专题05 图形的相似（期末复习讲义，知识必备+5大重难题型+过关验收）八年级数学下学期鲁教版五四制

专题05 图形的相似（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 比例性质与黄金分割 牢记比例的基本性质、合比性质与等比性质，并能灵活运用这些性质进行比例式的变形与计算；理解黄金分割的定义，能解决与黄金分割相关的简单问题 基础考点，多以选择题、填空题形式考查，黄金分割的应用常结合建筑、艺术等实际场景。 平行线分线段成比例 掌握平行线分线段成比例定理及其推论，能结合图形快速识别对应线段，避免因线段对应关系混淆导致错误。 常与相似三角形的判定结合考查，也会单独考查线段比例的计算。 相似三角形的判定与性质 1.能熟练运用相似三角形的判定定理证明两个三角形相似，能根据题目条件灵活选择合适的判定方法，提升几何推理的严谨性。 2. 能灵活运用相似三角形的性质解决计算问题。 核心考点，贯穿各类题型。选择题、填空题中多考查简单判定与性质应用；解答题中多要求先证明相似，再利用性质计算；压轴题中常与其他几何知识结合，考查综合推理能力。 相似三角形的实际应用 能运用相似三角形的知识解决实际问题，能将实际问题转化为几何相似模型，提升数学建模能力。 多以解答题形式考查，常见模型包括“标杆模型”“影子模型”“镜面反射模型”等。 位似图形的性质与坐标变换 掌握位似图形的定义与性质，明确位似是“相似且对应点连线交于一点”的特殊相似关系；能说出位似图形的核心性质；掌握以原点为位似中心的位似图形的坐标变换规律。 热门考点，多以选择题、填空题形式出现。 知识点01 成比例线段的概念 1．比例的项：在比例式（即）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式（即）中，b称为a，c的比例中项，满足． 2．成比例线段： 四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段． 知识点02 比例的性质 比例的性质 示例剖析 （1）基本性质： （2）反比性质： （3）更比性质：或 或 （4）合比性质： （5）分比性质： （6）合分比性质： （7）等比性质： 已知，则当时，. 知识点03 黄金分割 如图，若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．） 知识点04 平行线分线段成比例定理 两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理．如图：如果，则，，． 总结：若将所截出的小线段位置靠上的（如AB）称为上，位置靠下的称为下，两条线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为，，． 知识点05 平行线分线段成比例定理的推论 平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．如图：如果EF//BC，则，，． 知识点06 平行线分线段成比例定理的推论的逆定理 若或或，则有EF//BC． 注意：对于一般形式的平行线分线段成比例的逆定理不成立，反例：任意四边形中一对对边的中点的连线与剩下两条边，这三条直线满足分线段成比例，但是它们并不平行． 知识点07 相似三角形的判定 判定定理 判定定理1： 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． 简称为两角对应相等，两个三角形相似． 如图，如果，，则 ． 判定定理2： 如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似． 简称为三边对应成比例，两个三角形相似． 如图，如果，则 ． 判定定理3： 如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似． 简称为两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如图，如果，，则． 知识点08 相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等． 如图，，则有 ． ②相似三角形的对应边成比例． 如图，，则有 （为相似比）． ③相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比． 如图，∽，和是中边上的中线、高线和角平分线，、和是中边上的中线、高线和角平分线，则有 ④相似三角形周长的比等于相似比． 如图，∽，则有 ． ⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方． 如图，∽，则有 知识点09 位似图形 1、定义：一般的，如果两个相似多边形任意一组对应顶点,所在的直线都经过同一点，且有 =，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点叫做位似中心 2、性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比 3、画图步骤： （1）尺规作图法：① 确定位似中心；②确定原图形中的关键点关于中心的对应点；③描出新图形 （2）坐标法：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘于同一个数， 所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为 题型一 比例性质与黄金分割 【典例1-1】（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【典例1-2】（25-26九年级上·全国·期末）把长的线段进行黄金分割，则分成的较短线段的长为（   ） A． B． C． D． 【典例1-3】（24-25九年级上·浙江衢州·期末）已知线段，若线段是线段和的比例中项，则线段的长为 ． 【典例1-4】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）在比例尺为的某地旅游地图上，经测量景点与景点相距约，则这两景点实际距离约 ． 【变式1-1】（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）已知按顺序排列的四条线段是成比例线段，其中，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26九年级上·河南平顶山·期末）若，，则 ． 【变式1-3】（25-26九年级上·全国·期末）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为 ． 【变式1-4】（25-26九年级上·浙江温州·期末）已知，满足， (1)求的值； (2)若且线段是长为，的线段的比例中项，求线段的长． 题型二 平行线分线段成比例 【典例2-1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，直线与交于点，，若，则 的值为（   ） A． B． C． D． 【典例2-2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，直线，直线和被、、所截．如果，，，求的长． 【变式2-1】（25-26九年级上·江西·期末）如图，已知和是的中点，是的中点，，求的值．    【变式2-2】（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）如图，． (1)直接填空；的值为______，的值为______； (2)若，求和的长． 【变式2-3】（25-26九年级上·河南平顶山·期末）（1）如图1，在中，D、E分别在边上，且满足，，则______； （2）问题探究：如图2，，连接，如果刚好平分，求证：； （3）结论应用：如图3，已知中，平分，并且，求的值． 题型三 相似三角形的判定与性质 【典例3-1】（23-24九年级上·甘肃兰州·期末）两个相似三角形的面积比是，那么它们的周长比是（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】（24-25九年级上·甘肃酒泉·期末）如图，已知，P是上一点，连接，要使，只需添加条件 ．（只要写出一种合适的条件） 【典例3-3】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，为的对角线，若点E、F分别是边上的点，连接，若，．求证：． 【典例3-4】（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平行四边形中，，点E在上（点E不与点A重合，），点F在上，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点P在上，且，过点P作，分别交于点M，Q，延长，交延长线于点N． ①求证：； ②若，求的面积． 【变式3-1】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）若两个相似三角形面积之比为，则它们的相似比为 ． 【变式3-2】（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，在中，P是上一点，连接，要使，则只需添加一个适当的条件是 ．（只填一种情况即可） 【变式3-3】（23-24九年级上·湖南怀化·期末）如图1，在中，，，．点沿边从点向终点以的速度移动；同时点沿边从点向终点以的速度移动，且当一个点到达终点时，另一个点也随之停止移动． (1)点出发几秒后，的面积为面积的； (2)经过几秒后，以为顶点的三角形与相似？ (3)如图2，为上一点，且，当运动时间为多少时，？ 【变式3-4】（25-26九年级上·全国·期末）【问题背景】折纸是一种许多人熟悉的活动，将纸片的一边二等分、四等分都是比较容易做到的，但将一边三等分就不是那么容易了．近些年，经过人们的不懈努力，已经找到了多种将正方形纸片一边三等分的精确折法．综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 操作过程及内容如下（如图）． 操作：将正方形对折，使点与点重合，点与点重合，再将正方形展开，得到折痕； 操作：再将正方形纸片的右下角向上翻折，使点与点重合，边翻折至的位置，得到折痕，与相交于点．则为的三等分点，即． 【解决问题】 （1）在图中，若与相交于点，连接，求证：四边形是菱形； （2）请在图中证明； 【发现感悟】若为正方形纸片的边上的任意一点，重复“问题背景”中操作的折纸过程，请你思考并解答如下问题： （3）如图， 若，则 ； 若，则 （用含的式子表示） 【变式3-5】（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）问题情境： （）综合与实践课上，老师让每个小组准备了一张矩形纸片，其中，．如图，把矩形绕点逆时针旋转得到矩形纸片，点的对应点为，，，如图，连接，当在的延长线上时，延长，交于点．判断与的数量关系并说明理由． 数学思考： （）老师将矩形纸片绕点逆时针方向再次旋转，并让同学们提出新的问题． ①“爱数小组”提出问题：如图，当点落在上时，连接，取的中点，连接、，求的长．请你解答此问题： ②“好学小组”提出问题：如图，当点落在上时，连接，求的面积．请你解答此问题． 题型四 相似三角形的实际应用 【典例4-1】（24-25九年级上·河南开封·期末）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小颖同学把镜子放在离旗杆适当距离的水平地面上，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到恰好可以在镜子里看到旗杆的顶端．已知小颖的眼睛离地面的高度为，同时量得小颖与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（   ） A． B． C． D． 【典例4-2】（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，左右并排的两颗大树的高分别为，，两树底部的距离，点与树的根部点，点在一条直线上，，小颖估计自己的眼睛（点）离地面，她从点出发沿方向前进到点时，恰好看不到树顶，则的长为 ． 【典例4-3】（24-25九年级上·甘肃嘉峪关·期末）如图为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点为A，再在河的这一边选点B和C，使，然而再选点E，使，确定与的交点为D，测得，，，你能求出两岸之间的大致距离吗？ 【变式4-1】（23-24九年级下·山东烟台·期末）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门一百步立一表，出西门二百二十五步适可见之，问邑方几何？”它的意思是：如图，M，N分别是正方形的边，的中点，，，过点A，且步，步，那么该正方形城邑边长约为（    ）步． A．300 B．250 C．225 D．150 【变式4-2】（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如图所示，李明打网球时，球恰好打过网，且落在离网的位置上，则李明击球的高度h为 ． 【变式4-3】（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，为了测量一栋楼的高度，嘉嘉同学在她脚下放了一面镜子，然后向后退，直到她刚好通过光的反射在镜子中看到楼的顶部，已知嘉嘉身高是，她的眼睛（点K）距地面，同时量得，． (1)若，则 ； (2)求这栋楼的高度． 题型五 位似图形的性质与坐标变换 【典例5-1】（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，以原点为位似中心，将放大为原来的倍，得到，则的重心坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【典例5-2】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，在每个小正方形边长为1个单位长的网格中，建立平面直角坐标系，点均在格点上． (1)请在该网格内部画出，使其与关于点成位似图形，且位似比为； (2)求出的面积． 【变式5-1】（25-26九年级上·湖南娄底·期末）如图，与位似，点为位似中心，若，则（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26九年级上·全国·期末）如下图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，其中点的坐标为，正方形的边在轴上，且点的坐标为．则正方形与正方形的位似中心的坐标是 ． 【变式5-3】（25-26九年级上·广东揭阳·期末）如图， 的三顶点分别为，，． (1)请画出一个以原点为位似中心，且与相似比为的位似图形 （只画出一种情况）； (2)比较两个图形对应点的坐标，你能发现什么； (3)根据（1）中条件，直接写出与的面积比． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）若两个相似三角形对应边的比为，则这两个相似三角形的面积比为（    ） A． B． C． D．无法确定 2．（24-25九年级上·广东清远·期末）已知2，6，7，x成比例，则x的值为（   ） A． B． C． D．21 3．（24-25九年级上·山东临沂·期末）如图，点在的边上，要判断，添加一个条件，不正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·广东清远·期末）如图，两条直线被三条平行线所截，，则的长为 ． 5．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的坐标为，点的坐标为的面积为3，则的面积的值为 ． 6．（25-26九年级上·全国·期末）如图，在中，，于点，于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 期末重难突破练（测试时间：20分钟） 1．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）在中，是高，矩形的顶点P、N分别在上，在边上，若，，且，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）如图，点E在矩形边上，且，与相交于点 F．已知，，则的长为（    ） A．2 B． C． D． 3．（25-26九年级上·江苏连云港·期末）如图1，在矩形中，，是边上的一个动点，，交于点，设，，图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，则的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 4．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，D是上一点，且，，、的平分线分别交、于E，F，则的值为 ． 5．（25-26九年级上·湖南永州·期末）如图，E是菱形对角线上的一点，连接，，． (1)求证：； (2)求证：． 6．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫作比例三角形． (1)已知是比例三角形，，，请直接写出所有满足条件的的长； (2)如图1，在四边形中，，对角线平分，，求证：是比例三角形； 期末综合拓展练（测试时间：30分钟） 1．（25-26九年级上·山东临沂·期末）如图，在钝角三角形中，分别以和为斜边向的外侧作等腰直角三角形和等腰直角三角形，平分交于点M，取的中点D，的中点N，连接，，．下列结论：①；②；③；④．其中，正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26九年级上·全国·期末）图，在正方形中，G为边上一个动点(点G不与点D重合)，连接交对角线于点E，将线段绕点C逆时针旋转90°得到，连接交于点N，则①；②；③；④若，则；以上结论正确的有（     ）    A．①②③ B．②③④ C．①②③④ D．①②④ 3．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，与为直角三角形，，与相交于点，平分交于点，交于点．若，，，下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④ 4．（25-26九年级上·广东揭阳·期末）如图，在矩形中，，E为上一点，且，连接，F，G分别为上的点，连接．若，则的最小值为 ． 5．（25-26九年级上·山东·期末）如图，中，，，．点D从点A出发沿折线运动到点B停止，过点D作，垂足为E．设点D运动的路径长为x，的面积为y，若y与x的对应关系如图所示，则的值为 ． 6．（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，在中，，，．动点P从点B出发沿折线以每秒5个单位长度的速度向终点A运动，当点P不与的顶点重合时，过点P作于点D，以为边作矩形，使点F、点C始终在直线的同侧，且，设点P的运动时间为t秒． (1)当点P在边上时，用含t的代数式表示线段的长； (2)当点F落在的平分线上时，求t的值； (3)连结，当为钝角时，求t的取值范围． 7．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）已知：△和△均为等腰三角形，，，． (1)如图1，若、、三点在同一直线上，且时，　　（填“”、“ ”、“ ”号）； (2)当时． ①如图2，连接，点为的中点，试探究与的数量和位置关系，并证明； ②如图3，将△绕点旋转，使得点正好落在射线上，若，，请直接写出线段的长为 　　． 8．（24-25九年级上·山西大同·期末）综合与实践 数学兴趣小组发现：一些含有两条互相垂直的线段的图形中，某些线段之间存在特殊的数量关系．他们进行了如下探究． (1)猜想证明 如图（1），在正方形中，点，，，分别在边，，，上，且，请判断和的数量关系，并加以证明． (2)迁移探究 如图（2），在中，，，点，分别在边，上，且，求证：． (3)拓展应用 如图（3），在矩形中，，，平分交于点，点为上一点，交于点，交矩形的边于点．当时，请直接写出的长． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 图形的相似（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 比例性质与黄金分割 牢记比例的基本性质、合比性质与等比性质，并能灵活运用这些性质进行比例式的变形与计算；理解黄金分割的定义，能解决与黄金分割相关的简单问题 基础考点，多以选择题、填空题形式考查，黄金分割的应用常结合建筑、艺术等实际场景。 平行线分线段成比例 掌握平行线分线段成比例定理及其推论，能结合图形快速识别对应线段，避免因线段对应关系混淆导致错误。 常与相似三角形的判定结合考查，也会单独考查线段比例的计算。 相似三角形的判定与性质 1.能熟练运用相似三角形的判定定理证明两个三角形相似，能根据题目条件灵活选择合适的判定方法，提升几何推理的严谨性。 2. 能灵活运用相似三角形的性质解决计算问题。 核心考点，贯穿各类题型。选择题、填空题中多考查简单判定与性质应用；解答题中多要求先证明相似，再利用性质计算；压轴题中常与其他几何知识结合，考查综合推理能力。 相似三角形的实际应用 能运用相似三角形的知识解决实际问题，能将实际问题转化为几何相似模型，提升数学建模能力。 多以解答题形式考查，常见模型包括“标杆模型”“影子模型”“镜面反射模型”等。 位似图形的性质与坐标变换 掌握位似图形的定义与性质，明确位似是“相似且对应点连线交于一点”的特殊相似关系；能说出位似图形的核心性质；掌握以原点为位似中心的位似图形的坐标变换规律。 热门考点，多以选择题、填空题形式出现。 知识点01 成比例线段的概念 1．比例的项：在比例式（即）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式（即）中，b称为a，c的比例中项，满足． 2．成比例线段： 四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段． 知识点02 比例的性质 比例的性质 示例剖析 （1）基本性质： （2）反比性质： （3）更比性质：或 或 （4）合比性质： （5）分比性质： （6）合分比性质： （7）等比性质： 已知，则当时，. 知识点03 黄金分割 如图，若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．） 知识点04 平行线分线段成比例定理 两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理．如图：如果，则，，． 总结：若将所截出的小线段位置靠上的（如AB）称为上，位置靠下的称为下，两条线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为，，． 知识点05 平行线分线段成比例定理的推论 平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．如图：如果EF//BC，则，，． 知识点06 平行线分线段成比例定理的推论的逆定理 若或或，则有EF//BC． 注意：对于一般形式的平行线分线段成比例的逆定理不成立，反例：任意四边形中一对对边的中点的连线与剩下两条边，这三条直线满足分线段成比例，但是它们并不平行． 知识点07 相似三角形的判定 判定定理 判定定理1： 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． 简称为两角对应相等，两个三角形相似． 如图，如果，，则 ． 判定定理2： 如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似． 简称为三边对应成比例，两个三角形相似． 如图，如果，则 ． 判定定理3： 如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似． 简称为两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如图，如果，，则． 知识点08 相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等． 如图，，则有 ． ②相似三角形的对应边成比例． 如图，，则有 （为相似比）． ③相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比． 如图，∽，和是中边上的中线、高线和角平分线，、和是中边上的中线、高线和角平分线，则有 ④相似三角形周长的比等于相似比． 如图，∽，则有 ． ⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方． 如图，∽，则有 知识点09 位似图形 1、定义：一般的，如果两个相似多边形任意一组对应顶点,所在的直线都经过同一点，且有 =，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点叫做位似中心 2、性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比 3、画图步骤： （1）尺规作图法：① 确定位似中心；②确定原图形中的关键点关于中心的对应点；③描出新图形 （2）坐标法：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘于同一个数， 所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为 题型一 比例性质与黄金分割 【典例1-1】（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， 设，，其中， ． 故选：A． 【典例1-2】（25-26九年级上·全国·期末）把长的线段进行黄金分割，则分成的较短线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：线段全长， 黄金分割后较长线段的长为 ， 较短线段的长为． 故选：A． 【典例1-3】（24-25九年级上·浙江衢州·期末）已知线段，若线段是线段和的比例中项，则线段的长为 ． 【答案】4 【详解】解：∵线段是线段和的比例中项， ∴， ∴（线段长度取正值）． 故答案为：4． 【典例1-4】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）在比例尺为的某地旅游地图上，经测量景点与景点相距约，则这两景点实际距离约 ． 【答案】60 【详解】解：设这两景点实际距离为， ， 解得， ， 故答案为：60． 【变式1-1】（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）已知按顺序排列的四条线段是成比例线段，其中，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意，线段，，，是成比例线段，且，，， 则有，即， 解得． 故选：C． 【变式1-2】（25-26九年级上·河南平顶山·期末）若，，则 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴可设公共比值为， 则，，， ∴． 故答案为：． 【变式1-3】（25-26九年级上·全国·期末）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为 ． 【答案】 【详解】解：∵P为的黄金分割点，且的长度为， ∴， 即， 故答案为：． 【变式1-4】（25-26九年级上·浙江温州·期末）已知，满足， (1)求的值； (2)若且线段是长为，的线段的比例中项，求线段的长． 【详解】（1）解：设，则，， ∴； （2）解：由（）得，， ∵， ∴， ∴，，， ∵线段是线段，的比例中项， ∴， ∴（负值已舍去）． 题型二 平行线分线段成比例 【典例2-1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，直线与交于点，，若，则 的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选:D． 【典例2-2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，直线，直线和被、、所截．如果，，，求的长． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 把，，代入， 得， 解得：． 【变式2-1】（25-26九年级上·江西·期末）如图，已知和是的中点，是的中点，，求的值．    【详解】解：，， ， ， ，是的中点， ， ， ， ． 【变式2-2】（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）如图，． (1)直接填空；的值为______，的值为______； (2)若，求和的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【变式2-3】（25-26九年级上·河南平顶山·期末）（1）如图1，在中，D、E分别在边上，且满足，，则______； （2）问题探究：如图2，，连接，如果刚好平分，求证：； （3）结论应用：如图3，已知中，平分，并且，求的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴，， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型三 相似三角形的判定与性质 【典例3-1】（23-24九年级上·甘肃兰州·期末）两个相似三角形的面积比是，那么它们的周长比是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵两个相似三角形的面积比是， ∴两个相似三角形的周长比为； 故选B． 【典例3-2】（24-25九年级上·甘肃酒泉·期末）如图，已知，P是上一点，连接，要使，只需添加条件 ．（只要写出一种合适的条件） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：由题意得：， ∴若添加时，则可根据“两组角对应相等的两个三角形相似”判定； 若添加时，则可根据“两组角对应相等的两个三角形相似”判定； 若添加（）时，则可根据“两组对应边成比例且它们的夹角也相等的两个三角形相似”判定； 故答案为（答案不唯一）． 【典例3-3】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，为的对角线，若点E、F分别是边上的点，连接，若，．求证：． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ， ， 又， ， ， ， ． 【典例3-4】（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平行四边形中，，点E在上（点E不与点A重合，），点F在上，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点P在上，且，过点P作，分别交于点M，Q，延长，交延长线于点N． ①求证：； ②若，求的面积． 【详解】（1）证明：∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵中，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）①∵中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ②过点C作，延长交于点H，交于点G，作，如图所示： 由（1）得，平行四边形， ∴、均为等边三角形， ∴，， 由（1）得， ∴， ∴， 由①得， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为：． 【变式3-1】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）若两个相似三角形面积之比为，则它们的相似比为 ． 【答案】 【详解】解：∵两个相似三角形面积之比为， ∴它们的相似比为； 故答案为：． 【变式3-2】（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，在中，P是上一点，连接，要使，则只需添加一个适当的条件是 ．（只填一种情况即可） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：由题意得，， 若添加条件，则有，符合题意； 若添加条件，则有，符合题意； 若添加条件，则有，符合题意； 添加的条件可以是或或（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式3-3】（23-24九年级上·湖南怀化·期末）如图1，在中，，，．点沿边从点向终点以的速度移动；同时点沿边从点向终点以的速度移动，且当一个点到达终点时，另一个点也随之停止移动． (1)点出发几秒后，的面积为面积的； (2)经过几秒后，以为顶点的三角形与相似？ (3)如图2，为上一点，且，当运动时间为多少时，？ 【详解】（1）解：设经过秒后的面积为面积的，其中， 由题意知，，， ∴， ∴． 答：点出发秒后，的面积为面积的． （2）解：设经过秒后，以为顶点的三角形与相似，其中， 当时， 则有， ∴， ∴． 当时， 则有， ∴， ∴． 答：经过秒或秒后，以为顶点的三角形与相似． （3）解：如图，过点作，连接， ∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴, ∵， ∴， ∴，， 在中，，， ∴， ∴， 设，则，， 在中，，即， 解得， ∵，， ∴， ∴，即， 解得． 答：当运动时间为时，． 【变式3-4】（25-26九年级上·全国·期末）【问题背景】折纸是一种许多人熟悉的活动，将纸片的一边二等分、四等分都是比较容易做到的，但将一边三等分就不是那么容易了．近些年，经过人们的不懈努力，已经找到了多种将正方形纸片一边三等分的精确折法．综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 操作过程及内容如下（如图）． 操作：将正方形对折，使点与点重合，点与点重合，再将正方形展开，得到折痕； 操作：再将正方形纸片的右下角向上翻折，使点与点重合，边翻折至的位置，得到折痕，与相交于点．则为的三等分点，即． 【解决问题】 （1）在图中，若与相交于点，连接，求证：四边形是菱形； （2）请在图中证明； 【发现感悟】若为正方形纸片的边上的任意一点，重复“问题背景”中操作的折纸过程，请你思考并解答如下问题： （3）如图， 若，则 ； 若，则 （用含的式子表示） 【详解】（1）证明：由折叠可得，，，四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； （2）证明：设正方形的边长为1，，则，， 在中，由勾股定理可得：， 即，解得， ∴，， 由折叠知：， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴； （3）①解：设正方形的边长为1，，则，， ∵， ∴，， 在中，由勾股定理可得：， 即，解得， 即， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， ∴； ②解：设正方形的边长为1，，则，， ∵， ∴，， 在中，由勾股定理可得：， 即，解得， 即， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， ∴． 【变式3-5】（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）问题情境： （）综合与实践课上，老师让每个小组准备了一张矩形纸片，其中，．如图，把矩形绕点逆时针旋转得到矩形纸片，点的对应点为，，，如图，连接，当在的延长线上时，延长，交于点．判断与的数量关系并说明理由． 数学思考： （）老师将矩形纸片绕点逆时针方向再次旋转，并让同学们提出新的问题． ①“爱数小组”提出问题：如图，当点落在上时，连接，取的中点，连接、，求的长．请你解答此问题： ②“好学小组”提出问题：如图，当点落在上时，连接，求的面积．请你解答此问题． 【详解】解：（1），理由如下： 连接， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， 由旋转得，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； （2）①如图，连接， ∵，，， ∴， 由旋转得，，， ∵， ∴， 即， ∴， ∵点是的中点， ∴； ②如图，过点作于，于，设与相交于点，则， ∵，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由旋转得，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 题型四 相似三角形的实际应用 【典例4-1】（24-25九年级上·河南开封·期末）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小颖同学把镜子放在离旗杆适当距离的水平地面上，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到恰好可以在镜子里看到旗杆的顶端．已知小颖的眼睛离地面的高度为，同时量得小颖与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 故选：D． 【典例4-2】（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，左右并排的两颗大树的高分别为，，两树底部的距离，点与树的根部点，点在一条直线上，，小颖估计自己的眼睛（点）离地面，她从点出发沿方向前进到点时，恰好看不到树顶，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：作于Q，交于P， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【典例4-3】（24-25九年级上·甘肃嘉峪关·期末）如图为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点为A，再在河的这一边选点B和C，使，然而再选点E，使，确定与的交点为D，测得，，，你能求出两岸之间的大致距离吗？ 【详解】解：， ∴， ， ， 即， 米， 答：两岸之间的大致距离是 150 米． 【变式4-1】（23-24九年级下·山东烟台·期末）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门一百步立一表，出西门二百二十五步适可见之，问邑方几何？”它的意思是：如图，M，N分别是正方形的边，的中点，，，过点A，且步，步，那么该正方形城邑边长约为（    ）步． A．300 B．250 C．225 D．150 【答案】A 【详解】解： ，， ， 正方形中，，过点， ，则， ， ， 分别是正方形的边的中点，设， ， 步，步， ，即，解得负舍去值， 正方形城邑边长步， 故选：A． 【变式4-2】（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如图所示，李明打网球时，球恰好打过网，且落在离网的位置上，则李明击球的高度h为 ． 【答案】 【详解】解：如图，由题意得：， ∴，， ∴， ∴，即， 解得， 故答案为：． 【变式4-3】（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，为了测量一栋楼的高度，嘉嘉同学在她脚下放了一面镜子，然后向后退，直到她刚好通过光的反射在镜子中看到楼的顶部，已知嘉嘉身高是，她的眼睛（点K）距地面，同时量得，． (1)若，则 ； (2)求这栋楼的高度． 【详解】（1）解：由光的反射定律可知； （2）解：由题意得，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， 答：这栋楼的高度为． 题型五 位似图形的性质与坐标变换 【典例5-1】（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，以原点为位似中心，将放大为原来的倍，得到，则的重心坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】解：如图，为的两条中线，相交于点D， 则为的重心， ， ，， ， ， ， ， ， 以原点O为位似中心，将放大为原来的2倍，得到， 的重心坐标是或． 故选：D． 【典例5-2】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，在每个小正方形边长为1个单位长的网格中，建立平面直角坐标系，点均在格点上． (1)请在该网格内部画出，使其与关于点成位似图形，且位似比为； (2)求出的面积． 【详解】（1）解：如图所示，为所求三角形； （2）解：的面积为其三个顶点所在矩形面积与三个直角三角形面积的差， 即． 【变式5-1】（25-26九年级上·湖南娄底·期末）如图，与位似，点为位似中心，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质，根据位似图形的概念、相似三角形的性质进行判断即可． 【详解】解：∵与是以点O为位似中心的位似图形，， ∴与位似比为，与相似，相似比为， ∴， 故选：B． 【变式5-2】（25-26九年级上·全国·期末）如下图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，其中点的坐标为，正方形的边在轴上，且点的坐标为．则正方形与正方形的位似中心的坐标是 ． 【答案】或 【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为． ∴正方形的边长为2，正方形的边长为4， ∴，，，． 分以下两种情况讨论： ①如图①，连接并延长交轴于点，则点为位似中心． 设直线解析式为，可得： ，解得：。 ∴， 当时，，即点. 正方形与正方形的位似中心的坐标是； ②如图②，连接，交于点． 由题意，得，，，． 易求出直线的表达式为，直线的表达式为． 联立解得． 点的坐标为， 正方形与正方形的位似中心的坐标是． 综上所述，正方形与正方形的位似中心的坐标为或． 故答案为或． 【变式5-3】（25-26九年级上·广东揭阳·期末）如图， 的三顶点分别为，，． (1)请画出一个以原点为位似中心，且与相似比为的位似图形 （只画出一种情况）； (2)比较两个图形对应点的坐标，你能发现什么； (3)根据（1）中条件，直接写出与的面积比． 【详解】（1）解：如图， 就是所求的三角形． （2）解：各顶点的坐标为，，， 发现：各顶点的横坐标、纵坐标是对应顶点横坐标、纵坐标的． （3）解：由（1）可知，与相似比为， 相似三角形的面积比等于相似比的平方， 与的面积比为． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）若两个相似三角形对应边的比为，则这两个相似三角形的面积比为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【详解】解：若两个相似三角形对应边的比为，则这两个相似三角形的面积比为； 故选C． 2．（24-25九年级上·广东清远·期末）已知2，6，7，x成比例，则x的值为（   ） A． B． C． D．21 【答案】D 【详解】解：∵2，6，7，x成比例，∴， 得， 解得， 故选：D． 3．（24-25九年级上·山东临沂·期末）如图，点在的边上，要判断，添加一个条件，不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、当且，故，此选项正确，但不符合题意； B、当且，故，此选项正确，但不符合题意； C、当时，无法得到，此选项错误，但符合题意； D、当，即，且，故，此选项正确，但不符合题意． 故选：C． 4．（24-25九年级上·广东清远·期末）如图，两条直线被三条平行线所截，，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 5．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的坐标为，点的坐标为的面积为3，则的面积的值为 ． 【答案】 【详解】解：作轴于点，轴于点，如图： ∵点的坐标为，点的坐标为 ∴， ∴，， ∴与的相似比， ∴，即， ∴， 故答案为：． 6．（25-26九年级上·全国·期末）如图，在中，，于点，于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【详解】（1）证明：， ． ，， ， ， ． （2）解：，， ． ，， ． ， ， ，即， ． 期末重难突破练（测试时间：20分钟） 1．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）在中，是高，矩形的顶点P、N分别在上，在边上，若，，且，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图所示， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，四边形是矩形， ∴， 设，则，． ∵， ∴， 解得． ∴， 故选：B． 2．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）如图，点E在矩形边上，且，与相交于点 F．已知，，则的长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 故选：B． 3．（25-26九年级上·江苏连云港·期末）如图1，在矩形中，，是边上的一个动点，，交于点，设，，图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，则的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【详解】解：矩形， ， ， ，， ． ， ． ． ， ， 设，则， 整理得， 由图象可知，关于的函数图象经过， 代入得，， ， ． 故选：A． 4．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，D是上一点，且，，、的平分线分别交、于E，F，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：在与中， ∵，， ∴∽， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵、分别是与对应角、的平分线， ∴， ∴． 故答案为： 5．（25-26九年级上·湖南永州·期末）如图，E是菱形对角线上的一点，连接，，． (1)求证：； (2)求证：． 【详解】（1）证明：如图，连接． ∵四边形是菱形， ∴垂直平分，． ∵是上一点， ∴． ∵， ∴，， ∴． 同理：． ∴． 又∵， ∴； （2）证明：∵四边形是菱形， ∴． ∴． 由（1）得， ∴． 在和中， ∵，， ∴， ， 即． 6．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫作比例三角形． (1)已知是比例三角形，，，请直接写出所有满足条件的的长； (2)如图1，在四边形中，，对角线平分，，求证：是比例三角形； 【详解】（1）解：①当时，， ， ，（成立）； ②当时，， ，（成立）； ③当时，， ，（成立）； 综上所述，满足条件的的长为或9或； （2）证明：， ， ，， ， ， 即， ， ， 平分， ， ， ， ， 是比例三角形． 期末综合拓展练（测试时间：30分钟） 1．（25-26九年级上·山东临沂·期末）如图，在钝角三角形中，分别以和为斜边向的外侧作等腰直角三角形和等腰直角三角形，平分交于点M，取的中点D，的中点N，连接，，．下列结论：①；②；③；④．其中，正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：是中点，是中点， 是的中位线， ，且 ； 三角形是等腰直角三角形，平分交于点， 是的中点， ， 又 ， ， ∴①正确； ， ， ， ， ， ②正确； 如图，连接、， 是中点，是中点， 是的中位线， ，且 ； 三角形是等腰直角三角形，是的中点， ， 又 ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 又， ， 在和中， ，，， ， ， ③正确； 如图，连接，，， 三角形是等腰直角三角形，平分， 是的中点，， ，，， ， 是中点，是中点， 是的中位线， ，且 ； 三角形是等腰直角三角形，是的中点， ，，， 又 ， ， ， ， 在和中，，， ， ， ， ， 即， 又， ， ， ， ∴④正确． 故选：D． 2．（25-26九年级上·全国·期末）图，在正方形中，G为边上一个动点(点G不与点D重合)，连接交对角线于点E，将线段绕点C逆时针旋转90°得到，连接交于点N，则①；②；③；④若，则；以上结论正确的有（     ）    A．①②③ B．②③④ C．①②③④ D．①②④ 【答案】C 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵线段绕点C逆时针旋转90°得到， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故①是正确的； ∵四边形是正方形， ∴， ∵线段绕点C逆时针旋转得到， ∴， 则，故②是正确的； ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴，故③是正确的； ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 则， 在中，， 则， ∵是等腰直角三角形， 则， ∴，故④是正确的． 故选：C． 3．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，与为直角三角形，，与相交于点，平分交于点，交于点．若，，，下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴．故①正确； 过点作于点，如图， ∵平分交于点，，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴（）， ∴． 设，则， ∵， ∴． ∴， ∵， ∴，故②的结论不正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴．故③的结论正确； ∵，， ∴．故④的结论不正确． ∴正确的结论有①③． 故选：． 4．（25-26九年级上·广东揭阳·期末）如图，在矩形中，，E为上一点，且，连接，F，G分别为上的点，连接．若，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点F作于点M，过点E作，且，连接，则四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴当A，G，H三点共线时，取得最小值，最小值为的长， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴，； ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（25-26九年级上·山东·期末）如图，中，，，．点D从点A出发沿折线运动到点B停止，过点D作，垂足为E．设点D运动的路径长为x，的面积为y，若y与x的对应关系如图所示，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：在中，由勾股定理得，， 当点在上时， ，， ， 又， ， ， 即， ， ， ， 当时，， 如图，当点在上时， ，， ， 又， ， ， 即， ， ， 当时， ， ． 故答案为：． 6．（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，在中，，，．动点P从点B出发沿折线以每秒5个单位长度的速度向终点A运动，当点P不与的顶点重合时，过点P作于点D，以为边作矩形，使点F、点C始终在直线的同侧，且，设点P的运动时间为t秒． (1)当点P在边上时，用含t的代数式表示线段的长； (2)当点F落在的平分线上时，求t的值； (3)连结，当为钝角时，求t的取值范围． 【详解】（1）解：在中，， ∵，． ∴， 由题意得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴； （2）解：当点P在边上时，如图1，连接，，，过点F作于点G，作于点H， ∵平分，，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴由勾股定理可得：， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：； 当点P在边上时，如图2，过点F作于点G，作于点H，连接，，， 由题意得， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵平分，，， ∴， 同理可得四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， 当时，点P与点A重合，不符合题意； 综上所述，t的值为； （3）解：当点P在边上，时，如图3，连接， 则C、F、E在同一条直线上， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； 当点P在边上，时，如图4， 同理可得：，，， ∴， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，当为钝角时，t的取值范围为或． 7．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）已知：△和△均为等腰三角形，，，． (1)如图1，若、、三点在同一直线上，且时，　　（填“”、“ ”、“ ”号）； (2)当时． ①如图2，连接，点为的中点，试探究与的数量和位置关系，并证明； ②如图3，将△绕点旋转，使得点正好落在射线上，若，，请直接写出线段的长为 　　． 【详解】（1）解：如图，作于点，于点， ，，， ，， ， ， ， 在△和△中， ， ， ， 则， 即． 故答案为：． （2）①，且，证明如下： 分别取和的中点和，连接、并延长交于点，连接、， ，， △为等边三角形， ， ， 又， ，， 、分别为、的中点， ，， ，， 为的中点， ，， 四边形为平行四边形， ，，， ， 即， 又，， ， ，， ， ， ， ， ， ，且． ②或． 当点在线段上时，取的中点，连接，，如图， 由（2）①的结论可知：，且， ，， ， ， ； 当点在线段的延长线上时，取的中点，连接，，如图， 由（2）①的结论可知：，且， ，， ， ， ； 综上所述，或． 8．（24-25九年级上·山西大同·期末）综合与实践 数学兴趣小组发现：一些含有两条互相垂直的线段的图形中，某些线段之间存在特殊的数量关系．他们进行了如下探究． (1)猜想证明 如图（1），在正方形中，点，，，分别在边，，，上，且，请判断和的数量关系，并加以证明． (2)迁移探究 如图（2），在中，，，点，分别在边，上，且，求证：． (3)拓展应用 如图（3），在矩形中，，，平分交于点，点为上一点，交于点，交矩形的边于点．当时，请直接写出的长． 【详解】（1）解：， 证明如下： 过点作于点，过点作于点，如图所示： 则， 在正方形中，， 四边形，四边形是矩形， ∴， 设交于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：过点作交的延长线于点，如图所示： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ， ∴， ∴， 又∵， ∴； （3）解：在矩形中，，， ∴， 平分， ∴， ∴， ∴， 当时，如图所示： 此时，点在上，，， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， 过点作交于点，如图所示： ，， ，， ， ∴，， ， ， ∴， ∴， ∴． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $