第8章 一元二次方程 全章综合训练-【初中必刷题】2025-2026学年八年级下册数学同步课件(鲁教版 五四制)
2026-05-08
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教辅
资源信息
| 学段 | 初中 |
|---|---|
| 学科 | 数学 |
| 教材版本 | 初中数学鲁教版（五四制）（2012）八年级下册 |
| 年级 | 八年级 |
| 章节 | 第八章 一元二次方程 |
| 类型 | 课件 |
| 知识点 | - |
| 使用场景 | 同步教学-单元练习 |
| 学年 | 2026-2027 |
| 地区（省份） | 全国 |
| 地区（市） | - |
| 地区（区县） | - |
| 文件格式 | PPTX |
| 文件大小 | 3.99 MB |
| 发布时间 | 2026-05-08 |
| 更新时间 | 2026-05-08 |
| 作者 | 众望益飞教育科技（北京）有限公司 |
| 品牌系列 | 初中必刷题&教材划重点·初中同步课件 |
| 审核时间 | 2026-05-08 |
| 下载链接 | https://m.zxxk.com/soft/57738163.html |
| 价格 | 4.00储值（1储值=1元） |
| 来源 | 学科网 |
摘要：
该初中数学单元复习课件系统梳理了一元二次方程的概念、解法、根的判别式、根与系数关系及实际应用，通过考点分类、刷中考真题和章测训练，将知识点从基础到综合层层递进，帮助学生构建完整的知识网络。
其亮点在于融合数学核心素养，如用矩形菜地面积问题培养数学建模意识，通过根的判别式推理训练逻辑思维，设计分层练习（基础题到综合应用题）满足个性化复习需求。这种设计既巩固知识又提升能力，教师可直接用于单元复习，提高教学效率。
内容正文：
数 学
八年级下册 LJ
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第八章 一元二次方程
4
全章综合训练
5
刷中考
刷章测
目 录
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中考
考点1 一元二次方程及其解法
1.【2024四川凉山州中考】若关于的一元二次方程 的
一个根是，则 的值为( )
A
A.2 B. C.2或 D.
【解析】 关于的一元二次方程的一个根是 ，
且，解得 .故选A.
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2.【2024内蒙古赤峰中考】等腰三角形的两边长分别是方程 的
两个根，则这个三角形的周长为( )
C
A.17或13 B.13或21 C.17 D.13
【解析】，，解得， .当等腰三
角形的边长是3,3,7时， ，不符合三角形的三边关系，应舍去；当等腰三
角形的边长是7,7,3时，这个三角形的周长是 .故选C.
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3.【2025贵州中考】一元二次方程 的根是________________.
，
【解析】，，，，故答案为， .
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4.【2025黑龙江齐齐哈尔中考】解方程： ．
【解】整理，得，因式分解，得 ，所以
或，解得， ．
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考点2 根的判别式
5.【2025北京中考】若关于的一元二次方程 有两个相等的实数
根，则实数 的值为( )
C
A. B. C.1 D.4
【解析】 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
且,且, .故选C.
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6.【2025新疆中考】若关于的一元二次方程无实数根，则实数
的取值范围是( )
B
A. B. C. D.
【解析】 关于的一元二次方程 无实数根，
，解得 .故选B.
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7.【2025四川内江中考】若关于的一元二次方程 有实数根，
则实数 的取值范围是( )
C
A. B. C.且 D.且
【解析】 关于的一元二次方程 有实数根，
解得且， 实数的取值范围是
且 ．故选C.
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关键点拨
利用二次项系数非零及根的判别式，列出关于 的一元一次不等式组是解题
的关键．
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8.【2025广东中考】不解方程，判断一元二次方程 的根的情况是
__________________________．
方程有两个不相等的实数根
【解析】一元二次方程，, 该方
程有两个不相等的实数根．故答案为方程有两个不相等的实数根．
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9.【2025山东枣庄中考】若关于的一元二次方程 有两个不相等
的实数根，则实数 的取值范围是________.
【解析】由题意得，，解得.故答案为 .
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考点3 根与系数的关系
10.【2025广西中考】已知,是方程 的两个实数根，则
( )
C
A. B. C.20 D.25
【解析】,是方程的两个实数根, 根据根与系数的关系
可得 ，故选C.
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11.【2025河北中考】若一元二次方程 的两根之和与两根之积分
别为,，则点 在平面直角坐标系中位于( )
C
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【解析】方程，整理得， 两根之和 ，
两根之积， 点 在平面直角坐标系中位于第三象限.故选C.
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12.【2025江苏苏州中考】已知，是关于的一元二次方程 的
两个实数根，其中，则 ____.
【解析】,是关于的一元二次方程 的两个实数根，
，,故答案为 .
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13.【2025黑龙江绥化中考】已知，是关于 的一元二次方程
的两个根，则 _______．
2 027
【解析】，是关于的一元二次方程 的两个根，
， ，
，故答案为2 027．
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14.【2025四川广安中考】已知方程的两根分别为和 ，则代数
式 的值为____．
29
【解析】 方程的两根分别为，， ，
， ，
．故答案为29．
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关键点拨
解题时运用整体代入（将和 分别看成一个整体）的思想是关键．
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15.【2025四川南充中考】设，是关于的方程 的两根．
（1）当时，求及 的值．
【解】把代入方程，得， ,
，即,,解得 ，
， ．
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（2）求证： ．
【证明】方程 可化为
， 方程有两个不相
等的实数根． 方程的两根为，， ，
，
，
，即 ．
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考点4 一元二次方程的应用
16.【2025福建中考】为加强劳动教育，增加学生实践机会，某
校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，
围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形
的一边长为 米，根据题意可列方程( )
C
A. B. C. D.
【解析】已知矩形的一边长为米，则另一边长为 米，根据矩形的面积为6
平方米可列方程为 ．故选C.
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17.【2025重庆中考】某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，
该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率
为( )
B
A. B. C. D.
【解析】设该景区这两年接待游客的年平均增长率为 .根据题意得
，解得，（不符合题意，舍去）， 该
景区这两年接待游客的年平均增长率为 .故选B.
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18.【2025山东威海中考】如图，某校有一块长、宽 的
矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建
宽度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均
为 的9个矩形地块，请你求出小路的宽度．
【解】设小路的宽度为，则9个矩形地块可拼接成长为 ，宽为
的矩形.根据题意，得 ，整理，得
，解得， （不符合题意，舍去）．
答：小路的宽度为 ．
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19.【2024四川凉山州中考】阅读下面材料，并解决相关问题：
下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1
个点，第二行有2个点……第行有 个点……
容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10.
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（1）探索：三角点阵中前8行的点数之和为____，前15行的点数之和为_____，那
么，前 行的点数之和为___________.
【解】三角点阵中前8行的点数之和为
，前15行的点数之和为
，那么，前 行的点数之和为
.故答案为36，120， .
36
120
.
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（2）体验：三角点阵中前 行的点数之和 __________________________________
_______________________________________________________________________
______________________________________________________ （填“能”或“不
能”）为500.
（3）运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格
的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第排 盆的规律摆放而成，
则一共能摆放多少排？
【解】前行的点数之和为 .由
题意得，，即 ，解得
或（舍去）， 一共能摆放20排.
由（1）得 ，
，， 此方程无正整数解，
三角点阵中前 行的点数之和不能为500.故答案为不能.
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章测
一、选择题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
1.下列方程中，是一元二次方程的是( )
A
A. B.
C. D.
【解析】A项满足等式方程、只含有一个未知数 、未知数的最高次数为2这三个条
件，是一元二次方程；B项有两个未知数;C项去括号化简后，未知数的最高次数为
1；D项当 时,未知数的最高次数不为2.故选A.
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易错警示
当一个方程二次项的系数用字母表示时，需要标明该字母不为0才能确保该方程是
一元二次方程，如无标明，则该方程根据字母的取值可能为一元一次方程，也可
能为一元二次方程.
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2.已知方程的解是， ，则方程
的解是( )
A
A.， B.，
C.， D.，
【解析】把方程看做关于 的一元二次方程，
所以或，所以， .故选A.
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33
（第3题图）
3.【2025山东济宁期末】如图，公园中有一块长为 ，宽
为的矩形场地，场地中间有3块面积都是 的矩形草
坪，各草坪四周都是相同宽度的通道，若设通道的宽度为
，根据题意可列方程为( )
A
A.
B.
C.
D.
【解析】根据题意得 ，故选A.
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4.若一个三角形的两边长分别是2和6，第三边的长是方程 的一
个根，则这个三角形的周长为( )
C
A.7 B.3或7 C.15 D.11或15
【解析】，，或.当
时,，,3,6不能组成三角形;当时，， ,
,6,7能够组成三角形， 这个三角形的周长为 .故选C.
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思路分析
首先利用因式分解法求出的值，再根据三角形的三边关系对 的值进行取舍，最
后再计算出周长即可．
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5.【2025山东威海期末】已知方程 ，“ ”中的数字印刷不清
楚．若可以将其配方成 的形式，则印刷不清楚的数是( )
D
A. B. C.3 D.2
【解析】，，由题意得 ，解得
，，， ，
，， 印刷不清楚的数是2，故选D.
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（第6题图）
6. 传统文化《几何原本》中记载了用图解法解方程
的方法，类似地，我们可以用折纸的方法求方程
的一个正根.如图是一张边长为1的正方形纸片
，先折出，的中点，，再折出线段 ，然后通过
沿线段折叠使落在线段上，得到点的新位置 ，并连
接， ，此时，在下列四个选项中，有一条线段的长度恰好
是方程 的一个正根，则这条线段是( )
B
A.线段 B.线段 C.线段 D.线段
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【解析】设，则.由题意可知，是 的中
点，，， .
，
， .
的解为， 取正值为， 这条线段是线段
.故选B.
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7.【2025山东淄博期中】对于一元二次方程 ，下列说法：
①若，则；②若方程 有两个不相等的实数根，
则方程必有两个不相等的实数根；③若是方程
的一个根，则一定有成立；④若 是一元二次方程
的根，则 ，其中正确的( )
B
A.只有①② B.只有①②④ C.只有②③④ D.只有②③
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【解析】①若，则是方程 的解，由一元二次
方程的实数根与判别式的关系可知，故①正确； 方程
有两个不相等的实数根，， ，则方程
的判别式， 方程 必有两个不
相等的实数根，故②正确；是方程 的一个根，则
，，若 ，等式仍然成立，但
不一定成立，故③不正确；④若 是一元二次方程
的根，则由求根公式可得或 ，
或, ，故
④正确．故选B.
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二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
8.【2024山东济南调研】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出
同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是73，则每个支干长出的小分支
数是___.
8
【解析】设每个支干长出个小分支，则，解得，
（舍去）， 每个支干长出8个小分支.故答案为8.
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9.【2025山东东营期末】已知，是方程 的两个实数根，则
的值是_______．
2 028
【解析】，是方程的两个实数根， ，
，
.根据根与系
数的关系得 ，
．故答案为2 028．
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10.【2024安徽蚌埠期末】观察下列一组方程： ；
；； .它们的根有一定的
规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方
程”.若是“连根一元二次方程”，则 的值为____.
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【解析】是“连根一元二次方程”， ,
，， .故答案为17.
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11.已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上的数字与十位
上的数字的平方和比这个两位数小4，则这个两位数是____.
84
思路分析 一元二次方程中的数字问题
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【解析】设这个两位数的个位上的数字为，则十位上的数字为 .根据题意，
得.整理，得,解得 ，
.又为非负整数，， .
故答案为84.
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12.已知，，为的两个根，则 的最小
值是____.
【解析】由题意,可知，， 原式
,
.故最小值为 .
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13.【2025广东佛山质检】若关于的方程 的所有根都是
比1小的正实数，则实数 的取值范围是______________．
或
【解析】当时，．当时，可得， ，符合
题意；当时，可得，，不符合题意.当 时，
， ，
． 关于的方程 的所有根都是比1小的正实
数，，解得；，解得， ．综上可得，
实数的取值范围是或．故答案为或 ．
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思路分析
分和 两种情况求出原方程的实数根，再根据原方程的根都
是比1小的正实数列出不等式，求出 的取值范围．
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三、解答题（本大题共4小题，共54分）
14.【2025山东泰安期中】用适当的方法解方程：
（1） ；
【解】，，，， .
（2） ；
【解】， 原方程无解.
（3） ；
【解】，，，即 ，
，, .
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（4） ．
【解】，，， ．
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15.已知关于的方程 有实根.
（1）当 时，求解上述方程.
【解】当时，方程化为， ,
， .
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（2）求 的取值范围.
【解】当时，方程化为，方程有实数根；当 时，根据题意得
，解得且.综上所述， 的取值范围为
.
易错警示
注意分为和 两种情况讨论.
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（3）是否存在实数，使方程两根的倒数之和为1？若存在，请求出 的值；若不
存在，请说明理由.
【解】不存在.理由：设方程的两根分别为， .根据根与系数的关系得
，.，即，， ，解
得.且， 不存在实数 ，使方程两根的倒数之和为1.
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16.【2025山东淄博期末】沂源县地处鲁中山区腹地，这里山清水秀，土质肥沃，
气候独特，为大樱桃的生长提供了得天独厚的条件，其中燕崖镇已经发展为全国
种植大樱桃面积最大的乡镇之一.大樱桃通过网络直播和电商平台销售到全国各地，
某商户在线上平台直播带货，销售该地所产大樱桃，成本价为50元/箱．直播时，
按每箱70元销售，第一天卖出了80箱．
（1）若第三天的销售利润为2 500元，求第二天、第三天日销售利润的平均增长率；
【解】设第二天、第三天日销售利润的平均增长率为 .根据题意得
，解得， （不符合题意，舍
去）.
答：第二天、第三天日销售利润的平均增长率为 .
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（2）若直播后，通过市场调查发现，每箱大樱桃的售价每降低1元，日销售量增
加10箱．求当售价定为多少时，日销售利润为1 950元.
【解】设应降价元/箱，则售价为元/箱，日销售量为 箱.
根据题意得，整理得 ，解得
，.当时，；当 时，
.
答：售价应定为65元/箱或63元/箱．
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17.【2025山东临沂期中】某农户承包了一块矩形果园 ，图（1）是果园的平
面图，其中米， 米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向
道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为 米，中间部分种植水果．已
知道路的路面造价是每平方米50元，出于货车通行等因素的考虑，每条横向道路
的宽度不超过24米，且不小于10米.该农户发现某种草莓销售前景比较不错，经市
场调查发现，草莓培育一年可产果.已知每平方米的草莓平均销售利润为100元，
果园每年的承包费为25万元，期间需一次性投入33万元购进新苗，每年还需25万
元的养护、施肥、运输等其余费用.
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图（1）
图（2）
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（1）请直接写出 的取值范围．
【解】的取值范围为 .
（2）若中间种植区域的面积是44 800平方米，则路面设置的宽度是否符合要求？
【解】根据题意得 ，整理得
，解得，（舍去）在
的范围内， 路面设置的宽度符合要求.
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（3）经过1年后，该农户是否可以达到预期净利润400万元？请说明理由.
（净利润 草莓销售的总利润-路面造价费用-果园承包费用-新苗购置费用-其余费
用）
【解】经过1年后，该农户可以达到预期净利润400万元.理由如下：假设经过1年
后，该农户可以达到预期净利润400万元，根据题意得 ，
整理得，解得，.又， 符
合题意， 假设成立，即经过1年后，该农户可以达到预期净利润400万元．
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