解答题专项突破之实数2025-2026学年湘教版数学七年级下册（六板块）

解答题专项突破之实数2025-2026学年湘教版 七年级下册（六板块） 板块一：实数的分类 1．将下列数按要求分类，并将答案填入相应的括号内： 1，﹣0.25，2.3，，0，，2，，； 负实数集合{　 　…}； 有理数集合{　 　…}； 无理数集合{　 　…}； 2．把下列各数填到相应的集合内（只填序号）： ①2；②；③； ④0.54：⑤0.1；⑥；⑦0；⑧﹣23；⑨（）2；⑩0.3020020002…（相邻两个2之间0的个数逐次加一） 有理数集合：{　 　…}； 无理数集合：{　 　…}； 正实数集合：{　 　…}； 负实数集合：{　 　…}； 3．把下列各数填在相应的横线上： 0，，﹣2，，﹣3.14，+9，π，1.212212221……（两个1之间依次多1个2）． 整数：{                                                   }； 负分数：{                                                   }； 无理数：{                                                   }． 4．把下列各实数填在相应的大括号内； ，﹣|﹣3|，，，1.1010010001… 整数：{                                                   }； 分数：{                                                   }； 无理数：{                                                   }； 负数：{                                                   }． 5．把下列各数的序号分别填入相应的大括号内： ①0，②﹣π，③1，④⑤1.5，⑥1.1010010001…（每两个“1”之间依次多1个“0”） 整数：{                                                   } 负数：{                                                   } 无理数：{                                                   }． 板块二：实数的运算 1．计算：． 2. 求下列各式的值： (1) (2)；(3)＋×(2－)－. 3．计算： (1)； (2)． 4．计算： (1) (2) 5．计算： (1)； (2)． 板块三：解方程 1．解方程 (1)； (2)． 2．解方程： (1)； (2)． 3．求的值 (1)； (2)． 4．求下列各式中x的值： (1)； (2)． 5．解方程： (1)； (2)． 板块四：平方根和立方根的综合 1．若m＝表示x﹣2y的算术平方根，n＝表示y﹣x2的立方根，求m3﹣n2+1的立方根． 2．已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求3a﹣b+c的平方根． 3．已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的立方根是2，求2a﹣b的平方根． 4．如果一个正数m的两个平方根分别是2a﹣3和a﹣9，求2m﹣2的值． 5．已知的立方根是的算术平方根是． (1)求、的值； (2)求的平方根． 板块五：实数的应用题 1.观察如图，每个小正方形的边长均为1． （1）图中阴影正方形的面积是多少？边长是多少？ （2）估计边长的值在哪两个整数之间． 2.如图，有一个长方体的水池长、宽、高之比为2：2：4，其体积为16 000cm3． （1）求长方体的水池长、宽、高为多少？ （2）当有一个半径为r的球放入注满水的水池中，溢出水池外的水的体积为水池体积的，求该小球的半径为多少（π取3，结果精确到0.01cm）？ 3．小明打算用一块面积为400cm2的正方形木板，沿着边的方向裁出一个面积为300cm2的长方形的桌面，使它的长和宽的比为3：2，你认为能做到吗？如果能，计算出桌面的长和宽；如果不能，请说明理由． 4.小军做了两个正方体纸盒，已知第一个正方体纸盒棱长为3厘米，第二个正方体纸盒比第一个纸盒体积大189立方厘米，试求第二个正方体纸盒的棱长． 5．如图，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大正方形．    (1)求大正方形的边长； (2)若沿着这个大正方形纸片边的方向裁剪，能否裁得一个长宽之比为且面积为的长方形纸片，若能，求出裁得的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 板块六：实数的阅读理解型问题 1.（1）观察各式：0.1732，1.732，17.32… 发现规律：被开方数的小数点每向右移动 　 　位，其算术平方根的小数点向 　 　移动 　 　位； （2）应用：已知2.236，则　 　，　 　； （3）拓展：已知2.449，7.746，计算和的值． 2.观察下列各式： n＝1时，有式①：； n＝2时，有式②：； （1）类比上述式①、式②，将下列等式补充完整： 　　；； （2）请用含n（n为正整数）的等式表示以上各式的运算规律：　． 3.先计算下列各式： ，，　3　，　　，　　． （1）通过观察并归纳，请写出　　． （2）利用（1）中结论计算：． 4．观察分析下列数据，寻找规律： 0，，，3，2，，…． （1）这组数据第10个数是什么？ （2）你发现了什么规律？写出这组数据的第n个数． （3）求这组数据的第19个数与第55个数的积． 5.我们规定用（a，b）表示一对数对，给出如下定义：记m，n（a＞0，b＞0），将（m，n）与（n，m）称为数对（a，b）的对“对称数对”．例如：（4，1）的一对“对称数对”为（，1）与（1，）． （1）数对（25，4）的一对“对称数对”是 　　和 　　； （2）若数对（x，2）的一对“对称数对”的一个数对是（，1），求x的值； （3）若数对（a，b）的一对“对称数对”的一个数对是（，3），求ab的值． 【答案】 解答题专项突破之实数2025-2026学年湘教版 七年级下册（六板块） 板块一：实数的分类 1．将下列数按要求分类，并将答案填入相应的括号内： 1，﹣0.25，2.3，，0，，2，，； 负实数集合{　 　…}； 有理数集合{　 　…}； 无理数集合{　 　…}； 【答案】﹣0.25，，2；1，﹣0.25，2.3，0，；，，2，． 2．把下列各数填到相应的集合内（只填序号）： ①2；②；③； ④0.54：⑤0.1；⑥；⑦0；⑧﹣23；⑨（）2；⑩0.3020020002…（相邻两个2之间0的个数逐次加一） 有理数集合：{　 　…}； 无理数集合：{　 　…}； 正实数集合：{　 　…}； 负实数集合：{　 　…}； 【答案】②③④⑤⑦⑧⑨，①⑥⑩，①④⑤⑥⑨⑩，②③⑧． 3．把下列各数填在相应的横线上： 0，，﹣2，，﹣3.14，+9，π，1.212212221……（两个1之间依次多1个2）． 整数：{                                                   }； 负分数：{                                                   }； 无理数：{                                                   }． 【答案】0，﹣2，，+9；，﹣3.14；π，1.212212221……（两个1之间依次多1个2）． 4．把下列各实数填在相应的大括号内； ，﹣|﹣3|，，，1.1010010001… 整数：{                                                   }； 分数：{                                                   }； 无理数：{                                                   }； 负数：{                                                   }． 【答案】﹣|﹣3|，0；，﹣3.1，；，，1.1010010001…；﹣|﹣3|，﹣3.1． 5．把下列各数的序号分别填入相应的大括号内： ①0，②﹣π，③1，④⑤1.5，⑥1.1010010001…（每两个“1”之间依次多1个“0”） 整数：{                                                   } 负数：{                                                   } 无理数：{                                                   }． 【答案】①③；②④；②⑥． 板块二：实数的运算 1．计算：． 【答案】 解： ． 2. 求下列各式的值： (1) (2)；(3)＋×(2－)－. 【答案】（1）3（2）-1（3）2 （1）解：原式＝5－2＝3； （2）解：原式＝3＋(－4)＝－1； （3）解：原式＝11＋－1－10＝． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．计算： (1) (2) 【答案】 （1）解： ． （2）解： ． 5．计算： (1)； (2)． 【答案】 （1） 解：原式 ． （2） 解：原式 ． 板块三：解方程 1．解方程 (1)； (2)． 【答案】 （1）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴或； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 2．解方程： (1)； (2)． 【答案】 （1）解：， 整理，得：， 开平方，得：， ， ，； （2）解：， 整理，得：， 开立方，得：， ． 3．求的值 (1)； (2)． 【答案】（1）解：， ， 解得，或； （2）解：， ， ， ， ， 解得，． 4．求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】（1）解：， ， ∴，即或； （2）解：， ， ， ∴． 5．解方程： (1)； (2)． 【答案】（1）解：， 开平方得：， 解得：，． （2）解：， 方程两边同除以8得：， 移项，合并同类项得：， 板块四：平方根和立方根的综合 1．若m＝表示x﹣2y的算术平方根，n＝表示y﹣x2的立方根，求m3﹣n2+1的立方根． 【答案】解：由题意得：， 解得：， ∴m＝3，n＝﹣3， ∴m3﹣n2+1＝27﹣9+1＝19，即19的立方根为． 2．已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求3a﹣b+c的平方根． 【答案】解：（1）∵5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4， ∴5a+2＝27，3a+b﹣1＝16， ∴a＝5，b＝2， ∵c是的整数部分， ∴c＝3； （2）将a＝5，b＝2，c＝3代入得：3a﹣b+c＝16， ∴3a﹣b+c的平方根是±4． 3．已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的立方根是2，求2a﹣b的平方根． 【答案】解：∵2a﹣1的平方根是±3， ∴2a﹣1＝9， a＝5， ∵3a+b﹣1的立方根是2， ∴3a+b﹣1＝8， ∴b＝﹣6， ∴2a﹣b＝16， ∴2a﹣b的平方根是±4． 4．如果一个正数m的两个平方根分别是2a﹣3和a﹣9，求2m﹣2的值． 【答案】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数， ∴（2a﹣3）+（a﹣9）＝0， 解得a＝4， ∴这个正数为m＝（2a﹣3）2＝52＝25， ∴2m﹣2＝2×25﹣2＝48； 5．已知的立方根是的算术平方根是． (1)求、的值； (2)求的平方根． 【答案】 （1）解：的立方根是，的算术平方根是， ， ，； （2）解：当时， 17的平方根是， 的平方根是． 板块五：实数的应用题 1.观察如图，每个小正方形的边长均为1． （1）图中阴影正方形的面积是多少？边长是多少？ （2）估计边长的值在哪两个整数之间． 【答案】解：（1）由图可知，图中阴影正方形的面积是：， 则阴影正方形的边长为：， 即图中阴影正方形的面积是10，边长是； （2）∵， ∴， 即边长的值在3与4之间． 2.如图，有一个长方体的水池长、宽、高之比为2：2：4，其体积为16 000cm3． （1）求长方体的水池长、宽、高为多少？ （2）当有一个半径为r的球放入注满水的水池中，溢出水池外的水的体积为水池体积的，求该小球的半径为多少（π取3，结果精确到0.01cm）？ 【答案】解：（1）∵有一个长方体的水池长、宽、高之比为2：2：4，其体积为16 000cm3， ∴设长方体的水池长、宽、高为2x，2x，4x， ∴2x•2x•4x＝16000， ∴16x3＝16000， ∴x3＝1000， 解得：x＝10， ∴长方体的水池长、宽、高为：20cm，20cm，40cm； （2）设该小球的半径为rcm，则： πr3＝×16 000， ∴r3＝×16 000×， ∴r≈4.05， 答：该小球的半径为4.05cm． 3．小明打算用一块面积为400cm2的正方形木板，沿着边的方向裁出一个面积为300cm2的长方形的桌面，使它的长和宽的比为3：2，你认为能做到吗？如果能，计算出桌面的长和宽；如果不能，请说明理由． 【答案】解：可设长方形纸片的长为3x cm，宽为2x cm， 根据边长与面积的关系得： 3x•2x＝300， 6x2＝300， x＝±＝， 因为边长不能为负数，所以x＝5， 故长方形纸片的长为 3x＝15 cm，宽为 2x＝10cm， 因为50＞49，所以5＞7， 所以 15＞21．即长方形纸片的长应该大于21cm， 因为＝20，所以正方形纸片的边长只有20cm．这样，长方形纸片的长将大于正方形纸片的边长． 答：不能做到． 4.小军做了两个正方体纸盒，已知第一个正方体纸盒棱长为3厘米，第二个正方体纸盒比第一个纸盒体积大189立方厘米，试求第二个正方体纸盒的棱长． 【答案】解：设第二个纸盒的棱长为acm， ∵已知第一个正方体纸盒的棱长为3cm，第二个正方体纸盒的体积比第一个纸盒的体积大189cm3， ∴a3﹣33＝189， ∴a3＝189+27＝216， a3＝216＝63 ∴a＝6cm． 5．如图，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大正方形．    (1)求大正方形的边长； (2)若沿着这个大正方形纸片边的方向裁剪，能否裁得一个长宽之比为且面积为的长方形纸片，若能，求出裁得的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)不能裁得一个长宽之比为且面积为的长方形纸片． 【详解】（1）解：由题意得，大正方形的面积， 大正方形的边长； （2）设长方形纸片的长为，宽为． 由题意，得，即． 此时． 不能裁得一个长宽之比为且面积为的长方形纸片． 板块六：实数的阅读理解型问题 1.（1）观察各式：0.1732，1.732，17.32… 发现规律：被开方数的小数点每向右移动 　 　位，其算术平方根的小数点向 　 　移动 　 　位； （2）应用：已知2.236，则　 　，　 　； （3）拓展：已知2.449，7.746，计算和的值． 【答案】解：（1）观察各式：0.1732，1.732，17.32… 发现规律：被开方数的小数点每向右移动2位，其算术平方根的小数点向右移动1位； 故答案为：2，右，1； （2）应用：已知2.236，则0.2236，22.36； 故答案为：0.2236，22.36； （3）2×7.746≈15.492， 3×0.2449≈0.7347． 2.观察下列各式： n＝1时，有式①：； n＝2时，有式②：； （1）类比上述式①、式②，将下列等式补充完整： 　　；； （2）请用含n（n为正整数）的等式表示以上各式的运算规律：　． 【答案】解：（1）类比上述式①、式②，可得： ，； 故答案为：；4；6； （2）用含n（n为正整数）的等式表示以上各式的运算规律为：． 故答案为：． 3.先计算下列各式： ，，　3　，　4　，　5　． （1）通过观察并归纳，请写出　n　． （2）利用（1）中结论计算：． 【答案】解：1，2，3，4，5． 故答案为：3，4，5． （1）n． 故答案为：n． （2）． 4．观察分析下列数据，寻找规律： 0，，，3，2，，…． （1）这组数据第10个数是什么？ （2）你发现了什么规律？写出这组数据的第n个数． （3）求这组数据的第19个数与第55个数的积． 【答案】解：（1）因为0，，，3，2，，…， 所以这组数据第10个数是3． （2）规律为：这组数据的被开方数依次增加3，可知这组数据的第n个数为． （3）因为这组数据的第19个数为3，第55个数为9， 所以这组数据的第19个数与第55个数的积为3954． 5.我们规定用（a，b）表示一对数对，给出如下定义：记m，n（a＞0，b＞0），将（m，n）与（n，m）称为数对（a，b）的对“对称数对”．例如：（4，1）的一对“对称数对”为（，1）与（1，）． （1）数对（25，4）的一对“对称数对”是 　　和 　　； （2）若数对（x，2）的一对“对称数对”的一个数对是（，1），求x的值； （3）若数对（a，b）的一对“对称数对”的一个数对是（，3），求ab的值． 【答案】解：（1）∵，2， ∴数对（25，3）的一对“一对称数对”是（，2）与（2，）， 故答案为：（，2）与（2，）； （2）∵数对（x，2）的一个“一对称数对”是（，1）， ∴1， ∴x＝1； （3）∵数对（a，b）的一个“一对称数对”是（，3）， ∴或， 解得或， ∴ab＝9或． 学科网（北京）股份有限公司 $