专题01 不等式与不等式组解法50题强化训练（高效培优专项训练）数学新教材湘教版七年级下册

专题01 不等式与不等式解法50题强化训练 目录 题型一：解一元一次不等式 1 题型二：程序流程与不等式（组）的计算 8 题型三：不等式与不等式组的整数解 16 题型四：解一元一次不等式组 24 题型五：解不等式与不等式组错解复原问题 29 题型一：解一元一次不等式 1．（25-26九年级下·安徽安庆·月考）解不等式：． 【答案】 【分析】按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤逐步求解，注意在系数化为1时若系数为负数需改变不等号方向． 【详解】解：， 去分母，两边同时乘以3得：， 移项，合并同类项得：， 解得． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）利用不等式的基本性质解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用不等式的基本性质解下列不等式，利用不等式的基本性质和不等式的基本性质2、3，进行求解即可． 【详解】（1）解：（不等式的基本性质1）， ， （不等式的基本性质2）， 解得． （2）解： （不等式的基本性质1）， ， （不等式的基本性质3）， 解得． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列不等式，并把其解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 【答案】(1)，数轴表示见解析 (2)，数轴表示见解析 【分析】本题考查解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式的性质是解题的关键． （1）去括号，移项、合并同类项，系数化为1，解集在数轴上表示即可； （2）去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1，解集在数轴上表示即可． 【详解】（1）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 解集在数轴上表示如图所示． （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 解集在数轴上表示如图所示． 4．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）解下列一元一次不等式． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)； 【分析】本题考查一元一次不等式的解法，关键是掌握解一元一次不等式的基本步骤：对于不含分母的不等式，通过移项、合并同类项、系数化为1求解；对于含分母的不等式，需先去分母，再依次进行去括号、移项、合并同类项、系数化为1的操作，注意系数化为1时，若系数为负数，不等号方向要改变． （1）是不含分母的一元一次不等式，直接通过移项、合并同类项、系数化为1即可得到解集； （2）是含分母的一元一次不等式，先去分母消除分母，再按步骤逐步化简求解． 【详解】（1）解：， 移项得，即， 系数化为1，两边同时除以2得． （2）解：， 两边同时乘以6去分母得， 去括号得， 合并右边常数项得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1，两边同时除以5得． 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）解不等式，并将解集在数轴上表示出来． ． 【答案】，见解析 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法与解集的数轴表示，掌握解一元一次不等式的步骤，以及系数为负时不等号方向改变是解题的关键． 按照解一元一次不等式的步骤，先去分母，再依次进行去括号、移项、合并同类项，最后将系数化为，并在数轴上表示解集即可． 【详解】解：去分母，得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 两边都除以得． 解集在数轴上的表示如图． 6．（25-26七年级下·全国·周测）解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来． (1)． (2)． 【答案】(1)，数轴表示见解析 (2)，数轴表示见解析 【分析】（1）按照解一元一次不等式的基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为，注意系数为负时不等号方向改变； （2）先去分母，再按上述步骤求解，同样注意不等号方向的变化． 【详解】（1）解：去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得． 该不等式的解集在数轴上表示如图所示． （2）解：去分母得， 去括号得， 移项、合并同类项得， 系数化为得． 该不等式的解集在数轴上表示如图所示． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，掌握解一元一次不等式的基本步骤，以及系数化为时，若系数为负数，不等号方向要改变是解题的关键． 7．（25-26八年级下·全国·周测）解不等式： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解不等式，熟练掌握解不等式的方法是解题的关键； （1）移项、合并同类项然后系数化为1即可求解； （2）（3）先去分母，然后移项、合并同类项最后系数化为1即可求解． 【详解】（1）解：移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解：去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （3）解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 8．（25-26七年级下·全国·课后作业）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． (1)． (2)． 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 【分析】本题考查了知识点一元一次不等式的解法及解集的数轴表示，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式的步骤，并注意系数化为时不等号方向的变化． （1）先通过去括号、移项、合并同类项、系数化为来解一元一次不等式，最后在数轴上表示解集； （2）先去分母，再按解一元一次不等式的步骤求解，最后在数轴上表示解集． 【详解】（1）解： ． 解集在数轴上表示如图． （2）解： ． 解集在数轴上表示如图． 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）解下列不等式，并把解集表示在数轴上． (1)． (2)． 【答案】(1)，表示见解析 (2)，表示见解析 【分析】本题考查了解不等式，熟练掌握解不等式的方法是解题的关键； （1）先去分母再进行移项、合并同类项最后系数化为1即可解出不等式的解集，最后在数轴上表示； （2）先去分母、去括号再进行移项、合并同类项最后系数化为1即可解出不等式的解集，最后在数轴上表示． 【详解】（1）解：去分母，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 解集表示在数轴上如图所示． （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 解集表示在数轴上如图所示． 10．（25-26八年级下·全国·周测）解下列不等式，并把解集表示在数轴上． (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)，表示见解析 (2)，表示见解析 (3)，表示见解析 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法及解集在数轴上的表示，掌握解一元一次不等式的步骤，以及数轴上实心点与空心点的区别是解题的关键． （1）先去括号化简不等式，再通过移项、合并同类项将不等式化为标准形式，最后系数化为求出解集，并在数轴上用实心点表示包含等号的解集； （2）先去分母消去分数，再移项、合并同类项求出解集，数轴上用空心点表示不包含等号的解集； （3）先去分母，再移项、合并同类项，注意系数化为时，若系数为负数要改变不等号方向，最后在数轴上表示解集． 【详解】（1）解：去括号得． 移项得． 合并同类项得． 系数化为1得． 不等式的解集在数轴上表示如图所示． （2）解：去分母得． 移项、合并同类项得． 不等式的解集在数轴上表示如图所示． （3）解：去分母，得． 移项得． 合并同类项得． 系数化为1得． 不等式的解集在数轴上表示如图所示． 题型二：程序流程与不等式（组）的计算 1．（24-25八年级下·陕西宝鸡·期末）如图，林林设计了一个流程图，运行程序规定：以“输入一个值a”到“结果是否大于18”为一次程序操作．如果得到的数小于或等于18，则用得到的数进行下一次操作．如果要使程序一次就停止，那么输入的a的取值范围是什么？ 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得解，理解题意，正确列出一元一次不等式是解此题的关键． 【详解】解：由题意，得， 根据不等式的基本性质，得． 所以输入的a的取值范围是． 2．（22-23七年级下·江苏·周测）运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否”为一次程序操作．    (1)若输入后程序操作仅进行了一次就输出结果，求a的取值范围； (2)当时，输入x后程序操作进行了两次输出结果，求x的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据进行了一次运算，列出不等式，解之即可； （2）根据运行了两次，可得第一次没有停止，第二次停止，分别列出不等式，解之即可． 【详解】（1）解：由题意可列不等式为， 解得：； （2）当时， 第一次没有停止，则可列式为：， 解得：， 则第二次输入的值为， 第二次停止了，输出结果，则可列式为， 解得：， 故的取值范围为． 【点睛】本题考查一元一次不等式（组）的应用，通过给出的操作过程来列一元一次不等式并求出对应的解． 3．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）一位同学在编程课上设计了一个运算程序，如图所示： 按上述程序进行运算，程序运行到“判断结果是否大于或等于23”为一次运行． (1)若，该程序需要运行__________次才停止； (2)若该程序第一次运行后未停止，第二次运行后停止了，求的取值范围． 【答案】(1)三； (2)． 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． （1）分别求出运行一次、二次、三次的结果，由，可得出该程序需要运行三次才停止； （2）根据“该程序第一次运行后未停止，第二次运行后停止了”，可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围． 【详解】（1）解：运行一次：； 运行二次：； 运行三次：。 ∵， ∴若，该程序需要运行三次才停止。 故答案为：三； （2）解：根据题意得： 解得：． 答：的取值范围为． 4．（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）按照如下程序操作，规定：从“输入一个值”到“结果是否大于”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于，则用得到的这个数进行下一次操作． (1)如果程序操作进行一次就停止了，那么输入的的取值范围是多少? (2)如果程序操作进行了两次才停止，那么输入的的取值范围是多少？ 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元一次不等式组的应用等知识点，审清题意、正确列出不等式和不等式组是解题的关键 ． （）根据第一次停止列一元一次不等式求解即可； （）根据题意可知第一次不停止、第二次停止列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：由题意得 解得：； （2）解：由题意得 解不等式得：， 解不等式得：， ∴． 5．（22-23七年级下·北京西城·期中）一位同学在编程课上设计了一个运算程序，如图所示． 按上述程序进行运算，程序运行到“判断结果是否大于23”为一次运行． (1)若，直接写出该程序需要运行多少次才停止； (2)若该程序只运行了3次就停止了，求的取值范围． 【答案】(1)若，该程序需要运行4次才停止 (2) 【分析】（1）分别求出该程序运行1，2，3，4次的结果，由，，可得出当时，该程序需要运行4次才停止； （2）根据该程序只运行了3次就停止了，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围． 【详解】（1）解：根据题意可得： ，，，， ， 若，该程序需要运行4次才停止； （2）解：根据题意得： ， 解得：， 答：若该程序只运行了3次就停止了，的取值范围为． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 6．（24-25九年级下·河北邢台·期中）如图表示一个运算程序，输入一个数a，按照此程序进行运算后输出的数为b． (1)按照此程序进行运算，若，求b的值；若，求a的值． (2)若a，b均为整数，且输出的结果b的范围为，求符合条件的a的值有几个． 【答案】(1)4； (2)4 【分析】本题主要考查了与流程图有关的实数运算，解一元一次不等式组，正确理解题意是解题的关键． （1）当时，，当时，，据此代值计算即可； （2）当时，，则可推出不符合题意；当时，则，解不等式组即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴； 当时，∵， ∴， ∴，不符合题意； 当时，， ∴； （2）解：当时，， ∵， ∴此时， ∴， ∴， ∴，不符合题意； 当时，， ∵， ∴， ∴， 又∵a、b都是整数， ∴符合条件的a的值有2，3，4，5，共4个． 7．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）小慧设计了一个如图的运算程序，程序每执行一次运算后按条件进行判断，然后输出结果或继续执行下一次运算． (1)当，，时， ①若输入，则运算执行______次后输出，输出结果为______； ②若输入执行2次运算后输出的结果等于，求的值． (2)当时，若输入的值能使程序进入无限循环，且每次执行运算的结果都相同，请直接写出输入的值及的取值范围．（用含的代数式表示） 【答案】(1)①2，21；②5 (2)， 【分析】此题考查了整数的四则混合运算，解一元一次不等式． （1）①利用程序图进行计算即可； ②根据2次运算后输出的结果等于列方程求解即可； （2）表示出第1次和第2次输出的结果，然后根据题意列方程和不等式求解即可． 【详解】（1）解：①当，，时， 第1次：， 第2次：， ∴若输入，则运算执行2次后输出，输出结果为21． 故答案为：2，21； ②第1次： 第2次：， 由题意，得 ， ∴． 故答案为：5； （2）第1次：， 第2次：， 由题意，得 ，， 解得，． 8．（23-24七年级下·北京东城·期中）按下图中程序进行计算，规定：从“输入x”到“结果是否”为一次程序操作． (1)若开始输入的x值为1，则最后输出的结果是 ； (2)若最后输出的结果是4，则开始输入的x值是 ；若程序操作进行了两次才停止，则x的取值范围是 ． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了代数式求值、算术平方根和一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，理解运行程序运算方法进行计算判定是解题的关键． （1）先把1代入代数式中，求值后再求其算术平方根，若大于2输出答案，若小于或等于2返回第一步再次计算，判定即可得出答案， （2）根据据运行程序，先把第一次运算结果小于等于2，第二次运算结果大于2列出不等式组，然后求解即可． 【详解】（1）输入时， 第一次运算结果为： ， 取算术平方根为：， ， 返回计算， 输入时， ， 取算术平方根为：， ， 最后输出的结果是， 故答案为：； （2）若最后输出的结果是4， 则 解得：， ， 程序操作进行了一次开始输入的x值是5； 若程序操作进行了两次才停止，列不等式组得： ， 解得：， 故答案为：5， ． 9．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）在信息技术课上，王丽同学设计了如下运算程序： 按上述程序运行到“结果是否”时，称为一次“操作”． (1)若一次“操作”就输出结果，求x的最小值； (2)若，则输出结果是______； (3)若三次“操作”才输出结果，求x的取值范围． 【答案】(1)x的最小值是19 (2)109 (3)x的取值范围为 【分析】本题考查了程序设计与有理数的运算、一元一次不等式（组）的应用，根据题意列出不等式（组）是解题的关键． （1）根据题意列出不等式即可求解； （2）把代入，再把再代入，把再代入，即可求出输出结果； （3）根据程序可以列出不等式组求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得： 解得：， 所以x的最小值19． （2）解：当时，； 当时，； 当时，． ∴ 输出结果是：109． 故答案为：109． （3）解：由题意可得： ， 化简得：， 解得：． 所以x的取值范围为． 10．（24-25八年级上·湖南岳阳·期末）如图所示是一种程序运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于”为一次运算，若结果大于，则输出此结果；若结果不大于，则将此结果作为m的值再进行第二次运算． (1)当时，要经过几次运算才会停止，输出的数是多少？ (2)已知运算进行了三次后停止，求m的取值范围？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确理解程序表达的意思列式是解题的关键： （1）将数字代入计算结合大于输出即可得到答案； （2）根据第三次输出列不等式组求解即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，第一次运算：， ∵若结果不大于，则将此结果作为m的值再进行第二次运算：， 结果大于，则输出此结果； （2）解：∵已知运算进行了三次后停止， ∴第二运算结果不大于， ∴                                   解得： ， ∴． 题型三：不等式与不等式组的整数解 1．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）解不等式，并写出它的负整数解； （2）解不等式，并写出它的正整数解． 【答案】（）该不等式的负整数解为，；（）该不等式的正整数解为，，，． 【分析】（）根据去括号，移项，合并同类项，化系数为，求出不等式解集，然后根据解集写出负整数解即可； （）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为，求出不等式解集，然后根据解集写出负整数解即可； 本题考查了解一元一次不等式，求一元一次不等式的整数解，解题的关键是掌握一元一次不等式的求解方法． 【详解】解：（）去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 故该不等式的负整数解为，； （）去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 故该不等式的正整数解为，，，． 2．（25-26九年级上·重庆·月考）求不等式组：的所有整数解． 【答案】；所有整数解为，0，1，2，3 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，从而可得出不等式组的整数解即可． 【详解】解：解不等式①，得：． 解不等式②，得． 所以，原不等式组的解集为． 因此，满足原不等式组的所有整数解是，0，1，2，3． 3．（23-24八年级上·河北保定·期末）解不等式组，并求出最小整数解与最大整数解的和． 【答案】， 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 先求解每一个不等式的解集，从而得出不等式组解集，即可求得不等式组的整数解，即可得到不等式组的最小整数解与最大整数解，从而求解． 【详解】解：由①得，， 由②得，， ∴原不等式组的解集为：， ∴最小整数解为，最大整数解为1， ∴最小整数解与最大整数解的和为：． 4．（23-24八年级下·山东潍坊·月考）解不等式组． (1)把解集表示在数轴上，并求出整数解； (2)若是此不等式组的最大整数解，求的值． 【答案】(1)不等式组的解集为：，整数解为； (2)0 【分析】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用． （1）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集； （2）求出最大整数解，代入求出即可． 【详解】（1）解：， 由不等式，得， 由不等式，得， 所以不等式组的解集为：， 整数解为； （2）解：∵m是此不等式组的最大整数解， 由（1）解集中最大的整数解为：， 则， ∴ ． 5．（22-23七年级下·安徽安庆·月考）已知不等式组：， (1)求此不等式组的整数解； (2)若上述整数解满足不等式，化简． 【答案】(1)此不等式组的整数解为2； (2) 【分析】（1）先解不等式组的解集，再从解集中找出整数解即可． （2）根据题意求得，进而即可把化简． 【详解】（1）解：解不等式得，， 解不等式得，， 则不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为； （2）解：把代入不等式得，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法以及不等式组的整数解，也考查了绝对值的性质，是基础知识要熟练掌握，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 6．（23-24七年级下·北京·期中）若不等式只有n个正整数解（n为自然数），则称这个不等式为n阶不等式．我们规定：当时，这个不等式为0阶不等式． 例如：不等式只有4个正整数解，因此称其为4阶不等式． 不等式有3个正整数解，因此称其为3阶不等式． 请根据定义完成下列问题： (1)是　　　阶不等式；是　　阶不等式组； (2)若关于x的不等式是4阶不等式，a的取值范围为　　　； (3)关于x的不等式的正整数解有，，，，…，其中…．如果是阶不等式，且关于x的方程的解是不等式的正整数解，直接写出m的值以及n的取值范围． 【答案】(1)0，3 (2) (3)， 【分析】（1）求出题中的不等式（组）的解集，再根据已知所给定义即可得到解答； （2）首先根据已知求出原不等式组的正整数解，然后可得a的取值范围； （3）根据已知可得关于m的方程，求出m后可以用数轴表示出不等式组的正整数解，根据数轴即可得到n的取值范围． 本题考查新定义有理数运算的综合应用，熟练掌握不等式（组）的求解及用数轴表示解集是解题关键． 【详解】（1）解：∵当时，则无正整数解， ∴是0阶不等式； ∵ ∴ ∴． ∴有3个正整数解，为1，2，3． ∴是3阶不等式组． 故答案为：0，3； （2）解：∵关于x的不等式是4阶不等式， ∴x有4个正整数解，为：1，2，3，4， ∴． 故答案为：； （3）解：∵关于x的方程的解是不等式的正整数解， ∴ ∴，， ∴m为偶数，且， ∴， ∴， ∴可得图如下所示： ∴的取值范围是． 7．（23-24九年级下·福建·自主招生）若关于的不等式组只有4个整数解，求的取值范围． 【答案】 【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式组，再从不等式的解集中找出适合条件的整数解，再确定字母的取值范围即可． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴此不等式组的解集为， ∵此不等式组只有4个整数解， ∴它的4个整数解为20、19、18、17， ∴， 解得a的取值范围是：． 8．（24-25七年级下·云南临沧·期末）若不等式（组）有（为自然数）个正整数解，则称这个不等式（组）为阶不等式（组）．例如：有2个正整数解，则称它为2阶不等式；有3个正整数解，则称它为3阶不等式组，特殊地，如，有0个正整数解，则称它为0阶不等式． (1)判断：是几阶不等式？是几阶不等式组？ (2)已知关于的不等式组是4阶不等式组，求的取值范围． 【答案】(1)4阶，2阶 (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，不等式的定义，理解新定义是解答关键. （1）根据题目中的新定义，求出正整数解，再进行求解； （2）先求出不等式的解集，再利用4阶不等式组的定义来求解. 【详解】（1）解：， 解得， 即不等式的正整数解为， 是4阶不等式； 解得， 它有正整数解为， 它是2阶不等式组； （2）解：解不等式组得. 不等式组是4阶不等式组， 有4个正整数解，为1，2，3，4， ， 解得. 9．（24-25七年级下·北京·期中）阅读材料：关于的二元一次方程有一组整数解则方程的全部整数解可表示为（t为整数）． 问题：求方程的所有正整数解．小明参考阅读材料，解决该问题如下： 解：该方程一组整数解为则全部整数解可表示为（为整数）． 因为解得．因为为整数，所以或． 所以该方程的正整数解为和． 请你参考小明的解题方法，完成下面的问题： (1)方程的全部整数解表示为：（为整数）．则的值是___________． (2)请你参照小明的方法，求的全部正整数解； (3)方程的正整数解有___________组． 【答案】(1)3 (2)该方程的正整数解为或或； (3)21 【分析】本题考查了二元一次方程的解，一元一次不等式组的整数解，理解题意、掌握解题方法是本题的关键． （1）把代入方程得，求得y的值，即可求得θ的值； （2）参考小明的解题方法求解即可； （3）参考小明的解题方法求解后，即可得到结论． 【详解】（1）解：把代入方程得，， 解得， ∵方程的全部整数解表示为：（t为整数），则， 故答案为：3； （2）解：方程一组整数解为，则全部整数解可表示为（t为整数）． 因为，解得． 因为t为整数， 所以或1或2； 所以该方程的正整数解为或或； （3）解：方程一组整数解为， 则全部整数解可表示为（t为整数）． ∵，解得． 因为t为整数， 所以，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20， ∴方程的正整数解有21组． 故答案为：21． 10．（22-23七年级下·福建龙岩·期末）（一）阅读材料 若关于x，y的二元一次方程有一组整数解，则方程的全体整数解可表示为（t为整数）． 例题：求关于x，y的二元一次方程的所有正整数解． 小明参考阅读材料，解决该例题如下： 解：∵， ∴， ∵x，y要取整数， ∴当时，， ∴该方程一组整数解为， ∴其全体整数解为（t为整数）． ∵， ∴． ∵t为整数， ∴或0， ∴该方程的正整数解为、和． （二）解决问题 (1)关于x，y的二元一次方程的全体整数解表示为（t为整数），则________； (2)请参考阅读材料，直接写出关于x，y的二元一次方程的一组整数解和它对应的全体整数解； (3)请你参考小明的解题方法，求关于x，y的二元一次方程的全体正整数解． 【答案】(1) (2)，(t为整数) (3)，，和 【分析】（1）把代入方程得，求得y的值，即可求得a的值； （2）参考小明的解题方法求解即可； （3）参考小明的解题方法求解后，即可得到结论． 【详解】（1）；理由如下： ∵当时，， ∴方程的一组整数解为， 它的全部整数解(t为整数)， ∵方程的全部整数解表示为:(t为整数)， ∴； （2），(t为整数)； 理由如下：∵， ∴，， ∵x，y为整数， ∴、2、3、4、5、......分别代入验算，得当时， ∴原方程的一组整数解为，原方程的全部整数解(t为整数)； （3）∵， ∴， ∴， ∵x，y为整数， ∴当时，， ∴原方程的一组整数解为， ∴原方程的全部整数解(t为整数)； ∵， ∴， ∵t为整数， ∴、、或0， ∴当、、、0时，对应得，，，， ∴方程的全部正整数解为，，和． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，一元一次不等式的整数解，理解题意、掌握解题方法是本题的关键． 题型四：解一元一次不等式组 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）解不等式组，请根据题意完成下列问题． (1)解不等式①，得 ； (2)解不等式②，得 ； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； (4)该不等式组的解集为 ． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【详解】（1）解：， 移项得， 合并同类项得， 系数化1得； （2）解：， 移项得， 合并同类项得， 系数化1得； （3）解：把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； （4）解：不等式组的解集为． 2．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）解不等式组 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组的解法，关键是一元一次不等式的求解步骤以及不等式组解集的确定规则．先分别求出不等式组中两个一元一次不等式的解集，再根据“大小小大中间找”的口诀确定两个解集的公共部分，即为原不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①，得； 解不等式②，； 原不等式组的解集为． 3．（2025九年级下·山西·专题练习）解不等式组： 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，再取解集的公共部分作为不等式组的解集即可． 【详解】解： 由①得，； 由②得，； ∴原不等式组的解集为：． 4．（2025九年级下·山西·专题练习）解不等式组 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解不等式组的步骤及方法． 先求出每个不等式的解集，再取两个解集的公共部分，问题得解． 【详解】解： 解不等式①得． 解不等式②得． 原不等式组的解集为． 5．（25-26八年级上·全国·期末）解不等式组，并在数轴上把解集表示出来． 【答案】，数轴见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示解集，解题的关键是掌握解一元一次不等式组的步骤． 先利用解一元一次不等式组的步骤求出不等式组的解集，然后在数轴上表示出解集即可． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 所以不等式组的解集为：， 在数轴上表示如下： 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）解下列不等式组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】分别解出每个不等式的解集，再取它们的公共部分，即为不等式组的解集． 【详解】（1）解：解不等式，得； 解不等式，得． 故该不等式组的解集为． 答：． （2）解：解不等式，得； 解不等式，得． 故该不等式组的解集为． 答：． 7．（25-26七年级下·重庆·月考）（1）解二元一次方程组：． （2）解一元一次不等式组：． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）利用加减法即可求解； （2）分别求出两个不等式的解集，再求出两个解集的公共部分即可． 【详解】解：（1） 得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， 所以原方程组的解为； （2）， 解不等式①得：； 解不等式②得：； 所以不等式组的解集为：． 8．（2026·北京·一模）解不等式组：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 先求出各不等式的解集，再求出它们的公共部分，即可得到不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， 所以不等式组的解集为． 9．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）解不等式组： 【答案】解集为 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【详解】解：由得：， 由得：， 则不等式组的解集为 10．（25-26七年级下·全国·课后作业）解下列不等式组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组的一般步骤． （1）（2）根据解一元一次不等式组的一般步骤，求出各个不等式的解集，然后根据判断不等式组解集的口诀求出各个不等式组的解集即可． 【详解】（1）解：解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴这个不等式组的解集为． （2）解：解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴这个不等式组的解集为． 题型五：解不等式与不等式组错解复原问题 1．（24-25七年级下·四川眉山·期中）在解方程组时，甲正确解得方程组的解为；乙由于粗心看错了方程组中的，从而得到解为． (1)求的正确值； (2)求不等式的正整数解． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了二元一次方程组解的定义以及解二元一次方程组的基本方法，以及解一元一次不等式． （1）将代入即可求解； （2）将代入，将代入，得到关于的二元一次方程组，求出，再解不等式即可． 【详解】（1）解：将代入 有， ； （2）解：将代入， 有 将代入， 有 ∴ 解得： ， 解得：， ∵为正整数， ． 2．（2025·宁夏银川·二模）解方程组时，两位同学的解法如下： 解法一：由，得；解法二：由②得 ③；把①代入③得． (1)上述两种解法的基本思想是“消元”，即把“二元”变为“一元”，在此过程中体现的数学思想是 ； A．转化       B．分类讨论       C．演绎        D．数形结合 (2)上述两种解法是否正确？你的判定是 ；请直接写出此方程组的解 ； A．都正确     B．解法一错       C．解法二错    D．两种都错 (3)若，求k的取值范围． 【答案】(1)A (2)B； (3) 【分析】本题考查解二元一次方程组，解一元一次不等式，熟练掌握消元思想是解题的关键． （1）根据解二元一次方程组的转化思想即可解答； （2）根据解二元一次方程组的解题步骤作出判断即可； （3）将（2）中求出的方程组的解代入不等式，求关于k的不等式即可解答． 【详解】（1）解：此过程中体现的数学思想是转化思想． 故选：A （2）解：解法一：由，得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴方程组的解为． 解法二：由②得 ③； 把①代入③得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴方程组的解为． 综上所述，上述两种解法中解法一错． 故答案为：B； （3）解：由（2）得， ∵， ∴， 解得． 3．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）错题是最好的素材，识错和辨错能有效的检测我们的知识漏洞，纠错和改错则能培养我们严谨高阶的学科素养．以下是亮亮同学在解不等式组的过程： 解不等式组 解：由①得，， 由得，， 不等式组的解为 辨认他的错误思路，请你即行即改，写出正确的解答过程． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式组的解集，先判断出亮亮同学在解不等式组过程中的错误地方，再分别解这两个不等式并求解集的公共部分即可． 【详解】解：亮亮同学解不等式①去括号时，括号里面的减号未变号，解不等式时，去分母时不等号右边没有乘以3，正确的解答过程如下： 解不等式组 解：由①得，， ， 由得，， 不等式组的解为 4．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）下面是小明同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：去分母，得．……………………………………第一步 移项，得．………………………………………第二步 合并同类项，得．……………………………………………第三步 化系数为1，得．……………………………………………………第四步 (1)去分母的依据是______； (2)解答过程中，从前一步到后一步的变形，共出现______处错误，其中最后一处错误在第______步，错误的原因是______； (3)请写出不等式的正确解答过程，并把解集表示在数轴上； 【答案】(1)不等式的性质2 (2)三，四，不等式的两边同除以时不等号方向未改变 (3)，数轴见解析 【分析】本题考查解不等式，并用数轴表示不等式的解集： （1）根据不等式的性质，进行作答即可； （2）根据解不等式的步骤，进行判断即可； （3）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，解不等式，进而在数轴上表示出解集即可． 【详解】（1）解：去分母的依据是不等式的性质2； （2）解：三，四，不等式的两边同除以时不等号方向未改变； （3）解：， 去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 化系数为1，得， 这个不等式的解集在数轴上表示如下图： 5．（24-25七年级下·河南南阳·期中）下面是明明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 ……第五步 任务： (1)以上解不等式的过程中，第______步开始出现错误，错误的原因是______． (2)请正确地解此不等式． (3)除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解一元一次不等式时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 【答案】(1)①；去分母时，1没有乘以各分母的最小公倍数12 (2)见解析 (3)移项要注意变号（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的步骤是解题的关键． （1）第①步去分母时，1没有乘以最小公倍数，据此可得答案； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可； （3）从解不等式组易出错的地方给出合理的建议即可． 【详解】（1）解；第①步开始出现错误，错误原因：去分母时，1没有乘以各分母的最小公倍数12； （2）解：， ， ， ； （3）解：移项要注意变号． 6．（24-25八年级下·河南郑州·月考）以下是圆圆解不等式组的解答过程： 解：由①，得，第一步 ∴．第二步 由②，得，第三步 ∴．第四步 故原不等式组的解集为．第五步 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出错误的步骤和错误原因，并写出正确的解答过程． 【答案】圆圆的解答过程有错误，第一步，去括号时未知数x没有乘以2；第四步，不等式两边同时除以时，不等号的方向没有改变．正确过程见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：圆圆的解答过程有错误， 第一步，去括号时未知数x没有乘以2； 第四步，不等式两边同时除以时，不等号的方向没有改变． 正确过程如下：由①得， 所以， 所以， 由②得， 所以， 所以不等式组的解集为． 7．（23-24七年级下·河南洛阳·期中）以下是某同学解不等式组的解答过程： 解：第一步：由①，得，∴． 第二步：由②，得，∴，∴． 第三步：∴原不等式组的解集是． (1)他的解答过程是错误的，他出现错误一的步骤是_______，原因是_______；出现错误二的步骤是_______，原因是______； (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)第一步，不等式的两边都乘以（或都除以）同一个负数，不等号的方向要改变（或不等式的性质3）；第二步，去分母时，没有对所有项进行操作 (2)见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确的计算是解题的关键． （1）根据移项，合并同类项，化系数为1的步骤解一元一次不等式，第一步移项，以及化系数为1 的步骤出错了； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】（1）解：他的解答过程是错误的，他出现错误一的步骤是第一步，原因是不等式的两边都乘以（或都除以）同一个负数，不等号的方向要改变（或不等式的性质3）；出现错误二的步骤是第二步，原因是去分母时，没有对所有项进行操作． （2）解：， 由①得， 解得：． 由②，得， ∴， 解得：． ∴原不等式组的解集是． 8．（24-25七年级下·全国·单元测试）下面是小明同学解不等式组的过程，请认真阅读，完成相应的任务． 解：由不等式①，得．…第一步 解得．…第二步 由不等式②，得．…第三步 移项，得．…第四步 解得．…第五步 所以原不等式组的解集是．…第六步 任务一： （1）小明的解答过程中，第__________步开始出现错误，错误的原因是__________； （2）第三步的依据是__________； 任务二： （3）直接写出这个不等式组正确的解集是__________． 【答案】（1）五；不等式两边同时除以负数时，不等号方向没有改变 （2）不等式的性质2 （3） 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． （1）由不等式的性质可知，第五步不等式两边同时除以一个负数时，不等号方向没有发生改变，据此可得答案； （2）根据不等式的性质2即可得出答案； （3）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1）由解题过程可知，第五步开始出现错误，错误的原因是：不等式两边同时除以负数时，不等号方向没有改变， 故答案为：五；不等式两边同时除以负数时，不等号方向没有改变； （2）由解题过程可知，第三步是不等式两边同时乘以2去分母，因而第三步的依据是不等式的性质2， 故答案为：不等式的性质2； （3）， 由不等式①，去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：； 由不等式②，去分母，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：； 不等式组的解集为：， 故答案为：． 9．（2024·浙江·模拟预测）小丁和小迪分别解不等式的过程如下： 你认为他们的解法是否正确？若正确，请在框内（    ）处打“√”；若错误，请划出错误之处．若你觉得两人的解法均错，请写出正确的解答过程． 小丁：（    ） 解：去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 两边都除以7，得 小迪：（    ） 解：去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 两边都除以2，得 【答案】均错误，，过程见解析 【分析】此题考查了解一元一次方程，根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解一元一次方程，正确掌握解一元一次方程的解法是解题的关键． 【详解】解：两人均错误， 正确的解答过程如下： 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 两边都除以7，得． 10．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）下面是小海同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务： 解： 去分母，得      （第一步） 去括号，得 （第二步） 移项，合并同类项，得 （第三步） 系数化为1，得 （第四步） (1)解答过程中，从第_______步开始出错，错因是_______； (2)请你写出的正确解答过程，并把解集表示在数轴上． 解： 【答案】(1)一，去分母时，常数项1没有乘以最小公倍数 (2)，数轴见解析 【分析】本题考查求不等式的解集，并在数轴上表示出解集，熟练掌握解不等式的步骤，是解题的关键： （1）去分母时，常数项1没有乘以最小公倍数，出现错误； （2）去分母，去括号，移项，合并，系数化1求出不等式的解集，进而在数轴上表示解集即可。 【详解】（1）解：解答过程中，从第一步开始出现错误，错因是去分母时，常数项1没有乘以最小公倍数； 故答案为：一，去分母时，常数项1没有乘以最小公倍数； （2）， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并，得：， 系数化1，得：， 数轴表示解集如图： 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01不等式与不等式解法50题强化训练 题型归纳 目录 题型一：解一元一次不等式1 题型二：程序流程与不等式（组）的计算 题型三：不等式与不等式组的整数解 8 .16 题型四：解一元一次不等式组 …24 题型五：解不等式与不等式组错解复原问题29 题型专练 题型一：解一元一次不等式 1-4x-X. 1.(2526九年级下安徽安庆月考)解不等式： 2.(24-25七年级下·全国课后作业)利用不等式的基本性质解下列不等式： (1)4x+3<2x: (2)-10x<-5+3x 3.(24-25七年级下·全国课后作业)解下列不等式，并把其解集在数轴上表示出来. (1)2x+1)-1≥3x+2: ②3-2+ 81 4.(25-26八年级上浙江绍兴·期末)解下列一元一次不等式. (1)6+2x>7: 1+x<2-x-1 (2)23 5.(25-26七年级下·全国课后作业)解不等式，并将解集在数轴上表示出来. x-l≥-4+1. 3 2 6.(25-26七年级下·全国·周测)解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来. (1)2(-3+x)>3(x+2). 2x-1_5x+1≤1. (2)3-2 7.(25-26八年级下·全国周测)解不等式： (1)2x+3>5. 1/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 回子 3· 6)3-5x+3到≥3x-1 8 4 8.(25-26七年级下·全国·课后作业)解不等式，并把解集在数轴上表示出来. (1)2x-11≥4x-3)+3 2x-16x-7≥2x+5-1」 (2)3-4 -12 9.(25-26八年级下·全国课后作业)解下列不等式，并把解集表示在数轴上. 051 3x+2 2 o2s22-1 4 10.(25-26八年级下·全国周测)解下列不等式，并把解集表示在数轴上. (1)2(x-3)-2≤0 4x-1-x>1. (2) ⊙2-1sx-1 Γ32 题型二：程序流程与不等式（组）的计算 1.(24-25八年级下·陕西宝鸡期末)如图，林林设计了一个流程图，运行程序规定：以“输入一个值α” 到“结果是否大于18”为一次程序操作.如果得到的数小于或等于18，则用得到的数进行下一次操作.如 果要使程序一次就停止，那么输入的α的取值范围是什么？ 输入a一3 -9 >18 是停止 否 2.(22-23七年级下·江苏·周测)运行程序如图所示，从“输入实数x到“结果是否>8”为一次程序操作。 输入3-a 是 停止 否 (1)若输入x=2后程序操作仅进行了一次就输出结果，求a的取值范围： (2)当a=2时，输入x后程序操作进行了两次输出结果，求x的取值范围； 3.(24-25七年级下·江苏苏州期末)一位同学在编程课上设计了一个运算程序，如图所示： 2/12 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 输x 乘以2→减去3≥23 是停止 否 按上述程序进行运算，程序运行到“判断结果是否大于或等于23”为一次运行. (1)若x=6,该程序需要运行】 次才停止： (2)若该程序第一次运行后未停止，第二次运行后停止了，求x的取值范围， 4.(24-25七年级下·湖北咸宁·期末)按照如下程序操作，规定：从“输入一个值x”到“结果是否大于 95”为一次程序操作.如果结果得到的数小于或等于95，则用得到的这个数进行下一次操作。 输入 ×3 -1 >95> 是 停止 否 (1)如果程序操作进行一次就停止了，那么输入的x的取值范围是多少？ (2)如果程序操作进行了两次才停止，那么输入的x的取值范围是多少？ 5.(22-23七年级下·北京西城·期中)一位同学在编程课上设计了一个运算程序，如图所示. 输入x 乘以2 减去3 大于23 停止 否 按上述程序进行运算，程序运行到“判断结果是否大于23”为一次运行. ()若x=5,直接写出该程序需要运行多少次才停止： (2)若该程序只运行了3次就停止了，求x的取值范围 6.(24-25九年级下·河北邢台·期中)如图表示一个运算程序，输入一个数α，按照此程序进行运算后输出 的数为b. 输入a 是 a<0? b=9-a b=-3a+7 输出结果b (I)按照此程序进行运算，若a=-7,求b的值；若b=2,求a的值. (2)若a,b均为整数，且输出的结果b的范围为-8≤b≤1，求符合条件的a的值有几个。 7.(24-25七年级上·江苏准安·期末)小慧设计了一个如图的运算程序，程序每执行一次运算后按条件进 行判断，然后输出结果或继续执行下一次运算. 3/12 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 输入x >1m 否 是 输出/ (1)当a=2,k=3,m=15时， ①若输入x=3,则运算执行次后输出，输出结果为； ②若输入x执行2次运算后输出的结果等于6x-1,求x的值. (2)当a=-3时，若输入的x值能使程序进入无限循环，且每次执行运算的结果都相同，请直接写出输入的 x值及m的取值范围.（用含k的代数式表示） 8.(23-24七年级下·北京东城期中)按下图中程序进行计算，规定：从“输入x”到“结果是否>2”为一 次程序操作. 输入x 计算3x+1 取算数平方根 输出结果 否 (1)若开始输入的x值为1，则最后输出的结果是_： (2)若最后输出的结果是4，则开始输入的x值是_；若程序操作进行了两次才停止，则x的取值范围是_· 9. (24-25七年级下·安徽合肥·期中)在信息技术课上，王丽同学设计了如下运算程序： 判断结果 是 输入x 计算3x-2的值 是否≥552 输出结果 否 按上述程序运行到“结果是否≥55”时，称为一次“操作”. ()若一次“操作”就输出结果，求x的最小值： (2)若x=5,则输出结果是 (3)若三次“操作”才输出结果，求x的取值范围. 10.(24-25八年级上·湖南岳阳·期末)如图所示是一种程序运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于 100”为一次运算，若结果大于100，则输出此结果：若结果不大于100，则将此结果作为m的值再进行第 二次运算. 是 输入m 乘2 减去3 大于100 输出结果 否 (I)当m=50时，要经过几次运算才会停止，输出的数是多少？ (2)已知运算进行了三次后停止，求m的取值范围？ 4/12 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型三：不等式与不等式组的整数解 1.(2025七年级下·全国专题练习)(1)解不等式3x+1>2(x-),并写出它的负整数解： 2)解不等式、2中2-1，并号出它的正整数解。 3 x<2x+2① 2.(25-26九年级上·重庆·月考)求不等式组： 3x+1≤4x+3②的所有整数解。 2 3 3x+2>2(x-1)① 3.(23-24八年级上·河北保定·期末)解不等式组 岁@ ，并求出最小整数解与最大整数解的 和. 2(1-x)<x+8 4.(23-24八年级下·山东潍坊·月考)解不等式组 3x-2<-1· 6 3 (1)把解集表示在数轴上，并求出整数解： (2)若m是此不等式组的最大整数解，求1+m+m2++m2024+m2025的值. 3(2x-1<2x+8 5.(22-23七年级下·安徽安庆·月考)已知不等式组： 2+3x+ 2>3-x-1, 8 4 (I)求此不等式组的整数解； (2)若上述整数解满足不等式ar+6≤x-2a,化简a+1a-1. 6.(23-24七年级下·北京·期中)若不等式只有n个正整数解(n为自然数)，则称这个不等式为n阶不等 式.我们规定：当n=0时，这个不等式为0阶不等式 例如：不等式x+1<6只有4个正整数解，因此称其为4阶不等式. 不等式2<x+1<6有3个正整数解，因此称其为3阶不等式. 请根据定义完成下列问题： 0r<2是阶不等式：3<-x+1<1是阶不等式组： (2)若关于x的不等式1≤x<a是4阶不等式，a的取值范围为； (3)关于x的不等式n≤x<m的正整数解有a,a2,a,a4,…,其中4<a<a,<a4<….如果n≤x<m 是(m-3)阶不等式，且关于x的方程2x-m=0的解是不等式n≤x<m的正整数解a,直接写出m的值以 及n的取值范围. 5/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x+15 ->x-3 2 7.(23-24九年级下·福建自主招生)若关于的不等式组 2x+2<x+ 只有4个整数解，求的取值范 围. 8.(24-25七年级下·云南临沧期末)若不等式（组）有n(为自然数)个正整数解，则称这个不等式 x+2<7 (组)为n阶不等式（组），例如：x≤2有2个正整数解， 则称它为2阶不等式： x-2>-1有3个正整 数解，则称它为3阶不等式组，特殊地，如x<1,有0个正整数解，则称它为0阶不等式： x+1>2 0)判断：x+1<6是几阶不等式？2x-3<5是几阶不等式组？ 3x-6m<0 (2)已知关于的不等式组 2+3x≥c+9是4阶不等式组，求的取值范围. m r+by=c有一组整数解 x=X 9,(24-25七年级下北京·期中)阅读材料：关于，y,的二元一次方程 0则 =Y x=xo-bt 方程x+by=C 的全部整数解可表示为 (y=Yo+at (t为整数). 问题：求方程7x+19y=213的所有正整数解.小明参考阅读材料，解决该问题如下： 0=6 解：该方程一组整数解为 以，=9则全部整数解可表示为 x=6-19t (为整数). y=9+7t 6-19t>0 因为9+0解得- 7t<6 9因为，为整数，所以，=0或1 t=0 x=6 x=25 所以该方程的正整数解为=9和 y=2· 请你参考小明的解题方法，完成下面的问题： x=2+3t (①)方程5x-3y=1的全部整数解表示为： y=0+5t （,为整数)·则g的值是 (2)请你参照小明的方法，求3x+4y=48的全部正整数解： (3)方程5x+19y=2025的正整数解有 组 10.(22-23七年级下·福建龙岩·期末)（一）阅读材料 x=xo 若关于x,y的二元一次方程 程ax+=e有一组整数解 =’则方程 的全体整数解可表示为 ax+by=c 6/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x=xo+bt y=yo-at (t为整数)· 例题：求关于x,y的二元一次方程5x+11y=136的所有正整数解. 小明参考阅读材料，解决该例题如下： 解：，5x+11y=136, .x136-11y)÷5=27-3y+(1+4y)÷5, x,y要取整数， .当y=1时，x=25, x=25 ·该方程一组整数解为。=1’ x=25+11t ·其全体整数解为y=1-51 (t为整数). [25+11t>0 ·11-5t>0 25 1 .1 ,t为整数， .t=-2,-1或0， x=3 [x=14x=25 ·该方程的正整数解为y=11y=6和 y=1· (二)解决问题 x=a+5t )关于，y的二元一次方程3x+5y司4的全体整数解表示为=1-3！(1为整数)，则。 = (2)请参考阅读材料，直接写出关于x,y的二元一次方程19x-7y=155的一组整数解和它对应的全体整数 解； (3)请你参考小明的解题方法，求关于x,y的二元一次方程3十2y=23的全体正整数解. 题型四：解一元一次不等式组 2x+1≤5① 1.(25-26八年级下·全国·课后作业)解不等式组 1-x<3②，请根据题意完成下列问题. (I)解不等式①，得_： (2)解不等式②，得_： (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： 7/12 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3210123→ (4)该不等式组的解集为· x-1>3 2.(25-26八年级上·浙江绍兴·期末)解不等式组x-1<+2 23 x-1>2① 3.(2025九年级下山西专题练习)解不等式组： 2x+121② 03 4.(2025九年级下·山西·专题练习)解不等式组 5+1<2x- 2x+1>x-3 2x≥x-1① 5.(25-26八年级上·全国·期末)解不等式组 并在数轴上把解集表示出来. 2x+2)<3g 5-432012345 6.(25-26八年级下·全国课后作业)解下列不等式组： x<2x-2 (0-3<1+x [3x≤6 (2)14x+6>-2 x-2y=5 7.(25-26七年级下重庆月考)(1)解二元一次方程组：3x+y=8 3x+1>5-x (2)解一元一次不等式组： 2x+2≥3x· 2x+1>x-2 8.(2026北京一模)解不等式组： r+3 >2x 2 2(x+1)<x+6 9.(25-26九年级上·陕西榆林·月考)解不等式组： 10.(25-26七年级下·全国·课后作业)解下列不等式组： 3x+2>x① 2*s22 1)i1 8/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 [2-x>0① 2)5x+1+1≥2x-1② 2 3 题型五：解不等式与不等式组错解复原问题 ax+by=3 x=1 1.(24-25七年级下·四川眉山期中)在解方程组 cx-3y=-2时，甲正确解得方程组的解为=-1：乙 x=2 由于粗心看错了方程组中的，从而得到解为 y=1· (1)求c的正确值 (2)求不等式ax-b≤bx-c的正整数解， x-3y=8① 2.(2025·宁夏银川二模)解方程组 4r-3y=5②时，两位同学的解法如下： 解法一：由①-②，得3x=3:解法二：由②得3x+(x-3y)=5③：把①代入③得3x+8=5. ()上述两种解法的基本思想是“消元”，即把“二元”变为“一元”，在此过程中体现的数学思想是_； A.转化B.分类讨论C.演绎D.数形结合 (2)上述两种解法是否正确？你的判定是_；请直接写出此方程组的解_； A.都正确B.解法一错C.解法二错D.两种都错 3)若x+y>3张-1 2，求k的取值范围. 3.(24-25七年级下·湖南长沙·期末)错题是最好的素材，识错和辨错能有效的检测我们的知识漏洞，纠 错和改错则能培养我们严谨高阶的学科素养.以下是亮亮同学在解不等式组的过程： x-2(x-3>2① 解不等式组 2x+1>-1② 3 解：由①得，x-2x-6>2, .-x>8, .x>-8 由②得，2x+1>-1, .2x>-2 x>-1 .不等式组的解为x>-1 辨认他的错误思路，请你即行即改，写出正确的解答过程 4.（2425七年级下河北石家E期末)下面是小明同学解一元一次不等式1专，号的过程储认 9/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 真阅读并完成相应的任务。 解：去分母，得6-5x+4>3x-6.…第一步 移项，得-5x-3x>6+4-6.…第二步 合并同类项，得-8x>一8.…第三步 化系数为1，得X>1.…第四步 (1)去分母的依据是 ； (2)解答过程中，从前一步到后一步的变形，共出现 处错误，其中最后一处错误在第 步，错误 的原因是 3)请写出不等式1-5r+4x-2 6一>2的正确解答过程，并把解集表示在数轴上： -4-3-2-101234 t2x-1>1-x+2; 5.(2425七年级下·河南南阳期中)下面是明明同学解不等式3 4的过程，请认真阅读并完 成相应任务. 解：42x-1>1-3(x+2)…第一步 8.x-4>1-3x-6..第二步 8x+3x>1-6+4..第三步 11x>-1..第四步 1 x>- 1…第五步 任务： ()以上解不等式的过程中，第步开始出现错误，错误的原因是 (2)请正确地解此不等式. (3)除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解一元一次不等式时还需要注意的事项给其他同学提 一条建议. 2(1+x)>-1① 6.(24-25八年级下·河南郑州月考)以下是圆圆解不等式组 1-x>2② 的解答过程： 解：由①，得2+x>-1,第一步 ∴.x>-3.第二步 由②，得-x>1,第三步 .x>-1.第四步 故原不等式组的解集为x>-1.第五步 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出错误的步骤和错误原因，并写出正确的解答过程. 10/12