专题01整式的乘法易错必刷题型专项训练(22大题型共计70道题)2025-2026学年湘教版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦整式乘法全章高频易错点，通过22类典型题型系统梳理运算规则与几何应用，强化符号意识与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |幂的运算|3题型|指数运算法则辨析（同底数幂、幂的乘方、积的乘方）|从基础幂运算规则切入，构建整式乘法底层逻辑| |整式乘法|7题型|单项式/多项式乘法步骤（符号处理、漏乘防范）|承接幂运算，展开整式乘法的直接应用与几何表征| |乘法公式|6题型|公式结构特征与变形（平方差、完全平方公式逆用）|深化乘法规律，形成公式应用的模型意识| |综合应用|6题型|含参数/规律/新定义问题处理（系数对应、规律归纳）|整合前序知识，提升复杂情境下的运算能力与创新意识|

专题01整式的乘法易错必刷题型专项训练 本专题汇总整式的乘法全章考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.同底数幂相乘 题型02.幂的乘方运算 题型03.积的乘方运算 题型04.单项式乘单项式 题型05.科学记数法乘法运算 题型06.单项式乘多项式及求值 题型07.多项式乘多项式 题型08.(x+p)(x+q)型多项式乘法 题型09.多项式乘多项式与图形面积 题型10.多项式乘多项式--化简求值 题型11.整式乘法混合运算 题型12.单项式乘法求字母或代数式的值 题型13.单项式乘多项式求字母的值 题型14.多项式乘法不含某项求字母的值 题型15.多项式乘法中的规律性问题 题型16.运用平方差公式进行运算 题型17.平方差公式与几何图形 题型18.运用完全平方公式进行运算 题型19.完全平方公式与几何图形 题型20.完全平方公式变形求值 题型21.求完全平方式中的字母系数 题型22.新定义运算 易错必刷题型01.同底数幂相乘 典题特征：直接或间接给出底数相同的幂相乘，或逆用公式拆分指数求解。 易错点：①指数相加误算成相乘；②底数不同时误用公式；③底数为负数时忽略指数奇偶性对符号的影响。 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据合并同类项，同底数幂相乘，幂的乘方，积的乘方等运算法则判定即可． 【详解】解：选项A，，本选项计算错误； 选项B，与不是同类项，不能合并，本选项计算错误； 选项C，，本选项计算正确； 选项D，，本选项计算错误． 2．若，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了已知式子的值，求代数式的值，同底数幂相乘，幂的乘方的逆用等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 先将化为，再逆用幂的乘方，接着利用同底数幂相乘计算，然后整体代入求值． 【详解】解：∵， ∴． ． 故答案为：． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了幂的混合运算、积的乘方、幂的乘方、合并同类项等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先运用幂的乘方、积的乘方、同底数幂乘法计算，然后再合并同类项即可； （2）先运用同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方计算，然后再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 易错必刷题型02.幂的乘方运算 典题特征：给出多层幂的乘方形式，或逆用公式将高次幂拆成幂的乘方。 易错点：①指数相乘误算成相加；②符号处理错误；③多层幂的乘方顺序混乱。 4．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 5．化简：_________． 【答案】 【分析】先根据积的乘方运算法则化简乘方项，再根据单项式乘单项式的运算法则计算，即可得到结果． 【详解】解： ． 6．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据单项式乘单项式法则计算即可； （2）根据幂的乘方与积的乘方法则， 单项式乘多项式法则计算， 再合并同类项得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 易错必刷题型03.积的乘方运算 典题特征：给出含系数、多个因式的乘积的乘方，或逆用公式合并同指数幂。 易错点：①漏给系数乘方；②只给部分因式乘方；③负号未整体乘方。 7．若，则_____________． 【答案】15 【详解】解：． 8．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了积的乘方，单项式乘以单项式和合并同类项，根据积的乘方，单项式乘以单项式和合并同类项等计算法则求解判断即可，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 故选：． 9．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的运算． （1）先计算积的乘方，再根据单项式乘单项式法则计算即可； （2）根据单项式乘多项式的运算法则计算即可； （3）先计算同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ． 易错必刷题型04.单项式乘单项式 典题特征：2个及以上单项式相乘，含正负数系数、同底数幂、单独字母。 易错点：①系数符号错误；②同底数幂指数相加错误；③漏写单独字母或其指数。 10．计算： ___________． 【答案】 【分析】根据单项式的乘法法则计算即可． 【详解】解：． 11．下列计算不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先去括号，再合并同类项判断， 把系数与同底数幂分别相乘判断，把单项式分别乘以多项式的每一项，再把所得的积相加判断，由多项式乘以多项式的法则判断，从而可得答案． 【详解】解：，故A正确，不符合题意； ，故正确，不符合题意； ，故正确，不符合题意； ，故错误，符合题意； 故选：． 【点睛】本题考查的是整式的加减运算，单项式乘以单项式，单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，掌握以上运算的运算法则是解题的关键． 12．计算下列各题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了单项式乘以单项式、多项式乘以多项式等知识． （1）先进行乘方运算，再根据单项式乘以单项式的法则计算即可求解； （2）根据多项式乘以多项式的法则进行计算即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：． 易错必刷题型05.科学记数法乘法运算 典题特征：两个或多个科学记数法表示的数相乘，需化为标准形式。 易错点：①系数相乘后未调整指数；②指数相加错误；③未将结果化为1≤a<10的标准科学记数法形式。 13．卫星绕地球运动的速度（即第一宇宙速度）约是，则卫星绕地球运行走过的路程约是（    ）（结果用科学记数法表示） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同． 【详解】解：． 故选：B． 14．雷达可用于飞机导航，也可用来监测飞机的飞行．假设某时刻雷达向飞机发射电磁波，电磁波遇到飞机后反射，又被雷达接收，两个过程共用了秒．已知电磁波的传播速度为米/秒，则该时刻飞机与雷达站的距离为_______米．(结果用科学记数法表示) 【答案】 【分析】本题考查了幂的运算，解题关键是明确同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 根据距离等于速度乘以时间计算即可． 【详解】解：（m）， 故答案为：． 15．对于任意实数a、b、c、d，我们将式子称为二阶行列式，并且规定． (1)计算的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题中给的二阶行列式计算方法，整式的混合即可求解； （2）根据题中给的二阶行列式计算方法，整式的混合运算，整体代入求值即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ∵， ∴， ∴， ∴原式． 【点睛】本题主要考查定义新运算，整式混合运算，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 易错必刷题型06.单项式乘多项式及求值 典题特征：单项式与二/三项式相乘，或先化简式子再代入数值计算。 易错点：①漏乘多项式中的常数项或负项；②去括号时符号错误；③不化简直接代入导致计算易出错。 16．计算：=____________． 【答案】/ 【分析】直接根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可． 【详解】解：． 17．已知， 则代数式的值为（   ） A．3 B． C． D．8 【答案】B 【分析】利用整体思想进行，将所求的代数式进行化简成和已知代数式相同的形式，然后进行代入求值． 本题考查了代数式的求值，解题的关键是：运用等式的性质进行变形． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 18．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题主要考查多项式乘多项式、单项式乘多项式，熟练掌握其运算法则是解题的关键． （1）直接利用单项式乘多项式法则进行计算； （2）先利用多项式乘多项式、幂的运算、单项式乘单项式法则进行计算，然后合并同类项即可； （3）先利用多项式乘多项式法则进行计算，然后合并同类项即可； （4）先利用多项式乘多项式法则进行计算，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 易错必刷题型07.多项式乘多项式 典题特征：两个二项式或三项式相乘，需展开并合并同类项。 易错点：①漏乘某一项；②负号项相乘时符号错误；③合并同类项时系数计算错误。 19．已知，则的值是___________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 20．若化简后为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘多项式运算，解题思路为展开左边多项式，根据对应系数相等求出和的值，再代入计算即可． 【详解】解： 又化简后结果为 对应系数相等，可得，，即 将代入计算： 21．计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的乘法，多项式乘以多项式运算； （1）根据多项式乘以多项式进行计算，然后合并同类项，即可求解； （2）根据多项式乘以多项式进行计算，然后合并同类项，即可求解； （3）根据多项式乘以多项式进行计算，然后合并同类项，即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ． 易错必刷题型08.(x+p)(x+q)型多项式乘法 典题特征：形如(x+p)(x+q)的乘法，常用来快速写展开式或求系数。 易错点：①一次项系数p+q计算错误；②常数项pq符号错误；③混淆p、q的正负导致展开式符号出错。 22．已知．那么的值是_______． 【答案】 【分析】先计算，再进一步求解即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∴. 23．阅读下列两个多项式相乘的运算过程，解决下面的问题：四个学生一起做乘法，其中a是正数，那么最后得出的结果可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将多项式相乘的结果展开即可求解． 【详解】解：根据题意得，， 根据选项得：或， 解得或， 则或． 只有选项A符合题意． 24．已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多项式乘多项式，根据已知求出是解题的关键． （1）根据已知求出，然后再根据多项式进行运算，然后将整体代入计算解答； （2）,然后将整体代入计算解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ； ∴的值为． （2）解： ． 易错必刷题型09.多项式乘多项式与图形面积 典题特征：用多项式表示长方形、正方形的边长，计算面积或列等式。 易错点：①无法将图形边长与多项式对应；②漏算图形的部分区域；③展开多项式时漏项导致面积计算错误。 25．用如图所示的A，B，C类卡片若干张，拼成一个长为，宽为的长方形，则A，B，C类卡片一共需要______张． 【答案】6 【分析】根据长方形的面积公式即可得出结果． 【详解】解：由题可知：，，类卡片的面积分别为，，， 长方形的长为，宽为， 长方形的面积：， ，，类卡片一共需要（张）． 26．某校为了扩建劳动实践基地，准备在长宽如图所示的长方形空地上，修建横纵宽度均为a米的三条小路（阴影部分），其余部分（即空白部分）作为劳动实践基地．则劳动实践基地的总面积是（    ）平方米． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了整式乘法的应用，正确理解题意是解题关键．根据题意可得劳动实践基地的总面积为，合并同类项即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， 平方米． 故选：C． 27．如图，某中学校园内有一块长方形地块，学校计划在中间留下一个“T”型的图形（阴影部分）修建一个文化广场． (1)用含x，y的式子表示“T”型图形的面积并化简； (2)若，，预计修建文化广场每平方米的费用为200元，求修建文化广场所需要的费用． 【答案】(1) (2)修建文化广场所需要的费用为11600元． 【分析】 （1）用大长方形的面积减去两个空白图形的面积即可； （2）将，代入（1）中的代数式，再×200即可． 【详解】（1） 解： ． （2） 解：当，时， （平方米）， 则所需费用为：（元）， 答：修建文化广场所需要的费用为11600元． 易错必刷题型10.多项式乘多项式--化简求值 典题特征：给出含多项式乘法的式子，要求先化简再代入数值计算。 易错点：①不先化简直接代入；②化简时漏乘或符号错误；③代入负数时未加括号。 28．若，则的值是_____________ 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值．先求出，再根据多项式乘以多项式的计算法则求出，然后整体代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 29．若，，则______． 【答案】 【分析】先利用多项式乘多项式法则计算乘法，再整体代入求值． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式法则，已知式子的值求代数式的值，掌握整式的乘法法则是解决本题的关键． 30．若，则的值是（   ） A． B． C．1 D．25 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘以多项式，通过展开左边多项式并与右边比较系数，解出m和n的值，再计算即可． 【详解】解： ． ． ∴，解得；，解得； ∴， 故选C． 31．先化简，再求值：，其中． 【答案】 ； 【分析】先利用多项式乘以多项式及单项式乘以多项式法则将原式展开，合并后得到最简结果，再代入计算即可求出值．熟练掌握运算法则及公式是解题的关键． 【详解】解：原式 当，时， 原式． 易错必刷题型11.整式乘法混合运算 典题特征：含乘方、乘除、加减的混合运算，需按运算顺序计算。 易错点：①运算顺序错误；②去括号时符号混乱；③幂的运算与乘法混淆。 32．若关于x的多项式含有因式，则实数的值为（   ） A．3 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】设另一个多项式为，再利用整式的乘法进行整理得得到对应各项系数，然后求得的值． 【详解】解：设多项式的另一个因式是，则，∴，， ∴，． 33．将4个数a，b，c，d排列成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式．若，则=______． 【答案】9 【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，整式的乘法运算，根据题意化简，得，再化简解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， 整理得， 即， 解得． 故答案为： 9． 34．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】(1)根据单项式除以单项式的法则进行计算即可； (2)根据单项式乘除混合运算顺序和法则进行计算即可； (3)根据多项式除以单项式的法则进行计算即可； (4) 根据多项式除以单项式的法则进行计算即可； 【详解】解：（1）原式； （2）原式； （3）原式 ； （4）原式 ． 【点睛】本题考查了整式的乘除法，解题关键是熟练运用整式乘除法法则进行准确计算． 易错必刷题型12.单项式乘法求字母或代数式的值 典题特征：给出单项式乘法的等式，求未知系数或指数。 易错点：①系数或指数对应关系找错；②指数计算错误；③忽略系数为0的特殊情况导致漏解。 35．若，则________． 【答案】 【分析】计算出的结果，可确定a、b的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 36．已知单项式与的积与是同类项，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查同类项的定义，单项式乘单项式，先计算单项式得，再根据同类项的定义求出、的值，再代值计算即可． 【详解】解：， ∵单项式与的积与是同类项， ∴与是同类项， ∴，， 解得，， ∴， 故选：C． 37．化简求值： (1)当a＝2022时，求－3a2(a2－2a－3)＋3a(a3－2a2－3a)＋2022的值． (2)求xn(xn＋9x－12)－3(3xn+1－4xn)的值，其中x＝－2，n＝3． 【答案】(1)2022 (2)x2n，64 【分析】（1）先根据单项式乘多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求值即可； （2）先根据单项式乘多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可． 【详解】（1）解：原式= =2022； （2）解：原式= =； 当x＝－2，n＝3时，则 ； 【点睛】本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序． 易错必刷题型13.单项式乘多项式求字母的值 典题特征：给出单项式乘多项式的等式，求未知字母参数。 易错点：①展开时漏乘项；②同类项系数对应错误；③解方程时符号错误。 38．关于x的代数式的化简结果中不含x的二次项，则a的值为______． 【答案】 3 【分析】本题考查整式的混合运算，将代数式展开并合并同类项，根据不含二次项的条件，令二次项系数为零，求解a的值即可 【详解】原式 = = = ， ∵不含x的二次项， ∴ ， 解得 。 故答案为3 39．设实数满足，若，则的值为（   ） A． B．14 C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握换元法是解题的关键．利用换元法，设，则，可得：，，，再代入计算即可． 【详解】解：根据题意，设， ， ， ，，， ， 故选：B． 40．若恒成立，求的值． 【答案】0 【分析】本题考查整式的加减，求代数式的值，解题的关键是先将等式转化为，则问题转化为恒成立，即且且，即可解得、、，进而可得答案． 【详解】解：∵， 又∵恒成立， ∴恒成立， 即：恒成立， ∴，，， 解得：，，， ∴， 即的值为． 易错必刷题型14.多项式乘法不含某项求字母的值 典题特征：给出多项式乘积，要求不含某一项，求参数。 易错点：①找错对应项的系数；②忘记令该项系数为0；③展开多项式时漏项导致系数计算错误。 41．在的展开式中，不含的一次项，则的值为____________． 【答案】 【分析】利用多项式与多项式相乘的运算法则得到展开式，根据一次项系数为0进行求解即可． 【详解】解： 由于展开式中，不含的一次项， 则 解得． 42．若（x﹣2）（x2﹣mx＋1）的展开式中不含x的二次项，则化简后的一次项系数是（    ） A．﹣3 B．﹣2 C． D． 【答案】A 【分析】根据多项式乘多项式计算法则展开后合并同类项，再根据展开式中不含x的二次项求出m的值即可． 【详解】解：原式＝x3﹣mx2+x﹣2x2+2mx﹣2 ＝x3﹣（m+2）x2+（2m+1）x﹣2， ∵展开式中不含x的二次项， ∴m+2＝0， 解得m＝﹣2． ∴2m+1＝﹣4+1＝﹣3， ∴一次项系数为﹣3，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式、合并同类项，将原式化简为x3﹣（m+2）x2+（2m+1）x﹣2的形式，是解题的关键． 43．已知展开后，不含有项和常数项． (1)求、的值； (2)在（1）的条件下，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据多项式乘多项式的运算法则计算，再由不含有项和常数项，联立方程组求解即可； （2）将（1）的结果代入计算即可． 【详解】（1）解： ∵展开后，不含有项和常数项， ∴，解得； （2）解：由（1）得， ． 易错必刷题型15.多项式乘法中的规律性问题 典题特征：给出一组多项式乘法式子，找规律并写出通用式或求指定项。 易错点：①无法归纳出指数或系数的规律；②忽略符号变化；③指数或系数计算错误导致通用式写错。 44．根据，，，的规律，可以得出的结果可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了运用规律探究求值，找出规律，即可求解；找出规律是解题的关键． 【详解】解： ； 故选：C． 45．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”这个三角形给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）． 请根据规律，写出的展开式中含项的系数是______． 【答案】 【分析】根据题意展开，再把，代入计算即可解答． 【详解】解：∵， ， ， ， ∴， 令，代入得， ∴含项为， ∴的展开式中含项的系数是． 46．七年级某班数学小组研究系列算式：，，…，将算式计算过程进行变形后，得到如下规律： ； ； ；…… (1)根据以上规律，直接写出的相应变形算式； (2)请用含的等式表示以上规律，并通过计算验证所列等式的正确性． 【答案】(1) (2)，其中；验证见解析 【分析】（1）根据规律写出等式即可； （2）先根据规律写出结果，再利用多项式与多项式的乘法法则验证即可． 【详解】（1）根据题中规律，得； （2），其中； 验证如下： ． 易错必刷题型16.运用平方差公式进行运算 典题特征：形如(a+b)(a-b)的乘法，或需变形后使用公式。 易错点：①未识别公式结构；②符号错误；③公式逆用时混淆a、b。 47．计算：________． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式与完全平方公式的整式乘法运算，解题时可将看作一个整体，先利用平方差公式计算，再展开完全平方整理即可得到结果. 【详解】解：原式 48．下列不能用平方差公式运算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平方差公式的形式逐项判断，如果符合平方差公式的形式，就可以用平方差公式计算，否则不能用平方差公式计算． 【详解】解：A选项：符合平方差公式的形式，能用平方差公式计算，故A选项不符合题意； B选项：符合平方差公式的形式，能用平方差公式计算，故B选项不符合题意； C选项：不符合平方差公式的形式，不能用平方差公式计算，故C选项符合题意； D选项：，其中符合平方差公式的形式，能用平方差公式计算，故D选项不符合题意． 故选：C． 49．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据多项式乘多项式、单项式乘多项式法则展开，然后合并同类项即可； （2）将原式变形为，然后分别利用平方差公式和完全平方公式计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 易错必刷题型17.平方差公式与几何图形 典题特征：用大正方形减小正方形的图形，验证平方差公式或求面积。 易错点：①无法将图形面积与公式对应；②错算图形部分面积；③忽略图形拼接逻辑导致面积等式列错。 50．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1所示），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2所示），根据图形的变化过程，写出的一个正确的等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用两种不同的方法表示出阴影部分的面积即可得出结果. 【详解】解：由图1可知，阴影部分的面积为， 由图2可知，阴影部分的面积为， 故. 51．（1）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．上述操作能验证的等式是__________， （2）如图3，大正方形与小正方形的面积之差是40，则阴影部分的面积为__________． 【答案】 【分析】（1）用代数式分别表示图1中阴影部分以及图2的面积即可． （2）由题意得，根据阴影面积为：代入计算即可 【详解】（1）解：图1中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即， 图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， 所以有， 故答案为：． （2）由题意得， 阴影面积为： 52．“平方差公式”和“完全平方公式”应用非常广泛，利用公式进行计算往往会使运算更加简便，请仔细观察并解答下列问题∶ 问题一∶已知． （1） ， ； （2）请用你观察到的方法化简的结果． 问题二∶已知 （3） ， ； （4）如图1是一个长为，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图2的正方形．根据图2解决以下问题：若，，求图2中大正方形的面积． 【答案】（1）；z；（2）；（3）；；（4）49 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）根据平方差公式进行计算即可； （2）根据平方差公式进行计算即可； （3）根据可得答案； （4）根据进行计算即可． 【详解】解：（1）． ，， 故答案为：，； （2） ； （3）， ，， 故答案为：，； （4），， ， 即大正方形的面积为49． 易错必刷题型18.运用完全平方公式进行运算 典题特征：形如(a±b)2的乘法，或需变形后使用公式。 易错点：①漏掉中间项±2ab；②中间项符号错误；③混淆完全平方与平方差公式。 53．填空： （1）___ ___； （2） ____ __． 【答案】 12 2 5 【分析】本题考查了运用完全平方公式进行运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）通过配方法将二次式化为完全平方形式，比较系数求解； （2）使用配方法，提公因式后配完全平方，再比较系数． 【详解】（1）解：设空白处分别为和， 则， 展开右边，得， 比较系数，得，， 解得：， 代入得， 故答案为：12，2； （2）解：设空白处分别为和， 则， 展开右边，得， 比较系数，得，， 解得：， 代入得， 故答案为：，5． 54．已知，，则的值为（   ） A．6 B．4 C．5 D．3 【答案】C 【分析】先根据已知条件求出的值，再变形完全平方公式得到所求代数式的结果． 【详解】解： ，， 展开第二个等式得 ， 整理得 ， 将代入上式得 ， 解得． 对两边平方，得 ， ． 55．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)9 (2) (3)1 (4) 【分析】（1）根据整数指数幂，零指数幂，负整数指数幂的运算求解即可； （2）根据幂的乘方运算以及同底数幂的运算求解即可； （3）根据平方差公式求解即可； （4）根据平方差公式与完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：； （3）解： ； （4）解： ． 易错必刷题型19.完全平方公式与几何图形 典题特征：用大正方形分割成两个小正方形和两个长方形，验证完全平方公式。 易错点：①无法将图形面积与公式对应；②错算分割后小长方形的面积；③忽略图形边长关系导致面积等式列错。 56．如图，将图①中阴影部分拼成图②，根据两个图形中阴影部分的面积关系可得到的数学公式是___________． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．分别用代数式表示图①、图②中阴影部分的面积即可． 【详解】解：根据图②可以观察出图①阴影部分是边长为的正方形，因此面积为， 图②中，阴影部分的面积为， ∴， 即． 故答案为：． 57．如图，用块边长为的大正方形，块边长为的小正方形和块长为，宽为的长方形，密铺成正方形，已知，正方形的面积为S，（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解题的关键． 根据，以及逐项进行计算判断即可． 【详解】解：由题意得，， A．若，即，而， 所以，因此选项不符合题意； B．若，即，而， 因此，即，因此选项不符合题意； C．若，即，而， 所以，因此选项符合题意； D．若，即，而， 因此，所以，即，因此选项不符合题意． 故选：C． 58．小聪在学习完乘法公式后，发现完全平方公式经过适当的变形或数形结合，可以解决很多数学问题．请根据以上信息，解答下列问题： (1)已知，，求的值； (2)如图，已知两个正方形的边长分别为a、b，若，，求图中阴影部分的面积； (3)若，则的值为______． 【答案】(1)8 (2)60 (3)9 【分析】（1）根据，即可得出答案； （2）先通过大正方形的面积减去两个空白部分的面积表示出阴影部分的面积，再根据求得，从而解出答案； （3）设，那么，，根据求得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴，即， ∴； （2）解：根据题意，可知空白部分的两个直角三角形，两直角边分别为， ∴阴影图形面积为：， ∵，， ∴， ∴阴影图形面积为：； （3）解：设， ∴， ∵，即， ∴， ∴． 易错必刷题型20.完全平方公式变形求值 典题特征：给出a+b、a-b、ab中的两个，求a2+b2或(a-b)2等。 易错点：①变形公式记错；②符号错误；③代入计算时出错。 59．若，则______． 【答案】14 【分析】观察所求式子为两个多项式的平方和，已知两个多项式的乘积，可先求出两个多项式的和，再利用完全平方公式的变形进行计算即可． 【详解】解：设，，则， ∴， ∴ ， ∴． 60．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用已知条件变形得到对应式子的值，然后根据多项式乘多项式的运算法则展开所求代数式，最后利用整体代入法计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 即的值为． 61．如图，将一个边长为的正方形图形分割成四部分，请认真观察图形，解答下列问题： (1)若图中、满足，，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据完全平方公式得出，根据，求出的值即可； （2）设，，可得，，利用完全平方公式可求出，即可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴． （2）解：设，， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴． 易错必刷题型21.求完全平方式中的字母系数 典题特征：给出形如x2+mx+n的式子，使其为完全平方式，求m或n。 易错点：①忽略中间项的正负两种情况；②忘记完全平方式的结构特征；③计算时开方漏解。 62．若是一个完全平方式，则的值是___________． 【答案】 【分析】利用完全平方式的结构特征列式计算，即可确定出的值． 【详解】解：是一个完全平方式，且， 或 ， 解得或， 63．已知代数式是一个完全平方式，则t的值是（   ） A．5 B． C．5或 D．或 【答案】D 【分析】利用完全平方公式的结构特征求解． 【详解】解：∵代数式是完全平方式， 又∵， ∴， ∴， 当时，解得； 当时，解得； ∴t的值为或． 64．所谓完全平方式，就是对于一个整式，如果存在另一个整式，使，则称整式是完全平方式．例如：，所以就是完全平方式． 请根据上述材料解决下列问题： (1)已知，则_____； (2)如果是一个完全平方式，求的值； (3)若满足，求的值． 【答案】(1)2 (2)7或 (3)80 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，掌握公式的变形以及整体思想是解题关键． （1）由得，即可代值求解； （2）由题意得或，即可求解； （3）由，据此即可求解. 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； （2）解：∵是一个完全平方式， 即是一个完全平方式， ∴或． 解得或． 所以的值为7或． （3）解：∵， 而， ， ∴． ∴． 易错必刷题型22.新定义运算 典题特征：定义一种新的运算规则，结合整式乘法计算。 易错点：①未理解新定义规则，直接套用旧的乘法公式；②运算时忽略括号的优先级；③符号处理错误。 65．规定，例如：．已知：，则_________． 【答案】10 【分析】根据题意列出方程，再根据完全平方公式化简，得出的值，即可得答案． 【详解】解：， ， ， ， ． 66．对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：．若是一个完全平方式，则常数的值是（   ） A．11 B． C． D．11或 【答案】D 【分析】根据已知条件中的定义，列出算式进行化简，再根据完全平方式的结构特征，列出关于的方程，解方程即可． 【详解】解： 是一个完全平方式， ，或者， 解得或． 67．新定义：对于一个给定的正整数，如果它可以表示为两个连续正奇数的平方差，并且这两个连续正奇数的和恰好是某个正整数的平方，则称为“差方数”．例如：，且，所以8是“差方数”．则从小到大排列后，第20个“差方数”是__________． 【答案】3200 【分析】本题考查平方差公式与新定义运算，设两个连续正奇数为和，其中为正整数，根据“差方数”的定义推导得到“差方数”的一般表达式，再代入对应参数计算第20个“差方数”即可． 【详解】解：设两个连续正奇数为 和 ，其中 为正整数． 由平方差公式可得： ． 两个连续正奇数的和为 ． 根据“差方数”的定义， 为某个正整数的平方． 设 ，则 ． 为正整数， 必为偶数． 令 ，其中为正整数，可得 ． 将 代入 ，得 ． 即从小到大排列后，第个“差方数”为． 当求第个“差方数”时，， 则 ． 68．规定用表示有序数对，给出定义：将变为称为一次X变换：将变为称为一次Y变换．下列说法： ①将进行2次X变换后得到的结果为； ②将进行2次Y变换后得到的结果为； ③对随机进行2次变换（每次选X或Y），共有3种不同的结果； ④将对应的有序数对先进行一次X变换，再进行一次Y变换得到，若对任意实数恒成立，则． 其中正确说法的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】按新定义规则依次验证四个说法，最后利用整式恒成立条件求解参数即可． 【详解】解： ①将进行第1次X变换后得到的结果为，进行第2次X变换后得到的结果为；故①正确； ②将进行第1次Y变换得，进行第2次Y变换得，故②错误； ③两次X得； 先X后Y得：； 先Y后X得； 两次Y得，共4种不同结果，故③错误； ④有序数对先进行一次X变换，再进行一次Y变换得：， ∵有序数对先进行一次X变换，再进行一次Y变换得到，， ∴， ， ∴ ， ∵对任意实数x，恒成立， ∴对任意实数x，恒成立， ∴， 解得：，故④正确； 综上，正确的说法共2个． 69．规定一种新运算为：，例如：．根据此规定，解决下列问题： (1)__________； (2)若的结果是一个关于，的完全平方式，则的值为__________； (3)若，求的值． 【答案】(1)8 (2) (3)0 【分析】 （1）根据定义可得，据此求解即可； （2）根据定义可得，根据完全平方式的特点确定一次项即可得到答案； （3）由，可以得到，则可推出，据此可得答案． 【详解】（1） 解：由题意得，； （2） 解：由题意得，， ∵的结果是一个关于，的完全平方式， ∴一次项为， ∴； （3） 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 70．定义：对于任意有理数a，b，c，d，规定一种运算，记作：． 例如：． 【基础应用】 (1)求的值； 【转化求解】 (2)若，求x的值； 【拓展延伸】 我们学过的乘法公式（如完全平方公式）既可以“从左到右”正向使用，也可以“从右到左”逆向使用．例如：   正向使用，   逆向使用． 在解决某些问题时，逆向使用公式常常能帮助我们简化问题． (3)若，求的个位数． 【答案】(1)7 (2) (3)2 【分析】（1）根据新定义，进行有理数的混合运算； （2）根据新定义，得到一元一次方程，求解即可； （3）根据新定义，进行整式的混合运算，再代入求值即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：由得：， 化简得：， 解得：； （3）解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴． 将代入，得 ， 计算2的幂次的个位数规律： ，个位数是2； ，个位数是4； ，个位数是8； ，个位数是6； ，个位数是2； ，个位数是4； 可以发现2的幂次的个位数是以2，4，8，6为周期循环的， ∵，其中1是余数， ∴的个位数与的个位数相同，即为2， ∴的个位数为2． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01整式的乘法易错必刷题型专项训练 本专题汇总整式的乘法全章考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.同底数幂相乘 题型02.幂的乘方运算 题型03.积的乘方运算 题型04.单项式乘单项式 题型05.科学记数法乘法运算 题型06.单项式乘多项式及求值 题型07.多项式乘多项式 题型08.(x+p)(x+q)型多项式乘法 题型09.多项式乘多项式与图形面积 题型10.多项式乘多项式--化简求值 题型11.整式乘法混合运算 题型12.单项式乘法求字母或代数式的值 题型13.单项式乘多项式求字母的值 题型14.多项式乘法不含某项求字母的值 题型15.多项式乘法中的规律性问题 题型16.运用平方差公式进行运算 题型17.平方差公式与几何图形 题型18.运用完全平方公式进行运算 题型19.完全平方公式与几何图形 题型20.完全平方公式变形求值 题型21.求完全平方式中的字母系数 题型22.新定义运算 易错必刷题型01.同底数幂相乘 典题特征：直接或间接给出底数相同的幂相乘，或逆用公式拆分指数求解。 易错点：①指数相加误算成相乘；②底数不同时误用公式；③底数为负数时忽略指数奇偶性对符号的影响。 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．若，则的值为__________． 3．计算： (1)； (2)． 易错必刷题型02.幂的乘方运算 典题特征：给出多层幂的乘方形式，或逆用公式将高次幂拆成幂的乘方。 易错点：①指数相乘误算成相加；②符号处理错误；③多层幂的乘方顺序混乱。 4．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 5．化简：_________． 6．计算： (1) (2) 易错必刷题型03.积的乘方运算 典题特征：给出含系数、多个因式的乘积的乘方，或逆用公式合并同指数幂。 易错点：①漏给系数乘方；②只给部分因式乘方；③负号未整体乘方。 7．若，则_____________． 8．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 9．计算： (1)； (2)； (3)． 易错必刷题型04.单项式乘单项式 典题特征：2个及以上单项式相乘，含正负数系数、同底数幂、单独字母。 易错点：①系数符号错误；②同底数幂指数相加错误；③漏写单独字母或其指数。 10．计算： ___________． 11．下列计算不正确的是（    ） A． B． C． D． 12．计算下列各题： (1)； (2)． 易错必刷题型05.科学记数法乘法运算 典题特征：两个或多个科学记数法表示的数相乘，需化为标准形式。 易错点：①系数相乘后未调整指数；②指数相加错误；③未将结果化为1≤a<10的标准科学记数法形式。 13．卫星绕地球运动的速度（即第一宇宙速度）约是，则卫星绕地球运行走过的路程约是（    ）（结果用科学记数法表示） A． B． C． D． 14．雷达可用于飞机导航，也可用来监测飞机的飞行．假设某时刻雷达向飞机发射电磁波，电磁波遇到飞机后反射，又被雷达接收，两个过程共用了秒．已知电磁波的传播速度为米/秒，则该时刻飞机与雷达站的距离为_______米．(结果用科学记数法表示) 15．对于任意实数a、b、c、d，我们将式子称为二阶行列式，并且规定． (1)计算的值； (2)若，求的值． 易错必刷题型06.单项式乘多项式及求值 典题特征：单项式与二/三项式相乘，或先化简式子再代入数值计算。 易错点：①漏乘多项式中的常数项或负项；②去括号时符号错误；③不化简直接代入导致计算易出错。 16．计算：=____________． 17．已知， 则代数式的值为（   ） A．3 B． C． D．8 18．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 易错必刷题型07.多项式乘多项式 典题特征：两个二项式或三项式相乘，需展开并合并同类项。 易错点：①漏乘某一项；②负号项相乘时符号错误；③合并同类项时系数计算错误。 19．已知，则的值是___________． 20．若化简后为，则的值为（    ） A． B． C． D． 21．计算： (1) (2) (3) 易错必刷题型08.(x+p)(x+q)型多项式乘法 典题特征：形如(x+p)(x+q)的乘法，常用来快速写展开式或求系数。 易错点：①一次项系数p+q计算错误；②常数项pq符号错误；③混淆p、q的正负导致展开式符号出错。 22．已知．那么的值是_______． 23．阅读下列两个多项式相乘的运算过程，解决下面的问题：四个学生一起做乘法，其中a是正数，那么最后得出的结果可能是（   ） A． B． C． D． 24．已知． (1)求的值； (2)求的值． 易错必刷题型09.多项式乘多项式与图形面积 典题特征：用多项式表示长方形、正方形的边长，计算面积或列等式。 易错点：①无法将图形边长与多项式对应；②漏算图形的部分区域；③展开多项式时漏项导致面积计算错误。 25．用如图所示的A，B，C类卡片若干张，拼成一个长为，宽为的长方形，则A，B，C类卡片一共需要______张． 26．某校为了扩建劳动实践基地，准备在长宽如图所示的长方形空地上，修建横纵宽度均为a米的三条小路（阴影部分），其余部分（即空白部分）作为劳动实践基地．则劳动实践基地的总面积是（    ）平方米． A． B． C． D． 27．如图，某中学校园内有一块长方形地块，学校计划在中间留下一个“T”型的图形（阴影部分）修建一个文化广场． (1)用含x，y的式子表示“T”型图形的面积并化简； (2)若，，预计修建文化广场每平方米的费用为200元，求修建文化广场所需要的费用． 易错必刷题型10.多项式乘多项式--化简求值 典题特征：给出含多项式乘法的式子，要求先化简再代入数值计算。 易错点：①不先化简直接代入；②化简时漏乘或符号错误；③代入负数时未加括号。 28．若，则的值是_____________ 29．若，，则______． 30．若，则的值是（   ） A． B． C．1 D．25 31．先化简，再求值：，其中． 易错必刷题型11.整式乘法混合运算 典题特征：含乘方、乘除、加减的混合运算，需按运算顺序计算。 易错点：①运算顺序错误；②去括号时符号混乱；③幂的运算与乘法混淆。 32．若关于x的多项式含有因式，则实数的值为（   ） A．3 B． C．1 D． 33．将4个数a，b，c，d排列成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式．若，则=______． 34．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 易错必刷题型12.单项式乘法求字母或代数式的值 典题特征：给出单项式乘法的等式，求未知系数或指数。 易错点：①系数或指数对应关系找错；②指数计算错误；③忽略系数为0的特殊情况导致漏解。 35．若，则________． 36．已知单项式与的积与是同类项，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 37．化简求值： (1)当a＝2022时，求－3a2(a2－2a－3)＋3a(a3－2a2－3a)＋2022的值． (2)求xn(xn＋9x－12)－3(3xn+1－4xn)的值，其中x＝－2，n＝3． 易错必刷题型13.单项式乘多项式求字母的值 典题特征：给出单项式乘多项式的等式，求未知字母参数。 易错点：①展开时漏乘项；②同类项系数对应错误；③解方程时符号错误。 38．关于x的代数式的化简结果中不含x的二次项，则a的值为______． 39．设实数满足，若，则的值为（   ） A． B．14 C． D．6 40．若恒成立，求的值． 易错必刷题型14.多项式乘法不含某项求字母的值 典题特征：给出多项式乘积，要求不含某一项，求参数。 易错点：①找错对应项的系数；②忘记令该项系数为0；③展开多项式时漏项导致系数计算错误。 41．在的展开式中，不含的一次项，则的值为____________． 42．若（x﹣2）（x2﹣mx＋1）的展开式中不含x的二次项，则化简后的一次项系数是（    ） A．﹣3 B．﹣2 C． D． 43．已知展开后，不含有项和常数项． (1)求、的值； (2)在（1）的条件下，求的值． 易错必刷题型15.多项式乘法中的规律性问题 典题特征：给出一组多项式乘法式子，找规律并写出通用式或求指定项。 易错点：①无法归纳出指数或系数的规律；②忽略符号变化；③指数或系数计算错误导致通用式写错。 44．根据，，，的规律，可以得出的结果可以表示为（   ） A． B． C． D． 45．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”这个三角形给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）． 请根据规律，写出的展开式中含项的系数是______． 46．七年级某班数学小组研究系列算式：，，…，将算式计算过程进行变形后，得到如下规律： ； ； ；…… (1)根据以上规律，直接写出的相应变形算式； (2)请用含的等式表示以上规律，并通过计算验证所列等式的正确性． 易错必刷题型16.运用平方差公式进行运算 典题特征：形如(a+b)(a-b)的乘法，或需变形后使用公式。 易错点：①未识别公式结构；②符号错误；③公式逆用时混淆a、b。 47．计算：________． 48．下列不能用平方差公式运算的是（    ） A． B． C． D． 49．计算： (1)； (2)． 易错必刷题型17.平方差公式与几何图形 典题特征：用大正方形减小正方形的图形，验证平方差公式或求面积。 易错点：①无法将图形面积与公式对应；②错算图形部分面积；③忽略图形拼接逻辑导致面积等式列错。 50．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1所示），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2所示），根据图形的变化过程，写出的一个正确的等式是（    ） A． B． C． D． 51．（1）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．上述操作能验证的等式是__________， （2）如图3，大正方形与小正方形的面积之差是40，则阴影部分的面积为__________． 52．“平方差公式”和“完全平方公式”应用非常广泛，利用公式进行计算往往会使运算更加简便，请仔细观察并解答下列问题∶ 问题一∶已知． （1） ， ； （2）请用你观察到的方法化简的结果． 问题二∶已知 （3） ， ； （4）如图1是一个长为，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图2的正方形．根据图2解决以下问题：若，，求图2中大正方形的面积． 易错必刷题型18.运用完全平方公式进行运算 典题特征：形如(a±b)2的乘法，或需变形后使用公式。 易错点：①漏掉中间项±2ab；②中间项符号错误；③混淆完全平方与平方差公式。 53．填空： （1）___ ___； （2） ____ __． 54．已知，，则的值为（   ） A．6 B．4 C．5 D．3 55．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 易错必刷题型19.完全平方公式与几何图形 典题特征：用大正方形分割成两个小正方形和两个长方形，验证完全平方公式。 易错点：①无法将图形面积与公式对应；②错算分割后小长方形的面积；③忽略图形边长关系导致面积等式列错。 56．如图，将图①中阴影部分拼成图②，根据两个图形中阴影部分的面积关系可得到的数学公式是___________． 57．如图，用块边长为的大正方形，块边长为的小正方形和块长为，宽为的长方形，密铺成正方形，已知，正方形的面积为S，（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 58．小聪在学习完乘法公式后，发现完全平方公式经过适当的变形或数形结合，可以解决很多数学问题．请根据以上信息，解答下列问题： (1)已知，，求的值； (2)如图，已知两个正方形的边长分别为a、b，若，，求图中阴影部分的面积； (3)若，则的值为______． 易错必刷题型20.完全平方公式变形求值 典题特征：给出a+b、a-b、ab中的两个，求a2+b2或(a-b)2等。 易错点：①变形公式记错；②符号错误；③代入计算时出错。 59．若，则______． 60．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 61．如图，将一个边长为的正方形图形分割成四部分，请认真观察图形，解答下列问题： (1)若图中、满足，，求的值； (2)若，求的值． 易错必刷题型21.求完全平方式中的字母系数 典题特征：给出形如x2+mx+n的式子，使其为完全平方式，求m或n。 易错点：①忽略中间项的正负两种情况；②忘记完全平方式的结构特征；③计算时开方漏解。 62．若是一个完全平方式，则的值是___________． 63．已知代数式是一个完全平方式，则t的值是（   ） A．5 B． C．5或 D．或 64．所谓完全平方式，就是对于一个整式，如果存在另一个整式，使，则称整式是完全平方式．例如：，所以就是完全平方式． 请根据上述材料解决下列问题： (1)已知，则_____； (2)如果是一个完全平方式，求的值； (3)若满足，求的值． 易错必刷题型22.新定义运算 典题特征：定义一种新的运算规则，结合整式乘法计算。 易错点：①未理解新定义规则，直接套用旧的乘法公式；②运算时忽略括号的优先级；③符号处理错误。 65．规定，例如：．已知：，则_________． 66．对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：．若是一个完全平方式，则常数的值是（   ） A．11 B． C． D．11或 67．新定义：对于一个给定的正整数，如果它可以表示为两个连续正奇数的平方差，并且这两个连续正奇数的和恰好是某个正整数的平方，则称为“差方数”．例如：，且，所以8是“差方数”．则从小到大排列后，第20个“差方数”是__________． 68．规定用表示有序数对，给出定义：将变为称为一次X变换：将变为称为一次Y变换．下列说法： ①将进行2次X变换后得到的结果为； ②将进行2次Y变换后得到的结果为； ③对随机进行2次变换（每次选X或Y），共有3种不同的结果； ④将对应的有序数对先进行一次X变换，再进行一次Y变换得到，若对任意实数恒成立，则． 其中正确说法的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 69．规定一种新运算为：，例如：．根据此规定，解决下列问题： (1)__________； (2)若的结果是一个关于，的完全平方式，则的值为__________； (3)若，求的值． 70．定义：对于任意有理数a，b，c，d，规定一种运算，记作：． 例如：． 【基础应用】 (1)求的值； 【转化求解】 (2)若，求x的值； 【拓展延伸】 我们学过的乘法公式（如完全平方公式）既可以“从左到右”正向使用，也可以“从右到左”逆向使用．例如：   正向使用，   逆向使用． 在解决某些问题时，逆向使用公式常常能帮助我们简化问题． (3)若，求的个位数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $