专题03一元一次不等式（组）易错必刷题型专项训练(19大题型共计58道题)2025-2026学年湘教版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦一元一次不等式（组）19类高频易错题型，通过典题特征剖析与易错点精准提炼，构建从概念性质到实际应用的完整解题体系，培养运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念性质|题型1-2|不等式性质（符号变化）、解集求解步骤（去分母/括号）|从不等式基本性质到解集求解，夯实运算基础| |解法技巧|题型3-14|数轴表示（实空心/方向）、整数解/最值判定、绝对值不等式分类讨论|结合数形结合思想，提升符号意识与推理能力| |综合应用|题型15-19|实际问题（经济/分配/阶梯收费）、参数问题（解集反求参数）|从数学建模到方案优化，发展应用意识与创新思维|

专题03一元一次不等式（组）易错必刷题型专项训练 本专题汇总一元一次不等式(组)全章考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.不等式的性质 题型02.求一元一次不等式的解集 题型03.在数轴上表示不等式的解集 题型04.求一元一次不等式的整数解 题型05.求一元一次不等式解的最值 题型06.列一元一次不等式 题型07.一元一次不等式解决实际问题 题型08.一元一次不等式解决几何问题 题型09.求不等式组的解集 题型10.求一元一次不等式组的整数解 题型11.由不等式组的解集求参数 题型12.由不等式组解集的情况求参数 题型13.不等式组和方程组结合的问题 题型14.解|x|a型的不等式 题型15列一元一次不等式组. 题型16.不等式组的经济问题 题型17.不等式组的分配问题 题型18.不等式组的方案选择问题 题型19.不等式组的阶梯收费问题 易错必刷题型01.不等式的性质 典题特征：以选择、判断类题型为主，考查不等式变形（乘除、移项）、不等号方向变化，常结合字母系数、负数参与运算。 易错点：①不等式两边乘/除以负数时，忘记改变不等号方向；②混淆“乘0”与“乘负数”的变形规则，误判不等号方向；③移项时忘记变号，与等式性质混淆。 1．已知，下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的基本性质逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】解：已知，逐一判断选项： A选项，∵不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变， ∴两边同乘，可得，该不等式一定成立，符合题意； B选项，∵不等式两边同时减同一个数，不等号方向不变， ∴两边同减，可得，原不等式不成立，不符合题意； C选项，∵不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变， ∴两边同乘，可得，原不等式不成立，不符合题意； D选项，∵不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变， ∴两边同加，可得，原不等式不成立，不符合题意． 2．已知a＜b，则－4a＋5______－4b＋5（填＞，＜或＝）． 【答案】＞ 【分析】根据不等式的性质，有序计算即可． 【详解】∵ a＜b， ∴ -4a＞-4b， ∴ -4a+5＞-4b+5， 故答案为：＞． 【点睛】本题考查了不等式的性质，正确理解性质是解题的关键． 3．已知为实数且，则下列说法中：，，③，④，⑤，正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】利用不等式性质逐个判断说法，统计正确个数即可得到结果． 【详解】解：已知，逐个判断： ①，不等式两边同乘，不等号方向改变，得，两边同加2，不等号方向不变，得，①正确； ② 举反例，取，满足，此时，，，不满足，②错误； ③ 举反例，取，满足，此时，不满足，③错误； ④ 当时，，不满足，④错误； ⑤对任意实数，，，不等式两边同除以正数，不等号方向不变，得，⑤正确； 综上，正确的说法共2个． 4．已知三个实数满足． (1)证明：． (2)若，且，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据等式的性质得到，代入得到，即； （2）根据等式的性质得到，根据不等式的性质得到，可知的取值范围． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 易错必刷题型02.求一元一次不等式的解集 典题特征：给出含括号、分母、多步运算的一元一次不等式，要求解出解集，常与去分母、去括号、移项、系数化为1等步骤结合。 易错点：①去分母时漏乘不含分母的常数项；②去括号时，括号前是负号，括号内各项未全部变号；③系数化为1时，除以负数未改变不等号方向；④最终解集未化为最简形式 5．下列说法错误的是（    ） A．是不等式的一个解 B．是不等式的一个解 C．不等式的解集是 D．不等式的解有无数个 【答案】C 【详解】解：∵把代入不等式，得，成立，∴是不等式的一个解，A说法正确，不符合题意； ∵把代入不等式，得，成立，∴是不等式的一个解，B说法正确，不符合题意； ∵解不等式，两边同除以3，不等号方向不变，得解集为，不是，∴C说法错误，符合题意； ∵不等式包含所有小于6的数，因此解有无数个，∴D说法正确，不符合题意． 6．对于x，y定义一种新运算“*”：，等式右边是通常的减法和乘法运算，如，那么的解集是____． 【答案】 【分析】根据新运算的定义，将所求新运算转化为常规的一元一次不等式，再求解一元一次不等式的解集即可． 【详解】解：由题意得，， ∴ ∴ ∴． 7．解不等式：． 【答案】 【详解】解： x． 易错必刷题型03.在数轴上表示不等式的解集 典题特征：给出不等式的解集或不等式本身，要求在数轴上表示，常考查实心/空心点、方向的判断。 易错点：①混淆“≥/≤”与“>/<”对应的实心点、空心点；②数轴上解集方向画反；③端点位置标注错误，或漏画数轴箭头。 8．已知关于的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则的值可以是（  ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【详解】解：∵关于的不等式的解集为， ∴， ∴， ∴的值可以是． 9．一个不等式的解集是，在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用数轴表示不等式的解集，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据用数轴表示不等式的解集的方法解答即可． 【详解】解：一个不等式的解集是，在数轴上表示为： ， 故选：B． 10．解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【分析】根据解不等式的基本步骤求解即可； 【详解】解：去分母，得， 移项、合并同类项，得， 系数化成1，得， 不等式的解集在数轴上表示如图所示． 易错必刷题型04.求一元一次不等式的整数解 典题特征：先解一元一次不等式，再求其整数解、正整数解、非负整数解等，常结合简单不等式运算。 易错点：①解不等式时出错，导致解集错误，进而整数解全错；②漏看“正整数/非负整数”等限定条件，多解或漏解；③解集为小数时，错误包含端点值 11．不等式的最大整数解是（     ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】先解一元一次不等式得到解集，再在解集中找出满足条件的最大整数即可． 【详解】解：移项可得， 合并同类项得， 系数化为得， ∵小于等于的最大整数是 ∴不等式的最大整数解是． 12．如图，要使输出值大于100，则输入的最小正整数是___________． 【答案】21 【分析】设输入的值为，当为偶数，；当为奇数，，即可得到答案． 【详解】解：设输入的值为， 当为偶数，，解得， 当为奇数，，解得， 则输入的最小正整数是． 13．对于有理数，定义一种新运算：． 例：． (1)计算：___________； (2)若，求的值； (3)若，则的正整数解为___________． 【答案】(1)2 (2) (3)1或2 【分析】（1）根据题意，直接计算即可； （2）根据题意，得出方程，求解即可； （3）根据题意，得出不等式，解出，由正整数解即可得出结果． 【详解】（1）解：根据题意； （2）解：∵， 则， 解得； （3）解：∵， 若， 则， ∴得， ∴的正整数解为或． 易错必刷题型05.求一元一次不等式解的最值 典题特征：给出含限定条件的一元一次不等式，求解的最大值、最小值，常与实际问题结合。 易错点：①未注意“x为整数”的条件，直接用解集端点作为最值；②不等式变形错误，导致解集方向颠倒，最值判断相反；③混淆“最大值”与“最小值”的求解逻辑。 14．不等式的最大整数解是__________． 【答案】4 【分析】求出不等式的解集，即可得出答案． 【详解】解：不等式两边同时乘以6得：，即 解得 故该不等式的最大整数解是4 故答案为：4 【点睛】本题考查了解一元一次不等式和不等式的整数解等知识点，能求出不等式的解集是解此题的关键． 15．已知两个实数a、b，满足，且、，则的最小值是（   ） A． B．0 C． D．1 【答案】A 【分析】本题先根据已知条件用a表示b，结合a、b的非负性求出a的取值范围，，利用不等式的性质求最小值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 将代入得， ∴， ∴， ∴当时，取得最小值，最小值为． 16．定义一种新运算：，例如：．根据上述定义， (1)若，求及其平方根． (2)的计算结果落在如图所示的范围内，求的最小整数值． 【答案】(1)， (2)4 【分析】（1）由新定义，按法则计算得到，再由平方根定义求解即可得到答案； （2）由新定义及数轴得到，再按法则计算得到，解不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴，解得，则； （2）解：由题意得， ∴，即，解得， ∴最小整数值为4． 【点睛】本题考查新定义运算，涉及解方程、平方根定义、解不等式及求不等式的整式解等知识，理解新定义运算，熟记平方根定义及解不等式的方法是解决问题的关键． 易错必刷题型06.列一元一次不等式 典题特征：根据文字描述、数量关系列一元一次不等式，常涉及“不超过、不少于、至少、至多、不大于、不小于”等关键词。 易错点：①对关键词理解错误；②未理清题目中的数量关系，列错不等式；③漏写未知数的实际意义 17．语句“x的3倍与7的一半的差是非正数”可以用不等关系表示为________． 【答案】 【分析】本题考查的是列不等式，解答本题的关键是读懂题意，找出量与量之间的关系，正确列出不等式．直接根据题意列不等式即可． 【详解】由题意得，． 故答案为：． 18．海口2026年（第七届）万人健步活动已于4月19日顺利举行．此次活动以“建功自贸港劳动筑梦想”为主题，行程首次解锁长影奇幻乐园内部道路，全程．王老师沿活动路线先以60米/分的平均速度行走了1小时，路过某景点后，加快了速度．若王老师走完全程的时间少于140分钟，则他后半程的平均速度x（米/分）满足的不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先统一单位，再根据“走完全程的时间少于140分钟”确定不等关系，结合路程=速度×时间即可列出不等式． 【详解】解：全程米． ∵王老师先以60米/分的速度行走1小时，1小时分钟， ∴前60分钟行走的路程为米． ∵走完全程的时间少于140分钟， ∴后半段实际用时小于分钟，后半段路程， 因此可得不等式． 19．用不等式表示下列不等关系，写出解集并在数轴上表示解集： (1)x的3倍大于1； (2)x与3的和不小于7； (3)y的小于或等于； (4)y的2倍小于y与1的差． 【答案】(1)，，数轴见解析 (2)，，数轴见解析 (3)，，数轴见解析 (4)，，数轴见解析 【分析】本题考查了列不等式，求不等式的解集，在数轴上表示不等式的解集等知识，熟练掌握相关知识为解题关键． （1）根据题意列出不等式解答，将解析表示在数轴上即可． （2）根据题意列出不等式解答，将解析表示在数轴上即可； （3）根据题意列出不等式解答，将解析表示在数轴上即可； （4）根据题意列出不等式解答，将解析表示在数轴上即可． 【详解】（1）解：x的3倍大于1不等式表示为：， 解得：， 在数轴上表示为： （2）x与3的和不小于7用不等式表示为：， 解得：， 在数轴上表示为： （3）y的小于或等于用不等式表示为：， 解得：， 在数轴上表示为： （4）y的2倍小于y与1的差用不等式表示为：， 解得：， 在数轴上表示为： 易错必刷题型07.一元一次不等式解决实际问题 典题特征：以生活场景（购物、行程、工程等）为背景，列一元一次不等式求解，常涉及“最多/最少”的实际应用。 易错点：①设未知数时带单位，或列不等式时单位不统一；②忽略未知数的实际取值范围；③解出结果后未结合实际意义检验，导致不符合题意的解。 20．某高速公路工地需要实施爆破，操作人员点燃导火线后，要在炸药爆炸前跑到以外的安全区域，已知导火线的燃烧速度是，人跑步的速度是．导火线必须超过______才能保证操作人员的安全． 【答案】64 【分析】因为要保证操作人员安全，所以需先计算人跑到400米安全区域所需的时间，可利用公式（其中为时间，为路程，为速度）．因为导火线燃烧时间要大于人跑到安全区域的时间，所以可根据导火线燃烧速度，利用公式计算导火线的最小长度． 【详解】解：设导火线长度为，保证安全的核心条件：导火线燃烧时间 > 人跑到安全区域的时间． 导火线燃烧速度为，燃烧时间为； 人需要跑，跑步速度为，跑到安全区的时间为． ∴ ， 解得， 因此导火线必须超过． 21．某景区门票的定价为a元/张（），有两种团购优惠方案，方案一：享受1人免票，其余人八折优惠；方案二：所有人享受七折优惠，小明了解了优惠方案后，发现采用方案一购票比方案二省钱，则小明一行人的人数最多为（   ） A．6人 B．7人 C．8人 D．9人 【答案】B 【分析】设小明一行的人数为x，分别表示出两种方案的购票总费用，根据“方案一比方案二省钱”列出一元一次不等式，求解后取最大正整数即可得到结果，用到一元一次不等式的解法． 【详解】解：设小明一行人共有人，为正整数， 根据题意，方案一的总费用为，方案二的总费用为， ∵方案一比方案二省钱，且， ∴ ， 两边同除以得，， 展开得，， 移项合并得，， 解得， ∵是正整数， ∴的最大值为，即小明一行人的人数最多为7人． 22．某单位在5月份期间组织部分员工到某地旅游，现在联系了甲、乙两家旅行社，两家旅行社报价均为4000元/人，两家旅行社同时都对10人以上的团体推出了优惠措施：甲旅行社对每位游客七五折优惠；而乙旅行社是免去一位游客的费用，其余游客按八折优惠． (1)若设参加旅游的员工共有（）人，则甲旅行社的费用为_____元，乙旅行社的费用为______元；（用含的代数式表示并化简） (2)在（1）的条件下，该单位选择哪一家旅行社比较优惠？并说明理由． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】（1）按照各自的优惠方案列出代数式解答即可； （2）分三种情况，列出不等式与方程解答即可． 【详解】（1）解：由题意可得：甲旅行社的费用为元； 乙旅行社的费用为元； （2）解：当甲、乙两家旅行社费用相同时， ， 解得：， 当甲旅行社的费用大于乙旅行社的费用时， ， 解得：， 当甲旅行社的费用小于乙旅行社的费用时， ， 解得：， 综上：当参加旅游的人数时，选择乙旅行社比较优惠，当时，选择甲、乙旅行社均可，当时，选择甲旅行社比较优惠． 易错必刷题型08.一元一次不等式解决几何问题 典题特征：结合三角形三边关系、角度和差、线段长度等几何背景，列一元一次不等式求解，常涉及边长范围、角度范围的判断。 易错点：①混淆三角形三边关系②未考虑几何图形的隐含条件（如角度大于0°，边长为正数）；③列不等式时漏写几何关系的限定条件。 23．用一段长为30m的篱笆围成一个靠墙的矩形菜园，墙的长度为，设垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的一边长为多少（用含x的代数式表示）． 【答案】平行于墙的一边长为，且． 【分析】本题主要考查了用代数式表示， 用总长度减去垂直于墙的两边长，再求出自变量的取值范围，可得答案． 【详解】解：平行于墙的一边长为，且， 解得， 所以平行于墙的一边长为，且． 24．甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），甲、乙的面积分别． (1)求，并比较与的大小．（写出比较大小的过程） (2)若满足条件的整数n有且仅有4个，求m的值为多少？ 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了多项式乘以多项式与几何图形，理解题意是解决本题的关键． （1）先分别计算出面积，作差与0比较大小即可； （2）根据整数n有且只有4个，列出不等式，根据m为正整数求得m的值． 【详解】（1）解：依题意可得：， ， ∴ ． ∵m为正整数， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，的整数n有且仅有4个 ∴这四个整数解为：22，23，24，25， ∴， 解得：， ∵m为正整数， ∴． 25．如图，在中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度运动，到达点时停止．设点运动的时间为秒． (1)点整个运动过程中，共需____秒； (2)当的面积为时，求的值； (3)当的面积大于时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)当或时，的面积为 (3)当时，的面积大于 【分析】（1）根据，，可以求出点运动的路程，根据点运动速度即可求出需要的时间； （2）当点在上运动时，，则有，根据三角形的面积公式可得，解方程即可求出的值；当点在上运动时，，则有，根据三角形的面积公式可得，解方程即可求出的值； （3）当点在上运动时，可得，当点在上运动时，可得，解不等式即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：在中，，，， ， 点的运动速度为个单位长度每秒， 点整个运动过程中，共需秒； （2）解：当点在上运动时，， 则有， ， 解得：； 当点在上运动时，， 则有， ， 解得：； 综上所述，当或时，的面积为； （3）解：当点在上运动时，， 则有， ， 解得：， 当点在上运动时，， 则有， ， 解得：， 当时，的面积大于． 易错必刷题型09.求不等式组的解集 典题特征：给出两个或多个一元一次不等式组成的不等式组，求其公共解集，常结合“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了”的口诀。 易错点：①解单个不等式时出错，导致后续解集公共部分错误；②对“大小小大中间找、大大小小无解了”的口诀理解错误，误判解集；③求公共解集时漏写边界值，或错误合并解集。 26．不等式组的解集是______． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，掌握一元一次不等式组的解法是解题关键． 先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）即可． 【详解】解：解不等式组： 解不等式，得：， 所以不等式组的解集为． 故答案为：． 27．若不等式组无解，则m（    ） A．最大值是4 B．最小值是4 C．最大值是 D．最小值是 【答案】A 【分析】先求解第一个不等式得到x的范围，再根据一元一次不等式组无解的条件列出关于m的不等式，求解得到m的取值范围，即可得到结论． 【详解】解：解第一个不等式得， 原不等式组化为 ∵不等式组无解， ∴ 解得 ∴ m的最大值是4． 28．解下列不等式组：． 【答案】 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，然后求解即可． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为：． 易错必刷题型10.求一元一次不等式组的整数解 典题特征：先解不等式组，再求其整数解、正整数解等，常结合多个不等式的公共解集。 易错点：①解不等式组时出错，导致公共解集错误；②未结合限定条件（如“正整数解”），多解或漏解；③公共解集为区间时，错误包含端点值 29．满足不等式的所有整数解是________． 【答案】，0，1，2 【分析】根据不等式性质对该不等式组求解，得出解集后，取整数解即可． 【详解】解：， ， ， 整数解为，0，1，2． 30．不等式组的正整数解的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】A 【分析】本题考查解一元一次不等式组及其整数解，先分别解两个不等式，求出解集的公共部分，再确定其中的正整数解的个数即可． 【详解】解：解不等式： 展开得： 移项合并同类项： 解得：； 解不等式： 移项得： 两边乘以，得 ∴不等式组的解集为， 则正整数解为 即不等式组的正整数解的个数为1个， 故选：A． 31．解不等式组，并写出不等式组的整数解． 【答案】；整数解为3，4 【分析】先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后找出其中的整数解即可． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：． ∴不等式组的解集为：． ∴不等式组的整数解为：3，4． 易错必刷题型11.由不等式组的解集求参数 典题特征：已知含参数的不等式组的解集，求参数的取值范围，常结合不等式组的解集规则。 易错点：①忽略参数在不等式变形中的符号影响（如参数为负数时，不等号方向变化）；②未考虑参数的临界值（如解集包含等号时，参数是否可取等号）；③多个参数时，未理清参数之间的关系，导致范围判断错误。 32．不等式组的解集是，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】此题考查的是含参数的一元一次不等式组，掌握解集的取法：“同大取大”是解决此题的关键． 根据解集的取法：“同大取大”即可列出关于m的不等式，从而求出结论． 【详解】解：， 解不等式①得： ， ∵不等式组的解集是， ∴， 解得：． 故答案为： 33．若不等式组的解集是，则的值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】先将a，b当作已知数，分别解两个不等式得到含参数的解集，再和已知解集对比求出a，b的值，最后代入代数式计算即可． 【详解】解：解不等式得 解不等式得 ∴不等式组的解集为 ∵不等式组的已知解集为 ∴， 解得， ∴ 34．若关于x的不等式组 只有4个整数解，求a的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查根据不等式组的解集的情况，求参数的范围，先求出两个不等式的解集，根据不等式组只有4个整数解，得到关于的不等式组，进行求解即可． 【详解】解： 由①，得：． 由②，得：． ∵不等式组只有4个整数解， ∴整数解为7，8，9，10， ∴． 解得 ， ∴a的取值范围是 易错必刷题型12.由不等式组解集的情况求参数 典题特征：已知含参数的不等式组有解、无解、有整数解等情况，求参数的取值范围，常涉及分类讨论。 易错点：①未分类讨论参数的正负情况，直接套用口诀；②忽略临界值的取舍（如不等式组无解时，参数是否可取等号）；③对“有解/无解”的条件理解错误，导致参数范围颠倒。 35．若不等式组无解，则m的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：∵不等式组无解， ∴， 解得． 故m的取值范围是． 36．已知关于的不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等组的解集为得出，进而解不等式，求得的范围，即可求解． 【详解】解：解关于的不等式，得， 因为不等式组的解集是， 所以， 解得． 37．如果两个不等式（组）的整数解存在且相同，则称它们是“整数同解”的． 例如：不等式的解集为，其所有整数解为大于等于2的全体整数，不等式组的解集为，其所有整数解也为大于等于2的全体整数，因此不等式与不等式组是“整数同解”的． (1)下列不等式（组）中与是“整数同解”的是______（填写正确结论的序号）； ①，②，③ (2)已知关于x的不等式组与是“整数同解”的，请求出a的取值范围． 【答案】(1)②③ (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式（组），理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义解答，即可求解； （2）分别求出两个不等式组的解集，再结合新定义得到关于a的不等式组，即可求解； 【详解】（1）解：，解得：， ∴不等式的所有整数解为大于等于2的全体整数， ①，解得：，其所有整数解为大于等于5的全体整数，不符合题意； ②，解得：，其所有整数解为大于等于2的全体整数，符合题意； ③，解得：，其所有整数解为大于等于2的全体整数，符合题意； 故答案为：②③ （2）解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴原不等式组的解集为， ∴其所有整数解为， ， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴原不等式组的解集为， ∵不等式组与是“整数同解”的， ∴不等式组的所有整数解为， ∴， 解得： 易错必刷题型13.不等式组和方程组结合的问题 典题特征：先解二元一次方程组，再将解代入不等式组，求参数的取值范围，常涉及方程组的解的限定条件。 易错点：①解方程组时出错，导致后续代入不等式组的解错误；②代入不等式组时，未注意未知数的符号，变形错误；③未结合方程组解的实际意义（如解为正数、非负数），漏写限定条件。 38．已知方程组的解x、y都是负数，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】将不等式组中的x，y用含有a的式子表示出来，根据题意解得的x、y都是负数，可知，解出参数即可． 【详解】解：解方程组得； ∵方程组的解x、y都是负数， 即， ∴， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解法和求一元一次不等式组的解集，解题的关键是根据运算可将x、y化为关于a的式子，然后计算出a的取值． 39．已知方程组的解x为正数，y为非负数，给出下列结论： ①当时，方程组的解也是方程的解；           ②当时，； ③；                                              ④若，则． 其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法和一元一次不等式的解法，正确解出方程组是解题的关键，注意方程与不等式的综合运用．用加减法解出方程组，根据x为正数，y为非负数，得出，求出，然后对各个选项进行判断即可． 【详解】解：， 得，， 得，， ∵x为正数，y为非负数， ∴， 解得：，故③不正确； ②当时，， 解得：，故②正确； ③时，方程组的解为：， 把，代入方程成立，故①正确； ④时，， 解得：， 又∵， ∴， ∴此时， 即，故④不正确； 综上分析可知：正确的有①②． 故选：A． 40．已知关于x，y的二元一次方程组 (1)若，求的取值范围； (2)若x，y都是负数，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）①②得，即，根据，列出不等式，解不等式，即可求解； （2）解二元一次方程组得出，根据x，y都是负数，列出不等式组，求不等式组的解集，即可求解． 【详解】（1）解：， 由①②得，所以， 因为，所以，解得； （2）解：， 解得， 因为x，y都是负数， 所以， 解得． 易错必刷题型14.解|x|a型的不等式 典题特征：解含绝对值的一元一次不等式，常涉及“|x|≥a（a>0）”“|x|≤a（a>0）”两种类型，求解集。 易错点：①对绝对值的几何意义理解错误，误将“|x|≥a”的解集写成“x≥a”；②忽略a=0或a<0的特殊情况，导致解集不完整；③解不等式时，漏写绝对值的正负两种情况。 41．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了绝对值的性质，利用“一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数为非正数”这一性质列不等式求解x的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴， 移项得 两边同时除以3，得． 故选：C． 42．阅读：我们知道，于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法： 解：①当，即时，，解得，所以； ②当，即时，，解得，所以． 所以原不等式的解集为． 根据以上思想，不等式的解集是____________． 【答案】 【分析】仿照示例，首先进行分类讨论，去掉绝对值符号，再解不等式，得到解集 【详解】解：， 当时，， ∴，解得， ∴； 当时，， ∴，解得， ∴， ∴原不等式的解集为． 43．先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题．①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有小于的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或．②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有大于且小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为． (1)的解集为______； (2)解不等式； (3)解不等式． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了绝对值的意义，不等式组的解集，加减消元法解二元一次方程组等知识．理解题意是解题的关键． （1）根据题意求解集即可； （2）根据题意解不等式即可； （3）根据题意解不等式即可． 【详解】（1）解：由题意知，的解集为， 故答案为：； （2）解：由题意得不等式可化为， 解得； （3）解：不等式可化为或， 解得或． 易错必刷题型15列一元一次不等式组. 典题特征：根据文字描述、多个数量关系，列一元一次不等式组，常涉及两个或多个限定条件。 易错点：①未理清题目中的所有限定条件，漏列不等式；②对关键词理解错误，导致单个不等式列错；③未知数的实际意义与不等式组的限定条件矛盾 44．如图，一个运算程序，若需要经过两次运算才能输出结果，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列不等式组以及解不等式组，根据需要经过两次运算才能输出结果，列出不等式组，再解出该不等式组的解集，即可作答． 【详解】解：依题意，， 由得； 由得，解得， ∴不等式组的解集为， 故选：D 45．“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，设购买篮球x个，则购买排球个，根据购买资金不超过3600元、购买篮球的数量不少于排球数量的一半，即可得出关于x的一元一次不等式组． 【详解】解：设购买篮球x个，则购买排球个， 由题意得， 故选：C． 46．我们规定：表示这三个数的平均数，表示这三个数中最小的数．例如：，； ，． (1)_______； (2)若，求的取值范围________； (3)若，求的值． 【答案】(1)c或-3； (2)； (3) 【分析】（1）根据公式求三个数中的最小的数即可； （2）根据公式得到，解不等式组即可； （3）根据公式得到，对于分三种情况：①当x=2时，②当x<2时，当x>2时，比较三者的大小得到方程计算解答． 【详解】（1）解：当时，c， 当c>-3时，-3， 故答案为c或-3； （2）∵， ∴， 解得； 故答案为： （3）， 对于： ①当x=2时，x+2=4，x=4，=4， ∴2-x=4，解得x=-2（舍去）； ②当x<2时，2x<x+2，且2x<4，=2x， ∴2-x=2x，解得； 当x>2时，x+2>4，2x>4，=4， ∴2-x=4，解得x=-2（舍去）； 综上，． 【点睛】此题考查了不等式的性质，解不等式组，分类讨论思想的应用是解题的关键． 易错必刷题型16.不等式组的经济问题 典题特征：以购物、销售、采购等经济场景为背景，列不等式组求解，常涉及成本、利润、预算等多个条件，求最优方案。 易错点：①未理清成本、售价、利润之间的关系，列错不等式；②忽略未知数的实际取值范围；③求最优方案时，未结合利润公式判断最大值/最小值，直接取边界值。 47．为了响应“足球进校园”的号召，育才中学开设了“足球大课间活动”，为此学校准备购买A，B两种品牌的足球共40个，已知A品牌足球每个80元，B品牌足球每个60元，其中购买A品牌足球的数量不少于B品牌足球数量，且总费用不超过2900元．设购买A品牌足球的数量为x，列出关于x的不等式组并求出x的取值范围． 【答案】，． 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，设购买A品牌足球的数量为x，则购买品牌足球的数量为个，根据题意列出不等组，求解即可，掌握一元一次不等式组的应用是解题的关键． 【详解】解：设购买A品牌足球的数量为x，则购买品牌足球的数量为个，依题意得： ， 解得：， ∴的取值范围为． 48．剪纸是我国著名的非物质文化遗产，学校准备购进两种样式的剪纸用于课外拓展课，A种剪纸每幅10元、B种剪纸每幅8元，计划购进两种类型剪纸共100幅，购买预算不超过900元，且购进的B种剪纸数量不大于A种剪纸数量的2倍，则至少购进A种剪纸多少幅？ 【答案】34幅 【分析】设购进种剪纸幅，则购进种剪纸幅，根据“购买预算不超过900元，且购进的B种剪纸数量不大于A种剪纸数量的2倍”列不等式组求解即可． 【详解】解：设购进种剪纸幅，则购进种剪纸幅， ， 由①得，， 由②得，， 不等式组解集为， 为整数， ， ∴最小整数解为， 答：至少购进A种剪纸34幅． 49．某社区开展“垃圾分类”入户宣传活动，需要准备两种宣传物资：A物资（宣传折页）每份成本1.5元，B物资（定制垃圾袋）每份成本3元．已知本次活动共需准备200份物资，为了达到更好的宣传效果，要求B物资的数量不低于A物资数量的一半． (1)若同时采购A、B两种物资刚好花了450元，请问A物资和B物资各买了多少份？ (2)为控制预算，A物资和B物资共花费的成本不超过420元，在满足所有条件的情况下，A物资最多可以买多少份？ 【答案】(1)A物资买了100份，B物资买了100份； (2)133 【分析】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式组的应用，根据关系列出等式和不等式即可； （1）设A物资买了份，B物资买了份；列出方程，求解即可；             （2）设A物资买了份，B物资买了份；列出不等式，再根据B物资的数量不低于A物资数量的一半，列出不等式即可，求解即可. 【详解】（1）解：设A物资买了份，B物资买了份； ， 解得：， B物资：， 答：A物资买了100份，B物资买了100份； （2）设A物资买了份，B物资买了份； ， 解得：， ∵B物资的数量不低于A物资数量的一半， ∴，   解得：， ∴， ∴A物资最多可以买133份. 易错必刷题型17.不等式组的分配问题 典题特征：以物品分配、人员安排为背景，列不等式组求解，常涉及“每人分多少、剩余多少、不足多少”的数量关系。 易错点：①对“剩余/不足”的数量关系理解错误，列错不等式；②未考虑分配对象的整数性，漏写未知数为正整数的条件；③多个分配条件时，漏列其中一个不等式。 50．春雨中学九年级（1）班和九年级（2）班的同学外出参观，将两班的所有学生分成8组，如果每组人数比预定每组人数多1人，那么学生总数将超过100人；如果每组人数比预定每组人数少1人，那么学生总数将不到90人．则预定每组学生有___________人． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，根据题意列出不等式组是解题的关键． 设预定每组分配人，根据两班的所有学生分成8组，如果每组人数比预定每组人数多1人，那么学生总数将超过100人；如果每组人数比预定每组人数少1人，那么学生总数将不到90人，列出不等式方程组求解即可． 【详解】解：设预定每组分配人，根据题意可得： 解得： ∵为整数， ∴， 故答案为：． 51．养殖场计划用甲乙两种原料配制饲料，已知每千克甲原料含营养物质为200克；每千克乙原料含营养物质为300克．如果要求配好的饲料每千克中含营养物质不低于240克、不高于245克．求配制每千克饲料需要甲原料的重量范围． 【答案】配制每千克饲料需要甲原料的重量范围为大于等于千克，且小于等于千克 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，设配制每千克饲料需要甲原料x千克，则需要乙原料千克，根据配好的饲料每千克中含营养物质不低于240克、不高于245克建立不等式组求解即可． 【详解】解：设配制每千克饲料需要甲原料x千克，则需要乙原料千克， 由题意得，， 解得， 答：配制每千克饲料需要甲原料的重量范围为大于等于千克，且小于等于千克． 52．为筹备元旦联欢会，张老师想在网上商城购买巧克力分发给全班同学．他购买了5包颗数相同的巧克力，计划每人分20颗，这样会剩余80颗．后来因为网店存货不足，所以少买了2包，于是改成每人分14颗，当分到最后一名同学时，发现只有这名同学拿不到14颗，但是至少拿到7颗．全班至少有多少人？至多有多少人？ 【答案】全班至少有25人，至多有27人 【分析】本题考查的是二元一次方程与不等式组的应用，设全班有人，每包有颗巧克力，根据题意，得，再进一步解题即可． 【详解】解：设全班有人，每包有颗巧克力，根据题意，得 由①得：， 将代入②，得， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵是正整数， ∴全班至少有25人，至多有27人． 易错必刷题型18.不等式组的方案选择问题 典题特征：结合实际场景，列不等式组求所有整数解，进而确定可行方案，常涉及多种组合的判断。 易错点：①解不等式组时出错，导致整数解错误；②未结合实际意义筛选整数解，多列不符合题意的方案；③方案列举时重复或遗漏，未按顺序枚举。 53．高尔基说：“书籍是人类进步的阶梯”．为提高学生的阅读水平，某中学购买了“科普类”和“文学类”两种书籍，其中“科普类”图书的单价比“文学类”图书的单价多4元，购买30本“科普类”图书和40本“文学类”图书共花费1240元． (1)求这两种图书的单价分别是多少元？ (2)学校决定再次购买这两种图书共100本，总费用超过1790元但不超过1800元，则学校有哪几种购买方案． 【答案】(1)“科普类”图书的单价为20元，“文学类”图书的单价为16元 (2)①购买“科普类”图书48本，“文学类”图书52本；②购买“科普类”图书49本，“文学类”图书51本；③购买“科普类”图书50本，“文学类”图书50本 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及不等式组的应用，找准数量关系，正确列出一元一次方程和一元一次不等式是解题的关键． （1）设“科普类”图书的单价为x元，则“文学类”图书的单价为元，根据共花费1240元，即可得出关于x的方程，解之即可得出结论； （2）设“文学类”书购a本，根据总价单价数量，结合总费用超过1790元且不超过1800元，列出不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：设“科普类”图书的单价为x元，则“文学类”图书的单价为元，                         由题意得：， 解得：， 则，                        答：“科普类”图书的单价为20元，则“文学类”图书的单价为16元； （2）解：设“文学类”书购买a本，则“科普类”书购买本， 依题意得：， 解得：． 因为a是正整数，所以． ∴学校有3种购买方案：                         ①购买“科普类”图书48本，“文学类”图书52本； ②购买“科普类”图书49本，“文学类”图书51本； ③购买“科普类”图书50本，“文学类”图书50本． 54．某服装店老板到厂家购进，两种型号的服装，购进型号服装的数量要比购进型号服装的数量的倍还多件，且型号服装最多可购进件． (1)求型号服装最多可以购进多少件． (2)若销售一件型号服装可获利元，销售一件型号服装可获利元，要求这批服装全部售出后总的获利不少于元，问有几种进货方案？如何进货？ 【答案】(1) 型号服装最多可以购进件 (2) 有种进货方案；方案一：购进型号服装件，型号服装件；方案二：购进型号服装件，型号服装件 【分析】（1）根据型号服装数量与型号的关系以及型号的最大购进数量列出一元一次不等式，求解即可得到型号的最大购进数量； （2）根据获利要求列出一元一次不等式，结合第一问得到的型号数量的范围，根据服装数量为正整数得到所有符合条件的进货方案． 【详解】（1）解：设购进型号服装件，则购进型号服装件， 由题意得：， 解得； 答：型号服装最多可以购进件． （2）解：这批服装全部售出后总的获利不少于元， ， 展开整理得：， 解得， 由（1）得， ， 为正整数， 或； 当时，； 当时，． 答： 有种进货方案；方案一：购进型号服装件，型号服装件；方案二：购进型号服装件，型号服装件． 55．某茶叶经销商计划购进甲、乙两种茶叶共80件，若甲种茶叶进价为每件120元，乙种茶叶进价为每件100元．已知3件甲种茶叶和2件乙种茶叶的售价共900元；1件甲种茶叶和4件乙种茶叶的售价共800元． (1)求甲、乙两种茶叶每件的售价分别是多少元？ (2)该经销商计划用不超过9250元购进甲、乙两种茶叶，且甲种茶叶的件数不少于乙种茶叶件数的3倍，则有哪几种进货方案？ (3)该经销商为尽快回笼资金，采取如下优惠活动：甲种茶叶售价下调元，乙种茶叶售价不变．若甲、乙两种茶叶的进价不变，并且无论如何进货，这80件茶叶销售总利润保持不变，求的值． 【答案】(1)甲种茶叶每件的售价是元，乙种茶叶每件的售价是元 (2)共有种进货方案 (3) 【分析】（1）设甲种茶叶每件的售价是元，乙种茶叶每件的售价是元，根据题意列方程组即可求解； （2）设甲种茶叶进货件，乙种茶叶进货件，根据题意列出一元一次不等式组，即可求解； （3）设甲种茶叶进货件，乙种茶叶进货件，先分别求出甲、乙单件的利润，再求出总利润，根据“无论如何进货，销售总利润保持不变”，即可求解． 【详解】（1）解：设甲种茶叶每件的售价是元，乙种茶叶每件的售价是元， 依题意得：， 解得：， 甲种茶叶每件的售价是元，乙种茶叶每件的售价是元； （2）解：设甲种茶叶进货件，乙种茶叶进货件， 根据题意得：， 解得：， 又是整数， 可以取：、、， 共有种进货方案； （3）解：设甲种茶叶进货件，乙种茶叶进货件， 甲种茶叶单件的利润为：， 乙种茶叶单件的利润为：， 总利润为：， 无论如何进货，这件茶叶销售总利润保持不变， ， 解得：． 易错必刷题型19.不等式组的阶梯收费问题 典题特征：以水电、通讯、打车等阶梯收费场景为背景，列不等式组求解，常涉及分段计费的数量关系。 易错点：①未理清阶梯收费的分段标准，列错不等式；②忽略各阶梯的收费区间，误将跨区间的费用按单一标准计算；③解出结果后，未结合阶梯收费的分段规则检验，导致结果不符合题意。 56．某市地铁票收费标准如下：不超过63元；超过6到12（含）4元；超过12到22（含）5元；超过22到32（含）6元；超过32部分，每增加1元可再乘坐20．一位乘客单次乘坐地铁购票花费了9元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示x的范围________． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的应用，根据收费标准，超过32部分，每增加1元可再乘坐20，从而得出8元和9元最多乘坐的里程，进而得到x的范围即可． 【详解】解：由题意，7元可以最多乘坐：； 8元可以最多乘坐：； 9元可以最多乘坐：； ∴； 故答案为：． 57．某市出租车起步价是8元（及以内为起步价），以后每千米收费元，不足按收费．若小明乘出租车到达目的地时计价器显示为元，则此出租车行驶的路程可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出租车行驶的路程为s千米，根据“车费=起步价+超出3千米的路程×每千米的收费”结合小明乘出租车到达目的地时计价器显示为14.4元，即可得出关于s的一元一次不等式组，解不等式组即可得出s的取值范围，结合四个选项即可得出结论． 【详解】解：设出租车行驶的路程为s千米，由题意得 ， 解得． 在四个选项中，只有在此范围内，所以，选项B符合题意． 58．为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量17m3以下（包括17m3）；第二级为月用水量超过17m3但不超过30m3；第三级为月用水量超过30m3（不包括30m3）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 居民生活用水消费明细 计费日期2025﹣7﹣1至2025﹣7﹣31 自来水费 污水处理费 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 阶段一：17 2 34 阶段一：17 1 17 阶段二： 2.5 阶段二： 1 本期实付金额（大写） （注：居民生活用水水费=自来水费+污水处理费） 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为42m3，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为xm3，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 【答案】(1) (2)89.5元 (3) 【分析】（1 ）设该居民7月份的用水量为，则该居民6月份的用水量为，根据“7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍”，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围； （2 ）求出当7月份用水量是时的水费即可； （3 ）根据该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，可列出关于x的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设该居民7月份的用水量为，则该居民6月份的用水量为， 根据题意得：， 解得：． 答：x的取值范围为； （2）解：根据题意得： （元）． 答：该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳89.5元； （3）解：当时，水费差为， 令 解得：，不符合题意，舍去； 当时，， 解得：． 答：该居民7月份的用水量为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03一元一次不等式（组）易错必刷题型专项训练 本专题汇总一元一次不等式(组)全章考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.不等式的性质 题型02.求一元一次不等式的解集 题型03.在数轴上表示不等式的解集 题型04.求一元一次不等式的整数解 题型05.求一元一次不等式解的最值 题型06.列一元一次不等式 题型07.一元一次不等式解决实际问题 题型08.一元一次不等式解决几何问题 题型09.求不等式组的解集 题型10.求一元一次不等式组的整数解 题型11.由不等式组的解集求参数 题型12.由不等式组解集的情况求参数 题型13.不等式组和方程组结合的问题 题型14.解|x|a型的不等式 题型15列一元一次不等式组. 题型16.不等式组的经济问题 题型17.不等式组的分配问题 题型18.不等式组的方案选择问题 题型19.不等式组的阶梯收费问题 易错必刷题型01.不等式的性质 典题特征：以选择、判断类题型为主，考查不等式变形（乘除、移项）、不等号方向变化，常结合字母系数、负数参与运算。 易错点：①不等式两边乘/除以负数时，忘记改变不等号方向；②混淆“乘0”与“乘负数”的变形规则，误判不等号方向；③移项时忘记变号，与等式性质混淆。 1．已知，下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 2．已知a＜b，则－4a＋5______－4b＋5（填＞，＜或＝）． 3．已知为实数且，则下列说法中：，，③，④，⑤，正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．已知三个实数满足． (1)证明：． (2)若，且，求的取值范围． 易错必刷题型02.求一元一次不等式的解集 典题特征：给出含括号、分母、多步运算的一元一次不等式，要求解出解集，常与去分母、去括号、移项、系数化为1等步骤结合。 易错点：①去分母时漏乘不含分母的常数项；②去括号时，括号前是负号，括号内各项未全部变号；③系数化为1时，除以负数未改变不等号方向；④最终解集未化为最简形式 5．下列说法错误的是（    ） A．是不等式的一个解 B．是不等式的一个解 C．不等式的解集是 D．不等式的解有无数个 6．对于x，y定义一种新运算“*”：，等式右边是通常的减法和乘法运算，如，那么的解集是____． 7．解不等式：． 易错必刷题型03.在数轴上表示不等式的解集 典题特征：给出不等式的解集或不等式本身，要求在数轴上表示，常考查实心/空心点、方向的判断。 易错点：①混淆“≥/≤”与“>/<”对应的实心点、空心点；②数轴上解集方向画反；③端点位置标注错误，或漏画数轴箭头。 8．已知关于的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则的值可以是（  ） A．5 B．4 C．3 D．2 9．一个不等式的解集是，在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 10．解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 易错必刷题型04.求一元一次不等式的整数解 典题特征：先解一元一次不等式，再求其整数解、正整数解、非负整数解等，常结合简单不等式运算。 易错点：①解不等式时出错，导致解集错误，进而整数解全错；②漏看“正整数/非负整数”等限定条件，多解或漏解；③解集为小数时，错误包含端点值 11．不等式的最大整数解是（     ） A．0 B．1 C． D．2 12．如图，要使输出值大于100，则输入的最小正整数是___________． 13．对于有理数，定义一种新运算：． 例：． (1)计算：___________； (2)若，求的值； (3)若，则的正整数解为___________． 易错必刷题型05.求一元一次不等式解的最值 典题特征：给出含限定条件的一元一次不等式，求解的最大值、最小值，常与实际问题结合。 易错点：①未注意“x为整数”的条件，直接用解集端点作为最值；②不等式变形错误，导致解集方向颠倒，最值判断相反；③混淆“最大值”与“最小值”的求解逻辑。 14．不等式的最大整数解是__________． 15．已知两个实数a、b，满足，且、，则的最小值是（   ） A． B．0 C． D．1 16．定义一种新运算：，例如：．根据上述定义， (1)若，求及其平方根． (2)的计算结果落在如图所示的范围内，求的最小整数值． 易错必刷题型06.列一元一次不等式 典题特征：根据文字描述、数量关系列一元一次不等式，常涉及“不超过、不少于、至少、至多、不大于、不小于”等关键词。 易错点：①对关键词理解错误；②未理清题目中的数量关系，列错不等式；③漏写未知数的实际意义 17．语句“x的3倍与7的一半的差是非正数”可以用不等关系表示为________． 18．海口2026年（第七届）万人健步活动已于4月19日顺利举行．此次活动以“建功自贸港劳动筑梦想”为主题，行程首次解锁长影奇幻乐园内部道路，全程．王老师沿活动路线先以60米/分的平均速度行走了1小时，路过某景点后，加快了速度．若王老师走完全程的时间少于140分钟，则他后半程的平均速度x（米/分）满足的不等式为（    ） A． B． C． D． 19．用不等式表示下列不等关系，写出解集并在数轴上表示解集： (1)x的3倍大于1； (2)x与3的和不小于7； (3)y的小于或等于； (4)y的2倍小于y与1的差． 易错必刷题型07.一元一次不等式解决实际问题 典题特征：以生活场景（购物、行程、工程等）为背景，列一元一次不等式求解，常涉及“最多/最少”的实际应用。 易错点：①设未知数时带单位，或列不等式时单位不统一；②忽略未知数的实际取值范围；③解出结果后未结合实际意义检验，导致不符合题意的解。 20．某高速公路工地需要实施爆破，操作人员点燃导火线后，要在炸药爆炸前跑到以外的安全区域，已知导火线的燃烧速度是，人跑步的速度是．导火线必须超过______才能保证操作人员的安全． 21．某景区门票的定价为a元/张（），有两种团购优惠方案，方案一：享受1人免票，其余人八折优惠；方案二：所有人享受七折优惠，小明了解了优惠方案后，发现采用方案一购票比方案二省钱，则小明一行人的人数最多为（   ） A．6人 B．7人 C．8人 D．9人 22．某单位在5月份期间组织部分员工到某地旅游，现在联系了甲、乙两家旅行社，两家旅行社报价均为4000元/人，两家旅行社同时都对10人以上的团体推出了优惠措施：甲旅行社对每位游客七五折优惠；而乙旅行社是免去一位游客的费用，其余游客按八折优惠． (1)若设参加旅游的员工共有（）人，则甲旅行社的费用为_____元，乙旅行社的费用为______元；（用含的代数式表示并化简） (2)在（1）的条件下，该单位选择哪一家旅行社比较优惠？并说明理由． 易错必刷题型08.一元一次不等式解决几何问题 典题特征：结合三角形三边关系、角度和差、线段长度等几何背景，列一元一次不等式求解，常涉及边长范围、角度范围的判断。 易错点：①混淆三角形三边关系②未考虑几何图形的隐含条件（如角度大于0°，边长为正数）；③列不等式时漏写几何关系的限定条件。 23．用一段长为30m的篱笆围成一个靠墙的矩形菜园，墙的长度为，设垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的一边长为多少（用含x的代数式表示）． 24．甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），甲、乙的面积分别． (1)求，并比较与的大小．（写出比较大小的过程） (2)若满足条件的整数n有且仅有4个，求m的值为多少？ 25．如图，在中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度运动，到达点时停止．设点运动的时间为秒． (1)点整个运动过程中，共需____秒； (2)当的面积为时，求的值； (3)当的面积大于时，求的取值范围． 易错必刷题型09.求不等式组的解集 典题特征：给出两个或多个一元一次不等式组成的不等式组，求其公共解集，常结合“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了”的口诀。 易错点：①解单个不等式时出错，导致后续解集公共部分错误；②对“大小小大中间找、大大小小无解了”的口诀理解错误，误判解集；③求公共解集时漏写边界值，或错误合并解集。 26．不等式组的解集是______． 27．若不等式组无解，则m（    ） A．最大值是4 B．最小值是4 C．最大值是 D．最小值是 28．解下列不等式组：． 易错必刷题型10.求一元一次不等式组的整数解 典题特征：先解不等式组，再求其整数解、正整数解等，常结合多个不等式的公共解集。 易错点：①解不等式组时出错，导致公共解集错误；②未结合限定条件（如“正整数解”），多解或漏解；③公共解集为区间时，错误包含端点值 29．满足不等式的所有整数解是________． 30．不等式组的正整数解的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 31．解不等式组，并写出不等式组的整数解． 易错必刷题型11.由不等式组的解集求参数 典题特征：已知含参数的不等式组的解集，求参数的取值范围，常结合不等式组的解集规则。 易错点：①忽略参数在不等式变形中的符号影响（如参数为负数时，不等号方向变化）；②未考虑参数的临界值（如解集包含等号时，参数是否可取等号）；③多个参数时，未理清参数之间的关系，导致范围判断错误。 32．不等式组的解集是，则的取值范围是________． 33．若不等式组的解集是，则的值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 34．若关于x的不等式组 只有4个整数解，求a的取值范围． 易错必刷题型12.由不等式组解集的情况求参数 典题特征：已知含参数的不等式组有解、无解、有整数解等情况，求参数的取值范围，常涉及分类讨论。 易错点：①未分类讨论参数的正负情况，直接套用口诀；②忽略临界值的取舍（如不等式组无解时，参数是否可取等号）；③对“有解/无解”的条件理解错误，导致参数范围颠倒。 35．若不等式组无解，则m的取值范围是______． 36．已知关于的不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 37．如果两个不等式（组）的整数解存在且相同，则称它们是“整数同解”的． 例如：不等式的解集为，其所有整数解为大于等于2的全体整数，不等式组的解集为，其所有整数解也为大于等于2的全体整数，因此不等式与不等式组是“整数同解”的． (1)下列不等式（组）中与是“整数同解”的是______（填写正确结论的序号）； ①，②，③ (2)已知关于x的不等式组与是“整数同解”的，请求出a的取值范围． 易错必刷题型13.不等式组和方程组结合的问题 典题特征：先解二元一次方程组，再将解代入不等式组，求参数的取值范围，常涉及方程组的解的限定条件。 易错点：①解方程组时出错，导致后续代入不等式组的解错误；②代入不等式组时，未注意未知数的符号，变形错误；③未结合方程组解的实际意义（如解为正数、非负数），漏写限定条件。 38．已知方程组的解x、y都是负数，则a的取值范围是______． 39．已知方程组的解x为正数，y为非负数，给出下列结论： ①当时，方程组的解也是方程的解；           ②当时，； ③；                                              ④若，则． 其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 40．已知关于x，y的二元一次方程组 (1)若，求的取值范围； (2)若x，y都是负数，求的取值范围． 易错必刷题型14.解|x|a型的不等式 典题特征：解含绝对值的一元一次不等式，常涉及“|x|≥a（a>0）”“|x|≤a（a>0）”两种类型，求解集。 易错点：①对绝对值的几何意义理解错误，误将“|x|≥a”的解集写成“x≥a”；②忽略a=0或a<0的特殊情况，导致解集不完整；③解不等式时，漏写绝对值的正负两种情况。 41．若，则（   ） A． B． C． D． 42．阅读：我们知道，于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法： 解：①当，即时，，解得，所以； ②当，即时，，解得，所以． 所以原不等式的解集为． 根据以上思想，不等式的解集是____________． 43．先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题．①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有小于的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或．②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有大于且小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为． (1)的解集为______； (2)解不等式； (3)解不等式． 易错必刷题型15列一元一次不等式组. 典题特征：根据文字描述、多个数量关系，列一元一次不等式组，常涉及两个或多个限定条件。 易错点：①未理清题目中的所有限定条件，漏列不等式；②对关键词理解错误，导致单个不等式列错；③未知数的实际意义与不等式组的限定条件矛盾 44．如图，一个运算程序，若需要经过两次运算才能输出结果，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 45．“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（ ） A． B． C． D． 46．我们规定：表示这三个数的平均数，表示这三个数中最小的数．例如：，； ，． (1)_______； (2)若，求的取值范围________； (3)若，求的值． 易错必刷题型16.不等式组的经济问题 典题特征：以购物、销售、采购等经济场景为背景，列不等式组求解，常涉及成本、利润、预算等多个条件，求最优方案。 易错点：①未理清成本、售价、利润之间的关系，列错不等式；②忽略未知数的实际取值范围；③求最优方案时，未结合利润公式判断最大值/最小值，直接取边界值。 47．为了响应“足球进校园”的号召，育才中学开设了“足球大课间活动”，为此学校准备购买A，B两种品牌的足球共40个，已知A品牌足球每个80元，B品牌足球每个60元，其中购买A品牌足球的数量不少于B品牌足球数量，且总费用不超过2900元．设购买A品牌足球的数量为x，列出关于x的不等式组并求出x的取值范围． 48．剪纸是我国著名的非物质文化遗产，学校准备购进两种样式的剪纸用于课外拓展课，A种剪纸每幅10元、B种剪纸每幅8元，计划购进两种类型剪纸共100幅，购买预算不超过900元，且购进的B种剪纸数量不大于A种剪纸数量的2倍，则至少购进A种剪纸多少幅？ 49．某社区开展“垃圾分类”入户宣传活动，需要准备两种宣传物资：A物资（宣传折页）每份成本1.5元，B物资（定制垃圾袋）每份成本3元．已知本次活动共需准备200份物资，为了达到更好的宣传效果，要求B物资的数量不低于A物资数量的一半． (1)若同时采购A、B两种物资刚好花了450元，请问A物资和B物资各买了多少份？ (2)为控制预算，A物资和B物资共花费的成本不超过420元，在满足所有条件的情况下，A物资最多可以买多少份？ 易错必刷题型17.不等式组的分配问题 典题特征：以物品分配、人员安排为背景，列不等式组求解，常涉及“每人分多少、剩余多少、不足多少”的数量关系。 易错点：①对“剩余/不足”的数量关系理解错误，列错不等式；②未考虑分配对象的整数性，漏写未知数为正整数的条件；③多个分配条件时，漏列其中一个不等式。 50．春雨中学九年级（1）班和九年级（2）班的同学外出参观，将两班的所有学生分成8组，如果每组人数比预定每组人数多1人，那么学生总数将超过100人；如果每组人数比预定每组人数少1人，那么学生总数将不到90人．则预定每组学生有___________人． 51．养殖场计划用甲乙两种原料配制饲料，已知每千克甲原料含营养物质为200克；每千克乙原料含营养物质为300克．如果要求配好的饲料每千克中含营养物质不低于240克、不高于245克．求配制每千克饲料需要甲原料的重量范围． 52．为筹备元旦联欢会，张老师想在网上商城购买巧克力分发给全班同学．他购买了5包颗数相同的巧克力，计划每人分20颗，这样会剩余80颗．后来因为网店存货不足，所以少买了2包，于是改成每人分14颗，当分到最后一名同学时，发现只有这名同学拿不到14颗，但是至少拿到7颗．全班至少有多少人？至多有多少人？ 易错必刷题型18.不等式组的方案选择问题 典题特征：结合实际场景，列不等式组求所有整数解，进而确定可行方案，常涉及多种组合的判断。 易错点：①解不等式组时出错，导致整数解错误；②未结合实际意义筛选整数解，多列不符合题意的方案；③方案列举时重复或遗漏，未按顺序枚举。 53．高尔基说：“书籍是人类进步的阶梯”．为提高学生的阅读水平，某中学购买了“科普类”和“文学类”两种书籍，其中“科普类”图书的单价比“文学类”图书的单价多4元，购买30本“科普类”图书和40本“文学类”图书共花费1240元． (1)求这两种图书的单价分别是多少元？ (2)学校决定再次购买这两种图书共100本，总费用超过1790元但不超过1800元，则学校有哪几种购买方案． 54．某服装店老板到厂家购进，两种型号的服装，购进型号服装的数量要比购进型号服装的数量的倍还多件，且型号服装最多可购进件． (1)求型号服装最多可以购进多少件． (2)若销售一件型号服装可获利元，销售一件型号服装可获利元，要求这批服装全部售出后总的获利不少于元，问有几种进货方案？如何进货？ 55．某茶叶经销商计划购进甲、乙两种茶叶共80件，若甲种茶叶进价为每件120元，乙种茶叶进价为每件100元．已知3件甲种茶叶和2件乙种茶叶的售价共900元；1件甲种茶叶和4件乙种茶叶的售价共800元． (1)求甲、乙两种茶叶每件的售价分别是多少元？ (2)该经销商计划用不超过9250元购进甲、乙两种茶叶，且甲种茶叶的件数不少于乙种茶叶件数的3倍，则有哪几种进货方案？ (3)该经销商为尽快回笼资金，采取如下优惠活动：甲种茶叶售价下调元，乙种茶叶售价不变．若甲、乙两种茶叶的进价不变，并且无论如何进货，这80件茶叶销售总利润保持不变，求的值． 易错必刷题型19.不等式组的阶梯收费问题 典题特征：以水电、通讯、打车等阶梯收费场景为背景，列不等式组求解，常涉及分段计费的数量关系。 易错点：①未理清阶梯收费的分段标准，列错不等式；②忽略各阶梯的收费区间，误将跨区间的费用按单一标准计算；③解出结果后，未结合阶梯收费的分段规则检验，导致结果不符合题意。 56．某市地铁票收费标准如下：不超过63元；超过6到12（含）4元；超过12到22（含）5元；超过22到32（含）6元；超过32部分，每增加1元可再乘坐20．一位乘客单次乘坐地铁购票花费了9元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示x的范围________． 57．某市出租车起步价是8元（及以内为起步价），以后每千米收费元，不足按收费．若小明乘出租车到达目的地时计价器显示为元，则此出租车行驶的路程可能为（   ） A． B． C． D． 58．为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量17m3以下（包括17m3）；第二级为月用水量超过17m3但不超过30m3；第三级为月用水量超过30m3（不包括30m3）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 居民生活用水消费明细 计费日期2025﹣7﹣1至2025﹣7﹣31 自来水费 污水处理费 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 阶段一：17 2 34 阶段一：17 1 17 阶段二： 2.5 阶段二： 1 本期实付金额（大写） （注：居民生活用水水费=自来水费+污水处理费） 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为42m3，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为xm3，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $