命题大赛 广东2025-2026学年高二数学下学期期末测试

**基本信息** 高二数学期末卷融合选择性必修二导数与选择性必修三内容，以新能源汽车电池容量、5G套餐分析等时代情境为载体，通过分层设问考查数学抽象、数据建模与逻辑推理，适配期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|导数几何意义（第2题）、独立性检验（第5题）|多选题结合统计概念辨析（第9题），区分度高| |填空题|3题/15分|正态分布（第12题）、函数恒成立（第13题）|新结构多选题得分情况探究（第14题），创新情境| |解答题|5题/77分|公切线方程（15题）、5G套餐回归分析（18题）、新药试验概率模型（19题）|综合题注重实际应用，如19题以药效试验构建概率递推模型，体现数学建模与逻辑推理|

应用场景：周测/单元测/月考/期中/期末/ 高二数学下学期期末测试 （人教A版选择性必选三+选择性必选二第五章一元函数的导数及应用） （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．可表示为（    ） A． B． C． D． 2．若函数在上的平均变化率与它在处的瞬时变化率相等，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．某学校安排甲、乙，丙、丁、戊五位同学参加数学、物理、化学竞赛，要求每位同学仅报一科，每科至少有一位同学参加，且甲不参加数学竞赛，则不同的安排方法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 4．若随机变量服从两点分布，其中，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 5．某学校计划开设某门特色课程，现对男女生参加该课程的意愿程度进行调查，得到以下列联表： 愿意参加 不愿意参加 合计 男生 20 女生 20 合计 50 100 则的值为（    ） （附：，） A．4 B． C．5 D． 6．某新能源汽车公司生产的电池容量（单位：千瓦时），且．若质检部门随机抽检块电池，则恰好有块电池的容量在千瓦时以上的概率为（    ） A． B． C． D． 7．定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．设两个相关变量和分别满足下表： 若相关变量和可拟合为非线性回归方程，则当时，的估计值为（    ） （参考公式：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，；） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法中，正确的命题是（    ） A．在两个随机变量的线性相关关系中，若相关系数 越大，则样本的线性相关性越强 B．在具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程 中， ，则 C．在回归分析中，决定系数 的值越大，说明残差平方和越小 D．以模型 去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设 ，将其变换后得到线性方程 ，则 的值分别是和0.3 10．已知的展开式中，各项的二项式系数之和为128，则（   ） A． B．各项系数之和为 C．只有第4项的二项式系数最大 D．第二项的系数为 11．某工厂对生产的产品进行质量检测，检测包括两轮，每轮检测有A和B两种结果．第一轮是对所有生产产品进行检测，检测结果为B的产品定等级为乙；检测结果为A的产品需进行第二轮检测．在第二轮检测中，检测结果为B的产品定等级为乙；检测结果为A的产品定等级为甲．在每轮检测中，甲等品检测结果为A的概率是0.95，乙等品检测结果为A的概率是0.05．已知该厂生产的产品中甲等品的占比为，则（    ） A．已知一件产品是乙等品，检测后定等级为甲的概率是0.0025 B．已知一件产品是甲等品，检测后定等级为乙的概率是0.0025 C．从检测后的产品中随机抽取一件，检测结果是甲等品的概率为0.8125 D．已知一件产品检测结果是甲等品，该产品检测前是乙等品的概率大于0.001 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．某中学高二年级学生有人，在某次数学考试中，数学成绩近似服从正态分布．已知，则本次考试数学成绩大于分的人数约为______． 13．函数.对于，都有，则实数的取值范围是______. 14．2024年1月九省联考的数学试卷出现新结构，其中多选题计分标准如下：①本题共3小题，每小题6分，满分18分；②每道小题的四个选项中有两个或三个正确选项，全部选对得6分，有选错的得0分；③部分选对得部分分（若某小题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3分；若某小题正确选项为三个，漏选一个正确选项得4分，漏选两个正确选项得2分）．已知在某次新结构数学试题的考试中，某同学三个多选题中第一小题和第二小题都随机地选了两个选项，第三小题随机地选了一个选项，这位同学的多选题所有可能总得分（相同总分只记录一次）共有种情况，则除以36的余数是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知函数与函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求曲线与曲线在公共点处的公切线方程． 16．（15分）从2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策，为了解适龄民众对放开生二孩政策的态度，某市选取80后作为调查对象，随机调查了10人，其中打算生二胎的有4人，不打算生二胎的有6人. (1)从这10人中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望； (2)若以这10人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率作为概率，从该市80后中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望，方差. 17．（15分）某选手参加一项人工智能机器人PK比赛，规则如下：该选手的初始分为20分，每局比赛，该选手胜加10分；平局不得分；负减10分．当选手总分为0分时，挑战失败，比赛终止；当选手总分为30分时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续．已知每局比赛选手胜、平、负的概率分别为，且各局比赛相互独立. (1)求两局后比赛终止的概率； (2)在3局后比赛终止的条件下，求选手挑战成功的概率； (3)在挑战过程中，选手每胜1局，获奖5千元．记局后比赛终止且选手获奖1万元的概率为，求的最大值. 18．当前移动网络已融入社会生活的方方面面，深刻改变了人们的沟通､交流乃至整个生活方式.4G网络虽然解决了人与人随时随地通信的问题，但随着移动互联网快速发展，其已难以满足未来移动数据流量暴涨的需求，而5G作为一种新型移动通信网络，不但可以解决人与人的通信问题，而且还可以为用户提供增强现实､虚拟现实､超高清（3D）视频等更加身临其境的极致业务体验，更重要的是还可以解决人与物､物与物的通信问题，从而满足移动医疗､车联网､智能家居､工业控制､环境监测等物联网应用需求，为更好的满足消费者对5G网络的需求，中国电信在某地区推出了六款不同价位的流量套餐，每款套餐的月资费x（单位：元）与购买人数y（单位：万人）的数据如下表： 套餐 A B C D E F 月资费x（元） 38 48 58 68 78 88 购买人数y（万人） 16.8 18.8 20.7 22.4 24.0 25.5 对数据作初步的处理，相关统计量的值如下表： 75.3 24.6 18.3 101.4 其中，且绘图发现，散点集中在一条直线附近. (1)根据所给数据，求出关于的回归方程； (2)已知流量套餐受关注度通过指标来测定，当时相应的流量套餐受大众的欢迎程度更高，被指定为“主打套餐”.现有一家四口从这六款套餐中，购买不同的四款各自使用.记四人中使用“主打套餐”的人数为，求随机变量的分布列和期望. 附：对于一组数据，其回归方程的斜率和截距的最小二乘估计值分别为. 19．为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X． （1）求的分布列； （2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，，，其中，，．假设，． (i)证明：为等比数列； (ii)求，并根据的值解释这种试验方案的合理性． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 题号 题型 分值 知识点 难度系数（预估） 1 单选题 5 排列数 0.85 2 单选题 5 瞬时变化率；基本初等函数的导数公式 0.65 3 单选题 5 排列组合；计数原理 0.65 4 单选题 5 离散型随机变量 0.65 5 单选题 5 2*2列联表；卡方的计算 0.75 6 单选题 5 二项分布 0.65 7 单选题 5 函数的单调性；导数的应用 0.65 8 单选题 5 非线性回归；回归直线方程； 0.5 9 多选题 6 非线性回归；相关系数 0.65 10 多选题 6 二项式系数 0.85 11 多选题 6 条件概率；全概率公式；贝叶斯公式 0.65 12 填空题 5 正态分布 0.75 13 填空题 5 函数的最值；恒成立问题 0.65 14 填空题 5 组合计数问题；整除和余数问题 0.55 15 解答题 13 切线方程（斜率）；基本初等函数的导数公式； 0.85 16 解答题 15 离散型随机变量；二项分布 0.85 17 解答题 15 条件概率 0.65 18 解答题 17 非线性回归；离散型随机变量的 0.65 19 解答题 17 证明等比数列；数列通项；离散型随机变量 0.4 $ 高二数学下学期期末测试 第五章 一元函数的导数及其应用 答案及解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A A B D A C B B BCD ABD AC 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．A 【分析】根据排列数的计算公式进行判断. 【详解】中总共有个数连乘， 故． 故选：A 2．A 【分析】分别求出平均变化率及在处的瞬时变化率，解方程即可. 【详解】因为在上的平均变化率为， 所以，解得， 故选：A． 3．B 【分析】按参加数学竞赛的人数分类讨论，求出每一类情况的安排方法数，再由分类加法计数原理求解即得. 【详解】若只有人参加数学竞赛，有种安排方法， 若恰有人参加数学竞赛，有种安排方法， 若有人参加数学竞赛，有种安排方法， 所以共有种安排方法． 故选：B 4．D 【分析】由题知，进而得，，再根据期望、方差的性质求解即可. 【详解】解：因为随机变量服从两点分布，其中， 所以， 所以，， ，. 故D错误，ABC正确. 故选：D 5．A 【分析】完成下列联表，根据 公式代入求值即可. 【详解】根据表中数据完成下列联表，如下： 愿意参加 不愿意参加 合计 男生 30 20 50 女生 20 30 50 合计 30 50 100 则. 故选：A. 6．C 【分析】由正态密度曲线的对称性可求得，若质检部门随机抽检块电池，其中容量在千瓦时以上的电池块数服从二项分布，由此可得结果. 【详解】因为，所以由正态密度曲线的对称性可知， 若质检部门随机抽检块电池，其中容量在千瓦时以上的电池块数为，则， 由二项分布的概率公式可得. 故选：C. 7．B 【分析】根据题意，构造函数，可得在上单调递增，然后结合其单调性即可求解不等式. 【详解】由可得， 设，， 则， 即函数在上单调递增， 且， 由可得， 即，即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：B. 8．B 【分析】先将非线性回归方程化为线性，令，则可得，根据数据及公式分别求出，代入非线性回归方程可得变量和之间的关系，将代入化简计算即可. 【详解】解：因为非线性回归方程为：，则有， 令，即，列出相关变量关系如下： 0 1 3 3 4 所以，， ，， 所以， 所以，所以， 即，即，因为，所以， 当时，. 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9．BCD 【分析】对选项A，根据相关系数的性质即可判断；对选项B，根据回归直线方程过点，计算可得，即可判断；对选项C，根据的性质即可判断；对选项D，两边取对数，可得，又，求出的值，即可判断. 【详解】对于A，相关系数的绝对值越大，样本的线性相关性越强，故A错误； 对于B，回归直线方程中，，故B正确； 对于C，在回归分析中，相关指数越大，残差平方和越小，回归效果就越好，故C正确； 对于D，，两边取对数，可得，则， ，，所以，故D正确. 故选：BCD. 10．ABD 【分析】根据二项式系数之和的公式即可判断A；令即可判断B；根据二项式系数的性质即可判断C；根据二项展开式即可判断的D. 【详解】对于，A，因为的展开式中，各项的二项式系数之和为128， 所以，解得，故A正确； 对于B，令，则各项系数之和为，故B正确； 对于C，因为，所以第4项和第5项的二项式系数最大，故C错误； 对于D，第二项为， 则第二项的系数为，故D正确. 故选：ABD. 11．AC 【分析】对于A选项：要使检测后定等级为甲，则两轮检测结果都为A，用概率乘法公式计算即可; 对于B选项：要使检测后定等级为乙，则可能为第一轮检测结果为B，或第一轮检测为A，但第二轮检测结果为B，用概率加法公式计算即可; 对于C选项：利用该厂生产的产品中甲等品的占比为，计算即可; 对于D选项: 记该产品检测前是乙等品为事件，记该产品检测结果是甲等品为事件，利用条件概率公式计算即可. 【详解】结合题意可得： ①若一件产品是甲等品，要使检测后定为等级甲，则两轮检测结果都为A，即检测后定等级为甲的概率； ②若一件产品是甲等品，要使检测后定为等级乙，则可能为第一轮检测结果为B，或第一轮检测为A，但第二轮检测结果为B, 即检测后定等级为乙的概率为， ③若一件产品是乙等品，要使检测后定为等级甲，则两轮检测结果都为A，即检测后定等级为甲的概率； ④若一件产品是乙等品，要使检测后定为等级乙，则可能为第一轮检测结果为B，或第一轮检测为A，但第二轮检测结果为B, 即检测后定等级为乙的概率为. 综上所述： 对于A选项：已知一件产品是乙等品，检测后定等级为甲的概率是0.0025，故A选项正确； 对于B选项：已知一件产品是甲等品，检测后定等级为乙的概率是0.0975，故B选项错误； 对于C选项: 因为该厂生产的产品中甲等品的占比为，所以从检测后的产品中随机抽取一件，要使检测结果是甲等品的概率为，故C选项正确； 对于D选项: 记该产品检测前是乙等品为事件，记该产品检测结果是甲等品为事件, 则,, 则，故D选项错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 【分析】根据正态分布，明确分布关于均值对称，结合已知条件计算，再利用对称转化求出，进而求出实际人数． 【详解】已知数学成绩，则分布关于对称， ， 已知，则， ，根据正态分布的对称性可知：， 正态分布是连续分布， ，故， 已知总人数为， 数学成绩为分以上的人数为：． 故答案为：． 13． 【分析】利用导数求出在上的最小值和在上的最大值，由题意，列式求解即可. 【详解】因为，，所以， 所以时，，时，， 即在上单调递减，在上单调递增，所以， 因为，，所以， 所以时，，时，， 即在上单调递减，在上单调递增，又，， 所以， 对于，都有，则， 所以，即. 故答案为： 14．13 【分析】先分析得这位同学第一小题和第二小题都可能得0分，4分或6分，第三小题可能得0分，2分或3分，再列举出所有的得分，找到，利用二项式定理解决余数问题. 【详解】这位同学第一小题和第二小题都可能得0分，4分或6分， 第三小题可能得0分，2分或3分， 如图，当第三题得0分时，有可能总得分为：， 当第三题得2分时，有可能总得分为：， 当第三题得3分时，有可能总得分为：， 所以这位同学的多选题所有可能总得分（相同总分只记录一次）为： ，即， 则 ， . 故答案为：13. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．【答案】(1) (2) 【解析】（1），，. 在点处的切线方程为：；（5分） （2）设曲线与曲线的公切点为， ，，（8分） 令，即， 或（舍），（11分） ， ∴所求公切线方程：，即.（13分） 16．【答案】(1)分布列见解析，期望为 (2)分布列见解析，期望为，方差为 【解析】（1）由题意知，的值为0，1，2，3， ，，，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 P ；（7分） （2）由题意可知，全市70后打算生二胎的概率为，，1，2，3，且， ，（9分） 的分布列为： 0 1 2 3 P .（15分） 17．【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）设每局比赛甲胜为事件，每局比赛甲平为事件，每局比赛甲负为事件， 设“两局后比赛终止”为事件，因为棋手与机器人比赛局，所以棋手可能得分或30分比赛终止． （i）当棋手得分为分，则局均负，即； （ii）当棋手得分为30分，则局先平后胜，即．         （2分）        因为、互斥，所以         ．                            所以两局后比赛终止的概率为．（4分） （2）设“局后比赛终止”为事件，“局后棋手挑战成功”为事件． 因为                            ，            （6分）                   ．      （8分） 所以在局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为 ．                                     所以在局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为．（10分） （3）因为局获奖励万元，说明甲共胜局．                               （i）当棋手第局以分比赛终止，说明前局中有负胜， 且是“负胜负胜负”的顺序，其余均为平局，共有种，                          （ii）当棋手第局以30分比赛终止，说明前局中有负胜， 且是先负后胜的顺序，其余均为平局，共有种，则“局后比赛终止且棋手获得万元奖励”的概率，．            （12分） 所以                        因为，所以，                          所以，所以单调递减，（14分） 所以当时，取最大值为.（15分） 18．(1) (2)分布列见解析，数学期望= 【解析】（1）因为散点集中在一条直线附近，设回归方程为，（2分） 由，则，（6分） ，故变量关于的回归方程为.又， 故，（8分） 综上，关于的回归方程为；（9分） （2）由，解得，（10分） 而，所以即为“主打套餐”.（12分） 则四人中使用“主打套餐”的人数服从超几何分布，又：一共只有6种套餐，一家4口选择不同的套餐，所以X的取值只能是， 且，（15分） 分布列为 2 3 4 期望.（17分） 19. 【答案】（1）见解析；（2）（i）见解析；（ii），解释见解析. 【解析】（1）由题意可知所有可能的取值为：，， ；；（4分） 则的分布列如下： （5分） （2）， ，，（8分） （i） 即（10分） 整理可得：   是以为首项，为公比的等比数列 （12分） （ii）由（i）知： ，，……， 作和可得： （14分） （16分） 表示最终认为甲药更有效的.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种实验方案合理. （17分） 7 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $