精品解析：2026年云南省楚雄彝族自治州双柏县一模数学试题

2026年云南省初中学业水平考试·数学 中考标准模拟卷 （全卷三个大题，共27小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 《九章算术》记载的“余”和“不足”等概念，充分说明中国是世界上最早采用正负数表示相反意义量的国家．若将“收入80元”记作“元”，则“支出50元”记作（ ） A. 50元 B. 元 C. 30元 D. 元 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正负数的运用，掌握正负数的意义是关键． 根据题意，收入用正数表示，则支出用负数表示，由此即可求解． 【详解】解：“收入80元”记作“元”， ∴“支出50元”记作， 故选：B ． 2. 下列水平放置的几何体中，左视图是圆形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查简单几何体的三视图，解题的关键是熟练掌握常见几何体的三视图及三视图的概念．根据常见几何体的三视图及三视图的定义逐一判断即可得答案． 【详解】解：A．左视图是三角形，故该选项不符合题意， B．左视图是梯形，故该选项不符合题意， C．左视图是圆形，故该选项符合题意， D．左视图是矩形，故该选项不符合题意， 故选：C． 3. 滇池亦称昆明湖、昆明池、滇南泽、滇海，位于昆明市西山区，是云南省面积最大的高原湖泊，也是全国第六大淡水湖，有着“高原明珠”之称滇池的蓄水量大约为立方米．数字用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据科学记数法形式，，进行换算即可； 【详解】解：， 故选：A． 【点睛】本题考查了科学记数法，掌握科学记数法是解题关键． 4. 如图，已知直线与直线都相交．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用平行线的性质求角度，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键． 根据“两直线平行，内错角相等”即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算和整式的乘法公式，正确运用法则进行计算是解决此题的关键．用幂的乘方法则，同底数幂的乘除法法则，整式乘法的完全平方公式逐一排除即可求解． 【详解】解：根据幂的乘方，底数不变，指数相乘．因此，故正确； 根据同底数幂相除，底数不变，指数相减．，故B错误； 根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加．，故C错误； 根据乘法的完全平方公式：．，故D错误． 故选：A． 6. 下列四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“轴对称图形”的定义进行分析判断即可. 【详解】解：A选项中的图形不是轴对称图形，不符合题意； B选项中的图形是轴对称图形，符合题意； C选项中的图形不是轴对称图形，不符合题意； D选项中的图形不是轴对称图形，不符合题意. 故选B. 【点睛】熟记“轴对称图形的定义：把一个图形沿某条直线折叠，若直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫轴对称图形”是解答本题的关键. 7. 使有意义的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，可得不等式，根据解不等式，可得答案． 【详解】解：依题意，得 解得， 故选 【点睛】本题考查了函数自变量的范围，当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 8. 百货商场试销一批新款衬衫，一周内销售情况如表所示，商场经理想要了解哪种型号最畅销，那么他最关注的统计量是（ ） 型号（厘米） 38 39 40 41 42 43 数量（件） 23 31 35 48 29 8 A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 众数 【答案】D 【解析】 【分析】既然是对新款衬衫的型号销售情况作调查，那么应该关注那种型号销的最多，故值得关注的是众数． 【详解】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故应最关心这组数据中的众数． 故选：D． 【点睛】此题主要考查统计量的选择，解题的关键是了解众数的意义，难度不大． 9. 观察下列一组单项式：，，，，，…。按你发现的规律继续写下去，第n个单项式是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查单项式规律题，解决本题的关键是明确题意，发现单项式的变化特点． 分别从符号、符号后的数字、以及字母的指数三方面找规律即可． 【详解】解：根据一系列单项式，可以发现系数的符号由奇偶性决定，所以为，其后的数字为，字母为， 第个单项式为． 故选：B． 10. 如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tanA=，则BC的长是（ ） A. 2 B. 8 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据锐角三角函数定义得出，代入求出即可． 【详解】解：∵，AC=4， ∴. 故选A． 11. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】D 【解析】 【分析】先计算求出根的判别式△的值，再根据△的值来判断根的情况即可. 【详解】解：∵由题意得：中：，，， ∴ ， ∵， ∴方程没有实数根. 故选：D. 