广东省东莞市第十三高级中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学模拟卷（三）

**基本信息** 本试卷以“梦天实验舱”“冬奥会”等科技与社会热点为情境，覆盖导数、概率统计、立体几何等核心知识，通过基础题到综合题的梯度设计，考查数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|导数计算、条件概率、空间向量共面|第4题以空间站航天员安排考查排列组合，体现科技情境| |多选题|3题|随机事件概率、函数性质、立体几何|第11题结合正方体动态点考查空间想象，培养直观想象| |填空题|3题|回归分析、函数零点、独立事件概率|第13题通过偶函数零点问题考查逻辑推理| |解答题|5题|二项式定理、统计案例、函数综合、立体几何、概率分布|第17题函数单调性与零点综合考查数学思维，19题冬奥会滑雪调查体现数据观念与应用意识|

东莞市第十三高级中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学模拟卷（三） 一、单选题 1．已知函数，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．下列说法错误的是（    ） A．相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强 B．若，且，则 C．相关指数，表示解释变量对于预报变量变化的贡献率为64% D．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高 3．已知向量，，，若向量，，共面，则的值为（    ） A． B． C． D．6 4．2022年10月31日15：37分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，成功将中国空间站建设完毕，中国空间站将于2023年正式进入运营阶段.现空间站要安排甲、乙等6名航天员到3个不同的实验舱开展实验，3舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的安排方案共有（    ） A．450种 B．720种 C．90种 D．360种 5．若函数在区间上的最大值为2，则它在上的极大值为（    ） A． B． C．24 D．27 6．一名具有30多年医药研究和教学经验的医生面对这样一个问题：妇女患上乳腺癌的概率为0.8%. 如果一名妇女患上了乳腺癌，其X光片有90%的可能呈阳性；如果没有，则X光片呈阳性的概率为7%. 现知道一名妇女的X光片呈阳性，请帮助该医生计算这位妇女真正患上乳腺癌的概率约为（    ） A．9% B．33% C．70% D．90% 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 8．把半圆分成4等份，以这些等分点（包括直径的两端点）为顶点，作出三角形，从这些三角形中任取3个三角形，记这3个三角形中钝角三角形的个数为X，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．设为一个随机试验中的两个事件，且，，，则（   ） A． B． C． D． 10．已知函数，下列说法正确的是（    ） A．的定义域为，当且仅当 B．的值域为，当且仅当 C．的最大值为2，当且仅当 D．有极值，当且仅当 11．如图，正方体的棱长为1，动点在线段上，分别是的中点，则下列结论中正确的是（   ） A． B．当为中点时， C．三棱锥的体积为定值 D．直线到平面的距离为 三、填空题 12．从某高校在校大学生中随机选取5名女大学生，由她们身高和体重的数据得到的回归直线方程为，数据列表是： 身高x(cm) 155 161 a 167 174 体重y(kg) 49 53 56 58 64 则其中的数据__________． 13．已知函数是定义在R上的偶函数，且满足，若函数有6个零点，则实数m的取值范围是________． 14．某超市举行有奖答题活动，参加活动的顾客依次回答三个问题.不管答对或者答错，三题答完活动结束.规定每位顾客只能参加一次活动.已知每位顾客第一题答对的概率为，第二题答对的概率为，第三题答对的概率为，若答对两题，则可获得价值100元的奖品，若答对三题，则可获得价值200元的奖品，若答对的题数不够2题，则不能获奖.假设顾客是否通过每一关相互独立.现有甲，乙两名顾客参加该活动，则两人最后获得奖品价值总和为300元奖品的概率为______. 四、解答题 15．（1）已知的第九项，第十项，第十一项的二项式系数满足，求n的值； （2）若的展开式中常数项为，求展开式中的有理项． 16．为深入落实“健康第一”的教育理念，某高中为了解高三学生每天运动时间，从2000名学生中随机抽取了100名学生进行调查，得到的数据如表所示 日均运动时间（小时） 男生人数 5 20 20 10 女生人数 15 20 6 4 (1)该校高三2000名学生中，日均运动时间不足1小时的学生约为多少人？ (2)估计该校高三学生日均运动时间的平均数； (3)根据小概率值的独立性检验，能否认为“该校高三学生日均运动时间不小于1.5小时”与“性别”有关联？ 附，其中. 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 17．已知函数． (1)讨论在上的单调性； (2)若，证明：； (3)设函数，若有两个不同的零点，且，求的取值范围． 18．如图，在四棱柱中，四边形是平行四边形，，，，，为的中点，且． (1)过点作四棱柱的截面使其与面垂直，并予以证明； (2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求三棱锥的体积． 19．2022年冬季奥林匹克运动会主办城市是北京，北京成为第一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会以及亚洲运动会三项国际赛事的城市．为迎接冬奥会的到来，某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如图数据：    (1)“自由式滑雪”参与人数超过40人的学校可以作为“基地学校”，现在从这10所学校中随机选出3所，记X为可作为“基地学校”的学校个数，求X的分布列和数学期望； (2)在这10所学校中随机选取3所来调查研究，求在抽到学校中恰有一所参与“自由式滑雪”超过40人的条件下，抽到学校中恰有一所学校“单板滑雪”超过30人的概率； (3)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试．规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”．在集训测试中，小明同学3个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响且每轮测试互不影响．如果小明同学在集训测试中要想获得“优秀”的次数的平均值达到3次，那么理论上至少要进行多少轮测试？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A C A D A C A AC BC 题号 11 答案 ABC 1．B 【分析】由导数的定义以及四则运算即可运算求解. 【详解】由题意得，则. 因为，所以，即. 故选：B. 2．A 【分析】根据相关系数的概念，可判定A不正确；C、D正确，根据正态分布曲线的对称性，可判定B正确. 【详解】对于A中，根据相关系数的定义知：相关系数越大且，两个变量的线性相关性越强，所以A不正确； 对于B中，若，且， 可得，所以B正确； 对于C中，根据相关系数的概念，当相关指数，表示解释变量对于预报变量变化的贡献率为，所以C正确； 对于D中，根据数据的残差的定义，在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，所以D正确. 故选：A. 3．C 【分析】根据向量共面的条件，，使得，再列方程组求解即可． 【详解】解：向量，，共面， ，使得， ，解得， ，． 4．A 【分析】由题分为人数为的三组以及人数为的三组讨论即可. 【详解】由题知,6名航天员安排三舱, 三舱中每个舱至少一人至多三人, 可分两种情况考虑: 第一种,分人数为的三组,共有种； 第二种,分人数为的三组,共有种； 所以不同的安排方法共有种. 故选：A. 5．D 【分析】首先求出函数的导函数，即可求出函数的单调区间与极值点，再根据函数在区间上的最大值，求出参数的值，即可求出函数的极大值； 【详解】解：因为，所以，当时，当或时，即在上单调递增，在和上单调递减，所以是函数取得极小值，时函数取得极大值，又，，所以，解得，所以 故选：D 6．A 【分析】运用条件概率公式可求得，全概率公式可求得，再运用条件概率可求得. 【详解】设“一名妇女患乳腺癌”，“一名妇女的X光片呈阳性”． 由题知，，， 所以， 根据全概率公式可得， 所以， 故选：A. 7．C 【分析】根据已知条件，结合二项式定理，利用赋值法逐项求解各个选项即可. 【详解】令，得，故A不正确； 令，得，所以，故B不正确； 令，得， 所以，故C正确； 令，得，所以D不正确. 故选：C 8．A 【分析】一共可做出10个三角形，其中钝角三角形有7个，由题意可知，分别求出对应概率，从而可求得数学期望. 【详解】解：以这些等分点（包括直径的两端点）为顶点，一共能作出个三角形， 其中钝角三角形有个， 所以， ， ， ， ， 所以. 故选：A. 9．AC 【分析】利用条件概率的性质，可得，，结合全概率公式可求得，再利用和事件概率与条件概率，逐项求解即可. 【详解】由，，，得，，， 由，得， 解得，B错误； 对于D，由，得，D错误； 对于A，，A正确； 对于C，，，C正确． 故选：AC. 10．BC 【分析】根据对数函数的性质，即可判断ABC，根据极值的定义，讨论的取值，结合二次函数的单调性，即可判断D. 【详解】A. 若函数的定义域为，则恒成立， 当时，恒成立，当时，，解得：， 综上可知，，故A错误； B.当函数的值域为，则能取到的所有值， 当时，不成立，当时，，解得：，故B正确； C. ，若函数的最大值为2， 则，，得，故C正确； D. 若有极值，当时，，得， 当时，，得，或，即， 当时，不成立， 综上可知，的范围是，故D错误. 故选：BC 11．ABC 【分析】根据平行四边形，即可求解A，根据等腰三角形以及中点即可求证，即可求解B，根据体积公式即可求解C，根据面面平行，即可结合等体积公式即可求解D. 【详解】连接，正方体中，且，四边形为平行四边形，则， 因为分别是的中点，所以，故正确; 连接，正方体中，． 当为中点时，由于,所以，由于，所以，故正确; ，在三棱锥中，底面积为定值， 棱锥的高等于是定值，三棱锥的体积为定值，则三棱锥体积为定值，故正确; 连接由于平面，平面,所以平面， 同理可证平面，平面，故平面平面， 平面,所以直线平面平行， 故直线到平面的距离，即为点到平面的距离，设距离为， ,故D错误． 故选：ABC． 12．163 【分析】根据样本中心在回归直线上求出身高平均值，进而求参数a. 【详解】由， 根据回归直线经过样本中心，即，得， 由，得. 故答案为： 13． 【分析】将原问题转化为两个函数图象有六个交点的问题，结合函数的解析式利用导数研究函数图象的变化情况，由函数图象即可确定实数的取值范围. 【详解】函数有6个零点，等价于曲线与直线有6个交点. 当时，， 当时，，， 令，解得：；令，解得：， 当时，递增，当时，递减， 的极大值为：， 作出函数的图象如下图，    与的图象有6个交点，则， 故实数m的取值范围是. 故答案为： 14． 【分析】两人最后获得奖品价值总和为300元奖品的事件为甲得100元且乙得200元，或甲得200元且乙得100元，利用独立事件的乘法公式求出对应的概率即可求解. 【详解】两人最后获得奖品价值总和为300元奖品的事件为： 甲得100元且乙得200元，或甲得200元且乙得100元， 即甲答对2题且乙答对3题，或甲答对3题且乙答对2题， 又每位顾客答对2题的概率为， 每位顾客答对3题的概率为， 所以两人最后获得奖品价值总和为300元奖品的概率为： . 故答案为： 15．（1）或；（2）有理项为，,. 【解析】（1）利用组合数的公式将化简即可求解； （2）根据的展开式中常数项为，求出的值，即可求展开式中的有理项. 【详解】由， 得 即， 化简得，即，解得或． （2）的展开式通项为， 所以的展开式中的常数项为， 即 解得， 则， 其展开式的通项为 当时，， 当时，， 当时，， 故展开式中的有理项为，，. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是熟记组合数公式即可求得的值；第二问的关键是利用展开式常数项是，求出的值；再写出的展开式的通项，令的指数位置是整数即可求出有理项. 16．(1)人 (2)小时 (3)根据小概率值的独立性检验，能认为“日均运动时间不小于1.5小时”与“性别”有关联 【分析】（1）应用已知比例关系计算求解； （2）应用已知数据计算100名学生日均运动时间的平均数，即可求解； （3）先列表格计算，再与临界值比较判断求解. 【详解】（1）因为抽取的100人中日均运动时间不足1小时的人数占比为， 所以该校2000名学生中日均运动时间不足1小时人数约为人； （2）该校名学生日均运动时间的平均数约为 ， 所以该校高三学生日均运动时间的平均数为小时； （3）作出列联表如表所示 日均运动时间 合计 男 25 30 55 女 35 10 45 合计 60 40 100 零假设：“日均运动时间不小于1.5小时”与“性别”无关联， ， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为“日均运动时间不小于1.5小时”与“性别”有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005. 17．(1)结论见解析； (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）求导，利用分类讨论可求得函数的单调区间； （2）不等式变形为，设，通过构造函数法可证明不等式； （3）由题意可得方程有两个不同的实根，令，求导可得的单调性，进而画出函数的图像，数形结合可得，且，结合已知可求的取值范围． 【详解】（1）由题意得． 若，则，即恒成立，所以在上单调递减； 若，则，即恒成立，所以在上单调递增； 若，令，得， 当时，， 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减． （2）若，则． 要证明，即证明，即． 设，由，可得，待证不等式转化为． 右边：设，则， 所以在上单调递减，故，即． 左边：设，则， 所以在上单调递增，故，即． 综上，原命题得证． （3）由题意知是的两个相异的零点，即方程有两个不同的实根． 令，则， 令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减，则， 且当时，，当时，． 画出的大致图像，如图，可知若曲线与直线有两个交点， 交点的横坐标分别为，则，且．    先考虑的情形： 由，得， 所以，此时． 当时，，从而，符合条件； 当时，，从而，不符合条件． 所以要使，必须，得， 故的取值范围是． 18．(1)证明见解析 (2)或 【分析】（1）取中点，连接，，首先根据解三角形知识得到，进一步结合可证平面，从而，再结合，可证线面垂直，进一步可证平面平面. （2）建立适当的空间直角坐标系，设参即设，将已知条件转换为相应平面法向量的夹角的余弦的绝对值，即可列方程求解参数，进一步结合等体积转换法、棱锥体积公式即可求解. 【详解】（1）如图， 取中点，连接，，则面即为所求截面， 由四边形是平行四边形，，，且为的中点， 则在中，， 由余弦定理得，， 所以，即， 又由，且平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又因为，且平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面. （2）取的中点，连接，则， 又平面平面， 所以， 又且， 所以两两互相垂直， 以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴和轴建立空间直角坐标系，如图所示， 设， 可得， 所以， 设平面的一个法向量为，则， 令，可得，所以平面的一个法向量， 又由， 设平面的一个法向量为，则， 令，可得，所以平面的一个法向量， 所以，解得或， 因为，又平面平面，所以平面， 当时，； 当时，， 综上可得，三棱锥的体积为或. 19．(1)分布列见解析， (2) (3)12轮 【分析】（1）由图形分析得X的可能取值为0，1，2，3．再计算其各自概率，得出分布列及期望即可； （2）先计算得出事件“从这10所学校中抽3所学校恰有一个参与‘自由式滑雪’的人数超过40人”及事件“从这10所学校中抽3所学校恰有一个参与‘单板滑雪’的人数超过30人”的概率，再由条件概率计算即可. （3）先计算得出小明同学在一轮测试中为“优秀”的概率，再由二项分布计算期望即可判定. 【详解】（1）“自由式滑雪”参与人数超过40人的学校有4所，则X的可能取值为0，1，2，3． ． 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 所以． （2）由题可知，参与“自由式滑雪”的人数超过40人的学校，且参加“单板滑雪”的人数不超过30人的学校为C、G， 参与“自由式滑雪”的人数超过40人，且参加“单板滑雪”的人数超过30人的学校为D、I， 参与“自由式滑雪”的人数不超过40人，且参加“单板滑雪”的人数超过30人的学校为A、B、E、H， 参与“自由式滑雪”的人数不超过40人，且参加“单板滑雪”的人数不超过30人的学校为F、J， 设事件A为“从这10所学校中抽3所学校恰有一个参与‘自由式滑雪’的人数超过40人”． 事件B为“从这10所学校中抽3所学校恰有一个参与‘单板滑雪’的人数超过30人”． 则． 若“自由式滑雪”的人数超过40人和“单板滑雪”人数超过30人为同一个学校，则有种情况， 若“自由式滑雪”的人数超过40人和“单板滑雪”人数超过30人非同一个学校，则有种情况，， 所以． （3）由题意可得小明同学在一轮测试中为“优秀”的概率为：． 所以小明在n轮测试中获得“优秀”的次数Y满足，由，得． 所以理论上至少要进行12轮测试． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $