专题02实数易错必刷题型专项训练(26大题型共计85道题)2025-2026学年湘教版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦实数全章26类高频易错题型，通过典题特征与易错点双维度提炼，构建从概念辨析到综合应用的系统化突破路径，培养抽象能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平方根与算术平方根|题型1-12（12类）|非负性应用、估算区间判定、符号规则总结|从定义（平方根性质）到应用（解方程、实际问题），层层递进| |立方根|题型13-16（4类）|正负符号规律、小数点移动法则|类比平方根学习路径，强化与平方根的性质差异| |实数综合|题型17-26（10类）|分类标准、大小比较技巧、新定义运算转化|整合平方根与立方根知识，拓展至实数性质、运算及规律探索，培养推理意识|

专题02实数易错必刷题型专项训练 本专题汇总实数全章考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.求一个数的平方根 题型02.求一个数的算术平方根 题型03.利用算术平方根的非负性解题 题型04.估计算术平方根的取值范围 题型05.与算术平方根有关的规律探索题 题型06.无理数的大小估算 题型07.求一个数的近似数 题型08.求近似数的精确度 题型09.求代数式的平方根 题型10.由一个数的平方根.求这个数 题型11.利用平方根解方程 题型12.算术平方根的实际应用 题型13.求一个数的立方根 题型14.由一个数的立方根,求这个数 题型15.与立方根有关的规律探索题 题型16.立方根的实际应用 题型17.算术平方根和立方根的综合应用 题型18.实数的分类 题型19.实数与数轴 题型20.实数的性质 题型21.实数的混合运算 题型22.实数的大小比较 题型23.新定义的实数运算 题型24.实数运算的实际应用 题型25.与实数运算相关的规律题 题型26.无理数整数部分的有关计算 易错必刷题型01.求一个数的平方根 典题特征：给定非负数，要求写出其所有平方根；包含正数、0、带分数、小数、完全平方数与非完全平方数各类形式 易错点：①易遗漏负平方根；②分数小数开方计算易出错；③零的平方根概念易混淆；④书写时容易缺失正负符号 1．下列各式中正确的是（     ） A． B． C． D． 2．若，则的平方根是__________． 3．已知：和是的两个不同的平方根 (1)求的值． (2)求的平方根． 易错必刷题型02.求一个数的算术平方根 典题特征：给定非负数求解算术平方根，常结合二次根式化简综合考查 易错点：①易多出负的结果；②分数小数开方计算失误；②混淆算术平方根与平方根判定规则；④化简根式忽略底数正负 4．有一个数值转换器原理如图．当输入时，输出的数是________． 5．如图，字母b的取值如图所示，化简的结果是（    ） A． B．3 C． D．b 6．计算： 易错必刷题型03.利用算术平方根的非负性解题 典题特征：式子内含算术平方根，结合绝对值、平方数非负特性联立等式，求解字母数值 易错点：①忽略被开方数取值范围；②非负数和为零未逐项归零计算；③列方程易出现书写错误；④求解后不检验取值合理性 7．若，则的值为（   ） A． B．1 C．32026 D． 8．若与互为相反数，则________． 9．已知a、b均为实数且与互为相反数，则________． 10．已知与互为相反数． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 易错必刷题型04.估计算术平方根的取值范围 典题特征：判定非完全平方数算术平方根所处整数区间，求解无理数整数部分与小数部分 易错点：①选取参照平方数出现偏差；②大小对应关系判断颠倒；③估算数值误差偏大；④小数部分书写格式不规范 11．如图是我国古代所用的指南针，古人称它为司南．当它静止的时候，勺柄就会指向南方，已知司南的长度与最大宽度的比值为．请估计这个比值在（   ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 12．若一个边长为a正方形的面积为30，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．《清秘藏》是明代所著工艺美术鉴赏著作，其中所述的刺绣在中国经过长时间的发展，已经形成了极高的工艺水平和独特的工艺门类．现有一张长方形绣布，长、宽之比为，绣布面积为． (1)求绣布的长和宽； (2)刺绣师傅想利用这张绣布裁出一张面积为的完整圆形绣布来绣花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由．（取3） 易错必刷题型05.与算术平方根有关的规律探索题 典题特征：给出多组算术平方根算式，归纳数值、小数点移动变化规律，推导通用表达式 易错点：①难以总结指数变化规律；②小数点位移关系判断错误；③套用规律计算数值出错 14．已知，，，，则（   ） A．22.36 B．223.6 C．70.71 D．707.1 15．下面是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵的规律，第行（从左往右数）最后一个数是_____．（用含的代数式表示） 16．观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： ①， ②， ③， ④． (1)观察算式规律，计算______，______； (2)用含正整数的式子表示上述算式的规律：______； (3)计算： 易错必刷题型06.无理数的大小估算 典题特征：估算无理数近似数值，对比两个及以上无理数、无理数与有理数的大小关系 易错点：①参照数值选取不当造成估算偏差；②未统一形式直接比较大小；③正负数值大小判断失误 17．设，则实数n所在的范围是（    ） A． B． C． D． 18．已知，，均为正整数． （1）若，则___________； （2）若，，则满足条件的的个数比的个数少________． 19．正整数a、b分别满足、，则_____． 20．在手工课上，小丽拿着面积为的正方形卡纸进行裁剪做手工．根据要求解答下列问题： (1)正方形卡纸的边长是_____； (2)现在手工老师要求同学们裁出一块面积为的长方形纸片，且长与宽的比为．小丽正在发愁，小丽的同桌见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片！”你同意小丽同桌的说法吗？请说明理由． 易错必刷题型07.求一个数的近似数 典题特征：按照指定数位要求，对实数、无理数进行四舍五入取近似数值 易错点：①未按精度要求取舍数字；②带单位数值处理不当；③中途取近似值导致最终结果偏差 21．用四舍五入法对取近似数（精确到百分位），正确的是（    ） A． B． C． D． 22．DeepSeek是中国深度求索公司研发的高性能AI语言模型，广泛应用于智能客服、数据分析等领域．2026年1月，DeepSeek全球月活跃用户数突破46200000个，创下行业新纪录．用科学记数法表示46200000并精确到百万位，下列正确的是（   ） A． B． C． D． 23．下列叙述中的各数，___________是近似数； ___________是准确数．（只填序号） ①小琳称得体重为；②现在的气温是；③七年级二班领到数学教材48本；④某汽车厂2016年生产汽车54500辆． 24．回忆课本中探究有多大的方法，完成下列各题： (1)直接写出的近似值（用四舍五入法精确到个位）； (2)直接写出的近似值（用四舍五入法精确到十分位）； (3)若，其中为正整数，，若均为有理数，且，求的值． 易错必刷题型08.求近似数的精确度 典题特征：根据给出近似数，判定数字精确对应的数位，包含常规小数、科学记数法、带单位数值 易错点：①科学记数法精确度判断有误；②带单位数值未还原原数判定；③混淆精确度与有效数字概念 25．近似数表示精确到（    ） A．千位 B．万位 C．十分位 D．百分位 26．下列说法中正确的是（   ） A．0是最小的正整数 B．多项式是三次三项式 C．1.30万精确到百分位 D．单项式的系数是 27．用四舍五入法，按括号内的要求对下列数取近似值． （1）0.008435（保留三个有效数字） ≈_________； （2）12.975（精确到百分位） ≈_________； （3）548203（精确到千位） ≈_________； （4）5365573（保留四个有效数字）≈_________． 易错必刷题型09.求代数式的平方根 典题特征：对含字母整式、平方形式代数式，计算对应的平方根数值 易错点：①未判断取值范围直接开方；②化简遗漏绝对值符号；③结果缺少正负符号 28．已知正实数x 的平方根分别是n和．若 则的平方根为__________． 29．一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（   ） A． B． C． D． 30．（1）已知正数x的两个平方根分别是和，求和x的值； （2）若，求的平方根． 易错必刷题型10.由一个数的平方根.求这个数 典题特征：已知正数两个互为相反数的平方根，逆向计算原本实数数值 易错点：①不会利用相反数性质列式；②解方程符号运算出错；③求出参数后忘记回代计算原数 31．一个数的两个平方根分别是与，则这个数是（   ） A． B．25 C．5 D． 32．已知实数b是的平方根，当a为非负整数时，满足是有理数，则b的值可以是______． 33．若一个正实数m的两个平方根分别是和． (1)求x的值； (2)求m的值． 易错必刷题型11.利用平方根解方程 典题特征：求解平方形式一元方程，依据平方根定义计算方程实数解 易错点：①开方遗漏正负号；②带括号方程运算步骤混乱；③移项化简符号出错 34．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 35．现在定义一种运算，其规则为，根据此规则，如果x满足，那么x的值为（    ） A． B． C． D． 36．若的值是0，则（y﹣2）2021＝________． 37．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)． 易错必刷题型12.算术平方根的实际应用 典题特征：结合正方形边长面积、线段长度等几何场景，生活长度计量场景列式计算 易错点：①依据题意列式错误；②计算单位不统一；③保留不符合实际的负数值解 38．如图所示，从一个大正方形中剪掉两个小正方形，若剪掉的面积分别为和，则剩余（阴影）部分的面积为（ ） A． B． C． D． 39．如图，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大的正方形， （1）则大正方形的边长是 _____cm； （2）若将此大正方形纸片的局部剪掉，_____（填“能”或“否”）剩下一个长宽之比为且面积为的长方形纸片． 40．某地举办了“绘少年力量，画无烟未来”绘画大赛．米米想用一块面积为的正方形画布画上自己的参赛作品 (1)正方形画布的边长为________； (2)米米用铅笔打完草稿图发现画布有点大，想沿边裁出一块面积为的长方形画布，若使长方形画布的长、宽之比为，米米能用这块画布裁出符合要求的画布吗？若能，请帮米米设计一种裁剪方案；若不能，请简要说明理由． 易错必刷题型13.求一个数的立方根 典题特征：针对正数、负数、零、分数、小数各类数字，求解对应立方根 易错点：①负数立方根符号判断错误；②分数小数开立方计算失误；③混淆立方根与平方根性质 41．下列各式正确的是（　　）． A． B． C． D． 42．阅读下面材料： 已知59319，274625都是整数的立方，，，，则．请根据上面的材料解决下面问题：__________． 43．小吴设计了一个如图所示的程序运算，如果输入的值是8，那么输出的值是，当输入的值是27时，输出的值是（   ） A．3 B． C． D． 44．观察下列计算过程，猜想立方根． ，，，，，，，，； (1)小明是这样试求出的立方根的．先估计的立方根的个位数，猜想它的个位数为______，又由；猜想的立方根的十位数为_______，可得的立方根； (2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空： ①______，②______． 易错必刷题型14.由一个数的立方根,求这个数 典题特征：给出立方根具体数值，通过立方运算逆向推算原实数 易错点：①负数立方运算符号出错；②分数小数立方计算失误；③混淆开方与乘方互逆运算 45．已知是整数，则满足条件的正整数最小是（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 46．是的平方根，是的立方根，则的值为（   ） A．1或 B． C．1 D．或5 47．已知，且与互为相反数，则y的值为______． 48．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)． 易错必刷题型15.与立方根有关的规律探索题 典题特征：罗列多组立方根计算算式，总结数值变化规律，推算后续计算结果 易错点：①无法归纳数值变化规律；②小数点位移规律判断偏差；③规律运用计算出错 49．已知，，那么约为（   ） A． B． C． D． 50．观察下表规律，利用规律解答，若，则_________． 0.008 8 8000 8000000 0.2 2 20 200 51．阅读下面内容，并解答问题． 据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求出它的立方根．华罗庚不假思索地给出了答案，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥秘． (1)请按照下面的分析试一试： ①由，，可知是______位数； ②由59319的个位上的数是9，可知的个位上的数是______； ③如果划去59319后面的三位319得到59，而，，由此确定的十位上的数是______； ④因此，______． (2)求的值． 易错必刷题型16.立方根的实际应用 典题特征：依托正方体体积棱长、容积计算等实际问题，运用立方根列式求解 易错点：①实际数量关系式列写错误；②棱长体积换算计算出错 52．一种正方体形状的集装箱，体积是，这种正方体集装箱的棱长是（    ） A． B． C． D． 53．每年农历八月十五是我国传统的中秋佳节，这时是一年秋季的中期，所以被称为中秋．自古便有中秋节赏月品月饼的习俗，某商店的李师傅制作的正方体月饼礼盒的体积为，而康师傅制作的正方体．月饼礼盒的体积比李师傅制作的小，则康师傅制作的正方体月饼礼盒的表面积为______· 54．已知甲正方体纸盒的底面积为，乙正方体纸盒的体积比甲正方体纸盒的体积大，丙正方体纸盒的体积是乙正方体纸盒体积的． (1)求乙正方体纸盒的棱长； (2)求丙正方体纸盒的棱长． 易错必刷题型17.算术平方根和立方根的综合应用 典题特征：同一题目内同时考查平方根、立方根定义性质，混合列式计算求值 易错点：①混淆两类开方运算规则；②混合运算顺序错乱；③符号判定频繁出错 55．如果是8的立方根，则的算术平方根是（   ） A．2 B． C． D． 56．已知4m+15的算术平方根是3，2﹣6n的立方根是﹣2，则＝___． 57．已知一个正数的平方根分别是和，又的立方根为． (1)求a，b的值； (2)求的算术平方根． 易错必刷题型18.实数的分类 典题特征：依据定义将实数划分有理数、无理数，细分整数、分数类别 易错点：①错误判定无限循环小数类别；②片面判定带根号数字属性 58．若用表示有理数，表示无理数，表示分数，则下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（   ） A． B． C． D． 59．下列4个数：，，π﹣3.14，，其中无理数有_____个． 60．在下列各数中，选择合适的数填入相应的集合中． ，，，，，0，，，（小数部分由相继的正整数组成）． (1)有理数集合：{                                     …}； (2)无理数集合：{                                     …}； (3)正实数集合：{                                     …}； (4)负实数集合：{                                     …}． 易错必刷题型19.实数与数轴 典题特征：将实数对应标注数轴点位，依据数轴位置判定实数大小、化简式子 易错点：①无理数数轴定位偏差；②依托数轴化简式子符号出错 61．如图，正方形的面积为5，顶点在数轴上表示的数为0，若点在数轴上（点在点的左侧），且，则点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 62．如图，在数轴上竖直摆放一个直径为2个单位长度的半圆，该半圆沿数轴从原点O开始向右无滑动地滚动，半圆直径的一个端点从原点O到达点（如图），则点对应的数是______．（结果保留） 63．已知的位置如图所示，化简： 易错必刷题型20.实数的性质 典题特征：考查实数相反数、倒数、绝对值基础性质，结合性质化简计算 易错点：①负数绝对值化简符号错误；②无理数倒数计算易出错 64．下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 65．如图，已知实数在数轴上的对应点，化简：的结果是 ___________． 66．若是无理数，是有理数，则下列结论正确的是（   ） A．一定是无理数 B．一定是无理数 C．一定是有理数 D．一定是无理数 易错必刷题型21.实数的混合运算 典题特征：包含开方、乘方、加减乘除的实数综合计算题型 易错点：①运算先后顺序颠倒；②根式化简不彻底参与计算 67．下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 68．已知有理数a，b满足，则_____． 69．计算与解方程： (1)； (2)． 易错必刷题型22.实数的大小比较 典题特征：多个常规实数、根式实数之间对比数值大小，排列数值顺序 易错点：①负数大小比较规则运用错误；②根式数值盲目对比大小 70．在实数，0，，中最小的是（    ） A． B．0 C． D． 71．比较大小：（1）___________；（2）__________． 72．在数轴上标出表示下列各数的点，并将这些数按从小到大的顺序用“”连接起来． 易错必刷题型23.新定义的实数运算 典题特征：设定全新运算规则，结合实数开方、四则运算完成计算 易错点：①无法理解新式运算规则；②括号运算优先级处理不当 73．定义关于任意正整数的一种新运算：．若规定，则（   ） A．3 B．6 C．18 D．81 74．小霞同学规定了一种新运算：对于任意实数，都有．按照这个规定，计算的平方根为___________． 75．对实数a，b定义一种新运算，规定：（其中k为非零常数），例如：．已知，若，则_______；_______． 76．我们规定，若实数，满足，则称与是关于的完美数． (1)若与是关于的完美数，则的值为_____； (2)若与是关于的完美数，求的值； (3)若有理数，满足，判断与是否是关于的完美数． 易错必刷题型24.实数运算的实际应用 典题特征：运用实数混合计算、开方运算解决生活计量、几何测算问题 易错点：①题意等量关系梳理错误；②基础运算计算失误 77．如图，按照国际标准，系列纸的长与宽的比例均符合；其中，纸的面积为；将纸沿两条长边中点的连线裁切，就得两张纸；再将纸沿两条长边中点的连线裁切得两张纸…依此类推，得等等的纸张（如图所示）．若设纸张的宽为，则下列列式正确的是（    ） A． B． C． D． 78．如图1的瓶子中盛满水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2的杯子中，一共需要____个图2这样的杯子．（单位：）（温馨提示：） 79．有一个底面积为，长、宽、高的比为的长方体纸盒（纸板厚度忽略不计）．根据计算回答问题： (1)这个长方体纸盒的长、宽、高分别是多少？ (2)这个纸盒的体积是多少？ (3)这个纸盒是否能够完全容纳一支长度为的铅笔？ 易错必刷题型25.与实数运算相关的规律题 典题特征：给出多组实数运算式子，探寻运算规律，求解指定项数值 易错点：①难以总结式子运算规律；②套用规律计算数值出错 80．观察并分析下列数据，寻找规律：，，，，，，，，那么第9个数据应是（   ） A． B． C． D． 81．已知，，，⋯，，其中为正整数．设，则的值是________． 82．阅读下列解题过程，解答问题． ； ； ； … (1) ， ； (2)观察上面的解题过程，求（为自然数）； (3)计算： ． 易错必刷题型26.无理数整数部分的有关计算 典题特征：确定无理数整数部分与小数部分，结合数值完成代数式计算 易错点：①整数部分区间判断错误；②代入代数式运算计算出错 83．实数的整数部分是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 84．已知x，y满足等式 是的小数部分，则的值为__________ 85．阅读材料：∵，∴的整数部分为2，的小数部分为． (1)的小数部分是多少？ (2)已知是的整数部分，是的小数部分，求代数式的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02实数易错必刷题型专项训练 本专题汇总实数全章考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.求一个数的平方根 题型02.求一个数的算术平方根 题型03.利用算术平方根的非负性解题 题型04.估计算术平方根的取值范围 题型05.与算术平方根有关的规律探索题 题型06.无理数的大小估算 题型07.求一个数的近似数 题型08.求近似数的精确度 题型09.求代数式的平方根 题型10.由一个数的平方根.求这个数 题型11.利用平方根解方程 题型12.算术平方根的实际应用 题型13.求一个数的立方根 题型14.由一个数的立方根,求这个数 题型15.与立方根有关的规律探索题 题型16.立方根的实际应用 题型17.算术平方根和立方根的综合应用 题型18.实数的分类 题型19.实数与数轴 题型20.实数的性质 题型21.实数的混合运算 题型22.实数的大小比较 题型23.新定义的实数运算 题型24.实数运算的实际应用 题型25.与实数运算相关的规律题 题型26.无理数整数部分的有关计算 易错必刷题型01.求一个数的平方根 典题特征：给定非负数，要求写出其所有平方根；包含正数、0、带分数、小数、完全平方数与非完全平方数各类形式 易错点：①易遗漏负平方根；②分数小数开方计算易出错；③零的平方根概念易混淆；④书写时容易缺失正负符号 1．下列各式中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据表示的算术平方根，结果为非负数，表示的平方根，计算每个选项，判断等式是否成立． 【详解】解：A、表示的平方根，，，故符合题意； B、，算术平方根结果为非负数，，故不符合题意； C、，故不符合题意； D、，故不符合题意． 2．若，则的平方根是__________． 【答案】 【分析】根据绝对值和平方的非负性列出方程组，根据整体思想求出的值，再根据平方根的概念得出答案． 【详解】解：， ， 得：， 即， 的平方根是． 3．已知：和是的两个不同的平方根 (1)求的值． (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是平方根，正数的平方根有两个，且互为相反数．掌握正数的平方根互为相反数是解题的关键． （1）利用正数的平方根有两个，且互为相反数列出方程，求出方程的解，即可求解； （2）先求出的值，利用平方根的定义即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得：， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵的平方根为， ∴的平方根为． 易错必刷题型02.求一个数的算术平方根 典题特征：给定非负数求解算术平方根，常结合二次根式化简综合考查 易错点：①易多出负的结果；②分数小数开方计算失误；②混淆算术平方根与平方根判定规则；④化简根式忽略底数正负 4．有一个数值转换器原理如图．当输入时，输出的数是________． 【答案】 【详解】由题意得：当时，输出的数为，是有理数， 当时，输出的数为，是有理数， 当时，输出的数为，是无理数； 所以最后输出的数是． 5．如图，字母b的取值如图所示，化简的结果是（    ） A． B．3 C． D．b 【答案】B 【分析】由数轴可得，则，，再结合绝对值和算术平方根的性质计算即可得出结果． 【详解】解：由数轴可得：， ∴，， ∴ ． 6．计算： 【答案】6 【分析】首先计算乘方和算术平方根，然后计算加法． 【详解】解： ． 易错必刷题型03.利用算术平方根的非负性解题 典题特征：式子内含算术平方根，结合绝对值、平方数非负特性联立等式，求解字母数值 易错点：①忽略被开方数取值范围；②非负数和为零未逐项归零计算；③列方程易出现书写错误；④求解后不检验取值合理性 7．若，则的值为（   ） A． B．1 C．32026 D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 8．若与互为相反数，则________． 【答案】 【分析】根据非负数的性质列出方程求出a，b的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ， ，且， ， ． 9．已知a、b均为实数且与互为相反数，则________． 【答案】1 【分析】由算术平方根的非负性得，，由相反数的性质得，得出，，即可求解． 【详解】解：与互为相反数， ， 又，， ，， ，， ，， ． 10．已知与互为相反数． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查的是相反数的性质，非负数的性质解平方根的含义，由非负数的性质建立方程求解是解本题的关键． （1）由相反数的性质得出，再根据非负数的性质建立方程求解即可； （2）根据（1）中所得、的值得出，再求出平方根即可得答案． 【详解】（1）解：∵与互为相反数， ∴， ∵，， ∴，， 解得：，． （2）解：∵，， ∴， ∴的平方根为． 易错必刷题型04.估计算术平方根的取值范围 典题特征：判定非完全平方数算术平方根所处整数区间，求解无理数整数部分与小数部分 易错点：①选取参照平方数出现偏差；②大小对应关系判断颠倒；③估算数值误差偏大；④小数部分书写格式不规范 11．如图是我国古代所用的指南针，古人称它为司南．当它静止的时候，勺柄就会指向南方，已知司南的长度与最大宽度的比值为．请估计这个比值在（   ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】B 【详解】解：， ， 即， ， 即 该比值在4和5之间． 12．若一个边长为a正方形的面积为30，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了估计无理数以及算术平方根等知识，得出的大致范围是解题关键，首先利用，进而得出答案． 【详解】一个边长为的正方形的面积为30， ， ， ， 故选：C． 13．《清秘藏》是明代所著工艺美术鉴赏著作，其中所述的刺绣在中国经过长时间的发展，已经形成了极高的工艺水平和独特的工艺门类．现有一张长方形绣布，长、宽之比为，绣布面积为． (1)求绣布的长和宽； (2)刺绣师傅想利用这张绣布裁出一张面积为的完整圆形绣布来绣花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由．（取3） 【答案】(1)长为，宽为 (2)不能裁出来，理由见解析 【分析】（1）设绣布的长为，宽为，根据面积列方程求解； （2）设完整的圆形绣布的半径为，根据圆面积公式列式，进行计算得，然后判断出，即可作答． 【详解】（1）解：∵长、宽之比为 ∴设绣布的长为，宽为， 根据题意，得 ∴ ∴绣布的长为，宽为； （2）解：不能裁出来，理由如下： 设完整的圆形绣布的半径为 根据题意得，， ∴ 解得（负值已舍去） 则， ∴， 由（1）得绣布的长为，宽为， ∴不能裁出来． 易错必刷题型05.与算术平方根有关的规律探索题 典题特征：给出多组算术平方根算式，归纳数值、小数点移动变化规律，推导通用表达式 易错点：①难以总结指数变化规律；②小数点位移关系判断错误；③套用规律计算数值出错 14．已知，，，，则（   ） A．22.36 B．223.6 C．70.71 D．707.1 【答案】A 【分析】根据被开方数的小数点每向左或向右移动2位，其算术平方根的小数点相应地向左或向右移动1位，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 15．下面是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵的规律，第行（从左往右数）最后一个数是_____．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】从数阵的每一行可以找到规律是二次根式里面依次加1，观察每行的最后1个数，总结规律即可得答案． 【详解】解：第1行的最后一个数为， 第2行的最后一个数为， 第3行的最后一个数为， 第4行的最后一个数为， ……． 第n行的最后一个数为． 16．观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： ①， ②， ③， ④． (1)观察算式规律，计算______，______； (2)用含正整数的式子表示上述算式的规律：______； (3)计算： 【答案】(1)7，21 (2) (3) 【分析】（1）观察可知，一个正整数与比它大4的乘积与4的和的算术平方根等于这个正整数与2的和，据此可得答案； （2）根据（1）的规律可知答案； （3）根据（2）的规律把所求式子的每一项变形，再计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， （2）解：①， ②， ③， ④， ……， 以此类推，可知； （3）解： ． 易错必刷题型06.无理数的大小估算 典题特征：估算无理数近似数值，对比两个及以上无理数、无理数与有理数的大小关系 易错点：①参照数值选取不当造成估算偏差；②未统一形式直接比较大小；③正负数值大小判断失误 17．设，则实数n所在的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查无理数的范围．用夹逼法估算无理数的范围，先确定的取值范围，再推导的范围即可． 【详解】解：∵ ，，且 ， ∴ ，即 ， 不等式三边同时减，得 ， 即 ， ∵ ， ∴ ，故选A． 18．已知，，均为正整数． （1）若，则___________； （2）若，，则满足条件的的个数比的个数少________． 【答案】 【分析】（1）由即可得到答案； （2）由，，可得，，进一步分析即可得到答案． 【详解】解：（1）∵，而， ∴； （2）∵，， ∴，， ∵a，b均为正整数． ∴满足条件的有个，满足条件的有个， ∴满足条件的a的个数比b的个数少（个）． 19．正整数a、b分别满足、，则_____． 【答案】16 【分析】此题考查了无理数的估算和代数式值，根据无理数的估算得到，代入即可求出答案． 【详解】解：∵a，b为正整数，、， 又∵，， ∴， ∴， 故答案为：16． 20．在手工课上，小丽拿着面积为的正方形卡纸进行裁剪做手工．根据要求解答下列问题： (1)正方形卡纸的边长是_____； (2)现在手工老师要求同学们裁出一块面积为的长方形纸片，且长与宽的比为．小丽正在发愁，小丽的同桌见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片！”你同意小丽同桌的说法吗？请说明理由． 【答案】(1)20 (2)不同意；见解析 【分析】（1）设正方形的边长为，根据题意，得，求x的算术平方根即可； （2）设长方形的长为，宽为，根据题意，得，解答即可． 【详解】（1）解：设正方形的边长为，根据题意，得， 解得，，边长不能为负，不符合要求，舍去， 故正方形的边长为； （2）解：设长方形的长为，宽为， 根据题意，得， 解得，，舍去， 故长方形的长为，宽为， 因为， 所以， 所以， 长方形的长大于正方形的边长， 故一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片的说法是错误的， 故不同意小丽同桌的说法． 易错必刷题型07.求一个数的近似数 典题特征：按照指定数位要求，对实数、无理数进行四舍五入取近似数值 易错点：①未按精度要求取舍数字；②带单位数值处理不当；③中途取近似值导致最终结果偏差 21．用四舍五入法对取近似数（精确到百分位），正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一个数的近似数，精确到百分位需看千分位数字，根据四舍五入规则处理即可． 【详解】解：精确到百分位，得． 故选：B． 22．DeepSeek是中国深度求索公司研发的高性能AI语言模型，广泛应用于智能客服、数据分析等领域．2026年1月，DeepSeek全球月活跃用户数突破46200000个，创下行业新纪录．用科学记数法表示46200000并精确到百万位，下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查科学记数法与近似数，需将数字精确到百万位并用科学记数法表示，其中科学记数法的形式为，且系数a满足，然后问题可求解． 【详解】解：∵百万位为，46200000精确到百万位需看十万位（），十万位数字为， ∴舍去，得46000000， ∴， 故选D． 23．下列叙述中的各数，___________是近似数； ___________是准确数．（只填序号） ①小琳称得体重为；②现在的气温是；③七年级二班领到数学教材48本；④某汽车厂2016年生产汽车54500辆． 【答案】 ①② ③④ 【分析】根据准确数就是真实准确的数，而近似数就是与准确数相接近，通过估计得到的数，然后根据准确数和近似数的定义即可解答本题． 本题考查近似数和有效数字，解答本题的关键是明确题意近似数的定义． 【详解】解：①小琳称得体重为，38是近似数； ②现在的气温是，是近似数； ③七年级二班领到数学教材48本，48是准确数； ④某汽车厂年生产汽车辆，是准确数． 故答案为：①②；③④． 24．回忆课本中探究有多大的方法，完成下列各题： (1)直接写出的近似值（用四舍五入法精确到个位）； (2)直接写出的近似值（用四舍五入法精确到十分位）； (3)若，其中为正整数，，若均为有理数，且，求的值． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键． （1）估算无理数的大小即可； （2）估算无理数的大小即可； （3）估算无理数的大小即可． 【详解】（1）解：，即， 的整数部分为1， 又，而， ， ； （2），即， 的整数部分为3， 又，， ，即的十分位上数字是6， ； ； （3） 的整数部分是2， 又，， （精确到十分位）； 的整数部分为，小数部分为， ，其中m为正整数，， ， ， ， ． 易错必刷题型08.求近似数的精确度 典题特征：根据给出近似数，判定数字精确对应的数位，包含常规小数、科学记数法、带单位数值 易错点：①科学记数法精确度判断有误；②带单位数值未还原原数判定；③混淆精确度与有效数字概念 25．近似数表示精确到（    ） A．千位 B．万位 C．十分位 D．百分位 【答案】A 【分析】对于用科学记数法表示的近似数，判断精确到哪一位时，需要先将其还原为原数，再看有效数字的末位在原数中的数位即可. 【详解】解：∵ ， ∴ 原数中近似数的末位数字5位于千位， ∴ 近似数精确到千位. 26．下列说法中正确的是（   ） A．0是最小的正整数 B．多项式是三次三项式 C．1.30万精确到百分位 D．单项式的系数是 【答案】B 【分析】根据正整数、多项式、近似数的精确度、单项式系数的相关概念，逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】解：A选项：∵0不是正整数，最小的正整数是1，∴A错误，不符合题意； B选项：∵多项式的最高次项为，次数为，该多项式共有3个单项式，∴该多项式是三次三项式，∴B正确，符合题意； C选项：∵1.30万，末尾的0在百位，∴1.30万精确到百位，∴C错误，不符合题意； D选项：∵单项式中，是常数，∴该单项式的系数为，∴D错误，不符合题意． 27．用四舍五入法，按括号内的要求对下列数取近似值． （1）0.008435（保留三个有效数字） ≈_________； （2）12.975（精确到百分位） ≈_________； （3）548203（精确到千位） ≈_________； （4）5365573（保留四个有效数字）≈_________． 【答案】 0.00844 12.98 【分析】（1）根据有效数字的定义（对于一个近似数，从左边第一个不是零的数字起，往右到末位数字为止的所有数字，叫做这个近似数的有效数字）即可得； （2）根据精确度的定义（近似数与准确数的接近程度即近似程度，对近似程度的要求，叫做精确度）即可得； （3）根据精确度的定义（近似数与准确数的接近程度即近似程度，对近似程度的要求，叫做精确度）即可得； （4）根据有效数字的定义（对于一个近似数，从左边第一个不是零的数字起，往右到末位数字为止的所有数字，叫做这个近似数的有效数字）即可得． 【详解】解：（1）保留三个有效数字：， （2）精确到百分位：， （3）精确到千位：， （4）保留四个有效数字：， 故答案为：，，，． 【点睛】本题考查了有效数字和精确度，熟记各定义是解题关键． 易错必刷题型09.求代数式的平方根 典题特征：对含字母整式、平方形式代数式，计算对应的平方根数值 易错点：①未判断取值范围直接开方；②化简遗漏绝对值符号；③结果缺少正负符号 28．已知正实数x 的平方根分别是n和．若 则的平方根为__________． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的定义，解题的关键是掌握平方根的定义进行解题． 根据平方根的定义，先求出，然后求出，最后根据平方根的定义即可得到答案． 【详解】解：正实数x 的平方根分别是n和． ， 若 则， 解得， ， ， 则的平方根为． 故答案为：． 29．一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根，以及已知一个数的平方根，求这个数，先用a表示该自然数，然后再求出这个自然数相邻的下一个自然数，进而得到其平方根． 【详解】解：由题意可知：该自然数为， 该自然数相邻的下一个自然数为， 的平方根为． 故选：D． 30．（1）已知正数x的两个平方根分别是和，求和x的值； （2）若，求的平方根． 【答案】（1），    （2） 【分析】本题考查了平方根的应用： （1）根据平方根的定义可得，求得的值，进而求得和x； （2）根据被开方数为非负数，可得，求得的值，代入求得的平方根即可． 【详解】解：（1）， 解得， 则， ； （2）， ， ， 则的平方根是． 易错必刷题型10.由一个数的平方根.求这个数 典题特征：已知正数两个互为相反数的平方根，逆向计算原本实数数值 易错点：①不会利用相反数性质列式；②解方程符号运算出错；③求出参数后忘记回代计算原数 31．一个数的两个平方根分别是与，则这个数是（   ） A． B．25 C．5 D． 【答案】B 【分析】本题利用平方根的性质解题，一个正数的两个平方根互为相反数，据此先求出的值，再计算得到原数即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数 ∴ 整理得 解得 将代入其中一个平方根，得 ∵ ∴这个数是． 32．已知实数b是的平方根，当a为非负整数时，满足是有理数，则b的值可以是______． 【答案】0或或 【分析】先由条件可得，且为整数，则，再分别讨论即可求解． 【详解】解：∵实数b是的平方根， ∴，， ∴，， ∴当a为非负整数时，， ∴，且为整数， ∴， 当，即时，，是有理数，符合题意； 当，即时，，是无理数，不符合题意； 当，即时，，是无理数，不符合题意； 当，即时，，是有理数，符合题意； 当，即时，，是无理数，不符合题意； 综上所述，b的值可以是0或或． 33．若一个正实数m的两个平方根分别是和． (1)求x的值； (2)求m的值． 【答案】(1) (2)16 【分析】（1）根据正实数的两个平方根互为相反数，列方程求解即可； （2）由平方根的平方可得m的值． 【详解】（1）解：∵正实数m的两个平方根分别是和， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴． 易错必刷题型11.利用平方根解方程 典题特征：求解平方形式一元方程，依据平方根定义计算方程实数解 易错点：①开方遗漏正负号；②带括号方程运算步骤混乱；③移项化简符号出错 34．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据平方根的定义解方程，先移项，然后根据平方根的定义，解方程，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴， 解得：， 故选：D． 35．现在定义一种运算，其规则为，根据此规则，如果x满足，那么x的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了新运算，平方根的应用，理解新运算是关键；由规定的新运算得：，整理后用平方根的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 整理得：， 即， ∴； 故选：C． 36．若的值是0，则（y﹣2）2021＝________． 【答案】 【分析】根据算术平方根的定义得到，代入代数式根据求解即可得到结论． 【详解】解：的值是0， ，得， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查代数式求值，涉及到算术平方根的定义和，熟练掌握相关定义是解决问题的关键． 37．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 (5)或18 (6)或 (7)或 (8)或8 (9)或7 (10)或3 【分析】本题主要考查了平方根，等式的性质，熟练掌握平方根的意义是解题的关键． （1）（2）根据等式的性质以及平方根的定义进行解答即可； （3）先把移到方程右边，再根据等式的性质以及平方根的定义进行解答即可； （4）（5）根据平方根的定义进行解答即可； （6）先变形得到，再根据平方根的定义进行解答即可； （7）先变形得到，再根据平方根的定义进行解答即可； （8）先把移到方程右边，再根据等式的性质以及平方根的定义进行解答即可； （9）先把移到方程右边，再根据等式的性质以及平方根的定义进行解答即可； （10）先把移到方程右边，再变形得到，最后根据平方根的定义进行解答即可． 【详解】（1）解： 解得： （2）解： 解得： （3）解： 解得： （4）解： 解得： （5）解： 解得： （6）解： 解得： （7）解： 解得： （8）解： 解得： （9）解： 解得： （10）解： 解得： 易错必刷题型12.算术平方根的实际应用 典题特征：结合正方形边长面积、线段长度等几何场景，生活长度计量场景列式计算 易错点：①依据题意列式错误；②计算单位不统一；③保留不符合实际的负数值解 38．如图所示，从一个大正方形中剪掉两个小正方形，若剪掉的面积分别为和，则剩余（阴影）部分的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形面积公式先求得剪掉的两个小正方形的边长，然后可知大正方形的边长，最后根据阴影部分的面积等于大正方形的面积减去剪掉的面积，即可解答． 【详解】解：根据题意可知，剪掉的两个小正方形的边长分别为，； 由图可知，大正方形的边长为， 所以剩余部分的面积为． 39．如图，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大的正方形， （1）则大正方形的边长是 _____cm； （2）若将此大正方形纸片的局部剪掉，_____（填“能”或“否”）剩下一个长宽之比为且面积为的长方形纸片． 【答案】 6 否 【分析】本题考查了算术平方根的应用，能根据题意正确列出算式是解题关键． （1）大正方形的边长就是小正方形的对角线，求小正方形对角线即可； （2）根据长方形长宽之比为和面积求出长和宽，与正方形边长进行比较即可． 【详解】解：（1）由大正方形的面积， 得大正方形的边长； 故答案为：6； （2）设长方形纸片长为，宽为， 则， 得， 故， 故不能使剩下一个长宽之比为且面积为的长方形纸片． 故答案为：否． 40．某地举办了“绘少年力量，画无烟未来”绘画大赛．米米想用一块面积为的正方形画布画上自己的参赛作品 (1)正方形画布的边长为________； (2)米米用铅笔打完草稿图发现画布有点大，想沿边裁出一块面积为的长方形画布，若使长方形画布的长、宽之比为，米米能用这块画布裁出符合要求的画布吗？若能，请帮米米设计一种裁剪方案；若不能，请简要说明理由． 【答案】(1)25 (2)米米不能用这块画布裁出符合要求的画布，理由见解析 【分析】（1）设正方形画布的边长为．根据正方形的面积列方程，利用平方根的意义解方程即可； （2）设长方形画布的长为，则长方形画布的宽为，根据面积列方程，利用平方根的意义解方程即可． 【详解】（1）解：设正方形画布的边长为． 正方形画布的面积为， ， 解得（负值舍去）， 正方形画布的边长为． （2）解：不能．理由如下： 长方形画布的长、宽之比为， 设长方形画布的长为，则长方形画布的宽为， ， ， 解得（负值舍去）， 长方形画布的长为，宽为． ， 长方形画布的长大于正方形画布的边长， 米米不能用这块画布裁出符合要求的画布． 易错必刷题型13.求一个数的立方根 典题特征：针对正数、负数、零、分数、小数各类数字，求解对应立方根 易错点：①负数立方根符号判断错误；②分数小数开立方计算失误；③混淆立方根与平方根性质 41．下列各式正确的是（　　）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根、算术平方根与立方根的定义，根据定义计算各选项即可判断正误． 【详解】解：算术平方根的结果为非负数， ，选项A错误． ， 选项B错误． ， 选项C错误． ，根据立方根定义可得， 选项D正确． 42．阅读下面材料： 已知59319，274625都是整数的立方，，，，则．请根据上面的材料解决下面问题：__________． 【答案】65 【分析】本题主要考查了数的立方，正确理解题意是解题的关键． 模仿题干的解题过程，先找出，再确定的个位数是5，接着得出，确定的十位数是6，据此即可作答． 【详解】解：，，，则， 故答案为：65． 43．小吴设计了一个如图所示的程序运算，如果输入的值是8，那么输出的值是，当输入的值是27时，输出的值是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：输入的值是27时，取立方根为，为有理数， 则取算术平方根为，为无理数， 则输出的值是． 44．观察下列计算过程，猜想立方根． ，，，，，，，，； (1)小明是这样试求出的立方根的．先估计的立方根的个位数，猜想它的个位数为______，又由；猜想的立方根的十位数为_______，可得的立方根； (2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空： ①______，②______． 【答案】(1)7，2 (2)， 【分析】分别根据题中所给的分析方法，先求出这几个数的立方根的个位数，再求出十位数，即可得出结论． 【详解】（1）∵的个位数是3，而末位数为3， ∴猜想的立方根的个位数为7， 又∵， ∴猜想的立方根的十位数为2， 验证：， 故答案为7，2； （2）①∵的个位数是9，而末位数为9， ∴猜想的立方根的个位数为9， 又∵， ∴猜想的立方根的十位数为4， 验证：； ②∵的末位数是1，而， ∴猜想的立方根的末位数为1， 又∵， ∴猜想的立方根的十分位数为8， 验证：； 故答案为，； 【点睛】本题主要考查了立方和立方根，理解一个数的立方以后的个位数，就是这个数的个位数的立方以后的个位数是解题的关键，有一定难度． 易错必刷题型14.由一个数的立方根,求这个数 典题特征：给出立方根具体数值，通过立方运算逆向推算原实数 易错点：①负数立方运算符号出错；②分数小数立方计算失误；③混淆开方与乘方互逆运算 45．已知是整数，则满足条件的正整数最小是（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】先得出是一个整数的立方，再根据要求满足条件的正整数最小解答即可． 【详解】解：∵是整数， ∴是一个整数的立方， 又∵要求满足条件的正整数最小， ∴正整数最小是，此时，符合题意． 46．是的平方根，是的立方根，则的值为（   ） A．1或 B． C．1 D．或5 【答案】A 【分析】先计算出的值，再根据平方根和立方根的定义求出和，分情况计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的平方根， ∴， ∵是的立方根， ∴， 当时，， 当时，， 因此的值为或． 47．已知，且与互为相反数，则y的值为______． 【答案】4或或5 【分析】根据题意可得，根据立方根是它本身的数有和0得到或或，据此求出x的值，进而求出的值，根据题意可得到，即，据此建立方程求解即可． 【详解】解：， ， 或或， 或或， 或或． 与互为相反数， ， ， 或或， 或或 ． 48．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 【分析】本题考查了立方根的运算，熟练掌握开立方的运算方法是解题的关键． （1）（2）（4）（5）先进行开立方运算，然后解方程即可； （3）先移项再开立方进行运算即可； （6）（7）（8）（9）先将系数化为，然后进行开立方进行运算即可 （10）先移项然后将系数化为，再开立方进行运算即可． 【详解】（1）解：开立方，得 移项，得 整理，得 （2）解：开立方，得 移项，得 整理，得 （3）解：移项，得 开立方，得 移项，得 整理，得 （4）解：开立方，得 去括号，得 移项，得 整理，得 （5）解：开立方，得 系数化为，得 移项，得 整理，得 （6）解：系数化为，得 开立方，得 移项，得 整理，得 （7）解：系数化为，得 开立方，得 移项，得 整理，得 （8）解：系数化为，得 开立方，得 移项，得 整理，得 （9）解：系数化为，得 开立方，得 移项，得 整理，得 （10）解：移项，得 系数化为1，得 开立方，得 移项，得 整理，得 易错必刷题型15.与立方根有关的规律探索题 典题特征：罗列多组立方根计算算式，总结数值变化规律，推算后续计算结果 易错点：①无法归纳数值变化规律；②小数点位移规律判断偏差；③规律运用计算出错 49．已知，，那么约为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于立方根，若被开方数扩大为原来的倍，则开方后的数比原来扩大10倍，据此解答即可． 【详解】解：， 又， ． 50．观察下表规律，利用规律解答，若，则_________． 0.008 8 8000 8000000 0.2 2 20 200 【答案】2.872 【分析】根据表格中的数据可知，被开立方的数的小数点每向右移动3位，立方根的小数点向右移动1位，解答即可． 【详解】解：， ． 51．阅读下面内容，并解答问题． 据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求出它的立方根．华罗庚不假思索地给出了答案，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥秘． (1)请按照下面的分析试一试： ①由，，可知是______位数； ②由59319的个位上的数是9，可知的个位上的数是______； ③如果划去59319后面的三位319得到59，而，，由此确定的十位上的数是______； ④因此，______． (2)求的值． 【答案】(1)①两；②9；③3；④39 (2) 【分析】本题考查了立方根的估算方法（利用立方数的位数特征、个位数字规律及范围界定十位数字），解题的关键是掌握“立方数的位数对应原数位数”“立方数个位数字与底数个位数字的唯一对应关系”“通过划去后三位数字确定底数十位数字的范围”这三个核心规律． （1）①通过对比（1000）和（1000000）与59319的大小，确定的位数；②根据“只有个位为9的数，其立方个位为9”确定的个位数字；③划去59319后三位得59，对比（27）和（64）的范围，确定的十位数字；④综合个位与十位数字得的结果； （2）求时，同理先判位数（对比与），再根据“个位为3的立方数对应底数个位为7”定个位，划去后三位得50，对比与定十位，最终得结果． 【详解】（1））①解：∵，，且， ∴是两位数； 故答案为：两． ②解：∵只有个位数字为9的数，其立方的个位数字为9（），且59319的个位为9， ∴的个位为9； 故答案为：9． ③解：划去59319后面三位319得59， ∵，，且， ∴的十位为3； 故答案为：3． ④解：由①知是两位数，②知其个位为9，③知其十位为3， ∴；故答案为：39． （2）解：∵，，且， ∴， ∴是两位数； ∵只有个位数字为7的数，其立方的个位数字为3（），且50653的个位为3， ∴的个位为7；划去50653后面三位653得50， ∵，，且， ∴的十位为3； 综合得． 易错必刷题型16.立方根的实际应用 典题特征：依托正方体体积棱长、容积计算等实际问题，运用立方根列式求解 易错点：①实际数量关系式列写错误；②棱长体积换算计算出错 52．一种正方体形状的集装箱，体积是，这种正方体集装箱的棱长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正方体体积等于棱长的三次方，已知体积求棱长，计算得出结果即可． 【详解】解：设这种正方体集装箱的棱长为． ∵正方体体积公式为体积等于棱长的三次方， ∴． ∵，棱长为正数， ∴． 53．每年农历八月十五是我国传统的中秋佳节，这时是一年秋季的中期，所以被称为中秋．自古便有中秋节赏月品月饼的习俗，某商店的李师傅制作的正方体月饼礼盒的体积为，而康师傅制作的正方体．月饼礼盒的体积比李师傅制作的小，则康师傅制作的正方体月饼礼盒的表面积为______· 【答案】 【分析】本题考查了立方根的应用，先根据康师傅制作的正方体月饼礼盒的体积求出边长，进而求出表面积. 【详解】解：康师傅制作的正方体月饼礼盒的边长， 所以这个表面积为 54．已知甲正方体纸盒的底面积为，乙正方体纸盒的体积比甲正方体纸盒的体积大，丙正方体纸盒的体积是乙正方体纸盒体积的． (1)求乙正方体纸盒的棱长； (2)求丙正方体纸盒的棱长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查立方根、算术平方根的应用， （1）根据甲正方体纸盒的底面积求出其棱长，即可求出其体积，从而得出乙正方体纸盒的体积，即可求出乙正方体纸盒的棱长； （2）先求出丙正方体纸盒的体积，再求出丙正方体纸盒的棱长即可； 掌握立方根的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵甲正方体纸盒的底面积为， ∴甲正方体纸盒的棱长为， ∴甲正方体纸盒的体积为， ∵乙正方体纸盒的体积比甲正方体纸盒的体积大， ∴乙正方体纸盒的体积为：， ∴乙正方体纸盒的棱长为， 答：乙正方体纸盒的棱长为； （2）由（1）知乙正方体纸盒的体积为， ∵丙正方体纸盒的体积是乙正方体纸盒体积的， ∴丙正方体纸盒的体积是， ∴丙正方体纸盒的棱长是， 答：丙正方体纸盒的棱长． 易错必刷题型17.算术平方根和立方根的综合应用 典题特征：同一题目内同时考查平方根、立方根定义性质，混合列式计算求值 易错点：①混淆两类开方运算规则；②混合运算顺序错乱；③符号判定频繁出错 55．如果是8的立方根，则的算术平方根是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根的综合应用，熟练掌握算术平方根和立方根定义是解题的关键．根据是8的立方根，求出，再根据算术平方根定义求出结果即可． 【详解】解：∵是8的立方根， ∴， ∴的算术平方根是． 故选：C． 56．已知4m+15的算术平方根是3，2﹣6n的立方根是﹣2，则＝___． 【答案】4 【分析】利用算术平方根，立方根定义求出m与n的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】由题意可得：，， 解得：，， ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的定义．解题的关键是掌握平方根、立方根的定义．如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根，其中的正数叫做a的算术平方根，．如果一个数x的立方等于a，那么这个数x就叫做a的立方根． 57．已知一个正数的平方根分别是和，又的立方根为． (1)求a，b的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)， (2)3 【分析】（1）根据平方根的定义列出方程进行解答便可; （2）根据算术平方根进行计算便可; 【详解】（1）解：由题意得， 所以， 因为的立方根为−2， 所以， ； （2）因为，， 所以． 【点睛】本题主要考查了平方根，算术平方根，立方根，解题的关键是根据定义列出方程． 易错必刷题型18.实数的分类 典题特征：依据定义将实数划分有理数、无理数，细分整数、分数类别 易错点：①错误判定无限循环小数类别；②片面判定带根号数字属性 58．若用表示有理数，表示无理数，表示分数，则下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】分数属于有理数，故正确表示它们之间的关系是A选项图形． 59．下列4个数：，，π﹣3.14，，其中无理数有_____个． 【答案】2 【分析】是无限循环小数，是分数，π﹣3.14是无理数，是开方不尽数，是无理数． 【详解】∵是无限循环小数，是有理数；是分数，是有理数，π﹣3.14是无理数，是开方不尽数，是无理数． ∴有两个无理数， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了有理数，无理数，熟练掌握无理数，有理数的定义及其分类标准是解题的关键． 60．在下列各数中，选择合适的数填入相应的集合中． ，，，，，0，，，（小数部分由相继的正整数组成）． (1)有理数集合：{                                     …}； (2)无理数集合：{                                     …}； (3)正实数集合：{                                     …}； (4)负实数集合：{                                     …}． 【答案】(1) (2)，，…（小数部分由相继的正整数组成）， (3) (4)（小数部分由相继的正整数组成），，， 【分析】本题考查了实数，熟练掌握实数的分类是解题的关键． （1）（2）（3）（4）根据有理数、无理数、正实数、负实数的定义分类即可． 【详解】（1）解：有理数集合：； （2）解：无理数集合：{，，…（小数部分由相继的正整数组成），，}； （3）解：正实数集合：； （4）解：负实数集合：{（小数部分由相继的正整数组成），，，，}． 易错必刷题型19.实数与数轴 典题特征：将实数对应标注数轴点位，依据数轴位置判定实数大小、化简式子 易错点：①无理数数轴定位偏差；②依托数轴化简式子符号出错 61．如图，正方形的面积为5，顶点在数轴上表示的数为0，若点在数轴上（点在点的左侧），且，则点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵正方形的面积为5 ∴ ∵点在点的左侧 ∴点所表示的数为． 62．如图，在数轴上竖直摆放一个直径为2个单位长度的半圆，该半圆沿数轴从原点O开始向右无滑动地滚动，半圆直径的一个端点从原点O到达点（如图），则点对应的数是______．（结果保留） 【答案】/ 【分析】根据题意得，点对应的数为该半圆的周长，即可． 【详解】解：点对应的数是半圆周长，为直径半圆弧长，即． 63．已知的位置如图所示，化简： 【答案】 【分析】根据点在数轴上的位置，判断出式子的符号，根据绝对值的非负性和算术平方根的非负性，进行化简即可. 【详解】解：由数轴可知，， ∴， ∴原式. 易错必刷题型20.实数的性质 典题特征：考查实数相反数、倒数、绝对值基础性质，结合性质化简计算 易错点：①负数绝对值化简符号错误；②无理数倒数计算易出错 64．下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了实数的运算,涉及算术平方根，立方根，实数的性质等，熟练掌握各相关知识是解题的关键； 依据平方根、立方根、实数的运算及绝对值的性质进行判断，逐一分析各选项的运算是否正确，进而得出答案． 【详解】解：A．，故此选项不合题意； B．，故此选项不合题意； C． ，故此选项不符合题意； D． ．，故此选项合题意． 故选：D． 65．如图，已知实数在数轴上的对应点，化简：的结果是 ___________． 【答案】/ 【分析】先由实数在数轴上的位置判断，得到，再由算术平方根、立方根定义化简后，再去绝对值，最后合并同类项即可． 【详解】解：由图可知，，则， ． 66．若是无理数，是有理数，则下列结论正确的是（   ） A．一定是无理数 B．一定是无理数 C．一定是有理数 D．一定是无理数 【答案】A 【分析】本题考查了有理数、无理数的概念理解，算术平方根的性质，实数的性质等知识点． 根据无理数和有理数的性质，有理数与无理数的和一定是无理数；有理数与无理数的积不一定无理数（如乘以0）；无理数的平方不一定有理数；无理数的平方根不一定有意义或不一定无理数（如a为负数时无意义）． 【详解】解：∵ a 是无理数，b 是有理数， A：假设是有理数，则，由于有理数减有理数仍为有理数，故a为有理数，与已知矛盾，∴一定是无理数，A 正确； B：若，则为有理数，∴ B 错误； C：例如（无理数），则为无理数，∴ C 错误； D：若，则无实数意义；若，且为有理数，则为有理数，与已知矛盾，故为无理数，但由于 a 可能为负数，∴不一定是无理数，D 错误； 因此，正确答案为 A， 故选：A． 易错必刷题型21.实数的混合运算 典题特征：包含开方、乘方、加减乘除的实数综合计算题型 易错点：①运算先后顺序颠倒；②根式化简不彻底参与计算 67．下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，原计算错误； B、，正确； C、，原计算错误； D、不能合并，故，原计算错误. 68．已知有理数a，b满足，则_____． 【答案】 【分析】先将该等式整理，按照有理数和无理数进行分组得到，根据有理数和无理数的和为无理数，得出是有理数，即可解答． 【详解】解：， ， ， ∵a，b都是有理数， ∴，解得：， ∴． 69．计算与解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：原式= = = （2）解：原方程可化为，， ∴， ∴， ∴或 易错必刷题型22.实数的大小比较 典题特征：多个常规实数、根式实数之间对比数值大小，排列数值顺序 易错点：①负数大小比较规则运用错误；②根式数值盲目对比大小 70．在实数，0，，中最小的是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】利用“负数小于0，两个负数比较，绝对值大的负数更小”的规则求解即可． 【详解】解：∵正数大于0，0大于一切负数， ∴ 0比所有负数大，先排除选项B； 计算三个负数的绝对值： ， ， ， ∵ 两个负数比较大小，绝对值大的负数反而更小， ∴， ∴ 四个数中最小的数是． 71．比较大小：（1）___________；（2）__________． 【答案】 【分析】（1）将两数同时进行和的最小公倍数的乘方运算，转化为整数比较大小． （2）采用作差法，两数作差，判断得数的小于，即可得到答案． 【详解】解：（1）取和的最小公倍数，对两个数同时进行次方运算， ， ∵， ∴； （2）两数作差，判断符号， ， ∵， ∴，即差为负数， ∴． 72．在数轴上标出表示下列各数的点，并将这些数按从小到大的顺序用“”连接起来． 【答案】详见解析， 【分析】先计算算术平方根，估算无理数的大小，再在数轴上标出表示下列各数的点，根据数轴比较大小，即可求解． 【详解】解：，，，则 如图所示： 上述各数大小关系为： 易错必刷题型23.新定义的实数运算 典题特征：设定全新运算规则，结合实数开方、四则运算完成计算 易错点：①无法理解新式运算规则；②括号运算优先级处理不当 73．定义关于任意正整数的一种新运算：．若规定，则（   ） A．3 B．6 C．18 D．81 【答案】D 【分析】根据给定的运算规则，将变形为两个的乘积，代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵对任意正整数，满足，且已知， 又∵， ∴． 74．小霞同学规定了一种新运算：对于任意实数，都有．按照这个规定，计算的平方根为___________． 【答案】±7 【分析】根据新定义的运算法则，先计算括号内的新运算，再计算括号外的新运算，最后根据平方根的定义求出结果即可． 【详解】解：先计算括号内的运算： 根据新运算法则，得 再计算括号外的运算： 根据平方根的定义，的平方根为． 75．对实数a，b定义一种新运算，规定：（其中k为非零常数），例如：．已知，若，则_______；_______． 【答案】 【分析】根据，，建立等式求解，即可求出的值，再根据建立等式求解，即可解题． 【详解】解：，， ， 解得； ， ， 整理得， 解得． 76．我们规定，若实数，满足，则称与是关于的完美数． (1)若与是关于的完美数，则的值为_____； (2)若与是关于的完美数，求的值； (3)若有理数，满足，判断与是否是关于的完美数． 【答案】(1)； (2)； (3)与是关于的完美数． 【分析】（）根据“关于的完美数”列出方程，然后解方程即可； （）根据新定义可知，然后解方程即可； （）由，求得，，进而设与是关于的完美数，然后列方程求解即可得． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：； （2）解：根据新定义可知，， 解得； （3）解：与是关于的完美数，理由： 由，得， 因为，是有理数， 所以，， 解得，， 所以，， 设与是关于的完美数，则， 解得， ∴与是关于的完美数． 易错必刷题型24.实数运算的实际应用 典题特征：运用实数混合计算、开方运算解决生活计量、几何测算问题 易错点：①题意等量关系梳理错误；②基础运算计算失误 77．如图，按照国际标准，系列纸的长与宽的比例均符合；其中，纸的面积为；将纸沿两条长边中点的连线裁切，就得两张纸；再将纸沿两条长边中点的连线裁切得两张纸…依此类推，得等等的纸张（如图所示）．若设纸张的宽为，则下列列式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由纸张的宽为，表示出纸的宽和长，根据纸面积为求解． 【详解】解：由图得，当纸张的宽为时，纸的宽为， ∵纸张长与宽的比为， ∴纸的长为， ∵纸面积为， ∴， ∴． 78．如图1的瓶子中盛满水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2的杯子中，一共需要____个图2这样的杯子．（单位：）（温馨提示：） 【答案】13 【分析】本题考查了整式的混合运算，利用圆柱的体积公式表示出瓶子中大圆柱与小圆柱的体积，以及杯子的体积，即可得到结果. 【详解】解：瓶子中大圆柱的容积为， 瓶子中小圆柱容积， 杯子的容积为， 则所需杯子个数为， 则一共需要13个这样的杯子. 79．有一个底面积为，长、宽、高的比为的长方体纸盒（纸板厚度忽略不计）．根据计算回答问题： (1)这个长方体纸盒的长、宽、高分别是多少？ (2)这个纸盒的体积是多少？ (3)这个纸盒是否能够完全容纳一支长度为的铅笔？ 【答案】(1)长方体的长为，宽为，高为； (2)这个纸盒的体积是； (3)这个纸盒不能够完全容纳一支长度为的铅笔． 【分析】本题主要考查的是算术平方根的实际应用，无理数大小的比较． （1）设长方体的高为，则长为，宽为，根据长方体的底面积等于长宽列方程求得答案即可； （2）利用长方体的体积公式计算求得答案即可； （3）先求得底面对角的线，再求得长方体的对角线的长，与比较即可得解． 【详解】（1）解：设长方体的高为，则长为，宽为， 由题意得：， 解得：，则， ∴长方体的长为，宽为，高为； （2）解：这个纸盒的体积是； （3）解：， 底面对角线的长为， 长方体的对角线的长为， ∴这个纸盒不能够完全容纳一支长度为的铅笔． 易错必刷题型25.与实数运算相关的规律题 典题特征：给出多组实数运算式子，探寻运算规律，求解指定项数值 易错点：①难以总结式子运算规律；②套用规律计算数值出错 80．观察并分析下列数据，寻找规律：，，，，，，，，那么第9个数据应是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字类规律变化，二次根式的化简．根据数据可得第个数为，据此即可求解． 【详解】解：由数据可得，第个数为， 第个数为， 第个数为， 第个数为， 第个数为， 第个数为， 第个数为， ， ∴第个数为， ∴第9个数据应是， 故选：C． 81．已知，，，⋯，，其中为正整数．设，则的值是________． 【答案】 【分析】根据数字间的规律探索列式计算即可获得答案． 【详解】， ， ， ， ． 82．阅读下列解题过程，解答问题． ； ； ； … (1) ， ； (2)观察上面的解题过程，求（为自然数）； (3)计算： ． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了数字的规律探索，算术平方根，熟练掌握运算法则，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据题意结合算术平方根的运算法则计算即可得解； （2）根据题干所给例子得出结论即可； （3）根据（2）中得出的规律计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：，； （2）解：由题意可得：（为自然数）； （3）解：． 易错必刷题型26.无理数整数部分的有关计算 典题特征：确定无理数整数部分与小数部分，结合数值完成代数式计算 易错点：①整数部分区间判断错误；②代入代数式运算计算出错 83．实数的整数部分是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】只需确定在哪两个连续正整数之间，即可得到它的整数部分． 【详解】解：∵， ∴ ， 即， ∴的整数部分是． 84．已知x，y满足等式 是的小数部分，则的值为__________ 【答案】 【分析】利用算术平方根的非负性与绝对值的非负性求出，的值，估算的取值范围得到的值，代入代数式计算即可得到结果． 【详解】解：，，且， ，， 解得，， 是的小数部分，且， ， 将，，代入得： ． 85．阅读材料：∵，∴的整数部分为2，的小数部分为． (1)的小数部分是多少？ (2)已知是的整数部分，是的小数部分，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据即解答即可； （2）根据得到，确定整数部分为1，小数部分为，结合已知，确定a，b的值，解答即可． 【详解】（1）解：∵即， ∴的整数部分为8， ∴小数部分为； （2）解：∵即， ∴， ∴的整数部分为1，小数部分为， ∵a是的整数部分，b是的小数部分， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $