精品解析：2025年山东省济南市章丘区九年级中考数学二模试题

济南市章丘区 2025 年初中学业水平考试数学模拟试题 （满分150分 时间120分钟） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每个小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 的绝对值是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的关键．根据绝对值的定义进行计算即可． 【详解】解：的绝对值是， 故选：A． 2. 我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵 横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了物体的三视图，根据从左边看到的平面图形即可求解，掌握物体三视图的画法是解题的关键． 【详解】解：由几何体可得，从左边看到的平面图形为， 故选：B． 3. 明水古城作为章丘区重点发展旅游项目，凭借文化赋能、业态创新和精准营销，已成为济南市乃至山东省文旅新引擎，2025年春节假期期间，明水古城累计接待游客129200人次，位列济南市重点景区前列，数据129200用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 科学记数法表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解： 故选：D． 4. 如图所示，在 中，，，，与 关于点 O 中心对称，则的长度为（ ） A. 12 B. 16 C. 20 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了勾股定理和中心对称，根据勾股定理求出，再根据中心对称的性质即可求解． 【详解】解：∵在 中，，，， ∴， ∵与 关于点 O 中心对称， ∴， 故选：C． 5. 在剪纸活动中，小花同学想用一张矩形纸片剪出一个正五边形，其中正五边形的一条边与矩形的边重合，如图所示，则的大小为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角与外角，正多边形的内角和，熟练掌握正多边形的内角和公式是解题的关键． 根据正五边形的内角和公式和邻补角的性质即可得到结论． 【详解】解：， 故选：D． 6. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据多项式乘法法则计算并判断A；根据合并同类项法则判断B；根据单项式与单项式相乘法则和同底数幂相乘法则计算并判断C；根据积的乘方和幂的乘方法则计算并判断D． 【详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意； B、与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； C、，计算正确，故此选项符合题意； D、，原计算错误，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查多项式乘法、加法、单项式与单项式相乘，同底数幂相乘，积的乘方和幂的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 7. 若关于x的方程有解，则a的值不可能是（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了方程的解，一元二次方程根的判别式和解一元一次不等式，能得出关于a的不等式是解此题的关键． 根据方程有解得出当或且，求出不等式的解集即可判断． 【详解】解：当时，则，方程有解，故A选项不符合题意； 当且，即， 解得： ∴且，∴a可以为2、4，不可能为6， 故B、C选项不符合题意，D选项符合题意； 故选：D． 8. 圆周率是无限不循环小数．历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对有过深入的研究，某校进行校园文化建设，拟从以上4位数学家的画像中随机选用2幅，则其中至少有一幅是中国数学家的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率． 将祖冲之、刘徽、韦达、欧拉四位数学家分别记作甲、乙、丙、丁，列表得出所有等可能结果及符合条件的结果数，根据概率公式求解即可． 【详解】解：将祖冲之、刘徽、韦达、欧拉四位数学家分别记作甲、乙、丙、丁， 列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） ∵共有12种等可能的情况，其中至少有一幅是中国数学家的有10种结果， ∴其中至少有一幅是中国数学家的概率为， 故选：B． 9. 如图，在中，，．按照如下步骤作图：①分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点；②连接直线，交于点；③以点为圆心，的长为半径作弧，交的延长线于点；④连接，．下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据作图可知是的垂直平分线，易得，即可判断选项A；根据等腰三角形“等边对等角”的性质和三角形内角和定理可解得，再求得，即可证明，结合相似三角形的性质可判断选项B；首先证明，进而可得，即可计算的度数，判断选项C；首先计算，再结合，即可判断选项D． 【详解】解：由题意知，是的垂直平分线， ∴， 故选项A正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 故选项B正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴， 故选项C正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∵， ∴，故选项D错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了尺规作图—作垂线、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，结合题意确定是的垂直平分线是解题关键． 10. 定义：在平面直角坐标系中，我们将抛物线的顶点沿对称轴向它的开口方向平移个单位得到点，则点为抛物线的焦点；将其顶点沿对称轴向它的开口方向的反方向平移个单位得到点，再过点作抛物线对称轴的垂线，则直线为抛物线的准线．例如，抛物线的焦点为，准线为；抛物线的焦点为，准线为．抛物线上任意一点到焦点的距离与其到准线的距离相等． 有下列结论： ①以抛物线上任意一点为圆心且经过其焦点的圆与准线相切； ②抛物线的焦点为，准线为直线； ③若抛物线的焦点和准线间的距离为2，则； ④已知点为抛物线上一点，点，连接，过作轴，垂足为点，则的最小值为1其中正确结论的序号为（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②④ D. ①③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意抛物线上任意一点到焦点的距离与其到准线的距离相等，可判断①正确；根据题目中焦点和准线的定义，进行计算，可判断②正确；根据焦点和准线间的距离为2，可得，进而可求得，可判断③错误；根据抛物线可得点Q在抛物线上，根据题意可得P点和Q点到焦点F的距离与其到准线的距离相等，由于F点和Q点是定点，P点是动点，结合图像可得当P点与Q点重合时，的值最小，最小值为的长，此时的值最小，最小值为的长，即最小值为1，由此可得④正确． 本题为阅读类题，解题关键是弄清材料中各定义的含义，然后结合二次函数的知识进行求解． 【详解】解：由题意知：抛物线上任意一点到焦点的距离与其到准线的距离相等， ∴以抛物线上任意一点为圆心且经过其焦点的圆与准线相切． 故结论①正确； ∵抛物线的，顶点坐标为， ∴， 将向下平移个单位得， ∴抛物线的焦点为， 将向上平移个单位得， ∴准线为直线． 故结论②正确； 由题意得抛物线的焦点和准线间的距离为， 若抛物线的焦点和准线间的距离为2， 则， 解得． 故结论③错误； 由得顶点为，对称轴为，交点为，准线为， 当时，， ∴点在抛物线上， ∵P点在抛物线上， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时的值最小， ∵， ∴当P点与Q点重合时，的值最小，最小值为的长， ∵点在抛物线上， ∴， ∴的最小值． 故结论④正确； 故选：B 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分） 11. 计算的结果为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查同分母分式加减，熟练掌握同分母分式加减法法则是解题的关键． 根据同分母分式减法法则计算，再化简分式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 12. 如图，一副直角三角板按如图所示的方式摆放，其中点C在FD的延长线上，且AB∥FC，则∠CBD的度数为_____． 【答案】15° 【解析】 【分析】先根据平行线的性质得出∠ABD的度数，进而可得出结论． 【详解】∵AB∥CD， ∴∠ABD＝∠EDF＝45°， ∴∠CBD＝∠ABD﹣∠ABC＝45°﹣30°＝15°． 故答案为：15°． 【点睛】此题考查平行线的性质，解题关键在于掌握两直线平行，内错角相等． 13. 如图所示，向内部任意投掷一点P，连接，，若的面积为，的面积为，则的概率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】该题考查了相似三角形的性质和判定，三角形中位线定理，几何概率．根据题意取边的中点，连接，证明，得出，再根据临界位置得出当点在四边形内部（包括边界）时，，即可求解． 【详解】解：取边的中点，连接， 则是的中位线， ∴， ∴， ∴，两个三角形高之比为， ∴， 当点在上时，，即， 故当点在四边形内部（包括边界）时，， 故的概率为． 故答案为：． 14. 甲、乙两车匀速行驶在一条笔直的公路上，某时刻，它们前方路口处红灯即将亮起，乙车经过路口后，红灯恰好亮起，甲车赶到路口时，距离本轮红灯结束还有 ，红灯结束后，甲车继续按原速度行驶，已知红灯总时长为 ，甲乙两车与甲车出发点的距离与行驶时间的图象如图所示，则甲车通过前方路口后，再行驶______s 可与乙车相遇． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查从函数图象获取信息，读懂题意，从图象中获取到有用信息是解题的关键． 根据函数图象，得出甲车从出发点到红灯处距离为，从出发点到等完红灯用时40秒，即可求得甲车的速度为，由图可知：乙车从出发点到红灯处距离为，行驶时间为，即可求得乙车的速度为，再求出甲车等完红灯后，甲乙两车相距的距离为，用距离差除以速度差等于追及的时间可求解． 【详解】解：由图可知：甲车从出发到红灯处距离为，从出发到等完红灯用时40秒，而等红灯用时20秒， 则甲车从出发点到红灯处用时(秒)， ∴甲车的速度为， 由图可知：乙车从出发到红灯处距离为，时间为， ∴乙车的速度为， 甲车等完红灯后，此时甲乙两车相距的距离为， ∴甲车通过前方路口后，乙车相遇要再行驶的时间为：， 故答案为：． 15. 如图，四边形是菱形，是对角线，E是边上的一点，连接，将沿直线翻折，点B的对应点恰好落在的延长线上，若，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、折叠的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和解直角三角形的方法是解题关键．过点作于点，过点作于点，连接，交于点，先解直角三角形求出，，再设，则，，然后证出，则可得，解直角三角形可得，从而可得的值，最后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，连接，交于点， ∵四边形是菱形，，， ∴，，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴，， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题共 10 小题，共 90 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查实数混合运算，二次根式混合运算，熟练掌握负整理指数幂与零指数幂运算法则，特殊角三角函数值是解题的关键． 先计算乘方与开方，并化二次根式和绝对值，再计算乘法，最后计算加减即可． 【详解】解：原式 ． 17. 解不等式组：并写出它的所有正整数解． 【答案】不等式组的解集为．所有正整数解有1，2 【解析】 【详解】 由①，得．由②，得． 不等式组的解集为．所有正整数解有1，2． 18. 如图，四边形是平行四边形，对角线、相交于点O，E，F分别为，的中点，连接，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 先由平行四边形的性质得 ， ，，继而得出，即可由全等三角形的性质得出结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴ ， ，， ∴， ∵E ， F 分别为 ，的中点， ∴ ， 为 和 对应边上的中线． ∴． 19. 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 活动过程 模型抽象 某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形，其示意图如下： 测绘过程与数据信息 ①在水池外取一点E，使得点C，B，E在同一条直线上； ②过点E作，并沿方向前进到点F，用皮尺测得的长为4米； ③在点F处用测角仪测得，，； ④用计算器计算得：，，．，，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）： （1）求线段和的长度： （2）求底座的底面的面积． 【答案】（1）7米；3米 （2）18平方米 【解析】 【分析】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）根据题意得，即可确定长度，再由得出米，即可求解； （2）过点A作于点M，继续利用正切函数确定米，即可求解面积． 【小问1详解】 解：∵，的长为4米，， ∴， ∴米； ∵， ∴米， ∴米； 【小问2详解】 过点A作于点M，如图所示： ∵， ∴， ∵米， ∴米， ∴米， ∴底座的底面的面积为：平方米． 20. 2024年4月24日“中国航天日”的主题是“极目楚天，共襄星汉”，这是自2016年以来的第九个“中国航天日”．为了弘扬航天精神，某校开展了航天知识竞答活动，学校随机抽取了部分学生的成绩进行整理，将成绩（单位：分）分成五组：A．；B．；C．；D．；E．．下面给出部分信息： 组数据为70，71，72，72，72，74，75，76，76，77，77，79． 绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查随机抽取了 名学生； （2）请补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，A组所在扇形的圆心角度数是 ； （4）随机抽取的这部分学生的成绩的中位数是 分； （5）该校要对成绩在E组的学生进行奖励，按成绩从高到低设一、二等奖，并且一、二等奖的人数比例为，请估计该校1500名学生中获得一等奖的学生人数． 【答案】（1） （2）见解析 （3） （4） （5）人 【解析】 【分析】（1）由频数分布直方图可知，组人数为人，由扇形统计图可知，组人数占比为，由此即可求出本次调查随机抽取的学生总人数； （2）由（1）得，本次调查随机抽取的学生总人数为人，由扇形统计图可知，组人数占比为，由此即可求出组人数，进而可补全条形统计图； （3）用乘以组人数占比即可； （4）根据中位数的定义求解即可； （5）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：由频数分布直方图可知：组人数为人， 由扇形统计图可知：组人数占比为， 本次调查随机抽取的学生总人数为： （人）， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由（1）得：本次调查随机抽取的学生总人数为人， 由扇形统计图可知：组人数占比为， 组人数为：（人）， 补全条形统计图如下； 【小问3详解】 解：在扇形统计图中，组所在扇形圆心角为： ， 故答案为：； 【小问4详解】 解：随机抽取了人， 中位数是第名学生和第名学生成绩的平均值， 根据题意，第名学生和第名学生的成绩分别为：，， 中位数， 故答案为：； 【小问5详解】 解：（人）， 估计该校名学生中获得一等奖的学生人数约为人． 【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图信息关联，频数分布直方图，由扇形统计图求总量，求扇形统计图的圆心角，求条形统计图的相关数据，画条形统计图，求中位数，用样本估计总体等知识点，熟练掌握中位数的概念及频数分布直方图和扇形统计图是解题的关键． 21. 如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E． （1）求证：是的切线 （2）若，，则的长 【答案】（1）见解析 （2）6 【解析】 【分析】本题考查了切线判定和性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论，全等三角形的性质和判定，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）连接，如图，根据圆周角定理得到，即，求得，得到，根据切线的判定定理得到答案； （2）根据勾股定理得到，求得，根据切线的性质得到根据勾股定理即可得出结论． 【小问1详解】 证明：连接，如图， 为直径， ，即， 又， ， ， ， 即， 是的半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：连接， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：． 22. 某园艺基地研制了两种不同配方的营养土用于多肉植物的栽培，两种营养土均为每包，其中甲型营养土中颗粒土含量为，乙型营养土中颗粒土含量为．每包乙型营养土中有机质含量是每包甲型营养土中有机质含量的1.5倍． （1）以下是两位工人在种植一株大型植物时的对话： 请根据对话中的信息，求甲、乙两种型号的营养土每包中有机质的含量； （2）某校开展了一次多肉养殖综合实践活动，园艺基地受邀为活动准备营养土，要求配置好的营养土中颗粒土含量不低于，如果用甲乙两种型号的营养土共10包配置这种营养土，同时保证有机质含量最大，应选用甲乙两种营养土各多少包？ 【答案】（1）每包甲型营养土含有机质，每包乙型营养土含有机质 （2）准备甲乙两种型号营养土各5包 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，正确列出分式方程、一次函数的解析式和一元一次不等式是解题的关键． （1）设每包甲型营养土含有机质 ，则每包乙型营养土含有机质，根据每包乙型营养土中有机质含量是每包甲型营养土中有机质含量的1.5倍，列出方程求解即可； （2）设准备甲型营养土m 包，则准备乙型营养土包，根据配置好的营养土中颗粒土含量不低于，列出不等式，求出m取值范围；再设配成营养土中有机质总含量为，根据营养土中有机质总含量=甲种型号营养土中有机质总含量+乙种型号营养土中有机质总含量，列出函数关系式，然后根据函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设每包甲型营养土含有机质 ，则每包乙型营养土含有机质，根据题意可得： ， 解得：， 经检验得，是原方程的解， ． 答：每包甲型营养土含有机质，每包乙型营养土含有机质分 【小问2详解】 解：设准备甲型营养土m 包，则准备乙型营养土包， 根据题意得， 解得：， 设配成营养土中有机质总含量为，根据题意得： ， 整理得：， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当 时， y 值最大，此时， 答：应准备甲乙两种型号营养土各5包． 23. 如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C为线段的中点，将线段直线向右平移m个单位，点B、C的对应点分别为D、E，且D、E均在反比例函数的图象上． （1）求m的值和反比例函数的关系式； （2）连接、，求的面积； （3）若点P是直线下方反比例函数图象上的点，点Q在x轴上，连接，是否存在点P、Q使？若存在，求出符合要求的点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）3 （3） 【解析】 【分析】（1）先根据直线与坐标轴的交点和中点坐标公式，求出，，，再根据平移的坐标变换规律求得点，，然后用待定系数法求反比例函数解析式即可； （2）设直线交x轴于F，先用待定系数法求出直线解析式为，从而求得点，利用求解即可； （3）设点P的坐标为，点Q的坐标为，， ， ，当时，则，代入得求解即可． 【小问1详解】 解：∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， ∴令，则， 令，则， ∴，， ∵点C为线段的中点 ∴， ∵线段直线向右平移m个单位，点B、C的对应点分别为D、E， ∴，， 把，，分别代入，得 ，解得：， ∴m的值为1， 反比例函数的关系式为． 【小问2详解】 解：设直线交x轴于F， 由（1）知：，，， ∴，， 设直线解析式为， 把，分别 代入，得 ，解得：， ∴直线解析式为， 令，则， ∴， ∴， ∴ ． 【小问3详解】 解：由(1)知∶ ，， ∴， ∴ 设点P的坐标为，点Q的坐标为， 由(2)知∶ ， ∴， ， ， 当时，则 ∴ 解得：， ∴点P的坐标为． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数和反比例函数解析式，一次函数图象平移，相似三角形的性质，勾股定理，坐标与图形面积，此题综合性较强，属中考压轴题目． 24. 如图所示，二次函数图象的对称轴为直线，顶点为A，与y轴相交于点B，且经过点，直线l：与y轴交于点D，P为抛物线上对称轴左侧的一点，设P点横坐标为m，连接，过点P作直线轴，与直线l交于点M． （1）求二次函数的表达式； （2）如图 1，过点P作，垂足为Q，连接，当与面积相等时，求m的值； （3）如图 2，当时，连接，直线与相交于点N，连接，求的最小值并直接写出此时m的值． 【答案】（1） （2）或 （3）的最小值为； 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的对称轴为直线，求得，把代入，得，即可求解； （2）过点Q作于G，过点A作于H，当与面积相等时，则，求得，，，然后利用勾股定理求解即可； （3）先用待定系数法求出直线解析式为，从而求得．把把向下移动4个单位，得到，连接，当、N、B三点共线时，最小，最小值为，则最小值为，求出的长即可；再用待定系数法求出直线解析式，把代入求出值即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数图象的对称轴为直线， ∴，解得：， 把代入，得， 解得：， ∴二次函数的表达式为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 设， 过点Q作于G，过点A作于H， 如图1， 当与面积相等时，则， ∴， ∵P为抛物线上对称轴左侧的一点，设P点横坐标为m， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵轴，与直线l交于点M． ∴， ∴，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：，，， ∵P为抛物线上对称轴左侧的一点，设P点横坐标为m， ∴， ∴或． 【小问3详解】 解：把代入，得， ∴， 设直线解析式为，把代入，得 ，解得：， ∴直线解析式为， ∴， ∴， 把代入 ，得， ∴， ∴， 把向下移动4个单位，得到，连接，如图2， 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴当、N、B三点共线时，最小，最小值为， ∴的最小值为2； 设直线解析式为， 把、分别 代入，得 ，解得：， ∴直线解析式为， 把代入，得 ， 解得：． 【点睛】本题考查等定系数法求函数解析式，二次函数的图象性质，勾股定理，一次函数图象性质，直线的平移，两点间线段最短，此题属二次函数综合题目，熟练掌握相关性质是解题的关键． 25. 在初中数学的学习过程当中，我们掌握了许多关于中点的基础知识，比如特殊三角形的中线的性质、倍长中线法构造全等、中位线定理等等，也积累了很多解决中点问题的活动经验，灵活运用这些经验和技能，可以帮助我们解决很多问题． 如图 1，点是正方形的边上的点，以为边，在正方形右侧作正方形，连接，为线段的中点，连接． （1）猜想：图 1 中线段和线段的位置关系为： ，数量关系为： （直接写出结论，无需证明）； （2）以为旋转中心将正方形顺时针旋转，旋转角为，则（1）中结论是否仍然成立？若成立，以图 2 中情形为例证明你的结论；若不成立，说明理由； （3）若正方形的边长为2，正方形的边长为1，则在正方形旋转一周的过程中，当点、点、点三点共线时，直接写出的长． 【答案】（1）； （2）成立，见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）连接，由正方形，，得，，，进而可得，证明，，可得，，，即可得结论； （2）作，与的延长线交于点，连接，，，证明，得，，进而可得，再证明，可得，， ，根据等腰三角形和直角三角形的性质即可得结论； （3）分两种情况：①当在线段上时，②当在线段的延长上时，连接，利用勾股定理及线段和差关系即可得解． 【小问1详解】 解：如图，连接， 正方形，， ，， ， 为线段的中点， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 【小问2详解】 解：成立，理由如下， 如图，作，与的延长线交于点，连接，，， ，， ， ， ，， ， ， 正方形， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，； 【小问3详解】 解：①如图，当在线段上时，连接， 正方形的边长为2， ， ， 中，， 由（1）、（2）知，， ， ； ②如图，当在线段的延长上时，连接， 正方形的边长为2， ， ， 中，， 由（1）、（2）知，， ， ； 综上所述，当点、点、点三点共线时，的长为或． 【点睛】本题考查四边形综合应用，涉及正方形的性质，全等三角形的判断与性质，直角三角形中线性质定理、等腰三角形的性质和判定、勾股定理等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 济南市章丘区 2025 年初中学业水平考试数学模拟试题 （满分150分 时间120分钟） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每个小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 的绝对值是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵 横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 明水古城作为章丘区重点发展旅游项目，凭借文化赋能、业态创新和精准营销，已成为济南市乃至山东省文旅新引擎，2025年春节假期期间，明水古城累计接待游客129200人次，位列济南市重点景区前列，数据129200用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，在 中，，，，与 关于点 O 中心对称，则的长度为（ ） A 12 B. 16 C. 20 D. 25 5. 在剪纸活动中，小花同学想用一张矩形纸片剪出一个正五边形，其中正五边形的一条边与矩形的边重合，如图所示，则的大小为（　　） A. B. C. D. 6. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于x的方程有解，则a的值不可能是（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 8. 圆周率是无限不循环小数．历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对有过深入的研究，某校进行校园文化建设，拟从以上4位数学家的画像中随机选用2幅，则其中至少有一幅是中国数学家的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，．按照如下步骤作图：①分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点；②连接直线，交于点；③以点为圆心，的长为半径作弧，交的延长线于点；④连接，．下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 定义：在平面直角坐标系中，我们将抛物线的顶点沿对称轴向它的开口方向平移个单位得到点，则点为抛物线的焦点；将其顶点沿对称轴向它的开口方向的反方向平移个单位得到点，再过点作抛物线对称轴的垂线，则直线为抛物线的准线．例如，抛物线的焦点为，准线为；抛物线的焦点为，准线为．抛物线上任意一点到焦点的距离与其到准线的距离相等． 有下列结论： ①以抛物线上任意一点为圆心且经过其焦点的圆与准线相切； ②抛物线的焦点为，准线为直线； ③若抛物线的焦点和准线间的距离为2，则； ④已知点为抛物线上一点，点，连接，过作轴，垂足为点，则的最小值为1其中正确结论的序号为（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②④ D. ①③④ 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分） 11. 计算结果为______． 12. 如图，一副直角三角板按如图所示的方式摆放，其中点C在FD的延长线上，且AB∥FC，则∠CBD的度数为_____． 13. 如图所示，向内部任意投掷一点P，连接，，若的面积为，的面积为，则的概率为______． 14. 甲、乙两车匀速行驶在一条笔直的公路上，某时刻，它们前方路口处红灯即将亮起，乙车经过路口后，红灯恰好亮起，甲车赶到路口时，距离本轮红灯结束还有 ，红灯结束后，甲车继续按原速度行驶，已知红灯总时长为 ，甲乙两车与甲车出发点的距离与行驶时间的图象如图所示，则甲车通过前方路口后，再行驶______s 可与乙车相遇． 15. 如图，四边形是菱形，是对角线，E是边上的一点，连接，将沿直线翻折，点B的对应点恰好落在的延长线上，若，，则______． 三、解答题（本题共 10 小题，共 90 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： 17. 解不等式组：并写出它的所有正整数解． 18. 如图，四边形是平行四边形，对角线、相交于点O，E，F分别为，的中点，连接，．求证：． 19. 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 活动过程 模型抽象 某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形，其示意图如下： 测绘过程与数据信息 ①在水池外取一点E，使得点C，B，E在同一条直线上； ②过点E作，并沿方向前进到点F，用皮尺测得的长为4米； ③在点F处用测角仪测得，，； ④用计算器计算得：，，．，，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）： （1）求线段和的长度： （2）求底座的底面的面积． 20. 2024年4月24日“中国航天日”的主题是“极目楚天，共襄星汉”，这是自2016年以来的第九个“中国航天日”．为了弘扬航天精神，某校开展了航天知识竞答活动，学校随机抽取了部分学生的成绩进行整理，将成绩（单位：分）分成五组：A．；B．；C．；D．；E．．下面给出部分信息： 组的数据为70，71，72，72，72，74，75，76，76，77，77，79． 绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查随机抽取了 名学生； （2）请补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，A组所在扇形圆心角度数是 ； （4）随机抽取的这部分学生的成绩的中位数是 分； （5）该校要对成绩在E组的学生进行奖励，按成绩从高到低设一、二等奖，并且一、二等奖的人数比例为，请估计该校1500名学生中获得一等奖的学生人数． 21. 如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E． （1）求证：是的切线 （2）若，，则的长 22. 某园艺基地研制了两种不同配方的营养土用于多肉植物的栽培，两种营养土均为每包，其中甲型营养土中颗粒土含量为，乙型营养土中颗粒土含量为．每包乙型营养土中有机质含量是每包甲型营养土中有机质含量的1.5倍． （1）以下是两位工人在种植一株大型植物时的对话： 请根据对话中的信息，求甲、乙两种型号的营养土每包中有机质的含量； （2）某校开展了一次多肉养殖综合实践活动，园艺基地受邀为活动准备营养土，要求配置好的营养土中颗粒土含量不低于，如果用甲乙两种型号的营养土共10包配置这种营养土，同时保证有机质含量最大，应选用甲乙两种营养土各多少包？ 23. 如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C为线段的中点，将线段直线向右平移m个单位，点B、C的对应点分别为D、E，且D、E均在反比例函数的图象上． （1）求m的值和反比例函数的关系式； （2）连接、，求的面积； （3）若点P是直线下方反比例函数图象上的点，点Q在x轴上，连接，是否存在点P、Q使？若存在，求出符合要求的点P的坐标，若不存在，请说明理由． 24. 如图所示，二次函数图象的对称轴为直线，顶点为A，与y轴相交于点B，且经过点，直线l：与y轴交于点D，P为抛物线上对称轴左侧的一点，设P点横坐标为m，连接，过点P作直线轴，与直线l交于点M． （1）求二次函数的表达式； （2）如图 1，过点P作，垂足为Q，连接，当与面积相等时，求m的值； （3）如图 2，当时，连接，直线与相交于点N，连接，求的最小值并直接写出此时m的值． 25. 在初中数学的学习过程当中，我们掌握了许多关于中点的基础知识，比如特殊三角形的中线的性质、倍长中线法构造全等、中位线定理等等，也积累了很多解决中点问题的活动经验，灵活运用这些经验和技能，可以帮助我们解决很多问题． 如图 1，点是正方形的边上的点，以为边，在正方形右侧作正方形，连接，为线段的中点，连接． （1）猜想：图 1 中线段和线段位置关系为： ，数量关系为： （直接写出结论，无需证明）； （2）以为旋转中心将正方形顺时针旋转，旋转角为，则（1）中结论是否仍然成立？若成立，以图 2 中情形为例证明你结论；若不成立，说明理由； （3）若正方形的边长为2，正方形的边长为1，则在正方形旋转一周的过程中，当点、点、点三点共线时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$