专题06 相似三角形热考几何模型（期末复习讲义，知识必备+5大重难题型+过关验收）八年级数学下学期鲁教版五四制

专题06 相似三角形热考几何模型（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 A 字模型 能识别 A 字模型结构并能利用相似三角形的判定与性质解决线段比例、相关证明等问题。 高频考点，多在几何证明题或与线段长度相关计算中出现。 8 字模型 能识别 8 字模型结构，相似三角形判定与性质常与对顶角相等、平行线性质等结合解决问题 高频考点，常与A字模型结合以解答形式考查，多用于推导线段之间的比例关系及向量的线性运算中出现。 三角形内接矩形模型 能识别三角形内接矩形结构，结合相似三角形性质定理快速求解矩形的边长、面积等问题。 易错考点，常以填空、解答形式查考。需要较强的建模使简化计算。 一线三等角模型 能识别 “一线三等角” 的结构，利用角的关系证明三角形相似，解决综合问题。 核心考点，常以压轴题形式与其他模型结合综合考查。 旋转与手拉手模型 掌握旋转中的不变量，利用相似三角形的判定与性质，解决线段和角的数量关系问题。 核心考点，常以压轴题形式与其他模型结合综合考查。 知识点01 A字模型 A字模型 如图一 如图二 如图三 知识点02 8字模型 8字——平行型 条件：CD∥AB, 结论：ΔPAB∼ΔPCD(上下相似); 左右不一定相似,不一定全等，但面积相等; 四边形ABCD为一般梯形. 条件：CD∥AB,PD=PC. 结论：ΔPAB∼ΔPCD∼ΔPDC(上下相似) ΔPAD≅ΔPBC左右全等； 四边形ABCD为等腰梯形； 8字——不平行型 条件：∠CDP=∠BAP. 结论：ΔAPB∼ΔDPC(上下相似); ΔAPD∼ΔBPC(左右相似); 模型03 三角形内接矩形模型 模型展示： 三角形内接正方形 三角形内接矩形 在∆ABC中，若水平底边BC=x，对应高AN=y 在正方形GFED中，边长为a，则， 在矩形GFED中，竖直边长为ma，水平边长为na，则 知识点04 一线三等角模型 模型展示：如图，已知：∠A＝∠CPD＝∠B，则△ACP∽△BPD.因为图中一条直线上有三个相等的角，故称为“一线三等角”型相似． 知识点05 手拉手模型 模型展示： 将图①中的△ADE绕点A旋转一定角度，则得图②，图②为“旋转型”相似的基本图形 结论：∆ABD∽∆ACE，∆ADE∽∆ABC 题型一 A字模型 【典例1-1】（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）如图，点分别是的边上的点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【典例1-2】（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，在中，点E在的延长线上，与交于点F． (1)求证：； (2)若的面积为4，，求的面积． 【典例1-3】（24-25九年级上·湖南永州·期末）如图，在中，是边上一点，． (1)求证：； (2)若，，的面积为5，求的面积． 【典例1-4】（22-23九年级上·江苏南京·期末）如图，的弦，的延长线交于点，连接，．    (1)求证； (2)若，，．求的长． 【典例1-5】（24-25九年级上·广东清远·期末）【建立模型】 （1）如图①，已知中，，，点D在上，且，点E是的中点，证明： 【知识拓展】 （2）如图②，已知中，，，点D是的中点，点E是边上的动点，连接，当与相似时，求的长度． 【问题解决】 （3）密室逃脱是一种实景逃脱游戏．在游戏中，玩家会被“关”在一个主题房间里，玩家在规定时间内，通过观察、推理和论证来解开一系列谜题，找到逃出房间的方法．如图③，一间地面为边长3米的正方形房间沿对角线分成两间密室，在密室中，墙底部嵌有一面可沿左右滑动的小镜子P（镜面与墙平行），墙底部中间位置E处有一固定激光笔（激光可射向的任何位置），当C处光感器能接收到激光时，密室解开．请计算密室解开时，镜子P与激光笔E的距离． 【变式1-1】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，点，分别在边，上，连接．有以下四个条件：①；②；③；④． (1)请你从中任选一个条件，使得，并说明理由． 注：如果选择多个结论分别作答，按第一个解答计分． (2)在（1）的前提下，若点为中点，，求线段的长． 【变式1-2】（24-25九年级上·山东滨州·期末）如图，在中，，，，点P从点A沿向C以的速度移动，到C即停，点Q从点C沿向B以的速度移动，到B就停 (1)若P、Q同时出发，经过几秒钟； (2)若点Q从C点出发后点P从点A出发，再经过几秒与相似． 【变式1-3】（24-25九年级下·湖南·期末）如图，已知是的直径，弦于点，是线段延长线上的一点，连接交于点，连接交于点，连接，，． (1)求证：； (2)若，求的值； (3)在（）的条件下，设，． 求关于的函数表达式； 若为的中点，求的值． 【变式1-4】（25-26九年级上·全国·期末）如图1，在中，，，．点沿边从点向终点以的速度移动；同时点沿边从点向终点以的速度移动，且当一个点到达终点时，另一个点也随之停止移动． (1)点出发几秒后，的面积为面积的； (2)经过几秒后，以为顶点的三角形与相似？ (3)如图2，为上一点，且，当运动时间为多少时，？ 题型二 8字模型 【典例2-1】（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，在中，，点D在边上，已知，边交于点E．求证： 【典例2-2】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，点是的边延长线上一点，与交于点． (1)求证：． (2)若的面积为4，求的面积． 【典例2-3】（24-25九年级上·全国·期末）已知：如图，在中，，是斜边的中线，过点作的垂线与边和的延长线分别交于点和点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式2-1】（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）如图，矩形中，，点P为边上一动点，交于点O．    (1)求证：； (2)点P从点A出发沿边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒，试问：当t为何值时，？ 【变式2-2】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，在平行四边形中，点E在的延长线上，与交于点F． (1)求证：； (2)若的面积为4，，求平行四边形的面积． 【变式2-3】（24-25九年级上·全国·期末）抛物线交x轴于A，B两点（A在B左边），交y轴于点C． (1)直接写出抛物线的对称轴； (2)已知． ①如图1，点D在第二象限抛物线上，交AC于点E．若，求点D的坐标； ②如图2，过点分别作直线和直线，直线交抛物线于F，G两点，直线交抛物线于M，N两点．设线段，的中点分别为P，Q，若，且，求证：直线必经过一定点． 题型三 三角形内接矩形模型 【典例3-1】（24-25九年级上·甘肃嘉峪关·期末）如图，在中，正方形的一边在边上，点G、F分别在边，上，是边上的高，与相交于点O，已知，，则正方形的边长是多少？ 【典例3-2】（24-25九年级上·湖北十堰·期末）如图，一块三角形的铁皮，边为，边上的高为，要将它加工成矩形铁皮，使它的一边在上，其余两个顶点、分别在、上． (1)若四边形是正方形，那么正方形边长是多少? (2)在矩形中， 设，． ①求y与x的函数关系，并求出自变量的取值范围； ②x取多少时，有最大值，最大值是多少? 【变式3-1】（24-25九年级上·安徽池州·期末）如图，在中，，边上的高，矩形的顶点、分别在边、上，顶点、在边上，若设，． (1)求出与之间的函数表达式； (2)直接写出当取何值时，矩形面积最大． 【变式3-2】（25-26九年级上·广东清远·期中）一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上．    (1)求证：； (2)求这个正方形零件的边长； (3)如果把它加工成矩形零件如图2，当时，这个矩形的面积是多少? 题型四 一线三等角模型 【典例4-1】（24-25九年级上·河南商丘·期末）如图，在矩形中，分别是的中点，连接，若． (1)求证：； (2)若，求的长． 【典例4-2】（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，在中，，点分别在边上，． (1)求证：； (2)如果，，，求的长． 【典例4-3】（23-24九年级上·广西梧州·期末）（1）如图甲，，垂足分别为，且三个垂足在同一直线上，我们把这样的图形叫“三垂图”．请判断：成立吗？不用说明理由； （2）如图乙，也是一个“三垂图”，还成立吗？请说明理由； （3）如图丙，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，顶点为，如图所示，若是抛物线上异于的点，使得，请直接写出点坐标． 【变式4-1】（25-26九年级上·全国·期末）（1） 已知抛物线的图象经过点，其对称轴为．求抛物线的解析式． （2）如图，在中，，点，分别是，边上的点，且． 求证： 【变式4-2】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）（1）如图1，已知于点A，于点B，P是上一点，，，求证：； （2）如图2，已知，，点D，E分别在边和上，P是上一点，且，，求的值． 【变式4-3】（25-26九年级上·湖北·期末）已知抛物线过点和点，与y轴交于点A． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接，，点D在线段上（与点A，B不重合），点F是的中点，连接，过点D作交于点E，连接，当面积是面积的3倍时，求点D的坐标； (3)如图2，点P是抛物线上对称轴右侧的点，是x轴正半轴上的动点，若线段上存在点G（与点O，B不重合），使得，求m的取值范围． 题型五 手拉手模型 【典例5-1】（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）小赵在学习完相似三角形后，把两个相似但不全等的三角形纸片作为操作对象进行相关问题的研究，下面是他在操作纸片过程中研究的问题． 请你解决这些问题： (1)把两个三角形按如图1方式摆放，若，则_____； (2)如图2，把绕点旋转一定的角度，连接线段、．请写出与的关系并说明理由； (3)如图3，延长交的延长线于点，交于点，若，求的度数． 【典例5-2】（24-25九年级上·山东临沂·期末）（1）如图1，和均为等边三角形，直线和直线交于点．线段，之间的数量关系为______；的度数为______． （2）将图1中的和均变为等腰直角三角形如图2，，，，直线和直线交于点． ①线段，之间的数量关系为______；的度数为______． ②若，，，求的长． （3）如图3，若和均为直角三角形，，且，，．当点在线段的延长线上时，则的长度为______． 【典例5-3】（24-25九年级上·四川达州·期末）某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究． 【问题发现】 （1）如图①，在等边中，点是边上一点，连接，以为边作等边，连接．则与的数量关系是：______； 【问题提出】≌ （2）如图②，在等腰中，，点是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接．试说明； 【问题解决】 （3）如图③，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，点是正方形的对称中心，连接．若正方形的边长为6，，求正方形的边长． 【典例5-4】（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践 在综合实践课上，刘老师组织同学们以“三角形中手拉手模型”为主题开展数学活动． (1)提出问题：若和都是等边三角形，连接和交于点，如图1所示，线段与线段的数量关系是_______，_______； (2)探究证明：若和都是直角三角形，，连接和交于点，如图2所示，试猜想与的关系，并说明理由； (3)拓展延伸： ①“智慧小组”发现在（2）的条件下，若，使图2中固定不动，将绕顶点旋转，当点在同一条直线上时，则_______； ②“勤奋小组”发现在（2）的条件下，若是的中点，使图3中固定不动，将绕顶点旋转，在旋转过程中，则的最小值为_______． 【变式5-1】（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期末）【问题情境】在一次数学活动课上，九年一班同学用形状相同的等腰三角形组合新图形，并尝试编制习题，下面是四个小组的探究情况． （1）一组：和是等腰直角三角形，． 连接，构建“手拉手”模型（如图1），得到了；在此基础上，又利用“蝴蝶型”，如图2的划斜线部分，得到了． 二组：如图3，和是等边三角形，，连接的延长线与相交于点．猜想也能构建上述两种模型得到结论． 请你模仿一组同学的思路，证明二组同学猜想的结论； 【类比分析】 （2）三组：如图4，在和中，，连接． 则与的数量关系为_______，直线与直线的夹角为_______； 【变式拓展】 （3）四组：只需用，就能构建上面任一图形．请你结合图4，用一句话解释这一过程_______； （4）四组：如图5，和是等腰直角三角形，，，连接是线段的中点，连接．若，请你求出的长． 【变式5-2】（24-25九年级上·河南安阳·期末）如图1，在中，，，点，分别在边，上，，连接．将绕点顺时针旋转，记旋转角为． 【问题发现】 （1）①当时，______；②当时，______； 【拓展研究】 （2）试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明； 【问题解决】 （3）当旋转至，，三点共线时，线段的长为______． 【变式5-3】（23-24九年级上·辽宁大连·期末）【问题初探】 （1）在数学活动课上，王老师给出下面问题：如图1，和是等边三角形，点B、C、E不在同一条直线上，请找出图中的全等三角形并直接写出结论________________；（写出一对即可） 上面几何模型被称为“手拉手”模型，面对题目时我们也会“寻模而入，破模而出”．    【类比分析】 （2）如下图，已知四边形中，，，是的平分线，且．将线段绕点E顺时针旋转得到线段．当时，连接，试判断线段和线段的数量关系，并说明理由；    ①小明同学从结论出发给出如下解题思路：可以先猜测线段和线段的数量关系，然后通过逆用“手拉手”模型，合理添加辅助线，借助“全等”来解决问题； ②小玲同学从条件入手给出另一种解题思路：可以根据条件，则，再通过“手拉手”模型，合理添加辅助线，构造与全等的三角形来解决问题． 请你选择一名同学的解题思路（也可另辟蹊径）来解决问题，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如下图，中，当时，点D、E为、上的点，，，若，，求线段的长．    【变式5-4】（23-24九年级上·山西吕梁·期末）综合与实践 【模型感知】 手拉手模型是初中数学里三角形全等知识点考察的重要模型．两个有公共顶点且顶角相等的等腰三角形组成的图形叫手拉手模型． （1）如图，已知和都是等边三角形，连接，．求证：； 【模型应用】 （2）如图，已知和都是等边三角形，将绕点旋转一定的角度，当点在的延长线上时，求证：； 【类比探究】 （3） 如图，已知和都是等边三角形．当点在射线上时，过点作于点，直接写出线段，与之间存在的数量关系为_____________． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26九年级上·全国·期末）如图，正方形的顶点在正方形的边上，与交于点，若，则的长为（    ） A．2 B．3 C． D． 2．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，中，边，高，边长为的正方形的一边在上，其余两个顶点分别在、上，则边长x为 ． 3.（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，是等边三角形，，点，分别是边，上 的点，且，，求的长． 4．（24-25九年级上·陕西汉中·期末）如图，在中，于点，于点，连接，求证：． 5．（25-26九年级上·全国·期末）如图，在矩形中，已知．在边上取点，连结．过点作，与边的延长线交于点． (1)证明：△△． (2)若，，，求线段的长． 6．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图1，点、分别是边、上的中点，将绕着点A逆时针旋转角度，得到图2，其中，连结、．    (1)求证：； (2)当，时，求的长． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26九年级上·浙江温州·期末）如图，在中，弦与弦交于点且，．已知，，若，则的长为（    ） A．3 B． C．4 D． 2．（24-25九年级上·安徽池州·期末）如图，在平行四边形中，为上一点，连接、，且、交于点，，则为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，D是上一点，连接，已知． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 4．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）如图，在中，是的平分线．    (1)与相似吗？请说明理由； (2)求的值． 5．（24-25九年级上·辽宁阜新·期末）如图，在中，D是边上一点． (1)当时，若，，求的长； (2)已知，若，求的长． 6．（24-25九年级上·河北保定·期末）数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究．如图1，图2，在中，，，垂足为D． 【观察发现】（1）嘉嘉得出，理由如下： ∵，． ∵，∴，∴，∴ ① ． 又∵，∴ ② ． ② ③ ，∴． 请完成填空：①_________：②_________；③_________； 【探究应用】（2）如图2，F为线段上一点，连接并延长至点E，连接，且． ①若，，求的值； ②求证：． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25九年级下·全国·期末）如图1，在中，点为中点，点在上，、交于点，． (1)写出与相等的角：　　　　　． (2)若，求的值． (3)如图2，若，，，求（用含的式子表示）． 2．（24-25九年级上·内蒙古包头·期末）如图1，在四边形中，平分，点M是上一点，连接并延长分别交和的延长线于点Q和点N． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)连接，证明：； (3)如图2，连接，若，且，求的长． 3．（24-25九年级上·河南新乡·期末）我们常把在同一顶点处存在对应相等线段的图形称为“手拉手”模型，用该模型解决问题时重点在“构建”模型、证明相似以及用相似来解决问题． (1)等腰直角三角形和等腰直角三角形如图1放置，，点M、N分别为的中点，则_________； (2)将图1的等腰直角三角形绕点C逆时针旋转至如图2所示的位置，那么的值是否发生改变？说明理由； (3)正方形和正方形如图3放置，其中正方形的边长是正方形边长的一半，连结，请直接写出与之间的数量关系以及直线与直线所夹锐角的度数． 4．（24-25九年级上·河南新乡·期末）【问题发现】 （1）在数学活动课上，老师给出如下问题：“如图1所示，是等腰直角三角形，，，点D在上，连接，探究，，之间的数量关系．”王林思考片刻之后，利用手拉手模型解答问题如下： 图示 思路 将线段绕点A逆时针旋转得线段，连接，，易证，得到，，在中，易得，由，得，，之间的数量关系为________ 【类比分析】 （2）如图2所示，当点D在线段的延长线上时，请问（1）中的结论还成立吗？请给出判定，并写出你的推导过程； 【拓展延伸】 （3）若（1）中的点D在射线上，且，，请直接写出的长度． 5．（24-25九年级上·四川广元·期末）【模型感知】 手拉手模型是初中数学里三角形全等知识点考察的重要模型．两个有公共顶点且顶角相等的等腰三角形组成的图形叫手拉手模型． （1）如图1，已知和都是等边三角形，连接，．求证：； 【模型应用】 （2）如图2，已知和都是等边三角形，将绕点旋转一定的角度，当点在的延长线上时，请直接写出线段、、之间存在的数量关系为______； 【类比探究】 （3）如图3，已知和都是等边三角形． ①当点在线段上时，过点作于点．求证： ②当点在线段的延长线上时，请直接写出线段，与之间存在的数量关系为______． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题06相似三角形热考几何模型（期末复习讲义） 明·期中考情 核心考点 复习目标 考情规律 能识别A字模型结构并能利用相似三角形的 高频考点，多在几何证明题或与线段长 A字模型 判定与性质解决线段比例、相关证明等问题。 度相关计算中出现。 高频考点，常与A字模型结合以解答形 能识别8字模型结构，相似三角形判定与性质 8字模型 式考查，多用于推导线段之间的比例关 常与对顶角相等、平行线性质等结合解决问题 系及向量的线性运算中出现。 三角形内接 能识别三角形内接矩形结构，结合相似三角形性 易错考点，常以填空、解答形式查考。 矩形模型 质定理快速求解矩形的边长、面积等问题。 需要较强的建模使简化计算。 一线三等角 能识别”一线三等角”的结构，利用角的关系证 核心考点，常以压轴题形式与其他模型 模型 明三角形相似，解决综合问题。 结合综合考查。 旋转与手拉 掌握旋转中的不变量，利用相似三角形的判定与 核心考点，常以压轴题形式与其他模型 手模型 性质，解决线段和角的数量关系问题。 结合综合考查。 记·必备知识 昼知识点01A字模型 1A字模型 如图一 模型一：平行A字型 如图一，在△ABC中，DE//BC台 AD AE DE AB AC BC 1/80 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 如图二 模型二：非平行A字型（也称为反A字型） 如图二，在AABC中，∠AED=∠C台D-AE=DE AB AC BC 如图三 模型三：非平行A字型（也称为母子型）》 AD AB DB 1) 如图三，在△ABC中，∠ABD=∠C⊙ AB AC BO (2)AB2=AD·AC 局知识点028字模型 18字 一平行型 D 条件：CD川AB, 结论：△PAB~△PCD(上下相似)； 左右不一定相似，不一定全等，但面积相等； 四边形ABCD为一般梯形. 2/80 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 条件：CDIIAB,PD=PC 结论：△PAB~△PCD~△PDC(上下相似) △PAD=△PBC左右全等； 四边形ABCD为等腰梯形； 8字一一不平行型 条件：∠CDP=∠BAP, 结论：△APB~△DPC(上下相似)： I△APD~△BPC(左右相似)； 尽模型3三角形内接矩形模型 :模型展示： 三角形内接正方形 三角形内接矩形 在△ABC中，若水平底边BC=x,对应高AN=y 在正方形GFED中，边长为a,则a=y x+y 3/80 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 在矩形GFED中，竖直边长为ma,水平边长为a,则a= Xy mx+ny 同知识点04 一线三等角模型 模型展示：如图，己知：∠A=∠CPD=∠B,则△ACP∽△BPD.因为图中一条直线上有三个相等的角，故称 为“一线三等角”型相似 D D B 局知识点05手拉手模型 模型展示： 将图①中的△ADE绕点A旋转一定角度，则得图②，图②为“旋转型”相似的基本图形 ① ② 结论：△ABD∽△ACE,△ADE∽△ABC 破·重难题型 题型一A字模型 【典例1-1】(24-25九年级上·贵州六盘水期末)如图，点D,E分别是ABC的边AC,AB上的点， ∠B+∠CDE=180°. 4/80 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B C (1)求证：△ADEn△ABC; 2诺BC=6AD号48，求DE的长。 【详解】(1)证明：：∠ADE+∠CDE=180°，∠B+∠CDE=180°， ∠ADE=∠B, 又：∠DAE=LBAC, △ADE∽△ABC: (2)解：：AD=名4B, :D、2 AB 3' △ADE∽△ABC, DE AD 2 BC AB3' DE=2BC=2×6=4. 3 3 【典例1-2】(23-24九年级上浙江金华.期末)如图，在口ABCD中，点E在AD的延长线上，BE与CD交 于点F E D B (1)求证：△ABE∽△CFB;: 2诺0EP的面积为4.S-子，求。8E的面积 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD∥BC,∠A=∠C, :ZCBE ZE .△ABE∽△CFB; 5/80 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：四边形ABCD是平行四边形， .ABII CD,AB=CD, .△DEF∽△AEB, DF 2 CF 3 DFDF 2 CD AB5' 4 S。AEB S.DEF =4, SE=25. 【典例1-3】(24-25九年级上·湖南永州期末)如图，在ABC中，D是边AB上一点，∠BDC=∠BCA. B D (1)求证：△BDC∽△BCA; (2)若BC=3,AB=6,△BCD的面积为5，求ABC的面积. 【详解】(1)解：：LBDC=∠BCA,∠B=∠B, .△BDC∽△BCA (2)解：：△BDCn△BCA,BC=3,AB=6 SAB= BC2321 SANC BA64 S.BCD =5, S4Bc=20. 【典例1-4】(22-23九年级上江苏南京·期末)如图，⊙0的弦AB,CD的延长线交于点P,连接AC, BD 6/80 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 O. C (1)求证△PAC∽△PDB: (2)若PB=3,PD=4,AB=7.求CD的长。 【详解】(1)证明：：四边形ABDC是⊙0的内接四边形， ∠A+∠BDC=180°. .∠BDC+∠PDB=180°， ∠A=∠PDB. 又∠P=∠P, △PAC∽△PDB; (2)解：：△PACPDB, PA PC PD PB 10 PC 43 4.PC= 2 CD=PC-PD= 【典例1-5】（24-25九年级上广东清远期末)【建立模型】 (1)如图①，已知ABC中，AB=9,AC=6,点D在AB上，且AD=2,点E是AC的中点，证明： △AED∽△ABC 【知识拓展】 (2)如图②，己知ABC中，AB=BC=8,AC=6,点D是AB的中点，点E是AC边上的动点，连接 DE,当△AED与ABC相似时，求DE的长度. 【问题解决】 (3)密室逃脱是一种实景逃脱游戏.在游戏中，玩家会被“关”在一个主题房间里，玩家在规定时间内，通 过观察、推理和论证来解开一系列谜题，找到逃出房间的方法.如图③，一间地面为边长3米的正方形房 间沿对角线BD分成两间密室，在△BCD密室中，墙BD底部嵌有一面可沿BD左右滑动的小镜子P(镜面 7/80 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 与墙平行)，墙CD底部中间位置E处有一固定激光笔（激光可射向BD的任何位置），当C处光感器能接 收到激光时，密室解开.请计算密室解开时，镜子P与激光笔E的距离。 D 图① 图② 图③ 【详解】解：(1)：AB=9,AC=6,点D在AB上，且AD=2,点E是AC的中点， 1 .AE=-AC=3, AD 2 1 AE 3 4C634D9 AD AE AC AD :∠A=∠A, ·△AEDM△ABC; (2)如图，：AB=BC=8,AC=6,点D是AB的中点， :.AD=1AB=4, 当△ADE∽△ABC时， D B DE AD 1 BC AB2' ÷DE=BC=4: 2 如图，当△ADE∽△ACB时， 8/80 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D E B DE AD 4 BC AC6' :DE= 16 综上：0E的K为4或9 (3)如图，由题意可得：PQ为CE的垂直平分线， D P E D B ·∠EPQ=∠CP'Q, :边长3米的正方形，E为CD的中点， 8CC3.CE-DEC0EDFOD :∠P'DQ=∠BDC, .△DP'Q∽△DBC, PO DO 3 BC DC4' P0=4 9 .P'E= 3V10 4 ∴密室解开时，镜子P与激光笔E的距离为30 (米)· 【变式1-1】(24-25九年级上浙江杭州期末)如图，在ABC中，点D,E分别在边AB,AC上，连接 DE,有以下四个条件：①LAED=∠B;②LBDE+LC=I80;③AD-AB=AE-AC;④4D-DE AC CB 9/80 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B (1)请你从中任选一个条件，使得△ABC∽△AED,，并说明理由. 注：如果选择多个结论分别作答，按第一个解答计分. (2)在(1)的前提下，若点E为AC中点，AE=2AD=6,求线段AB的长. 【详解】(1)解：若选择①∠AED=∠B, :∠AED=∠B,∠A=∠A, .△ABC∽△AED: 若选择②∠BDE+∠C=180°， :∠BDE+∠C=180°，∠BDE+∠ADE=180°， ∠C=LADE, :∠A=LA, ∴△ABC∽△AED; 若选择③AD·AB=AE·AC, :AD·AB=AE·AC, :D、AE AC AB :∠A=∠A, .△ABC∽△AED: 若选择④AD-DE AC CB AD DE AC CB ,而夹角不一定相等， ·△ABC与△AED不一定相似； (2)解：：AE=2AD=6, AD=3, :点E为AC中点， AC=12, :△ABC∽△AED, :B、AC AE AD 10/80 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :AB12 63 AB=24. 【变式1-2】(24-25九年级上山东滨州·期末)如图，在ABC中，∠C=90°，AC=8cm,BC=6cm,点P 从点A沿AC向C以2cm/s的速度移动，到C即停，点Q从点C沿CB向B以1cm/s的速度移动，到B就停 B A (1)若P、Q同时出发，经过几秒钟S△Pco=4cm; (2)若点Q从C点出发2s后点P从点A出发，再经过几秒△PCQ与△ACB相似。 【详解】(1)解：设经过t秒钟Spco=4cm', 由题意得，AP=21,CQ=1,PC=8-21, 由题意得， x×8-21)×1=4, 2 整理得，t2-4t+4=0, 解得，t=2, 则P同时出发，经过2秒钟S,co=4cm': (2)解：设点Q从C点出发2s后，再经过x秒△PCQ与△ACB相似，有两种情形， 由题意得，AP=2x,CQ=2+x,则PC=8-2x, ①当PCO∽ACB时， CP CO CA CB 即8-2x-2+x 8 6 解得，x=1.6, ②当PCQ∽BCA时， CP CO CB CA 即8-2x-2+x 6 8 26 解得，x= 综上所述，点Q从C点出发2s后点P从点A出发，再经过1.6秒或26秒APCQ与△4CB相似. 1 【变式1-3】(24-25九年级下·湖南·期末)如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD1AB于点E,M是线段 11/80 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 DC延长线上的一点，连接MA交O于点F,连接DF交AB于点G,连接AD,BD,CF. D (1)求证：△MADn△DAF; (2)若AD=25BE,求tan∠AFD的值； (3)在(2)的条件下，设tan∠M=x, AG GB=Y. ①求y关于x的函数表达式： 回若E为BG的中点，求、座阁随 【详解】(1)证明：：AB是⊙0的直径，弦CD⊥AB于点E, :4C=AD, ∠AFD=∠ADC, :∠FAD=∠DAM, .△MAD∽△DAF; (2)解：：AD=2√5BE, 设BE=a,则AD=2V5a, :AB是⊙O的直径， .∠ADB=90°， :CD⊥AB, .△AEDn△ADB, AE AD AD AB AB-a 25a 25a AB' .AB =5a, .AE=AB BE =4a, 12/80 西学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 DE=√AD2-AE2=2a, tan∠ADC= AE_40=2, DE 2a 由(1)知：∠AFD=∠ADC, .tan∠AFD=tan ZADC=2; (3)解：①过点G作GH⊥AD于点H,如图， M F H 则tan∠ADF=GH HD' 由(1)知：△MAD△DAF, ·∠M=∠ADF, :tan∠M=x ÷tan∠ADF=GH HD =X, .GH=xHD :tan∠EAD= DE 1 AE2' ∴.tan∠GAH= GH 1 AH2’ 设GH=m,则AH=2m, .AG=√AH2+HG2=5m, ∴xHD=m, :.HD=m, :GH⊥AD,AD⊥BD, GH∥BD, 13/80 西学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AG AH =2m=2x ·.GB HD m x y=2x; ②过点A作AK⊥DF于点K,过点C作CN⊥DF于点N,如图， M 1 0 GHE B H :E为BG的中点，DE⊥BG, ∴DE垂直平分BG,BE=EG=Q, :AG=AB-BE EG =3a,DG=EG2 DE2 =5a, :AB是⊙O的直径，AB⊥CD, :DE EC 2a, .CD=4a, ”sin/EDG=GE.CW DG CD' a CN √5a4a' Cw=45 0, :∠AKG=∠DEG=90°，∠AGK=∠DGE, △AKG∽△DEG, AK DE AG DG' AK 2a 305a AK=6 50, 14/80 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 45 DFCN 2 DFAK 3 s a 【变式1-4】(25-26九年级上，全国，期末)如图1，在RIAABC中，∠C=90°，BC=4cm,AC=3cm.点 P沿AC边从点A向终点C以1cm/s的速度移动：同时点Q沿CB边从点C向终点B以2cm/s的速度移动，且 当一个点到达终点时，另一个点也随之停止移动. 图1 图2 a点PO出发儿秒后，△PCQ的面积为△4CB面积的： (2)经过几秒后，以P,C,Q为顶点的三角形与△ACB相似？ (3)如图2，D为AB上一点，且AD=AC,当运动时间t为多少时，CD⊥PQ? 【详解】（①解：设经过1秒后△PCQ的面积为△ACB面积的及，其中0≤1≤2， 由题意知，PC=3-f,CQ=2t, 5m3-小2rxx3x4, 82 3 答：点PQ出发沙后，△0Q的面积为△4C8面制的及 (2)解：设经过t秒后，以P,C,Q为顶点的三角形与△ACB相似，其中0≤1≤2， 当PCQ∽ACB时， 则有PC=cg AC BC 3-121 34 :t5 6 15/80 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 P《-A 当△QCP∽△ACB时， CPco 则有CBCA :3-t_24 43 :t 9 答：经过秒或？秒后，以PC,Q为顶点的三角形与△AC8相似： 11 (3)解：如图，过点A作AE⊥CD,连接DE, D AD=AC, ∴△ACD是等腰三角形， :AE⊥CD, .ZDAE Z CAE :AE=AE, :.△ADE≌△ACE(SAS), ∴DE=CE,∠ADE=LACE=90°， 在RIAABC中，BC=4cm,AC=3cm, ∴.AB=5cm, ∴.DB=AB-AD=2cm, 设CE=x,则DE=x,BE=4-x, 在R1△DEB中，BD2+DE2=BE2，即22+x2=(4-x, 16/80 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 期行号 :AE⊥CD,CD⊥P2, AE∥PQ, CO CP 2t3-t CECA 即33， 解得二 3 答：当运动时间1为亏时，CD1P2, 题型二8字模型 【典例2-1】(24-25九年级上甘肃兰州期末)如图，在ABC中，AB=AC,点D在边BC上，已知 ∠AFD=∠B,边DF交AC于点E.求证：AF.CE=CD·FE A B D 【详解】证明：：AB=AC, ∠B=∠C, ∠AFD=∠B, .∠AFD=∠C, :∠AEF=LCED, .△AEFn△CED, AF FE CD CE AF.CE=CD·FE, 【典例2-2】(24-25九年级上·浙江杭州期末)如图，点E是口ABCD的边CD延长线上一点，BE与AD交 于点R,DF、1 ’FA2 17/80 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求证： ABF∽CEB. (2)若ADEF的面积为4，求。ABCD的面积. 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， ∠A=LC,AB∥CD,AD=BC, ∠ABF=∠E, △ABFn△CEB9 (2)解：：DE∥AB, △DEF∽△ABF, DF 1 FA=2 5.DEF=4.AD=CB, -(j--r0-40c, SAEF S=4m=16,8- :DF∥CB, △DEF∽△CEB, S.CEB e)- ·ScEB=9 SDEF=36, S四边形BcDr=ScEB-SDEr=36-4=32, SBCD=S4Br+S西边形BCDF=16+32=48, 口ABCD的面积为48. 【典例2-3】(24-25九年级上·全国期末)已知：如图，在ABC中，∠ACB=90°，CM是斜边AB的中线， 过点M作CM的垂线与边AC和CB的延长线分别交于点D和点E. (1)求证：△CDMn△ABC; 18/80 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3 2若amA=子AD=9,求BE的长. 【详解】(1)证明：，在ABC中，∠ACB=90°，CM是斜边AB的中线， 1 六CM=2AB=AM=BM, .∠ACM=∠A, :CM⊥DE, .∠CMD=90°=∠ACB, .△CDMn△ABC; 2》解：L4=∠1CM,am4=,CM1DE, 3 在Rt△CDM中，=tan ZACM=tanA怎4’LCWE=90°， CM=AM BM, DM 3 BM4,即 BM 4 M=3' :∠BCM+∠E=90°=LACM+LBCM, ∴∠E=∠ACM, 六∠E=∠A, :∠EMB=∠AMD, .△EBM∽△ADM, BE BM AD DM' BM 4 AD=9, DM3' BE 4 9=3 BE=12. 【变式2-1】(24-25九年级上·湖南邵阳·期末)如图，矩形ABCD中，AB=40,BC=20,点P为AB边上 一动点，DP交AC于点O. D (1)求证：△AP0∽△CD0; (2)点P从点A出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒，试问：当t为何值时， 19/80 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 DP⊥AC? 【详解】(1)证明：矩形ABCD, AB∥CD, ∴∠BAC=∠DCA,∠APD=∠PDC, ∴△AP0∽△CD0: (2)解：当DP⊥AC时，∠APD+∠PAC=90°，∠DAC+∠PAC=90°， 故LAPD=∠DAC, 又∠BAD=∠ADC=90°， 故△PAD∽△ADC, 故P、4D AD DC AP=AD AD=20 ×20=10, DC 40 解得t=10(s). 【变式2-2】(24-25九年级上·安徽合肥期末)如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD的延长线上， BE与CD交于点F. E D A B (1)求证：△ABE∽△CFB; 2若DEP的面积为4.S-子，求平行四边形ABCD的面积. 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A=∠C,AD∥CB, .∠E=∠CBF, △ABE∽△CFB. (2)解：：DF=2 CF=3 CD=AB, DF2_2 CD2+35' 20/80 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 DF 2 AB=5 :DE∥CB,SDEF=4, ∴.△DEF∽△CBF, 3 4 S CBF (cF= .S CBF= -S DEF= ×4=9, 4 DF I AB .△DEF∽△AEB, 24 S AEB (AB(5= 5 25 ×4=25 4 .S四边形ABFD=SAEB-SDEF=25-4=21, S ABCD=S ABFD+S CBF =9+21=30, :平行四边形ABCD的面积为30. 【变式2-3】(24-25九年级上·全国.期末)抛物线y=ax2+2ax+3(a<0)交x轴于A,B两点(A在B左边)， 交y轴于点C. 图1 图2 (1)直接写出抛物线的对称轴； (2)已知AB=4. ①如图1，点D在第二象限抛物线上，BD交AC于点E.若BE=2DE,求点D的坐标； ②如图2，过点T-1,(t>0)分别作直线l:y=kx+b,(k,>0)和直线2：y=k2x+b(k2<0),直线交抛物线 21/80 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 于F,G两点，直线☑交抛物线于M,N两点.设线段FG,MN的中点分别为P,Q,若k·k2=-2t,且 k+k2≠0，求证：直线P四必经过一定点. 【详解】(1)解：：y=ax2+2ax+3, :抛物线的对称轴为：直线x=-20=-1, 2a (2)解：①过点D作DP∥y轴交AC于点P,过点B作BQ∥y轴交AC的延长线于点Q 图1 :DPl BO, .△DPE∽△BQE, DE DP BE BO' BE =2DE, :BO=2DP, :AB=4,抛物线的对称轴为直线x=-1, A-3,0),B1,0),C(0,3), .a=-1, 设直线AC的解析式为y=mx+n,把A-3,0),C(0,3)代入得： -3m+n=0 m=1 ，解得 n=3 n=3' 直线AC的解析式为yx3, 01,4), .BQ=4,DP=2 设Dt,-2-2t+3,则P(1,-2-21+1, :直线y=x十3经过点P, 22/80 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 t+3=-t2-2t+1, 解得：t1=-1,42=-2, D点的坐标为-1,4)或(-2,3)： ②联立 y=-x2-2x+3 得x2+k1+2)x+b,-3=0, y=kx+b xF+x6=-k-2, :Xp=- 4-1, 联立 y=-x2-2x+3 得x2+(k+2)x+b,-3=0, y=kx+b 1 同理可得：g=-。k2-1, :4,4经过点T(-1,), -k1+b=t,-k2十b2=t, 即：b=k+t,b2=k2+t, .h:y=kx+k+t,y=kx+k2+t, k·k2=-2t, 2 设直线PQ的解析式为y=c+b,则 (k=k+k2 解得： b=k+k2 :直线PO的解析式为y=(k+k,x+(k+k,), .直线PQ恒过定点(-1,0) 题型三三角形内接矩形模型 23/80 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【典例3-1】(24-25九年级上·甘肃嘉峪关·期末)如图，在ABC中，正方形DEFG的一边在边BC上，点 G、F分别在边AB,AC上，AH是边BC上的高，AH与GF相交于点O,己知AH=8cm,BC=12cm, 则正方形的边长是多少？ B D H E 【详解】解：设正方形DEFG的边长为x, :四边形DEFG是正方形， GF∥BC, :AH是BC边上的高， .A0⊥GF, :GF∥BC, △AGF∽△ABC, AO GF AH BC .AH =8cm,BC=12cm, :8-xx 812 解得x=4.8, 则正方形DEFG的边长为4.8cm: 【典例3-2】(24-25九年级上·湖北十堰期末)如图，一块三角形的铁皮，BC边为120mm,BC边上的高 AD为8Omm,要将它加工成矩形铁皮，使它的一边FG在BC上，其余两个顶点E、H分别在AB、AC上. E D GC (1)若四边形EFGH是正方形，那么正方形边长是多少？ (2)在矩形EFGH中，设EF=xmm,FG=ymm. 24/80 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ①求y与x的函数关系，并求出自变量的取值范围； ②x取多少时，S范形EGH有最大值，最大值是多少？ 【详解】(1)解：：EH∥BC, .△AEHn△ABC, AN EH AD BC' 设正方形的边长为x, x80-x 12080 x=48, 答：这个正方形的边长是48mm: H B D G (2)解：①在矩形EFGH中，设EF=xmm,FG=mm, 由(1)可得：少= 80-x 12080 3 y=- 2x+120(0<x<801: ②由题意得S矩形EFGH=x·y, 3 S矩形EFGH=x: +120 2 2x-40)2+2400 ∴.x=40时，S矩形EfGH的最大值是2400mm2 【变式3-1】(24-25九年级上安徽池州期末)如图，在△ABC中，BC=10,BC边上的高AD=10,矩形 POMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，若设DE=x,PN=y. B O D M 25/80 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求出y与x之间的函数表达式： (2)直接写出当x取何值时，矩形PQMN面积最大. 【详解】解：(1)：AD是△ABC的高， ∠ADC=90°， :四边形POMN是矩形， ∴.PN II BC, ∠AEN=∠ADC=90°，△APN∽△ABC :AE是。APN的高，5BC AE PN DE=x,PN=y,AD=10,BC=10, AE=10-x, :10-x= 1010 .y=10-x(0<x<10: (2)SE形P0Mw=DEPN=x(10-x=-(x-5)'+25, :-1<0, :当x=5时，矩形PQMN面积的最大值为25. 【变式3-2】(25-26九年级上广东清远期中)一块材料的形状是锐角三角形ABC,边BC=120mm,高 AD=80mm,把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB,AC上. G G D H 图1 图2 (1)求证：△AEF∽△ABC; (2)求这个正方形零件的边长； (3)如果把它加工成矩形零件如图2，当EF=60mm时，这个矩形的面积是多少？ 【详解】(1)证明：：四边形EGHF为正方形， ∴.BC∥EF, ∴.∠AEF=∠B,∠AFE=∠C .△AEF∽△ABC; 26/80 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：设正方形零件的边长为mm, :四边形EGHF为正方形，高AD=80mm .∠FEG=∠EGH=∠ADG=90°， :.四边形KEGD是矩形， .KD =EG=x, .AK AD-KD=80-x, 由(1)知△AEF∽△ABC, EF AE BC AB 同理，由△AEK≌△ABD, 得EAK AB AD EF AK BC AD :BC=120mm,高AD=80mm, 即、 80-x 12080 解得x=48, :这个正方形零件的边长为48mm; (3)解：如图： E K B G DH 图2 与(1)同理得△AEF∽△ABC, EF AK BC AD EF 60mm BC =120mm D =80mm, 60 AK 12080 .AK 40mm, 与(2)同理，证明四边形KEGD是矩形， .KD=EG, 27/80 西学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 即EG=KD=80-40=40mm). .这个矩形KEGD的面积是40×60=2400(mm2) 它题型四一线三等角模型 【典例4-1】(24-25九年级上河南商丘·期末)如图，在矩形ABCD中，E,F分别是AB,AD的中点，连 接EF,CE,CF,若EC⊥EF. D A E B (1)求证：△AFE~△BEC; (2)若AB=8,求BC的长。 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是矩形， ·∠FAE=∠EBC=90°， 又：EC⊥EF, .∠CEF=90°， ∴∠AEF+∠BEC=90°， :∠BCE+∠BEC=90°， ∴∠AEF=∠BCE, .△AFE~△BEC; (2)解：由(1)得△AFE~△BEC, AF AE BE BC' :E、F分别是AB、AD的中点，且AD=BC, 4F= 408c,4能=8E-4, 1BC AB 2=2 24B BC. ÷BC2=AB2, 2 :AB=8, 28/80 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1 BC=V2x8=45. 【典例4-2】(24-25九年级上河北唐山期末)如图，在ABC中，AB=AC,点D,E分别在边BC,AC上， ∠ADE=∠ABC. (1)求证：△ABD∽△DCE; (2)如果AB=8,BC=6,AE=7,求DC的长。 【详解】(1)证明：：AB=AC, ∠B=LC, :∠ADC=∠ABC+∠BAD=LADE+LCDE,LADE=∠ABC :ZBAD ZCDE, .△ABD∽△DCE. (2)解：：AC=AB=8,AE=7, :CE=AC-AE=1, :△ABD∽△DCE, BD=BC-CD=6-CD,CE=AC-AE=8-7=1 CDCE ABBD即CD1 86-CD' 解得CD=2或CD=4, DC的长为2或4. 【典例4-3】(23-24九年级上广西梧州期末)(1)如图甲，AB⊥BD,CD⊥BD,AP⊥PC,垂足分别为 B,D,P,且三个垂足在同一直线上，我们把这样的图形叫"三垂图”.请判断：AB·CD=PB·PD成立吗？不 用说明理由； 29/80 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B P D 甲 (2)如图乙，也是一个"三垂图”，AB·CD=PB·PD还成立吗？请说明理由； 乙 (3)如图丙，已知抛物线与x轴交于点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点(0，-3)，顶点为P,如图所示，若 Q是抛物线上异于A,B,P的点，使得∠QAP=90°，请直接写出Q点坐标 AOB衣 丙 【详解】解：(1)ABCD=PB·PD成立， 证明：AB⊥BD,CD⊥BD, ∠B=∠D=90°， ∠A+∠APB=90°， :AP⊥PC, .∠APB+∠CPD=90°， ∠A=∠CPD, △ABP∽△PDC, :AB、PD PB CD ∴ABCD=PB·PD; 30/80 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B P 甲 (2)AB·CD=PB·PD仍然成立，理由如下： :AB⊥BD,CD⊥BD, ∠B=∠CDP=90°， ∠A+∠APB=90°， :AP⊥PC, ∴.∠APB+∠CPD=90°， ∠A=∠CPD, △ABP∽△PDC, AB PD PB CD ∴ABCD=PBPD; 乙 (3)设抛物线解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)， :抛物线与x轴交于点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点(0，-3)， a-b+c=0 9a+3b+c=0, c=-3 a=1 解得b=-2, c=-3 y=x2-2x-3, :y=x2-2x-3=(x-1)2-4, 31/80 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .顶点P的坐标为1，-4)， 过点P作PC⊥x轴于C, 图丙 设AQ与y轴相交于D, 则A0=1,AC=1+1=2,PC=4, 根据(2)的结论，A0·AC=0D·PC, 1×2=0D×4, 1 解得OD=。 点D的坐标为 设直线AD的解析式为y=x+b(k≠0)， -k+b=0 则 1, b= 2 k=) 解得 1 b= 2 1 y=2x+2 11 联立 y=2+2 y=x2-2x-3 ( 7 2 x2=-1 解得 9 y=0 （为点A坐标，舍去)， = 4 79 点Q的坐标为 24 【变式4-1】(25-26九年级上·全国.期末)(1)己知抛物线y=ax2-6x+c的图象经过点(-2，-1)，其对称 32/80 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 轴为x=-1.求抛物线的解析式. (2)如图，在△ABC中，AB=AC,点D,E分别是BC,AB边上的点，且LADE=LC· 求证：BDCD=BEAC A E 【详解】(1)解：：抛物线y=ax2-6x+c的对称轴为x=-1,， b -6 ..x=- =-1, 2a 2a 解得：a=-3, :抛物线的解析式为y=-3x2-6x+c, 把点(-2，-1)的坐标代入y=-3x2-6x+c, 可得：-1=-3×4-6×-2)+c, 解得：c=-1, :抛物线的解析式为y=-3x2-6x-1; (2)证明：：AB=AC, .∠B=∠C, :∠ADB=∠C+∠DAC,LADE=∠C,∠ADB=∠ADE+∠BDE, ∠DAC=LBDE, .△BDEACAD, AC CD BD BE BDCD BEC. 【变式4-2】(24-25九年级上·浙江绍兴期末)(1)如图1，已知AC1AB于点A,BD1AB于点B,P 是AB上一点，PC=PD,∠CPD=90°，求证：△CAP≌△PBD; (2)如图2，已知AC=BC=4√5，AB=8,点D,E分别在边AC和BC上，P是AB上一点，且 PE=PD,∠EPD=90°，求AD+BE的值. 33/80 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D D E P B 力 B 图1 图2 【详解】解：(1)：∠CPD=90°，AC⊥AB,BD⊥AB ∠A=∠B=90°，∠APC+∠C=90°，∠APC+∠DPB=180°-∠CPD=90° .∠C=∠DPB PC=PD △CAP≌△PBD(AAS); (2)分别过点C,D,E作CF⊥AB,DG⊥AB,EH⊥AB,如图 D ! E G PF B AC=BC=45,AB=8 (3)AF=BF=4 CF=45-42=8, :CF⊥AB,DG⊥AB,EH⊥AB, :DGCF,EH I CF, △ADG∽△ACF,aBEH∽△BCF, AD_AGDG BE HB EH AC AF CF BC BF CF' AD AG DG BE HB EH 即 45=4=8'45=4=8 AG:AD:DG=15:2,BH:BE:EH =1:5:2 34/80 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AG=x,DG=2x,AD=5x,BH=y,EH=2y,BE =5y :∠DPE=90° .∠EPH+∠DPG=∠DPG+∠PDG=90° .∠EPH=∠PDG 在△EPH和△∠PDG中 ∠EPH=∠PDG ∠PHE=∠DGP PE=DP △EPH≌△∠PDG(AAS ∴.PG=EH=2y,PH=DG=2x .AG+PG+PH +BH=AB=8 x+2x+y+2y=8 x+y=8 3 D+B5r+列-5， 【变式4-3】(25-26九年级上湖北期末)已知抛物线y=ax2+bx+8过点B(4,8和点C(8,4),与y轴交于 点A. 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： (2)如图1，连接AB,BC,点D在线段AB上（与点A,B不重合），点F是OA的中点，连接FD,过点 D作DE⊥FD交BC于点E,连接EF,当ADEF面积是△ADF面积的3倍时，求点D的坐标： (3)如图2，点P是抛物线上对称轴右侧的点，H(m,0)是x轴正半轴上的动点，若线段OB上存在点G(与 点O,B不重合)，使得∠GBP=∠HGP=∠BOH,求m的取值范围. 【详解】(1)解：：抛物线y=ax2+bx+8过点B(4,8)和点C8,4), 35/80 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 16a+4b+8=8 64a+8b+8=4' 1 b= 解得： 。1 a=- 8 :抛物线解析式为y=-x+x+8: 82 1 1 (2)解：：抛物线y=-二x2+二x+8与y轴交于点A, 82 当x=0时，y=8, A(0,8),则0A=8, :B4,8, AB∥x轴，AB=4, :点F是OA的中点，则F(0,4), AB=AF=4, 设直线BC的解析式为y=x+d, :点B(4,8)和点C(8,4), 8=4k+d 4=8k+d' k=-1 解得： d=12 .直线BC的解析式为y=-x+12, 设Em,-m+12)(4<m<8), 如图所示，过点E作EG⊥AB交AB的延长线于点G,则∠G=90°，则G的坐标为m,8, B G 图1 36/80 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .GE=8-（-m+12)=m-4,BG=m-4, ∴BG=GE, ∴.△BGE是等腰直角三角形， 设D(1,8),则AD=t,DG=m-t, :DE⊥FD, .∠FDE=90°， :LFAD=LG=LFDE=90°， ∠AFD=90°-∠ADF=∠GDE, ∴.△AFD∽△GDE, AD AF GE DG t 4 m-4 m-t (t-4m=(t-4)(t+4, :t<4, .m=t+4, 即m-1=4, .DG=4=AF, .△AFD≌aGDE, :DF DE, 又DE⊥DF, ∴△DEF是等腰直角三角形， 0F的面秋为0r, :△ADF的面积为AD×AF, 当ADEF面积是△ADF面积的3倍时， 0r0xx3, 2 即DF2=12AD, 在RtAADF中，DF2=AD2+AF2=t2+42, :AD2+AF2=12AD, 37/80 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 t2+42=12t, 解得：t=6-25或t=25+6（舍去)， D(6-25,8); (3)解：：∠GBP=∠HGP=∠B0H, 又∠OGH+∠HGP=∠GBP+∠BPG, :Z0GH ZBPG, △0GH∽△BPG, OH_OG BG BP' 设BP交x轴于点S,过点B作BT⊥x轴于点T, B H T 图2 :∠GBP=∠BOH, .SB SO, OT=4,BT=8, “0B=V0T2+BT2=45, 设BS=k,则TS=k-4, 在RtATBS中，SB2=ST2+BT2, K2=(k-4)2+82, 解得：k=10, .S(10,0), 设直线BS的解析式为y=x+∫， 10e+f=0 4e+f=8’ 38/80 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 e=- 3 40 f= 3 :直线BS的解析式为y= 4.40 3+ 3 y=-x2+x+8 联立 440 y=- 3 32 x= x=4 3 解得： y=8 8 y=- 9 32 8,82 100 .PB= +8+ 9 OH OG BG BP 设0G=n,则BG=0B-0G=4V5-n, m n ÷4V5-n=100, 9 整理得：m=-9n-3651。-9n 95 -n2+ 100 100”25 4-9a-25+号 100 :G在线段OB上（与点O,B不重合）， 0<0G<4v5, .0<n<4V5, ÷当n=25时，m取得的最大值为}，且m>0, .9 ∴.0<m≤ 5 题型五手拉手模型 【典例5-1】(24-25九年级上·贵州六盘水.期末)小赵在学习完相似三角形后，把两个相似但不全等的三角 形纸片作为操作对象进行相关问题的研究，下面是他在操作纸片过程中研究的问题 39/80 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B B 图1 图2 图3 请你解决这些问题： (1)把两个三角形按如图1方式摆放，若LADE=35°，则∠B=一 (2)如图2，把ADE绕点A旋转一定的角度，连接线段BD、CE.请写出AADB与△AEC的关系并说明理 由： (3)如图3，延长CE交BD的延长线于点F,交AB于点G,若∠DAE=70°，求∠BFG的度数. 【详解】(1)解：：△ADE∽△ABC,∠ADE=35°， ∠B=LADE=35°， 故答案为：35°； (2)解：△ADB∽AEC,理由如下， :△ADEn△ABC, :AD、AE ·ABAC ∠DAE=∠BAC, :∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE, .∠DAB=LEAC, :△ADB∽AEC; (3)解：由(2)得△ADB∽AEC, F H G .∠ADB=LAEC, .180°-∠ADB=180°-∠AEC, :∠FDH=∠AEH, :∠FHD=∠AHE, ∴∠DFH=LHAE, 40/80 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :∠DAE=70°， ∴∠BFG=70°. 【典例5-2】(24-25九年级上山东临沂期末)(1)如图1，ABC和。DEC均为等边三角形，直线AD和 直线BE交于点F,线段AD,BE之间的数量关系为 ;∠AFB的度数为、 (2)将图1中的ABC和△DEC均变为等腰直角三角形如图2，∠ABC=∠DEC=90°，AB=BC, DE=EC,直线AD和直线BE交于点F. ①线段AD,BE之间的数量关系为；∠AFB的度数为 ②若∠CAD+∠CBD=90°，BD=1,AD=2,求CD的长. (3)如图3，若ABC和ADE均为直角三角形，∠ACB=∠AED=90°，且LBAC=LDAE=30°，AB=5 ,AE=3.当点B在线段ED的延长线上时，则CE的长度为一· 图1 图2 图3 【详解】(1)解：①，：ABC和aCDE都是等边三角形， CA=CB,CD=CE,∠ACB=LDCE=60°， .∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB, 即∠ACD=∠BCE, .ACD≌BCE, :AD=BE 故答案为：AD=BE; ②.ACD≌BCE, ∠CAD=∠CBF, 设BC交AF于点O, :∠A0C=∠B0F, .∠BF0=∠AC0=60°， 即∠AFB=60°； 故答案为：LAFB=60°： 41/80 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)①解：结论：∠AFB=45°，AD=√2BE,理由如下： :∠ABC=∠DEC=90°，AB=BC,DE=EC, ∴LACD=45°+∠BCD=∠BCE. 4C-DC-5, BC EC .△ACD∽△BCE, :4D-4C=5,∠CBF=∠CAF, BE BC :AD=2BE. ZAOB ZAFB+ZCBF ZACB ZCAF, LAFB=∠ACB=45°： 故答案为：AD=√2BE,45°； ②由①得∠CBF=∠CAF，AD=√2BE, :∠CAD+∠CBD=90°，BD=1,AD=2 LCBF+LCBD=90°，BE=√2 在R△BDE中，DE=VBD2+BE=VP+(2)?=5 在Rt△CDE中，CD=VDE2+CE2=-√6； (3)解：根据勾股定理，得BE=√AB2-AE2=4, 在RtaADE中，DE=an30°xAE=5AE=N5, 3 ·BD=BE-DE=4-V5. :∠DAE=LBAC=30°， .ZBAD Z CAE :AE。AC AD AB cos30°， 即8 42/80 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .△BAD△CAE, EC AC BD AB =c0s30°=5 2 EC=5 BD=213-2 【典例5-3】（24-25九年级上·四川达州·期末)某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探 究. D D 图① 图② 图③ 【问题发现】 (1)如图①，在等边ABC中，点P是边BC上一点，连接AP,以AP为边作等边△APQ,连接CQ.则 CQ与BP的数量关系是： 【问题提出】≌ (2)如图②，在等腰ABC中，AB=BC,点P是边BC上任意一点，以AP为腰作等腰△APQ,使 AP=P0,∠APQ=∠ABC,连接CQ.试说明PB·AQ=AP.CQ; 【问题解决】 (3)如图③，在正方形ADBC中，点P是边BC上一点，以AP为边作正方形APEF,点Q是正方形APEF 的对称中心，连接CQ.若正方形APEF的边长为6，CQ=2√2，求正方形ADBC的边长 【详解】解：(1)：aABC,△APQ为等边三角形， ∴.AB=AC,AP=AQ,∠BAC=∠PAQ=60°， ∴.∠BAC-∠PAC=∠PAQ-∠PAC, 即∠BAP=∠CAQ .△BAP≌△CAQ(SAS ..CO=BP 故答案为：CQ=BP (2)证明：：AB=BC,AP=P0, 43/80 西学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :∠BAC=∠BCA=180°-∠ABC),∠PAQ=∠POA=180°-∠APQ), :∠APQ=∠ABC, ∴.∠BAC=∠BCA=∠PAQ=∠PQA, .∠BAC-∠PAC=PAQ-∠PAC,△ABC∽△APQ :∠BAP=∠CA0,APA0Pg' AB AC BC AB AP AC AQ :∠BAC=∠PAQ, ∴∠BAP=∠CAQ, △ABP∽△ACQ, .∠ABC=∠ACQ; △ABP∽△ACQ. BP AP CO A0 ∴PB·AQ=AP.CQ (3)连接AB, D 图③ :AB,AE分别是正方形ADBC、APEF的对角线， LBAC=∠PAE=45°，∠ABP=∠APQ=45°， .∠BAP=∠CAQ, △ABP∽△ACQ, AB BP AP AC CO A0 :正方形APEF的边长为6，CQ=2V2, AP2 :.A0=2 =3√2， 44/80 西学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴BP=√2CQ=4, 设PC=a,则BC=4+a, 在Rt△APC中， a2+(a+4)2=62, 解得：a=-2+√14，a=-2-√14（不符合题意舍去）， 正方形ADBC的边长为：-2+V4+4=2+14. 【典例5-4】(24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔期末)综合与实践 在综合实践课上，刘老师组织同学们以“三角形中手拉手模型”为主题开展数学活动. 图1 图2 图3 (1)提出问题：若△ACD和△ABE都是等边三角形，连接CE和BD交于点M，如图1所示，线段BD与线段 CE的数量关系是一，∠CMD=—°； (2)探究证明：若△ACD和△ABE都是直角三角形，∠BAE=∠CAD=90°，∠ABE=∠ADC=30°，连接CE和 BD交于点M,如图2所示，武猜想BD与CE的关系，并说明理由； (3)拓展延伸： ①“智慧小组”发现在(2)的条件下，若AB=√6，AC=2,使图2中△ACD固定不动，将△ABE绕顶点A旋 转，当点B,C,D在同一条直线上时，则BD=; ②“勤奋小组”发现在(2)的条件下，若AB=√6，AC=2,N是CD的中点，使图3中△ACD固定不动，将 △ABE绕顶点A旋转，在旋转过程中，则BN的最小值为 【详解】(1)解：：△ACD和aABE都是等边三角形， .AE=AB,AC=AD,∠AEB=∠BAE=∠CAD=60°， ∠BAE+∠BAC=∠BAC+∠CAD,即∠EAC=∠BAD, 在△EAC和△BAD中， 45/80 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AE=AC ∠EAC=∠BAD, AC=AD △EAC≌△BAD(SAS), ∴BD=EC,∠AEC=∠ABD, :∠AEC+∠BEC=∠AEB=60°， ∠BEC+∠ABD=60°， ∠BEC+∠ABD+∠ABE=60+60=120°， .∠BME=180°-LBEC+∠ABD+∠ABE)=180°-120°=60°， ∴.∠CMD=∠BME=60°， 故答案为：BD=CE,60; (2)解：∠BAE=∠CAD=90°， :∠BAE+∠BAC=∠BAC+∠AD,即∠EAC=∠BAD, :△ACD和△ABE都是直角三角形，∠BAE=∠CAD=90°，∠ABE=∠ADC=30°， 、BE=2AE,CD=2AC,∠AEB=LACD=60°， AB=BE2-AE=(2AE)2-AE2=3AE AD=CD-AC2=(2AC)2-AC2=AC. .ABBAE AE AD 3AC AC .△EAC∽△BAD, .AE AC_EC AB AD BD3' BD=3CE ∠AEC=∠ABD, :∠AEC+∠BEC=∠AEB=60°， .∠ABD+∠BEC=60°， 在△BEM中，∠BEM+∠ABM+∠ABE=60+30=90°， :∠BME=90°，即BD⊥EC, 综上所述，BD=V3CE,BD⊥CE; (3)解：由(2)可得，BD=V3CE,BD⊥CE, 46/80 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ①如图所示，点B,C,D在同一条直线上， D B :LBAE=LCAD=90°，∠ABE=LADC=30°，AB=V6,AC=2, AE=AC_EC AB AD BD 3 AE= 4B= 3 x√6=2， 3 BE=2AE=2√2，CD=2AC=4, 设CE=x,则BD=V5x, ∴BC=CD-BD=4-V5x, :BD⊥CE, CE2+BC2=BE2,+(4-3x)=(2), 解得，=5+1，x2=5-1, 当CE=V5+1时，BD=V3CE=5x5+1=3+V3; 当CE=5-1时，BD=3CE=5xV5-=3-; 故答案为：3+√3或3-√5； ②如图所示， D :△ABE绕顶点A旋转， ∴点B在以点A为圆心，以AB为半径的圆上运动，连接AN, 47/80 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 在△ABN中，AB-AN<BN, 当点A,B,N三点共线时，AB-AB=BN,此时线段BN的值最小， :△ACD和△ABE都是直角三角形，∠BAE=LCAD=90°，∠ABE=ADC=30°，AB=√6，AC=2, .CD=2AC=4, :点N是CD的中点， 1x4=2, ·BN=AB-AN=6-2, 故答案为：√6-2 【变式5-1】(23-24九年级上·辽宁葫芦岛期末)【问题情境】在一次数学活动课上，九年一班同学用形状 相同的等腰三角形组合新图形，并尝试编制习题，下面是四个小组的探究情况. (1)一组：ABC和ADE是等腰直角三角形，AB<AD,∠BAC=∠DAE=90° 连接BD,CE,构建“手拉手"模型（如图1），得到了BD=CE；在此基础上，又利用"蝴蝶型”，如图2的划 斜线部分，得到了BD⊥CE. 二组：如图3，ABC和ADE是等边三角形，AD<AB,连接BD,CE,BD的延长线与CE相交于点F,猜 想也能构建上述两种模型得到结论BD=CE,LBFC=60°. 请你模仿一组同学的思路，证明二组同学猜想的结论： 【类比分析】 (2)三组：如图4，在ABC和ADE中，AB=AC,AD=AE,AD<AB,LBAC=LDAE=40°，连接 BD,CE. 则BD与CE的数量关系为 直线BD与直线CE的夹角为 图1 图2 图3 图4 【变式拓展】 (3)四组：只需用△ABD,就能构建上面任一图形.请你结合图4，用一句话解释这一过程 (4)四组：如图5，ABC和ADE是等腰直角三角形，AB<AD,∠BAC=LDAE=90(LDAC<90), 48/80 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 连接BE,CD,F是线段BE的中点，连接AF,若DC=4,请你求出AF的长. 图5 【详解】(1)证明：ABC和ADE是等边三角形， ∴.AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°， :∠BAC-LDAC=LDAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE, △ABD≌△ACE, ·.BD=CE,∠ABD=∠ACE 设BF与AC相交于点G,则∠AGB=∠FGC, ∠BFC=∠BAC=60°； (2)BD=CE(或相等)，40°或140° 延长BD交CE于点F,设BD,AC交于点G, B 图4 :∠BAC=∠DAE=40°， ∴.∠BAC+∠DAC=∠DAC+∠DAE, .∠BAD=∠CAE, 又AB=AC,AD=AE、 ∴△ABD≌△ACE(SAS), 49/80 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴BD=CE,∠ABD=∠ACE, :∠AGB=∠CGF, .∠CFB=∠BAC=40°， ∴∠BFE=180°-∠BFC=140°， 即直线BD与直线CE的夹角为40°或140°： 故答案为：BD=CE(或相等)，40°或140°； (3)把△ABD绕点A按逆时针方向旋转40°得△ACE(或旋转a,a<90°)，连接DE,CB 故答案为：把△ABD绕点A按逆时针方向旋转40°得△ACE(或旋转a,a<90°)，连接DE,CB. (4)证明：延长AF到M使FM=FA,连接EM, M D ∠EFM=∠BFA, A B 又FE=FB, .△AFB≌△MFE, :ME =AB, ∠BAM=∠M, .ME∥AB, .∠MEA+∠EAB=180°， :∠BAC=∠DAE=90°， ∠DAC+∠EAB=180° ∠MEA=∠DAC, :△ABC和ADE是等腰直角三角形， .AB=AC,AD=AE, :EM AC, △AEM≌△DAC, :AM =DC, DC=4, .AM=4, 50/80 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :AF=2. 【变式5-2】(24-25九年级上河南安阳·期末)如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4,点D, E分别在边4C,AB上，AD=DE=AB,连接DE.将ADE绕点A顺时针旋转，记旋转角为a. D E 图1 图2 备用图 【问题发现】 (1)①当a=0°时， Bg=一：②当a=180°时， BE CD CD 【拓展研究】 (2)试判断：当0°≤a<360°时， BE的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明： C 【问题解决】 (3)当ADE旋转至B,D,E三点共线时，线段CD的长为 【详解】解：(1)①当a=0°时，如图1， 在Rt△ABC中，AC=BC=4, ∠A=∠B=45°，AB=4V2, AD=DE=14B=22, ∴.∠AED=∠A=45°， ∠ADE=90°， DE∥CB, BEAB=反， CD-AC 故答案为：√2； ②当a=180°时，如图，DE∥CB, 51/80 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 BE_AB+AE=反， CD AC+AD 故答案为：√2； (2)当0°≤a<360°时， BE的大小没有变化. C 证明：在Rt△ABC中， :∠ACB=90°，AC=BC, B=2,LCAB=45°， AC 同理4g=2,∠DAB=45°， AD AB AE ACAD =2, :∠CAB=∠DAE, ∠CAB-∠CAE=∠DAE-∠CAE, ∴∠BAE=LCAD, ÷△ADC∽△AEB, BE-AB=反： CD AC (3)如图，当点D在BE上时， E B ∠ADE=90°， .∠ADB=90°， 在Rt△ADB中，AB=42,AD=2√2， 由勾股定理得，DB=√AB2-AD2=2√6， BE=BD+DE=2√6+2√2， 由(2)可知，BE=4g-2, CD AC 52/80 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .CD= BE =23+2; 如图，当点D在BE的延长线上时， 在Rt△ADB中，AD=2√2，AB=4√， 由勾股定理得，BD=√AB2-AD2=2√6， BE=BD-DE=2V6-2√2， CD=BE 2 =23-2, 综上所述：线段CD的长为23+2或2√3-2. 【变式5-3】(23-24九年级上辽宁大连期末)【问题初探】 (1)在数学活动课上，王老师给出下面问题：如图1，ABC和△DCE是等边三角形，点B、C、E不在 同一条直线上，请找出图中的全等三角形并直接写出结论 ；(写出一对即可) 上面几何模型被称为“手拉手”模型，面对题目时我们也会“寻模而入，破模而出”. 【类比分析】 (2)如下图，已知四边形ABCD中，∠ADC=(0<o<180),AB∥CD,CE是LBCD的平分线，且 CD=DE,将线段AE绕点E顺时针旋转二a得到线段EP.当a=120°时，连接PD,试判断线段PD和线段 BD的数量关系，并说明理由； 53/80 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D E B ①小明同学从结论出发给出如下解题思路：可以先猜测线段PD和线段BD的数量关系，然后通过逆用“手拉 手”模型，合理添加辅助线，借助“全等”来解决问题； ②小玲同学从条件入手给出另一种解题思路：可以根据条件α=120°，则∠AEP=60°，再通过“手拉手”模型， 合理添加辅助线，构造与△PDE全等的三角形来解决问题， 请你选择一名同学的解题思路（也可另辟蹊径）来解决问题，并说明理由， 【拓展延伸】 (3)如下图， ABC中，当∠A=60°时，点D、E为AC、AB上的点，CD=BE,∠CED=30°，若BC=7 ,CE=5,求线段ED的长. A D B 【详解】解：(1)△ACE≌aBCD.理由如下： 如图1， D :△ABC和△DCE是等边三角形， G 图1 AC=BC,CE=CD,∠DCE=∠ACB=60°， ∠ACD+∠DCE=LACD+∠ACB, 即∠ACE=∠BCD, 在△ACE和△BCD中， 54/80 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AC=BC ∠ACE=∠BCD, CE=CD △ACE≌BCD(SAS: (2)如图2，过点D作DG平分∠ADC交BC于G, :四边形ABCD中，AB∥CD,∠ADC=a=120°， B G 图2 ∠A=60°， :CD=DE, ∠DCE=∠DEC=30°， :CE平分∠BCD, .∠BCE=∠DCE, ∠BCD=60°， ∠ADC+∠BCD=180°， :AD∥BC, :四边形ABCD是平行四边形， :AD BC, :DG平分∠ADC, .∠ADG=∠CDG=60°， :∠CDG=∠DCG=60°， :△CDG是等边三角形， DG=CD=CG=DE,∠CGD=60°， AD-DE=BC-CG,LBGD=120°， 即EA=GB, 由旋转得：EP=BA,∠4EP-0=60, .∠PED=120°=∠AEP, 55/80 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 aDEP≌△DGB(SAS, :PD=BD: (3)如图3，以DC、DE为边作平行四边形CDEF,连接BF, 则LFCG=LCED=30°，DE=CF,CD=EF,∠BEF=∠A=60°， 图3 设DE=x,则CF=x, CD=BE, :EF=BE, 又：∠BEF=60°， ·△BEF是等边三角形， 将BCF绕点B逆时针旋转60°得ABHE,连接CH, :△BCH是等边三角形，EH=CF=x,∠DEH=60°， :CH =BC=7, :∠CEH=60°+30°=90°， ∴.EH2+CE2=CH2, 即x2+52=72, x=26, 即ED的长为2√6 【变式5-4】(23-24九年级上山西吕梁期末)综合与实践 【模型感知】 手拉手模型是初中数学里三角形全等知识点考察的重要模型.两个有公共顶点且顶角相等的等腰三角形组 成的图形叫手拉手模型 (1)如图1，己知ABC和ADE都是等边三角形，连接BE,CD.求证：BE=CD; 56/80 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A B D B 图1 图2 图3 【模型应用】 (2)如图2，已知ABC和ADE都是等边三角形，将ADE绕点A旋转一定的角度，当点D在CB的延 长线上时，求证：AB+BD=BE; 【类比探究】 (3)如图3，已知ABC和ADE都是等边三角形.当点D在射线BC上时，过点E作EF⊥AB于点F, 直接写出线段AB,BF与BD之间存在的数量关系为 【详解】证明：(1)：aABC和ADE都是等边三角形， :AB=AC,∠BAC=60°，AE=AD,∠DAE=60° :∠BAE=∠BAD+∠DAE=∠BAD+60°.∠CAD=∠BAC+∠BAD=60°+∠BAD. :∠BAE=∠CAD. 在△BAE和△CAD中， AB=AC ∠BAE=∠CAD, AE=AD △BAE≌△CAD(SAS, :BE =CD (2):△ABC和ADE都是等边三角形， :AB=AC=BC,∠BAC=60°，AE=AD,∠DAE=60°， ∠BAE=LDAE+∠BAD=60°+∠BAD,∠CAD=∠BAC+∠BAD=60°+∠BAD, .∠BAE=∠CAD. 在△ABE和△ACD中， AB=AC ∠BAE=∠CAD, AE=AD 57/80 西学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :△ABE≌△ACD(SAS. .BE CD. :CD=CB+BD=AB+BD, :AB+BD=BE (3)AB=BD+2BF或BD=AB+2BF,理由如下： 如图，当D在线段BC上时， A D B ABC和ADE都是等边三角形， AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°， .∠CAD=∠BAE, 在△ABE和△ACD中， AB=AC ∠BAE=∠DAC, AE=AD △ABE≌△ACD(SAS), BE=DC;∠ABE=∠ACD=60°， CD=BC-BD=AB-BD .BE AB-BD, :EF⊥AB, ∠BEF=30°， .BE =2BF .AB BD +2BF 如图，当D在线段BC的延长线上时， 58/80 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 同理可得：△ACD≌△ABE, :CD=BE, BD-CD =BC=AB, :BD-AB=BE, 同理可得：BE=2BF, BD AB+2BF. 故答案为：AB=BD+2BF或BD=AB+2BF. 过·分层验收 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1.(25-26九年级上全国期末)如图，正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，AF与DC交于 点H,若AB=9,CE=3,则DH的长为() D H G A.2 B.3 D. 9 【答案】D △ADHn△FGH,得到 G品号=3，计算即可得到答案 DH AD 9 【详解】解：：正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上， AB=BC=CD=9,CE=CG=GF=3,AD∥BC,GF∥CE, :.DG=CD-CG=9-3=6,AD//GF, 59/80 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .△ADHn△FGH, DH AD 9 GmG示3=3， DH =3, “6-DH D- 故选：D, 2.(24-25九年级上河南周口期末)如图，ABC中，边BC=12cm,高AD=6cm,边长为x的正方形 HEFG的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，则边长x为 H 【答案】4cm 【详解】解：：HG∥BC, .△AHG∽△ABC, HG AI 126 解得x=4cm, 故答案为：4cm. 3.(24-25九年级上甘肃兰州期末)如图，ABC是等边三角形，AB=12,点P,D分别是边BC，AC上 的点，且∠APD=60°，PC=8,求DC的长. B 【答案】 【详解】解：：ABC是等边三角形，AB=12, BC=AB=12,∠B=∠C=60°， .∠APB=∠C+∠CAP=60°+∠CAP, 60/80 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 PC=8, ∴PB=BC-PC=4, :∠APD=60°， ∴∠PDC=∠APD+∠CAP=60°+∠CAP, ∠PDC=∠APB, 在△PDC和△APB中， ∠C=∠B=60° ∠PDC=∠APB' ∴△PDC∽△APB, pB=,即DC8 4-12' - 4.(24-25九年级上陕西汉中期末)如图，在ABC中，AD1BC于点D,BE⊥AC于点E,连接DE, 求证：△ABC∽DEC. D 【详解】证明：·AD⊥BC,BE⊥AC, :∠ADC=∠BEC=90°， 又：∠C=∠C, ∴.△ADCn△BEC, AC DC BC EC ACBC DC EC 又：∠C=∠C, ∴△ABC∽△DEC, 5.(25-26九年级上全国·期末)如图，在矩形ABCD中，己知AD>AB.在边AD上取点E,连结CE.过 点E作EF⊥CE,与边AB的延长线交于点F. 61/80 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A E D 人7 B (1)证明：△AEF△DCE. (2)若AB=4,AD=14,DE=8,求线段AF的长. 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是矩形， .∠A=∠D=90°， :∠F+∠AEF=90° :EF⊥CE, ∠CEF=90°， :∠CED+LAEF=90° .∠F=∠CED, :△AEF∽△DCE; (2)解：：四边形ABCD是矩形， :AB=CD=4, :DE=8,AD=14, .AE=AD-DE=14-8=6, :△AEF∽△DCE, AE AF DC DE AF=12. 6.(24-25九年级上浙江金华期末)如图1，点D、E分别是ABC边AB、AC上的中点，将ADE绕着 点A逆时针旋转角度C,得到图2，其中0°<a<90°，连结BD、CE, 62/80 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B B 图1 图2 (1)求证：△ABD△ACE; (2)当∠ADB=90°，AC=4时，求CE的长. 【详解】(1)证明：：点D、E分别是ABC边AB、AC上的中点， 4D-BAE=号4C, 2 AD AE I AB AC2 由旋转得∠BAD=LCAE=Q, △ABD∽△ACE. (2)解：：△ABD∽△ACE,∠ADB=90°， .∠ADB=∠AEC=90°， :AC=4, 1 ÷ME=24C=2, “CE=VAC2-AE2=V42-22=25, 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1.(25-26九年级上·浙江温州期末)如图，在O0中，弦AB与弦CD交于点P且AP>BP,DP>CP,已知 AB=7,CD=8,若DP=3CP,则PB的长为() B D A.3 C.4 D. 7 4 【答案】A 63/80 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：：弦AB与弦CD交于点P, ∠A=LC, ∠APD=∠CPB, ∴△ADPn△CBP(AA, AP DP CP=BP' AB=7,CD=8,DP=3CP, DP=6、CP=2, :7-BP6 2 BP ·BP=3或4， 当BP=3时，AP=4,当BP=4时，AP=3, AP>BP, PB=3, 故选：A. 2.(24-25九年级上·安徽池州·期末)如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD,且 AE、BD交于点F,SDEr:SABF=4:25,则SDrS西边彩BEr为() D E B A.10:31 B.10:21 C.4:25 D.4:21 【答案】A 【详解】解：，四边形ABCD是平行四边形， .AB∥CD,AB=CD, ∴∠EAB=LDEF,∠AFB=∠DFE, △DEF∽△BAF, S. DE DE EF S。ABF 、AB AB AF S.DEF S.ABF=4:25, 64/80 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 DE EF 2 AB AF5 SADEF SA4DF =2:5, 设S△DEr=4a,则S。4Br=25a,S△4DF=10a, SABCD=SA4BF+SA4DF =35a, .S四边形Bcer=35a-4a=31a, .S4Dr:S四边形Bcer=10a:31a=10:31. 故选：A. 3.(24-25九年级上江苏扬州期末)如图，在ABC中，D是AB上一点，连接CD,己知AC2=AD·AB. D C (1)求证：△ACD∽△ABC; (2)若∠A=32°，∠BDC=75°，求∠DCB的度数. 【详解】(1)证明：AC2=AD,AB, :4C、AD AB AC .∠A=∠A, :△ACDm△ABC. (2)解；∠A=32°，∠BDC=75°， ∠ACD=∠BDC-∠A=75°-32°=43°， :△ACD∽△ABC, LACD=∠B=43°， :∠DCB=180°-∠BDC-∠B=180°-75°-43°=62°， :∠DCB的度数是62°. 4.(24-25九年级上江苏徐州期末)如图，在ABC中，AB=AC,∠A=36°，BD是∠ABC的平分线 65/80 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)ABC与△BDC相似吗？请说明理由； 2求DC的值。 AD 【详解】(1)解：△ABC∽△BDC,理由如下： :AB=AC,∠A=36°， ∠ABC=∠4CB=180∠4-72°， 2 BD是∠ABC的角平分线， ·∠DBC=∠DBA=∠ABC=36°， 2 .∠DBC=LA· :∠C=∠C, △ABC∽△BDC. (2)解：设AD=a, ∠A=36°，∠DBC=∠DBA=36°， LA=∠DBA, :AD BD=a, :∠BDC=∠A+∠DBA=72°， ∴LBDC=∠C .BC=BD a; :△ABC∽△BDC, BD DC AC BC a DC a+DC a DC=-1+V5 2成DC1√5a不合题意舍去) DC -1+5 AD 2 66/80 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 5.(24-25九年级上辽宁阜新期末)如图，在ABC中，D是边AB上一点. B D (1)当LACD=∠B时，若AD=1,BD=3,求AC的长； (2)已知AB=√2AC=2AD,若CD=2,求BC的长. 【详解】(1)解：：AD=1,BD=3, AB=AD+BD=1+3=4, :∠ACD=∠B,∠A=∠A, △ACDm△ABC, AC AD AB AC AC2=AD,AB=1×4=4, :AC=2或AC=-2(不符合题意，舍去)， :4C的长是2； (2)解：√2AC=2AD, AD√2 AC 2 ,△ACD∽AABC,CD=2, CD_AD BC AC 2 .2=2 BC 2 ..BC=22, :BC的长是2W2 6.（24-25九年级上河北保定期末)数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了 深入研究.如图1，图2，在ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D D B D 图1 图2 【观察发现】(1)嘉嘉得出AC2=AD·AB,理由如下： 67/80 西学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :∠ACB=90°，∠A+∠B=90°. :CD⊥AB,LADC=90°，.LA+∠ACD=90°，∠B=① 又：∠A=∠A,△ABCn△② ②AB =③，.AC2=AD·AB. AC 请完成填空：① :② ；③ 【探究应用】(2)如图2，F为线段CD上一点，连接AF并延长至点E,连接CE,且∠ACE=∠AFC· ①若AF=2,AC=3,求S△4CE:S△4FC的值； ②求证：AF、AD AB AE 【详解】【观察发现】(1)解：嘉嘉得出AC2=AD·AB,理由如下： :∠ACB=90°， ∠A+∠B=90°. :CD⊥AB, ∠ADC=90°， .∠A+∠ACD=90°， ∠B=∠ACD. 又∠A=∠A, ·△ABC∽△ACD. AB AC AC AD .AC2=AD.AB. 故答案为：LACD,ACD,4C AD 【探究应用】(2)①解：：∠ACE=∠AFC,∠CAE=∠FAC, :△ACEn△AFC, S.ACE=( 9 AF ②证明：由①知△ACE∽△AFC, AC AE AF AC' :AC2=AF.AE. 由(1)得AC2=AD·AB, 68/80 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :AF·AE=AD·AB, AF AD AB AE 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.(24-25九年级下.全国期末)如图1，在ABC中，点D为BC中点，点E在AC上，AD、BE交于点 F,∠ADC=∠BEC. D D 图1 图2 (1)写出与∠EBC相等的角： 2)若AD=BF,求 F的值. (3)如图2，若AD=BF,∠BCA=90°，BC=m,求BE2(用含m的式子表示)· 【详解】(1)解：：∠ADC=∠BEC, ∠EBC=180°-LC-∠BEC. ∠DAC=180°-∠C-∠ADC, 即∠EBC=∠DAC, 故答案为∠DAC: (2)过D点作DM∥BE交AC于M,如图， .∠BFD=∠ADM., 在△ADM和△BFD中， ∠DBF=∠MAD BF=AD ∠BFD=∠ADM ∴△BFD=AADM, :BD AM, :DM∥BE, 69/80 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .∠DMC=∠BEC, B 又：∠ADC=∠BEC, :∠DMC=∠ADC, 又：∠DCA=∠MCD, △ADCn△DMC, ACDC=AD,即DC2=CM.AC, DC CM DM 设BD=CD=a,CM=b, a2=b(b+a),a2-ab-b2=0, +5b 解得a= 2 a1+V5 b2 AD AD CD a1+5 DF DM CM b 2 (3):DM∥BE,点D为BC中点， A EM=MC B :∠BCA=90°， ÷BE2=BC2+CE2=(2a2+(2b2, 由(2)知0-1+V5 b2 6 2 BE2=4a2+6-2V5a2 :m=2a 70/80 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 BE=m2+3-V5 m2=5- 2 2m2 2. (24-25九年级上内蒙古包头期末)如图1，在四边形ABCD中，AB=CD,AD=BC,BD平分∠ABC ,点M是BC上一点，连接AM并延长分别交BD和DC的延长线于点Q和点N. A B A B M D D C 图1 图2 (1)判断四边形ABCD的形状，并说明理由； (2)连接CQ,证明：CQ=QM·QN; (3)如图2，连接AC,若AM1BC,且QN=8,MN=6,求BD的长. 【详解】(1)解：四边形ABCD是菱形，理由如下： AB=CD,AD=BC, :四边形ABCD是平行四边形， AB∥CD, ∠ABD=∠CDB, BD平分∠ABC, ∠ABD=∠CBD, ∴.∠CDB=∠CBD, .CD CB 所以四边形ABCD是菱形. (2)证明：因为四边形ABCD是菱形， 所以AB=BC,AB∥CD, 在△ABQ和△CBQ中， AB=CB ∠ABQ=∠CBQ, BO=BO ·△ABQ≌△CBQ(SAS), :ZBAO=ZBCQ, 71/80 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AB CD, :LBAQ=∠N, .∠BCQ=∠N, .∠CQM=∠NQC, .∴COMANOC, C№-M ON CO' :.Co2=OM.ON. (3)解：QN=8,MN=6, :0M=2, 由(2)知，CQ2=QM·QN, CQ=VQM…QN=V8×2=4, 由(2)知△ABQ≌△CBQ, ÷A0=C0=4, :AM=A0+QM=4+2=6, 在Rt△CQM中，CM=CQ2-QM2=V42-22=2√5， 设BM=x,则AB=BC=BM+CM=2V3+x, 在Rt△ABM中，AB2=AM2+BM2, 即(x+23=62+x2,解得x=25,即BM=2V5, :BM =CM, :AM⊥BC, .AB AC, .AB=BC=AC, △ABC是等边三角形， 又四边形ABCD是菱形， AC⊥BD, BD=2AM=12, 即BD的长为12. 72/80 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3.(24-25九年级上河南新乡.期末)我们常把在同一顶点处存在对应相等线段的图形称为“手拉手”模型， 用该模型解决问题时重点在“构建”模型、证明相似以及用相似来解决问题 G D N E M B M B B 图1 图2 图3 (1)等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形DCE如图1放置，∠C=90°，点M、N分别为AB、DE的中点， 则AD MN 2将图1的等腰直角三角形DCE绕点C逆时针旋转至如图2所示的位置，那么4D 的值是否发生改变？说 N 明理由； (3)正方形ABCD和正方形AEFG如图3放置，其中正方形AEFG的边长是正方形ABCD边长的一半，连结 CF、DG,请直接写出DG与CF之间的数量关系以及直线DG与直线CF所夹锐角的度数. 【详解】(1)解：连接CN,CM,过点D作DF⊥AB于点F, D M B ABC与△DCE都为等腰直角三角形， AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°， ∴∠CAB=∠CBA=45°，∠CDE=LCED=45°， .∠CDE=∠CAB, DE∥AB, :N为DE中点， CN⊥DE, :M为AB中点， ∴.CM⊥AB AB∥DE .CM⊥DE 1J10U 西学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :CN⊥DE ∴C,M,N三点共线. .MN⊥AB, DF⊥AB, .DF I MN, :.四边形DNMF为平行四边形， :∠DFM=90°， 四边形DNMF为矩形， ∴DF=MN, 在Rt△DFA中，∠DFA=90,∠DAF=45° ∴.AD=V2DF=√2MW, :A MN =2: 连接CN,CM,AD, M 图2 :AC=BC,M为AB中点， iCLi,4M=BM=CM=)AB,∠ACM=∠BcM:45, AC=AM2+CM2=2CM, AC=2, CM :CD=CE,N为ED中点， :CN=DN=EN=IDE,CN⊥DE,∠ECN=∠DCW=45°， CD=VCN2+DN2=√2CN, .CD =5, CN 74/80 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :∠ACD=∠ACB+∠BCD=90°+∠BCD,∠MCN=∠BCM+LBCD+∠DCN=90°+LBCD, ∴∠ACD=∠MCN, △ACD∽△MCN, AD AC =√2， MN CM AD 的值不会发生改变 N (2)延长CF,DG交于点H,连接AF,AC, A D G H B 图3 :四边形AEFG和四边形ABCD为正方形， ∴AD=CD,LADC=∠BCD=90°，∠ACB=∠DAC=45°，AG=FG,∠AGF=90°，∠GAF=45°， AF=AG2+FG2=2AG AE=2, AG AC=VAD2+CD2=√2AD, C=2, AD :∠FAC+∠CAG=45,LCAG+LGAD=45°， ∠FAC=∠GAD, AFC∽AGD, ÷CE-4C-2, DG AD CF=2DG :AFC∽AGD, ∠FCA=∠GDA, ∠FCB+∠FCA=45°， ∠FCB+∠GDA=45°， .∠HCD+∠HDC=∠BCD+∠ADC-∠FCB-∠GDA=I35°， 75/80 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 LDHC=180°-∠HCD-∠HDC=45° 4.(24-25九年级上河南新乡.期末)【问题发现】 (1)在数学活动课上，老师给出如下问题：“如图1所示，ABC是等腰直角三角形，AB=AC, ∠BAC=90°，点D在BC上，连接AD,探究AD,BD,CD之间的数量关系."王林思考片刻之后，利用 手拉手模型解答问题如下： 图示 思路 将线段AD绕点A逆时针旋转90°得线段AE,连接CE,DE,易证△ABD≌△ACE,得到BD=CE, 合△ LABD=LACE=45°，在Rt DCE中，易得CD2+CE2=DE2,由DE=√2AD,得AD,BD,CD之间 关系为 【类比分析】 (2)如图2所示，当点D在线段BC的延长线上时，请问(1)中的结论还成立吗？请给出判定，并写出 你的推导过程； 图2 【拓展延伸】 (3)若(1)中的点D在射线CB上，且BC=4,BD=1,请直接写出AD的长度. 【详解】(1)线段AD绕点A逆时针旋转90°得线段AE,连接CE,DE, 根据旋转性质，得AB=AC,AD=AE, :∠BAD=90°-∠DAC=∠CAE, ∠BAD=∠CAE,AD2+AE2=2AD2=DE2, AB=AC ∠BAD=∠CAE, AD=AE .△ABD≌△ACE(SAS), .BD=CE,∠ABD=∠ACE, :AB=AC,∠BAC=90°， .∠ABD=∠ACB=45°， 76/80 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴∠ABD=∠ACE=45°， ∠ACB+∠ACE=90°， ∠DCE=90°，.CD2+CE2=DE2, ∴.CD2+BD2=DE2, CD2+BD2 =2AD2, 故答案为：CD2+BD2=2AD2. (2)将线段AD绕点A逆时针旋转90°得线段AE,连接CE,DE, 根据旋转性质，得AB=AC,AD=AE, :∠BAD=90°+∠DAC=∠CAE, ∠BAD=∠CAE，AD2+AE2=2AD2=DE2, (AB=AC {∠BAD=∠CAE, AD=AE CD △ABD≌△4CE(SAS, BD=CE,∠ABD=∠ACE, :AB=AC,∠BAC=90°， ∠ABD=∠ACB=45°， ∠ABD=∠ACE=45°， ∴∠ACB+∠ACE=90°， .∠DCE=90°，.CD2+CE2=DE2, CD2+BD2=DE2, .CD2+BD2 =2AD2, 故答案为：CD2+BD2=2AD2. (3)解：如图1，当点在线段CB上时，根据题意，得BC=4,BD=1, ∴DC=BC-BD=3, 刀/80 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 根据题意，得32+12=10=2AD2, 解得AD=√5，AD=-√5（舍去）； 当点在线段CB的延长线上时，根据题意，得BC=4,BD=1, .DC=BC+BD =5, 根据题意，得52+1P=26=2AD2, 解得AD=3,AD=-V3(舍去)； 故AD的长为5或V3. 5.(24-25九年级上四川广元期末)【模型感知】 手拉手模型是初中数学里三角形全等知识点考察的重要模型.两个有公共顶点且顶角相等的等腰三角形组 成的图形叫手拉手模型。 (1)如图1，己知ABC和ADE都是等边三角形，连接BE,CD,求证：BE=CD; 【模型应用】 (2)如图2，己知ABC和ADE都是等边三角形，将ADE绕点A旋转一定的角度，当点D在CB的延 长线上时，请直接写出线段AB、BD、BE之间存在的数量关系为； 【类比探究】 (3)如图3，己知ABC和ADE都是等边三角形. ①当点D在线段BC上时，过点E作EF⊥AB于点F,求证：AB=BD+2BF ②当点D在线段BC的延长线上时，请直接写出线段AB,BF与BD之间存在的数量关系为一 B D 图1 图2 图3 【详解】(1)证明：：△ABC和ADE都是等边三角形， :AB=AC,AE=AD,∠EAD=∠CAB=60°， .∠EAD+∠BAD=∠CAB+LBAD, ∠BAE=∠CAD, 在△ABE和△ACD中， 78/80 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AB=AC ∠BAE=∠CAD AE=AD △ABE≌△4CD(SAS, :BE CD. (2)解：：△ABC和ADE都是等边三角形， AB=AC,AE=AD,∠CAB=∠DAE=60°， ∠CAB+∠BAD=LDAE+∠BAD, ∠CAD=∠BAE, 在△ABE和△ACD中， (AB=AC ∠BAE=∠CAD AE=AD △ABE≌△ACD(SAS, .BE CD, CD=CB+BD=AB+BD, :BE AB BD. (3)解：①：△ABC和ADE是等边三角形， AB=AC,AE=AD,∠CAB=∠DAE=60°， :∠CAB-∠DAB=∠DAE-∠DAB, ·∠CAD=∠BAE, 在△ABE和△ACD中 (AB=AC ∠BAE=∠CAD AE=AD △ABE≌△4CD(SAS, :BE=CD,∠ABE=∠ACD=60°， :CD=BC-BD AB-BD .BE AB-BD, 79/80 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 EF⊥AB, ∠BEF=30°， :BE =2BF, :2BF AB-BD, :AB=BD +2BF. ②如图，当点D在线段BC的延长线上时， B F E :△ABC和ADE是等边三角形， AC=AB,AD=AE,∠DAE=∠CAB=60°， ∠DAC=∠EAB, 在△ACD和△ABE中， AC=AB ∠DAC=∠EAB AD=AE :AACD≌△ABE(SAS, CD=BE,LACD=∠ABE=180°-∠ACB=I20°， ∠EBF=60°， .∠BEF=30°， :BE 2BF. BC=AB=BD-CD :BD-AB CD=BE, :BD BE+AB =2BF+AB. 80/80