专题02 特殊四边形热考几何模型（期末复习讲义，知识必备+4大重难题型+过关验收）八年级数学下学期鲁教版五四制

专题02 特殊四边形热考几何模型（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 “十字架”模型 掌握矩形、正方形中十字架模型的基本结构，理解“垂直线段比与图形边长比的关联”核心结论，明确模型成立的前提条件（如矩形中需两条线段分别在相对两边上且互相垂直）。 高频考点，近3年多数地区期末卷均有涉及，多出现于选择、填空压轴题或解答题中档题。以矩形、正方形为主要载体，常见题型包括：①判断垂直线段的数量/比例关系；②结合矩形边长计算垂直线段长度；③直角三角形中十字架模型的结论应用。 对角互补模型 掌握常见对角互补模型的类型（如90°对角互补、120°对角互补，以正方形、菱形为载体），熟记“对角互补+邻边相等”模型中线段相等、角平分线、面积相等的核心结论。 中频考点，多与正方形、菱形综合考查，出现于解答题中档题。 核心围绕90°对角互补模型，常见题型包括：①以正方形对角线为背景，判断线段相等；②计算对角互补四边形的面积；③结合旋转探究角平分线性质。 半角模型 掌握以正方形为载体的半角模型结构（如45°半角对90°全角），牢记“线段和差”核心结论（如正方形中EF=AE+CF）及推导的理论依据（旋转性质、全等三角形判定）。 高频考点，是期末压轴题的核心模型之一，出现于解答题最后两题。以正方形为主要载体，常见题型包括：①基础证明；②结合边长计算线段长度、三角形周长；③拓展至一般四边形的半角问题，探究周长定值。 最值模型（将军饮马） 掌握九上高频最值模型的类型，包括利用垂线段最短、三角形三边关系、轴对称性质（将军饮马）、菱形/矩形的边长与对角线关系、直角三角形斜边上的中线性质等求最值的核心原理。 高频考点，贯穿选择、填空、解答压轴题，覆盖范围广。以特殊平行四边形为载体，常见题型包括：①菱形/矩形中线段长度的最值；②将军饮马模型的变式应用；③结合相似三角形、直角三角形斜边上的中线性质求最值。 知识点01“十字架”模型 【模型解读】 在正方形的对边分别取点并相连，所得两条线段，若垂直，则相等；若相等，则垂直.简记：垂直即相等；相等即垂直. ①线段过顶点时，如图（1）.易证， . ②线段不过顶点时，如图（2），作, .易证 ，， 易得 . 知识点02 对角互补模型 【模型解读】 如图，在正方形中，点是对角线，的交点，过点作射线， ，分别交，于点，，且 ，，交于点 . 结论：；； 是等腰直角三角形；④四边形的面积为正方形面积的 . 知识点03 半角模型 【模型解读】 如图（1），在正方形中，,分别在,上，分别交,于， ，若 , 则有以下结论：；； 平分,平分；； 如图（2），在正方形中，,分别在的延长线、 的延长线上，若 , 则有以下结论：平分； . 知识点04 最值模型 1.根据垂线段最短求最值 【模型解读】 在直角三角形中求线段长度的最小值时，通常利用矩形的对角线相等这一性质将所求线段长度的最小值转化成直角顶点与斜边动点连线的长度的最小值，此时根据垂线段最短即可求解. 2.根据三角形三边关系求最值 【模型解读】 利用三角形三边关系解决最值问题时，构造出来的这个三角形要有两条边的长为定值，另外一边为要求的那条边. 3.“将军饮马”求最值 【模型解读】 求直线同侧两点与直线上一动点所连线段和的最小值时，作其中一点关于直线的对称点，将两点转化到直线的两侧，利用两点之间线段最短求最小值. 题型一 “十字架”模型 【典例1-1】（2025·四川德阳·中考真题）在综合实践活动中，同学们将对学校的一块正方形花园进行测量规划使用，如图，点处是它的两个门，且，要修建两条直路，与相交于点（两个门的大小忽略不计）． (1)请问这两条路是否等长？它们有什么位置关系，说明理由； (2)同学们测得米，米，根据实际需要，某小组同学想在四边形地上再修一条米长的直路，这条直路的一端在门处，另一端在已经修建好的路段或花园的边界上，并且另一端与点B处的距离不少于米，请问能否修建成这样的直路，若能，能修建几条，并说明理由． 【典例1-2】（23-24九年级上·河南洛阳·期末）小明在学习中发现，当垂直线段出现在四边形中间时，通常有比较简明的结论．下面是他的发现过程，请补充并完成其中的问题． (1)如图1，在正方形中，为上一点，连结，过点作于点，交于点，则与的数量关系是_________． (2)①如图2，在矩形中，，为上的点，连结，过点作于点，交于点．小明发现，过点作于点，可以得到与的数量关系．这个数量关系是什么?请说明理由． ②填空；由①可得，顶点分别在矩形的每一组对边（或延长线）上互相垂直的两条线段的比，等于__________． ③应用上述结论解决问题；如图3，在中，，点是的中点，连结，过点作的垂线，交直线于点，垂足是点，直接写出的长度． 【典例1-3】（25-26九年级上·陕西渭南·期中）【问题探究】 （1）如图，已知正方形，点在边上，点在射线上，连接． ①如图1，当点在边上时，过点作交于点，则线段__________；（填“＞”“＜”或“＝”） ②如图2，平移图1中的线段，使点与点重合，点在的延长线上，连接，取的中点，连接，求证：； 【问题解决】 （2）如图3，有一块边长为的正方形农田，为了加强农田的基本建设，实现旱涝保收，水库、、（大小忽略不计）分别在边、、上，、是两条水渠，水渠和相交于点．已知，水渠，求水库到农田边的距离． 【变式1-1】（2025·河南省直辖县级单位·一模）综合实践 【教材再现】如图，是一个正方形花园，、是它的两个门，且．要必有两条路和．这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？ 本道题通过证，可得，． 在同学们已有知识经验的基础上，王老师以正方形折叠为主题开展数学活动． (1)【操作发现】如图1．边长为12的正方形纸片，点在边上．将正方形沿折叠，点落在处，将纸片展开，作射线，交于点，作射线交于．小明在操作中发现：．请你帮他证明． (2)【结论应用】 在（1）的基础上，在翻折过程中，随着点的变化、的位置也随之变化、如图2．当时，求的长度． (3)【拓展应用】 正方形的边长为6，是边上一动点，是边上的一动点，将正方形沿折叠，使点恰好落在边的三等分点处，点的对应点为点，请直接写出折痕的长． 【变式1-2】（25-26九年级上·四川成都·期中）综合与实践课上，数学兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行了探究． (1)操作判断 如图（1），在正方形中，点E，F，G，H分别在边上，且，请直接写出和数量关系． (2)迁移探究 如图（2），在矩形中，，点E，F，G，H分别在边上，且，若，求的长． (3)拓展应用 如图（3），在中，，点D，E分别在边，上，且，试证明：． 【变式1-3】（2025·山西长治·三模）问题背景 如图1，四边形是一个正方形花园，，分别是它的两个门，且，要修建两条路和，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？ 问题探究 (1)如图2，在正方形中，若，试证明． 知识迁移 (2)如图3，在矩形中，点，，，分别在线段，，，上，且．若，，求的值．（用含，的代数式表示） 知识运用 (3)如图4，，是两个直角三角形，，，，交于点，经过的中点，交于点，，且，请直接写出的值． 题型二 对角互补模型 【典例2】（23-24九年级上·陕西榆林·期中）综合与探究： 【问题发现】 数学课上，活动小组的同学将两个正方形纸片按照图1所示的方式放置．如图1，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形为这两个正方形的重叠部分，正方形可绕点O旋转． （1）在图1中，线段，之间的数量关系是______； 【类比迁移】 （2）如图2，矩形对角线相交于点O，点O又是矩形的一个顶点，且这两个矩形全等，矩形可绕点O旋转．边与AB相交于点E，边与相交于点F，猜想，，，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，，直角的顶点O在边的中点处，可绕绕点O旋转．它的两条边，分别交，于点E，F，若，求OE的长． 【变式2-1】（24-25九年级上·辽宁阜新·期末）【课本再现】 （1）如图1，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形为两个正方形重叠部分，正方形可绕点O转动． 【问题发现】 （1）①线段，之间的数量关系是______． ②在①的基础上，连接，则线段之间的数量关系是______． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心O是矩形的一个顶点，与边相交于点E，与边相交于点F，连接，矩形可绕着点O旋转，猜想，，之间的数量关系，并进行证明； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，直角的顶点D在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点E，F，可绕着点D旋转，当时，请直接写出的面积． 【变式2-2】（24-25九年级上·江西九江·期中）【实践探究】数学实践课上，活动小组的同学将两个正方形纸片按照图1所示的方式放置．如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形为这两个正方形的重叠部分，正方形可绕点旋转． 【问题发现】 （1）①线段，之间的数量关系是________． ②在①的基础上，连接，则线段，，之间的数量关系是________． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交点，与边相交于点，连接，延长交于点，连接，，矩形可绕点旋转．判断线段，，之间的数量关系并证明． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点，，可绕点旋转．当时，请直接写出线段的长． 【变式2-3】（23-24九年级上·江苏盐城·期末）（1）【问题初探】 苏科版教材八年级下册第九章《中心对称图形一一平行四边形》中有这样的问题：如图1正方形的边长为1，的顶点O在正方形两条对角线的交点处，，将绕点O旋转，的两边分别与正方形的边和交于点E和点F（点F与点C，D不重合），问：在旋转过程中，四边形的面积会发生变化吗？证明你的结论． 爱思考的小明和小丽同学分别探究出了如下两种解题思路： 小明：如图a，证明，则，这样，可实现四边形的面积向面积的转化； 小丽：如图b，过点O分别作于点G，于点H，证明，从而将四边形的面积转化成小正方形的面积． 通过他们的思路点拨，你认为： （填一个数值），其实，在这样的旋转变化过程中，线段与的和也是一个定值，为 （填一个数值）； （2）【类比探究】 如图2，若将（1）中的“正方形”改为“含的菱形”，即，当绕点O旋转时，的边交边于点M，交边于点N． 请猜想： ①线段与之间的数量关系是 ； ②四边形与菱形的面积关系是 ； （3）【拓展应用】 ①对上面的问题进行进一步的探究，如图3，将图2中的沿方向平移至如图所示位置，若（m为常数）请描述与的数量关系（用含m的式子表示），并说明理由； ②在①的条件下，若，试说明点P恰为的重心． 题型三 半角模型 【典例3-1】（23-24九年级上·海南海口·期末）如图，四边形是正方形，M，N分别在上，连接且，我们把这种模型称为“半角模型”，旋转是解决此类模型的常用方法． (1)补全图形：将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到； (2)直接写出线段之间的数量关系 ． (3)根据（2）的结论，写出证明过程； (4)如果正方形的边长是4，求的周长． 【典例3-2】阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型.半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的，、与、边分别交于、两点.易证得. 大致证明思路：如图2，将延长至点，使，连，可证，再证，故. 任务：如图3，在四边形中，，，，以A为顶点的，、与、边分别交于、两点.请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由. 【典例3-3】（2025·山东东营·中考真题）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系_____． (2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【变式3-1】（23-24九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．原题：如图1，点E、F分别在正方形的边、上，，连接，试猜想、、之间的数量关系．        (1)把绕点逆时针旋转至，可使与重合，由，得，，即点F、D、G共线，易证≌__________，故、、之间的数量关系为__________． (2)如图2，点E、F分别在正方形的边、的延长线上，．连接，试猜想、、之间的数量关系为__________，并给出证明． (3)如图3，在中，，，点D、E均在边上，且．若，，直接写出的值和的长． 【变式3-2】（23-24九年级上·河北张家口·期末）【方法前置】作图形旋转是解决几何问题的重要方法，如图①，正方形中，、分别在边、上，且，连接，求证：．可将绕点逆时针旋转到的位置（容易得出点在的延长线上），进一步证明与全等．亲爱的同学们，你想好了吗？试着看下面的问题情境吧． 【问题情景】如图②，正方形是绿地公园的一块空地，其边长为60米．公园设计部门为了给儿童提供更舒适更安全的活动场地，准备将空地中的四边形（在上，在上）部分作为儿童活动区，并用围栏围挡起来，只留三个出人口，即点、点、点，而且根据实际需要，要使得，并将儿童活动区（即四边形）划分为和两种不同的游戏场地，儿童活动区之外的部分种植花草． （1）【模型感知】请参考【方法前置】的思路在图②中证明． （2）【模型应用】如图②，若，请你计算儿童活动区的面积； （3）【模型拓展】如图③，连接，若，与线段分别交于点、点，，请直接写出、和之间的数量关系． 【变式3-3】（24-25九年级上·辽宁盘锦·期中）问题：如图，点、分别在正方形的边，上，，试判断、、之间的数量关系． (1)【发现】、、之间的数量关系为_______． (2)【类比引申】 如图，四边形中，，，，点、分别在边、上，则当与满足_______关系时，仍有中的结论，请证明． (3)【探究应用】 如图，在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形，已知米，，，，道路 、上分别有景点型、，且与垂直，米，现要在 、之间修一条笔直的道路，求这条道路的长．（结果取整数，参考数据：，） 题型四 最值模型 【典例4-1】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在中，，，，D、E分别是、边上的两个动点，点G是的中点，连接，，若，则的最小值为 ． 【典例4-2】（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，在矩形中，，，点E在边上，点F在边上，且，连接，则的最小值为 ． 【变式4-1】（24-25九年级上·山西大同·期末）如图，在中，，，．点是内部一点，且，连接，则长的最小值为 ． 【变式4-2】（25-26九年级上·全国·期末）如图，在中，，，点B为边上一点（不与点A，E重合），连接，将绕点C旋转到的位置． (1)若，请用表示的度数； (2)连接，过点C作，求长的最小值． 【变式4-3】（24-25九年级上·广东佛山·期末）如图，在正方形中，点为对角线上一动点（点不与、重合），连接，过点作交直线于，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，． (1)求证：； (2)试探究与的数量关系，并说明理由； (3)若正方形的边长为，求的最小值． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26九年级上·河南周口·月考）如图，正方形的边长为4，为边上的一点，，为边上的一点，当时，的长为（   ） A．1.6 B．2 C．2.4 D．3 2．（24-25九年级上·广东·期末）在正方形中，边长，为中点，为上一点，且垂直平分交于点，则的长度为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，边长为的正方形，对角线相交于O，E为边上一动点（不与B，C重合），交于F，G为中点.给出如下四个结论： ①； ②点E在运动过程中，面积的最小值为1； ③点E在运动过程中，周长不变化； ④点E在运动过程中，与始终相等 其中正确的结论是（   ） A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④ 期末重难突破练（测试时间：20分钟） 1．（24-25九年级上·广东佛山·期末）如图，在菱形中，，、分别是、上的动点，满足．若，则周长的最小值为（   ） A． B． C．12 D．18 2．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践 已知矩形，点E在边上，点M在边上，点N在边上，，垂足为点F．    (1)如图1，当时，点M与点A重合时，则与的数量关系是______（填“”、“”、“”号）． (2)如图2，若，求与的数量关系； (3)应用（2）中的结论解决问题： ①如图2，若，，，则的最小值为______； ②如图3，在中，，，，点D是的中点，连接，过B作的垂线，交直线于E，垂足是点F，请直接写出的长． 3．（24-25九年级上·吉林长春·期末）【问题背景】 如图1所示，正方形的边长为4，是边上一点（不与、重合），在边上取点，使得，分别连接、相交于点． 【问题解决】 (1)判断与有怎样的位置关系，并给出证明； (2)如图2，若点为的中点，则的长为 ； (3)如图3，过点分别作、的垂线，垂足分别为、，连接，则的最小值为 ． 4．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）综合与实践 问题情境 在综合与实践课上，老师让同学们以“大小不等的两个正方形”为主题开展数学活动，如图1，现有一个边长为的正方形，点E从对角线上的点A出发向点C运动，连接并延长至点F，使，以为边在右侧作正方形，边与射线交于点M． 操作发现 （1）点E在运动过程中，判断线段与线段之间的数量关系，直接写出答案； 实践探究 （2）在点E的运动过程中，某时刻正方形与正方形重叠的四边形的面积是，求此时的长； 探究拓广 （3）请借助备用图2，探究当点E不与点A，C重合时，线段，与之间存在的数量关系，请直接写出． 期末综合拓展练（测试时间：30分钟） 1．（23-24九年级上·湖南张家界·期末）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形称为“等补四边形”． (1)下列选项中一定是“等补四边形”的是________； A．平行四边形；   B．矩形；        C．正方形；            D．菱形 (2)如图1，在边长为a的正方形中，E为边上一动点（E不与C、D重合），交于点F，过F作交于点H． ①试判断四边形是否为“等补四边形”并说明理由； ②如图2，连接，将绕A点逆时针旋转得到，判断线段与线段的数量关系，并求的周长； ③若四边形是“等补四边形”，当时，求的长． 2.根据已知图形解答下列问题． （1）问题发现 如图1，A、B、C、D四家工厂分别坐落在正方形城镇的四个角上，仓库P和Q分别位于AD和DC上，且两条直路BP⊥AQ．试判断的BP与AQ数量关系．并说明理由． （2）类比探究 如图2，在矩形ABCD中，AB=6，AD=9．点P在边AD上，连接BP，过点A作AQ⊥BP于点M，交射线DC于点Q．求的值． （3）拓展延伸 如图3，在三角形ABD中，∠BAD=90°，AB=6，AD=9，P是AD边上一动点，Q是BD边上一动点，且=，当BP⊥AQ时，AP= ． 　 　 3.（24-25九年级上·广东珠海·期中）【问题呈现】 如图，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点、（点与点，不重合）．探索线段、、之间的数量关系． 【问题初探】 （1）求证：，并直接写出线段、、之间的数量关系 ； 【问题引申】 （2）如图，连接，若正方形的边长为，其他条件不变，在旋转过程中，求的面积的最大值； 【创新拓展】 （3）如图，将图中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你写出线段、、之间的数量关系，并说明理由． 4．（24-25九年级上·广东深圳·期末）【问题思考】 （1）如图1，已知正方形，M，N分别是边，上一点，连接，，，且，若延长到，使得，连接． 则：运用三角形全等的相关知识，可推理得到三条线段，，之间的数量关系是 ． 【探究应用】 （2）如图2，正方形的边长为5，点E是射线上一动点（不与点B重合），连接，以为边长在的上方作正方形，交射线于点，连接． ①当点E在上时． （ⅰ）若，求的值； （ⅱ）若是等腰三角形，求此时的长． ②当点E在的延长线上时，若，则线段的长为 ． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题02特殊四边形热考几何模型（期末复习讲义） 明·期末考情 核心考点 复习目标 考情规律 “十字架”模型 掌握矩形、正方形中十字架模型的基本 高频考点，近3年多数地区期末卷均有涉及， 结构，理解“垂直线段比与图形边长比的 多出现于选择、填空压轴题或解答题中档题。 关联”核心结论，明确模型成立的前提条 以矩形、正方形为主要载体，常见题型包括： 件（如矩形中需两条线段分别在相对两 ①判断垂直线段的数量/比例关系：②结合矩形 边上且互相垂直)。 边长计算垂直线段长度；③直角三角形中十字 架模型的结论应用。 对角互补模型 掌握常见对角互补模型的类型（如90° 中频考点，多与正方形、菱形综合考查，出现 对角互补、120°对角互补，以正方形、 于解答题中档题。 菱形为载体)，熟记“对角互补+邻边相 核心围绕90°对角互补模型，常见题型包括： 等”模型中线段相等、角平分线、面积相 ①以正方形对角线为背景，判断线段相等；② 等的核心结论。 计算对角互补四边形的面积；③结合旋转探究 角平分线性质。 半角模型 掌握以正方形为载体的半角模型结构 高频考点，是期末压轴题的核心模型之一，出 (如45°半角对90°全角)，牢记“线段 现于解答题最后两题。以正方形为主要载体， 和差”核心结论（如正方形中EF=AE 常见题型包括：①基础证明；②结合边长计算 +CF)及推导的理论依据（旋转性质、 线段长度、三角形周长；③拓展至一般四边形 全等三角形判定)。 的半角问题，探究周长定值。 最值模型（将军 掌握九上高频最值模型的类型，包括利 高频考点，贯穿选择、填空、解答压轴题，覆 饮马) 用垂线段最短、三角形三边关系、轴对 盖范围广。以特殊平行四边形为载体，常见题 称性质（将军饮马）、菱形矩形的边长 型包括：①菱形/矩形中线段长度的最值；② 与对角线关系、直角三角形斜边上的中 将军饮马模型的变式应用；③结合相似三角形 线性质等求最值的核心原理。 直角三角形斜边上的中线性质求最值。 记·必备知识 同知识点01“十字架”模型 1/78 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【模型解读】 在正方形的对边分别取点并相连，所得两条线段，若垂直，则相等；若相等，则垂直简记：垂直即相 等；相等即垂直. M H 图(1) 图(2) ①线段过顶点时，如图(1).易证△ADE≌△BAFASA,·AE=BF. ②线段不过顶点时，如图(2)，作AN//EG,BM/HF.易证 △ADN≌△BAM(ASA),·AN=BM,·易得EG=FH· 昼知识点2对角互补模型 【模型解读】 B E M 如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC,BD的交点，过点O作射线OM,ON,分别交BC,CD于 点E,F,且∠E0F=90°，OC,EF交于点G. 结论：①△C0E兰△D0F;②△0BE兰△OCP;③△OEF是等腰直角三角形；④四边形CE0F的面 积为正方形ABCD面积的京 图知识点03半角模型 【模型解读】 2/78 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 图(1) 图（2) 如图(1)，在正方形ABCD中，E,F分别在BC,CD上，BD分别交AE,AF于M,N,若∠EAF=45° 则有以下结论：①EF=BE+DF;②C△CER=2AB;③FA平分∠DFE,EA平分∠BEF; ④MN2=BM2+DN2; 如图(2)，在正方形ABCD中，E,F分别在CB的延长线、DC的延长线上，若∠EAF=45°， 则有以下结论：①FA平分∠DFE;②EF=DF-BE. 局知识点04最值模型 1.根据垂线段最短求最值 【模型解读】 在直角三角形中求线段长度的最小值时，通常利用矩形的对角线相等这一性质将所求线段长度的最小 值转化成直角顶点与斜边动点连线的长度的最小值，此时根据垂线段最短即可求解. 2.根据三角形三边关系求最值 【模型解读】 利用三角形三边关系解决最值问题时，构造出来的这个三角形要有两条边的长为定值，另外一边为要 求的那条边 3.“将军饮马”求最值 【模型解读】 B 求直线同侧两点与直线上一动点所连线段和的最小值时，作其中一点关于直线的对称点，将两点转化 到直线的两侧，利用两点之间线段最短求最小值。 3/78 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 破·重难题型 它题型一“十字架”模型 【典例1-1】（2025四川德阳中考真题)在综合实践活动中，同学们将对学校的一块正方形花园ABCD进 行测量规划使用，如图，点E、F处是它的两个门，且DE=CF,要修建两条直路AF、BE,AF与BE相交 于点O(两个门E、F的大小忽略不计)， E (1)请问这两条路是否等长？它们有什么位置关系，说明理由； (2)同学们测得AD=4米，AE=3米，根据实际需要，某小组同学想在四边形0BCF地上再修一条2.5米长的 直路，这条直路的一端在门F处，另一端P在己经修建好的路段OB或花园的边界BC上，并且另一端P与 点B处的距离不少于1.5米，请问能否修建成这样的直路，若能，能修建几条，并说明理由， 【详解】(1)解：四边形ABCD是正方形， AD=AB=DC,∠BAE=∠ADF=90°， :DE=CF, .AE=DF, △BAE≌△ADF(SAS), .BE=AF,∠DAF=∠ABE, 又：∠ABE+∠AEB=90°， ∠DAF+∠AEB=90°， .∠A0E=90°， AF⊥BE, :这两条路AF与BE等长，且它们相互垂直； (2)解：能修建一条这样的直路，理由如下： 由(1)得AE=DF,BE=AF, :AE=3米，AD=4米， DF=3米，DC=4米，FC=1米， 4/78 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AF2=AD2+DF2=42+32=25, AF=5, BE=5, 又：在R△ABE中有S4e=)BE40=)4BABE, 1 2 2 5A0=4×3, :.A0=5' _12 0F=AF-A0=5-12=13 55 ①如果另一端点P在路段OB上， 则在R△OPF中，PF>OF=13>2.5, 5 此种情况不成立； ②如果另一端点P在花园边界BC上时， 设PC=x,则在Rt△PFC中，有PF2=PC2+FC2=x2+1=(2.5), x=t 2 PC=21 :BP=BC-PC=4->4-E-15. 2 .能修建成这样的一条直路。 【典例1-2】(23-24九年级上河南洛阳期末)小明在学习中发现，当垂直线段出现在四边形中间时，通常 有比较简明的结论.下面是他的发现过程，请补充并完成其中的问题. B M 5 图1 图2 图3 (1)如图1，在正方形ABCD中，E为AB上一点，连结DE,过点A作AG⊥DE于点F,交BC于点G,则 AG与DE的数量关系是 (2①如图2，在矩形ABCD中，AB=nBC,M、N为AB、CD上的点，连结MN,过点D作DE⊥MN于点 5/78 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 F,交BC于点E,小明发现，过点M作MG⊥CD于点G,可以得到MN与DE的数量关系.这个数量关 系是什么？请说明理由 ②填空；由①可得，顶点分别在矩形的每一组对边（或延长线）上互相垂直的两条线段的比，等于 ③应用上述结论解决问题；如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8,BC=6,点D是AB的中点，连结 CD,过点B作CD的垂线BE,交直线AC于点E,垂足是点F,直接写出BE的长度. 【详解】(1)解：：四边形ABCD是正方形， :AB=BC=CD=AD,∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90°， ∠DAF+∠FAE=90°， :AG⊥DE, .∠AFD=90°， ∴.∠DAF+∠ADF=90°， ∠ADE=∠BAG, 在△ADE和△BAG中， [∠ADE=∠BAG AD=BA ∠DAE=∠ABG .△ADE≌△BAG(ASA), .AG=DE, 故答案为：AG=DE; (2)解：①DE=nMN,理由如下， M E 图2 :四边形ABCD是矩形， .∠B=∠C=90°，AB=CD, :MG⊥CD, ∴∠B=∠C=∠MGN=90°，∠GMN+∠GNM=90°， :.四边形BCGM是矩形， 6/78 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .GM =BC, :DE⊥MN, .∠CDE+LGNM=90°， ∴.∠CDE=∠GMN, ∴aCDE∽aGMN, DECDAB =n, MN GM BC ÷DE=nMN; ②矩形的两邻边之比. @能号 证明：如图所示，延长CD至点M,使DM=CD, E B 图3 “点D是AB的中点， :AD=BD, :四边形ACBM是平行四边形， :∠ACB=90°， :平行四边形ACBM是矩形， CM=AB=VAC2+BC2=V82+62=10, :BE⊥CM, ∠CBE+∠BCF=∠BCF+∠ACM=90°， .∠ACM=∠BCE, .△CBE∽△ACM, CMAC,即E6 BE BC 10-81 7/78 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 如5 【典例1-3】（25-26九年级上陕西渭南期中)【问题探究】 (1)如图，已知正方形ABCD,点E在边AB上，点H在射线BC上，连接DE· ①如图1，当点H在BC边上时，过点H作HG⊥DE交DE于点O,则线段DE _GH;(填“>” "<”或“=”) B H 图1 ②如图2，平移图1中的线段GH,使点G与点D重合，点H在BC的延长线上，连接EH,取EH的中点 P,连接PC,求证：BE=√2PC; 图2 【问题解决】 (2)如图3，有一块边长为7km的正方形农田ABCD,为了加强农田的基本建设，实现旱涝保收，水库E、 H、G(大小忽略不计)分别在边AB、BC、AD上，DE、GH是两条水渠，水渠DE和GH相交于点O 己知LG0D=45°，水渠HG=√65km,求水库E到农田边AD的距离AE. D B 图3 【详解】解：(1)①过点C作CF∥GH,交AD于点F,如图， 8/78 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B H C :四边形ABCD是正方形， .AB=BC=CD=AD,∠A=∠B=∠ADC=90°，AD∥BC, .HC∥GF, :四边形GHCF是平行四边形， .CF=GH, :GH⊥DE, .CF⊥DE, ∠EDC+∠DCF=90°， 又∠ADE+∠CDE=90°， ·∠ADE=∠DCF, 又DA=CD,∠A=∠ADC, .△DAE≌CDF(ASA, .DE=CF, .DE=GH, 故答案为：=； ②证明：由平移得DE=GH=DH,DH⊥DE, :四边形ABCD是正方形， .AD=DC,∠ADC=∠DCH=90°， ∠ADE+LEDC=90°， :∠EDH=∠EDC+∠CDH=90°， ∠ADE=LCDH, ∴△ADE≌△CDH (ASA, .AE=CH, 如图，在BC上截取BN=BE,连接EN, 9/78 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 则△BEN是等腰直角三角形， EN =BE2+BN2=2BE, :BA=BC,BE=BN, :CN=AE=CH 点C为NH的中点， :点P为EH的中点， .PC是△ENH的中位线， pC-9E,甲8E=5C (2)解：如图，过点D作DN∥GH交BC于点N, M B HN :AD∥BC,即DG∥HN, :四边形GHND是平行四边形， DN GH =65km, :∠C=90°，DC=AB=7km, ∴CN=√DN2-CD2=V65-49=4km), :BN BC-CN =7-4=3(km), 连接EN,在AD上方作LADM=∠CDN,DM交BA的延长线于点M, 四边形ABCD是正方形， 10/78 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AD=CD，∠DAM=∠C=90°， △ADM≌△CDN(ASA, :AM =NC,DM =DN, :∠D0G=45°， ∠NDE=45°， ∠ADE+LCDN=45°， :∠MDE=LADE+∠ADM=45°， 在△NDE和aMDE中，ND=MD,∠NDE=∠MDE,DE=DE, aNDE≌MDE (SAS), :EM EN AE AM AE +CN, 设AE=x,则BE=7-x, 在Rt△BEN中，BN2+BE2=EN2,即32+(7-x=(x+4)2, 解得：x 21 T' 水库E到农田边AD的距离AE为x 【变式1-1】（2025河南省直辖县级单位.一模)综合实践 【教材再现】如图，ABCD是一个正方形花园，E、F是它的两个门，且DE=CF.要必有两条路BE和 AF,这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？ 本道题通过证△ADF≌△BAE,可得AF=BE,AF⊥BE, 在同学们己有知识经验的基础上，王老师以正方形折叠为主题开展数学活动. (1)【操作发现】如图1.边长为12的正方形纸片ABCD,点E在AD边上.将正方形沿BE折叠，点A落在 G处，将纸片展开，作射线BG,交CD于点M,作射线AG交CD于F,小明在操作中发现：AE=DF.请 你帮他证明 11/78 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 图1 (2)【结论应用】 在(1)的基础上，在翻折过程中，随着E点的变化、0的位置也随之变化、如图2.当0B=10时，求DF 的长度 图2 (3)【拓展应用】 正方形ABCD的边长为6，F是边CD上一动点，H是边AB上的一动点，将正方形ABCD沿FH折叠，使 点D恰好落在BC边的三等分点E处，点A的对应点为点P,请直接写出折痕FH的长， 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是正方形， AB=AD,∠BAD=∠D=90°， 由折叠性质得AG⊥BE, ∴∠ABE=∠DAF=90°-∠BA0, .△ABE≌△DAF(ASA), .AE=DF 图1 (2)解：由(1)知AG⊥BE,∠DAF=∠ABE, :在RtaA0B中，AB=12,0B=10, 0A=√AB2-0B2=V122-102=21, ÷ian∠ABo=OA- OB 5 在Rt△DAF中，tan∠DAF=tan∠ABO= 11 DF 5 AD 12/78 西学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 Dr= AD=12行 5 (3)解：由正方形ABCD得LADC=∠C=90°，AD=CD=BC=6,AB∥CD, 由折叠性质得FH⊥DE, 当CE=BC=2时，如图，过A作AK∥HF交CD于K, A E ·AK⊥DE, 同(1)证明方法可得aADK≌△DCE(ASA), :DK CE =2, 在Rt△ADK中，AK=√AD2+DK2=V62+22=20, :AH∥KF,AK∥HF, :四边形AHFK是平行四边形， .FH=AK=210: 当CE=BC=4时，如图，过A作AK∥HF交CD于K, 3 同理可证△ADK≌△DCE(ASA,则DK=CE=4, FH=AK=AD2+DK2=62+42=213, 综上，折痕FH的长为2√10或213. 【变式1-2】（25-26九年级上，四川成都期中)综合与实践课上，数学兴趣小组对图形中两条互相垂直的线 段间的数量关系进行了探究 13/78 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 G D G D B H C B H 图(1) 图(2) 图(3) (1)操作判断 如图(1)，在正方形ABCD中，点E,F,G,H分别在边AB,CD,AD,BC上，且EF⊥GH,请直接写 出EF和GH数量关系， (2迁移探究 如图(2)，在矩形ABCD中，BC=2AB,点E,F,G,H分别在边AB,CD,AD,BC上，且EF⊥GH, 若EF=8,求GH的长 (3)拓展应用 如图(3)，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D,E分别在边AC,BC上，且AE⊥BD,试证 明：BBE AD EC 【答案】(1)EF=GH (2)HG=4 (3)证明见解析 【分析】(1)过点E作EP⊥CD,过点H作HQ1AD,则EP⊥QH,根据矩形和正方形的性质得到 EP=HQ,设EF与HQ相交于点O,根据垂直得到∠FEP=∠GHQ,结合∠EPF=∠HQG=90°，得到 △EPF≌△HQG(ASA,即可求解. (2)过点E作EP⊥CD,过点H作HQ⊥AD,则EP⊥QH,根据矩形的性质和BC=2AB得到EP=2HQ, 设EF与HQ相交于点O,根据垂直得到∠FEP=∠GHQ,结合∠EPF=∠HQG=90°，得到△EPF∽aHQG, 即=0=2，结合EF=8,即可求解 (3)过点C作CF⊥AC交AE的延长线于点F,根据垂直得到∠ADB=∠F,再根据等腰直角三角形的性质， 可证△ABD≌aCAF(AAS),得到4D=CF,再根据AB∥CF,得到△4BE∽△FCE,即4-BE FC CE 再将 AD=CF代入，即可求证. 【详解】(1)解：如图，过点E作EP⊥CD,过点H作HQ1AD,则EP⊥QH, 14/78 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 刀 O 四边形EBCP,HCDQ是矩形， E B .EP=BC,HO=CD, :四边形ABCD是正方形， :BC=CD, .EP=HO, 设EF与HQ相交于点O, :EF⊥GH,EP⊥HQ, ∴.∠EOH+∠FEP=∠EOH+∠GHQ=90°， ∴.∠FEP=∠GHQ, 又：∠EPF=∠HQG=90°， ∴.△EPF≌aHQG(ASA, :EF =GH. (2)如图，过点E作EP⊥CD,过点H作HQ⊥AD,则EP⊥OH, G D 四边形EBCP,HCDQ是矩形， B .EP=BC,HO=CD, 又：BC=2AB, ..EP=2HO, 设EF与HQ相交于点O, EF⊥GH,EP⊥HQ, ∴.∠EOH+∠FEP=∠EOH+∠GHQ=90°， ∴.∠FEP=∠GHQ, 又.∠EPF=∠HQG=90°， 15/78 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .△EPF∽△HQG, EF EP HG HO =2, EF=8, HG=4. (3)证：如图，过点C作CF⊥AC交AE的延长线于点F, :AE⊥BD,CF⊥AC, ∠FAC+LADB=LFAC+∠F=90°， ∠ADB=∠F, 又：∠BAD=∠ACF=90°，AB=CA, △ABD≌△CAF(AAS), :AD=CF, AB∥CF, △ABE∽△FCE, AB BE FC CE AB BE AD CE 【变式1-3】(2025山西长治三模)问题背景 如图1，四边形ABCD是一个正方形花园，E,F分别是它的两个门，且DE=CF,要 修建两条路BE和AF,这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？ D B 图1 16/78 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 问题探究 (1)如图2，在正方形ABCD中，若CE⊥DF,试证明CE=DF. D E B F 图2 知识迁移 (2)如图3，在矩形ABCD中，点G,F,H,E分别在线段AB,BC,CD,DA上，且EF⊥GH.若 4B=a,8C=b,求 ,的值.（用含a,b的代数式表示） GH E D G H 图3 知识运用 (3)如图4，ABC,BDE是两个直角三角形，LACB=∠DBE=90°，∠ABC=60°，AC,BD交于点F, E经过AB的中点0，交AC于点G,DE∥BC，直E=),请直接写出tan∠BDE的循 G D E F B 图4 【详解】(1)证明：设CE与DF交于点M,如图： 17/78 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 正方形ABCD, M B F :BC=CD,∠B=LFCD=90°， :∠BEC+∠FCM=90°， CE⊥DF, ∠CMF=90°， ∴.∠CFD+∠FCM=90°， ∠BEC=LCFD, △BCE≌ACDF(AAS, :CE=DF (2)解：作EP⊥BC于点P,作GQ⊥CD于点Q,设EF与GH交于点M,如图： E D G 4----0 M 矩形ABCD, H B C F ∠A=LABC=∠C=90°， :EP⊥BC,GQ⊥CD, ∴.∠EPF=∠GQH=90°， 四边形ABPE、GBCQ都是矩形， ∴EP=AB=a,GQ=BC=b, :EF⊥GH, ∠FMH=90°， :∠FMH+∠C=90°+90°=180°， ∠EFP+∠MHC=180°， .∠GHQ+∠MHC=180°， .∠EFP=∠GHQ, 18/78 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴aEFP∽aGHQ, EF EP a GH GO b 的值为号 GH (3)解：：在RIA ABC中，an∠ABC=4C-n60P=5, BC :AC=3BC, 设BC=m,则AC=√3m, “点O是AB的中点， A0 1 AB2 :DE∥BC,即GO∥BC, ∴△AGO∽△ACB,∠BDE=∠CBF, AG A0 1 AC-AB2 4G=4c= m, 2 2 GC-AC-AG= -m, 2 GF 3 CF-2' GC CF+GF 2+3 5 CF CF 2 2 25 ..CF=GC= -1m= -7m, 5 52 ·在Rt△CBF中， tan∠CBF .CF BC m 5 ∠BDE=∠CBF, tan∠BDE=tan∠CBF=5 巴题型二对角互补模型 【典例2】(23-24九年级上陕西榆林期中)综合与探究： 【问题发现】 数学课上，活动小组的同学将两个正方形纸片按照图1所示的方式放置.如图1，正方形ABCD的对角线相 交于点O,点O又是正方形A,B,C,O的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形OEBF为这两个正方 19/78 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 形的重叠部分，正方形A,B,CO可绕点O旋转. A B B,图1 图2 图3 (1)在图1中，线段OE,0F之间的数量关系是 【类比迁移】 (2)如图2，矩形ABCD对角线相交于点O,点O又是矩形A,B,C,O的一个顶点，且这两个矩形全等，矩 形A,B,CO可绕点O旋转，边A,O与AB相交于点E,边CO与BC相交于点F,猜想OE,OF,AB,BC 之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 (3)如图3，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3,BC=4,直角∠EOF的顶点O在边AC的中点处， P可绕绕点0旋转，它的两条边OE,0P分别交AB,BC于点E,F,若CF,求OE的 【详解】解：(1)在正方形ABCD和正方形A,B,C,O中，AB=BC,0A=OB,∠0AB=∠OBC=45°， ∠A0B=∠A,OC1=90°， :ZAOE ZBOF, △AEO≌△BFO(AAS), 0E=0F; 28始理由如下 过点O作OH⊥AB,OG⊥BC,垂足分别为点H,G,如图所示： 20/78 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D 0 Hh. B B ∴.∠EH0=∠FG0=90°， :四边形BHOG是矩形，∠H0G=LHOE+LEOG=90°， :O是矩形ABCD的中心， A0=C0=0B, ÷BH=AB,BG=BC, 2 OH=BG=-BC,OG=HB=1AB, 2 :LG0F+∠E0G=∠E0F=90°， ∠HOE=∠GOF, △H0En△G0F, OE OH OF OG' OE 即 OE BC OF AB (3)作0G1BC,垂足为点G,如图所示： E GF :O为AC的中点， A0=C0, :∠B=∠0GC=90°，∠C=∠ACB, 21/78 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴△C0G∽△CAB, OG CG CO 1 AB BC AC2 C=2 1 1 AB= 3 ..CG= 4=2,0G= -×3= 2 2 又：CF=3 ∴GF=GC-CF=2- 31 22 OF=GF2+0G2 由(2)可知OE= BC OF AB 0E4 ÷103, 2 ÷0E=20 3 【变式2-1】(24-25九年级上辽宁阜新期末)【课本再现】 (1)如图1，正方形ABCD的对角线相交于点O,点O又是正方形AB,CO的一个顶点，而且这两个正方 形的边长都为1，四边形OEBF为两个正方形重叠部分，正方形A,B,C,O可绕点O转动. 【问题发现】 (1)①线段AE,BF之间的数量关系是一· ②在①的基础上，连接EF,则线段AE,CF,EF之间的数量关系是 【类比迁移】 (2)如图2，矩形ABCD的中心O是矩形A,B,C,O的一个顶点，A,O与边AB相交于点E,C,O与边CB相 交于点F,连接EF,矩形A,B,C,O可绕着点O旋转，猜想AE,CF,EF之间的数量关系，并进行证明； 【拓展应用】 (3)如图3，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3cm,BC=4cm,直角∠EDF的顶点D在边AB的中点处，它 的两条边DE和DF分别与直线AC,BC相交于点E,F,∠EDF可绕着点D旋转，当AE=2cm时，请直 接写出△CEF的面积. 22/78 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 图1 图2 图3 (备用图) 【详解】解：(1)①：四边形ABCD是正方形， :AC⊥BD,OA=0B, :∠A0B=∠A0C1=90°， ∴∠AOE=∠BOF, :∠0AE=∠0BF=45°， .△AOE≌△BOF(ASA), AE BF, ②∠EBF=90°， EF2=BE2+BF2, :AB BC,AE BF, .BE =CF, .EF2=AE2+CF2; (2)AE2+CF2=EF2,理由如下： 连接AC, A 、0 E :O为矩形中心， A0=C0, 延长EO交DC于E, :AB∥CD, ∴∠BAC=LACE', 又：∠AOE=∠C0E', .△AOE≌△COE'ASA), 4311o 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴AE=CE,E0=E'O, 又：矩形AB,CO, .∠EOF=90°=∠F0E', ∴.FO垂直平分EE', :EF=E'F, :在Rt△FCE'中CE2+FC2=E'F2, ·AE2+CF2=EF2; (3)解：当点E在AC上时， 过点B作BM∥AC,交ED的延长线于点M,连接FM :BM∥AC, ∴∠C+∠CBM=180°；∠EAD=∠MBD, :∠ADE=∠BDM,AD=BD,∠C=90°， ·△AED≌△BMD,∠CBM=90°， ∴ED=DM,AE=BM, :∠EDF=90°， :直线DF是线段EM的垂直平分线， .EF FM, 由勾股定理，得BF2+BM2=FM2, 故AE2+BF2=EF2· M F AC=3cm,BC=4cm,AE 2cm, ∴CE=lcm,AE=BM=2cm, 设CF=xcm,则BF=(4-xcm, .CE2+CF2=BM2+BF2, .12+x2=22+(4-x2, 19 ..X= 8 24/78 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 CF=19 cm, 8 S.cEr=)CE.CF=I9。 1 2 16cm3 当点E在CA的延长线上时， 过点B作BN∥AC,交ED的延长线于点N,连接FN :BN∥AC,∠ACB=90°， .∠ACB=LNBF=90°；∠EAD=∠NBD, :∠ADE=∠BDN,AD=BD,, ∴△AED≌△BND, .ED=DN,AE=BN, :∠EDF=90°， ∴直线DF是线段EN的垂直平分线， .EF FN, 由勾股定理，得BF2+BN2=FN2, 故AE2+BF2=EF2. A D B -N AC=3cm,BC=4cm,AE 2cm, .CE =5cm,AE BN 2cm, 设CF=xcm,则BF=4+xcm, .CE2+CF2=BN2+BF2, x2+52=(4+x)2+22, :x8 5 5 CF-gcm, 25/78 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 25 ..S.cer=CE.CF= cm 2 16 【变式2-2】(24-25九年级上江西九江期中)【实践探究】数学实践课上，活动小组的同学将两个正方形 纸片按照图1所示的方式放置.如图1，正方形ABCD的对角线相交于点O,点O又是正方形A,B,C,O的一 个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形OEBF为这两个正方形的重叠部分，正方形可绕点O旋转. 图1 图2 图3 备用图 【问题发现】 (1)①线段AE,BF之间的数量关系是 ②在①的基础上，连接EF,则线段AE,CF,EF之间的数量关系是 【类比迁移】 (2)如图2，矩形ABCD的中心O是矩形AB,CO的一个顶点，A,O与边AB相交点E,CO与边BC相交 于点F,连接EF,延长CO交AD于点P,连接EP,AC,矩形AB,CO可绕点O旋转，判断线段AE, CF,EF之间的数量关系并证明. 【拓展应用】 (3)如图3，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=6,BC=8,直角∠EDF的顶点D在边AB的中点处，它的 两条边DE和DF分别与直线AC,BC相交于点E,F,∠EDF可绕点D旋转，当AE=4时，请直接写出 线段BF的长 【详解】(1)解：①：四边形ABCD、四边形A,B,C,O均为正方形， AB=BC,∠0AE=∠0BF=45°，∠AOB=∠AOC1=90°，0A=0B, .∠A0E=LB0F=90°-LE0B; 在△A0E与△B0F中， I∠OAE=∠OBF OA=OB ∠AOE=∠BOF .△OAE≌△OBF(ASA), AE BF: 26/78 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ②在Rt△EBF中，BF2+BE2=EF2, 而AE=BF,BE=CF, AE2+CF2=EF2: (2)解：三线段AE,CF,EF间的数量关系为：AE2+CF2=EF2; 证明如下： :四边形ABCD、四边形AB,C,O均为矩形，矩形ABCD的中心为O, 0A=OC,∠DAB=∠A,OC1=90°，AD∥BC, PA0=∠FC0; 在△0AP与△OCF中， I∠AOP=∠COF OA=OC ∠PAO=∠FCO .△OAP≌△OCF(ASA), ∴AP=CF,OP=OF; :∠A0C=90°， ∴EP=EF; 在RtAPAE中，由勾股定理得：AE2+AP2=EP2, .AE2+CF2=EF2: (3)解：①当点E在边AC上时； 由(2)的结论知：AE2+BF2=EF2; 另一方面，在Rt△CEF中，由勾股定理得：CE2+CF2=EF2, 即CE2+CF2=AE2+BF2; 设BF=x,则CF=8-x,而CE=AC-AE=6-4=2, 22+(8-x)=4+x2, 13 解得：x= 41 即即经 ②当点E在CA延长线上时，如图； 27/78 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 把Rt△ABC补成矩形ACBM,延长FD交AM延长线于点P,连接EP, 与(2)证法相同，同样有AE2+BF2=EF2, 另一方面，在Rt△CEF中，由勾股定理得：CE2+CF2=EF2, 即CE2+CF2=AE2+BF2; 设BF=x,则CF=x-8,而CE=AC+AE=6+4=10, 102+(x-8)2=42+x2, 37 解得：x= 4, 即BF=37 综上，的长为3或3 4 4 【变式2-3】(23-24九年级上江苏盐城期末)(1)【问题初探】 苏科版教材八年级下册第九章《中心对称图形一一平行四边形》中有这样的问题：如图1正方形ABCD的 边长为1，LE0F的顶点O在正方形ABCD两条对角线的交点处，LE0F=90°，将LE0F绕点O旋转， ∠EOF的两边分别与正方形ABCD的边BC和CD交于点E和点F(点F与点C,D不重合)，问：在旋转 过程中，四边形OECF的面积会发生变化吗？证明你的结论 爱思考的小明和小丽同学分别探究出了如下两种解题思路： 小明：如图a,证明aOEC≌aOFD,则SoEc=S.oFD,这样，可实现四边形OECF的面积向△OCD面积的转 化： 小丽：如图b,过点O分别作OG⊥BC于点G,OH⊥CD于点H,证明△OGE≌△OHF,从而将四边形 OECF的面积转化成小正方形OGCH的面积.。 通过他们的思路点拨，你认为：S边形O©r=-(填一个数值)，其实，在这样的旋转变化过程中，线段CE与 CF的和也是一个定值，为_（填一个数值）； 28/78 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 F E GE 图1 图a 图b (2)【类比探究】 如图2，若将(1)中的"正方形ABCD"改为"含60°的菱形ABCD”,即∠M0N=∠DAB=60°，当∠MON绕 点O旋转时，∠MON的边交边AB于点M,交边BC于点N. 请猜想： ①线段BM、BN与AB之间的数量关系是-； ②四边形OMBN与菱形ABCD的面积关系是Sm边彩Ow=_S菱形ABcD; D 图2 图3 (3)【拓展应用】 ①对上面的问题进行进一步的探究，如图3，将图2中的∠MON沿OC方向平移至如图所示位置，若 PA=mPC(m为常数)请描述PM与PN的数量关系（用含m的式子表示），并说明理由； ②在①的条件下，若∠PNM=90°，试说明点P恰为△BCD的重心。 【详解】解：(1)小明：：四边形ABCD是正方形，∠E0F=90°，边长为1， :CD=1,0C=OD,∠COD=∠E0F=90°，L0DC=∠0CB=45°，S正方形ABCD=1, .∠C0D-∠C0F=∠E0F-∠C0F,即∠COE=∠DOF, .COE≌D0F, S.oEC S.OFD,CE DF, 六Sa题eoer=S.ocE+S,ac=S.c0r+S.0r=S.oco=4SE方e8cD=子CE+CF=DF+CF=CD=1: 小丽：过点O分别作OG⊥BC于点G,OH⊥CD于点H, .∠0GC=∠0HC=90°， :四边形ABCD是正方形，边长为1， ∠GCH=∠0GC=∠0HC=90°，CD=1,OC=OD,∠0CD=∠0CB=45°， 29/78 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :四边形0GCH为矩形，0G=0H,CH=CD= 1 、.四边形OGCH为正方形， ÷∠G0H=LE0F=90°，CG=CH=2, 1 .∠E0G=∠FOH, :∠0GE=∠0HF=90°，0G=0H, .△OGE≌△OHF, S.OGE=S.OHF,GE FH, S四边形OECF=S.0FH+S国边形OBCH=S,oGE+S边形OECH=S正方形OcCH CE CF=CG-EG CH+FH-CG +CH=2*2 1.1 =1； 1 故答案为：41 (2)①如图，取BC的中点E,连接OE, M B :四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°， 5AB=BC=CD,0A=0C,0B=OD,AC⊥BD,∠ACB=∠ACD=∠BCD=30°， 0B=AB，∠08A=90°-30°=60°7 “点E是BC的中点， :0E∥AB,OB=AB=BE, 2 .OE =0B=BE ∴△OBE是等边三角形， ∠0EB=∠B0E=60°=∠0BA, :∠M0N=60°， ∴.∠MON=∠BOE, .∠MOB=∠NOE, .△M0B≌△E0N, 30/78 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∴BM=EN, 8腊+BN=EW+BN=BE三号ABy 1 放答案为：BM+BN=方AB: ②：△M0B≌△EON, S.M0B S.EON 11 4 8 S形ABCD5 故答案为：8 1 (3)①PM=mPN,理由如下： 如图，过点P作PF∥AB交BC于点F,PG∥BC交AB于点G,延长AB至点H,使PG=PH,则 ∠H=∠PGH, D ∴.∠PGH+∠ABC=180°，∠PFB+∠ABC=180°， ∴.∠PGH=∠PFB=∠H, :四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°， AD∥BC,AB=BC, .∠ACB=LBAC=30°， .∠ABC+∠DAB=180°， :∠MPN=∠DAB=609 ·.∠MPN+∠DAB=180°， .∠PMH+∠PNB=180°， ∠PNF+∠PNB=180°， ∠PMH=∠PNF, :∠PFB=∠H, .△PMH∽△PNF, PN=PE' 31/78 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :PF∥AB,PG∥BC, ∴∠APM=∠ACB=∠BAC=∠CPF=30°， △APG∽△PCF,PF=CF, AP PG PG CP CF PF' :PG=PH, AP PH CP PF PM AP PN=CP .PA mPC ∴.PM=mPN; ②如图，连接PB,延长BP交CD于点Q, D M B :∠PNM=90°，∠MPN=60°， ∴.∠NMP=30°， .PM 2PN PM mPN m=2, .PA=2PC, .AC=3PC, 0A=0c=号Ac=3PC, 2 2 .PC=20P, :四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°， ∠B1C=30,∠BCD=∠81D=60,BC=CD,∠ACB=∠BCD,0C是BD边的中线， ·.△BCD是等边三角形， ∠CBD=60°，∠ACB=30°， 在Rta40B中，∠B4C=30,M=gPC, 32/78 西学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .AB 20B,OA=30B, 0B= 3 PC. .PB=OP2+OB PC, 2 .PC=PB, ∴.∠CBP=∠ACB=30°， LDBP=LCBD-∠CBP=30°， ∠DBP=∠CBP, ∴BQ是CD的中线， ·点P恰为△BCD的重心 巴题型三半角模型 【典例3-1】(23-24九年级上海南海口·期末)如图，四边形ABCD是正方形，M,N分别在CD,BC上，连 接AM,AN,MN且∠MAN=45°，我们把这种模型称为“半角模型”，旋转是解决此类模型的常用方法。 D 45 M W (1)补全图形：将△ADM绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE; (2)直接写出线段DM,BN,MN之间的数量关系-· (3)根据(2)的结论，写出证明过程： (4)如果正方形的边长是4，求aCNM的周长 【详解】(1)解：如图，补全图形如下： D M B N (2)解：结论是：MN=DM+BN: 33/78 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)解：理由如下：由旋转，可知： AE=AM,BE=DM,∠EAM=90°.∠ABE=∠D=90°=∠ABC, 点E、B、C共线， :∠MAN=45°， :∠EAN=∠EAM-∠MAN=45°=∠MAN. 在△EAN和△MAN中， AE=AM ∠EAN=∠MAN, AN =AN ∴△EAN≌△MAN(SAS). :EN =MN, EN BE BN, :MN =DM +BN (4)解：由(1)得，MN=DM+BN: C.CMN MN +CM+CN CM+DM CN BN BC+CD, :正方形的边长为4， .C.CMN =BC+CD=4+4=8; 【典例3-2】阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为45°的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构 成的基本平面几何模型称为半角模型.半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形ABCD中，以A为顶点的∠EAF=45°，AE、AF与BC、CD边分别交 于E、F两点.易证得EF=BE+FD. 大致证明思路：如图2，将延长CB至点H,使BH=DF,连AH,可证△ADF≌△ABH 再证△AEF≌AAEH,故EF=BE+DF· 任务：如图3，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠D=90°，∠BAD=120°，以A为顶点的LEAF=60°， AE、AF与BC、CD边分别交于E、F两点.请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论EF=BE+DF是 否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由 34/78 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 7 D 459 459 609 B E B 图1 图2 图3 【详解】解：成立. 证明：将△ADF绕点A顺时针旋转120°得到△ABM, 4 D M、-- 609 B ∴△ABM≌△ADF,∠ABM=LD=90°，∠MAB=∠FAD,AM=AF，MB=DF, ∠MBE=∠ABM+LABE=180°， M、B、E三点共线， ·∠MAE=∠MAB+∠BAE=∠FAD+∠BAE=∠BAD-∠EAF=60°， :∠MAE=∠FAE, AE=AE,AM AF, ∴△MAE≌△FAE(SAS), :ME EF, .EF ME MB+BE DF+BE. 【典例3-3】(2025山东东营.中考真题)【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探 究非动点的几何问题.若四边形ABCD是正方形，M,N分别在边CD,BC上，且∠MAN=45°，我们称 之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法。 B B 入 图1 图2 图3 (1)【初步尝试】如图1，将△ADM绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE,连接MN.用 等式写出线段DM,BN,MN的数量关系 35/78 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点M,N分别在正方形ABCD的边CD,BC 的延长线上，∠MAW=45°，连接MN,用等式写出线段MN,DM,BN的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=120°， ∠B+∠D=180°，点N,M分别在边BC,CD上，∠MAN=60°，用等式写出线段BN,DM,MW的数 量关系，并说明理由。 【详解】(1)解：ADM绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE, :DM=BE,AM=AE,∠DAM=∠BAE,∠ADM=∠ABE, :四边形ABCD是正方形， :∠BAD=∠ABC=∠ADM=90°， ∠ABE+∠ABN=180°， ·E、B、N三点共线， .'∠MAN=45°， ∠DAM+∠BAN=45°， ∠BAE+∠BAN=45°， ∠EAN=45°， :∠EAN=∠MAN, AN =AN, .△EAW≌△MAN(SAS), :EN MN :EB+BN MN, :DM BN =MN 故答案为：DM+BN=MN; (2)解：BN-DM=MN;理由如下： 将△ADM绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE, DM=BE,AM=AE,∠DAM=∠BAE,∠ADM=LABE=90°， :E在BC上， :四边形ABCD是正方形， :∠BAD=∠BAE+∠EAD=90°， :∠DAM+∠EAD=∠EAM=90°， 36/78 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :∠MAN=45°， :∠EAN=∠MAN=45°， AN AN, .△EAN≌△MAN(SAS), :EN MN, :BN BE MN, :BN DM MN; B E N (3)解：DM+BN=MN,理由如下： 将△ADM绕点A顺时针旋转120°，点D与点B重合，得到△ABE, ,DM=BE,AM=AE,∠DAM=∠BAE,∠ADM=∠ABE, :∠BAD=120°，∠MAN=60° :∠DAM+∠BAN=120°-60°=60°， ∠BAE+∠BAN=∠EAN=60° ∠EAN=∠MAN ∠ABC+∠D=180° :∠ABE+LABC=∠D+∠ABC=180° ·E、B、N三点共线， AN AN, .△EAN≌△MAN(SAS), :EN M N, :EB +BN MN :DM B N MN 37/78 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D M N C 【变式3-1】(23-24九年级上黑龙江齐齐哈尔期中)通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一 题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整.原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、 CD上，∠EAF=45°，连接EF,试猜想EF、BE、DF之间的数量关系 B B B D E D G 图1 C C 图2 图3 (1)把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,可使AB与AD重合，由∠ADG=∠B=90°，得， ∠FDG=180°，即点F、D、G共线，易证△AFG≌ 一，故EF、BE、DF之间的数量关系为 (2)如图2，点E、F分别在正方形ABCD的边CB、CD的延长线上，LEAF=45°，连接EF,试猜想EF、 BE、DF之间的数量关系为 ,并给出证明. (3)如图3，在ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D、E均在边BC上，且∠BAD+∠EAC=45°.若 BD=2,EC=2V3,直接写出AD2的值和AE的长 【详解】(1)解：△AFE,EF=DF+BE,理由如下： 四边形ABCD是正方形， .∠BAD=90°，AB=AD, 由旋转的性质可知，△ABE≌△ADG, ∠BAE=∠DAG,AE=AG,BE=DG,，∠EAG=∠BAD=90°， .∠EAF=459 ∠FAG=90°-∠EAF=45°， .∠EAF=∠FAG ”AF=AF, 38/78 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴.△AFE≌△AFG(SAS), :EF=FG, :EF=DF +DG DF BE (2)EF=DF-BE,证明如下： 如下图，把△ABE绕点A逆时针旋转90°，AB与AD重合， △ABE=△ADG,∠EAG=90°， :BE DG,AE=AG, :∠EAF=45°， :∠FAG=∠EAG-∠EAF=45°： ∠EAF=LGAF; 在△EFA和△GFA中， AF=AF ∠EAF=∠FAG, AE=AG ∴△EFA≌△GFA(SAS); C D :EF=FG: DF=FG+GD; :DF EF +BE 即EF=DF-BE. (3)如图1.解：：∠BAC=90°，AB=AC, .∠B=∠C=45°， 把△ABD绕点A逆时针旋转90°，AB与AC重合，点B的对应点为点F; ∴△ABD≌△ACF,∠DAF=90°， ∴∠B=∠ACF=45°，CF=BD=2, 39/78 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠ECF=90°， "EC=25, .在Rt△EFC中， EF=V22+(2W5)2=4, :∠BAD+∠EAC=45°； ∠DAE=90°-45°=45°； ∠EAF=∠DAF-∠DAE=45°； B 在△DAE和△FAE中， AD=AF ∠DAE=∠FAE, AE=AE ∴.△DAE≥△△FAESAS :DE EF=4, DC=4+25, 在直角三角形DFC中，由勾股定理得： DF2=(2V3+4)2+22, DF2=32+16√5， :△ADF是等腰直角三角形： .2AD2=DF2, :AD2=16+8V5, 同理把△AEC绕点A顺时针旋转90°，点E的对应点为点F,连接BF,EF; 40/78 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B △ACE兰△ABF :BF=CE=23: :DE=4,DB=2; BE=6: 在直角△FBE中，∠FBE=90°； EF2=(2V3)2+62 ∴EF=4V3, 由旋转的性质可知∠EAF=90°，AF=AE; △FAE是等腰直角三角形： AE= EF 2 AE=26. 【变式3-2】(23-24九年级上河北张家口期末)【方法前置】作图形旋转是解决几何问题的重要方法，如 图①，正方形ABCD中，E、F分别在边AB、BC上，且∠EDF=45°，连接EF,求证：AE+CF=EF.可 将ADE绕点D逆时针旋转90°到△CDH的位置（容易得出点H在BC的延长线上），进一步证明△DEF与 △DHF全等.亲爱的同学们，你想好了吗？试着看下面的问题情境吧. D A A E ---·HB FC F 图① 图② 图③ 【问题情景】如图②，正方形ABCD是绿地公园的一块空地，其边长为60米.公园设计部门为了给儿童提 供更舒适更安全的活动场地，准备将空地中的四边形DEBF(E在AB上，F在BC上)部分作为儿童活动 41/78 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 区，并用围栏围挡起来，只留三个出人口，即点D、点E、点F,而且根据实际需要，要使得∠EDF=45 ,并将儿童活动区（即四边形DEBF)划分为△DEF和△BEF两种不同的游戏场地，儿童活动区之外的部 分种植花草 (1)【模型感知】请参考【方法前置】的思路在图②中证明AE+CF=EF. (2)【模型应用】如图②，若AE=20m,请你计算儿童活动区的面积； (3)【模型拓展】如图③，连接AC,若DE,DF与线段AC分别交于点E、点F,∠EDF=45°，请直 接写出AE、EF和CF之间的数量关系. 【详解】(1)解：根据方法前置将ADE绕点D逆时针旋转90°到CDM的位置，如图所示： E -·H 由旋转的性质可知，△ADE≌△CDM, .DE=DM,AE=CM,∠EDM=90°， ∠EDF=45°， ∠MDF=∠EDM-∠EDF=45°=∠EDF, DFDF, :△DEF≌△DMFSAS), .EF MF, :MF=CF+CM =CF+AE, :AE+CF =EF (2)解：：正方形ABCD是绿地公园的一块空地，其边长为60米。 :AB=BC=CD=60m,∠B=90°， :AE=20m, :BE AB-AE 40m, 设CF=xm,则BF=(60-xm,EF=MF=(20+x)m, 在R1aBEF中，有(20+x2=(60-x)2-402,解得x=30, :CF =30m,BF =30m, 42/78 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 又56边0Er=S4卷403-S.0e=2(30+60)×60-2×60×20=2100(m2), 儿童活动区的面积为2100m2 (3)解：AE、EF和CF之间的数量关系为AE2+CF2=EF2, 理由如下：将ADE绕点D逆时针旋转90°到△CDN的位置，连接FN,如图所示： D E B 由(1)同理可证得△ADE≌△ACN,△DEF≌△DNF, AE=CN,∠DAE=∠DCN,EF=NF, “四边形ABCD是正方形，AC为其对角线， ∴.∠DAE=∠DCF=45°， :∠DCN=45°， ∠FCN=∠DCN+∠DCF=90°， ∴.CN2+CF2=FWN2, AE2+CF2=EF2. 【变式3-3】(24-25九年级上·辽宁盘锦期中)问题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC,CD 上，∠EAF=45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系. G D B E 图1 图2 图3 (1)【发现】BE、EF、FD之间的数量关系为 (2)【类比引申】 如图2，四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB=AD,∠B+∠D=180°，点E、F分别在边BC、CD上，则 当∠EAF与∠BAD满足」 关系时，仍有(1中的结论，请证明. (3)【探究应用】 如图3，在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD,己知AB=AD=80米，∠B=60°， 43/78 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠ADC=I20°，∠BAD=I50°，道路BC、CD上分别有景点型E、F,且AE与AD垂直， DF=40(√3-1米，现要在E、F之间修一条笔直的道路，求这条道路EF的长.（结果取整数，参考数 据：√2≈1.41，V3≈1.73) 【详解】(1)【发现】解：如下图所示， 延长FD到点G,使DG=BE, :四边形ABCD是正方形， AB=AD,LB=∠ADG=∠BAD=90°， AB=AD 在△ABE和△ADG中 ∠B=∠ADG, BE=DG △ABE≌△ADG, ∴.AE=AG,∠BAE=∠DAG, :LEAF=45°， :∠BAE+∠DAF=45°， :∠GAF=∠DAG+∠DAF=45°， AE=AG 在△EAF和△GAF中∠EAF=∠GAF, AF=AF ∴△EAF≌△GAF, :EF=GF=DF+DG, :EF=DF+BE, 故答案为：EF=DF+BE; B E (2)【类比引丰】解：当∠EF=)∠BAD时，()中结论仍然成立， 理由如下： 如下图所示，延长FD到G,使DG=BE,连接AG, 44/78 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :∠B+LADC=180°，∠ADC+∠ADG=180°， .∠B=∠ADG, AB=AD 在△ABE和△ADG中{∠B=∠ADG, BE=DG △ABE≌△ADG, AE=AG,∠BAE=∠DAG, 又：EF=DF+BE=DF+DG=FG, 「AE=AG 在△EAF和aGAF中EF=FG, AF=AF ∴△EAF≌△GAF, .∠EAF=∠GAF, 又：∠GAF=∠DAF+LDAG=∠DAF+LBAE, ·∠EAF=∠BAE+∠DAF, :∠EAF= ∠BAD； 2 ---,G B (3)【探究应用】解：如下图所示，过点A作AH⊥CD垂足为点H,连接AF, :AE与AD垂直， ∠DAE=90°， :∠BAD=150°， ∠BAE=150°-90°=60°， :∠B=60°， :△ABE是等边三角形， AB=AE=AD=BE=80米， 在Rt△ADH中，∠ADH=180°-∠ADC=180°-120°=60°， :∠DAH=30°， 45/78 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .HD=5AD=40米， AH=VAD2-DH2=40V5米， :DF=40(5-米， HF=HD+DF=40+40√5-1=40V3米， :AH =HF, ∠HAF=∠HFA=45°， ∠DAF=45°-30°=15°， ∠EAF=90°-15°=75°， A∠EAF=∠BAD, 由【类比引申】可知EF=BE+DF=80+40(V5-=40V5+40≈109（米）. H 、D 题型四最值模型 【典例4-1】(24-25九年级上陕西宝鸡期末)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4,BC=3,D、 E分别是AB、BC边上的两个动点，点G是DE的中点，连接AG,CG,若DE=2,则CG+}AG的最小 值为 A G B 【答案】45 4 【详解】在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4,BC=3, AC=VAB2+BC2=V42+32=5. 46/78 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :连接BG,点G是DE中点，DE=2, G M E .BG为Rt△ABC的中线， .BG=1 在AB上取点M,使BM= 4 连接AG, 在△MBG和aGBA中， BG 1 8-4=,8岛4且∠wBG=LGB1, BG 1 4 ÷△MBG∽△GBA, GBM=,即MG=1AG AG BG :.CG+IAG-CG+MG, 根据两点之间线段最短，当C,G,M三点共线时，CG+MG取得最小值，即CM的长度， 1 连接MC,在RtAMBC中BM=二，BC=3, :CM=BM2+BC2 +32= 1+144V145 V41 V16 4 :CG+号4G的最小值为药 【典例4-2】(23-24九年级上陕西西安期末)如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=8,点E在边AD上， 点F在边BC上，且BF=DE,连接CE,DF,则CE+DF的最小值为 【答案】8√2 【详解】解：连接AF,如下图， 47/78 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A :四边形ABCD是矩形， ∴.AB=CD,∠BAD=∠ABF=∠CDE=90°， BF=DE, △ABF≌△CDE(SAS), .AF=CE, .CE+DF=AF +DF, 作点A关于BC点的对称点A,连接AD, 则AF=A'F,当A'、F、D三点共线时， 可有CD+DF=AF+DF=A'F+DF=A'D,此时CD+DF取最小值， :AB=4,AD=8, .AA'=2×4=8, A'D=√AA2+AD2=V82+82=8√2，即CE+DF的最小值为8√2. 故答案为：8√2. 【变式4-1】(24-25九年级上山西大同期末)如图，在。ABCD中，AB=2√2，AD=4,LABC=45°.点 E是口ABCD内部一点，且∠BAE+LCDE=90°，连接BE,则BE长的最小值为 D B 【答案】25-2 【详解】解：：口ABCD, ∠BAD+∠ADC=180°， :∠BAE+∠CDE=90°， :∠EAD+∠ADE=90°， :∠AED=90°， 48/78 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :点E的轨迹是以AD为直径的圆的一部分 设AD的中点为O,连接BO,易知当点E在BO上时，BE的值最小，过点B作BF⊥AD,交DA的延长线 于点F, 则∠ABF=45°， AF-8F82 2 1 01=24D=2, 0F=4, 0B=V0F2+BF2=2N5, BE=0B-0E=25-2. 故答案为：2√5-2. 【变式4-2】（25-26九年级上·全国期末)如图，在RtAACE中，∠ACE=90°，AC=EC=4,点B为AE边 上一点（不与点A,E重合），连接BC,将ABC绕点C旋转到△EDC的位置， (1)若∠ACB=a,请用a表示∠CDE的度数； (2)连接BD,过点C作CH⊥BD,求CH长的最小值 【详解】(1)解：：在R1aACE中，∠ACE=90°，AC=EC, :△ACE是等腰直角三角形， ∴.∠A=∠AEC=45°， :∠ACB=a, .∠ABC=180°-∠A-a=135°-a, :将ABC绕点C旋转到△EDC的位置， 49/78 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴.∠CDE=∠ABC=135°-a. (2):将ABC绕点C旋转到△EDC的位置， .LACB=∠DCE,BC=DC, ∴.∠BCD=∠DCE+∠BCE=∠ACB+∠BCE=90°， .△BCD是等腰直角三角形， BD=VBC2+CD2=√2BC, 又：CH⊥BD, :.CH=BD, 2 .cH=Bc. 2 当BC⊥AE时，BC的值最小，此时CH的值最小， AC=4, AB=BC= -AC=22, 2 .CH-8C=2. 2 故CH长度的最小值为2. 【变式4-3】(24-25九年级上广东佛山期末)如图，在正方形ABCD中，点E为对角线AC上一动点（点 E不与A、C重合)，连接BE,过点E作EF⊥BE交直线CD于F,将线段BE绕点B顺时针旋转90°得到 线段BG,连接GA,GC,GF, (1)求证：△ABE≌△CBG; (2)试探究CE+CG与BC的数量关系，并说明理由； (3)若正方形ABCD的边长为2，求GA+GB的最小值 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是正方形， AB=CB,∠ABC=90°， ∴∠ABE+∠EBC=90°， 又由旋转得，∠EBG=90°，BE=BG, 50/78 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴∠CBG+∠EBC=90°， ∠ABE=∠CBG, .∠ABE≌∠CBG(SAS); (2)解：CE+CG=√2BC, 理由如下： △ABE≌△CBG, .AE CG, .CE+CG=CE+AE=AC, :四边形ABCD是正方形， ·AC=√2BC, .CE+CG=√2BC; (3)解：如图，延长DC至H,使CH=BC=2,连接BG、GH、AH,则∠BCH=90°， NH :四边形ABCD是正方形， .∠BAE=45°， :△ABE≌△CBG, ∴∠BAE=BCG=45°， .∠HCG=90°-45°=45°， ∠BCG=∠HCG, 又：BC=HC,CG=CG, .△BCG≌△HICG(SAS, .BG=HG, GA+GB=GA+GH≥AH, :当点G、A、H三点共线时，GA+GH取最小值，最小值为AH的长， 51/78 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :AH=VAD2+DH2=V22+42=2V5, GA+GB的最小值为2√5. 过·分层验收 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1.(25-26九年级上河南周口月考)如图，正方形ABCD的边长为4，E为边AB上的一点，AE=1,P为 边BC上的一点，当∠EDP=45时，CP的长为() A B A.1.6 B.2 C.2.4 D.3 【答案】C 【详解】解：：四边形ABCD是正方形， AD=CD=BC=AB=4,∠DAE=∠DCP=∠B=LADC=90°. 如图，将△DCP绕点D顺时针旋转90°，得到aDAF,点F在直线AB上. F B 由旋转的性质，得DF=DP,AF=CP,LADF=∠CDP. :∠EDP=45°， .LADE+LCDP=90°-LEDP=45°=∠ADE+∠ADF=LEDF. 又ED=ED, :aEDF≌△EDP(SAS. 52/78 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .EP=EF AE AF=AE+CP=CP +1. BE AB-AE=3,BP=BC-CP=4-CP, 在RteEBP中，BE2+BP=EP2,即32+(4-CP)2=(CP+1)2. 解得CP=2.4. 故选：C. 2.(24-25九年级上广东期末)在正方形ABCD中，边长AD=4,E为AD中点，F为AB上一点，且 FG垂直平分BE交CD于点G,则CG的长度为() G B A B.1 C.1 D. 2 2 【答案】B 【详解】解：连接GB,GE, :FG垂直平分BE交CD于点G, .GB=GE, 在正方形ABCD中，边长AD=4,E为AD中点， :BC=CD=4,DE=4x)=2, 2 设CG=m,则(4-m2+22=42+m2, 1 解得，m=2 色CG的长度为， 故选：B 53/78 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 F 3.(24-25九年级上河北保定·期末)如图，边长为2√2的正方形ABCD,对角线AC,BD相交于O,E为 BC边上一动点（不与B,C重合），OF⊥OE交CD于F,G为EF中点给出如下四个结论： ①OE=OF; ②点E在运动过程中，△0EF面积的最小值为1； ③点E在运动过程中，△CEF周长不变化； ④点E在运动过程中，OG与CG始终相等 其中正确的结论是() A B A.①③④ B.①②③ C.②③④ D.①②④ 【答案】D 【详解】解：①：四边形ABCD是正方形，AC、BD相交于点O, .0B=0C,∠0BC=∠0CD=45°，∠B0C=90°， OF⊥OE, ∠E0F=90°， :∠B0E+∠C0E=∠C0F+∠C0E=90°， .∠B0E=∠C0F, 在△0BE和△OCF中， ∠OBE=∠OCF OB=OC, ∠BOE=∠COF J叶11o 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 △0BE≌△OCF(ASA), 0E=0F, 故①正确： ②：5一05-0F-05,0E的值随者点E运动而变化，从左向右移动过程中，先变小，达到最小值后， 再变大， :当0E1BC时，0E最小，此时OE=3BC=5, a0F面积最小值为×(2)=1， 故②正确； ③：△0BE≌aOCF, .BE CF C.CEF =CE+CF+EF=CE+BE+EF=BC+EF=22+EF, 由②得随着点E运动而变化，EF的长也在不断变化， :点E在运动过程中，△CEF周长也在变化， 故③错误： ④：∠E0F=LBCD=90°，G为EF中点. OG=CG=-EF, 2 :点E在运动过程中，OG与CG始终相等，故④正确： 综上，①②④正确， 故选：D. 期末重难突破练（测试时间：20分钟） 1.(24-25九年级上广东佛山期末)如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，F、E分别是AD、CD上的 动点，满足AF+CE=AB,若AB=6,则△BEF周长的最小值为() D E C 55/78 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.6W5 B.9√5 C.12 D.18 【答案】B 【详解】解：如图：连接BD D EE A B :四边形ABCD是菱形， AB=BC=CD=AD=6,∠DAB=LC=60°， ∴△ABD,△BDC都是等边三角形， ∴∠BDF=∠C=∠DBC=60°，BD=BC, AF+CE=AB=AD AF +FD, .DF=CE, 在BDF和△BCE中， BD=BC ∠BDF=∠C, DF=CE △BDF≌△BCE(SAS, .BE BF,ZDBF Z CBE ∴.∠EBF=∠DBC=60°， ·△BEF是等边三角形， 根据垂线段最短可知，当BE⊥DC时，BE的长最短， 如图：过B作BE⊥DC垂足为E, :∠C=90°， ∠E,BC=30°， EC-8c3. BE,=√BC2+CE2=3V3,即BE的最小值为35， ·△BEF周长的最小值为3BE=9V3 JU/10 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故选B. 2.（24-25九年级上黑龙江齐齐哈尔期末)综合与实践 己知矩形ABCD,点E在边BC上，点M在边AB上，点N在边CD上，DE⊥MN,垂足为点F. A(M) B E E D N N 图1 图2 图3 (1)如图1，当AB=BC时，点M与点A重合时，则DE与MN的数量关系是DEMN(填“>”、"=”、 “<”号)， (2)如图2，若AB=nBC,求MN与DE的数量关系； (3)应用(2)中的结论解决问题： ①如图2，若AB=8,BC=6,BE=2,则DM+EN的最小值为； ②如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8,BC=6,点D是AB的中点，连接CD,过B作CD的 垂线BE,交直线AC于E,垂足是点F,请直接写出BE的长. 【详解】(1)解：：四边形ABCD是矩形，又AB=BC, :四边形ABCD是正方形， :AD=DC,∠ADN=∠DCE=90°，AD∥BC, :∠DEC+∠CDE=90°，∠ADF=LDEC, 又：DE⊥MW, ·∠AFD=90°， :∠ADF+∠DAN=90°， ∠DAN=LCDE, △ADN≌△DCE(ASA), .DE=AN,即DE=MN; (2)解：如图，过点M作MH⊥DC于点H, 57/78 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 M B ·∠MHN=∠DHM=90°，∠HMN+∠MNH=90°， D H 四边形ABCD是矩形， ∠DAM=∠ADC=∠DCE=90°，AB=CD,AD=BC, :四边形ADHM是矩形， :AD=MH=BC, 又：DE⊥MW, .∠NFD=90°， :∠EDC+∠MNH=90° .∠HMN=∠EDC ∴△DCE∽△MHN DE DC AB MN MH BC :AB nBC :DE nMN (3)解：①取DM的中点H,取EN的中点J,连接HF,FJ M B H 四边形ABCD是矩形，AB=8 D C .AB=CD=8,∠DAM=∠DCB=90° F七DM=MH,RJNE HF+FJ=DM *EN) :当DM+EN最小时，HF+FJ最小 .HF+FJ≥HJ 58/78 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 H、F、J三点共线时，HF+FJ最小 如下图所示： A M B H HM =HF,FJ=NJ N .∠HMF=∠HFM,∠JFN=∠JNF 又∠HFM=LJFN .∠HMF=∠JNF .DM∥EN MF DF FNEF 由(2)可知，AB=nBC时，DE=nMN AB=8,BC=6,BE=2, :.AB-4BC,CE-BC-BE-6-2-4 3 DE-等w,DE=Cn+cE=尽+=45 :MN=3DE=35 :∠DFN=∠DCB=90°，∠FDN=∠EDC ∴△DFN∽△DCE FN CE 4 1 DF CD 8 2 设FN=x,DF=2x :EF DE-DF=4V5-2x,MF MN-NF =35-x MF DF FN EF 35-x 2x x45-2x 59/78 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DF-2x-号5，Mn=35-x-号5，EF=45-2x-5 DM =DF2+MF2 :DM+EN=55: ②延长CD使DG=CD,连接AG,BG G ·AD=BD B :四边形AGBC是平行四边形 :∠ACB=90° :四边形AGBC是矩形 AB=CG 由(2)可知，AC=nBC时，CG=nBE :AC=8,BC=6 AC-4BC.AB-AC+BCT-10-CG 3 :.CG-4BE 3 3 BE=CG=2x10=7.5 4 4 3.(24-25九年级上·吉林长春.期末)【问题背景】 如图1所示，正方形ABCD的边长为4，E是边CD上一点（不与C、D重合），在BC边上取点F,使得 CF=DE,分别连接AE、DF相交于点P D F F B FM 图1 图2 图3 【问题解决】 60/78 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)判断AE与DF有怎样的位置关系，并给出证明； (2)如图2，若点E为CD的中点，则AP的长为- (3)如图3，过点P分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N,连接MN,则MN的最小值为- 【详解】(1)解：AE1DF,理由如下： :四边形ABCD是边长为4的正方形， .AD=CD=4,∠ADC=∠BCD=90°， 在ADE和△DCF中， 「AD=CD ∠ADE=∠DCF DE=CF △ADE≌△DCF(SAS), ∠DAE=∠CDF, .∠DAE+∠ADP=∠CDF+∠ADP=90°， ·∠APD=90°，则AE⊥DF; (2)解：由(1)知∠APD=90°， :点E为CD的中点， 6=00=2, AE=VAD2+DE2=V42+22=2√5， AD-DE-AE-DP :DP=4DDE=4×245 AE 25 =5 AP=AD2-DP2 4-45-8v5 5 5 (3)解：取AD的中点O,连接OP,OC, 0 B F 图3 61/78 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :PM⊥BC,PN⊥CD,∠C=90°， ∴∠PNC=∠PMC=∠C=90°， :.四边形PMCN是矩形， .MN CP, 故MN的最小值等于CP的最小值； :∠APD=∠ADE=90°，AD=4,点O是AD的中点， ÷0P=AD=2,0D=AD=2, 0C=V0D2+CD2=√22+42=2V5, :CP≥0C-0P=2√5-2，当点C、P、O共线时取等号， .CP的最小值为25-2， 故MN的最小值为2V5-2. 4.(24-25九年级上.甘肃兰州期末)综合与实践 问题情境 在综合与实践课上，老师让同学们以“大小不等的两个正方形”为主题开展数学活动，如图1，现有一个边长 为6cm的正方形ABCD,点E从对角线AC上的点A出发向点C运动，连接EB并延长至点F,使EF>AB ,以EF为边在EF右侧作正方形EFGH,边EH与射线DC交于点M. 操作发现 (1)点E在运动过程中，判断线段BE与线段EM之间的数量关系，直接写出答案； 实践探究 (2)在点E的运动过程中，某时刻正方形ABCD与正方形EFGH重叠的四边形EBCM的面积是16Cm2,求 此时AE的长； 探究拓广 (3)请借助备用图2，探究当点E不与点A,C重合时，线段AE,EC与MC之间存在的数量关系，请直 接写出。 62/78 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D E 图1 备用图1 备用图2 【详解】(1)BE=EM. 理由如下：如图，连接ED, H :AC是正方形ABCD的对角线， ∴BC=CD,∠BCA=∠DCA=45°，∠DCB=90°， 在△BCE和△DCE中， BC=CD ∠BCE=∠DCE CE=CE △BCE≌ADCE(SAS, .BE DE,ZEBC ZEDC :四边形EFGH是正方形， .∠BEM=90°， 在四边形BCME中，∠EMC+∠EBC=360°-∠BCM-∠BEM=180°， :∠EMC+∠EMD=180°， ÷∠EDC=∠EMD, .EM ED, .BE=ME (2)如图，过点E作EP⊥BC于点P,作EQ⊥CD于点Q, 63/78 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .∠EPC=∠EQC=90°， :点E是正方形ABCD的对角线AC上的点， .EP=EQ,∠PCQ=90°， 四边形EPCQ是正方形， 在Rt△BPE和RtAMOE中， EB=EM EP=EO .Rta BPERtAMOE (HL), .S.BPE =S.MOE &S居达形EBCM=S.BPE+S程边形BPCW=SMQE+S四边形EPCM=SE方形EPC0, :正方形ABCD与正方形EFGH重叠的面积是16Cm2, C -=16, 2 解得CE=4√2（负值舍去）， :正方形ABCD的边长为6， AC=62, AE=AC-CE=62-42=22. :.此时AE的长为2√2cm: (3)分三种情况： ①如图所示，当AE<CE时， 64/78 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 H G 过点E作PQ∥BC交AB于点P,交CD于点Q, :四边形BPQC是矩形，APE,CEQ是等腰直角三角形 由(1)得，BE=EM, .BP=CO=EO, .RtABPES≌RtAEOM(HL), CE =2C0=2(CM+OM)=2CM+2MO, :APE是等腰直角三角形， :AE=V2PE=√2MQ, ∴CE=V2CM+AE, ∴CE-AE=V2CM; ②当AE=CE时，CE=AE且点M与点C重合： ③当AE>CE时， 同理可证AE-CE=√2MC· 期末综合拓展练（测试时间：30分钟） 1.（23-24九年级上湖南张家界期末)定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形称为"等补四边形”. (1)下列选项中一定是“等补四边形”的是 A.平行四边形； B.矩形： C.正方形： D.菱形 (2)如图1，在边长为a的正方形ABCD中，E为CD边上一动点(E不与C、D重合)，AE交BD于点F, 过F作FH⊥AE交BC于点H. 65/78 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 H B H B H 图1 图2 备用图 ①试判断四边形AFHB是否为"等补四边形”并说明理由； ②如图2，连接EH,将aABH绕A点逆时针旋转90°得到△ADL，判断线段EH与线段EL的数量关系，并 求△CEH的周长； ③若四边形ECHF是"等补四边形”，当a=3时，求CE的长 【详解】(1)解：在平行四边形、矩形、正方形、菱形中，只有正方形的邻边相等且对角互补， 正方形是等补四边形， 故选：D. (2)解：①四边形AFHB是“等补四边形”，理由如下： :边长为a的正方形ABCD中，AE交BD于点F,FH⊥AE交BC于点H. ∠AFH=90°，∠ABH=90°，∠ABD=∠CBD=45°， ∴∠ABH+∠AFH=180°； 连接AH,如图，则A、B、H、F四点共圆， ∠AHF=45°=∠HAF, :AF=FH D B H 四边形AFHB是"等补四边形”； ②EH=EL,理由如下： 根据旋转性质，得△ABH≌△ADL, .AH=AL,BH=DL,∠DAL=∠BAH, :∠HAF=∠AHF=45°，∠ADE+∠ADL=180°， .∠DAE+∠BAH=45°，C,D,L三点共线， 66/78 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠DAE+∠DAL=45°， ∠EAL=45°， ∠EAL=∠EAH=45°， AE=AE ∠EAL=∠EAH, AL=AH △EAL≌△EAH(SAS), :EH EL. ∴△ECH的周长是EH+EC+HC=EC+EL+CH=EC+ED+HC+BH=2BC=2a. ③：FH⊥AE,∠ECH=90°，a=3, .∠ECH+∠EFH=180°； :四边形ECHF是"等补四边形”"， :还需要一组邻边相等，分以下四种情况讨论： 情况1：FH=CH,连接CF, 由题意知：AB=CB,LABD=LCBD=45°，又BF=BF, .△ABF≌ACBF, .CF AF=HF, 则△FHC为正三角形， ∴.∠FCH=∠FAB=60°， .∠DAE=30°， 六DE=AD:tan∠DAE=a-tan30°=5a 3a=5, CE CD-DE =3-3; 情况2：CE=EF, HE=HE, .RtAHFE≌RtAHCE(HL), UI I 10 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 FH=CH,同情况1， 此时，CE=3-V5; 情况3：CH=CE,由②得△CEH的周长=2a. 设CE=CH=x,则HE=√2x, 则x+x+V2x=2a, :.x=2-V2)a,即CE=6-32; 情况4：EF=HF,连接AH,如图， B H :FH⊥AE, ∴LFHE=LFEH=45°， :∠HAF=LAHF=45°， ∴∠FHE=∠FEH=∠HAF=∠AHF=45°， :AH =HE, ·.AF=EF,则HF垂直平分AE, .AH HE, :EF=HF,∠HFE=90°， .∠FHE=∠FEH=4S°， :AH=HE,HF⊥AE, .∠AHF=∠EHF=45°， .∠AHE=90°， ∠AHB+∠EHC=90°， 又∠AHB+∠BAH=90°， .ZBAH ZCHE, 又AH=HE,∠B=∠C=90°， ∴△ABH≌△HCE, ∴AB=CH,这不可能，故这种情况不存在. 68/78 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 综上：CE=3-√5或者CE=6-3√2 2.根据已知图形解答下列问题。 (1)问题发现 如图1，A、B、C、D四家工厂分别坐落在正方形城镇的四个角上，仓库P和Q分别位于AD和DC上，且 两条直路BP⊥AQ.试判断的BP与AQ数量关系.并说明理由， (2)类比探究 如图2，在矩形ABCD中，AB=6,AD=9.点P在边AD上，连接BP,过点A作AQ⊥BP于点M,交射线 DC于点Q.求S的能. (3)拓展延伸 如图3，在三角形ABD中，∠BAD=90°，AB=6,AD=9,P是AD边上一动点，Q是BD边上一动点，且 AP 3 DOVi'当BPLAQ时，AP= D A D M O 的 B 图1 图2 图3 【详解】解：(1)结论：AQ=BP. 理由：如图1中，设AQ交BP于O D B 图1 :四边形ABCD是正方形， .∠D=∠BAP=90°，AD=AB, ∠DAQ+∠AQD=90°， :AQ1BP,∠AOP=90°， .∠DAQ+∠APB=90°， 69/78 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠AQD=∠APB, ∴△ADQ≌△BAP(A4AS), ..AO=BP. (2)如图2中， A P D H M B 图2 :四边形ABCD是矩形， ∴∠D=∠BAP=90°， ·∠DAQ+∠AQD=90°， AO LBP, .∠AMP=90°， ·∠DAQ+∠APB=90°， .∠AQD=∠APB, ∴.△ADQ△BAP, BP AB 6 2 A0 AD 9 3 (3)如图3中，由题意可以假设PA=3k,DQ=√13k,QHy,AH=x. H D M 的 图3 由(2)①可知：△4HQ△BAP, :H、AH AP AB y-x :6 70/78 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3 OH//AB, :He DHDo AB AD DB BD=AB2+AD2=313,DH=9-x, =9-x=3k 6931 =2k, PA=3k=5. 故答案为5. 3.（24-25九年级上广东珠海期中)【问题呈现】 如图1，∠MPN的顶点在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠MPN=90°，将∠MPN绕点P旋转，旋转 过程中，∠MPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E、F(点F与点C,D不重合)，探 索线段DE、DF、AD之间的数量关系. B E D M 图1 【问题初探】 (1)求证：△APE≌△DPF,并直接写出线段DE、DF、AD之间的数量关系-； 【问题引申】 (2)如图2，连接EF,若正方形ABCD的边长为10，其他条件不变，在∠MPN旋转过程中，求△DEF的 面积的最大值； 【创新拓展】 (3)如图3，将图1中的正方形ABCD改为∠ADC=120°的菱形ABCD,∠MPN=60°，其他条件不变，请 你写出线段DE、DF、AD之间的数量关系，并说明理由. 71/78 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D F A E D D M M 图2 图3 【详解】(1)证明：：正方形ABCD的对角线AC,BD交于点P, .PA=PD,∠PAE=∠PDF=45°，∠APD=90°， :∠MPN=90°， :.∠APD=90°=∠MPN, 即：∠APE+∠EPD=∠DPF+∠EPD, ∠APE=∠DPF, 在APE和△DPF中， ∠PAE=∠PDF PA=PD ∠APE=∠DPF △APE≌△DPF(ASA, :AE=DF, :DE+DF=DE+AE=AD, 故答案为：DE+DF=AD; (2)解：：四边形ABCD是正方形， ∠EDF=90°， D.DF 由(1)可得：DE+DF=AD=10, (DE-DF)2≥0， (DE-DF2+4DE·DF≥4DEDF, (DE+DF≥4DE·DF, DEDF(DE+DFY 72/78 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 5.-DE.DFsx(DE+DF)=xxI0-12.5, 24 24 △DEF面积的最大值是12.5； (3)解：DE+DF=24D,理由如下： 如图3，取AD的中点T,连接PT, .TA=TD-1AD, 2 TE D M 图3 :四边形ABCD为LADC=120°的菱形， :AB=AD,PB=PD=BD,∠BDA=∠PDF=∠ADC=x120°=60°， 1 、 2 :AABD是等边三角形， .AB=BD,∠BAD=∠ABD=60°， 1 PB=PD=-BD,TA=TD=-AD, 2 :PT∥AB且PT=AB, 2 ∠TPD=∠ABD=60°，∠PTE=∠BAD=60°， :∠PTE=∠PDF=60°，∠TPD=∠MPN=60°， PT=LAB,PD=IBD,4B=BD, 2 2 :PT=PD, :∠TPD=∠MPN=60°， 即：∠TPE+∠EPD=∠DPF+∠EPD, ∠TPE=∠DPF, 在△TPE和△DPF中， [∠PTE=∠PDF PT=PD ∠TPE=∠DPF △TPE≌aDPF(ASA), ..TE DF 73/78 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1 .DE+DF DE+TE=TD=AD 4.(24-25九年级上广东深圳期末)【问题思考】 (1)如图1，己知正方形ABCD,M,N分别是边BC,CD上一点，连接AM,AN,MN,且 LMAN=45°，若延长ND到P,使得DP=BM,连接AP. 则：运用三角形全等的相关知识，可推理得到三条线段BM,MN,DN之间的数量关系是-： 【探究应用】 (2)如图2，正方形ABCD的边长为5，点E是射线BC上一动点（不与点B重合），连接AE,以AE为 边长在BC的上方作正方形AEFG,AF交射线CD于点H,连接FC, ①当点E在BC上时 (i)若DH=3,求tan/BAE的值； (ⅱ)若△CFH是等腰三角形，求此时BE的长. ②当点E在BC的延长线上时，若AH=FH,则线段CH的长为- M 图1 图2 【详解】解：(1)MN,DN之间的数量关系是：MN=BM+DN,理由： :四边形ABCD为正方形， AB=AD,∠ABM=∠ADP=90°， 在△ABM和△ADP中， AB=AD ∠ABM=∠ADP=90°， BM=DP △ABM≌△ADP(SAS, .∠BAM=∠DAP,AM=AP, :∠BAM+∠MAD=90°， .∠MAD+∠DAP=90°， 74/78 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 即∠MAP=90°. :∠MAN=45°， :∠MAN=∠PAN=45° 在△MAN和△PAN中， (AM=AP ∠MAN=∠PAN, AN=AN △MAN≌△PAN(SAS, :MN =PN, :PN PD DN=BM +D N .MN BM +DN 故答案为：MN=BM+DN; (2)①(1)连接EH,如图， G :四边形AEFG为正方形， E ∠AEF=90°，AE=EF, .∠EAH=45°， 由(1)知：EH=BE+DH, :正方形ABCD的边长为5，DH=3, .CH=2. 设BE=x,则EH=x+3,EC=5-x. EC2+CH2=EH2, :（5-x2+22=(x+3)2, :.x=A 5 75/78 西学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 tan∠BAE= E=4=: AB 5 4 (i)过点F作FK⊥BC,交BC的延长线于点K,如图， G :四边形ABCD和四边形AEFG为正方形， :LABC=∠AEF=90°，AE=EF,AB=BC, ∠BAE+∠BEA=90°，∠BEA+∠KEF=90°， ∴.∠BAE=∠KEF, 在△BAE和△KEF中， ∠BAE=∠KEF ∠ABE=∠EKF=90°， AE=EF △BAE≌AKEF(AAS, :AB=EK =5,BE =FK, :BE +EC CE+CK :BE =CK :BE CK =FK, :△FCK为等腰直角三角形， .∠FCK=45°. 设BE=x,则EC=5-x,CK=FK=x,FC=V2x. ∠FCH=45°. I.当FH=FC时，∠HCF=∠FHC=45°， .CH=2 FC=2x. DH=5-2x, :EH =DH +BE =5-x. 76/78 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 此时EH=EC,不合题意，舍去； IⅡ.当FH=HC时，∠HCF=∠HFC=45°， .∠CHF=90°， 此时，点H与点D重合， ·点E与点C重合， BE=5; l.当FC=HC时，FC=HC=√2x 则DH=5-√2x, EH DH +BE=x+5-2x. EC2+CH2=EH2, (5-x+(2x=(x+5-2x 解得：x=5√2-5 综上，若△CFH是等腰三角形，BE的长为52-5或5； ②过点F作FN⊥BC,交BC的延长线于点N,延长AD,交FN于点M,如图， G H 四边形ABCD和四边形AEFG为正方形， M B .∠ABC=LAEF=90°，AE=EF,AB=BC=5, ∠BAE+∠BEA=90°，∠BEA+∠NEF=90°， .∠BAE=∠NEF, 在△BAE和△NEF中， ∠BAE=∠NEF ∠B=∠N=90°， AE=EF △BAE≌△NEF(AAS), :AB EN =5,BE FN 77/78 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :∠DAB=∠B=∠N=90°， 四边形ABNM为矩形， :MN AB=5,AM =BN, 同理：四边形DCNM为矩形， :DM =CN. :BE CN =FN, :CE FM 设CE=FM=x,则DM=CN=FN=5+x, :AM AD +DM =10+x. AH=5FH. AH 5 AF 13 :CD⊥BC,FN⊥BC, :CD∥FN, ·△ADH∽△AMF AD DH AH AM FM AF 55DH_5 10+x13'FM-13 x=3, DH 5 313' DH= 13 80 :CH CD+DH= 13 80 故答案为： 13 78/78