【点睛】本题主要考查判断一元二次方程根的情况，解题的关键是要理解一元二次方程根的情况是由根的判别式的值判断：△＞0，方程有两个不相等的实数根；△=0，方程有两个相等的实数根；△＜0，方程没有实数根. 12. 下列结论中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直且相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形、矩形的性质，掌握其性质是关键． 根据矩形，菱形的性质判定即可求解． 【详解】解：矩形的对角线相互平分，对角线相等， 菱形的对角线相互平分，互相垂直，平分对角， ∴菱形具有而矩形不一定具有的性质是对角线互相垂直， 故选：B ． 13. 如图，在⊙O中，∠BOC=54°，则∠BAC的度数为（ ） A. 27° B. 28° C. 36° D. 54° 【答案】A 【解析】 【分析】由同弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半，可得，从而可得答案． 【详解】解： 故选： 【点睛】本题考查的是圆周角定理，掌握“同弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．”是解题的关键． 14. 如图，在中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，根据已知证明，进而根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 故选：C． 15. 已知圆锥侧面展开图的面积为，其底面圆半径为，则圆锥的高是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用圆锥侧面积公式求出母线长，再根据圆锥母线、底面半径和高的关系，结合勾股定理计算圆锥的高． 【详解】解：设圆锥母线长为，高为， 已知底面半径，侧面积， ∵圆锥侧面积公式为， ∴代入得， 解得， ∵圆锥的高、底面半径、母线构成直角三角形，满足勾股定理， ∴． 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式，然后再根据平方差公式分解因式即可． 【详解】解：． 17. 一个多边形的内角和是，则这个多边形是_______边形． 【答案】八 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，熟记多边形的内角和公式为是解答本题的关键．根据多边形内角和公式求解即可． 【详解】设这个多边形是n边形， 由题意得， 解得， ∴这个多边形是八边形． 故答案为：八． 18. 已知反比例函数的图象经过点，则k的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标满足函数解析式，将已知点的坐标代入反比例函数解析式，即可求出的值． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， 将，代入得：， 解得． 19. 垃圾分类（Refuse sorting），是指按照垃圾的不同成分、属性、利用价值以及对环境的影响，并根据不同处置方式的要求，分成属性不同的若干种类．某市试点区域的垃圾收集情况如扇形统计图所示，已知可回收垃圾共收集60 吨，且全市人口约为试点区域人口的10倍，那么估计全市可收集的干垃圾总量为________． 【答案】1500吨 【解析】 【分析】由题意易得试点区域的垃圾收集总量为300吨，然后问题可求解． 【详解】解：由扇形统计图可得试点区域的垃圾收集总量为（吨）， ∴全市可收集的干垃圾总量为（吨）； 故答案为1500吨． 【点睛】本题主要考查扇形统计图，熟练掌握扇形统计图是解题的关键． 三、解答题：本大题共8小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 21. 如图，已知线段，相交于点，连接，，，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据对顶角相等可得，再根据即可证明． 【详解】证明：在和中， ， ． 【点睛】本题主要考查了用证明三角形全等，解题的关键是熟练掌握两个对应角相等，其夹边也相等的两个三角形全等． 22. 为了让学生养成热爱图书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买书籍．已知2020年该学校用于购买图书的费用为5000元，2022年用于购买图书的费用是7200元，求年买书资金的平均增长率． 【答案】 【解析】 【分析】设年买书资金的平均增长率为，根据2022年买书资金2020年买书资金建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设年买书资金的平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：年买书资金的平均增长率为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． 23. 甲、乙两个口袋中均装有三张除所标数值外完全相同的卡片，甲袋中的三张卡片所标有的三个数值分别为，4，，乙袋中的三张卡片所标的数值为，3，5． （1）小明在乙袋中随机抽取一张卡片，他抽出来的卡片上所标的数值是奇数的概率是 ． （2）小红先从甲袋中随机取出一张卡片，用x表示取出的卡片上的数值，再从乙袋中随机取出一张卡片，用y表示取出的卡片上的数值，把x，y分别作为点A的横坐标和纵坐标．请用列举法写出点的所有情况，并求点A在第二象限的概率． 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式计算，即可求解； （2）根据题意，列举出点的所有情况，再根据概率公式计算，即可求解． 【小问1详解】 解：他抽出来的卡片上所标的数值是奇数的概率为； 故答案为： 【小问2详解】 解：根据题意点的所有情况有：， 一共有9种等可能结果，其中点A在第二象限的有4种， 所以点A在第二象限的概率为． 【点睛】本题考查了列举法：通过列举法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率． 24. 商店出售某品牌护眼灯，每台进价为40元，在销售过程中发现，月销量y（台）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，其部分对应数据如下表所示： 销售单价元 50 60 70 月销量台 90 80 70 （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （2）当护眼灯销售单价定为多少元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大？最大月利润为多少元？ 【答案】（1） （2）销售单价定为80元时，最大月利润为2400元． 【解析】 【分析】本题主要考查待定系数法求解析式以及二次函数的性质， 根据题意设，将和求解，注意函数x的取值范围即可； 根据利润为销量乘以售价减去进价得到二次函数，化为顶点式，求最值时注意x的取值范围即可； 【小问1详解】 解：设月销量y（台）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系式为， 把和代入得 ， 解得， ∴； ∵销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍， ∴， 则； 【小问2详解】 设每月出售这种护眼灯所获的利润为w元， 根据题意得， ∵ ∴开口向下，越靠近对称轴所对应的值越大， ∵， ∴当护眼灯销售单价定为80元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大， 此时 即最大月利润为2400元． 25. 如图，菱形的对角线交于点，，，与交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）首先根据题意得出四边形是平行四边形，再结合菱形的性质得出∠AOB=90°，由此进一步证明结论即可； （2）首先根据矩形性质可知，，由此得知，据此进一步求出AC、BD的长，最后利用菱形的面积公式加以计算即可. 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， 即∠AOB=90°， ∴四边形是矩形； （2）由（1）可知：四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 在Rt△ABO中，AB=10，∠ABD=30°， ∴，， ∴， ∴菱形ABCD的面积. 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质和菱形的性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键. 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（为常数）．当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，实数是抛物线与轴交点的横坐标，且，． （1）求的值； （2）请你猜想与的大小关系，并说明理由． 【答案】（1） （2）当时，；当时，．理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与轴的交点问题，二次根式的化简，实数的大小比较等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）先确定抛物线的对称轴，再根据对称轴公式即可求解； （2）可得，由实数是抛物线与轴交点的横坐标，得到，则，利用完全平方公式求出，，再化简得到，解得，，那么，再分类讨论求解． 【小问1详解】 解：∵当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， 抛物线的对称轴为直线， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）知，抛物线的解析式为， 实数是抛物线与轴交点的横坐标， ，则， ，， ， 解得，， ， ①当时， ， ，即， ②当时， ， ，即． 27. 如图所示，是的外接圆，为的直径，D为的中点，连接，与交于点 E，并过点 D作的平行线分别交的延长线于点F，P． （1）已知，求的长． （2）求证：是的切线． （3）看一看，想一想，证一证：以下与线段及线段有关的三个结论：你认为哪个正确?请说明理由． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）正确，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由圆周角定理得到，再解即可求解； （2）连接交于点，由垂径定理可得，则由平行线的性质可得，据此可证明结论； （3）连接．证明，得到．再证明，得到，据此可得结论． 【小问1详解】 解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 证明：如图，连接交于点． 为的中点， ， ， ． ， ， ． 是的半径， 是的切线； 【小问3详解】 解：正确，．理由如下： 如图，连接． 与相切于点， ， ． 为的直径， ， ， ． ， ， ． ， ， ， ． ∴ ， ． 又， ， ， ， ∴ ∴成立． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，相似三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年云南省初中学业水平考试·数学 中考标准模拟卷 （全卷三个大题，共27小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 《九章算术》记载的“余”和“不足”等概念，充分说明中国是世界上最早采用正负数表示相反意义量的国家．若将“收入80元”记作“元”，则“支出50元”记作（ ） A. 50元 B. 元 C. 30元 D. 元 2. 下列水平放置的几何体中，左视图是圆形的是（ ） A. B. C. D. 3. 滇池亦称昆明湖、昆明池、滇南泽、滇海，位于昆明市西山区，是云南省面积最大的高原湖泊，也是全国第六大淡水湖，有着“高原明珠”之称滇池的蓄水量大约为立方米．数字用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知直线与直线都相交．若，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 7. 使有意义的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 百货商场试销一批新款衬衫，一周内销售情况如表所示，商场经理想要了解哪种型号最畅销，那么他最关注的统计量是（ ） 型号（厘米） 38 39 40 41 42 43 数量（件） 23 31 35 48 29 8 A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 众数 9. 观察下列一组单项式：，，，，，…。按你发现的规律继续写下去，第n个单项式是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tanA=，则BC的长是（ ） A. 2 B. 8 C. D. 11. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 12. 下列结论中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直且相等 13. 如图，在⊙O中，∠BOC=54°，则∠BAC的度数为（ ） A. 27° B. 28° C. 36° D. 54° 14. 如图，在中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 15. 已知圆锥侧面展开图的面积为，其底面圆半径为，则圆锥的高是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 分解因式：______． 17. 一个多边形的内角和是，则这个多边形是_______边形． 18. 已知反比例函数的图象经过点，则k的值为________． 19. 垃圾分类（Refuse sorting），是指按照垃圾的不同成分、属性、利用价值以及对环境的影响，并根据不同处置方式的要求，分成属性不同的若干种类．某市试点区域的垃圾收集情况如扇形统计图所示，已知可回收垃圾共收集60 吨，且全市人口约为试点区域人口的10倍，那么估计全市可收集的干垃圾总量为________． 三、解答题：本大题共8小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20. 计算：． 21. 如图，已知线段，相交于点，连接，，，，．求证：． 22. 为了让学生养成热爱图书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买书籍．已知2020年该学校用于购买图书的费用为5000元，2022年用于购买图书的费用是7200元，求年买书资金的平均增长率． 23. 甲、乙两个口袋中均装有三张除所标数值外完全相同的卡片，甲袋中的三张卡片所标有的三个数值分别为，4，，乙袋中的三张卡片所标的数值为，3，5． （1）小明在乙袋中随机抽取一张卡片，他抽出来的卡片上所标的数值是奇数的概率是 ． （2）小红先从甲袋中随机取出一张卡片，用x表示取出的卡片上的数值，再从乙袋中随机取出一张卡片，用y表示取出的卡片上的数值，把x，y分别作为点A的横坐标和纵坐标．请用列举法写出点的所有情况，并求点A在第二象限的概率． 24. 商店出售某品牌护眼灯，每台进价为40元，在销售过程中发现，月销量y（台）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，其部分对应数据如下表所示： 销售单价元 50 60 70 月销量台 90 80 70 （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （2）当护眼灯销售单价定为多少元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大？最大月利润为多少元？ 25. 如图，菱形的对角线交于点，，，与交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求菱形的面积． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（为常数）．当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，实数是抛物线与轴交点的横坐标，且，． （1）求的值； （2）请你猜想与的大小关系，并说明理由． 27. 如图所示，是的外接圆，为的直径，D为的中点，连接，与交于点 E，并过点 D作的平行线分别交的延长线于点F，P． （1）已知，求的长． （2）求证：是的切线． （3）看一看，想一想，证一证：以下与线段及线段有关的三个结论：你认为哪个正确?请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $