5.1 平面向量的概念及其线性运算 课件-2027届高考数学一轮复习

第五章 平面向量与复数 考 情 清 单 考点 真题示例 考向 6年考频 核心素养 平面向量的概念及线性运算 2022新高考Ⅰ，3 向量的线性运算 1考 数学运算 平面向量的夹角、模与数量积问题 2025全国二卷，12 向量的坐标运算 8考 数学运算 逻辑推理 2023新课标Ⅰ，3 2024新课标Ⅰ，3 2022新高考Ⅱ，4 向量的夹角 2023新课标Ⅱ，13 向量的模 2024新课标Ⅱ，3 2021新高考Ⅱ，15 向量的数量积 2021新高考Ⅰ，10 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 考点 真题示例 考向 6年考频 核心素养 平面向量的应用 2025全国一卷，6 向量在几何中的应用 1考 数学建模 数学运算 复数的概念、复数的四则运算 2025全国一卷，1 复数的概念 9考 数学运算 2023新课标Ⅱ，1 2021新高考Ⅱ，1 2024新课标Ⅱ，1 2025全国二卷，2 复数的运算 2024新课标Ⅰ，2 2023新课标Ⅰ，2 2022新高考Ⅰ，2 2022新高考Ⅱ，2 2021新高考Ⅰ，2 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 【命题形式】 高考对平面向量的考查以平面向量的基础知识、基本运算为主，考查与平面向量基本定理相关的线性运算、向量的数量积、向量的夹角、向量的模、向量的应用．试题以中低档题为主，多以选择题或填空题的形式出现．备考时，要注意基础概念的灵活运用，提高平面向量基本公式的运用能力． 高考对复数的考查主要集中在：①复数的相关概念，如虚数、纯虚数、共轭复数等；②复数的几何意义；③复数的四则运算．备考时，要掌握基础知识与解题方法，加强对复数的概念的理解，提高运算求解能力． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 第1讲　平面向量的概念及其线性运算 知识梳理·双基自测 名师讲坛·素养提升 考点突破·互动探究 提能训练　练案[30] 知识梳理 · 双基自测 返回导航 知 识 梳 理 知识点一　向量的有关概念 1．向量：既有________又有________的量叫做向量，向量的大小叫做向量的________(或称______)． 2．零向量：____________的向量叫做零向量，其方向是________的，零向量记作______. 3．单位向量：长度等于______个单位的向量． 大小 方向 长度 模 长度为0 任意 0 1 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 4．平行向量：方向相同或________的________向量；平行向量又叫________向量．规定：0与任一向量________. 5．相等向量：长度________且方向________的向量． 6．相反向量：长度________且方向________的向量． 相反 非零 共线 平行 相等 相同 相等 相反 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 知识点二　向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 ________法则 ____________法则 (1)交换律： a＋b＝__________； (2)结合律： (a＋b)＋c＝______________ 三角形 平行四边形 b＋a a＋(b＋c) 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 减法 向量a加上向量b的____________叫做a与b的差，即a＋ (－b)＝a－b ________法则 a－b＝a＋(－b) 相反向量 三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 数乘 实数λ与向量a的积是一个_______记作λa (1)模：|λa|＝|λ||a| ； (2)方向： 当λ>0时，λa与a的方向________； 当λ<0时，λa与a的方向________； 当λ＝0时，λa＝0 设λ，μ是实数． (1)_______＝(λμ)a； (2)(λ＋μ)a＝_______； (3)λ(a＋b)＝_______ 向量 相同 相反 λ(μa) λa＋μa λa＋λb 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 知识点三　共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使__________. b＝λa 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 归 纳 拓 展 4．已知向量e1，e2，是两个不共线的向量，若有xe1＋ye2＝0(x，y为实数)，则x＝y＝0. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 双 基 自 测 题组一　走出误区 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b.(　　) (2)单位向量都相等．(　　) (3)若a∥b，b∥c，则a∥c.(　　) (4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 题组二　走进教材 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 3．(必修2P22T4改编)化简： 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 题组三　走向考场 5．(2025·全国一卷)帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速．视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反．下图给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系．已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图所示(线段长度代表速度大小，单位：m/s)，则该时刻的真风为(　　) 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 级数 名称 风速大小(单位：m/s) 2 轻风 1.6～3.3 3 微风 3.4～5.4 4 和风 5.5～7.9 5 劲风 8.0～10.7 A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 考点突破 · 互动探究 返回导航 向量的基本概念——自主练透 1．(多选题)下列关于向量的说法正确的是(　　) A．若|a|＝0，则a＝0 C．对于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b| D．若a∥b，则存在唯一实数λ，使a＝λb [答案]　AC 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 A．a＝－2b B．a2＝b2 C．a＝2b D．|a|＝|b| [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 名师点拨： 1．相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． 2．共线向量即为平行向量，它们均与起点无关． 3．平行向量就是共线向量，二者是等价的；但相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 向量的线性运算——多维探究 角度1　向量加、减法的几何意义 若向量a≠0，b≠0，且|a|＝|b|＝|a－b|，则向量a与向量a＋b的夹角是________.(用弧度表示) 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 角度2　向量的线性运算 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 角度3　根据向量线性运算求参数 [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 名师点拨：平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略 1．考查向量加法或减法的几何意义． 2．求已知向量的和或差．一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则；求首尾相连的向量的和用三角形法则． 3．与三角形综合，求参数的值．求出向量的和或差，与已知条件中的式子比较，求得参数． 4．与平行四边形综合，研究向量的关系．画出图形，找出图中的相等向量、共线向量，将所求向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 【变式训练】 1．(角度1)设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则(　　) A．a⊥b B．|a|＝|b| C．a∥b D．|a|>|b| [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 A．3m－2n B．－2m＋3n C．3m＋2n D．2m＋3n [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 共线向量定理及其应用——师生共研 (2026·福州模拟)已知e1，e2是两个不共线的向量，若2e1＋λe2与μe1＋e2(λ，μ为实数)是共线向量，则(　　) [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 名师点拨：平面向量共线的判定方法 1．向量b与非零向量a共线的充要条件是存在唯一实数λ，使b＝λa.要注意通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用． 2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 【变式训练】 A．3 B．－3 C．－2 D．2 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 名师讲坛 · 素养提升 返回导航 易错警示——都是零向量“惹的祸” 下列命题正确的是(　　) A．向量a，b共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使b＝λa C．不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|中两个等号不可能同时成立 D．若向量a，b不共线，则向量a＋b与向量a－b必不共线 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 名师点拨： 在向量的有关概念中，定义长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的，并且规定：0与任一向量平行．由于零向量的特殊性，在两个向量共线或平行问题上，如果不考虑零向量，那么往往会得到错误的判断或结论．在向量的运算中，很多学生也往往忽视0与0的区别，导致结论错误． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 【变式训练】 下列叙述正确的是(　　) A．若非零向量a与b的方向相同或相反，则a＋b与a，b其中之一的方向相同 B．|a|＋|b|＝|a＋b|⇔a与b的方向相同 D．若λ≠0，λa＝λb，则a＝b [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 提能训练　练案[30] 返回导航 A组基础巩固 一、单选题 1．(2026·云南临沧模拟)关于非零向量a，b，下列说法正确的是(　　) A．若|a|>|b|，则a>b B．若|a|＝|b|，则a＝b C．若a＝b，则a∥b D．若a≠b，则a，b不是共线向量 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 [解析]　向量不能比较大小，故A错误；向量的模相等，但是向量的方向可能不同，故B错误；若a＝b，由向量相等的条件可得a∥b，故C正确；不相等的向量也可能是共线向量，故D错误．故选C. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 4．如图，e1，e2为互相垂直的单位向量，向量a＋b＋c可表示为(　　) A．2e1－3e2 B．3e1－2e2 C．2e1＋3e2 D．3e1＋2e2 [答案]　D [解析]　由题意得a＝e1＋2e2，b＝e1－2e2，c＝e1＋2e2，所以a＋b＋c＝e1＋2e2＋e1－2e2＋e1＋2e2＝3e1＋2e2.故选D. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 5．(2026·云南模拟预测)在平行四边形ABCD中，点E是CD边上的四等分点(靠近点D)，则(　　) [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 A．A，B，D三点共线 B．A，B，C三点共线 C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线 [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 A．4 B．5 C．－4 D．－5 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 二、多选题 9．(2025·湖北枣阳白水高中期中改编)下列说法正确的是(　　) A．单位向量都相等 B．模为0的向量与任意向量共线 C．平行向量一定是共线向量 D．任一向量与它的相反向量不相等 [答案]　BC 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 [解析]　对于A，单位向量的模相等，方向不一定相同，所以A错误；对于B，模为0的向量为零向量，零向量和任意向量共线，所以B正确；对于C，共线向量是方向相同或相反的非零向量，也叫平行向量，所以C正确；对于D，零向量与它的相反向量相等，所以D错误．故选BC. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 10．(2025·福建厦门开学考试)下列命题正确的是(　　) A．零向量是唯一没有方向的向量 B．零向量的长度等于0 D．若a＝b，b＝c，则a＝c [答案]　BCD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 [答案]　AC 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 三、填空题 12．已知向量m，n不共线，a＝λm＋n，b＝(λ－1)m－2n，若a∥b，则λ＝________. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 B组能力提升 [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 [答案]　3 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 C组拓展应用(选作) [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 谢谢观看 1．若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋)． 2．若G为△ABC的重点，O是平面内任意一点，则有(1)＋＋＝0；(2)＝(＋)；(3)＝(＋＋)． 3．已知＝λ＋μ(λ，μ为实数且O，B，C是不共线的三点)，若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1. 2．(必修2P14例6改编)在平行四边形ABCD中，BC的中点为M，且＝a，＝b，用a，b表示＝________. [答案]　a＋b [解析]　＝＋＝＋＝＋＝a＋b. (1)(－)＋＋＝________； (2)＋＋＋＝________. [答案]　(1)　(2)0 [解析]　(1)原式＝＋＋＋＝. (2)原式＝＋＝0. 4．(必修2P15T3改编)设A，B，C在一条直线上，O在该直线外，已知＝3x＋(2－5x)，则x＝________. [答案]　 [解析]　因为A，B，C三点共线，所以3x＋(2－5x)＝1，解得x＝. [解析]　由题意及图得，视风风速对应的向量为：n＝(0,2)－(3,3)＝(－3，－1)，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，船速方向和船行风速的向量方向相反，设真风风速对应的向量为n1，船行风速对应的向量为n2，∴n＝n1＋n2，船行风速n2＝ －[(3,3)－(2,0)]＝(－1，－3)，∴n1＝n－n2＝(－3，－1)－(－1，－3)＝ (－2,2)，|n1|＝＝2≈2.828，∴由表得，真风风速为轻风，故选A. B．若向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一条直线上 [解析]　对于A，若|a|＝0，则a＝0，故A正确；对于B，若向量与是共线向量，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上，故B错误；对于C，若a，b方向相同，则|a＋b|＝|a|＋|b|，若a，b方向相反，则|a＋b|<|a|＋|b|，若a，b不共线，根据向量加法的三角形法则及两边之和大于第三边可知|a＋b|<|a|＋|b|.综上可知对于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|，故C正确；对于D，若a≠0，b＝0，则a∥b，此时不存在实数λ，使a＝λb，故D错误． 2．(2025·辽宁阶段测试)设a，b都是非零向量，下列四个条件中，能使＝一定成立的是(　　) [解析]　因为＝，故a，b同向．a＝－2b，a，b方向相反，A错误；a2＝b2，得出|a|＝|b|，不能确定方向，B、D错误；a＝2b，a，b方向相同，则＝成立，C正确．故选C. 4．非零向量a与的关系是：是a方向上的单位向量. [答案]　 [解析]　设＝a，＝b，以OA，OB为邻边作▱OACB，如图所示，则a＋b＝，a－b＝.因为|a|＝|b|＝|a－b|，所以||＝||＝||，所以△OAB是等边三角形，四边形OACB为菱形，所以∠BOA＝.在菱形OACB中，对角线OC平分∠BOA，所以向量a与向量a＋b的夹角为. (2025·重庆期中)在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，记＝a，＝b，则＝(　　) A．a＋b B．a＋b C．a－b D．a－b [解析]　E为BC的中点，故＝＋＝(－＋)＋＝－＝b，＝＋＝＋(＋)＝＋＝a，＝a＋b，＝a－b，则＝＋＝－＋＝－＋(a－b)＝a－b.故选D. (2025·河南安阳晋豫名校联盟联考)在△ABC中，D为BC边上靠近点C的三等分点，E为线段AD(含端点)上一动点，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则(　　) A．λ＋μ＝1 B．μ＝2λ C．μ＝3λ D．λ－μ＝－ [解析]　如图，当E，D不重合时，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，即λ＝，μ＝，当E，D重合时，＝0，此时，0＝＝k＋2k，k∈Z，则必有μ＝2λ成立，综上，都有μ＝2λ成立，即只有B始终成立．故选B. [解析]　解法一：利用向量加法的平行四边形法则．在▱ABCD中，设＝a，＝b，由|a＋b|＝|a－b|知，||＝||，从而四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥b. 解法二：∵|a＋b|＝|a－b|，∴|a＋b|2＝|a－b|2.∴a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b.∴a·b＝0.∴a⊥b.故选A. 2．(角度2)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记＝m，＝n，则＝(　　) [解析]　因为BD＝2DA，所以＝3，所以＝＋＝＋3＝＋3(－)＝－2＋3＝－2m＋3n.故选B. 3．(角度3)(2026·长春调研)在△ABC中，延长BC至点M使得BC＝2CM，连接AM，点N为AM上一点且＝，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　) A． B． C．－ D．－ [解析]　由题意，知＝＝(＋)＝＋×＝＋(－)＝－＋，又＝λ＋μ，所以λ＝－，μ＝，则λ＋μ＝.故选A. A．＝－2 B．λμ＝－2 C．＝2 D．λμ＝2 [解析]　由题意，可设2e1＋λe2＝t(μe1＋e2)，t∈R，又e1，e2是两个不共线的向量，故解得λμ＝2.故选D. (2026·广东深圳中学诊断)e1，e2是平面内不共线两向量，已知＝e1－ke2，＝2e1＋e2，＝3e1－e2，若A，B，D三点共线，则k的值是(　　) [解析]　由已知＝－＝e1－2e2，由A，B，D三点共线，故存在实数λ，使＝λ，即e1－ke2＝λ(e1－2e2)，即解得故选D. B．在△ABC中，＋＋＝0 [解析]　易知ABC错误．对于D.∵向量a与b不共线，∴向量a，b，a＋b与a－b均不为零向量．若a＋b与a－b共线，则存在实数λ使a＋b＝λ(a－b)，即(λ－1)a＝(1＋λ)b，所以此时λ无解，故假设不成立，即a＋b与a－b不共线．故D正确． C．＋＝0 [解析]　对于A，当a＋b＝0时，其方向任意，它与a，b的方向都不相同；对于B，当a，b中有一个为零向量时结论不成立；对于C，因为两个向量之和仍是一个向量，所以＋＝0；对于D，λ(a－b)＝0时，∵λ≠0，∴此时一定有a＝b.故选D. 2．(2025·陕西渭南期中)设e是单位向量，＝3e，＝－3e， ||＝3，则四边形ABCD一定是(　　) [解析]　由＝3e，＝－3e，得AB∥CD，||＝||＝3＝||，所以四边形ABCD一定是菱形．故选B. 3．(2026·广州模拟)如图，在正六边形ABCDEF中，－＋＋2等于(　　) A．0 B． C． D． [解析]　因为六边形ABCDEF为正六边形，所以－＋＋2＝＋＋＋2＝＋2＝0.故选A. A．＝－＋ B．＝－ C．＝＋ D．＝－ [解析]　由题意有＝＝，所以＝＋＋＝－＋＋＝－＋，故选A. 6．(2026·内蒙古赤峰阶段练习)已知a，b为不共线向量，＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3(a－b)，则(　　) [解析]　由题设＝－a＋13b，＝a＋5b，＝a＋5b，＝，与有公共端点B，所以A，B，D三点共线，A正确；＝a＋5b，＝－2a＋8b，不存在λ，使＝λ，所以与不共线，即A，B，C三点不共线，B错误；＝－2a＋8b，＝3(a－b)，不存在λ，使＝λ，所以与不共线，即B，C，D三点不共线，C错误；＝－a＋13b，＝3(a－b)，不存在λ，使＝λ，所以与不共线，即A，C，D三点不共线，D错误．故选A. 7．(2025·湖南邵阳三模)设D为△ABC所在平面内一点，＝－＋.若＝λ(λ∈R)，则λ的值为(　　) [解析]　＝－＋＝－＋＋，所以－＝ －(－)，即＝－，即＝－5，即λ＝－5.故选D. 8．(2026·山西太原模拟)在矩形ABCD中，E为AB边的中点，线段AC和DE交于点F，则＝(　　) A．－＋ B．－ C．－ D．－＋ [解析]　如图，取CD的中点G，连接BG，交AC于点H.∵BE∥DG，BE＝DG，∴四边形BEDG为平行四边形，∴BG∥DE.又E为AB的中点，∴AF＝FH，同理可得CH＝FH，∴＝＝(＋)．∴＝＋＝－＋(＋)＝－＋.故选D. C．若a，b都为非零向量，则使＋＝0成立的条件是a与b反向共线 [解析]　零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误；由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B正确；因为与都是单位向量，所以只有当与是相反向量，即a与b是反向共线时＋＝0才成立，故C正确；由向量相等的定义知D正确．故选BCD. 11．(2024·辽宁二模)△ABC的重心为点G，点O，P是△ABC所在平面内两个不同的点，满足＝＋＋，则(　　) A．O，P，G三点共线 B．＝2 C．2＝＋＋ D．点P在△ABC的内部 [解析]　＝＋＋＝＋＋＋＋＋＝3＋＋＋，因为点G为△ABC的重心，所以＋＋＝0，所以＝3，所以O，P，G三点共线，故A正确，B错误；＋＋＝＋＋＋＋＋＝(＋＋)＋3，因为＝＋＋，所以(＋＋)＋3＝－＋3＝2，即2＝＋＋，故C正确；因为＝3，所以点P的位置随着点O位置的变化而变化，故点P不一定在△ABC的内部，故D错误．故选AC. [答案]　 [解析]　由a∥b，m，n不共线，故存在实数k≠0，使a＝kb，即有λm＋n＝k(λ－1)m－2kn，即有解得 13．(2026·牡丹江模拟)在△ABC中，＝，P是直线BD上一点，若＝m＋，则实数m的值为________. [答案]　－ [解析]　因为＝＋＝，所以＝m＋，又点P，B，D三点共线，所以m＋＝1，所以m＝－. 14．已知平面内四个不同的点A，B，C，O满足||＝||，若＝(＋)，则〈，〉＝________. [答案]　 [解析]　因为＝(＋)，所以O为BC的中点，如图．又||＝||，所以O为△ABC的外心，BC为△ABC外接圆的直径，所以〈，〉＝. 1．(2025·四川百师联盟冲刺卷)如图，平行四边形ABCD中，＝，＝2，设＝a，＝b，则＝(　　) A．a－b B．a－b C．a－b D．a－b [解析]　＝－＝－＝－＝a－b.故选B. 2．(2026·江苏南通适应性考试)在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，点M是BC的中点，则＝(　　) A．－ B．＋ C．＋ D．＋ [解析]　如图由题意知＝(＋)＝＝＋ .故选D. 3．(2026·浙江模拟)已知向量e1，e2是平面上两个不共线的单位向量，且＝e1＋2e2，＝－3e1＋2e2，＝3e1－6e2，则(　　) [解析]　因为＝＋＝－2e1＋4e2，＝3e1－6e2，则＝ －，故A、C、D三点共线，故C正确． 4．(2025·甘肃甘南模拟预测)如图，在△ABC中，＝2，N为线段AM上一点，且＝(1－λ)＋，则实数λ的值为(　　) A． B． C． D． [解析]　因＝2，则＝，故＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，因A，N，M三点共线，故设＝t，则＝＋，因＝(1－λ)＋，则解得λ＝.故选D. 5．(2026·盐城模拟)如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，CD上，且满足＝，＝2，则|＋|＝________. [解析]　因为＝，所以＝＋＝＋，又因为＝2，所以＝＋＝＋，所以|＋|＝|＋|＝||，又因为∠BAD＝120°，所以∠ADC＝60°，所以△ADC为等边三角形，所以AC＝AD＝2，所以|＋|＝||＝×2＝3. (2026·江苏南通海安质检)在▱ABCD中，＝，＝2，＝x＋(1－x)，x∈R.若AP∥MN，则x＝(　　) A． B． C． D． [解析]　因为＝，＝2，所以＝－＝－＝＋＝＋，又AP∥MN，所以＝λ＝λ＋λ＝x＋(1－x)，则解得λ＝，x＝.故选C. $