精品解析：内蒙古乌兰察布市集宁区第二中学2025-2026学年高一下学期5月期中检测数学试题

集宁二中2025-2026学年下学期高一年级期中检测卷 数学 考试时间：150分钟；命题人： 审题人： 注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷.第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置.第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置.答案写在试卷上均无效，不予记分. 一、单选题：本题共8个小题，每小题题5分，共40分. 1. 已知复数满足，则（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据模长公式运算即可得解. 【详解】因为,所以.​ 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，得，则. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】已知向量，，， ，解得． 4. 若圆锥的母线长为 ，高为 ，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由圆锥的母线和高的长求出底面半径，再由体积公式计算即得. 【详解】由题意，圆锥的母线，高，则底面半径 ， 故其体积 . 故选：B. 5. 如图，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，则原图形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方法一、根据直观图还原到原图形即可求面积，方法二、根据直接求解. 【详解】方法一、设矩形与相交于点，则原图形如下， ，则， 所以. 方法二、由，所以. 故选：C. 6. 已知三条不同的直线，，和两个不同的平面，，下列四个命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【详解】对于A，若，，则两直线可以平行，可以垂直，可以异面，因此A错误； 对于B，若，，则，因此B正确； 对于C，当时，若，可以满足，但不成立，即C错误； 对于D，若，，也可能满足，所以D错误. 7. 在中，、、分别为内角、、的对边，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理及已知条件可得，令，则，，结合余弦定理可求得的值. 【详解】因为，所以由正弦定理得，又因为，所以， 令，则，， 所以由余弦定理得， 故选：D. 8. 在三棱锥中，三条棱，，两两相互垂直，，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等积法可求点面距. 【详解】设点到平面的距离为， 因为，且，，两两相互垂直， 故，故的面积为， 因为平面， 故平面，故， 故，故. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分. 9. 已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用空间中线面和面面的位置关系逐项判断即可. 【详解】对于A，线与平面平行，直线并不与平面内的每一条直线平行，A错误： 对于B，若直线与平面垂直，则直线与平面内的每一条直线都垂直，B正确； 对于C，由线面平行性质定理可知，C选项正确； 对于D，结合正方形模型及线面垂直定义可知D选项正确. 故选：BCD. 10. 如图，在正三棱柱中，为棱的中点，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 直线与面所成角为 C. 线段 D. 直线面 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用线面垂直的判定定理与性质定理即可得证；对于B，利用线面角的定义即可得解；对于C，正中求解即可；对于D，利用线面平行的判定理证得即可. 【详解】对于A，因为在正三棱柱中，面，而面，所以， 因为底面是正三角形，为棱的中点，所以， 又面，所以面， 因为面，所以，故A正确； 对于B，因为在正三棱柱中，面，所以为直线与面所成角， 因为面，所以，又， 所以，则，故B正确； 对于C，在正中，，则， 所以，故C错误； 对于D，记的中点为，连接，如图， 因为是的中点，又易知四边形是平行四边形，所以， 因为，所以，所以四边形是平行四边形，则， 又面，面，所以直线面，故D正确. 故选：ABD. 11. 在中，角所对的边分别为，，，O为的外接圆的圆心，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的外接圆的半径为2 C. D. 面积的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据正弦定理、三角形内角和定理、两角和的正弦公式和特殊角的三角函数值计算判断A,B,利用向量的数量积公式、余弦定理、基本不等式和三角形面积公式计算判断C,D. 【详解】在中，因为，所以由正弦定理得， 又， 所以，所以， 对于A，因为，则，所以，因为，所以，故A正确； 对于B,由正弦定理得外接圆半径，故B错误； 对于C,如图1，，故C错误； 对于D,由余弦定理得：， 当且仅当时取等号，因此，故D正确， 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分. 12. 半径为的球的表面积为_____ 【答案】 【解析】 【详解】因为球的半径为，所以球的表面积为. 13. 已知向量，，且，则______. 【答案】 【解析】 【详解】由. 所以. 14. 已知正四棱锥的底面边长为6，高为，则正四棱锥外接球的体积为___________________. 【答案】 【解析】 【分析】由，得正四棱锥的外接球球心为，半径为，可求外接球的体积. 【详解】正四棱锥中，设，连接，则平面， 设正四棱锥的外接球球心为，则在直线上， 因为正四棱锥的高为，所以， 底面正方形的边长为6，则有，所以即为， 正四棱锥的外接球半径为，外接球的体积为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 已知向量． （1）求： （2）求与的夹角大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 ，. 【小问2详解】 设两向量夹角为，，， ， 因此，结合的范围得. 16. 在中，已知． （1）求的值； （2）若，且，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）分析可得，利用三角形的面积公式求解即可. 【小问1详解】 由余弦定理可得， 又因为，故. 【小问2详解】 因为，则，故的面积为. 17. 如图，在直三棱柱中，，，，，点分别为棱的中点． （1）证明：直线平面； （2）求异面直线与所成的角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）连接，利用三角形中位线性质可得，再利用线面平行的判定定理即可证明； （2）由和可知或其补角即为所求，再利用余弦定理求解即可． 【小问1详解】 连接，由已知条件，点分别为棱的中点， 故有， 又平面，平面， 所以直线平面； 【小问2详解】 由（1）可知，， 故或其补角为异面直线与所成的角． 因为，，，所以， 根据直三棱柱性质可知，，所以， ， 在中，由余弦定理得， 又，故， 即异面直线与所成的角的大小为． 18. 已知的角A，B，C所对的边分别是a，b，c， 向量 （1）若 求A； （2）若 求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过向量平行转化为边角关系，再用正弦定理和三角恒等变换求解即可. （2）通过向量垂直得到边的关系，结合余弦定理和面积公式求解即可. 【小问1详解】 因为所以①. 又由正弦定理，即，代入①式， 可得，整理得， 又，所以，解得. 【小问2详解】 因为，所以， 即，又，所以. 因为，由余弦定理可得， 即，解得或（舍去）. 故. 19. 如图，四面体中，、分别是、的中点，、分别是、边上的点，且（）. （1）证明：、、、四点共面； （2）设四面体的各棱长均为6. （ⅰ）当时，求四边形的周长； （ⅱ）求四面体外接球与内切球的半径. 【答案】（1）证明过程见解析 （2）（ⅰ）周长为；（ⅱ）外接球半径为，内切球半径为 【解析】 【分析】（1）得到，得到四点共面； （2）（ⅰ）由余弦定理等知识求出各边长，相加求周长； （ⅱ）作出辅助线，根据外接球半径相等得到方程，求出外接球半径，并根据三角形相似得到内切球半径 【小问1详解】 、分别是、的中点，故为的中位线， 故， 、分别是、边上的点，，故， 故，、、、四点共面； 【小问2详解】 四面体的各棱长均为6， 故均为等边三角形， ，，故，， 且， 又， 在中，，由余弦定理得 ， 同理可得， 所以四边形的周长为. （ⅱ）连接，过点作⊥平面于点，则在上，且， 设四面体外接球的球心为，半径为，连接，则， 因为，由勾股定理得，， 故，则， 在中，由勾股定理得，即， 解得； 如图所示，点为四面体内切球球心，内切球与切于点， 与切于点，设内切球半径为， 连接，则， 显然∽，故， 即，解得， 所以外接球半径为，内切球半径为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 集宁二中2025-2026学年下学期高一年级期中检测卷 数学 考试时间：150分钟；命题人： 审题人： 注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷.第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置.第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置.答案写在试卷上均无效，不予记分. 一、单选题：本题共8个小题，每小题题5分，共40分. 1. 已知复数满足，则（ ） A. 2 B. 4 C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 若圆锥的母线长为 ，高为 ，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，则原图形的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知三条不同的直线，，和两个不同的平面，，下列四个命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 7. 在中，、、分别为内角、、的对边，若，，则（ ） A. B. C. D. 8. 在三棱锥中，三条棱，，两两相互垂直，，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分. 9. 已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 如图，在正三棱柱中，为棱的中点，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 直线与面所成角为 C. 线段 D. 直线面 11. 在中，角所对的边分别为，，，O为的外接圆的圆心，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的外接圆的半径为2 C. D. 面积的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分. 12. 半径为的球的表面积为_____ 13. 已知向量，，且，则______. 14. 已知正四棱锥的底面边长为6，高为，则正四棱锥外接球的体积为___________________. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 已知向量． （1）求： （2）求与的夹角大小． 16. 在中，已知． （1）求的值； （2）若，且，求的面积． 17. 如图，在直三棱柱中，，，，，点分别为棱的中点． （1）证明：直线平面； （2）求异面直线与所成的角的大小． 18. 已知的角A，B，C所对的边分别是a，b，c， 向量 （1）若 求A； （2）若 求的面积. 19. 如图，四面体中，、分别是、的中点，、分别是、边上的点，且（）. （1）证明：、、、四点共面； （2）设四面体的各棱长均为6. （ⅰ）当时，求四边形的周长； （ⅱ）求四面体外接球与内切球的半径. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $