专题04 一元二次方程（期末复习讲义，知识必备+5大重难题型+过关验收）八年级数学下学期鲁教版五四制

专题04 一元二次方程（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 一元二次方程的概念与一般形式 理解一元二次方程的核心概念，能准确判断给定方程是否为一元二次方程，熟练将方程化为一般形式 ，并正确识别二次项系数、一次项系数和常数项。 高频考点，命题多考查判断方程是否为一元二次方程、确定一般形式中的系数、根据根的情况确定参数取值范围。 一元二次方程的解法 全面掌握四种求解方法，能根据方程特征灵活选择最优解法：熟练运用直接开平方法求解特殊形式方程；精准掌握配方法的完整步骤，能解决含分数系数的配方问题；牢记求根公式 ，并能规范代入计算；熟练运用因式分解法求解可分解的一元二次方程，理解“降次”的核心思想。 核心必考点，命题重点考查解法的灵活选择，其中因式分解法、配方法、公式法均有涉及。 根的判别式与韦达定理 掌握根的判别式与根的关系，能通过计算判别式判断方程根的情况；理解一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），解决根的求和、求积及参数求解问题。 高频核心考点，判别式常考查判断根的情况、根据根的情况求参数；韦达定理多考查已知两根求代数式值、已知一根求另一根及参数。 一元二次方程实际应用 能将实际问题抽象为一元二次方程模型，熟练解决四类典型应用题：增长率/降低率问题、矩形等图形的面积问题、商品利润问题、数字问题，求解后能结合实际情境检验解的合理性。 中频考点，命题聚焦增长率/降低率、面积、利润三大典型模型，题干贴近生活，难度中等。 知识点01 一元二次方程的概念 1.定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫作一元二次方程． 定义解析： 判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面： “化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 2.一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫做常数项． 一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． 要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 知识点02 解一元二次方程 1.开平方法 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 2.配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 3.配方法的应用 （1）用配方法解一元二次方程． 配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2 配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方． （2）利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值． 关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方． （3）配方法的综合应用． 4.公式法 （1）把（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 5.因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 6.换元法 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 知识点03 一元二次方程的判别式 1.一元二次方程根的判别式：我们把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示，记作． 2.一元二次方程， 当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程没有实数根． 知识点04 一元二次方程根与系数的关系 韦达定理：如果是一元二次方程 的两个根,由解方程中的公式法得, ，． 那么可推得． 这是一元二次方程根与系数的关系 知识点05 一元二次方程的应用 1.列方程解实际问题的三个重要环节： 　　一是整体地、系统地审题； 　　二是把握问题中的等量关系； 　　三是正确求解方程并检验解的合理性. 2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 3.解决应用题的一般步骤： 　　　审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 　　　设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 　　　列 (根据题目中的等量关系，列出方程)； 　　　解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）； 　　　答 (写出答案，切忌答非所问). 4.常见应用题型 　　 （1）增长率问题 增长率：增加量占起始量的百分比，若起始量为q，终极量为p，增长率为x，则增长一次后p=q(1+x)。 连续增长率公式：连续增长两次，公式为p=q(1+x)² 若x>0，表示增长；若x<0，表示降低，此时公式变为p=q(1−x)²，常用于计算降低率问题。 （2）握手、循环赛问题 单循环赛：若有n支球队进行单循环比赛，即每两队之间都赛一场。1 支球队要和剩下的(n−1)支球队比赛，所以n支球队比赛的总场次为n(n−1)场，但A与B比赛和B与A比赛是同一场，存在重复计算，因此实际比赛场次m= 双循环赛：若每两队之间都赛两场，比如有主客场之分，那么比赛场次就是单循环赛的2倍，即m=n(n−1)。 握手问题：与单循环赛原理相同，若有x人参加聚会，每两人都握一次手，所有人共握手10次，可列方程。 互赠礼品问题：与比赛问题中的双循环原理相同，若x人相互之间各赠送一件礼品，因为甲给乙送和乙给甲送是不同的两件礼品，所以总共赠送的礼品数为x(x−1)件。如全组共互赠了182件礼品，可列方程x(x−1)=182。 （3）利润问题 总利润单件利润总件数； 总利润总售价总成本价． 根据公式想办法将降价后的利润以及降价后能售出的件数表示出来即可． （4）几何面积问题 对于面积问题首先判断要求面积的图形的形状，再根据公式将要求出的量用表示出来．例如要求的某个长方形面积，就必须先把长和宽表示出来． （5）动态几何问题 三角形中的动态问题：例如在直角三角形中，动点从顶点出发沿直角边运动，根据三角形面积公式，利用动点运动速度和时间表示出相关线段长度，进而根据面积条件列出一元二次方程求解，如已知直角边长度和动点速度，求何时三角形面积为特定值。 矩形中的动态问题：通常以矩形的长和宽为基础，动点在矩形的边或内部运动，可根据矩形的性质，如四个角为直角、对边相等，结合三角形面积公式等建立方程，如求何时三角形面积为定值 题型一 一元二次方程的概念与一般形式 【典例1】（25-26九年级上·西藏拉萨·期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25九年级上·江西赣州·期末）将一元二次方程化成一般形式正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25九年级上·湖北孝感·期末）一元二次方程的一次项系数和常数项分别是（   ） A．和1 B．2和 C．和 D．和1 【变式1-3】（25-26九年级上·山东·期末）已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值为 ． 题型二 解一元二次方程 【典例2-1】（25-26九年级上·全国·期末）解方程：． 【典例2-2】（24-25九年级上·甘肃天水·期末）解方程：． 【典例2-3】（24-25九年级上·甘肃临夏·期末）解方程：． 【典例2-4】（24-25九年级上·广东肇庆·期末）解方程：． 【变式2-1】（24-25九年级上·四川泸州·期末） 解方程： 【变式2-2】（24-25九年级上·广东江门·期末）解方程： 【变式2-3】（24-25九年级上·北京海淀·期末）解方程：． 【变式2-4】（25-26九年级上·全国·期末）解方程：． 【变式2-5】（24-25九年级上·河南周口·期末）（1）解方程：； （2）若，求的值． 【变式2-6】（23-24九年级上·四川达州·期末）阅读材料： 为解方程，我们可以将视为一个整体，设， 则原方程可化为，① 解得，． 当时，，∴即． 当时，，∴即． ∴原方程的解为，，，． 根据以上材料，解答下列问题． (1)填空：在原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了_____的数学思想． (2)解方程 题型三 根的判别式及其应用 【典例3-1】（24-25九年级上·河南南阳·期末）关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【典例3-2】（24-25九年级上·甘肃临夏·期末）若关于的方程有两个实数根，求的取值范围． 【典例3-3】（24-25九年级上·湖北孝感·期末）已知关于x的一元二次方程．求证：无论m为何值，方程都有两个不相等的实数根． 【变式3-1】（25-26九年级上·全国·期末）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖线，记成，并规定，例如，则的根的情况为（    ） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【变式3-2】（24-25九年级上·云南红河·期末）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值可以是（   ） A．0 B． C． D． 【变式3-3】（24-25九年级上·甘肃武威·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，求实数k的取值范围． 题型四 一元二次方程根与系数的关系 【典例4-1】（25-26九年级上·广东汕头·期末）若，是方程的两根，则的值是（ ） A．18 B．9 C．6 D．0 【典例4-2】（24-25九年级上·新疆阿克苏·期末）设是一元二次方程的两个根，则 ． 【典例4-3】（25-26九年级上·全国·期末）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为 ，，求，的值． 【变式4-1】（25-26九年级上·内蒙古通辽·期末）已知，是一元二次方程的两个根，求的值． 【变式4-2】（25-26九年级上·全国·期末）若关于的一元二次方程有两个实数根互为相反数，求的值． 【变式4-3】（25-26九年级上·全国·期末）已知关于的方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程有两个实数根，分别为和，当时，求的值． 题型五 一元二次方程的应用 【典例5-1】（24-25九年级上·四川绵阳·期末）已知一架飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度v（单位：）与滑行时间t（单位：）之间满足一次函数关系．而滑行距离，，其中是初始速度，是t秒时的速度，当飞机在跑道起点处着陆后滑行了，则此时飞机的滑行速度（   ）． A．10 B．20 C．30 D．10或30 【典例5-2】（24-25九年级上·湖南怀化·期末）已知一个两位数，十位上的数字是个位上的数字的倍，十位上的数字的平方与个位上的数字的倍之和正好是这个两位数，则这个两位数是 ． 【典例5-3】（25-26九年级上·全国·期末）果农张大爷原计划以每千克4元的价格销售某种水果，由于部分果农盲目扩大种植，造成该水果滞销，张大爷为了加快销售，减少损失，经过两次下调价格后，以每千克元的价格销售．求平均每次下调价格的百分率． 【典例5-4】（24-25九年级上·云南红河·期末）实施乡村振兴战略是中国共产党的重大决策部署，是新时代做好“三农”工作的总抓手．农业大学毕业的小宇积极响应号召回乡发展，他不仅是一个蔬菜种植能手，还是一个喜爱动脑筋的创意设计者．下面是他设计的一个矩形蔬菜仓库，如图，仓库的一边靠墙，这堵墙的长为18米，在与墙平行的一边，要开一扇2米宽的门，用33米长的木板材料，怎样围成一个面积为150平方米的长方形仓库？ 【典例5-5】（25-26九年级上·甘肃武威·期末）如图，在中，，，点点同时由、两点出发分别在线段线段上向点匀速移动，它们的速度都是，几秒后，的面积为面积的？ 【变式5-1】（25-26九年级上·山东青岛·期末）某校九年级举行篮球赛，比赛采用单循环赛制（每两队之间都赛一场），共进行了场比赛，设这次有个队参加比赛，则列方程为 ． 【变式5-2】（25-26九年级上·全国·期末）某电厂规定，该厂家属区每户居民如果一个月的用电量不超过a度，那么这居民这个月只需缴30元电费；如果超过a度，那么这个月除了仍要缴30元的用电费以外，超过的部分还要每度按元缴费． (1)若该厂某户居民2月份用电度，超过了规定的a度，则超过的部分应缴电费多少元（用a表示）； (2)如表是这户居民3月、4月用电情况和缴费情况： 月份 用电量（度） 缴电费总数（元） 3 120 62 4 65 30 请根据如表数据，求出电厂规定的a的值． 【变式5-3】（25-26九年级上·山东青岛·期末）已知甲商品的进价为每件元，商场确定其售价为每件元． (1)现需进行降价促销活动，预备从原来的每件元进行两次调价，已知该商品的现价为每件元，若该商品两次调价的降价率相同，求这个降价率； (2)经调查，该商品每降价元，即可多销售件，已知当甲商品的售价为每件元时，每月可销售件，若该商场希望该商品每月能盈利元，且尽可能增加销售量，则该商品在原售价的基础上应如何调整？ 【变式5-4】（24-25九年级下·山东青岛·期末）如图所示，有两个体积相同的圆柱形铁块A和B，圆柱A的底面半径为，高为且比圆柱B高．(π取3) (1)求圆柱B的底面积． (2)一个底面长，宽的长方体水箱里有一些水，将圆柱A和B立放于水箱里，水的深度恰好与圆柱A的高度相同，则水箱中，圆柱A，B放入之前的水面高度是多少厘米? 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26九年级上·湖北·期末）一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别为（） A．3，2 B．2，3 C．3， D．3，4 2．（23-24九年级上·山西阳泉·期末）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 3．（25-26九年级上·全国·期末）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 4．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）已知，是方程的两个实数根，则 ． 5．（25-26九年级上·内蒙古通辽·期末）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，各种品牌相继投放市场，我国新能源汽车近几年销量全球第一，2018年销量为125.6万辆，销量逐年增加，到2020年销量为130万辆．设年平均增长率为x，可列方程为 ． 6．（25-26九年级上·全国·期末）解方程： (1)； (2) 7．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）解方程． (1)； (2)． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 8．（25-26九年级上·全国·期末）将一元二次方程化成（为常数）的形式，则，的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 9．（23-24九年级上·内蒙古乌海·期末）设m，n分别为一元二次方程的两个实数根，则（    ） A．2019 B．2018 C．2017 D．2016 10．（25-26九年级上·辽宁抚顺·期末）2026年元旦即将来临，某校九年级班主任为了鼓励本班学生期末努力学习，亲自购买了1600张元旦贺卡，准备在元旦来临的前一天，向每位同学赠送一张贺卡，每位同学也向班里其他每一位同学赠送了一张贺卡，贺卡恰好用完，设班级有名学生，则下列方程成立的是（    ） A． B． C． D． 11．（25-26九年级上·全国·期末）某礼品店购进一批2022冬奥会吉祥物特许商品“冰墩墩”徽章，如果每个盈利5元，每天可售出500个，经市场调查发现，若每个涨价1元，则日销售量减少20个，现在既要保证每天盈利4000元，又要尽可能使顾客花费少些，那么每个应涨价 元． 12．（25-26九年级上·河南安阳·期末）新定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．若是“倍根方程”，则 ． 13．（25-26九年级上·全国·期末）已知 ，，试判断关于 的方程 与 有没有公共根，请说明理由． 14．（25-26九年级上·全国·期末）水果店张阿姨以2元/千克的价格购进某种水果若干，然后以4元/千克的价格出售，每天可售出100千克．通过调查发现，这种水果的单价每降低元，每天可多售出20千克．为保证每天至少售出260千克，张阿姨决定降价销售． (1)若将这种水果的单价降低x元，则每天的销售量是____千克（用含x的代数式表示）． (2)销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将单价降至多少元？ 15．（25-26九年级上·全国·期末）请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍． 解：设所求方程的根为， 则，所以． 把代入已知方程，得， 化简，得， 故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的方法，解答下列问题（要求：把所求方程化为一般形式）： (1)已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，请求出所求方程； (2)已知方程的两个根分别是和，尝试求出另一个方程的两个根． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 16．（25-26九年级上·全国·期末）对于一个四位自然数M ，满足千位上的数字与个位上的数字之和等于百位上的数字与十位上的数字之和，那么就称这个数为“智慧数”．例如，，因为，所以5241是“智慧数”.则最小的“智慧数”是 ；若“智慧数”（，，，，且a，b，c，d均为自然数），使关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，且满足，则满足条件的M的最大值为 ． 17．（23-24九年级上·四川成都·期末）将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10十个数划分成两组，使得两组数中没有重复的数，将这两组数分别按照从小到大排列，这样的操作称为这十个数的一种分割，例如和就是这十个数的一种分割，并且规定和这样交换顺序和前一种分割是同种分割．若某次分割成的两组数满足其中一组数的积等于另一组数的和，那么我们就称这样的分割为完美分割，例如和为这十个数的一种完美分割，则在这十个数的所有分割中，完美分割共有 种． 18．（24-25九年级上·内蒙古包头·期末）（1）解方程：； （2）已知是方程的两个根． ①若，求m的值； ②若，求m的值． 19．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，用长为25米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． (1)设花圃的一边长为米，请用含的代数式表示另一边的长为 米； (2)若此时花圃的面积刚好为平方米，求此时花圃的长与宽； (3)建成花圃的面积能为平方米吗？请说明理由． 20．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）有一块长，宽的矩形铁皮． (1)如图，如果在铁皮的四个角裁去四个边长一样的正方形后，将其折成底面积为的无盖长方体盒子，求裁去的正方形的边长． (2)由于需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理利用材料，某学生设计了如图的裁剪方案，阴影部分为裁剪下来的边角料，其中左侧的两个阴影部分为正方形，若想折出底面积为的有盖盒子，则裁剪下来的边角料面积为__________． 21．（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）阅读下列材料： 解方程， 解：设，则原方程化为， 解得，． 当时，，解得：； 当时，，解得． 原方程的解为：，，，． 以上解一元二次方程的方法叫做换元法，通过换元法达到了降次或者简化方程的目的，这体现了数学中的转化思想． (1)请用上述方法解下列方程：； (2)已知实数，满足，求的值． 22．（24-25九年级上·吉林长春·期末）“三折叠，怎么折，都有面．”华为“三折叠”一经上市，便火遍全国，形成一股“折叠风”．9月10日，华为新出的型号为“Mate XT非凡大师”的手机在深圳湾召开发布会，某华为手机专卖网店抓住商机，购进10000台“Mate XT 非凡大师”手机进行销售，每台的成本是20000元，在线同时向国内、国外发售．第一个星期，国内销售每台售价是25000元，共获利1000万元，国外销售也售出相同数量该款手机，但每台成本增加4000元，获得的利润却是国内的6倍． (1)求该店销售该款华为手机第一个星期在国外的售价是多少元？ (2)受中美贸易战影响，第二个星期，国内销售每台该款手机售价在第一个星期的基础上降低，销量上涨；国外销售每台售价在第一个星期的基础上上涨，并且在第二个星期将剩下的手机全部卖完，结果第二个星期国外的销售总额比国内的销售总额多6993万元，求的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 一元二次方程（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 一元二次方程的概念与一般形式 理解一元二次方程的核心概念，能准确判断给定方程是否为一元二次方程，熟练将方程化为一般形式 ，并正确识别二次项系数、一次项系数和常数项。 高频考点，命题多考查判断方程是否为一元二次方程、确定一般形式中的系数、根据根的情况确定参数取值范围。 一元二次方程的解法 全面掌握四种求解方法，能根据方程特征灵活选择最优解法：熟练运用直接开平方法求解特殊形式方程；精准掌握配方法的完整步骤，能解决含分数系数的配方问题；牢记求根公式 ，并能规范代入计算；熟练运用因式分解法求解可分解的一元二次方程，理解“降次”的核心思想。 核心必考点，命题重点考查解法的灵活选择，其中因式分解法、配方法、公式法均有涉及。 根的判别式与韦达定理 掌握根的判别式与根的关系，能通过计算判别式判断方程根的情况；理解一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），解决根的求和、求积及参数求解问题。 高频核心考点，判别式常考查判断根的情况、根据根的情况求参数；韦达定理多考查已知两根求代数式值、已知一根求另一根及参数。 一元二次方程实际应用 能将实际问题抽象为一元二次方程模型，熟练解决四类典型应用题：增长率/降低率问题、矩形等图形的面积问题、商品利润问题、数字问题，求解后能结合实际情境检验解的合理性。 中频考点，命题聚焦增长率/降低率、面积、利润三大典型模型，题干贴近生活，难度中等。 知识点01 一元二次方程的概念 1.定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫作一元二次方程． 定义解析： 判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面： “化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 2.一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫做常数项． 一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． 要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 知识点02 解一元二次方程 1.开平方法 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 2.配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 3.配方法的应用 （1）用配方法解一元二次方程． 配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2 配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方． （2）利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值． 关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方． （3）配方法的综合应用． 4.公式法 （1）把（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 5.因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 6.换元法 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 知识点03 一元二次方程的判别式 1.一元二次方程根的判别式：我们把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示，记作． 2.一元二次方程， 当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程没有实数根． 知识点04 一元二次方程根与系数的关系 韦达定理：如果是一元二次方程 的两个根,由解方程中的公式法得, ，． 那么可推得． 这是一元二次方程根与系数的关系 知识点05 一元二次方程的应用 1.列方程解实际问题的三个重要环节： 　　一是整体地、系统地审题； 　　二是把握问题中的等量关系； 　　三是正确求解方程并检验解的合理性. 2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 3.解决应用题的一般步骤： 　　　审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 　　　设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 　　　列 (根据题目中的等量关系，列出方程)； 　　　解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）； 　　　答 (写出答案，切忌答非所问). 4.常见应用题型 　　 （1）增长率问题 增长率：增加量占起始量的百分比，若起始量为q，终极量为p，增长率为x，则增长一次后p=q(1+x)。 连续增长率公式：连续增长两次，公式为p=q(1+x)² 若x>0，表示增长；若x<0，表示降低，此时公式变为p=q(1−x)²，常用于计算降低率问题。 （2）握手、循环赛问题 单循环赛：若有n支球队进行单循环比赛，即每两队之间都赛一场。1 支球队要和剩下的(n−1)支球队比赛，所以n支球队比赛的总场次为n(n−1)场，但A与B比赛和B与A比赛是同一场，存在重复计算，因此实际比赛场次m= 双循环赛：若每两队之间都赛两场，比如有主客场之分，那么比赛场次就是单循环赛的2倍，即m=n(n−1)。 握手问题：与单循环赛原理相同，若有x人参加聚会，每两人都握一次手，所有人共握手10次，可列方程。 互赠礼品问题：与比赛问题中的双循环原理相同，若x人相互之间各赠送一件礼品，因为甲给乙送和乙给甲送是不同的两件礼品，所以总共赠送的礼品数为x(x−1)件。如全组共互赠了182件礼品，可列方程x(x−1)=182。 （3）利润问题 总利润单件利润总件数； 总利润总售价总成本价． 根据公式想办法将降价后的利润以及降价后能售出的件数表示出来即可． （4）几何面积问题 对于面积问题首先判断要求面积的图形的形状，再根据公式将要求出的量用表示出来．例如要求的某个长方形面积，就必须先把长和宽表示出来． （5）动态几何问题 三角形中的动态问题：例如在直角三角形中，动点从顶点出发沿直角边运动，根据三角形面积公式，利用动点运动速度和时间表示出相关线段长度，进而根据面积条件列出一元二次方程求解，如已知直角边长度和动点速度，求何时三角形面积为特定值。 矩形中的动态问题：通常以矩形的长和宽为基础，动点在矩形的边或内部运动，可根据矩形的性质，如四个角为直角、对边相等，结合三角形面积公式等建立方程，如求何时三角形面积为定值 题型一 一元二次方程的概念与一般形式 【典例1】（25-26九年级上·西藏拉萨·期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项A：是整式方程，只含未知数x，且最高次数为2，故是一元二次方程． 选项B：含分式项，是分式方程，不是整式方程． 选项C：，展开得，简化后为，是一元一次方程． 选项D：是一元一次方程． 故选：A． 【变式1-1】（24-25九年级上·江西赣州·期末）将一元二次方程化成一般形式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， ， ， ∴将一元二次方程化成一般形式为， 故选：． 【变式1-2】（24-25九年级上·湖北孝感·期末）一元二次方程的一次项系数和常数项分别是（   ） A．和1 B．2和 C．和 D．和1 【答案】A 【详解】解：， ∴ 移项得， ∴ 一次项系数为，常数项为， 故选：A． 【变式1-3】（25-26九年级上·山东·期末）已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵方程是一元二次方程， 则x的最高次数为2， 即， 解得或． 又∵二次项系数， 即， ∴． 故答案为． 题型二 解一元二次方程 【典例2-1】（25-26九年级上·全国·期末）解方程：． 【详解】解：移项：， 系数化为1：， 两边开平方：， 移项：， ∴，． 【典例2-2】（24-25九年级上·甘肃天水·期末）解方程：． 【详解】解：， 配方，得， 即， ∴， ∴，． 【典例2-3】（24-25九年级上·甘肃临夏·期末）解方程：． 【详解】解：方程中，，，， ∵， ∴， ∴，． 【典例2-4】（24-25九年级上·广东肇庆·期末）解方程：． 【详解】 或 解得，． 【变式2-1】（24-25九年级上·四川泸州·期末） 解方程： 【详解】解：， ， ， ， 则， 所以 【变式2-2】（24-25九年级上·广东江门·期末）解方程： 【详解】解： 移项得， 配方得，即， 开方得， 解得，． 【变式2-3】（24-25九年级上·北京海淀·期末）解方程：． 【详解】解：，，， ， ， 故，． 【变式2-4】（25-26九年级上·全国·期末）解方程：． 【详解】解法：去分母，得 化简，得 ， 整理，得 解得 经检验，，是原方程的解． ∴原方程的解为，． 解法：令，则原方程可化为， 解得，． 当时，，解得； 当时，，解得． 经检验，和是原方程的解． ∴原方程的解为，． 【变式2-5】（24-25九年级上·河南周口·期末）（1）解方程：； （2）若，求的值． 【详解】解：（1）， ， ， ，或， ，； （2）设，则有， ，即或， ，， 的值为1或． 【变式2-6】（23-24九年级上·四川达州·期末）阅读材料： 为解方程，我们可以将视为一个整体，设， 则原方程可化为，① 解得，． 当时，，∴即． 当时，，∴即． ∴原方程的解为，，，． 根据以上材料，解答下列问题． (1)填空：在原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了_____的数学思想． (2)解方程 【详解】（1）解：在原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． 故答案为：转化； （2）设，则原方程可化为， 解得，（不合题意，舍去）， 由可得，， 故方程的解是，． 题型三 根的判别式及其应用 【典例3-1】（24-25九年级上·河南南阳·期末）关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】B 【详解】解：∵原方程为， ∴化为标准形式：， 其中，，， ∴判别式， ∵， ∴方程有两个相等的实数根； 故选B． 【典例3-2】（24-25九年级上·甘肃临夏·期末）若关于的方程有两个实数根，求的取值范围． 【答案】 【详解】解：方程有两个实数根 判别式 ． ． ． ． 因此，的取值范围是． 【典例3-3】（24-25九年级上·湖北孝感·期末）已知关于x的一元二次方程．求证：无论m为何值，方程都有两个不相等的实数根． 【详解】证明： ，，， ， 无论m为何值，原方程都有两个不相等的实数根． 【变式3-1】（25-26九年级上·全国·期末）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖线，记成，并规定，例如，则的根的情况为（    ） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【答案】C 【详解】解：根据规定得，整理得， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 【变式3-2】（24-25九年级上·云南红河·期末）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值可以是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ 方程有两个相等的实数根， ∴ Δ = = = 0， ∴ ， ∴ ， 故 的值可以是 ， 故选C． 【变式3-3】（24-25九年级上·甘肃武威·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，求实数k的取值范围． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴，解得：． 题型四 一元二次方程根与系数的关系 【典例4-1】（25-26九年级上·广东汕头·期末）若，是方程的两根，则的值是（ ） A．18 B．9 C．6 D．0 【答案】D 【详解】解：∵ 方程 可化为 ， ∴ ，， ∴ ． 故选：D． 【典例4-2】（24-25九年级上·新疆阿克苏·期末）设是一元二次方程的两个根，则 ． 【答案】2025 【详解】解：∵ , 是一元二次方程 的两个根， ∴ ，且 ， ∴ ， ∴. 故答案为：2025 【典例4-3】（25-26九年级上·全国·期末）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为 ，，求，的值． 【详解】在方程 中，，，． 根据题意，可知 ，． 解得 ，． 【变式4-1】（25-26九年级上·内蒙古通辽·期末）已知，是一元二次方程的两个根，求的值． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴， ∴ 【变式4-2】（25-26九年级上·全国·期末）若关于的一元二次方程有两个实数根互为相反数，求的值． 【详解】解：设方程的两个根分别为，， 在方程中，，，， ， 方程的两个根互为相反数， ，即， 解得． 当时，方程为，此时一元二次方程无实数根，故舍去； 当时，方程为，解得，． 综上，的值为． 【变式4-3】（25-26九年级上·全国·期末）已知关于的方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程有两个实数根，分别为和，当时，求的值． 【详解】（1）解：当时，原方程为， 解得：， ∴符合题意； 当时，原方程为一元二次方程， ∵该一元二次方程有实数根， ∴，解得， 综上所述，的取值范围为； （2）解：∵和是方程有两个根， ∴，， ∵，即， ∴， 解得，满足， 经检验，是分式方程的解，且符合题意． ∴的值为． 题型五 一元二次方程的应用 【典例5-1】（24-25九年级上·四川绵阳·期末）已知一架飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度v（单位：）与滑行时间t（单位：）之间满足一次函数关系．而滑行距离，，其中是初始速度，是t秒时的速度，当飞机在跑道起点处着陆后滑行了，则此时飞机的滑行速度（   ）． A．10 B．20 C．30 D．10或30 【答案】C 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴， 当时，， 整理得：， 解得：（舍去）， 此时， 即此时飞机的滑行速度． 故选：C 【典例5-2】（24-25九年级上·湖南怀化·期末）已知一个两位数，十位上的数字是个位上的数字的倍，十位上的数字的平方与个位上的数字的倍之和正好是这个两位数，则这个两位数是 ． 【答案】 【详解】解：设这个两位数个位上的数字为，则十位上的数字为， 这个两位数为， 又十位上的数字的平方与个位上的数字的9倍之和正好是这个两位数， ， 解得或（舍去）， ． 故答案为： ． 【典例5-3】（25-26九年级上·全国·期末）果农张大爷原计划以每千克4元的价格销售某种水果，由于部分果农盲目扩大种植，造成该水果滞销，张大爷为了加快销售，减少损失，经过两次下调价格后，以每千克元的价格销售．求平均每次下调价格的百分率． 【详解】解：设平均每次下调价格的百分率是x，由题意得： ， 解得，， 因为降价的百分率不可能大于1， 所以不符合题意，舍去； 答：平均每次下调价格的百分率是． 【典例5-4】（24-25九年级上·云南红河·期末）实施乡村振兴战略是中国共产党的重大决策部署，是新时代做好“三农”工作的总抓手．农业大学毕业的小宇积极响应号召回乡发展，他不仅是一个蔬菜种植能手，还是一个喜爱动脑筋的创意设计者．下面是他设计的一个矩形蔬菜仓库，如图，仓库的一边靠墙，这堵墙的长为18米，在与墙平行的一边，要开一扇2米宽的门，用33米长的木板材料，怎样围成一个面积为150平方米的长方形仓库？ 【详解】解：设长方形的长为米，则每个长用的木板材料为米，每个宽用的木板材料为米， ∴， 解得，， 当时，，不符合题意，舍去， ∴， ∴长方形的长为15米，宽为10米． 【典例5-5】（25-26九年级上·甘肃武威·期末）如图，在中，，，点点同时由、两点出发分别在线段线段上向点匀速移动，它们的速度都是，几秒后，的面积为面积的？ 【详解】解：设秒后，， 此时，，； 由题意得， 即， 解得，， 米， ， 不合题意，舍去， 即． 【变式5-1】（25-26九年级上·山东青岛·期末）某校九年级举行篮球赛，比赛采用单循环赛制（每两队之间都赛一场），共进行了场比赛，设这次有个队参加比赛，则列方程为 ． 【答案】 【详解】解：设有x个队参加比赛，每个队需要与其他个队各赛一场，但每场比赛涉及两个队，因此总比赛场数为， 根据题意，总场数为45，故列方程为． 故答案为：． 【变式5-2】（25-26九年级上·全国·期末）某电厂规定，该厂家属区每户居民如果一个月的用电量不超过a度，那么这居民这个月只需缴30元电费；如果超过a度，那么这个月除了仍要缴30元的用电费以外，超过的部分还要每度按元缴费． (1)若该厂某户居民2月份用电度，超过了规定的a度，则超过的部分应缴电费多少元（用a表示）； (2)如表是这户居民3月、4月用电情况和缴费情况： 月份 用电量（度） 缴电费总数（元） 3 120 62 4 65 30 请根据如表数据，求出电厂规定的a的值． 【详解】（1）解：由题意可知，超过a度的电费为元； （2）由表格可知3月份的用电量超过a度，故：， 整理得：， 解得：， ∵4月份用电量度，交费元， ∴， ∴不符合题意，舍去， ∴， 答：电厂规定的a的值为． 【变式5-3】（25-26九年级上·山东青岛·期末）已知甲商品的进价为每件元，商场确定其售价为每件元． (1)现需进行降价促销活动，预备从原来的每件元进行两次调价，已知该商品的现价为每件元，若该商品两次调价的降价率相同，求这个降价率； (2)经调查，该商品每降价元，即可多销售件，已知当甲商品的售价为每件元时，每月可销售件，若该商场希望该商品每月能盈利元，且尽可能增加销售量，则该商品在原售价的基础上应如何调整？ 【详解】（1）解：设这种商品平均降价率是，依题意得： ， 解得：，舍去； 故这个降价率为； （2）解：设降价元，则多销售件， 根据题意得 解得：（舍去）或， 答：在原售价的基础上，再降低元． 【变式5-4】（24-25九年级下·山东青岛·期末）如图所示，有两个体积相同的圆柱形铁块A和B，圆柱A的底面半径为，高为且比圆柱B高．(π取3) (1)求圆柱B的底面积． (2)一个底面长，宽的长方体水箱里有一些水，将圆柱A和B立放于水箱里，水的深度恰好与圆柱A的高度相同，则水箱中，圆柱A，B放入之前的水面高度是多少厘米? 【详解】（1）解：设圆柱B的底面半径为， 由题意，得圆柱B的高为， ∵圆柱A与圆柱B的体积相同， ∴， 解得， ∵π取3， ∴圆柱B的底面积， 答：圆柱B的底面积是； （2）两个圆柱放入长方体后，总体积， ∵， ∴， ∴水箱中，圆柱放入之前的水体积， ∴水箱中，圆柱放入之前的水面高度， 答：水箱中，圆柱放入之前的水面高度是． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26九年级上·湖北·期末）一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别为（） A．3，2 B．2，3 C．3， D．3，4 【答案】C 【详解】解：对于方程，二次项系数为3，一次项系数为． 故选：C． 2．（23-24九年级上·山西阳泉·期末）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】C 【详解】解：， ∴方程没有实数根， 故选：． 3．（25-26九年级上·全国·期末）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有实数根， ∴判别式， 解得 综上，且， 故选：C． 4．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）已知，是方程的两个实数根，则 ． 【答案】2028 【详解】解：∵是方程的根， ∴， 即． ∴ ． 故答案为：2028． 5．（25-26九年级上·内蒙古通辽·期末）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，各种品牌相继投放市场，我国新能源汽车近几年销量全球第一，2018年销量为125.6万辆，销量逐年增加，到2020年销量为130万辆．设年平均增长率为x，可列方程为 ． 【答案】 【详解】设年平均增长率为x，则2019年销量为万辆，2020年销量为万辆， 根据题意，2020年销量为130万辆， 因此可列方程为． 故答案为：． 6．（25-26九年级上·全国·期末）解方程： (1)； (2) 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ，； （2）解：原方程可化为， ， ， 7．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）解方程． (1)； (2)． 【详解】（1）解： ， 解得； （2）解：， ∵， ∴， ∴， 解得． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 8．（25-26九年级上·全国·期末）将一元二次方程化成（为常数）的形式，则，的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】解：∵ ， ∴ 两边除以2：， ∴ 移项：， ∴ 配方：，即 ， ∴ 与 比较，得 ，， 故选：B． 9．（23-24九年级上·内蒙古乌海·期末）设m，n分别为一元二次方程的两个实数根，则（    ） A．2019 B．2018 C．2017 D．2016 【答案】D 【详解】解：∵m，n分别为一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴． 故选：D． 10．（25-26九年级上·辽宁抚顺·期末）2026年元旦即将来临，某校九年级班主任为了鼓励本班学生期末努力学习，亲自购买了1600张元旦贺卡，准备在元旦来临的前一天，向每位同学赠送一张贺卡，每位同学也向班里其他每一位同学赠送了一张贺卡，贺卡恰好用完，设班级有名学生，则下列方程成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设班级有名学生，则班主任赠送贺卡数为，学生互赠贺卡总数为， 根据题意得 故选：B． 11．（25-26九年级上·全国·期末）某礼品店购进一批2022冬奥会吉祥物特许商品“冰墩墩”徽章，如果每个盈利5元，每天可售出500个，经市场调查发现，若每个涨价1元，则日销售量减少20个，现在既要保证每天盈利4000元，又要尽可能使顾客花费少些，那么每个应涨价 元． 【答案】5 【详解】解：设每个涨价x元，则每个盈利 元，日销售量个， 根据题意，得， 化简整理，得， 解得 或 ， 为使顾客花费少，取较小值 ， 每个涨价5元． 故答案为：5． 12．（25-26九年级上·河南安阳·期末）新定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．若是“倍根方程”，则 ． 【答案】或 【详解】解：解方程，可得， ∵是“倍根方程”， ∴当是6 的2倍时，即有即； 当6是的 2 倍时，即有； 故答案为：或． 13．（25-26九年级上·全国·期末）已知 ，，试判断关于 的方程 与 有没有公共根，请说明理由． 【详解】解：没有公共根，理由如下： 不妨设关于x的方程 与 有公共根， 设公共根为 ， 则有 得， ∴或， ，， ，，则 假设 ， 则，即，与矛盾， ， ， ∴， ， 将 代入①得 ， ∵ ，所以 均为正数，其和 必大于0， ∴ ，不成立，产生矛盾不符合题意， 关于 的两个方程没有公共根． 14．（25-26九年级上·全国·期末）水果店张阿姨以2元/千克的价格购进某种水果若干，然后以4元/千克的价格出售，每天可售出100千克．通过调查发现，这种水果的单价每降低元，每天可多售出20千克．为保证每天至少售出260千克，张阿姨决定降价销售． (1)若将这种水果的单价降低x元，则每天的销售量是____千克（用含x的代数式表示）． (2)销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将单价降至多少元？ 【详解】（1）解：将这种水果的单价降低x元，则每天的销售量是（千克）． 故答案为：． （2）解：设这种水果的单价降价x元．则 ， 解得，． 当时，每天的销售量为（千克）； 当时，每天的销售量为（千克）． 保证每天至少售出260千克， ∴，此时单价为（元）． 答：销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将单价降至3元． 15．（25-26九年级上·全国·期末）请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍． 解：设所求方程的根为， 则，所以． 把代入已知方程，得， 化简，得， 故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的方法，解答下列问题（要求：把所求方程化为一般形式）： (1)已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，请求出所求方程； (2)已知方程的两个根分别是和，尝试求出另一个方程的两个根． 【详解】（1）解：设所求方程的根为，根据题意，是原方程根的相反数，因此， 即， 代入原方程， 得：， 则． （2）解：，； ∵， ∴移项得， ， 设，则方程变为， 故的根为和， 当时，，解得； 当时，，解得； 则方程的两个根是，． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 16．（25-26九年级上·全国·期末）对于一个四位自然数M ，满足千位上的数字与个位上的数字之和等于百位上的数字与十位上的数字之和，那么就称这个数为“智慧数”．例如，，因为，所以5241是“智慧数”.则最小的“智慧数”是 ；若“智慧数”（，，，，且a，b，c，d均为自然数），使关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，且满足，则满足条件的M的最大值为 ． 【答案】 1010 6936 【详解】解：对于一个四位数，当各个数位上的数字最小时，这个四位数最小， 千位上的数字为1，百位上的数字为0， 又千位上的数字与个位上的数字之和等于百位上的数字与十位上的数字之和， 十位上的数字为1，个位上的数字为0， 最小的“智慧数”是1010； “智慧数”，根据“智慧数”的定义得：， 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ， ， 整理得：， ， ， 又， ， 解得：， “智慧数”为最大， 、均为最大， 取最大值6，取最大值9，此时，， 的最大值为：6936． 故答案为：1010；6936． 17．（23-24九年级上·四川成都·期末）将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10十个数划分成两组，使得两组数中没有重复的数，将这两组数分别按照从小到大排列，这样的操作称为这十个数的一种分割，例如和就是这十个数的一种分割，并且规定和这样交换顺序和前一种分割是同种分割．若某次分割成的两组数满足其中一组数的积等于另一组数的和，那么我们就称这样的分割为完美分割，例如和为这十个数的一种完美分割，则在这十个数的所有分割中，完美分割共有 种． 【答案】3 【详解】解：， 一组数的积要小于， ，， 相乘的这一组数最多只能有个， ， 相乘的这一组数最少有2个， ①若这一组数有2个， 当两个数连续时，设较小的数为，则另一个为， 分割成的两组数满足其中一组数的积等于另一组数的和， ，整理得，解得，（不合题意，舍去）， 符合条件的完美分割为和； 当两个数不连续时， ， 两个数的乘积不小于，分别讨论、、、、、、是否满足其中一组数的积等于另一组数的和， 当两个数不连续时，没有符合条件的完美分割， ②若这一组数有3个， 当三个数连续时，设中间的数为，则另两个为，， ，整理得，即， 为1到10的整数， 没有符合条件的， 当三个数不连续时，设其中最大的数为，分别讨论、、） 其中始终大于组合内第二个数、以及、、、、是否满足其中一组数的积等于另一组数的和， 其中符合条件的完美分割有和； ③若这一组数有4个， 当四个数连续时，、均不符合，后面的皆不符合， 当四个数不连续时，设其中最大的数为，， ，解得， 、、均不符合，后面的皆不符合； 可得符合条件的完美分割就是题干中的完美分割， 则在这十个数的所有分割中，完美分割共有3种， 故答案为：3． 18．（24-25九年级上·内蒙古包头·期末）（1）解方程：； （2）已知是方程的两个根． ①若，求m的值； ②若，求m的值． 【详解】（1）， ， ， 所以． （2）①由题知，方程有两个相同的实数根， 所以， 解得； ②由根与系数的关系，， ， ， 即， 解得或， 当时，方程为，，符合题意； 当时，方程为，，不符合题意， 故． 19．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，用长为25米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． (1)设花圃的一边长为米，请用含的代数式表示另一边的长为 米； (2)若此时花圃的面积刚好为平方米，求此时花圃的长与宽； (3)建成花圃的面积能为平方米吗？请说明理由． 【详解】（1）解：∵长方形花圃的宽长为米， ∴另一边的长为米， 故答案为：； （2）解：∵花圃的面积刚好为平方米， ∴， 化简得：， 解得：，， ∵墙的最大可用长度为米， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 答：此时花圃的长与宽边分别为米和5米； （3）解：建成花圃的面积不可能为平方米，理由如下： 设花圃的一边长为米， 则 ， 根据题意可得：， 整理得：， ∵， ∴方程无解， ∴建成花圃的面积不可能为平方米． 20．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）有一块长，宽的矩形铁皮． (1)如图，如果在铁皮的四个角裁去四个边长一样的正方形后，将其折成底面积为的无盖长方体盒子，求裁去的正方形的边长． (2)由于需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理利用材料，某学生设计了如图的裁剪方案，阴影部分为裁剪下来的边角料，其中左侧的两个阴影部分为正方形，若想折出底面积为的有盖盒子，则裁剪下来的边角料面积为__________． 【详解】（1）解：设正方形的边长为， 根据题意可得：， 整理得：， 分解因式得：， 解得：，(舍去)， 答：裁去的正方形的边长为； （2）解：设左侧阴影正方形的边长为， 根据题意可得：， 整理得：， 分解因式得：， 解得：，(舍去)， 盒子的底面宽为，长为， 右侧阴影长方形的长为， 裁剪下来的边角料面积为， 故答案为：． 21．（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）阅读下列材料： 解方程， 解：设，则原方程化为， 解得，． 当时，，解得：； 当时，，解得． 原方程的解为：，，，． 以上解一元二次方程的方法叫做换元法，通过换元法达到了降次或者简化方程的目的，这体现了数学中的转化思想． (1)请用上述方法解下列方程：； (2)已知实数，满足，求的值． 【详解】（1）解： 设， 则原方程可化为， 分解因式可得：， 解得：，， 当时，可得：， 解得：， 当时，可得：， 解得：， 原方程的解为，； （2）解：， 整理得：， 设， 则原方程化为， 整理得：， 分解因式可得：， 解得：，， 当时，， 当时，(不符合题意，舍去)， ． 22．（24-25九年级上·吉林长春·期末）“三折叠，怎么折，都有面．”华为“三折叠”一经上市，便火遍全国，形成一股“折叠风”．9月10日，华为新出的型号为“Mate XT非凡大师”的手机在深圳湾召开发布会，某华为手机专卖网店抓住商机，购进10000台“Mate XT 非凡大师”手机进行销售，每台的成本是20000元，在线同时向国内、国外发售．第一个星期，国内销售每台售价是25000元，共获利1000万元，国外销售也售出相同数量该款手机，但每台成本增加4000元，获得的利润却是国内的6倍． (1)求该店销售该款华为手机第一个星期在国外的售价是多少元？ (2)受中美贸易战影响，第二个星期，国内销售每台该款手机售价在第一个星期的基础上降低，销量上涨；国外销售每台售价在第一个星期的基础上上涨，并且在第二个星期将剩下的手机全部卖完，结果第二个星期国外的销售总额比国内的销售总额多6993万元，求的值． 【详解】（1）解：设该店销售该款华为手机第一个星期在国外的售价是x元， 根据题意得：， 解得：， 答：该店销售该款华为手机第一个星期在国外的售价是54000元； （2）解：第一个星期国内销售手机的数量为：(台)，则国外销售手机的数量为：台， 根据题意：第二个星期国内销售手机的数量为：(台)，国外销售手机的数量为：台， 由题意得：， 设，则原方程化为：， 即， 解得：（负值舍去）， 则，故， 答：的值为． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $