6.3 第1课时正方形的性质-【练测考】2025-2026学年八年级下册数学（鲁教版五四制）

,∴.CH=AG,∠AHE=∠CGF=90°， ∴.AH=CG. 在△AEH和△CFG中， I∠EAH=∠FCG, AH=CG, ∠AHE=∠CGF=90°， .△AEH≌△CFG(ASA). (2)由(1)知∠AHE=∠CGF=90°，△AEH≌△CFG, ∴.EHFG,EH=FG, ..四边形EGFH为平行四边形： 9.解：(1)如图1，连接AC与BD相交于点G, 在菱形ABCD中，AclBD.G=BD=号X8=4, 由勾股定理，得AG=√AB2-BG=√52-4=3， .∴.AC=2AG=2X3=6, 菱形ACD的面积=AC·BD-号X6X8=24 答案：624 图1 图2 (2)OE十OF的值不变，理由如下： 如图1，连接AO,则S△ABD=S△ABo十S△A0, ∴2BD·AG=7AB,OE+3ADOr, 即2×8x8-×50E+X50r, 解得OE十OF=4.8是定值，不变. (3)如图2，连接AO,连接AC交BD于点G, 则S△ABD=S△AB一S△A0, ∴2BD·AG=2AB·0E-3AD.OF. 即时x8x8=×50E-号×5·0r, 解得OE-OF=4.8, ∴.OE+OF的值变化，OE,OF之间的数量关系为OE OF=4.8. 3正方形的性质与判定 第1课时正方形的性质 1.D2.B3.C4.A5.B6.B7.60°8.6 9.证明：，在正方形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O, .∴.BD⊥AC,OB=OD,OA=OC. .AE=CF,..OA-AE=OC-CF, 即OE=OF,∴.四边形DEBF为平行四边形 又BD⊥EF,.四边形DEBF是菱形 10.√17解析：如图，在AD上取一点M, 使得AM=2,易知点F,M关于直线 AC对称.连接MP,则FP=MP.连接 EM,交AC于点P',连接P'F,易得 ME=P'F十P'E,即当P运动至P'处 时，PF十PE有最小值，EM的长为PF十PE的最小值 过点M作MN⊥BC于点N,由题意易知EN=BN BE=AM-BE=2-1=1,MN=4,所以EM= √EN2+MN2=√1+42=17. 1.c2 13.√5解析：在正方形ABCD中，CD=CB=AB,∠DCB= ∠ABC=90°. DF⊥CF,BE⊥CE, ∴.∠CFD=∠CEB=90°，∠CDF+∠DCF=90°. :∠DCF+∠BCE=90°，∴.∠CDF=∠BCE. 在△CFD和△BEC中， ∠CFD=∠BEC,∠CDF=∠BCE,CD=BC, ∴.△CFD≌△BEC(AAS), ∴.DF=CE=1,CF=BE=2. 在Rt△BEC中，由勾股定理，得BC2=CE2十BE,即 BC2=12+2,则BC=√5. 故正方形的边长是√5】 1426 5 解析：在正方形ABCD中，BC=8, ∴.BC=CD=AD=8,∠BCE=∠CDF=90. .DE=AF=2,..DF=CE=6, ∴BE=CF=√62+82=10. (BC=CD. 在△BCE和△CDF中，∠BCE=∠CDF, CE=DF, .△BCE≌△CDF(SAS),.∠CBE=∠DCF, .∠CBE+∠CEB=∠ECG+∠CEB=90°， ∴.∠CGE=90. Sar=号BC.cE=BE,0G. .CG-BC.CE_8X6_24 BE 105 GF=CF-CG=10-5=5 24_26 15.证明：，四边形ABCD是正方形， .OC=OD,AC⊥BD,∴.∠COE=∠DOG=90°， .∴.∠CEO十∠ECO=90°. ,DF⊥CE,.∠CEO+∠EDF=90°， ∴.∠ECO=∠EDF '∠COE=∠DOG, 在△CEO与△DGO中，OC=OD, ∠ECO=∠GDO. .∴.△CEO≌△DGO(ASA),.OG=OE 16.(1)证明：，四边形ABCD是正方形， .∠DAB=∠B=∠ADC=90°，AB=AD, .∴.∠BAE+∠EAD=90°. :四边形AEFG是正方形， ∴.∠EAD+∠DAG=∠EAG=90°，AE=AG ∴.∠BAE+∠EAD=∠EAD+∠DAG, ∠BAE=∠DAG. AE=AG, 在△BAE和△DAG中，∠BAE=∠DAG, AB-AD. .△BAE≌△DAG(SAS),∴.DG=BE. (2)解：BE+DH=EH. 理由：，△BAE≌△DAG, ∴.∠ADG=∠B=90°，BE=DG. .∠ADG+∠ADH=180°，.点H,D,G共线 ,四边形AEFG是正方形，∴∠EAH=∠GAH=45°. AE=AG, 在△EAH和△GAH中，∠EAH=∠GAH, AH=AH, ∴.△EAH≌△GAH(SAS),,.EH=GH. .DG+DH=GH,.'BE+DH=EH. 第2课时正方形的判定 1.B解析：A.对角线相等的矩形不能得到正方形，故错误； B.对角线垂直的矩形是正方形，正确；C.对角线相等且垂直 的四边形不一定是正方形，故错误：D.对角线相等且平分的 四边形是矩形，但不能得到菱形，故错误.故选B. 2.对折后，三个角是直角且一组邻边相等 3.正方形解析：如图所示，在△ABC中 E,F分别是AB,BC的中点， ,EF是△ABC的中位线， 网理PG=BD.GH=合AC.HE 2 BD. .AC=BD, ..EF=FG=GH=HE, .四边形EFGH是菱形. 设AC与BD交于点O,AC与EH交于点M. 在△ABD中，E,H分别是AB,AD的中点， ∴.EHBD,同理GHAC. .AC⊥BD,∴.∠BO℃=90 EH/BD,∴.∠EMC=∠BOC=90 .'HG∥AC,.∴.∠EHG=∠EMC=90° .四边形EFGH是正方形. 4.证明：(1)四边形ABCD是矩形，，.∠DAB=∠B=90° .DE⊥AF,.∠DAB=∠AGD=90°， ∴.∠BAF+∠DAF=90°，∠ADE+∠DAF=90°， ,∴.∠BAF=∠ADE I∠ABF=∠DAE, 在△ABF和△DAE中， ∠BAF=∠ADE, AF-DE. .∴.△ABF≌△DAE(AAS). (2).'△ABF≌△DAE,.AB=AD」 又·四边形ABCD是矩形，.四边形ABCD是正方形 5.解：(1)四边形BPCO为平行四边形. 理由：：四边形ABCD为平行四边形， 0c=0A=2Ac,0B=-0D= 2 BD. :以点B,C为圆心，2AC,2BD长为半径面弧，两孤交 于点P, .∴.OB=CP,BP=OC, .四边形BPCO为平行四边形. (2)当AC⊥BD,AC=BD时，四边形BPCO为正方形 AC⊥BD,∴.∠BOC=90°，∴.平行四边形BPCO为矩形. AC-BD.OB-BD.(C-AC..OB-X. .矩形BPCO为正方形. 6.D 7.B解析：如图所示，连接DC △ABC为等腰直角三角形， .∴.AC=BC=4,∠A=∠B=45°. ,点D为AB的中点，∴CDLAB, ∴.△ADC,△BCD是等腰直角三角形 ,DE⊥BC,DF⊥AC, DE=C-号=2.DF=FC-号AC=2 即DE=EC=DF=FC, ,'.四边形DECF是菱形 又∠ACB=90°， ∴.四边形DECF为正方形， .正方形DECF的周长为4DF=8. 故选B 8.8 9.(1)证明：.'DE∥AC,CE∥BD,即DEOC,CEOD, .四边形OCED是平行四边形. ,四边形ABCD是菱形， ∴.ACBD,.∠DOC=90°， ∴.平行四边形OCED是矩形. (2)解：四边形ABCD是菱形，∴.AC⊥BD,AB=BC, ∠AOB=90,∠AB0=∠CB0-3∠ABC ∠ABC=60°，∴∠ABO=30°. :AB=2,A0=3AB=1.0B=5. .OD=OB=√3，OC=OA=1, .C矩形0cD=2(OD+OC)=23+2. (3)90° 10.D11.D 12.16解析：如图，过点B作BE⊥CDF 于点E,则BE=4米，∠BEC= ∠BED=90°， 过，点B作BF⊥DA,交DA的延长线 D 于点F,则∠F=90°， ∴.∠F=∠BEC. :∠F=∠D=∠BED=90°， 四边形BEDF是矩形， ∠EBF=90°，即∠FBA+∠ABE=90°. :∠CBE+∠ABE=∠ABC=90°， .∠FBA=∠EBC. 在△ABF和△CBE中， |∠F=∠BEC, ∠ABF=∠CBE, AB=CB, .△ABF≌△CBE(AAS),∴.BF=BE=4米，第六章特殊平行四边形 3正方形的性质与判定 第1课时 正方形的性质 (教材P21一P23内容) 基础夯实 6.如图，E,F分别是正方形 知识点一正方形的定义与对称性 ABCD的边CD,BC上的 1.在四边形ABCD中，若AD∥BC,AD=BC, 点，且CE=BF,AF,BE相 ∠B=90°，AB=BC,则四边形ABCD的形 交于点G,下列结论中正确 B 状是 ( ) 的是 ( ) A.平行四边形 B.矩形 ①AF=BE: ②AF⊥BE; C.菱形 D.正方形 ③AG=GE; ④S△ABG=S四边形CEGF 2.(绵阳中考)如图是以正方形的 A.①②③ B.①②④ 边长为直径，在正方形内画半圆 C.①③④ D.②③④ 得到的图形，则此图形的对称轴 7.[教材P23随堂练习T2变式] 有 () 如图，在正方形ABCD中，P为 A.2条 B.4条 对角线AC上一点，∠ABP C.6条 D.8条 15°，则∠DPC的度数为 知识点二 正方形的性质 8.小明用七巧板拼了一个对角线长为2的正方 3.(2024·淄博高青县期中)正方形具有而菱 形，再用这副七巧板拼成一个长方形（如图 形不一定具有的性质是 ( ) 所示)，则长方形的周长为 A.四条边都相等 ① B.对角线互相垂直且平分 ⑥ ③ ② ⑤ C.对角线相等 ④ ① ⑦ © ② D.对角线平分一组对角 4.如图，在正方形ABCD中，F 9.如图，在正方形ABCD中，对角线AC,BD 是边CD上的一点，AF交对 相交于点O,点E,F是对角线AC上的两 角线BD于点E,连接CE.若 点，且AE=CF.连接DE,DF,BE,BF ∠EAB=58°，则∠CEF的度 求证：四边形DEBF是菱形 数为 A.269 B.32 C.52 D.58 5.如图，把正方形ABCD放 在平面直角坐标系中，直 D 角顶点A落在第二象限， 顶点B,D分别落在y轴、 x轴上，已知点A(一2,2)， B(0,一3)，则点D的坐标为 A.(-4,0) B.（-7,0) C.(-5,0) D.(-8,0) 数学是一种别具匠心的艺术。 哈尔莫斯 19 练测考八年级数学下册LJ 易错点悟不能运用正方形的轴对称性将两 15.如图，正方形ABCD的对角线AC,BD相 线段的长度和转化为一条线段的 交于点O,E,G分别是OB,OC上的点，CE 长度而致错 与DG的延长线相交于点F.若DF⊥CE, 10.如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC 求证：OG=OE. 上的一点，BE=1,F为AB上的一点， AF=2,P为AC上的一个动点，则PF+ PE的最小值为 能力提升 11.如图，P为正方形ABCD的 素养培优 对角线BD上的任一点，过 16.如图1，四边形ABCD是正方形，点E是 点P作PE⊥BC于点E,作 BC上一点，连接AE,以AE为一边作正方 PF⊥CD于点F,连接EF, 形AEFG,连接DG 给出以下4个结论：①△FDP是等腰直角三 (1)求证：DG=BE. 角形，②AP=EF,③∠PFE=∠BAP, (2)如图2，连接AF交CD于点H,连接 ④AD=PD.其中正确的有 EH,请探究EH,BE,DH三条线段之间 A.1个B.2个 C.3个 D.4个 的数量关系，并说明理由 12.(2024·吉林)如图，正方形ABCD的对角 线AC,BD相交于点O,点E是OA的中 点，点F是OD上一点.连接EF.若 ∠FE0=45°， BC的值为 图2 B E 第12题图 第13题图 13.(2024·济南莱芜区期中)如图，直线1经过 正方形ABCD的顶点C,点B,D到直线L的 距离分别是2,1，则正方形的边长为 14.(2024·威海荣成市期中)如 图，正方形ABCD中，点E, F分别在边CD,AD上，BE 与CF交于点G.若BC=8, DE=AF=2,则GF的长为 20 数学是一种会不断进化的文化。一魏尔德