴四边形ABFC是平行四边形． ∵，， ∴． ∴四边形是矩形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定，得到是解答关键． 19. 平开窗是生活中常见的一种窗户，安装平开窗需要一种滑撑支架，如图是这种平开窗的实物展示图． 把上述实物图抽象成如示意图．已知滑撑支架的滑动轨道固定在窗框底边，固定在窗页底边，点B，C，D三点固定在同一直线上，当窗户关闭时，点E与点A重合，和均落在上；当点O向点B滑动时，四边形始终为平行四边形，其中，，．窗户打开一定角度后，与形成一个角．出于安全考虑，部分公共场合的平开窗有开启角度限制要求：平开窗的开启角度应该控制在以内（即）． （1）求滑动轨道的长度． （2）为符合安全规范要求，某公共场合的平开窗需在滑动轨道上安装一个限位器P，控制平开窗的开启角度，当点O滑动到点P时，则限位器P应装在离点A多远的位置？（结果保留根号） 【答案】（1）； （2）限位器P应装在离A点的位置． 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，解直角三角形的计算，勾股定理的运用，理解题意，掌握锐角三角形的计算是关键． （1）根据平行四边形的性质得到，根据当窗户关闭时，点E与点A重合，和均落在上，得到即可求解； （2）过点C作交于点，依题意得，在中，，，则，，所以限位器P的位置离A点，由此即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形始终为平行四边形，， ∴， ∵当窗户关闭时，点E与点A重合，和均落在上， ∴； 【小问2详解】 解：过点C作交于点， 依题意得， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴在中，，， ∴， 又∵，， ∴根据勾股定理可得， ∴， ∴限位器P的位置离A点， 答：限位器P应装在离A点的位置． 20. 如图，是的切线，点为切点，点为上一点，射线，交于点，连接，点在上，过点作，交于点，作，垂足为点．，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形，勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）连接，易证得，进而得到，根据切线的性质得到，进而得到，从而得出结论； （2）根据求出的长，利用勾股定理求出的长，进而得到，利用求解的半径． 【小问1详解】 证明：连接， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 是的切线，点为切点， ， ， ，即， 是的半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ， ， 在中，， ， 即的半径为． 21. 为了解七年级学生的课外自主阅读情况，某校随机抽取了部分学生，对他们每天的阅读时间（阅读时间取整数，不足一分钟按一分钟算）的情况进行了调研． 【确立样本】 （1）已知学校七年级共6个班，决定共抽取60名学生进行调查，下列选取样本的方法中最合理的一种是 ．（只需填上正确答案的序号） ①在每班抽取10个成绩较好的学生． ②在每班按照学号随机抽取10名学生． ③在前3个班每班随机抽取20人进行调查． 【收集数据】 利用EXCEL等软件将数据按由小到大的顺序排序，部分数据呈现如下： ......39，39，39，41，42，44，46，53，53，53，53，54，56，58，59，61，62，72，75...... 【整理数据】 按照每天阅读的总时长分为A，B，C，D，E五组，相关信息如下： 组别 每天阅读的总时长（分钟） 频数 该组内学生每天阅读总时长的平均值（分钟） A组 12 10 B组 15 32 C组 12 b D组 15 70 E组 a 90 （每天阅读的总时长）各组人数分布扇形统计图 【数据分析】 根据以上信息，解答下列问题： （2） ； ；本次问卷调查中阅读总时长的中位数为 分钟． （3）C组数据的众数是 分钟；小明根据以上数据绘制了扇形统计图，其中C组对应扇形的圆心角为 度． （4）已知七年级学生共有300人，请你估计七年级阅读的总时长超过60分钟的学生人数． 【答案】（1）② （2）6；51；45 （3）53；72 （4）超过60分钟的学生人数为105人 【解析】 【分析】（1）根据抽取样本的随机性，广泛性选取即可； （2）将样本容量减去其他四组的频数即可求出的值；由【收集数据】中所给的数据，计算出本组的平均数即可得到的值；根据中位数的确定方法即可确定本次问卷调查中阅读总时长的中位数为多少分钟； （3）根据众数的确定方法即可确定组数据的众数；将组数据个数除以60，再乘以，即可求出组对应扇形的圆心角度数； （4）用样本估计总体的思想即可估计出七年级阅读的总时长超过60分钟的学生人数． 【详解】解：（1）由随机抽样的特点可知：②在每班按照学号随机抽取10名学生最合理． 故答案为：②； （2）； 组中的数据为：41，42，44，46，53，53，53，53，54，56，58，59， ； ，， 个数据有小到大排列第30，第31个数据是组中的第3，第4个数据，即44，46， 本次问卷调查中阅读总时长的中位数为（分钟）， 故答案为：6；51；45； （3）组中53出现4次是出现次数最多的数据， 组数据的众数是：53分钟； 组对应扇形的圆心角度数为：， 故答案为：53，72； （4）（人， 答：超过60分钟的学生人数为105人． 【点睛】本题考查扇形统计图，频数分布表，抽样调查的可靠性，平均数，中位数，众数，用样本估计总体，能从统计图表中获取信息，明确相关统计量的确定方法是解题的关键． 22. 为按照国家体育器材设施配备目录及标准要求配足体育设施器材，某校计划购买一批篮球和足球．已知购买个篮球和个足球共需元，购买3个篮球和2个足球共需元． （1）求每个篮球、足球的售价； （2）如果学校计划购买这两种球共个，足球个数不超过篮球个数的倍，请你给出一种费用最少的购买方案，并求出该方案所需费用． 【答案】（1）每个篮球的售价为元，每个足球的售价为元 （2）费用最少的购买方案为购买篮球个、足球个，所需费用为元 【解析】 【分析】（1）设每个篮球的售价为x元，每个排球的售价为y元，则每个足球的售价为y元，根据题意列方程组求解即可得到答案； （2）设购买篮球m个，则购买足球总数为个，根据题意列不等式，求得，设购买篮球和足球的费用为元，再由题意列出关于m的一次函数，根据一次函数的性质即可得到答案． 【小问1详解】 解：设每个篮球的售价为x元，每个足球的售价为y元， 依题意得：， 解得：， 答：每个篮球的售价为元，每个足球的售价为元； 【小问2详解】 设购买篮球m个，则购买足球总数为个， 依题意，得：， 解得：， 设购买篮球和足球的费用为元， 由题意得：， ∵随的增大而增大， ∴当时，的值最小， 此时，， 答：费用最少的购买方案为购买篮球个、足球个，所需费用为元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，解题关键是找准数量关系，正确列出方程组和不等式． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，点，点，直线AB与反比例函数的图象在第一象限相交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）如图2，点，连接，点E是反比例函数图象第一象限内一点，且点E在点C的右侧，连接，，若的面积与且的面积相等，求点E的坐标； （3）在（2）的条件下，若点M是反比例函数的图象第一象限上的动点，连接，并在左侧作正方形，当顶点F或顶点N恰好落在直线上，直接写出点M的坐标． 【答案】（1） （2） （3）M点坐标为或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求直线的解析式，再将代入，即可求得点C坐标，进而求得反比例函数解析式； （2）过点C、E分别作轴，轴，连接，利用A、C坐标求得，进而得到；根据的面积且与的面积相等，可知，进而得到，表示点E坐标，再通过计算即可得出点E坐标，根据题意取舍即可； （3）设，分两种情况讨论：当F点在直线上时，过点M作轴，过点F作交于G点，过点D作交于点H，通过证明，确定点，再将点F代入直线的解析式，即可求出t的值,从而确定M点坐标；当N点在直线上时，过点D作轴，过点M作于点P，过点N作于点Q，同理可得：，确定点N的坐标，再将点F代入直线的解析式，即可求出t的值,从而确定M点坐标． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为， 将点，点代入， ， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入中， ， 解得：， ， 将代入， ， ∴反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：如图，过点C、E分别作轴，轴，连接， ∵， ， ， ∵的面积且与的面积相等， ∴E点在过D点且与平行的直线上，即， ， 设， 则 解得，（不合题意，舍去） ， ∴； 【小问3详解】 解：设， 如图，当F点在直线上时，过点M作轴，过点F作交于G点， 过点D作交于点H， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， 解得， 如图，当N点在直线上时，过点D作轴，过点M作于点P，过点N作于点Q， 同理可得：， ， ， ， 解得：或， 点M在点D左侧， ， 综上所述：M点坐标为或． 【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定及性质，属于反比例函数几何综合题，难度较大． 24. 如图，抛物线交轴于、两点，其中点坐标为，与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图①，连接，点在抛物线上，且满足．求点的坐标； （3）如图②，点为轴下方抛物线上任意一点，点是抛物线对称轴与轴的交点，直线、分别交抛物线的对称轴于点、．请问是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 【答案】（1）（2）或（3）为定值，定值为8． 【解析】 【分析】（1）把点、坐标代入抛物线解析式即求得、的值． （2）点可以在轴上方或下方，需分类讨论．①若点在轴下方，延长到，使构造等腰，作中点，即有，利用的三角函数值，求、的长，进而求得的坐标，求得直线的解析式后与抛物线解析式联立，即求出点坐标．②若点在轴上方，根据对称性，一定经过点关于轴的对称点，求得直线的解析式后与抛物线解析式联立，即求出点坐标． （3）设点横坐标为，用表示直线、的解析式，把分别代入即求得点、的纵坐标，再求、的长，即得到为定值． 【详解】（1）∵抛物线经过点，． ∴，解得：． ∴抛物线的函数表达式为． （2）①若点在轴下方，如图1， 延长到，使，过点作轴，连接，作中点，连接并延长交于点，过点作于点． ∵当，解得：， ∴ ∵，， ∴，，，， ∴中，，， ∵，为中点， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴中，，， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴中，，，. ∴，， ∴，，即， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线：. ∵，解得：（即点），， ∴. ②若点在轴上方，如图2， 在上截取，则与关于轴对称， ∴， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线：. ∵，解得：（即点），， ∴. 综上所述，点的坐标为或． （3）为定值. ∵抛物线的对称轴为：直线， ∴，， 设， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线：， 当时，， ∴， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线：， 当时，， ∴， ∴，为定值． 【点睛】本题考查了求二次函数解析式、求一次函数解析式，解一元二次方程、二元一次方程组，等腰三角形的性质，三角函数的应用．解题关键在于第（2）题由于不确定点位置需分类讨论；（2）（3）计算量较大，应认真理清线段之间的关系再进行计算． 25. 皮埃尔·德·费马是世纪法国著名的数学家，年，他在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到过这样一个问题：“能否在平面内找到三角形三个顶点距离之和最小的点？”这就是著名的费马点问题．如图，为内一点，连接，是否存在一点，使最小，最小值为多少？ 对于三个内角均小于的三角形，托里拆利提出了自己的研究思路： 如图，将绕点顺时针旋转得，则，连接，易证是等边三角形，则，因此，如图，当共线时，最小，即最小． （1）当最小时，___________，若，则的最小值为___________； （2）如图，是锐角内部一点，是线段上一动点，连接，若，求的最小值； （3）如图，是等边内部一点，连接，若等边边长为，直接写出的最小值，并在备用图中作出点的位置（简要说明作法）． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用是等边三角形，当共线时，即可求解；过点作交的延长线于，利用勾股定理求解； （2）将绕点顺时针旋转得，则，，连接，过点作于，当共线，且时，求解的值即可； （3）将绕点顺时针旋转，并使，连接，过点作于，当四点共线时，求解即可． 【小问1详解】 解：将绕点顺时针旋转得，则，连接， ∴是等边三角形，， ∴， ∴，， ∴， 如图，当共线时，最小，即最小， ∵， ∴， ∴； 过点作交的延长线于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴即的最小值为：； 【小问2详解】 解：将绕点顺时针旋转得，则，，连接， ∴是顶角为的等腰三角形，过点作于， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴， 如图，当共线，且时，最小，即最小． ∵，， ∴， 过点作于， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：将绕点顺时针旋转得到，并使，连接， ∴， ∵， ∴， 过点作于， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 当四点共线时，最小，最小值为； 在下方作，过点作于，连接，过点作于，在的上方作交于点，点即为所求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 章丘区2026年初中学业水平考试 数学模拟试题（二） 本试题分选择题和非选择题两部分，选择题部分共2页，满分为40分；非选择题部分共6页，满分为110分．本试题共8页，满分为150分．考试时间120分钟．本考试不允许使用计算器． 选择题部分 共40分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列各数中，绝对值最大的数是( ) A. B. C. D. 2. 在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中，卯的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 国家纳米中心DNA折纸肿瘤纳米机器人由国家纳米科学中心团队研发，是全球首款医用结构纳米手术机器人．2023年3月该款机器人完成新一代升级，尺寸仅有60~100纳米（1纳米），其中60纳米用科学记数法可表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 4. 我国民间建筑装饰图案中，蕴含着丰富的数学之美．下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 5. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 实数在数轴上的位置如图所示，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 计算的结果等于（ ）． A. 3 B. C. D. 8. 通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．一次化学课上，老师让学生用酚酞溶液检测四瓶因标签污损无法分辨的无色溶液的酸碱性，已知这四瓶溶液分别是纯水（呈中性）、稀硫酸（呈酸性）、碳酸钠溶液（呈碱性）、氢氧化钠溶液（呈碱性）．小东和淇淇随机各选1瓶，将酚酞溶液分别滴入其中进行检测，选到的2瓶溶液都变成红色的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，．按以下步骤作图： ①以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点； ②分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两条弧交于点，连接交线段于点； ③以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点； ④分别以点，点为圆心，大于长为半径画弧，两条弧交于点，连接并延长，交线段于点．若，则长为（ ） A. B. 3 C. D. 5 10. 若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且、关于原点成中心对称，则称函数和存在“奇对称点”．此时，奇对称点到原点的距离称为“奇对称值”．下列结论： ①函数与函数存在奇对称点； ②函数与函数的“奇对称值”为2或5； ③若是函数与函数的“奇对称值”，则或； ④若函数与函数存在奇对称点，则． 其中正确的是（ ） A. ①③ B. ①③④ C. ①④ D. ②③④ 非选择题部分 共110分 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 若使代数式有意义，则的取值范围是______． 12. 中国纸扇历史悠久，古代工匠凭审美与经验形成了稳定的“东方黄金律”，设计中多处暗合黄金分割．如扇面高度（）与扇柄长度（）之比就符合黄金比，此时重心适中，持握舒适．若，则___________．（结果保留根号） 13. 如图，，，以点为圆心，为半径作弧交于点，点，交于点，若，则阴影部分的面积为_____. 14. 如图所示，点A在函数的图象上，连接并延长，交函数的图象于点B，点C为x轴上一点，且，连接，若的面积是6，则k的值为________． 15. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=4，E是AD的中点，将这张纸片依次折叠两次；第一次折叠纸片，使B点落在E点，折痕为N；第二次折叠纸片，使N点与E点重合，点C在C'处，折痕为FH.则tan∠EHF=______ · 三、解答题：（本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算：． 17. 解不等式组，并求出它的所有整数解之和． 18. 如图，在中，E为的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接，，若，求证：四边形是矩形． 19. 平开窗是生活中常见的一种窗户，安装平开窗需要一种滑撑支架，如图是这种平开窗的实物展示图． 把上述实物图抽象成如示意图．已知滑撑支架的滑动轨道固定在窗框底边，固定在窗页底边，点B，C，D三点固定在同一直线上，当窗户关闭时，点E与点A重合，和均落在上；当点O向点B滑动时，四边形始终为平行四边形，其中，，．窗户打开一定角度后，与形成一个角．出于安全考虑，部分公共场合的平开窗有开启角度限制要求：平开窗的开启角度应该控制在以内（即）． （1）求滑动轨道的长度． （2）为符合安全规范要求，某公共场合的平开窗需在滑动轨道上安装一个限位器P，控制平开窗的开启角度，当点O滑动到点P时，则限位器P应装在离点A多远的位置？（结果保留根号） 20. 如图，是的切线，点为切点，点为上一点，射线，交于点，连接，点在上，过点作，交于点，作，垂足为点．，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 21. 为了解七年级学生的课外自主阅读情况，某校随机抽取了部分学生，对他们每天的阅读时间（阅读时间取整数，不足一分钟按一分钟算）的情况进行了调研． 【确立样本】 （1）已知学校七年级共6个班，决定共抽取60名学生进行调查，下列选取样本的方法中最合理的一种是 ．（只需填上正确答案的序号） ①在每班抽取10个成绩较好的学生． ②在每班按照学号随机抽取10名学生． ③在前3个班每班随机抽取20人进行调查． 【收集数据】 利用EXCEL等软件将数据按由小到大的顺序排序，部分数据呈现如下： ......39，39，39，41，42，44，46，53，53，53，53，54，56，58，59，61，62，72，75...... 【整理数据】 按照每天阅读的总时长分为A，B，C，D，E五组，相关信息如下： 组别 每天阅读的总时长（分钟） 频数 该组内学生每天阅读总时长的平均值（分钟） A组 12 10 B组 15 32 C组 12 b D组 15 70 E组 a 90 （每天阅读的总时长）各组人数分布扇形统计图 【数据分析】 根据以上信息，解答下列问题： （2） ； ；本次问卷调查中阅读总时长的中位数为 分钟． （3）C组数据的众数是 分钟；小明根据以上数据绘制了扇形统计图，其中C组对应扇形的圆心角为 度． （4）已知七年级学生共有300人，请你估计七年级阅读的总时长超过60分钟的学生人数． 22. 为按照国家体育器材设施配备目录及标准要求配足体育设施器材，某校计划购买一批篮球和足球．已知购买个篮球和个足球共需元，购买3个篮球和2个足球共需元． （1）求每个篮球、足球的售价； （2）如果学校计划购买这两种球共个，足球个数不超过篮球个数的倍，请你给出一种费用最少的购买方案，并求出该方案所需费用． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，点，点，直线AB与反比例函数的图象在第一象限相交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）如图2，点，连接，点E是反比例函数图象第一象限内一点，且点E在点C的右侧，连接，，若的面积与且的面积相等，求点E的坐标； （3）在（2）的条件下，若点M是反比例函数的图象第一象限上的动点，连接，并在左侧作正方形，当顶点F或顶点N恰好落在直线上，直接写出点M的坐标． 24. 如图，抛物线交轴于、两点，其中点坐标为，与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图①，连接，点在抛物线上，且满足．求点的坐标； （3）如图②，点为轴下方抛物线上任意一点，点是抛物线对称轴与轴的交点，直线、分别交抛物线的对称轴于点、．请问是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 25. 皮埃尔·德·费马是世纪法国著名的数学家，年，他在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到过这样一个问题：“能否在平面内找到三角形三个顶点距离之和最小的点？”这就是著名的费马点问题．如图，为内一点，连接，是否存在一点，使最小，最小值为多少？ 对于三个内角均小于的三角形，托里拆利提出了自己的研究思路： 如图，将绕点顺时针旋转得，则，连接，易证是等边三角形，则，因此，如图，当共线时，最小，即最小． （1）当最小时，___________，若，则的最小值为___________； （2）如图，是锐角内部一点，是线段上一动点，连接，若，求的最小值； （3）如图，是等边内部一点，连接，若等边边长为，直接写出的最小值，并在备用图中作出点的位置（简要说明作法）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $