空间向量的概念及其运算 课件-2027届高考数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“空间向量的概念及其运算”专题，覆盖空间向量基本概念、共线定理应用、数量积计算与判定、坐标表示及综合应用等高考核心考点，依据高考评价体系分析考点权重，归纳选择、填空及解答题中的常考题型，构建系统复习框架。 课件亮点在于“基础-能力-素养”三级训练体系，结合教材改编题、2026武汉模拟等真题实例，通过解题思维路径培养学生的空间观念和运算能力，如用共面向量定理证明四点共面的方法，助力学生掌握答题技巧，教师可据此精准把握学情，提升复习效率。

数 学 构建知识体系 形成关键能力 提高学科素养 精准高效备考 高考能力梯级集训 第5节　空间向量的概念及其运算 返回目录 目录 1 2 3 基础满分练 课前 自检自测·夯基固本 能力高分练 课中 关键能力·可视思维 素养提升练 课中 高考定向·捕捉热点 第5节　空间向量的概念及其运算 基础 满分练 课前 自检自测·夯基固本 四个高考关键点 关键点1 空间向量基本概念的辨析与理解 1.给出下列命题: ①零向量没有方向; ②若两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也相同; ③若空间向量a,b满足|a|=|b|,则a=b; ④若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p; ⑤空间中任意两个单位向量必相等. 其中真命题的个数为(　　)[命题点❶] A.4　　　　B.3　　　　C.2　　　　D.1 D 返回目录 解析:零向量的方向是任意的,但并不是没有方向,故①错误;当两个空间向量的起点相同,终点也相同时,这两个向量必相等.但两个向量相等,起点和终点不一定相同,故②错误;根据相等向量的定义,要保证两个向量相等,不仅模要相等,而且方向也要相同,但③中向量a与b的方向不一定相同,故③错误;④显然正确;对于命题⑤,空间中任意两个单位向量的模均为1,但方向不一定相同,故不一定相等,故⑤错误.故选D. 返回目录 关键点2 空间向量核心定理应用 2.(人教A版选择性必修第一册教材习题改编)已知向量=(1,a,-2)与 =(-2,4,b)共线,则a+b=(　　)[命题点❷] A.-2 B.0 C.2 D.6 C 解析:因为向量=(1,a,-2)与=(-2,4,b)共线,显然b≠0,所以,所以a=-2,b=4,故a+b=2.故选C. 返回目录 3.(人教A版选择性必修第一册教材习题改编)若{a,b,c}是空间的一个基底,则下列各组向量中,不共面的一组是(　　)[命题点❸] A.a+b,a-b,c B.b+c,b,b-c C.a+b,a-b,a D.a+b,a+b+c,c A 解析:选项A,若a+b,a-b,c共面,则存在实数x,y使得c=x(a+b)+y(a-b),即c=(x+y)a+(x-y)b,得到a,b,c共面,与已知矛盾,所以A正确;选项B,因为b=(b+c)+(b-c),所以b+c,b,b-c共面,所以B错误;选项C,因为 a=(a+b)+(a-b),所以a+b,a-b,a共面,所以C错误;选项D,因为 c=-(a+b)+(a+b+c),所以a+b,a+b+c,c共面,所以D错误.故选A. 返回目录 4.(人教A版选择性必修第一册教材习题改编)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,若,则=(　　)[命题点❹] A. B.- C.- D. B 解析:如图,=-故选B. 返回目录 关键点3 空间向量数量积相关计算与判定 5.(人教A版选择性必修第一册教材习题改编)已知向量a=(2,-3,1), b=(2,0,3),c=(0,0,2),则a·(b+c)=(　　)[命题点❺❻] A.6 B.7 C.9 D.13 C 解析:因为a=(2,-3,1),b+c=(2,0,5),所以a·(b+c)=2×2+(-3)×0+1×5=9.故选C. 返回目录 6.(苏教版选择性必修第一册教材习题改编)已知a=(2,-1,3),b=(-4,2,x),且a⊥b,则x=　　　　　. [命题点❺❻] 解析:因为a⊥b,所以a·b=-8-2+3x=0,解得x= 返回目录 7.(人教A版选择性必修第一册教材习题改编)正四面体ABCD的棱长为2,E,F分别为BC,AD的中点,则EF的长为　　　　　.[命题点❺] 解析:||2==()2=+2()=12+22+12+2(1×2×cos 120°+0+2×1×cos 120°)=2,所以||=,所以EF的长为 返回目录 关键点4 空间向量坐标表示及综合应用 8.已知空间三点A(1,3,-2),B(2,5,1),C(p+1,7,q)共线,则p和q的值分别是(　　)[命题点❻❼] A.3,6 B.2,4 C.1,4 D.2,6 B 解析:=(1,2,3),=(p,4,q+2),则有,解得p=2,q=4.故选B. 返回目录 9.在三棱锥P-ABC中,M是平面ABC内一点,且9=8+t+2,则t=(　　)[命题点❼] A.-1 B.1 C.2 D.3 A 解析:已知,因为A,B,C,M四点共面,所以=1,解得t=-1.故选A. 返回目录 回归教材•考教衔接 1.空间向量的有关概念[❶] 名称 定义 空间向量 在空间中,具有大小和方向的量 相等向量 方向相同且模相等的向量 相反向量 长度相等而方向相反的向量 共线向量 (或平行向量) 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 共面向量 平行于同一个平面的向量 返回目录 2.空间向量的有关定理 (1)共线向量定理:对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使a=λb.[❷] (2)共面向量定理:如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.[❸] 用于证明点共面或线共面、向量的分解与表示 (3)空间向量基本定理[❹] 　 空间中任意一个向量都可以用其他三个不共线向量表示 如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc.{a,b,c}叫做空间的一个基向量. 返回目录 3.空间向量的数量积[❺] (1)两向量的夹角:已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作=a,=b,则∠AOB叫做向量a与b的夹角,记作<a,b>,其范围是[0,π],若<a,b>=,则称a与b互相垂直,记作a⊥b. (2)两向量的数量积:已知两个非零向量a,b,则|a||b|cos<a,b>叫做a,b的数量积,记作a·b,即a·b=|a||b|cos<a,b>. (3)空间向量数量积的运算律 ①数乘结合律:(λa)·b=λ(a·b),λ∈R; ②交换律:a·b=b·a; ③分配律:a·(b+c)=a·b+a·c. 返回目录 (4)在空间,向量a向向量b投影,得到与向量b共线的向量c,c=|a|cos<a,b>,向量c称为向量a在向量b上的投影向量. 返回目录 4.空间向量的坐标表示及其应用[❻] 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3). 数量积 a·b a1b1+a2b2+a3b3 共线 a=λb(b≠0,λ∈R) a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3 垂直 a·b=0(a≠0,b≠0) a1b1+a2b2+a3b3=0 模 |a| 夹角余 弦值 cos<a,b>= 返回目录 能力 高分练 课中 关键能力•可视思维 考点1　空间向量的线性运算 命题视角:命题多围绕“概念辨析—定理应用—坐标转化—几何衔接”展开. 例1 (1)(2026·湖北武汉模拟)点O在平行四边形ABCD所在平面外,AC与BD交于点M,则2+2=(　　) A.3 B. C.4 D.2 D 解析:因为四边形ABCD为平行四边形,所以M为AC和BD的中点,所以2+2=2()-()=2×2-2=2,故选D. 返回目录 考点1 考点2 考点3 (2)(2025·广东广州模拟)如图,已知平行六面体OABC-O'A'B'C'中,点G是侧面BB'C'C的中心,且=a,=b,=c,则=(　　) A.a+b+c B.a+b+c C.a+b+c D.a-b+c C 返回目录 考点1 考点2 考点3 解析:因为点G是侧面BB'C'C的中心,所以点G是BC'的中点,则)=)=a+b+c.故选C. 返回目录 考点1 考点2 考点3 解题思维路径 返回目录 考点1 考点2 考点3 方法导引 空间向量线性运算的三个关键点 一要结合图形,明确图形中各线段的几何关系,以图形为指导是解题的关键;二要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义;三要在立体几何中正确运用三角形法则、平行四边形法则. 返回目录 考点1 考点2 考点3 考点2　空间向量基本定理及其应用 命题视角:定理本身的概念理解类命题、基于定理的运算求解类命题、定理在立体几何中的综合应用类命题. 例2 (多选)下列说法正确的是(　　) A.若a与b共线,b与c共线,则a与c共线 B.若G是四面体OABC的底面三角形ABC的重心,则) C.若,则A,B,C,G四点共面 D.若向量p=mx+ny+kz(其中x,y,z是三个不共面的向量,m,n,k∈R),则称p在基{x,y,z}下的坐标为(m,n,k).若p在单位正交基{a,b,c}下的坐标为(1,2,3),则p在基{a-b,a+b,c}下的坐标为(-,3) BD 返回目录 考点1 考点2 考点3 解析:对于A,若b=0,则满足a与b共线,b与c共线,但是a与c不一定共线,故A错误;对于B,由于G为四面体OABC的底面△ABC的重心,设D为BC的中点,故=2,整理得=2-2,故3,故),故B正确;对于C,由于1,对于,故A,B,C,G四点不共面,故C错误;对于D,p在单位正交基{a,b,c}下的坐标为(1,2,3),即p=a+2b+3c,设p在基{a-b,a+b,c}下的坐标为(x,y,z),则 返回目录 考点1 考点2 考点3 满足p=x(a-b)+y(a+b)+zc=(x+y)a+(y-x)b+zc=a+2b+3c,故解得则p在基{a-b,a+b,c}下的坐标为(-,3),故D正确. 返回目录 考点1 考点2 考点3 对点训练1 (2025·江苏泰州期中)已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,点E为PA的中点,点F满足=2,点Q满足=λ,若B,E,F,Q四点共面,则λ=(　　) A. B. C. D. C 返回目录 考点1 考点2 考点3 解析:如图所示,因为B,E,F,Q四点共面,且不共线,则存在m,n∈R,使得=m+n,即=m()+n(),所以=(1-m-n)+m+n=(1-m-n),因为四边形ABCD为平行四边形,所以,即,所以,设=k,则=k-k+k,因为不共面, 所以解得k=,所以, 又因为=,故λ=,故选C. 返回目录 考点1 考点2 考点3 解题思维路径 返回目录 考点1 考点2 考点3 方法导引 证明三点共线和空间四点共面的方法 三点P,A,B共线 空间四点M,P,A,B共面 =λ且同过点P =x+y且同过点M 对空间任一点O,+t 对空间任一点O,+x+y 对空间任一点O,=x+(1-x) 对空间任一点O,=x+y+(1-x- y) 返回目录 考点1 考点2 考点3 考点3　空间向量数量积及其应用 命题视角:基础概念与性质的直接考查、垂直关系的证明、空间距离的计算. 例3 (2026·河南新乡模拟)在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,AB=2, AD=2,AA'=3,∠BAD=90°,∠BAA'=∠DAA'=60°. (1)求; (2)求证:; (3)求A'C的长. 返回目录 考点1 考点2 考点3 (1)解:=3×2×cos 60°=3. (2)证明:因为()= =3×2×cos 60°-3×2×cos 60°=3-3=0, 所以 (3)解:因为, 所以=()2=+2-2-2=4+4+9+0-2×2×3-2×2×3=4+4+9-12=5. 所以||=,所以A'C= 返回目录 考点1 考点2 考点3 对点训练2 (原创)已知平行六面体ABCD-A'B'C'D',AB=2,AD=AA'=4, ∠A'AB=∠A'AD=∠BAD=60°. (1)求A'C的长度; (2)求证:AB⊥A'D; (3)求异面直线AA'与BD'所成角的余弦值. 返回目录 考点1 考点2 考点3 (1)解:设=a,=b,=c,=a+b-c, a·b=2×4=4,a·c=2×4=4,b·c=4×4=8, 则||= = = =2 (2)证明:=b-c,则=a·(b-c)=a·b-a·c=0,则AB⊥A'D. 返回目录 考点1 考点2 考点3 (3)解:=b+c-a, 则=c·(b+c-a)=b·c+c2-a·c=8+42-4=20, 而||= = ==6, 则cos<>=,则异面直线AA'与BD'所成角的余弦值为 返回目录 考点1 考点2 考点3 解题思维路径 返回目录 考点1 考点2 考点3 方法导引 空间向量的数量积运算的两条途径 返回目录 考点1 考点2 考点3 素养 提升练 课中 高考定向•捕捉热点 命题趋势1:近年高考中,空间向量的概念与运算聚焦基础考查(线性运算、数量积定义与性质). 1.已知非零空间向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是(　　) A.A,B,D B.A,B,C C.B,C,D D.A,C,D A 返回目录 解析:因为=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,对于A,由 =2a+4b=2,因为有公共点B,故A,B,D三点共线,故A正确;对于B,因为=a+2b,=-5a+6b,,故A,B,C三点不共线,故B错误;对于C,因为=-5a+6b,=7a-2b,,故B,C,D三点不共线,故C错误;对于D,因为=-4a+8b与=7a-2b没有确定的倍数关系,故A,C,D三点不共线,故D错误.故选A. 返回目录 2.(原创)若向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1)满足条件(c-a)·2b=-2,则x的值为　　　　.  2 解析:∵c-a=(0,0,1-x), ∴(c-a)·2b=(0,0,1-x)·(2,4,2)=2-2x=-2,解得x=2. 返回目录 命题趋势2:强化空间向量的工具性,突出其在立体几何中的应用(证明位置关系、计算角与距离). 3.(原创)在正方体ABCD-A'B'C'D'中,点E是CC'的中点,AB=2.设上的投影向量为a,=b,则|a+b|=(　　) A. B. C. D. A 返回目录 解析:,则a=() =() =()=), 返回目录 |a+b|2=|a|2+|b|2+2a·b=)2+||2+2() (||2-2+||2)+||2+2() =(22-0+22)+22+2×(0-0)=+4=,故|a+b|=故选A. 返回目录 4.(2025·上海嘉定期末)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P是对角线AC1上的动点(点P与点A,C1不重合),则直线AA1与BP所成角的取值范围是　　 　　.  () 返回目录 解析:∵点P是对角线AC1上的动点,=(1-λ)+,0<λ<1, =(1-λ)+=λ=λ, ∴||=1,||= 设直线AA1与BP所成角为θ, ∴cos θ=, 返回目录 设=t>1,y=t2-2t+3单调递增, ∴t2-2t+3>2,∴0<, ∴cos θ∈(0,),θ∈(0,π),∴θ∈(). 返回目录 $