6.4 数列中的构造问题【题型突破】-2027届高三数学一轮复习讲义

该高中数学高考复习讲义聚焦数列构造问题核心考点，涵盖待定系数法、取倒数与对数法及相邻项差特殊数列等题型，按“考向预测—题型突破—限时训练”流程，通过考点梳理、方法指导和真题训练，帮助学生构建递推数列转化模型，突破通项公式求解难点。 资料以分层教学为特色，针对不同递推类型设计专题突破，如用待定系数法构造新数列解决“aₙ₊₁=paₙ+qn+c”问题，培养学生数学思维与模型观念。设置基础到综合的限时训练，配合即时反馈，助力学生高效掌握构造技巧，为教师把控复习节奏提供精准指导。

第六章 数 列 §6.4　数列中的构造问题 【高考考向预测】 数列构造问题依托递推关系式变形构造等差、等比新数列，以此求解通项公式，题型灵活多变；近三年多在解答题中出现，属于区分度较高的考点；2027 年会依旧侧重常见构造模型考查，结合参数设问，综合考查变形转化与逻辑推导能力。 重点解读　数列中的构造问题是历年高考的一个热点内容，主、客观题均可出现，一般通过构造新的数列求数列的通项公式. 【题型突破●明方向】 题型一　待定系数法 命题点1　an+1=pan+q(p≠0，1，q≠0) 例1　(2025·石家庄模拟)已知数列{an}满足an+1=an+4，且a1=1，则{an}的通项公式为(　　) A.an=9-18× B.an=7-9× C.an=12-11× D.an=-12+13× 命题点2　an+1=pan+qn+c(p≠0，1，q≠0) 例2　在数列{an}中，已知a1=2，且an+1=4an-3n+1(n∈N*)，则该数列的通项公式为　　　　　　　. 命题点3　an+1=pan+qn(p≠0，1，q≠0，1) 例3　(1)(2026·昆明模拟)已知数列{an}满足an+1=3an+3n(n∈N*)，且a1=1，则数列{an}的通项公式为　　　　　　　　. (2)已知数列{an}满足an+1=2an+3×5n，a1=2，则数列{an}的通项公式为　　　　　　　　. 跟踪训练1　(多选)已知数列{an}，下列结论正确的有(　　) A.若a1=2，2(n+1)an-nan+1=0，则an=n·2n B.在数列{an}中，a1=1，且an=2an-1+3(n≥2，且n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an=2n+1-3 C.若a1=2，an=an-1+(n≥2)，则数列是等比数列 D.已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+n-1，则数列{an}的通项公式为an=2n-n+1 题型二　取倒数法和取对数法 命题点1　取倒数法 例4　(1)(2025·南宁检测)已知数列{an}的首项a1=，且满足an+1=(n∈N*)，则a20的值为(　　) A. B. C. D. (2)已知数列{an}中，a1=1，an+1=(n∈N*)，则an=　　　　　　. 命题点2　取对数法 例5　(2025·岳阳模拟)已知数列{an}满足a1=10，an+1=10，若as·at=a10，则s+t的最大值为(　　) A.10 B.12 C.16 D.18 跟踪训练2　(1)在数列{bn}中，b1=-1，bn+1=，则数列{bn}的通项公式bn=　　　　. (2)设数列{an}满足a1=100，an>0，且10an=(n≥2)，则an=　　　　　　. 题型三　相邻项的差为特殊数列(形如an+2=pan+1+qan(p，q为常数，且p≠0，q≠0)) 例6　在数列{an}中，a1=1，a2=3，an+2=3an+1-2an，则an=　　　　. 跟踪训练3　在数列{an}中，a1=-1，a2=1，an+2=4an+1-3an，则数列{an}的通项公式an=　　　　　　. 【限时训练】 （40分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.在数列{an}中，a1=1，且an+1=2an+1，则S2 026等于(　　) A.22 024-2 025 B.22 025-2 026 C.22 026-2 027 D.22 027-2 028 2.已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+n，则a4等于(　　) A.17 B.18 C.19 D.20 3.(2026·长春模拟)已知数列{an}满足a1=1且an+1=(n∈N*)，则a13等于(　　) A. B. C. D. 4.(2025·忻州模拟)已知数列{an}满足+=2，且a2=，a3=，则3a100等于(　　) A. B. C. D. 5.(2025·宜宾模拟)一只蜜蜂从蜂房A出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房(如图)，例如：从蜂房A只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房……以此类推，用an表示蜜蜂爬到n号蜂房的方法数，则a2 024a2 026-等于(　　) A.1 B.-1 C.2 D.-2 6.在数列{an}中，a1=1，an+1=3an-2n-1(n∈N*)，记cn=3n-2×(-1)nλan，若数列{cn}为递增数列，则实数λ的取值范围为(　　) A. B.(-2，1) C.(-1，1) D.(0，1) 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.(2025·榆林模拟)已知数列{an}，Sn为其前n项和，下列结论正确的有(　　) A.若a1=2，an+1=an+n+1，则a20=211 B.若Sn=3n+，则数列{an}是等比数列 C.若a1=1，an+1=3an+2，则a4=53 D.若a1=1，2an+1-an+anan+1=0(n∈N*)，则a6= 8.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=3，an+1=4an+3×4n，则(　　) A.a2=24 B.为等比数列 C.an=3n·4n-1 D.log2(4a100-3S100+1)=200 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.已知数列{an}满足a1=1，an=2(n≥2)，则数列{an}的通项公式为　　　　. 10.(2025·天津模拟)已知数列{an}满足a1=1，a2=，且an+2=(n∈N*)，则数列{an}的通项公式是　　　　　　　. 四、解答题(共28分) 11.(13分)(2025·广州模拟)记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1=，3an+1=an+2. (1)求{an}的通项公式；(5分) (2)若S2 025<m，求整数m的最小值.(8分) 12.(15分)(2025·八省联考)已知数列{an}中，a1=3，an+1=. (1)证明：数列为等比数列；(5分) (2)求{an}的通项公式；(4分) (3)令bn=，证明：bn<bn+1<1.(6分) 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 数 列 §6.4　数列中的构造问题 【高考考向预测】 数列构造问题依托递推关系式变形构造等差、等比新数列，以此求解通项公式，题型灵活多变；近三年多在解答题中出现，属于区分度较高的考点；2027 年会依旧侧重常见构造模型考查，结合参数设问，综合考查变形转化与逻辑推导能力。 重点解读　数列中的构造问题是历年高考的一个热点内容，主、客观题均可出现，一般通过构造新的数列求数列的通项公式. 【题型突破●明方向】 题型一　待定系数法 命题点1　an+1=pan+q(p≠0，1，q≠0) 例1　(2025·石家庄模拟)已知数列{an}满足an+1=an+4，且a1=1，则{an}的通项公式为(　　) A.an=9-18× B.an=7-9× C.an=12-11× D.an=-12+13× 【答案】C 【解析】设an+1+x=(an+x)，即an+1=an-x， 所以-x=4，解得x=-12， 所以an+1-12=(an-12)，又a1-12=-11， 所以是首项为-11，公比为的等比数列， 所以an-12=-11×， 所以an=12-11×. 命题点2　an+1=pan+qn+c(p≠0，1，q≠0) 例2　在数列{an}中，已知a1=2，且an+1=4an-3n+1(n∈N*)，则该数列的通项公式为　　　　　　　. 【答案】an=4n-1+n 【解析】令an+1-A(n+1)-B=4(an-An-B)， 则an+1=4an-3An+A-3B， 由条件得解得 即an+1-(n+1)=4(an-n)，又a1-1=1， 故数列{an-n}是首项为1，公比为4的等比数列， 从而an-n=4n-1，故an=4n-1+n. 命题点3　an+1=pan+qn(p≠0，1，q≠0，1) 例3　(1)(2026·昆明模拟)已知数列{an}满足an+1=3an+3n(n∈N*)，且a1=1，则数列{an}的通项公式为　　　　　　　　. 【答案】an=n·3n-1 【解析】将an+1=3an+3n两边同时除以3n+1，得=+，即-=， 由等差数列的定义知，数列是以=为首项，为公差的等差数列， 所以=+(n-1)×=，故an=n·3n-1. (2)已知数列{an}满足an+1=2an+3×5n，a1=2，则数列{an}的通项公式为　　　　　　　　. 【答案】an=5n-3×2n-1 【解析】方法一　将an+1=2an+3×5n两边同时除以5n+1，得=×+， 变形得-1=，由于-1=-≠0，所以数列是以-为首项，为公比的等比数列，即-1=-，故数列{an}的通项公式为an=5n-3×2n-1. 方法二　设an+1+A×5n+1=2(an+A×5n)， 展开整理得an+1=2an-3A×5n， 对比原式an+1=2an+3×5n，可得A=-1， 即an+1-5n+1=2(an-5n)， 由于a1-51=-3≠0， 所以数列是以-3为首项，2为公比的等比数列. 即an-5n=-3×2n-1，故数列{an}的通项公式为an=5n-3×2n-1. 【思维升华】　 形式 构造方法 an+1=pan+q 引入参数c，构造新的等比数列{an+c} an+1=pan+qn+c 引入参数x，y，构造新的等比数列{an+xn+y} an+1=pan+qn 两边同除以qn+1，构造新的数列，或引入参数A，构造新的等比数列 跟踪训练1　(多选)已知数列{an}，下列结论正确的有(　　) A.若a1=2，2(n+1)an-nan+1=0，则an=n·2n B.在数列{an}中，a1=1，且an=2an-1+3(n≥2，且n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an=2n+1-3 C.若a1=2，an=an-1+(n≥2)，则数列是等比数列 D.已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+n-1，则数列{an}的通项公式为an=2n-n+1 【答案】AB 【解析】∵2(n+1)an-nan+1=0， ∴=， ∴是首项为=2，公比为2的等比数列， ∴=2·2n-1，∴an=n·2n，故A正确； 由an=2an-1+3(n≥2)，得an+3=2(an-1+3)， 即=2， 又a1+3=1+3=4， ∴数列{an+3}是首项为4，公比为2的等比数列， ∴an+3=4×2n-1，即an=2n+1-3， ∴数列{an}的通项公式为an=2n+1-3，故B正确； 根据题意，an=an-1+ ⇔-=1，n≥2， 又=6，∴是首项为6，公差为1的等差数列，故C错误； 设an+1+k(n+1)+b=2(an+kn+b)， ∴an+1=2an+kn+b-k， 由an+1=2an+n-1， 得解得∴=2， 即{an+n}是首项为a1+1=2，公比为2的等比数列. ∴an+n=2×2n-1=2n，故an=2n-n，故D错误. 题型二　取倒数法和取对数法 命题点1　取倒数法 例4　(1)(2025·南宁检测)已知数列{an}的首项a1=，且满足an+1=(n∈N*)，则a20的值为(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为a1=，an+1=(n∈N*)，易知an≠0， 所以==4+，即-=4， 又a1=，所以=3， 故是以3为首项，4为公差的等差数列， 则=3+4(n-1)=4n-1，故an=， 所以a20==. (2)已知数列{an}中，a1=1，an+1=(n∈N*)，则an=　　　　　　. 【答案】 【解析】因为an+1=(n∈N*)， 所以=+1， 设+t=3， 所以3t-t=1，解得t=， 所以+=3， 又+=1+=， 所以数列是以为首项，3为公比的等比数列，所以+=×3n-1=， 所以an=. 命题点2　取对数法 例5　(2025·岳阳模拟)已知数列{an}满足a1=10，an+1=10，若as·at=a10，则s+t的最大值为(　　) A.10 B.12 C.16 D.18 【答案】D 【解析】由an+1=10可得an>0， lg an+1=lg(10)=2lg an+1， 故lg an+1+1=2(lg an+1)， 又lg a1+1=2，故{lg an+1}是首项为2，公比为2的等比数列， 则lg an+1=2n，故an=， 由as·at=a10可得·= =， 故2s+2t=210， 则210≥2=2=， 故+1≤10，得0<s+t≤18，当且仅当s=t=9时取等号， 故s+t的最大值为18. 【思维升华】(1)形如an+1=的递推公式，求通项公式an的方法： ①若A=C，则通过倒数构造新的等差数列，从而求得an； ②若A≠C，可通过倒数构造新的等比数列，从而求得an. (2)形如an+1=p的递推公式，两边同取以p为底的对数，得logpan+1=qlogpan+1，将logpan看成整体，运用待定系数法求得logpan的表达式，再得出an. 跟踪训练2　(1)在数列{bn}中，b1=-1，bn+1=，则数列{bn}的通项公式bn=　　　　. 【答案】 【解析】bn+1=的两边同时取倒数， 得=，即=+3， 因此+3=2， 又+3=2， 故是以2为首项，2为公比的等比数列， 则+3=2·2n-1=2n，可得bn=. (2)设数列{an}满足a1=100，an>0，且10an=(n≥2)，则an=　　　　　　. 【答案】 【解析】由10an=(n≥2)且an>0，两边取对数得lg an+1=2lg an-1，n≥2， 令xn=lg an，则xn+1=2xn-1，n≥2， 整理得xn-1=2(xn-1-1)， 又x1-1=lg a1-1=1， 所以数列是首项为1，公比为2的等比数列， 则xn-1=2n-1，故xn=2n-1+1， 故an=1. 题型三　相邻项的差为特殊数列(形如an+2=pan+1+qan(p，q为常数，且p≠0，q≠0)) 例6　在数列{an}中，a1=1，a2=3，an+2=3an+1-2an，则an=　　　　. 【答案】2n-1 【解析】由题意知，an+2-an+1=2(an+1-an)， 因为a2-a1=2，所以{an-an-1}(n≥2，n∈N*)是首项为2，公比为2的等比数列，an-an-1=2n-1(n≥2)， 当n≥2时，an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2n-1+2n-2+…+2+1==2n-1. 显然当n=1时，a1=1满足上式，所以an=2n-1. 思维升华　递推关系形如an+2=Aan+1+Ban，可构造新的等比数列，转化变形后求解. 跟踪训练3　在数列{an}中，a1=-1，a2=1，an+2=4an+1-3an，则数列{an}的通项公式an=　　　　　　. 【答案】3n-1-2 【解析】方法一　由题意得an+2-an+1=3(an+1-an)， 又a2-a1=2， 则{an+1-an}是首项为2，公比为3的等比数列， an+1-an=2·3n-1， 利用累加法可得an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2·3n-2+2·3n-3+…+2·31-1-1=2·-1=3n-1-2(n≥2)， 显然当n=1时，a1=-1满足上式， 所以an=3n-1-2. 方法二　由题意得an+2-3an+1=an+1-3an， 又a2-3a1=4，则是首项为4，公比为1的等比数列， 得到an+1-3an=4，即an+1+2=3(an+2)， 又a1+2=1，所以{an+2}是以1为首项，3为公比的等比数列，所以an+2=3n-1， 可得an=3n-1-2. 【限时训练】 （40分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.在数列{an}中，a1=1，且an+1=2an+1，则S2 026等于(　　) A.22 024-2 025 B.22 025-2 026 C.22 026-2 027 D.22 027-2 028 【答案】D 【解析】因为an+1=2an+1， 所以an+1+1=2(an+1)， 又a1+1=2，所以数列{an+1}是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以an+1=2n，所以an=2n-1， 故Sn=-n=2n+1-n-2， 所以S2 026=22 027-2 028. 2.已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+n，则a4等于(　　) A.17 B.18 C.19 D.20 【答案】C 【解析】方法一　因为an+1=2an+n， 所以an+1+n+2=2an+2n+2=2(an+n+1)， 又a1+1+1=1+1+1=3， 即数列{an+n+1}是以3为首项，2为公比的等比数列， 即an+n+1=3·2n-1， 即an=3·2n-1-n-1， 故a4=3·23-4-1=19. 方法二　由an+1=2an+n，a1=1， 故a2=2a1+1=3， a3=2a2+2=8，a4=2a3+3=19. 3.(2026·长春模拟)已知数列{an}满足a1=1且an+1=(n∈N*)，则a13等于(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由an+1=得==+， 又=1，∴数列是以1为首项，为公差的等差数列， ∴=1+(n-1)=， ∴an=，n∈N*， ∴a13==. 4.(2025·忻州模拟)已知数列{an}满足+=2，且a2=，a3=，则3a100等于(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为+=2，可得+=，可知数列为等差数列， 又因为a2=，即==2+，即-=2， 可知是以2为公差的等差数列， 且a3=，则=-2×2=7-4=3， 可得=3+2(n-1)=2n+1，即an=， 所以3a100==. 5.(2025·宜宾模拟)一只蜜蜂从蜂房A出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房(如图)，例如：从蜂房A只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房……以此类推，用an表示蜜蜂爬到n号蜂房的方法数，则a2 024a2 026-等于(　　) A.1 B.-1 C.2 D.-2 【答案】A 【解析】依题意，an=an-1+an-2(n≥3)， a1=1，a2=2，a3=a1+a2=3， anan+2-=an(an+1+an)-=anan+1+-=+an+1(an-an+1)=-an+1an-1=-(an-1an+1-)(n≥2)， a1a3-=-1， 所以数列{anan+2-}是首项为-1，公比为-1的等比数列， anan+2-=(-1)×(-1)n-1=(-1)n， 所以a2 024a2 026-=(-1)2 024=1. 6.在数列{an}中，a1=1，an+1=3an-2n-1(n∈N*)，记cn=3n-2×(-1)nλan，若数列{cn}为递增数列，则实数λ的取值范围为(　　) A. B.(-2，1) C.(-1，1) D.(0，1) 【答案】A 【解析】由an+1=3an-2n-1， 得=·-， 即-=， 而-=0，则-=0， 即an=2n-1， 则cn=3n-2×(-1)nλ·2n-1=3n-(-2)nλ， 由数列{cn}为递增数列， 得∀n∈N*，cn+1>cn恒成立， 则∀n∈N*，3n+1-(-2)n+1λ>3n-(-2)nλ， 即3n-1>(-2)n-1λ恒成立， 当n为奇数时，λ<恒成立，数列为递增数列，的最小值为1， 则λ<1， 当n为偶数时，λ>-恒成立，数列为递减数列，-的最大值为-，则λ>-， 所以实数λ的取值范围为. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.(2025·榆林模拟)已知数列{an}，Sn为其前n项和，下列结论正确的有(　　) A.若a1=2，an+1=an+n+1，则a20=211 B.若Sn=3n+，则数列{an}是等比数列 C.若a1=1，an+1=3an+2，则a4=53 D.若a1=1，2an+1-an+anan+1=0(n∈N*)，则a6= 【答案】AC 【解析】由an+1=an+n+1得an+1-an=n+1， ∴a20=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(a20-a19)=2+2+3+4+…+20 =2+=211，选项A正确； 由Sn=3n+得，a1=3+=， a2=S2-S1=-=6， a3=S3-S2=-=18， ∵≠a1a3，∴数列{an}不是等比数列，选项B错误； 由an+1=3an+2得，an+1+1=3(an+1)，且a1+1=2， ∴数列是以2为首项，以3为公比的等比数列， ∴a4+1=2×33=54，∴a4=53，选项C正确； 由a1=1，2an+1-an+anan+1=0，显然an≠0， 则有=2·+1， 即+1=2， 而+1=2， ∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列， ∴+1=2n， 即an=，∴a6=，选项D错误. 8.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=3，an+1=4an+3×4n，则(　　) A.a2=24 B.为等比数列 C.an=3n·4n-1 D.log2(4a100-3S100+1)=200 【答案】ACD 【解析】选项A，由题意得a2=4a1+3×4=24，A正确； 选项B，将an+1=4an+3×4n两边同时除以4n+1， 得=+， 即-=， 则是首项为=，公差为的等差数列，不是等比数列，B错误； 选项C，由=+(n-1)=n， 得an=3n·4n-1，C正确； 选项D，Sn=3+6×4+9×42+…+3n×4n-1， ① 4Sn=3×4+6×42+9×43+…+3n×4n， ② ①-②，得-3Sn=3+3×(4+42+…+4n-1)-3n×4n =3+3×-3n×4n=(1-3n)×4n-1， 即Sn=， 因为4an-3Sn+1=4×3n×4n-1-3×+1=4n，所以log2(4a100-3S100+1)=log24100=log22200=200，D正确. 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.已知数列{an}满足a1=1，an=2(n≥2)，则数列{an}的通项公式为　　　　. 【答案】an= 【解析】易知an>0，对an=2(n≥2)两边取对数得log2an=log2(2)=1+log2an-1，n≥2， ∴log2an-2=(log2an-1-2)，n≥2， 又∵log2a1-2=-2， ∴{log2an-2}是首项为-2，公比为的等比数列， ∴log2an-2=-2×=-22-n， ∴an=. 10.(2025·天津模拟)已知数列{an}满足a1=1，a2=，且an+2=(n∈N*)，则数列{an}的通项公式是　　　　　　　. 【答案】an= 【解析】由an+2=(n∈N*)， 则=， 即==+1，又a1=1，a2=，则==2， 故数列是以2为首项，1为公差的等差数列， 即=2+(n-1)=n+1， 则有=n，=n-1，…，=2，且n≥2， 故××…×==n！，即an==，显然当n=1时，a1=1也满足上式，所以an=. 四、解答题(共28分) 11.(13分)(2025·广州模拟)记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1=，3an+1=an+2. (1)求{an}的通项公式；(5分) (2)若S2 025<m，求整数m的最小值.(8分) 【解析】(1)已知a1=， 3an+1=an+2⇒3(an+1-1)=an-1⇒=，a1-1=， ∴{an-1}是以为首项，为公比的等比数列， ∴an-1=×，即an=+1. (2)由(1)可知，an=+1， S2 025=2 025+2×=2 025+2×=2 026-， ∵0<<1， ∴2 025<2 026-<2 026， 由S2 025<m，可得m≥2 026，又m为整数， ∴整数m的最小值为2 026. 12.(15分)(2025·八省联考)已知数列{an}中，a1=3，an+1=. (1)证明：数列为等比数列；(5分) (2)求{an}的通项公式；(4分) (3)令bn=，证明：bn<bn+1<1.(6分) (1)【证明】∵an+1=， ∴==+， ∴1-=-=， 又1-=≠0， ∴数列是首项为，公比为的等比数列. (2)【解析】由(1)知1-=， 故an==. (3)【证明】bn==· ===1-， 显然数列为递增数列， 且3·-2>0对n∈N*恒成立， ∴数列为递减数列， ∴数列{bn}为递增数列，且bn<1，∴bn<bn+1<1. 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $