第五章 图形的对称轴（复习课件）数学新教材北师大版七年级下册

该初中数学单元复习课件聚焦图形的轴对称，通过单元知识图谱（思维导图）和考点串讲，系统梳理轴对称图形、两个图形成轴对称的概念与性质，以及等腰三角形三线合一、等边三角形、线段垂直平分线、角平分线等核心内容，构建完整知识网络。 其亮点在于题型剖析分层设计，从基础的图形识别到综合的折叠、台球反射等问题，结合垃圾分类标志、台球桌面等现实情境培养数学眼光，通过等腰三角形性质证明等发展推理意识。针对训练分层设置，帮助学生巩固知识，教师可精准把握学情提升复习效率。

单元复习课件 第五章 图形的轴对称 北师大版2024·七年级下册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.掌握轴对称图形与两个图形成轴对称的概念及性质；能准确画出对称轴；理解等腰三角形“三线合一”，能进行相关计算与推理。 3.理解等腰三角形“三线合一”，能进行相关计算与推理，运用转化思想解决折叠及最短路径问题能补全轴对称图形，会用尺规作线段的垂直平分线。 2. 通过折叠、作图探究轴对称性质，运用转化思想解决折叠及最短路径问题。 单元学习目标 单元知识图谱 考点一：轴对称图形与两个图形成轴对称 1.轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴. 2.两个图形轴对称：如果两个平面图形沿一条直线对折后，能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫做这两个图形的对称轴. 3.轴对称与轴对称图形的区别和联系 (1)轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的. (2)如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形． 考点串讲 考点二：轴对称图形的性质 1.在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等． 考点三：等腰三角形的性质 1.等腰三角形性质1：等腰三角形的轴对称图形，等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角） 2.等腰三角形性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称：等腰三角的三线合一） 图形：如下所示； 符号：在△ABC中，AB＝AC， ①若∠1=∠2，则BD=CD，AD⊥BC. ②若BD=CD，则∠1=∠2，AD⊥BC. ③若AD⊥BC，则∠1=∠2，BD=CD. 考点串讲 考点四：等边三角形的性质 1.等边三角形性质1：等边三角形的三条边都相等； 2.等边三角形性质2：等边三角形的每个内角等于60°； 3.等边三角形性质3：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴. 考点五：线段的垂直平分线（中垂线） 1.定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线. 2.性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 考点六：角平分线的性质 1.角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴. 2.性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 考点串讲 题型一、轴对称图形的识别 1．下列四个垃圾分类标志中属于轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．戏剧文创产业是以戏剧为主题的创意文化产业．下列与戏剧有关的文创图案中，成轴对称的是(     ） A． B． C． D． C A 题型剖析 题型二、成轴对称的两个图形的识别 1．如图所示的4组图形中，成轴对称的是（　　） A． B． C． D． 2．下列各组图形中，右边的图形与左边的图形成轴对称的有(     ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ D B 题型剖析 题型三、根据成轴对称图形的特征进行判断 D D 1．如图是一个飞镖设计图，其主体部分（四边形）关于所在的直线对称，下列判断不正确的是（　　） A．AB=AD B．BC=CD C．BE=DE D．BC=AC 2．如图，关于直线进行轴对称变换后得到，下列结论中不正确的是(     ） A．∠1=∠2 B．∠3=∠4 C．l垂直平分AB、CD D．OA=OC，OB=OD 题型剖析 题型四、根据成轴对称图形的特征进行求解 1．如图，△ABC和△ADE关于直线MN对称，BC和DE的交点F在直线MN上． (1)若ED=15，BF=9，求EF的长； (2)连接BD，则BD和直线AN的关系为______． （1）解：∵△ABC和△ADE关于直线MN对称， ∴点B与点D关于直线MN对称， ∴DF=BF=9， ∴EF=ED-DF=15-9=6． （2）解：∵△ABC和△ADE关于直线MN对称， ∴点B与点D关于直线MN对称， ∴MN⊥BD，即BD⊥AN， 故答案为：BD⊥AN． 题型剖析 题型五、台球桌面上的对称轴问题 1．如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球，每当球碰到长方形桌的边时会反弹，反弹的方向与原来的方向关于垂直于长方形桌边的直线对称，则球最后落入的球袋是（     ） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 B 题型剖析 题型五、台球桌面上的对称轴问题 2．如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是_______点． D 题型剖析 题型五、台球桌面上的对称轴问题 3．数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，∠1=∠2，若∠3=35°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1为________． 55° 题型剖析 题型六、轴对称中的光线反射问题 1．如图，一束太阳光线EF经平面镜CD反射后，反射光线FG与水平地面AB平行．测得平面镜与水平地面的夹角∠CDA的度数为32°，则此时的太阳光线EF与水平地面所形成的锐角的度数是（　　） A．32° B．45° C．58° D．64° D 题型剖析 题型六、轴对称中的光线反射问题 2．如图，两条平行直线a，b，从点光源M射出的光线射到直线a上的A点，入射角为15°，然后反射光线射到直线b上的B点，当这束光线继续从B点反射出去后，反射光线与直线b所夹锐角的度数为（　　） A．30° B．25° C．20° D．15° D 题型剖析 题型七、轴对称中的折叠问题 1．如图，△ABC中，AB=6，AC=7，BC=9，若沿过点B的直线BD折叠此三角形，使点A落在边BC上的点E处，折痕为BD．则△CDE的周长是________． 解：∵AB沿BD折叠点A落在BC边上的点E处， ∴DE=AD，BE=BA=6， ∵BC=9， ∴CE=BC-BE=9-6=3， ∴△CDE的周长为CD+DE+CE=CD+AD+CE=AC+CE=10 10 题型剖析 题型七、轴对称中的折叠问题 2．如图，已知长方形纸带ABCD，将纸带沿EF折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，再沿BC折叠，点H落在点N的位置，若∠DEF=74°，则∠NFH=________． 解：∵长方形纸带ABCD，∠DEF=74°， ∴AD//BC， ∴∠CFE=180°-∠DEF=106°， ∵将纸带沿EF折叠后，点C、D分别落在H、G的位置， ∴∠EFH=∠CFE=106°， ∴∠HFM=∠EFH+∠CFE-180°=32°， ∴∠NFH=2∠HFM=64° 64° 题型剖析 题型八、等腰三角形两腰相等求解 1.已知△ABC是等腰三角形，若AB=5cm，AC=3cm,那么△ABC的周长是_________． 2.已知a、b为等腰△ABC的边长，且满足+(b-11)2=0，则△ABC的底边长是_________． 3.已知等腰△ABC的三边长分别为5，11，3x-4，则x=________． 4.等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分，其差为4cm，则该等腰三角形的腰长为_________． 11或13 5 5 9 题型剖析 题型九、根据等边对等角求角度 1.如图，已知等腰△ABC的一个内角是40°，则它的底角度数为_________． 2.等腰三角形的一个内角是80°，则它顶角的度数是________． 3.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则顶角的度数为___________． 4.如图，在△ABC中 ，AB=AC，∠ABC=2∠BAC，BP平分∠ABC，M 为射线BP上的一动点． 当△ABM为等腰三角形时，∠BMA的度数为__________. 40°或70° 20°或80° 40°或140° 108°或72°或36° 题型剖析 题型十、根据等边对等角证明 1.如图，AO平分∠BAC，CO⊥AB，BO⊥AC，垂足分别为D，E．求证：∠OBC=∠OCB． 证明：∵AO平分∠BAC，CO⊥AB，BO⊥AC， ∴OD=OE，∠ODB=∠OEC=90° 又∵∠BOD=∠COE， ∴△DOB≌△COE（ASA）， ∴OB=OC， ∴∠OBC=∠OCB． 题型剖析 题型十、根据等边对等角证明 2.如图，点A，F，C，D在同一条直线上，AF=DC，AB=DE，∠A=∠D，BC与EF交于点H．求证：FH=CH． 解：∵AF=DC， ∴AC=DF， 在△ABC和△DEF中， AB=DE，∠A=∠D，AC=DF ∴△ABC≌△DEF（SAS）， ∴∠BCA=∠EFD， ∴FH=GH． 题型剖析 题型十一、根据等腰三角形三线合一求解 1.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，且BC=4，则BD的长为_________． 2.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，若AB=3cm，CD=2cm，则△ABC的周长是________． 3.如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=80°，AD是△ABC的中线，点E在AC上，AE=AD，则∠DEC等于_________． 2 10cm 110° 题型剖析 题型十二、根据等腰三角形三线合一证明 1.如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD⊥BC，垂足为D，DE//AB，交AC于点E．△ADE是等腰三角形吗？请说明理由． 解：△ADE是等腰三角形，理由如下： ∵∠B=∠C， ∴AB=AC， ∵AD⊥BC， ∴∠BAD=∠CAD， ∵DE//AB， ∴∠ADE=∠BAD， ∴∠ADE=∠CAD， ∴EA=ED， △ADE是等腰三角形． 题型剖析 题型十三、根据等边三角形的性质求解 1.如果等边三角形的边长为3，则等边三角形的周长为_______． 2.如图，△ABC为等边三角形，BD⊥BC，AE//BD，则∠EAC的度数为________． 3.如图，在等边三角形ABC中，BC=8，点D是AB的中点，过点D作DF⊥AC于点F，过点F作EF⊥BC于点E，则BE的长为_______． 9 150° 5 题型剖析 题型十四、根据等边三角形的性质证明 1.如图，△ABD和△CBD是等边三角形，点E，F分别在AB，AD上，且AE=DF，连接BF与DE交于点G，连接CG． (1)DE=BF；(2)∠BGE=60°；(3)GC平分∠BGD． 此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先由等边三角形得到AD=BD，∠A=∠BDF=60°，然后证明出△ADE≌△DBF（SAS），即可得到DE=BF； （2）由△ADE≌△DBF（SAS）得到DE=BF，∠ADE=∠DBF，然后得到∠GDB=∠DBF，进而求解即可； （3）作CM⊥BF于点M，CN⊥DE，交ED的延长线于点N，由等边三角形得到CD=CB，∠CDB=∠ABD=60°，∠ADB=∠DBC=60°，求出AB//CD，AD//BC，然后由全等得到∠AED=∠DFB，然后证明出△CBM≌△CDN（AAS），得到CN=CM，进而求解即可． 题型剖析 题型十四、根据等边三角形的性质证明 2.如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且BD=CE，连接AD、BE交于点F． (1)求证：△ABD≌△BCE； (2)若∠BAD=20°，求∠ABE的度数． （1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=CA，∠ABD=∠BCE=60° 在△ABD和△BCE中，AB=BC，∠ABD=∠BCE，BD=CE ∴△ABD≌△BCE（SAS）； （2）解：∵△ABD≌△BCE（SAS）， ∴∠CBE=∠BAD=20°， ∵在等边△ABC中，∠ABC=60°， ∴∠ABE=∠ABC—CBE=40°． 题型剖析 题型十五、 线段垂直平分线的性质求解 1.如图，如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，AC于D，E两点，若AC=9cm，BC=5cm,则△BCE的周长为________． 2.如图，△ABC中，∠B=32°，分别以点B、C为圆心，大于 1/2BC的长为半径画弧，两弧在BC两侧相交于点M、N， 作直线MN分别与AB、BC交于点D，E，连接CD，则∠BCD=_____． 14cm 32° 题型剖析 题型十六、线段垂直平分线的性质和判定 1.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线l1交AB于点M，交BC于点D，AC的垂直平分线l2交AC于点N，交BC于点E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为10． (1)求BC的长； (2)试判断点O是否在边BC的垂直平分线上，并说明理由． 解：（1）∵l1垂直平分AB，∴AD=BD 同理EA=EC，∴BC=BD+DE+CE=AD+DE+AE=10； （2）点O在边BC的垂直平分线上， 理由：连接OB，OA，OC， ∵l1垂直平分AB，l2垂直平分AC ∴AO=BO，AO=CO. ∴BO=CO ∴点O在边BC的垂直平分线上. 题型剖析 题型十六、线段垂直平分线的性质和判定 2.如图，AD是△ABC的角平分线，DE和DF分别是△ABD和△ACD的高，连接EF、AD交于点O． (1)证明：△AED≌△AFD； (2)证明：AD垂直平分EF． 解：（1）证明：AD是△ABC的角平分线， ∴∠DAF=∠DAE， ∵DE和DF分别是△ABD和△ACD的高， ∴∠AED=∠AFD=90°， 在△AED和△AFD中， ∠DAF=∠DAE，∠AED=∠AFD，AD=AD； ∴△AED≌△AFD （2）证明：∵△AED≌△AFD， ∴DE=DF，AE=AF， 点A、D在线段EF的垂直平分线上， ∴AD垂直平分EF． 题型剖析 题型十七、线段垂直平分线的实际应用 1.如图，某居民小区在三栋住宅楼A，B，C之间修建了供居民散步的三条绿道，并在绿道内部修建了一个凉亭P．若点P到点A，B，C的距离相等，则点P是△ABC的（　　） A．三条角平分线的交点 B．三条高的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三条中线的交点 C 题型剖析 题型十七、线段垂直平分线的实际应用 2.到三角形三个顶点距离相等的点是（　　） A．三边垂直平分线的交点 B．三个角平分线的交点 C．三条边上的高的交点 D．三条边上的中线的交点 3.如图，△ABC是等边三角形，直线，点P在直线上运动，当点P与△ABC的两个顶点的距离相等时，警报器就会发出警报，则在直线上会发出警报的点有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 A C 题型剖析 题型十八、 角平分线的性质定理求解 1.如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，，PD⊥OB，垂足为D，若PD=4，则点P到边OA的距离是________． 2.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，CD=2，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，BC于点M、N．分别以点M、N为圆心，以大于1/2MN的长度为半径画弧，两弧相交于点P，过点P作线段BD，交AC于点D，则△ABD的面积是________． 4 5 题型剖析 题型十九、 角平分线的性质定理证明 1.如图，C是∠MAN的角平分线上一点，CE⊥AN，CF⊥AM，垂足分别为E，F．过点C作CD//AN，交AM于点D，在射线EN上取一点B，使∠CBE=2∠DCA． (1)求证：CF=CE； (2)求证：DF=BE． 4 （1）证明：C是∠MAN的角平分线上一点， ∴∠1=∠2， CE⊥AN，CF⊥AM ∴∠3=∠4=∠5=90°， 在△ACF和△ACE中， ∠1=∠2，∠3=∠4，AC=AC ∴△ACF≌△ACE（AAS） ∴CF=CE； （2）证明：∵CD//AN， ∴∠6=∠1+∠2，∠7=∠2 又∵∠1=∠2， ∴∠6=2∠7， 又∵∠CBE=2∠DCA，即∠CBE=2∠7，∠6=∠CBE 在△CFD和△CEB中， ∠6=∠CBE，∠3=∠5，CF=CE ∴△CFD≌△CEB（AAS）． ∴DF=BE 题型剖析 题型十九、 角平分线的性质定理证明 2.如图，AB，BC，AC是连通三栋楼的道路，业主要求在这三条路围成的范围内安装一照明灯，使灯到三条路的距离相等，则灯应该安装在（    ） A．BC，AC两边高线的交点处 B．BC，AC两边中线的交点处 C．BC，AC两边垂直平分线的交点处 D．∠A，∠B两角的平分线的交点处 4 题型剖析 1.如图所示，在△ABC 中，AB = AC，BD⊥AC 于 D.试说明：∠BAC = 2∠DBC. A B C D ) ) 1 2 E 解：作∠BAC 的平分线 AE，交 BC 于点 E，如图. ∵ AB = AC，∴AE⊥BC，∠1 = ∠2 = 1/2∠BAC. ∴∠AEC = 90°，∠2 +∠ACB = 90°. ∵BD⊥AC，∴∠BDC = 90°，∠DBC +∠ACB =90°.∴∠2 =∠DBC. ∴∠BAC = 2∠DBC. 针对训练 2.如图，在△ABC 中，AB＝AC＝20 cm，DE 垂直平分 AB，垂足为 E，交 AC 于 D，若△DBC 的周长为 35 cm，则 BC 的长为 (　　) A．5 cm B．10 cm C．15 cm D．17.5 cm C C 解析：因为 DE 垂直平分 AB，所以 AD＝BD. 所以△DBC 的周长为 BC＋BD＋CD＝BC＋AD＋CD＝BC＋AC＝35 cm. 因为 AC＝20 cm，所以 BC＝35－20＝15 (cm). 故选C 针对训练 3.如图，在△ABC 中，DE 是 AC 的垂直平分线，AC = 5 cm，△ABD 的周长等于 13 cm，则△ABC 的周长是 cm. 4.已知等腰三角形的一个内角为 40°，求这个等腰三角形另外两角的度数. 18 C A B D E 解：若 40° 角是该等腰三角形的顶角，设一个底角为 x°，则根据三角形的内角和定理得 x + x + 40 = 180，解得 x = 70， 即此时该等腰三角形的另外两角度数都是 70°； 针对训练 5.若等腰三角形的两边长分别为 4 和 6，求它的周长. 解：① 若腰长为 6，则底边长为 4， 周长为 6 + 6 + 4 = 16； ② 若腰长为 4，则底边长为 6， 周长为 4 + 4 + 6 = 14. 故这个三角形的周长为 14 或 16. 针对训练 6.如图，MC是∠AMB的平分线，P为MC上任意一点，PD⊥MA，垂足为点D，且PD＝3，则点P到射线MB的距离是(　C　) A．1 B．2 C．3 D．不能确定 7.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分 ∠BAC，BC＝30，BD∶CD＝3∶2， 则点D到AB的距离为(　B　) A．18 B．12 C．15 D．不能确定 C B 针对训练 8.如图，BE⊥AC于点 E，CF⊥AB于点 F，BE，CF相交于点D. 若AD平分∠BAC，试说明：BD＝CD. 解：∵BE⊥AC，CF⊥AB，AD平分∠BAC，∴DE＝DF. 在△BFD与△CED中， ∴△BFD≌△CED(ASA). ∴BD＝CD. 针对训练 9. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6 cm，DE是AB的垂直平分线，△BDC的周长为16cm，则AB的长为 ⁠. 10.如图，AD垂直平分BC于点D，EF垂直平分AB于点F，点E在AC上，BE＋CE＝20cm，则AB＝ ⁠. 第9题图 第10题图 10 cm　 20cm　 针对训练 图 形 的 轴 对 称 轴对称现象 轴对称图形，及其对称轴 简单的轴 对称图形 等腰三角形的性质 轴对称的性质 对称性 应用 图案设计 计算与推理 线段垂直平分线上的点到这条线段 两个端点的距离相等 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 “三线合一” 底角相等 两个图形成轴对称，及其对称轴 课堂总结 感谢聆听! $