专题01 特殊平行四边形（期末复习讲义，知识必备+17大重难题型+过关验收）八年级数学下学期鲁教版五四制

专题01 特殊平行四边形（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 基础性质与判定的直接应用 精准掌握矩形、菱形、正方形的定义，明确三者与平行四边形的从属关系，能清晰梳理“平行四边形→矩形/菱形→正方形”的演变逻辑。能结合性质与判定定理，完成相关证明题 基础考点，重点考查矩形的对角线性质、菱形的边长与对角线关系、正方形的边角特征，以及三类图形的判定条件辨析。 与计算相关的综合问题 能运用特殊平行四边形的性质，求解边长、角度、周长、面积等基础问题。 高频考点，涵盖边长、角度、周长、面积的计算，以及坐标系中坐标的求解。常结合勾股定理、全等三角形、三角形中位线定理等知识。 折叠与旋转相关问题 能解决含特殊平行四边形的综合题，熟练运用数形结合、转化、方程等数学思想，处理与折叠、旋转、动点相关的复杂问题 高频考点，折叠问题侧重折叠前后对应边、对应角相等的性质，结合特殊平行四边形的性质求解线段或角度；旋转问题常以正方形为背景，利用旋转全等解决线段关系问题。 中点四边形问题 掌握三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等相关性质，能将其与特殊平行四边形的知识融合运用。 考查顺次连接特殊平行四边形各边中点得到的四边形形状判断，核心是利用三角形中位线定理，结合原图形对角线的关系推导中点四边形的性质。 多结论综合判断题 能根据边、角、对角线的特征，准确选择判定定理，并理解判定定理的推导依据。 通过图形分析，快速捕捉关键信息，建立图形与性质、判定之间的关联。 难点，通常作为选择题或填空题的压轴题，给出多个关于特殊平行四边形的结论，要求判断正确结论的个数。这类题目综合性强，需要逐一分析每个结论，结合性质、判定及辅助线方法进行推理。 知识点01菱形 1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2.菱形的性质： （1）具有平行四边形的所有性质； （2）四条边都相等； （3）两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角. 3.菱形的判定： （1）对角线互相垂直的平行四边形是菱形.A （2）一组邻边相等的平行四边形是菱形. （3）四条边相等的四边形是菱形. 4.菱形的面积公式：S=对角线乘积的一半. 知识点02矩形 1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.矩形的性质： （1）矩形具有平行四边形的所有性质； （2）矩形的四个角都是直角； （3）对角线互相平分且相等； 【推论】 （1）在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半. （2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半. 矩形的判定： （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形； （2）对角线相等的平行四边形是矩形； （3）有三个角是直角的四边形是矩形. 知识点03 正方形 1.正方形的定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 2.正方形的性质： （1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质. （2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等. （3）正方形对边平行且相等. （4）正方形的对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角； （5）正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； （6）正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形. 3.正方形的判定： 1）平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角； 2）矩形+一组邻边相等； 3）矩形+对角线互相垂直； 4）菱形+一个角是直角； 5）菱形+对角线相等. 题型一 添一个条件使四边形是菱形 【典例1-1】（24-25九年级上·宁夏中卫·期末）如图，添加下列条件不能判定平行四边形是菱形的是（   ） A． B．平分 C．， D． 【变式1-1】（23-24九年级上·贵州六盘水·期末）如图，要使成为菱形，则需添加的一个条件是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25九年级上·四川达州·期末）如图，在中，对角线，相交于点，再添加一个条件，可推出是菱形，则这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 题型二 利用菱形的性质与判定计算 【典例2-1】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在菱形中，于点，于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【典例2-2】（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，交于点，若，，则的长为 ． 【变式2-1】（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如图，在菱形中，若对角线，，则菱形的面积为（   ） A．10 B．24 C．40 D．48 【变式2-2】（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在中，，分别以C、B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点D，连接、、．若，则 °． 【变式2-3】（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，四边形是矩形，分别以点A和点C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N；作直线分别交于点E，F，连接，若，则四边形的面积为 ． 题型三 利用菱形的性质证明 【典例3】（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，在菱形中，E、F分别是和的中点，连接、．求证：． 【变式3-1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，四边形是菱形，点，分别在边，上，且．求证：． 【变式3-2】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，在菱形中，E，F分别是边上的点，且，连接交于点G．求证：． 题型四 证明四边形是菱形 【典例4】（24-25九年级上·四川成都·期末）在中，，现将沿翻折得到，连接交于点O，过点B作交于点E，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求四边形的周长． 【变式4-1】（24-25九年级上·全国·期末）如图，在中，D是边的中点，M，N分别在及其延长线上，，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)当满足什么条件时，四边形是菱形？判断并说明理由． 【变式4-2】（24-25九年级上·全国·期末）已知四边形中，．连接，过点C作的垂线交于点E，连接DE． (1)如图1，若，求证：四边形是菱形； (2)如图2，连接，设，相交于点F，垂直平分线段．求的大小． 题型五 添一个条件使四边形是矩形 【典例5】（24-25九年级上·全国·期末）如图，要使成为矩形，则可添加的一个条件是（   ）    A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，要使平行四边形成为矩形，可以添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，已知四边形为平行四边形，对角线与交于点，试添加一个条件 ，使为矩形． 题型六 利用矩形的性质与判定计算 【典例6】（24-25九年级上·内蒙古包头·期末）如图所示，在矩形中，对角线、相交于点O，，，则（　　） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25九年级上·全国·期末）如图，在矩形中，分别为的中点，若，四边形的周长是40，则矩形的面积是 ． 【变式6-2】（25-26九年级上·全国·期末）如图，在梯形中，，，，，，为中点，交于点，求的长． 题型七 利用矩形的性质证明 【典例7】（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，矩形中，将绕点A顺时针旋转到位置，点F落在边上，过D作于E．求证：． 【变式7-1】（24-25九年级上·陕西渭南·期末）如图，四边形是矩形，点分别在边上，连接，且．求证：． 【变式7-2】（24-25九年级上·云南昭通·期末）如图所示，四边形是矩形，点是边上的中点．求证：； 题型八 证明四边形是矩形 【典例8】（25-26九年级上·全国·期末）如图，在中，，为边的中点，以，为邻边作，连接，，求证：四边形是矩形． 【变式8-1】（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，对角线与相交于点，为延长线上一点，且，为延长线上一点，且，连接． (1)当时，求证：四边形是矩形； (2)当，，时，求四边形的周长． 【变式8-2】（25-26九年级上·全国·期末）如图，四边形为平行四边形，且，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，是上一点，且，求的长． 题型九 添一个条件使四边形是正方形 【典例9】（23-24九年级上·陕西渭南·期末）如图，在菱形中，对角线相交于点，添加下列条件，能使菱形成为正方形的是（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（22-23九年级上·福建漳州·期末）如图，在矩形中，对角线，交于点O，要使该矩形成为正方形，则应添加的条件是（    ）    A． B． C． D． 【变式9-2】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，点E，F，G，H分别是边的中点，那么添加下列条件一定能判定四边形是正方形的是（    ） A．且 B．且和互相平分 C．且 D．且 题型十 利用正方形的性质与判定计算 【典例10】（24-25九年级上·辽宁本溪·期末）如图，正方形是小明用木条制作的一个学具，在取放学具时，学具发生了形变，此时，则形变后四边形的面积是原正方形面积的（    ）    A． B． C． D． 【变式10-1】（25-26九年级上·广东揭阳·期末）如图，是正方形的对角线，E，F，O，G分别是，，，的中点．若，则的长为 ． 【变式10-2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在四边形中，，，于点，若，则四边形的面积是 ． 题型十一 利用正方形的性质证明 【典例11】（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图，在正方形中，点M，N分别是边，上的点，且，线段，相交于点E． (1)请用无刻度的直尺和圆规过点B作的垂线，交于点P，交于点Q（保留作图痕迹，不写作法）； (2)根据（1）中所作图形，判断四边形的形状，并说明理由． 【变式11-1】（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，在正方形中，E、F是对角线上的两点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式11-2】（25-26九年级上·全国·期末）如图，四边形是正方形，是边上任意一点，于点，且交于点． (1)求证：； (2)连接，，探究线段与的关系并证明． 题型十二 证明四边形是正方形 【典例12】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，在四边形中，，，，，的垂直平分线交于点，交于点，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长．（用含的代数式表示） 【变式12】（22-23九年级上·全国·期末）如图，正方形中，，点E是对角线上的一点，连接．过点E作，交于点F，以，为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)求的值； (3)若F恰为的中点，求正方形的面积． 题型十三 中点四边形 【典例13】（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，连接四边形各边中点得到四边形，要使四边形为矩形，则对角线，应满足（   ） A． B．平分 C．平分 D． 【变式13-1】（22-23九年级上·贵州六盘水·期末）如图，已知点分别是四边形的边的中点，顺次连接得到四边形，我们把四边形叫做四边形的“中点四边形”．若四边形是菱形，则它的“中点四边形”一定是（    ）    A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【变式13-2】（22-23九年级上·山西太原·期末）如图，在中，点M和N分别在边和上，，连接，点D，E，F，G分别是的中点．求证：四边形是菱形． 题型十四 折叠问题 【典例14-1】（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·月考）把矩形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，点落在点处．设，，则的长为（    ） A． B． C． D．4 【典例14-2】（24-25九年级上·重庆·期末）如图，已知正方形的边长为，点是正方形的边上的一点，点关于的对称点为，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式14-1】（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期末）如图，在矩形纸片中，，，把纸片沿对角线向上折叠，顶点落在处，交于点，连接分别交于点，交于点，则 ． 【变式14-2】（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图，正方形的边长是4，点在边上，，点是边上不与点重合的一个动点，把沿折叠，点落在处．若恰为等腰三角形，则的长为 ． 【变式14-3】（24-25九年级上·广东珠海·期末）综合探究 操作一：折叠正方形纸片，使顶点落在边上点处，得到折痕，把纸片展平（如图1）； 操作二：折叠正方形纸片，使顶点也落在边上的点处，得到折痕，与交于点，连接（如图2）． (1)根据以上操作，直接写出图2中与线段相等的两条线段：______； (2)探究发现：把上题图中的纸片展平，得到图，通过观察发现无论点在线段上任何位置，线段与线段始终相等，请你直接用第一问发现的结论写出完整的证明过程； (3)拓展应用：已知正方形纸片的边长为，在以上探究过程中当点到的距离是时，求线段的长． 题型十五 旋转问题 【典例15-1】（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，矩形中，顶点，，，将矩形绕点O逆时针旋转，每秒旋转，则第100秒旋转结束时，点D的坐标为(    ) A． B． C． D． 【典例15-2】（22-23九年级上·湖北襄阳·期末）如图，正方形中，，E是边的中点，F是正方形内一动点，且，连接，，，并将绕点D逆时针旋转得到（点M，N分别为点E，F的对应点）．连接，则线段长度的最小值为 ． 【变式15-1】（24-25九年级上·重庆忠县·期末）如图，已知点的坐标为，，点在轴的正半轴上，边长为的正方形绕点旋转，当、、三点共线时，（   ） A． B．或 C．或 D．或 【变式15-2】（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，把菱形绕点O逆时针旋转，使点A落到y轴上，则旋转后点B的对应点的坐标为（   ）    A． B． C．或 D．或 【变式15-3】（23-24九年级上·广东揭阳·期末）【综合与探究】 问题情境：综合实践课上，老师让同学们探究“平面直角坐标系中图形的旋转问题”．如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点在x轴上，点在y轴上．操作发现：以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F． （1）如图①，当点D落在边上时，求D点的坐标； 【继续探究】 （2）如图②，当点D落在线段上时，与交于点H， ①求证：； ②求点H的坐标． 【拓展探究】 （3）如图①，点M是x轴上任意一点，点N是平面内任意一点，是否存在点N，使以A、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型十六 最值问题 【典例16-1】（24-25九年级上·贵州安顺·期末）如图，在菱形中，，，点分别是边、、、中点，在直线上方有一动点，且满足，则周长的最小值为 ．    【典例16-2】（22-23九年级上·陕西西安·期末）如图，，是菱形的边，的中点，是菱形的对角线上的动点，若，，则的最小值是 ． 【变式16-1】（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，正方形的边长为4，点是边上的动点，连结，作的中垂线交于点，则的最大值为（   ） A． B． C． D．4 【变式16-2】（24-25九年级上·广东佛山·期末）如图，在菱形中，，、分别是、上的动点，满足．若，则周长的最小值为（   ） A． B． C．12 D．18 【变式16-3】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在矩形中，，．点在对角线上，点、分别在边、上，且，，则四边形周长的最小值为 ． 题型十七 多结论综合判断题 【典例17-1】（24-25九年级上·四川达州·期末）如图，在正方形中，G为对角线上一点，连接、，E是边上一点，连接交的延长线上于点F，且满足．下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【典例17-2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在正方形中，点M，N为边和上的动点（不含端点），，是旋转得到的．下列四个结论：①当时，则；②；③若如图位置测得，，则的面积为40；④的周长不变，其中正确结论的序号是 ． 【变式17-1】（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，已知四边形为正方形．为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以为邻边作矩形，连接．下列结论：①；②矩形是正方形；③；④平分．其中结论正确的序号有（   ） A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 【变式17-2】（24-25九年级上·四川宜宾·期末）如图，正方形的边长为2，点为边上一点，连接，交于点，且，平分，交于点，交于点，是线段上的一个动点，过点作，垂足为，连接．有下列四个结论：①；②；③；④的最小值为．其中正确的有 （填写正确结论的序号）． 【变式17-3】（23-24九年级上·山东青岛·期末）如图，四边形是边长为的正方形，点E在边上，，作，分别交，于点G、F，M，N分别是，的中点，则下列5个结论中：①点F、N、C共线；②；③；④的面积为；⑤．正确的是 ．（填写所有正确结论的序号）． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1.（24-25九年级上·四川成都·期末）在下列条件中选取一个作为增加条件，能使成为菱形的是（   ） A． B． C． D． 2.（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，，，连接与交于点O，若，，则四边形的面积为（   ） A．24 B．36 C．48 D．60 3．（22-23九年级上·山西晋中·期末）如图，在菱形中，对角线，相交于点，添加下列条件，能使菱形成为正方形的是（    ）    A． B． C． D．平分 4．（23-24九年级上·辽宁朝阳·期末）如图，四边形为平行四边形，延长到，使，连接，添加一个条件，不能使四边形成为矩形的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·广东清远·期末）矩形各边中点构成的四边形是 ． 6.（24-25九年级上·广西河池·期末）如图，在正方形中，E为边上的点，连接，将绕点C顺时针方向旋转得到，连接，若，则的度数为 ．    7.（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，边长为的菱形的位置如图所示，若，求点的坐标． 8．（24-25九年级上·广东佛山·期末）如图，把两个全等的矩形和矩形拼成如图所示的图案，判断的形状并说明理由． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）正方形，如图放置，，，相交于点P，Q为边上一点，且，则的最大值为（  ）    A． B． C．7 D． 2.（24-25九年级上·吉林·期末）如图，在平直角坐标系中，点A的坐标为，点的坐标为．以，为边作矩形，若将矩形绕点逆时针旋转，得到矩形，则点的坐标为 ． 3.（24-25九年级上·新疆哈密·期末）如图，在正方形中，，将线段绕点E顺时针旋转至线段，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，则线段长的最小值为 ． 4．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在正方形中，，对角线、交于点，点是的中点，点是上的动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，则的最小值为 ． 5．（25-26九年级上·广东揭阳·期末）如图，在矩形中，点F是边的中点，点E是边上一动点，连接，将沿折叠使点C落到点处，连接，在上任取一点G，连接，，若，，则周长的最小值为 ． 6.（24-25九年级上·广东茂名·期末）如图，在四边形中，，是对角线． (1)用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交于点O，E，F．连接．（只保留作图痕迹） (2)在（1）问所作的图形中，求证：四边形为菱形． 7．（24-25九年级上·广东清远·期末）如图，在菱形中，，． (1)实践操作：用尺规作图法过点B作边上的高：（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与证明：在（1）的条件下，在线段上截取线段，使，连接，求证四边形是矩形，并求出它的周长． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（22-23九年级上·广东清远·期末）如图，四边形与四边形均是正方形，连接、，相交与点M．下列结论：①；②；③；④连接，平分，正确的有（　　）    A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 2．（22-23九年级上·陕西西安·期末）在锐角三角形中，是边上的高，分别以为一边，向外作正方形和，连接和与的延长线交于点M，下列结论：①；②；③；④是的中线，其中结论正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 3．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在中，，，，点，分别是边，的中点，连接，将绕点按顺时针方向旋转（），点，的对应点分别为点，，直线与交于点，当与的一边平行时，的长为______． 4.（25-26九年级上·全国·期末）在矩形中，，，为矩形一边的中点，的平分线交边于点，则的长为 ． 5．（25-26九年级上·全国·期末）【操作】如图①．矩形纸片中，．点P在上，点Q在上，，将纸片沿翻折，使顶点C落在矩形内，对应点为，的延长线交直线于点M，再将纸片的另一部分翻折，使顶点A落在直线上，对应点为．折痕为．猜想、之间的位置关系为 ； 【探究】如图②，将矩形纸片任意翻折，折痕为（P在上，Q在上），使顶点C落在矩形内，点C的对应点为，的延长线交边于点M，再将纸片的另一部分翻折，使点A的对应点落在上，折痕为． ①若，求证：； ②当时，直接写出的长． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 专题01特殊平行四边形（期末复习讲义）》 明·期末考情 核心考点 复习目标 考情规律 基础性质与判定 精准掌握矩形、菱形、正方形的定义， 基础考点，重点考查矩形的对角线性质、菱形 的直接应用 明确三者与平行四边形的从属关系，能 的边长与对角线关系、正方形的边角特征，以 清晰梳理“平行四边形→矩形菱形→正 及三类图形的判定条件辨析。 方形”的演变逻辑。能结合性质与判定 定理，完成相关证明题 与计算相关的综 能运用特殊平行四边形的性质，求解边 高频考点，涵盖边长、角度、周长、面积的计 合问题 长、角度、周长、面积等基础问题。 算，以及坐标系中坐标的求解。常结合勾股定 理、全等三角形、三角形中位线定理等知识。 折叠与旋转相关 能解决含特殊平行四边形的综合题，熟 高频考点，折叠问题侧重折叠前后对应边、对 问题 练运用数形结合、转化、方程等数学思 应角相等的性质，结合特殊平行四边形的性质 想，处理与折叠、旋转、动点相关的复 求解线段或角度旋转问题常以正方形为背景， 杂问题 利用旋转全等解决线段关系问题。 中点四边形问题 掌握三角形中位线定理、直角三角形斜 考查顺次连接特殊平行四边形各边中点得到的 边上的中线等于斜边的一半等相关性 四边形形状判断，核心是利用三角形中位线定 质，能将其与特殊平行四边形的知识融 理，结合原图形对角线的关系推导中点四边形 合运用。 的性质。 多结论综合判断 能根据边、角、对角线的特征，准确选 难点，通常作为选择题或填空题的压轴题，给 题 择判定定理，并理解判定定理的推导依 出多个关于特殊平行四边形的结论，要求判断 据。 正确结论的个数。这类题目综合性强，需要逐 通过图形分析，快速捕捉关键信息，建 分析每个结论，结合性质、判定及辅助线方 立图形与性质、判定之间的关联。 法进行推理。 记·必备知识 同知识点01菱形 1/88 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 2.菱形的性质： (1)具有平行四边形的所有性质； (2)四条边都相等； (3)两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角 3.菱形的判定： (1)对角线互相垂直的平行四边形是菱形 (2)一组邻边相等的平行四边形是菱形. (3)四条边相等的四边形是菱形 4.菱形的面积公式：S=对角线乘积的一半. 圖知识点02矩形 1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 2.矩形的性质： (1)矩形具有平行四边形的所有性质； (2)矩形的四个角都是直角； (3)对角线互相平分且相等； 【推论】 (1)在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半 (2)直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半 矩形的判定： (1)有一个角是直角的平行四边形是矩形； (2)对角线相等的平行四边形是矩形； (3)有三个角是直角的四边形是矩形 [受知识点3正方形 1.正方形的定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 2.正方形的性质： (1)正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质 (2)正方形的四个角都是直角，四条边都相等 2/88 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)正方形对边平行且相等 (4)正方形的对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角： (5)正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； (6)正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形. 3.正方形的判定： 1)平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角； 2)矩形+一组邻边相等； 3)矩形+对角线互相垂直； 4)菱形+一个角是直角； 5)菱形+对角线相等， 破·重难题型 题型一 添一个条件使四边形是菱形 【典例1-1】(24-25九年级上，宁夏中卫期末)如图，添加下列条件不能判定平行四边形ABCD是菱形的是 () A.AD=AB B.AC平分∠BAD C.OA=OC,OB=OD D.AC⊥BD 【答案】C 【详解】解：~四边形ABCD是平行四边形， “A、当AD=AB时，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得口ABCD是菱形，故本选项不符合题 意； B、当AC平分∠BAD时，∠DAC=∠BAC, AD∥BC, ∴.∠DAC=∠BCA, ∠BAC=∠BCA, AB=BC，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得口ABCD是菱形，故本选项不符合题意； 3/88 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C、当OA=OC,OB=OD时，不能证明口ABCD是菱形，故本选项符合题意； D、当AC⊥BD时，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得口ABCD是菱形，故本选项不符合题意 故选：C. 【变式1-1】(23-24九年级上·贵州六盘水·期末)如图，要使口ABCD成为菱形，则需添加的一个条件是 () D A.AC=AD B.∠ABC=90° C.AC⊥BD D.AC=BD 【答案】C 【详解】解：对角线垂直的平行四边形为菱形，邻边相等的平行四边形为菱形 要使口ABCD成为菱形，则需添加的一个条件是AC L BD,其余选项的条件均不能使口ABCD为菱形，不符 合题意； 故选：C 【变式1-2】(24-25九年级上·四川达州·期末)如图，在口ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,再添 加一个条件，可推出口ABCD是菱形，则这个条件可以是() D A.AC⊥BD B.AC=BD C.AB=CD D.AB⊥BD 【答案】A 【详解】解：口ABCD, ∴当AC⊥BD时，口ABCD是菱形；故选项A符合题意； B,C,D三个选项都不能推出口ABCD是菱形； 故选A. 它题型二利用菱形的性质与判定计算 【典例2-1】(24-25九年级上·陕西宝鸡期末)如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点 4/88 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 F,若∠B=40°，则∠EAF的度数为() A.30° B.40° C.50° D.60° 【答案】B 【详解】解：：四边形ABCD是菱形，∠B=40°， .AD∥BC,∠D=∠B=40°， .∠BAD=180°-∠B=140°， :AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F, ∴.∠BAE=∠DAF=90°-40°=50°， ∴.∠EAF=∠BAD-∠BAE-∠DAF=140°-50°-50°=40°， 故选：B. 【典例2-2】(24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末)如图，在口ABCD中，以点D为圆心，CD的长 为半径作弧交AD于点G,分别以点C,G为圆心，大于)CG的长为半径作弧，两弧相交于点E,作射线 DE交BC于点F,交CG于点O,若AB=13,GC=24,则DF的长为· G F 【答案】10 【详解】解：连接GF, D 由作图知：CD=GD,CF=GF,DE平分∠CDG, ∠ADE=∠CDE, 四边形ABCD是平行四边形， AD∥BC,CD=AB=13, 5/88 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠ADE=∠CFD, ∴∠CDF=∠CFD, ..CD=CF=13, CD=DG, ∴CF=DG, :四边形CDGF是平行四边形， :四边形CDGF是菱形， .DF =20D,CO= LCG= ×24=12,DF⊥CG, 0D=VCD2-0C2=V132-122=5, ∴DF=2OD=10, 故答案为：10. 【变式2-1】(24-25九年级上·贵州毕节·期末)如图，在菱形ABCD中，若对角线AC=8,BD=6,则菱 形ABCD的面积为() D B A.10 B.24 C.40 D.48 【答案】B 【详解】解：麦形4BCD的面积}4C-8D-8x6-24. 2 故选：B. 【变式2-2】(23-24九年级上·四川成都期末)如图，在△ABC中，AB=AC,，分别以C、B为圆心，AB 的长为半径画弧，两弧交于点D,连接BD、AD、CD.若∠ABD=130°，则∠CDA=, B D 【答案】25 6/88 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】解：根据作图，得到AB=AC=BD=CD, 故四边形ABCD是菱形， BD∥AC,∠CDA=1∠BDC= ∠BAC, 2 .∠ABD+∠BAC=180°， .∠ABD=130°， ∠BAC=50°， ∠CDA=.∠B4C=25, 2 故答案为：25 【变式2-3】(24-25九年级上山东青岛期末)如图，四边形ABCD是矩形，分别以点A和点C为圆心， 大于4C长为半径作弧，两弧交于点AM,N,作直线MN分别交AD,BC于点E,FR,连接AF,CB,若 CE=4,∠ACB=30°，则四边形AECF的面积为一· D M 【答案】83 【详解】解：设EF与AC交于点O, 由作图过程可知，直线EF为线段AC的垂直平分线， ∠COF=90°，OA=OC,AE=CE,AF=CF. :四边形ABCD为矩形， .:AD∥BC, 7/88 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .∠OCF=∠OAE,∠OFC=∠OEA, ∴.△AOE≌△COF(AAS), ·AE=CF, ∴.AE=CE=AF=CF, ∴.四边形AECF为菱形， ∴.CF=CE=4,OE=OF, 在Rt△COF中，∠OCF=30°，CF=4, 0r-cr=2,o0=9cr=25, 2 ∴.AC=20C=4v5,EF=20F=4, 四边形AECF的面积为；4CBr-}×45x4=8v5. 2 故答案为：83. 题型三利用菱形的性质证明 【典例3】(24-25九年级上·江苏南通期末)如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AD和AB的中点，连 接BE、DF,求证：BE=DF. 【详解】证明：，四边形ABCD是菱形， .AB=AD, :E、F分别是AD和AB的中点， 1 A极=4，AE=24D, .∴.AF=AE, 又：∠FAD=∠EAB, ∴.△AFD≌△AEB(SAS), ∴.BE=DF. 【变式3-1】(24-25九年级上陕西西安期末)如图，四边形ABCD是菱形，点E,F分别在边BC,AD 上，且CE=AF,求证：∠BAE=∠DCF. 8/88 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D 【详解】证明：~四边形ABCD是菱形， :∠BAD=∠BCD,AD∥BC, 又CE=AF, 四边形AECF是平行四边形， ∠EAF=∠ECF, ,∠BAD-∠EAF=∠BCD-∠ECF,即∠BAE=∠DCF. 【变式3-2】(24-25九年级上·陕西榆林期末)如图，在菱形ABCD中，E,F分别是边CD,BC上的点， 且DE=BF,连接BE,DF交于点G,求证：BE=DF, 【详解】证明：~四边形ABCD是菱形， ∴BC=DC, .DE=BF, DC-DE=BC-BF,即CE=CF, 在△BCE和△DCF中， BC=DC ∠C=∠C, CE=CF ·△BCE≌△DCF(SAS), ..BE=DF. 题型四 证明四边形是菱形 【典例4】(24-25九年级上·四川成都·期末)在Rt△ABC中，∠ABC=90°，现将△ABC沿AC翻折得到 △ADC,连接BD交AC于点O,过点B作BE CD交AC于点E,连接DE, 9/88 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B A (I)求证：四边形BEDC为菱形； (2)若CE=2,AE=3,求四边形BEDC的周长. 【详解】(1)证明：~将△ABC沿AC翻折得到△ADC,连接BD交C于点O, ∴BC=DC,线段AC垂直平分BD,即BD⊥CE,OB=OD, BE CD, ∴.∠BEO=∠DCO, ∠BOE=∠DOC, :△BOE≌△DOC(AAS), ∴OE=OC, 四边形BEDC是平行四边形， BD⊥CE, :四边形BEDC是菱形； (2)解：CE=2,AE=3, AC=5, 四边形BEDC是菱形， E0=C0=1cE=1,∠B0A=90, .AO=AE+OE=3+1=4, ×∠ABC=90°， ∴由勾股定理可得：AB2+BC2=AC2, 在Rt△ABO中，由勾股定理可得：AB2=BO+AO, 在RtACBO中，由勾股定理可得：BC2=BO+CO, B02+C02+B02+A02=AC2, B02+12+B02+42=52, 解得BO=2, 10/88 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 BC=VB02+C02=V22+1P=V5, :四边形BEDC的周长为4V5 【变式4-1】(24-25九年级上·全国期末)如图，在△ABC中，D是边BC的中点，M,N分别在AD及其 延长线上，CM∥BN,连接BM,CN. B (I)求证：四边形BMCN是平行四边形. (②)当△ABC满足什么条件时，四边形BMCN是菱形？判断并说明理由. 【详解】(1)证明：：CM∥BN, ∴.∠DBN=∠DCM, :D是边BC的中点， ∴.BD=CD, 在△BDN和△CDM中， [∠DBN=∠DCM BD=CD ∠BDN=∠CDM ∴.△BDN≌△CDM(ASA, .DN DM, ∴.四边形BMCN是平行四边形； (2)解：当△ABC满足AB=AC时，四边形BMCN是菱形，理由如下： 由(1)可知，四边形BMCN是平行四边形， ·AB=AC,D是边BC的中点， .AN⊥BC, ∴.平行四边形BMCN是菱形. 【变式4-2】(24-25九年级上·全国·期末)己知四边形ABCD中，BC=CD.连接BD,过点C作BD的垂 线交AB于点E,连接DE. 11/88 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D E 图1 图2 (I)如图1，若DE∥BC,求证：四边形BCDE是菱形； (2)如图2，连接AC,设BD,AC相交于点F,DE垂直平分线段AC,求∠CED的大小， 【详解】(1)证明：设CE与BD交于点O, CB=CD,CE⊥BD, ..DO=BO, DE∥BC, .∠DEO=∠BCO, :∠DOE=∠BOC, .△DOE2△BOC(AAS), .DE=BC, 四边形BCDE是平行四边形， .CD=CB, 平行四边形BCDE是菱形； (2)解：DE垂直平分AC, AE=EC且DE⊥AC, ∠AED=∠CED, 又CD=CB且CE⊥BD, ∴.CE垂直平分DB, ..DE=BE ∠DEC=∠BEC, .∠AED=∠CED=∠BEC, 12/88 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 又~∠AED+∠CED+∠BEC=180°， ∠CED 3×180°=60. 题型五添一个条件使四边形是矩形 【典例5】(24-25九年级上·全国·期末)如图，要使口ABCD成为矩形，则可添加的一个条件是() D A.AB=AD B,AC⊥BD C.AD=BD D.AC=BD 【答案】D 【详解】解：A、添加AB=AD,根据邻边相等的平行四边形是菱形，不能得到口ABCD为矩形，本选项不 符合题意； B、添加AC L BD,根据对角线相互垂直的平行四边形是菱形，不能得到口ABCD为矩形，本选项不符合题 意； C、添加AD=BD,不能得到口ABCD为矩形，本选项不符合题意； D、添加AC=BD,根据对角线相等的平行四边形是矩形，能得到口ABCD为矩形，本选项符合题意； 故选：D 【变式5-1】(24-25九年级上·辽宁沈阳·期末)如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，可以添加的条件是 () C A.AB=BC B.AC⊥BD C.A+∠2=90° D.∠1=∠2 【答案】C 【详解】解：A、根据平行四边形中邻边相等，可证得四边形ABCD为菱形，故此项错误； B、根据平行四边形中对角线垂直，可证得四边形ABCD为菱形，故此项错误； C、根据平行四边形中一个角等于90°，可证得四边形ABCD为距形，故此项正确： D、平行四边形对角线平分一组对角，得∠I=∠2，不能证明四边形ABCD为距形，故此项错误； 13/88 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 故选：C 【变式5-2】(24-25九年级上·陕西榆林期末)如图，已知四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD 交于点0，试添加一个条件 ,使口ABCD为矩形. y 【答案】AC=BD或∠ABC=90°（或∠BCD=90°或∠ADC=90°或∠BAD=90°）（答案不唯一） 【详解】解：~四边形ABCD是平行四边形， :当AC=BD时，平行四边形ABCD是矩形； 当∠ABC=90°（或∠BCD=90°或∠ADC=90°或∠BAD=90°）时，平行四边形ABCD是矩形； 故答案为：AC=BD或∠ABC=90°（或∠BCD=90°或∠ADC=90°或∠BAD=90°）（答案不唯一）， 它题型六利用矩形的性质与判定计算 【典例6】(24-25九年级上·内蒙古包头期末)如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点 O,∠AOB=60°，AE=AB,则∠AEO=() B C A.60° B.75 C.85° D.105° 【答案】B 【详解】解：：四边形ABCD是矩形， ∴.OA=OB,∠BAD=90°， :∠AOB=60°， .∴△AOB是等边三角形， ∴.OA=AB，,∠OAB=60°， .·.∠OAE=30°， .AE=AB, ..AE=AO, ∠AE0=∠A0E=180°-∠0AE=75°， 2 14/88 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 故选：B 【变式6-1】(24-25九年级上全国期末)如图，在矩形ABCD中，E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点， 若AH:AE=4:3,四边形EFGH的周长是40cm,则矩形ABCD的面积是cm?. G B 【答案】192 【详解】在△AHE和△DHG中， :AH=DH=AD,∠A=∠D=90°，AE=DG=AB, ∴.△AHE三△DHG, ..EH=GH, 同理EH=GH=GF=EF,即四边形EFGH为菱形， 又~四边形EFGH的周长是40cm, ..EH =10 cm. AH:AE=4:3, 设AH=4x,则AE=3x. 由勾股定理得，EH2=AE2+AH2,即100=9x2+16x2, ∴.x=2,AH=8,AE=6, ..AD =16cm,AB=12cm, ∴.矩形ABCD的面积=16×12=192(cm2). 故答案为：192 【变式6-2】(25-26九年级上·全国期末)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,∠B=90°，∠C=45°， AD=1,BC=4,E为AB中点，EF|DC交BC于点F,求EF的长. A 15/88 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【答案】32 【详解】解：如图1，过点D作DG⊥BC于点G, AD|BC,∠B=90°， G ∴.∠A=90°. 四边形ABGD为矩形. ..BG=AD=1,AB=DG. .BC=4, .GC=3, :∠DGC=90°，∠C=45°， ∴.∠CDG=45°， ..DG=GC=3, AB=3, 又：E为AB中点， 2 EF∥DC, .∠EFB=45°. 在△BEF中，∠B=90° ·EF=V2BE=3V2 题型七利用矩形的性质证明 【典例7】(24-25九年级上·福建福州·期末)如图，矩形ABCD中，将AD绕点A顺时针旋转到AF位置， 点F落在BC边上，过D作DE⊥AF于E.求证：EF=FC, 16/88 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】证明：由旋转得：AD=AF, :四边形ABCD是矩形， .AD=BC,AD∥BC, .AF=BC=AD,∠DAE=∠AFB, :DE⊥AF,四边形ABCD是矩形， .∠DEA=∠B=90°， .·AD=AF,∠DAE=∠AFB,∠DEA=∠B, '.△ADE≌△FAB, .AE =BF, AF=BC, .AF-AE=BC-BF, .EF =FC. 【变式7-1】(24-25九年级上陕西渭南期末)如图，四边形ABCD是矩形，点E、F分别在边AD、BC上， 连接BE、DF,且∠DFC=∠EBC,求证：AE=CF. E B 【详解】证明：四边形ABCD是矩形， AB=CD,∠A=∠C=90°，AD‖BC, .∠BEA=∠EBC, :∠DFC=∠EBC, ∠BEA=∠DFC, 在△ABE和△CDF中， ∠A=∠C BEA=DFC, AB=CD ∴.△ABE≌ACDF(AAS) ..AE=CF. 17/88 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式7-2】(24-25九年级上·云南昭通期末)如图所示，四边形ABCD是矩形，点E是AB边上的中 点，求证：△AED三△BEC; E B 【详解】证明：点E是中点， ..AE=BE. 又，四边形ABCD是矩形， D ∴.AD=BC,∠A=∠B=90°. E 在△AED和△BEC中， AD=BC ∠A=∠B AE=BE ·.△AED≌△BEC. 题型八证明四边形是矩形 【典例8】(25-26九年级上·全国期末)如图，在△ABC中，AB=AC,D为BC边的中点，以AB,BD 为邻边作口ABDE,连接AD,EC,求证：四边形ADCE是矩形. B 【详解】证明：：AB=AC,D为BC边的中点， ∴AD⊥BC,BD=CD, ∴.∠ADC=90°， :四边形ABDE是平行四边形， ∴.AEI‖BD,AE=BD, ∴.AE ICD,AE=CD, 18/88 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴.四边形ADCE是平行四边形， 又：∠ADC=90°， ∴.四边形ADCE是矩形 【变式8-1】(25-26九年级上·辽宁沈阳·期末)如图，在口ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,E为OB 延长线上一点，且BE=OB,F为OD延长线上一点，且DF=OD,连接AE,EC,CF,FA. (I)当OA=2BO时，求证：四边形AECF是矩形： ②当401OE,40,50=6时，求四边形AECT的周长 【详解】(1)证明：~四边形ABCD是平行四边形， ∴.OB=OD,OA=OC, BE=OB,DF =OD, ..OE =OF :四边形AECF是平行四边形， 0A=2BO, ∴OA=OE, ..AC=EF, 四边形AECF是矩形； (2)解：由(1)知，四边形AECF是平行四边形， AO⊥OE, 四边形AECF是菱形， 在Rt△AOE中，AE=VAO+EO +6、13 四边形AECF的周长=13 4=26 【变式8-2】(25-26九年级上·全国期末)如图，四边形CDBE为平行四边形，且CD⊥AB,AC=BC, 19/88 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B (I)求证：四边形CDBE是矩形； (2)若AC=5,CD=3,F是BC上一点，且DF⊥BC,求DF的长， 【详解】(1)证明：CD⊥AB于点D, .∠CDB=90°， ~四边形CDBE为平行四边形， 四边形CDBE是矩形； (2)解：在Rt△CDB中，∠CDB=90°，CB=AC=5,CD=3, .BD=VBC2-CD2=V52-32=4, :DF⊥BC于F, :S.acD =BDCD=BC-DF, 2 ∴.DFBC=CDBD, ∴.5DF=3×4, 解得：DF=12 题型九添一个条件使四边形是正方形 【典例9】(23-24九年级上陕西渭南期末)如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,添加下 列条件，能使菱形ABCD成为正方形的是() B A.AB=DB B.BD=OC C.AC=BD D.∠ADC=120° 【答案】C 【详解】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，(1)有一个内角是直角，(2)对 角线相等，即满足条件AC=BD. 故选：C. 【变式9-1】(22-23九年级上·福建漳州·期末)如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,要使 20/88 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 该矩形成为正方形，则应添加的条件是() D A.CD=AD B.OD=CD C.BD=AC D.∠AOB=60° 【答案】A 【详解】解：添加CD=AD,则根据有一组邻边相等的矩形是正方形， 能使矩形ABCD成为正方形. 故选：A. 【变式9-2】(24-25九年级上·陕西咸阳·期末)如图，在四边形ABCD中，点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA 的中点，那么添加下列条件一定能判定四边形EFGH是正方形的是() D A.AC=BD且AB=AD B,AC⊥BD且AC和BD互相平分 C.∠BAD=∠ABC且AC=BD D.AC=BD且AC⊥BD 【答案】D 【详解】解：如图： A B ● 当AC=BD且AC⊥BD,四边形EFGH是正方形，理由如下： 点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点， EH=BD,EH∥BD,FG=BD,FG/BD,EF=AC,FE∥AC, 2 21/88 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 EH∥FG,EH=FG, 四边形EFGH是平行四边形， .AC=BD, ∴.EF=EH, 四边形EFGH是菱形， AC LBD, .∠1=90°， FE∥AC, ∠1+∠2=180°， .∠2=90°， FG∥BD, .∠3=∠2=90°， :四边形EFGH是正方形，故D符合题意，而A、B、C均不能证明，不符合题意， 故选：D, ☑题型十利用正方形的性质与判定计算 【典例10】(24-25九年级上·辽宁本溪期末)如图，正方形ABCD是小明用木条制作的一个学具，在取放 学具时，学具发生了形变，此时∠D,=30°，则形变后四边形A,BCD的面积是原正方形ABCD面积的() A D B C A.} B. ② 2 c. D. 3 【答案】A 【详解】解：过点A作A,H⊥BC于点H, A D HC 22/88 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ~四边形ABCD是正方形， ..BA=BC=CD=AD, 由题意可得BA,=BA=BC=A,D,=CD, :四边形ABCD为菱形， ∠A,BC=∠D=30°， 设BA=BA=BC=2x :A,H⊥BC 7-4 S菱形Acn=BC·AH=2x2, 而S正方形ABcD=(2x)=4x2, S菱形ABCD 1 S正方形ABCD 故选：A. 【变式10-1】(25-26九年级上广东揭阳·期末)如图，AC是正方形ABCD的对角线，E,F,O,G分别 是AD,BE,AC,CF的中点.若OG=√5，则AB的长为· D G E 【答案】8 【详解】解：设AB=a,以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系， 如图. 23/88 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 以 D C O G E AO B 则A(0,0),B(a,0),D(0,a),C(a,a). ~AC是正方形ABCD的对角线，E,F,O,G分别是AD,BE,AC,CF的中点， O是AC中点，A(0,0),C(a,a,G是CF中点， c3a5a） 22 （4’8 根据两点间距离公式，OG= +5，即9+5， 解得a=8,即AB的长为8. 答：8. 【变式10-2】(24-25九年级上·陕西西安·期末)如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°， AD=CD,DP⊥AB于点P,若DP=6,则四边形ABCD的面积是· D C P 【答案】36 【详解】解：过点D作DE⊥BC,交BC的延长线于点E,如图所示： D E P B ,∠ADC=∠ABC=90°，DP⊥AB, 24/88 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠DPB=∠ABC=∠E=90°，∠DPA=∠E=90°， 四边形DPBE是矩形， ∠PDE=90°， .∠1+∠3=90°， ∠ADC=90°， ∠2+∠3=90°， ∠2=∠1， 在△DAP和△DCE中， [∠DPA=∠E=90° ∠2=∠1 AD=CD .△DAP2△DCE(AAS), .DP =DE=6,S.DAP S.DCB, 矩形DPBE是正方形， ∴.S四边形ABCD=S正方形DPBB=36, 故答案为：36 它题型十一； 利用正方形的性质证明 【典例11】(24-25九年级上河南郑州期末)如图，在正方形ABCD中，点M,N分别是边CD,BC上的 点，且DM=CN,线段AM,DN相交于点E. B (1)请用无刻度的直尺和圆规过点B作AM的垂线，交AM于点P,交AD于点Q(保留作图痕迹，不写作 法)； (2)根据(1)中所作图形，判断四边形BDO的形状，并说明理由， 【详解】(1)解：如图 25/88 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B (2)四边形BQDN为平行四边形，理由如下： :四边形ABCD为正方形， ∴.AD=DC,∠ADM=∠DCN=90°， ..DM =CN, .△ADM≌△DCN, .∠DAM=∠CDN, :∠ADE+∠CDN=90°， ∴.∠ADE+∠DAM=90°， .∠DEA=90°， :BQ⊥AM, ∴.∠BPE=∠DEA=90°， ∴.BO II DN, .OD I BN, ∴.四边形BQDN为平行四边形 【变式11-1】(24-25九年级上·甘肃张掖期末)如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点， 连接AE,AF,将线段AF绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ,连接BQ,EQ. B (I)求证：△AQB≌△AFD; (2)若BE=4,DF=6,求QE的长 【详解】(1)证明：将线段AF绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ, 26/88 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AQ=AF,∠QAF=90°， ~四边形ABCD为正方形， .AB=AD,∠BAD=90°， ∠QAF=∠BAD, ·∠QAB=∠FAD=90°-∠BAF, △AQB≌△AFD(SAS); (2)解：由(I)得△AQB≌△AFD, :.BQ=DF=6,∠ABQ=∠ADF, :四边形ABCD是正方形， ∠ADB=∠ABD=45°， .∠ABQ=45°， .∠QBE=∠ABQ+∠ABD=90°， 在Rt△QBE中，QE=NB0+BE2=2V13 【变式11-2】(25-26九年级上·全国期末)如图，四边形ABCD是正方形，G是边BC上任意一点， DB⊥AG于点E,BF∥DE且交AG于点F, A D B G (I)求证：AE=BF; (②)连接DF,CE,探究线段DF与CE的关系并证明. 【详解】(1)证明：DE⊥AG,BF∥DE, BF⊥AG. .∠AED=∠BFA=90°， ~四边形ABCD是正方形， .AB=AD,∠BAD=∠ADC=90°. .·.∠BAF+∠EAD=90°， 27/88 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .∠EAD+∠ADE=90°， ∴.∠BAF=∠ADE. ∴.△AFB≌△DEA(AAS). ∴AE=BF, (2)DF=CE且DF⊥CE, 证明：∠FAD+∠ADE=90°，∠EDC+∠ADE=∠ADC=90°， ∴.∠FAD=∠EDC. .△AFB≌△DEA, ∴.AF=DE. 又~四边形ABCD是正方形， .AD=CD. ∴.△FAD≌△EDC(SAS). .DF=CE,∠ADF=∠DCE. ,∠ADF+∠CDF=∠ADC=90°， :.∠DCE+∠CDF=90°. .DF⊥CE. 综上所述，DF=CE且DF⊥CE. 题型十二证明四边形是正方形 【典例12】(24-25九年级上陕西榆林期末)如图，在四边形ABCD中，AD‖BC,∠A=90°， AB=BC,∠D=45°，CD的垂直平分线FG交CD于点E,交AD于点F,交BC的延长线于点G,连接CF. (I)求证：四边形ABCF是正方形； (2)若AD=a,求BG的长，（用含a的代数式表示) 【详解】(I)证明：CD的垂直平分线交CD于E,交AD于F, .FC=ED, 28/88 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .∠FCD=∠D=45°， ∠AFC=∠FCD+∠D=90°， AD∥BC,∠A=90°， .∠B=180°-∠A=90°， .∠B=∠A=∠AFC=90°， 四边形ABCF是矩形， AB=BC, 四边形ABCF是正方形； (2)解：FG垂直平分CD, .CE=DE,∠CEG=∠DEF=90°， AD∥BG, ∠CGE=∠DFE, 在ACEG和ADEF中， [∠CGE=∠DFE ∠CEG=∠DEF CE=DE △CEG≌△DEF(AAS), ..CG=DF, 又~四边形ABCF是正方形， ..BC=AF, ..AF+FD=BC+CG, ..BG=AD=a. 【变式12】(22-23九年级上·全国期末)如图，正方形ABCD中，AB=3V2,点E是对角线AC上的一点， 连接DE,过点E作EF⊥ED,交AB于点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG,连接AG. (1)求证：矩形DEFG是正方形； 29/88 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)求AG+AE的值： (3)若F恰为AB的中点，求正方形DEFG的面积. 【详解】(1)证明：如图，作EM⊥AD于M,EN⊥AB于N. D B ~四边形ABCD是正方形， ∠EAD=∠EAB, EM⊥AD于M,EN⊥AB于N, ..EM EN, ∠EMA=∠ENA=∠DAB=90°， 四边形ANEM是矩形， EF⊥DE, ·MEN=∠DEF=90°， .∠DEM=∠FEN, :∠EMD=∠ENF=90°， △EMD≌△ENF(ASA), ∴ED=EF, .四边形DEFG是矩形， 四边形DEFG是正方形； (2)解：~四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形， DG=DE,DC=DA=AB=3V√互，∠GDE=∠ADC=90°， ∴.∠ADG=∠CDE, :.△ADG≌△CDE(SAS), ..AG=CE, AE+AG=AE+EC=AC=2AD=6; (3)解：连接DF, 30/88 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B ~四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD=3V2,AB∥CD, F是AB中点， AF=FB= 2 DF=AD2+AF= 正方形DEFG的面积=DF:=1× 3v10 45 2 2 题型十三中点四边形 【典例13】(24-25九年级上，甘肃兰州期末)如图，连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH,要使 四边形EFGH为矩形，则对角线AC,BD应满足() A.AC=BD B.AC平分BD C.BD平分AC D,AC⊥BD 【答案】D 【详解】解：由题意得：点E,F分别是AB,BC的中点， EF AC.EF=AC 同理可得：HG∥AC,HG= AC,EH∥BD, 2 .EF∥HG,EF=HG, 四边形EFGH为平行四边形， 要使平行四边形EFGH为矩形，则需要EF⊥EH, 31/88 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 又~EF∥AC,EH∥BD, 要使EF⊥EH,则需要AC L BD, 故选：D. 【变式13-1】(22-23九年级上·贵州六盘水期末)如图，已知点E,F,G,H分别是四边形ABCD的边 AB,BC,CD,DA的中点，顺次连接E,F,G,H得到四边形EFGH,我们把四边形EFGH叫做四边形ABCD的中 点四边形”.若四边形ABCD是菱形，则它的“中点四边形”一定是() B A.平行四边形B,矩形 C.菱形 D,正方形 【答案】B 【详解】解：连接AC、BD,如图所示： :点E,F,G,H分别是四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点， .EF是△ABC的中位线、HG是△ADC的中位线、HE是△ABD的中位线， :EFAC,且EF=4C,HG∥4C,且HG=4C;BH∥BD, 2 2 ∴.EF∥HG,且EF=HG,即四边形EFGH是平行四边形， :四边形ABCD是菱形， ∴.AC⊥BD, :EH∥BD,EF∥AC, ∴.EH⊥EF, ∴.平行四边形EFGH是矩形， 故选：B 32/88 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式13-2】(22-23九年级上山西太原·期末)如图，在△ABC中，点M和N分别在边AB和AC上， MB=NC,连接MN,BN,CM,点D,E,F,G分别是MN,BN,BC,CM的中点.求证：四边形DEFG是菱 形 M E G B F 【详解】证明：~点D,E分别是MN,BN的中点， DE是△NMB的中位线， DE∥MB,DE=MB, 同理可得：GF//ME,GF=MB,DG=NC, 21 2 DE∥GF,DE=GF, ∴四边形DEFG是平行四边形， MB=NC, :.DE =DG, 平行四边形DEFG为菱形. 题型十四折叠问题 【典例14-1】(25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·月考)把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的 点B处，点A落在点A处.设AE=2,AB=3,则BT的长为() B B A.5 B.√7 C.3 D.4 【答案】C 【详解】由折叠可知∠B'FE=∠EFB,BF=B'F,A'E=AE=2,AB=AB=3, .B'E=V4E+4B=13, 33/88 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :AD∥BC, .∠B'EF=∠EFB ∴.∠B'EF=∠BFE .B'E B'F =13. 故选：C 【典例14-2】(24-25九年级上·重庆期末)如图，已知正方形ABCD的边长为3，点E是正方形ABCD的 边AD上的一点，点A关于BE的对称点为F,若∠DFC=90°，则EF的长为() A E A.1 B.2 C.1.5 D.3 【答案】A 【详解】解：如图，延长EF交CD于M,连接BM, A E M:四边形ABCD是正方形， ∴.AB=BC,∠A=∠BCD=90°， :点A关于直线BE的对称点为F, ∴.∠BFE=∠BFM=9O°，AB=BF=BC 在Rt△BFM与Rt△BCM中， (BF=BC BM=BM' ∴.Rt△BFM≌Rt△BCM(HL), ∴.MF=MC, 34/88 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .∠MFC=∠MCF, :∠MFC+∠DFM=90°，∠MCF+∠FDM=90°， ∴.∠MFD=∠MDF, ..MD =MF=MC, '正方形ABCD的边长为3， ∴.MF=MC=DM=1.5, 设AE=EF=x, DE2+DM2=EM2, 即(3-x)2+1.52=(x+1.5)2, 解得：x=1, 故答案为：1 【变式14-1】(25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期末)如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4,BC=8,把 纸片沿对角线BD向上折叠，顶点C落在E处，BE交AD于点F,连接CE分别交BD于点O,交AD于点 M,则EF= 【答案】3 【详解】解：设AF=x,则FD=8-x, 由折叠可知，ED=CD=4,∠BED=90°， 在△AFB和△EFD中， [∠AFB=∠EFD ∠FAB=∠FED=90°， AB=ED △AFB≌△EFD(AAS), ..AF EF,BF=DF, 设EF=AF=x,FD=BF=8-X, 35/88 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 在△AFB中，AB2+AF2=BF2, 42+x2=(8-x)2, 解得：x=3, .EF=3. 故答案为：3. 【变式14-2】(24-25九年级上·河南郑州·期末)如图，正方形ABCD的边长是4，点E在边AB上， AE=0.75,点F是边BC上不与点B,C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B处.若△CDB 恰为等腰三角形，则DB的长为 D B B 【答案】4或V5 【详解】解：()如图1所示：当BD=B'C时，过B点作GH∥AD,则∠B'GE=90°， E G 图1 当BC=B'D时，AG=DH=DC=2, .AE=0.75,AB=4, BE=AB-AE=4-0.75=13 由翻折的性质，得BE=BE=13 EG=AG-AE=2-3=5 44 .B'G=B'E2-EG2=3, .BH=GH-B'G=4-3=1, 36/88 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .DB'=VB'H+DH=5: (i)如图2所示：当DB=CD时，则DB'=4; O (ii)当CB'=CD时， B F 图2 .EB=EB',CB=CB', ∴点E、C在BB的垂直平分线上， .EC垂直平分BB, 由折叠可知点F与点C重合，不符合题意，舍去， 综上所述，DB的长为4或√5. 故答案为：4或5. 【变式14-3】(24-25九年级上·广东珠海期末)综合探究 操作一：折叠正方形纸片ABCD,使顶点A落在边DC上点P处，得到折痕EF,把纸片展平（如图1)； 操作二：折叠正方形纸片ABCD,使顶点B也落在边DC上的点P处，得到折痕GH,GH与EF交于点O, 连接OA,OB,OP（如图2)· 图1 图2 图3 备用图 (1)根据以上操作，直接写出图2中与线段OP相等的两条线段： (2)探究发现：把上题图中的纸片展平，得到图3，通过观察发现无论点P在线段DC上任何位置，线段OG 与线段OH始终相等，请你直接用第一问发现的结论写出完整的证明过程； (3)拓展应用：己知正方形纸片ABCD的边长为18cm,在以上探究过程中当点O到AB的距离是7cm时，求 线段PC的长， 【详解】(1)解：如图2，连接AP,BP, 37/88 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 图2 B 折叠正方形纸片ABCD,使顶点A落在边DC上点P处，得到折痕EF, EF垂直平分AP, A0=P0, 折叠正方形纸片ABCD,使顶点B也落在边DC上点P处，得到折痕GH, ∴GH垂直平分BP, ..BO=OP, ∴.AO=OB=OP, 故答案为：AO,OB; (2)证明：如图，过点O作MN⊥BC,交AD于M,交BC于N, M G ~四边形ABCD为正方形， .∠DAB=∠CBA=90°， AD∥BC,MN⊥BC, MN⊥AD, ∠AMO=∠BNO=90°， 0A=OB, .∠OAB=∠OBA, .∠OAM=∠OBN, :△AOM≌△BON(AAS), ∴OM=ON, 又：∠GOM=∠HON,∠GMO=∠HNO=90°， ·.△GMO≌aHNO(ASA), 38/88 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴OG=OH; (3)解：过点O作KQ⊥AB,交AB于Q,交CD于K, P'KP 当点P在点K的右侧时， OA=OB,OQ⊥AB, ..A0=BO=9cm, ~点O到AB距离是7cm, ..00=7cm, ∴0B=VBQ+0g2=v81+49=V130cm, :∠C=∠ABC=∠KQB=90°， :四边形BCKQ是矩形， ..BO=KC=9cm Ko=BC=18cm, .K0=11cm, .'PO=O4=OB =130cm, P=VP02-K02=V130-121=3cm, ∴PC=KC-KP=9-3=6cm; 当点P在点K的左侧时，PC=KC+KP=9+3=12cm, 综上所述：PC=6cm或12cm. 【点睛】本题考查正方形的性质，折叠的性质，轴对称性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性 质，等腰三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键 之题型十五旋转问题 【典例15-1】(24-25九年级上·广东广州·期末)如图，矩形ABCD中，顶点A(0,4),B(-2,0),C(-4,1), 将矩形ABCD绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第100秒旋转结束时，点D的坐标为() 39/88 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B A.（-2,5) B.（2,-5) C.(1,-6) D.(-2,-5) 【答案】B 【详解】解：360°÷45°=8， 每旋转八次一个循环. 100÷8=12余4， ∴第100秒旋转结束时点D的位置，与第4秒旋转结束时点D的位置相同， 连接AC和BD, D ~四边形ABCD是矩形， ∴AC和BD互相平分， 0+(-4)=-2+x2,4+1=0+yD, xD=-2,yD=5, …点D的坐标为(-2,5). 又~45°×4=180°， 第4秒旋转结束时的点D与点(-2,5)关于坐标原点对称， 此时点D的坐标为(2，-5). 即第100秒旋转结束时，点D的坐标为(2，-5). 故选：B 40/88 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【典例15-2】(22-23九年级上·湖北襄阳期末)如图，正方形ABCD中，AB=6,E是边BC的中点，F是 正方形ABCD内一动点，且EF=3,连接EF,DE,DF,并将△DEF绕点D逆时针旋转9O°得到△DMN (点M,N分别为点E,F的对应点)·连接CN,则线段CN长度的最小值为 D F M E 【答案】3√5-3 【详解】解：过点M作MP⊥CD,垂足为P,连接CM, A D B E C 由旋转可得：DE=DM,EF=MN=3,∠EDM=90°， 在正方形ABCD中，AB=6,E为BC中点， CE-BC=3, ∠EDM=90°， .∠EDC+∠CDM=90°，又∠EDC+∠DEC=90°， ∴.∠DEC=∠CDM, 在△EDC和△DMP中， 「∠DCE=∠MPD ∠DEC=∠CDM, DE=DM ∴.△EDC≌△DMP(AAS), ..CD=MP=6,DP=CE=CP=3, 41/88 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴CM=VCP2+PM2=3V5, C,M位置固定， CN+MN≥CM,即CN+3≥3V5, ∴CN≥3√5-3，即CW的最小值为3V5-3, 故答案为：3V5-3. 【变式15-1】(24-25九年级上·重庆忠县·期末)如图，己知点A的坐标为(-4,5)，OA=AB,点B在y轴 的正半轴上，边长为2√5的正方形OCDE绕点O旋转，当D、B、E三点共线时，AC=() D A.5 B.√5或2√5 C.25或85 D.V5或V85 【答案】D 【详解】解：根据题意，分两种情况： 当点D在BE上时，如图，过A作AP⊥y轴于P,过C作CH⊥x轴于H,过E作EF⊥x轴于F, B D H A的坐标为(-4,5)，OA=AB, BP=OP=5,则OB=10, B(0,10), 42/88 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 b 设C(a,b),则直线OC的函数表达式为y=二x, a 四边形OCDE是边长为25的正方形， OC=OE=2N5,OC∥DE,∠COE=90°， ∴∠COH+∠EOF=∠EOF+∠OEF=90°， ∴∠COH=∠OEF,又∠CHO=∠OFE=90°， ·ACHO≌AOFE(AAS), ∴.OF=CH=b,EF=OH=-a, E(b,-a), OC∥DE, 设直线BE的函数表达式为y=x+t, 将E6,-a)代入，得-a-6+t,解得f=-a a a b 直线BE的函数表达式为y=Dx-a-D, a 由题意，点B在直线BE上， g、6 =10,则a2+b2=-10a, a 0C2=a2+b2=(25)=20, ∴a=-2,b=4(负值已舍去)， ….C(-2,4), “AC=V-2+4)+(4-5)2=V5; 当点E在BD上时，如图， B F D 43/88 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 b 设C(a,b),同理可求得直线OC的函数表达式为y=x,E(b,-a),直线BE的函数表达式为 b b2 y=-x-a- a 由题意，点B在直线BE上， -a-6=10,则a+6=-10a, 0C2=a2+b2=(2W5)=20, ∴a=-2,b=-4(正值已舍去)， .C(-2,4), AC=V(-2+4)+(-4-5)}=V85; 综上，AC=5或85， 故选：D, 【变式15-2】(24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末)菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示， ∠AOC=60°，OA=2,把菱形OABC绕点O逆时针旋转，使点A落到y轴上，则旋转后点B的对应点B的 坐标为() A.（5,-3) B.（5,3) c.（5,3或-3，-3 D.（-5,3或(5，-3 【答案】C 【详解】解：如图，过点B作B,E⊥y轴于点E, 44/88 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E B A .∠A,EB1=90°， 0 由旋转的性质可得： ∠A,OC1=∠AOC=60°，OA=OA=2, :四边形OAB,C,是菱形， AB,∥OC1,A,B=OA=2, ∴.∠EAB,=∠AOC1=60°， ∴.∠A,BE=90°-∠EA,B,=90°-60°=30°， 44 4E= 2*2=1, ∴.OE=OA+AE=2+1=3, 在Rt△A,EB,中，根据勾股定理可得： B,E=V4B2-AE2=V22-12=5, ∴点B,的坐标为(5,3， 由题意可得，点A旋转后在y轴正半轴或负半轴，即当点A旋转至y轴的负半轴时所得到的菱形OAB,C,与 点A位于y轴正半轴时得到的菱形OA,B,C1关于原点中心对称， 点B,与点B关于原点对称， ∴点B的坐标为(V3,-3), ∴旋转后点B的对应点B,(或B2)的坐标为(N5,3或(5-3， 故选：C, 【变式15-3】(23-24九年级上广东揭阳·期末)【综合与探究】 问题情境综合实践课上，老师让同学们探究“平面直角坐标系中图形的旋转问题”，如图，在平面直角坐标 45/88 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 系中，四边形AOBC为矩形，点A(5,0)在x轴上，点B(0,3)在y轴上.操作发现：以点A为中心，顺时针 旋转矩形AOBC,得到矩形ADEF,点O,B,C的对应点分别为D,E,F. (1)如图①，当点D落在BC边上时，求D点的坐标； 【继续探究】 (2)如图②，当点D落在线段BE上时，AD与BC交于点H, ①求证：△ADB≌△AOB; ②求点H的坐标. 【拓展探究】 (3)如图①，点M是x轴上任意一点，点N是平面内任意一点，是否存在点N,使以A、D、M、N为顶 点的四边形是菱形？若存在，直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由 刀 D B 图① 图② 【详解】(1)解：A(5,0),B(0,3),四边形AOBC为矩形， ∴.OA=BC=5,OB=AC=3,∠C=90°， ~顺时针旋转矩形AOBC,得到矩形ADEF, ..AD=AO=5, 根据勾股定理可得：CD=√AD-AC=4, ∴.BD=BC-CD=1, .D(1,3); B 0 A (2)①~顺时针旋转矩形AOBC,得到矩形ADEF, .AO=AD,∠AOB=∠ADE=90°， .∠ADB=180°-∠ADE=90°， 46/88 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 在Rt△AOB和Rt△ADB中， 「AB=AB AO=AD' :.Rt△AOB≌Rt△ADB(HL); ②r△ADB≌△AOB, BD=OB=AC, 在△BDH和△ACH中， ∠BHD=∠AHC ∠C=∠BDH, BD=AC ·△BDH≌△ACH(AAS), ..BH =AH, 设BH=AH=x,则CH=5-x, 在Rt△ACH中，根据勾股定理可得：CH+AC2=AH, 即(5-x)+32=x2, 解得：x= 5 即BH=17 y D 0 (3)使以A、D、M、N为顶点的四边形是菱形， ∴使以A、D、M为顶点的三角形是等腰三角形， 设M(m,0),N(a,b), A(5,0),D(1,3), AD2=(5-1)°+(3-0)=25， 47/88 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AM2=(5-m)+(0-0)°=25-10m+m2, DM2=(1-m)2+32=10-2m+m2, ①当AD=AM时，AD2=AM2, .25-10m+m2=25, 解得：m1=10,m2=0, M(10,0)或M(0,0), [5+a_1+10 5+a_1+0 2 2 或 22 0+b_0+3 0+b0+3 2 22 a=6 a=-4 解得： 6-9或6=3 N(6,3)或N(4,3)； ②当AD=DM时，AD=DM, 10-2m+m2=25, 解得：m,=-3,m2=5(舍去)， M(-3,0), [5+(-3)1+a 2 2 0+03+b 22 a=1 解得： b=-3' N(1,-3); ③当AM=DM时，AM?=DM, 25-10m+m2=10-2m+m2, 解得：m=15 8 48/88 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 15 +a 5+1_8 2 2, 0+30+b 2 2 33 解得： 8, b=3 综上：N6或N4到成NL-到或N( ☑题型十六最值问题 【典例16-1】(24-25九年级上贵州安顺期末)如图，在菱形ABCD中，AB=12,∠B=60°，点E、F、G、H 1 分别是边AB、BC、CD、D1中点，在直线G上方有一动点P,且满足SAg=。Sam,则△ADP周 长的最小值为 【答案】2v43+12 【详解】解：如图，连接AC、BD交于O, ~点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA中点， B G H M EH、FG为△ABD△CBD的中位线， AEH=FG=BD,EH∥BD,BD∥FG, 2 四边形EFGH为平行四边形， 49/88 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ~四边形ABCD为菱形， ..AC L BD, EF⊥FG, :四边形EFGH为矩形， 在o上方作直线I∥G,且1到G的距高为F,即NHEF, SAPRG= 6 点P在直线1上， 如上图，作点A关于直线I的对称点M,连接MD,交直线1于点P,AC交直线I于点N,AC交AC于点 H, 由对称性可知：PA=PM, ∴PA+PD=PM+PD, 根据两点之间线段最短可得：当点M、P、D三点共线时，PA+PD最短为MD长， △ADP周长的最小， AB=BC,∠B=60°， ∴△ABC为等边三角形， .AC=12, 1 .OA=OC=二AC=6, 由勾股定理得：OD=VAD2-OA=V122-62=6v3, :E、F分别为AB、BC中点， 8脏-8s-号4B-6, ∠B=60°， “△BEF为等边三角形， EF=6, w6=2, .ON=3-2=1, .AN=N=OA+ON=6+1=7, .MO=N+ON=7+1=8, 50/88 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 MD=OD+Mo=6N3)+8=243, △ADP周长的最小值为2√43+12， 故答案为：2√43+12 【典例16-2】(22-23九年级上陕西西安期末)如图，E,F是菱形ABCD的边AB,AD的中点，P是菱 形的对角线BD上的动点，若DB=10,AC=24,则PE+PF的最小值是· A E B 【答案】13 【详解】解：作E点关于BD的对称点G,连接FG交BD于点P,连接EP, A E B ∴.EP=GP, ∴.EP+FP=PG+PF≥FG, 当F、P、G三点共线时，EP+FP有最小值，最小值为GF, :四边形ABCD是菱形， BD是菱形的一条对称轴， :E是AB的中点， 51/88 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴G点是BC的中点， .EG=1 .AC=24, ∴.EG=12, 连接EF,:F是AD的中点，BD=10, :FD=5, 在Rt△EFG中，GF=VEF2+EG=13, PF+PE的最小值为13， 故答案为：13. 【变式16-1】(24-25九年级上·浙江金华·期末)如图，正方形ABCD的边长为4，点P是BC边上的动点， 连结DP,作DP的中垂线交BD于点Q,则BQ的最大值为() A.8-4V2 B.8V2-8 C.22 D.4 【答案】B 【详解】解：~正方形ABCD的边长为4， ∴∠DBC=45°，BD=VAB2+DA2=4V5, 如图：过Q作QE⊥BC于E,设BE=OE=x,BP=y(x<4,y<4)，则BQ=2x,D0=4V2-V2x, EP=y-x ~DP的中垂线交BD, ∴PQ=DQ=4v2-V2x, P0=0E2+PC2, 32-y2 4N2-2✉=x+0-x刘，整理得：x=28 设8-y=t,则y=8-t, 52/88 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 32-8=0-32-+16t8- 2t 2t ∴BE的最大值为8-4vV2, :BQ的最大值为2BE=V2(8-42)=8V2-8. D B EP 故选B. 【变式16-2】(24-25九年级上·广东佛山期末)如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，F、E分别是 AD、CD上的动点，满足AF+CE=AB,若AB=6,则△BEF周长的最小值为() D E B A.6w3 B.9v5 C.12 D.18 【答案】B 【详解】解：如图：连接BD D EE A ~四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=AD=6,∠DAB=∠C=60°， ∴.△ABD,△BDC都是等边三角形， .∠BDF=∠C=∠DBC=6O°，BD=BC, AF+CE=AB=AD=AF+FD, ..DF =CE, 在△BDF和△BCE中， 53/88 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 BD=BC ∠BDF=∠C, DF=CE .△BDF≌△BCE(SAS), .BE=BF,∠DBF=∠CBE, .∠EBF=∠DBC=60°， ∴△BEF是等边三角形， 根据垂线段最短可知，当BE⊥DC时，BE的长最短， 如图：过B作BE,⊥DC垂足为E1, ×∠C=90°， .∠E,BC=30°， “Ec= BC=3, 2 ∴BE,=VBC2+CE2=3V5,即BE的最小值为33， △BEF周长的最小值为3BE=9V5. 故选B, 【变式16-3】(24-25九年级上·陕西西安·期末)如图，在矩形ABCD中，AB=8,AD=15,点E在对角 线BD上，点F、G分别在边BC、CD上，且EF=FG,∠ABD+∠EFG=18O°，则四边形DEFG周长的最 小值为一· A D E B 【答案】25.6 【详解】解：如图，过点F作FH⊥BD于H,则∠EHF=∠DHF=90°， D 54/88 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ~四边形ABCD是矩形， ∠C=90°，AD∥BC,DC=AB=8,BC=AD=15, ∠BDC=∠ABD, ∠ABD+∠EFG=180°， .∠BDC+∠EFG=180°， ∠HEF+∠DGF=180°， .∠CGF+∠DGF=180°， .∠HEF=∠CGF, 又~∠EHF=∠C=90°，EF=FG, △EFH≌AGFC(AAS), ∴FH=FC,HE=CG, 在Rt△DHF和Rt△DCF中， (DF =DF FH=FC' .RtADHF≌Rt△DCF(HL), ..DH DC, ..DE+DG=DH+HE+DC-CG=DC+CG+DC-CG=2DC=16, :四边形DEFG的周长=DE+DG+EF+FG=16+2EF, 当EF⊥BD时，EF取最小值，此时四边形DEFG的周长，如图，此时点G与点C重合， D B CG 在Rt△BCD中，BD=VBC2+CD2=V152+82=17, S。BcD=SBDr+S.cpF, 、-一B之+ CDFG, EF =FG, 55/88 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1 二x15×8=二×17×EF+二×8×EF, 解得EF=4.8, ∴四边形DEFG周长的最小值=16+2×4.8=25.6， 故答案为：25.6. 题型十七多结论综合判断题 【典例17-1】(24-25九年级上·四川达州·期末)如图，在正方形ABCD中，G为对角线AC上一点，连接 BG、DG,E是边AB上一点，连接EG交BC的延长线上于点F,且满足AE=CF,下列结论： ①EG=GF;②EF=2BG;③DG⊥EF;④AG=CG+√2CF;其中正确的结论有() D B F A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】D 【详解】解：过点E作EH⊥AB,交AC于点H, ,四边形ABCD是正方形， :4AB1BC,∠BAC=∠BAD=45°， 2 .·△AEH是等腰直角三角形， .∴.AE=EH, AE=CF, ∴.EH=CF, AB⊥BC,EH⊥AB, .EH∥CF, ∴.∠HEG=∠CFG,∠EHG=∠FCG, .·△HEG兰△CFG(ASA), ∴.EG=GF, 故①正确； 56/88 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :四边形ABCD是正方形， ∴.∠ABC=90°， .EG=GF, ..EF =2BG, 故②正确； 连结DE,DF, :四边形ABCD是正方形， ∠DAE=∠DCF=90°，DA=DC, .AE=CF, ∴.△DAE≌△DCF(SAS), .DE=DF, .EG=GF, .DG⊥EF, 故③正确； 在Rt△AEH中，AE=EH, AH=VAE2+EH?=√2EH, EH =CF ..AH=2CF, :'△HEG兰△CFG, ∴.GH=CG, ∴.AG=GH+AH=CG+V2CF, 故④正确； 正确的结论有4个. 故选：D. 57/88 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 H G B 【典例17-2】(24-25九年级上·陕西西安期末)如图，在正方形ABCD中，点M,N为边BC和CD上的动 点（不含端点），∠MAN=45°，△ADE是△ABM旋转90°得到的.下列四个结论：①当MN=V2MC时， 则∠BAM=22.5°；②∠AND+∠MNC=90°；③若如图位置测得DN=3,BM=5,则△ABM的面积为40； ④△MNC的周长不变，其中正确结论的序号是· B M D N 【答案】①④ 【详解】解：①正方形ABCD中，∠C=90°， .MN2 =MC2+NC2, 当MN=V2MC时，MN2=2MC2, ∴MC2=NC2, ∴MC=NC, ..BM DN, AD=AB,∠ADN=∠ABM=90°， △ABM≌△ADN(SAS), ∴.∠BAM=∠DAN, ∠MAN=45°， ∠BAM=22.5°，故①正确； ②如图， 58/88 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B M E D N 将△ABM绕点A顺时针旋转90°得△ADE, 则∠EAN=∠EAM-∠MAN=90°-45°=45°， 在△EAN和△MAN中，AE=AM,∠EAN=∠MAN,AN=AN, △EAN≌△MAN(SAS), ∠AND=∠ANM, :∠AND+∠ANM+∠MNC=180°， .2∠AND+∠MNC=180°， ∠AND+】∠NC=90°，故②错误； 2 ③设正方形的边长为a,则CN=a-3,CM=a-5, 根据③可知，MN=BM+DN=3+5=8, MN2 CM2+CN2, 即82=(a-3)+(a-5), 解得：a-8±64+60_8±124-4士v5, 2 2 x>0, ∴a=4+v31, 8m1×B-号56-可)=105,0，放③错关。 2 ④r△EAN≌△MAN, ∴MN=EN=DE+DN=BM+DN, :△MNC的周长为：MC+NC+MN=MC+BM+NC+DN=DC+BC, ~DC和BC均为正方形ABCD的边长，故△MNC的周长不变，故④正确； 综上①④都正确， 故答案为：①④. 【变式17-1】(24-25九年级上吉林长春期末)如图，已知四边形ABCD为正方形.AB=2、2,E为对角 59/88 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 线AC上一点，连接DE,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG, 连接CG,下列结论：①BE=EF;②矩形DEFG是正方形；③CG=AE;④CG平分∠DCF,其中结论 正确的序号有() A.①③④ B.①②④ C.①②③ D.①②③④ 【答案】D 【详解】解：连接BD,作EH⊥CB于点H,EL⊥CD于点L,则∠EHF=∠ELD=∠ELC=90°， E B H ~四边形ABCD是正方形， ∠BCD=90°，CB=CD=AD,AC垂直平分BD, E为AC上一点， ..BE =ED, ,CB=CD,CA⊥BD, .CA平分∠BCD, :.EH EL, EF⊥DE, .∠DEF=90°， ∠HEL=180°-∠EHF-∠BCD-∠ELC=90°， ∴.∠HEF=∠LED=90°-∠FEL, 在△HEF和△LED中， 「∠HEF=∠LED EH=EL ∠EHF=∠ELD DU/58 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 △HEF≌△LED(ASA), ..EF =ED, ..BE =EF, 故①正确； ~四边形DEFG是矩形，EF=ED, :四边形DEFG是正方形，故②正确； ∴.∠EDG=∠ADC=90°，GD=ED=BE=EF, ∠CDG=∠ADE=90°-∠CDE, 在△CDG和△ADE中， CD=AD ∠CDG=∠ADE, GD=ED △CDG≌△ADE(SAS), ∴.CG=AE,∠DCE=∠DAE=45°，故③正确； ∠DCG=∠DAE=45°， DCF=90°， .∠FCG=∠DCG=45°， CG平分∠DCF, 故④正确 故选：D. 【变式17-2】(24-25九年级上·四川宜宾期末)如图，正方形ABCD的边长为2，点F为BC边上一点，连 接DF,交AC于点M,且CM=CF,AE平分∠CAD,交DF于点G,交DC于点E,P是线段AG上的 一个动点，过点P作PN⊥AC,垂足为N,连接PM,有下列四个结论：①DG=MG; 兰，国PM+PV的最小值为.共中正确的有一（填写正确结论 ②S边形w=6-3V2;③SD02=V2 的序号)· 61/88 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B 【答案】①②③ 【详解】解：~四边形ABCD是正方形， AD∥BC,AD=AB=BC=2,∠B=90°，∠BCA=45°， .∠ADF=∠CFD, .CM =CF, .∠CMF=∠CFD, :∠CMF=∠AMD ∠AMD=∠ADF, :AE平分∠CAD, MAG=∠DAG, AG=AG, ∴.△MAG≌△DAG, ..DG=MG, 故①正确的； ,△MAG≌△DAG, ∴MA=DA=2, 在Rt△ABC中，AC=VAB+BC2=2N5, ∴.CF=CM=2N2-2, 过点M作MW⊥BC,如图所示： 62/88 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B FW ∠BCA=45°， .∠WIMC=45° ∴WIM=CW 在Rt△ABC中，MC2=M+CWw2=(22-2, 解得mM=CW=2-V2, 则S四边形ABFM=SABC-SFMC =2x2×号5-2小列月 =6-35, 故②正确的； ~四边形ABCD是正方形， AD=DC=BC,∠ADC=∠DCB=90°， .△MAG≌△DAG, .∠AGD=∠AGM=90°， 则∠CDF+∠DFC=90°=∠AED+∠CDF, ∠DFC=∠AED, ·△ADE≌△DCF(AAS), ∴DE=CF=2N2-2, 故CE=2-（2N2-2=4-2V2, 1 ∴ScR=2 FCx DC=2V2-2, S△ABC= DxCE=4-2: 2 63/88 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 S2c=2N2-2V2 S△ABc 4-2V221 故③正确的； .△MAG≌△DAG, ∴.MG=DG,∠AGD=∠AGM=90°， 连接DP, AE是MD的垂直平分线， ..PM=PD, ∴PM+PN=PD+PN, ~P是线段AG上的一个动点，过点P作PN⊥AC,垂足为N, 当D,P,N这三点共线时，则PM+PN最小， 此时DN,⊥AC, CDM.4DxDC .AC×DN1=ADx DC 则2V2×DN,=2×2 ..DN,=2 故PM+PN=DN,=V2 ∴PM+PN的最小值为v2. 故④是错误的， 故答案为：①②③. 【变式17-3】(23-24九年级上山东青岛期末)如图，四边形ABCD是边长为4cm的正方形，点E在边CD 上，DE=lCm,作EF∥BC,分别交AC,AB于点G、F,M,N分别是AG,BE的中点，则下列5个结 论中：①点R、N、C共线：②MN=cm;③4C⊥BE;④aMC的面积为；⑤∠△MEB=45°，正确 2 的是，（填写所有正确结论的序号）· 64/88 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A D M G 【答案】①②④⑤ 【详解】解：连接FM,FC, 四边形ABCD是正方形，EF∥BC, .四边形BCEF是矩形 N是BE的中点，FC为矩形BCEF的对角线， ∴点F、N、C共线；故①正确； ∠BAC=45°， “△AFG为等腰直角三角形， M是AG的中点， ..AM=MG, FM⊥AG, ∴.△FMC是直角三角形， N是BE的中点，四边形BCEF是矩形， 点N在CF上，且是CF的中点， w.irc. .DE=1,BC=DC=4, CE=3, BE=FC=BC2+CE2=32+4=5, MN=FC=cm;故②正确； 5 2 2 连接BD, ~四边形ABCD是正方形， AC⊥BD, AC⊥BE错误，故③错误； 65/88 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ~四边形ABCD是正方形， .∠BAC=45°， FM⊥AG,AF=DE=1, ·.∠BAC=∠AFM=45°， AM=FM= CM=4AC-AM=4+4-27V2 22 找CM的中点H,连接NH, .NH=1EM= ,NH∥FM, 2 4 NH⊥AC, ∴S.CMN= CMH=x5×75-?,故④正确， 242-8 连接BM, 在△ABM与△FEM中， AB=FE ∠BAM=∠EFM=45°， AM=FM .△ABM≌△FEM(SAS), ∴MB=ME, 由①得点N为矩形FBCE对角线的交点， ∴点N为等腰三角形MBE底边BE的中点， MN⊥BE, MN=CN=1BE=NE, ∠MEB=45°，故⑤正确； A D M G F E N 综上可得：正确的有①②④⑤， 66/88 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 故答案为：①②④⑤. 过·分层验收 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1.(24-25九年级上·四川成都期末)在下列条件中选取一个作为增加条件，能使口ABCD成为菱形的是 () A.AC=BD B.AB=DC C.AC LBD D.AD∥BC 【答案】C 【详解】解：AC=BD,可判断口ABCD是矩形，不能判断口ABCD是菱形，故选项A错误，不符合题意； AB=DC,是口ABCD已具有的性质，不能判断口ABCD是菱形，故选项B错误，不符合题意； AC⊥BD对角线互相垂直，可知判断口ABCD是菱形，故选项C正确，符合题意； AD∥BC,是口ABCD已具有的性质，不能判断口ABCD是菱形，故选项D错误，不符合题意； 2.(24-25九年级上·陕西咸阳·期末)如图，在四边形ABCD中，AB=CD,AD=BC,连接AC、BD,AC 与BD交于点O,若OA=OD=5,AB=6,则四边形ABCD的面积为() D B A.24 B.36 C.48 D.60 【答案】C 【详解】解：在四边形ABCD中，AB=CD,AD=BC, 四边形ABCD是平行四边形， .AC=2AO=10,BD=2OD=10, ..AC=BD, 四边形ABCD是矩形， ∠ABC=90°， “BC=VAC2-AB2=8, b//ǒ8 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 矩形ABCD的面积为6×8=48， 故选：C 3,(22-23九年级上山西晋中.期末)如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,添加下列条 件，能使菱形ABCD成为正方形的是() B A.AC=BD B.AC⊥BD C.AD=AB D.AC平分∠DAB 【答案】A 【详解】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，(1)有一个内角是直角，(2)对 角线相等， 即∠ABC=90°或AC=BD. 故选：A 4,(23-24九年级上辽宁朝阳·期末)如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E,使DE=AD,连 接EB,EC,DB,添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是() A.BE⊥AB B.CE⊥DE C.∠ADB=90° D.AB=BE 【答案】A 【详解】解：~四边形ABCD是平行四边形， ..AB=CD,AD=BC,AB II CD,AD I BC, 延长AD到E,使DE=AD, ·DE IBC,DE=BC, :.四边形DBCE是平行四边形， 当添加BE⊥AB时，则有∠ABE=90°，设CD,BE交于点F,如图所示， 68/88 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B AB IICD, .∠DFE=∠ABE=90°， CD⊥BE, ~四边形DBCE是平行四边形， :平行四边形DBCE是菱形，故A选项不能使四边形DBCE成为矩形，符合题意； 当添加CE⊥DE时，则∠CED=90°， ~四边形DBCE是平行四边形， :平行四边形DBCE是矩形，故B选项能使四边形DBCE成为矩形，不符合题意； 当添加∠ADB=90°时，则有∠BDE=90°， ~四边形DBCE是平行四边形， 平行四边形DBCE是矩形，故C选项能使四边形DBCE成为矩形，不符合题意； 当添加AB=BE时， DE =AD, 点D是AE中点， BD⊥AE,则∠BDA=∠BDE=90°， 四边形DBCE是平行四边形， :平行四边形DBCE是矩形，故D选项能使四边形DBCE成为矩形，不符合题意； 故选：A, 5.（24-25九年级上·广东清远期末)矩形各边中点构成的四边形是 【答案】菱形 【详解】解：如图，矩形ABCD,取出各边中点为E,F,G,H,连接AC、BD, H G,矩形ABCD, B 69/88 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴.AC=BD, 在△ABD中，E,H分别为AB,AD的中点， 2.EH=BD, 21 同理可得， EF=号AC,FG-BD,GH= AC, 2 .EF=FG=GH=EH, ∴.四边形EFGH是菱形， ∴矩形各边中点构成的四边形是菱形 故答案为：菱形. 6.(24-25九年级上·广西河池期末)如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE,将△BCE绕 点C顺时针方向旋转90°得到△DCF,连接EF,若∠BEC=7O°，则∠EFD的度数为· A D 【答案】25° 【详解】~△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF, :∠BEC=∠DFC=70°，∠ECF=∠BCE=90°，CF=CE. ∠ErC=∠PEc=080-∠BCF)-3I80r-90°)=45， ∠BEC=70°， ∠EFD=∠DFC-∠EFC=70°-45°=25°， 故答案为：25°. 7.(24-25九年级上·甘肃兰州期末)如图，在平面直角坐标系中，边长为17的菱形ABCD的位置如图所示， 若AC=16,求点B的坐标. A A 70/88 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【答案】B(-15,0) 【详解】解：~四边形ABCD是菱形，边长为17，AC=16, 04AC=8,AB7,A0B=90 ∴0B=VAB2-0A3=V172-82=15, B(-15,0) 8,(24-25九年级上·广东佛山期末)如图，把两个全等的矩形ABCD和矩形FGCE拼成如图所示的图案， 判断△ACF的形状并说明理由. D B 【详解】解：△ACF是等腰直角三角形 理由：矩形ABCD与矩形FGCE全等， AB=CE,BC=EF,∠B=∠E=90° ∴△ABC≌△CEF, ∴.AC=CF,∠CAB=∠FCE ∠B=90°， .∠CAB+∠ACB=90°， ∴.∠FCE+∠ACB=90° .∠ACF=90°， ∴.△ACF是等腰直角三角形， 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1.(23-24九年级上·江苏无锡期末)正方形ABCD,BEFG如图放置，AB=6,AG,CE相交于点P,Q 为AD边上一点，且DQ:AQ=1:2,则P的最大值为() 71/88 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B A.3V2+3 B.3v2+V10 C.7 D.53 【答案】B 【详解】解：如图，连接AC,取AC的中点O,连接O2,延长AD至E,使DE=2,连接CE,OP, D D B ~四边形ABCD、BEFG是正方形，AB=6, AD=CD=AB=BC=6,BG=BE,∠ADC=∠ABC=∠CBE=90°， AC=V2AD=6√5， D0:AQ=1:2, D0=4D=2,4Q=24D=4, 1 3 3 QE=DQ+DE=2+2=4, AQ=QE,即Q是AE的中点， 又点O是AC的中点， 1 ∴O0=5CE, 2 ∠CDE=90°， ∴CE=VCD2+DE2=V6+22=210, 00=,cE=0, 2 AB=BC 在△ABG和△CBE中， ∠ABC=∠CBE=90°， BG=BE 1∠/68 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 △ABG≌△CBE(SAS), ∴.∠BAG=∠BCE, ∠BCE+∠CEB=90°， .∠BAG+∠CEB=90°， ∴.∠APC=∠BAG+∠CEB=90°， 点O是AC的中点， :0P=14C=32, 2 在△OPQ中，PQ≤OP+OQ=3N2+10, ∴PQ的最大值为3√2+V10, 故选：B. 2.(24-25九年级上·吉林期末)如图，在平直角坐标系中，点A的坐标为0,2)，点C的坐标为1,0).以 OA,OC为边作矩形OABC,若将矩形OABC绕点O逆时针旋转90°，得到矩形OA'B'C',则点B的坐标 为 A B A C 【答案】（-2,1) 【详解】解：点A的坐标为(0,2)，点C的坐标为(1,0)， .OA=2,0C=1, ~四边形OABC是矩形， AB=OC=1,OA=BC=2,∠OAB=∠ABC=∠BC0=90°， 将矩形OABC绕点O逆时针旋转，得到矩形OA'B'C',点B在第二象限， A'B=AB=1,B'C'=BC=2,∠OAB=∠AB'C'=∠B'C'O=90°， ∴点B的坐标为(-2,1)， 故答案为：（-2,1). 73/88 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.(24-25九年级上·新疆哈密期末)如图，在正方形ABCD中，AB=4,BE=3,将线段BE绕点E顺时针 旋转至线段EF,将线段DF绕点D逆时针旋转90°得到线段DG,连接CG,则线段CG长的最小值 为】 【答案】2 【详解】解：连接DE,将DE绕点D逆时针旋转90°得DM,连接MG,CM,作MH⊥CD于H, D --M 由旋转可得：BE=EF=3,DE=DM,∠GDF=∠EDM=90°， .∠EDF=∠GDM,EC=BC-BE=1, .DG=DF,DE =GM, △FDE≌aGDM(SAS), ..EF=MG=3, ·∠EDC=∠DMH,∠DCE=∠DHM,DE=DM, aDEC≌AMDH(AAS), ∴EC=DH=l,MH=CD=4, .CH=3, CM=MH2+CH2=16+9=5, CG≥CM-MG=5-3=2, ∴CG的最小值为2， 故答案为：2. 4.(24-25九年级上·四川成都·期末)如图，在正方形ABCD中，AB=2√2，对角线AC、BD交于点O, 点E是OA的中点，点F是BD上的动点，连接AF，将AF绕点A顺时针旋转90°得到AG,连接EG,则 AF+EG的最小值为， 74/88 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【答案】√7 【详解】解：如图，连接BG,过A作AM⊥AC,交BG延长线于点M,则∠OAM=90°， M G到 由旋转性质可知：GA=FA,∠GAF=90°， ~四边形ABCD是正方形， AB=AD,∠BAD=∠GAF=90°，∠ABD=∠ADB=∠BAO=∠OAD=45°， ∠BAG+∠BAF=∠DAF+∠BAF=90°， ∴∠BAG=∠DAF, 在△BAG和△DAF中， 「GA=FA ∠BAG=∠DAF, BA=DA .△BAG≌△DAF(SAS), ∠ABG=∠ADF=45°，∠AGB=∠AFD, .∠OBM=90°， 四边形AOBM是矩形， ∠AMG=∠AOF=∠OBM=90°， ∴，BM⊥BD, 75/88 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠AGB+∠AGM=∠AFD+∠AFO, .∠AGM=∠AFO, 在△AGM和△AFO中， ∠AMG=∠AOF=90° ∠AGM=∠AFO GA-FA :△AGM≌△AFO(AAS), ..AM=A0, ∴点M在BG上运动，四边形AOBM是正方形， 在正方形ABCD中，AB=2N2, ∴OA=OB, ∴由勾股定理得：OA=OB=2, 作E作BM的对称点N,连接GN、NE, .GN=GE,NE=2AM=20B=4, ~AF+EG=AG+GN≥AN, :当A、G、E三点共线时，AF+EG=AG+GN=AN, 如图， M G ∴.∠AMH=∠MHE=∠MAE=90°， 四边形AMHE是矩形， .∠AEH=90°， ~点E是OA的中点， AE=OE=二OA=1, ∴由勾股定理得：AN=VAE2+NE2=V1+42=17, 76/88 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AF+EG的最小值为√17， 故答案为：√7. 5. (25-26九年级上·广东揭阳·期末)如图，在矩形ABCD中，点F是边CD的中点，点E是边BC上一动 点，连接EF,将△ECF沿EF折叠使点C落到点C'处，连接AC',在EF上任取一点G,连接AG,CG, 若AB=6,AD=8,则△ACG周长的最小值为· E B 【答案】7+√3/√73+7 【知识点】三角形三边关系的应用、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、折叠问题 【分析】本题考查了图形的折叠性质，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的定理，三角形三边关 系及动态几何中的最值问题.先利用折叠性质，转化周长表达式，再根据两点之间线段最短的定理分析出 AG+CG的最小值，进而利用三角形三边关系分析AC'的最小值，最终计算出△ACG周长的最小值 【详解】解：如图，当点E固定时，连接AC交EF于点G,连接CG,AF,此时△ACG的周长最小，最 小值为AC'+AG+CG, E 由折叠的性质知C'G=CG, ~四边形ABCD为矩形， ∠D=90°，AD=BC=8,AB=CD=6, 在Rt△ADC中，AC=VAD2+DC2=10, ∴.C△ACG=AC+AC'=10+AC', 当AC'最小时，△ACG的周长最小， 77/88 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .FD=FC=FC=3, 在Rt△ADF中，AF=NFD2+AD=√73， AC'≥AF-FC'=V73-3, AC'的最小值为V73-3, .C△4cG=AC+AC'=10+V73-3=7+V73. 故答案为：7+V73 6.(24-25九年级上·广东茂名·期末)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,BD是对角线. B (I)用尺规完成以下基本作图：作线段BD的垂直平分线EF,EF分别交BD,AD,BC于点O,E,F,连接 BE,DF.(只保留作图痕迹) (2)在（1)问所作的图形中，求证：四边形BFDE为菱形. 【详解】(1)解：如图，EF为所求作的线段BD的垂直平分线； E A B (2)证明：~EF垂直平分BD, DO=BO,EF⊥BD, AD∥BC, ∴.∠EDO=∠FBO, 在△EDO和△FBO中， '∠EDO=∠FBO DO-BO ∠EOD=∠FOB △EDO=△FBO(ASA), ∴.OE=OF, 78/88 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .DO=BO, :四边形BFDE为平行四边形， EF⊥BD, ∴四边形BFDE为菱形（对角线垂直的平行四边形为菱形） 7.(24-25九年级上·广东清远·期末)如图，在菱形ABCD中，DAB=30°，AB=6. O (I)实践操作：用尺规作图法过点B作CD边上的高BE：(保留作图痕迹，不要求写作法》 (②)应用与证明：在(I)的条件下，在线段BA上截取线段BF,使BF=DE,连接DF,求证四边形DFBE 是矩形，并求出它的周长 【详解】(1)解：如图，BE即为所求. D (2)证明：~四边形ABCD为菱形， AD=AB=6,AB∥CD, BF=DE, 四边形DFBE是平行四边形. BE为CD边上的高， ∠BED=90°， 四边形DFBE是矩形. .BE=DF,∠BFD=90°， ∴.∠AFD=90° ∠DAB=30°， .DF=AD=3.AF-D-3 2 2 ∴BF=AB-AF=6-3V3, :矩形DFBE的周长为2(DF+BF)=2×3+6-3v3=18-6v5 79/88 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1,(22-23九年级上·广东清远·期末)如图，四边形ABCD与四边形CEFG均是正方形，连接BG、DE, 相交与点M.下列结论：①△BCG≌△DCE;②∠CDE=∠CBG;③∠DMB=90°；④连接MC,MC平 分∠BME,正确的有() D A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④ 【答案】D 【详解】如图，作CK⊥BG,CN⊥DE,连接MC, ,四边形ABCD与四边形CEFG均是正方形， .BC=CD,CG=CE,∠BCD=∠ECG=90° ∴.∠BCD+∠DCG=∠ECG+∠DCG, 即，∠BCG=∠ECD, BC=CD :{∠BCG=∠ECD, CG=CE ∴.△BCG≌aDCE(SAS), ∴.∠CDE=∠CBG,BG=DE, 在△BOH与△DMH中， '∠CDE=∠CBG,∠BHC=∠DHM, .∠DMB=∠BCD=90°， 80/88 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .△BCG≌△DCE, .S.aca=S.DCE 即，1BGCK=DE.CN 2 .BG=DE ∴.CK=CN ∴点C在∠BME的平分线上， 即，MC平分∠BME 所以①②③④均正确， 故选：D, 2.(22-23九年级上·陕西西安期末)在锐角三角形ABC中，AH是BC边上的高，分别以AB、AC为一边， 向外作正方形ABDE和ACFG,连接CE、BG和EG,EG与HA的延长线交于点M,下列结论： ①BG=CE;②BG⊥CE;③∠EAM=∠ABC;④AM是△AEG的中线，其中结论正确的是() M D B A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④ 【答案】D 【详解】解：在正方形ABDE和ACFG中，AB=AE,AC=AG,∠BAE=∠CAG=90°， ∠BAE+∠BAC=∠CAG+∠BAC, 即∠CAE=∠BAG, 在△ABG和△AEC中， AB=AE ∠CAE=∠BAG, AC=AG .△ABG≌△AEC(SAS), ∴BG=CE,故①正确； 81/88 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 设BG、CE相交于点N, :△ABG≌△AEC, .∠ACE=∠AGB, :'∠NCF+∠NGF=∠ACF+∠AGF=90°+90°=180°， ·∠CNG=360°-（∠NCF+∠NGF+∠F)=360°-(180°+90）=90°， BG⊥CE,故②正确； 过点E作EP⊥HA的延长线于P,过点G作GQ⊥AM于Q, D O AH⊥BC, .∠ABH+∠BAH=90°， ∠BAE=90°， .∠EAP+∠BAH=180°-90°=90°， .∠ABH=∠EAP, 在△ABH和△EAP中， ∠ABH=∠EAP ∠AHB=∠P=90°， AB=AE △ABH≌△EAP(AAS), ∴.∠EAM=∠ABC,EP=AH, 故③正确， 同理可得GQ=AH, :.EP=GO, 在△EPM和△GQM中， 82/88 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 '∠P=∠MQG=90° ∠EMP=∠GMQ, EP=GO ·△EPM≌aGQM(AAS), ∴.EM=GM, AM是△AEG的中线，故④正确 综上所述，①②③④结论都正确. 故选：D, 3.(24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=3,点D, E分别是边AB,AC的中点，连接DE,将△ADE绕点D按顺时针方向旋转C(0°<≤90°)，点A,E 的对应点分别为点G,F,直线GF与AC交于点P,当GF与△ABC的一边平行时，CP的长为· D 【答案】3V5-3或35-3 2 【详解】解：在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，∠A=30°，BC=3, AB=2BC=6,由勾股定理得：AC=3V5, ,DE为△ABC的中位线， DE I BC.DE=BC=3 2’AD=BD=3, 分两种情况讨论： ①当GF∥AB时，如图所示，设GD与AC交于点M, A .·GF∥AB, ∴.∠DGP=∠ADG,∠MPG=∠A=30°， 83/88 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 由旋转得，∠A=∠DGP=30°，DG=AD=3, .∠ADG=∠A,MPG=∠DGP, ∴.AM=DM,PM=GM, AP=AM+PM,DG=DM+GM, .AP=DG=3, ∴.CP=AC-AP=3V3-3; ②当GF∥BC时，如图所示，设GF与AB交于点N, ∴.∠ANP=∠B,∠APN=∠C=90°， ∴.∠A+∠ANP=90°， 由旋转得∠A=∠DGN=30°，AD=DG=3,FD=ED=1BC=3, 2 G4C-2333 2 21 则∠ANP+∠DGP=90°，即DG⊥AB, 此时x=90°， :DF⊥GF,DE⊥CE,∠APN=90°， ∴四边形DFPE是矩形， PE=DF=DE-3 ∴CP=CE-PE= 3V3-3 2 故答案为35-3或3V5-3 2 4.(25-26九年级上·全国期末)在矩形ABCD中，AB=6,BC=9,E为矩形ABCD一边的中点，∠ABE 的平分线交边AD于点F,则AF的长为 【答案】6或2或2V10-2 【详解】解：在矩形ABCD中，AB=6,BC=9,∠A=∠ABC=∠C=∠D=90°， 设AF=x,则DF=9-x, 当点E在BC上时，如下图所示， 84/88 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E为BC中点，BE=4.5, ,∠ABE=90°，BF平分∠ABE, .∠ABF=45°， AD‖BC, .∠AFB=∠EBF=45°， 在△ABF中，∠BAF=90°，∠ABF=45°， ∴，∠BFA=45°，△ABF为等腰直角三角形，AF=AB=6; 当点E在CD上时，如下图所示， :E为CD中点，CD=AB=6, ∴.CE=DE=3, 过点F作FG⊥BE于点G,连接EF, :BF平分∠ABE,FA⊥AB,FG⊥BE, ∴.FG=FA=x, 在Rt△ABF和RtAGBF中，BF=BF,FA=FG, ∴.Rt△ABF≌Rt△GBF(HL), .BG=AB=6, .BE=V9+3=3V10,EG=BE-BG=3N10-6, 在Rt△DEF中，EF2=DF2+DE2=(9-x)+3 在RtaFGE中，EF2=FG+EG=x2+(310-6)°， ∴(9-x)°+32=x2+(310-6) 解得：x=2V10-2: 85/88 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 当点E在AD上时，如图所示， E为AD中点， ∴.AE=DE=4.5, 过点F作FH⊥BE于点H, F D :BF平分∠ABE,FA⊥AB,FH⊥BE, .FH=FA=x, 在Rt△ABF和Rt△HBF中，BF=BF,FA=FH, .Rt△ABF≌Rt△HBF(HL), .BH=AB=6, .BE=V6+4.52=7.5,EH=BE-BH=1.5, 在Rt△FHE中，EF2=FH+EH=x2+1.52, 又：EF=AE-AF=4.5-x, (4.5-x)=x2+1.52, 解得：x=2,即AF=2. 综上所示，AF的长为6或2或2N10-2. 5.(25-26九年级上·全国期末)【操作】如图①.矩形纸片ABCD中，AD>AB.点P在BC上，点Q 在CD上，∠QPC=45°，将纸片沿PQ翻折，使顶点C落在矩形ABCD内，对应点为C',PC的延长线交 直线AD于点M,再将纸片的另一部分翻折，使顶点A落在直线PC上，对应点为A',折痕为MN,猜想 PQ、MN之间的位置关系为_； 【探究】如图②，将矩形纸片ABCD任意翻折，折痕为PQ(P在BC上，Q在CD上)，使顶点C落在矩 形ABCD内，点C的对应点为C,PC的延长线交边AD于点M,再将纸片的另一部分翻折，使点A的对 应点A'落在PC'上，折痕为MN, ①若AM=CP,求证：PQ=MN; 86/88 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ②当∠QPC=30,AB=6N5,BC=12,BP=BC时，直接写出CM的长. 图① 图② 【详解】操作：解：P2∥MN;理由如下： ~四边形ABCD为矩形， AD∥BC, .∠AMP=∠MPC, 根据折叠的性质可得，∠QPC=∠QPC'=45°，∠AMN=∠A'MN, .∠AMP=∠MPC=90°， .∠AMN=∠A'MN=45°， ∠A'MN=∠QPC'=45°， PO∥MN, 故答案为：Pe∥MN; 探究：①证明：~四边形ABCD为矩形， AD∥BC,A=∠C=90°， .∠AMP=∠MPC, 由折叠的性质可每，∠AN=MP-AM,∠CPQ=∠QPM-MPC, ∠AMN=∠CPQ, 在△AMN和△CPQ中， '∠AMN=∠CPQ ∠A=∠C AM=CP ·△AMN≌△CPQ(AAS), ..MIN=PO; ②解：C'M的长为4；理由如下： 过点M作MG⊥BC于点G,如图，则∠PGM=90°， 87/88 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M D ○ B PG AB=63,BC=12,BP=IBC, 3 ..BP=4,PC=PC'=8,MG=AB=63, ∠CPQ=∠CPQ=30°， .∠MPG=60°， ∠PMG=30°， ∴.PM=2PG, 在Rt△PMG中，PG+MG=PM, ∴PG+(63=(2PG), 解得PG=6, .PM=12, .CM=PM-PC'=12-8=4. 88/88